Luận án Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở

- GV gợi ý HS quan tâm các đặc điểm của giả thiết, kết luận trong bài toán cần thiết cho sự phân chia bài toán; - GV giúp HS có các liên tưởng với những kiến thức đã biết và đưa ra tiêu chí phù hợp với đặc điểm của bài toán để chia bài toán thành các bài toán bộ phận đơn giản hơn và đảm bảo tính độc lập, đầy đủ (nghĩa là: bài toán A được chia thành n bài toán 1 2, ,..., nA A A sao cho ,∩ =∅i jA A với ; , 1,i j i j n≠ ∈ và 1 1= =∪ n i A A ); - HS giải các bài toán thành phần cần thiết tương ứng với sự phân chia (loại bỏ những chi tiết không cần thiết); nếu chưa giải quyết được trọn gói, một lần GV gợi ý giúp các em tiếp tục phân thành những bài toán nhỏ hơn nữa; cứ như vậy cho đến khi những bài toán nhỏ cần giải là những bài toán đã có dạng chuẩn; 92 - Kết hợp các bài toán thành phần đó để có lời giải bài toán ban đầu. Thứ ba, rèn luyện cho học sinh khả năng biến đổi bài toán về dạng dễ chia nhỏ giúp dễ dàng phát hiện phần “không cần thiết” để loại bỏ khỏi vấn đề Việc biến đổi bài toán một cách thích hợp mang lại những mô hình mới, tạo ra những liên hệ mới, những khả năng mới làm sống lại trong trí nhớ của người giải toán những gì đã biết có liên quan đến bài toán ban đầu. Do đó, với nhiều bài toán phức tạp, không giải quyết trọn gói được một lần mà chưa có dạng dễ “tháo, lắp”, GV cần chú trọng cho HS biến đổi bài toán về dạng dễ “tháo, lắp” để chia thành các bài toán bộ phận đơn giản, quen thuộc rồi kết hợp lại để suy ra lời giải bài toán ban đầu. Thứ tư, tập cho HS biết thiết lập các mối liên kết từ sự kết hợp những ý tưởng, tính chất, chức năng... của những đối tượng khác với đối tượng cho trước và các mối liên hệ bên trong của đối tượng để có được sản phẩm sáng tạo. Thứ năm, chú trọng rèn luyện cho HS các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp để bồi dưỡng các TP phân nhỏ, tách biệt và kết hợp trong GQVĐ. Để giúp HS biết phân nhỏ, tách biệt hợp lý, GV phải hướng dẫn HS nắm vững yêu cầu phân nhỏ ở trên và cần lưu ý: Xét những khả năng xảy ra của các đối tượng tham gia vào bài toán; xét mối quan hệ giữa các đối tượng, từ đó đưa ra lược đồ phân chia (để tránh phân chia lặp, hay bỏ sót). Hơn nữa, cần biết liên tưởng và huy động kiến thức một cách hợp lý để loại bỏ những chi tiết “không cần thiết, gây phiền phức”, tách bộ phần “cần thiết, có ích” để xem xét sẽ giúp họ dễ dàng trong tìm tòi lời giải bài toán. Ví dụ, trở lại bài toán 3.4.1 trong ví dụ 3.4, để tìm giải pháp và thực hiện lời giải. Người học dễ dàng nhận thấy sau khi đưa ra được giả thuyết dự đoán “với n là số tự nhiên lớn hơn 3 thì 1! 2! ... != + + +A n không là số chính phương”, các em phải chứng minh bằng suy diễn để khẳng định hay bác bỏ dự đoán này. Kết hợp định nghĩa giai thừa của một số tự nhiên, HS dễ dàng nhận thấy với 5≥n thì !n có chứa các thừa số 2 và 5 nên sẽ tận cùng bằng 0. Do đó, với 5≥n chữ số tận cùng của A luôn bằng chữ số tận cùng của 1! 2! 3! 4! 33+ + + = và bằng 3. Vì vậy, dễ dàng tìm được phương án giải quyết bài toán ban đầu thông qua hai bài toán bộ phận (bằng cách chia tập số tự nhiên khác 0 thành { } { }* * 3 * 4= ∈ ≤ ∪ ∈ ≥  n n n n ) như sau: 1) Với giá trị nào của n với { }* 3∈ ≤n n thì 1! 2! ... != + + +A n là một số chính phương? 2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 4≥n thì 1! 2! ... != + + +A n không là số chính phương. 93 Tương tự, các bài toán trong ví dụ 1.1, ví dụ 3.1 sau khi quy nạp thực nghiệm bằng cách thay biến bởi hằng, người học cũng dễ dàng tìm được phương án giải quyết bài toán ban đầu qua việc phân nhỏ thành các bài toán bộ phận. Hoặc khi giải một bài toán hình học, trong giả thiết là tổ hợp nhiều điều kiện khác nhau, đặc trưng cho các đối tượng hình học khác nhau; chúng ta thường vẽ một hình ứng với một trường hợp trong nhiều trường hợp xảy ra để làm điểm tựa trực quan cho giải toán; nhiều khi hình vẽ đó không bao quát cho nhiều trường hợp xảy ra nên dẫn đến bỏ sót các trường hợp trong lập luận chứng minh, trong quá trình giải bài tập toán. Vì vậy, vấn đề đặt ra là chúng ta phải biết phân nhỏ bài toán một cách thích hợp thành các bài toán thành phần. Ví dụ 3.2 ở phần trước là một minh họa cho việc phân nhỏ bài toán hình học thành các bài toán bộ phận một cách thích hợp, nhờ phân nhỏ giả thiết M thuộc cạnh BC thành các trường hợp: M trùng B, M trùng C, M trùng trung điểm I của BC và M thuộc BI, M thuộc CI. Chúng ta xét thêm một minh họa bởi bài toán số học: Ví dụ 3.10. Cho 5 số tự nhiên đôi một khác nhau, sao cho tổng của 3 số bất kỳ trong 5 số đó lớn hơn tổng của 2 số còn lại cộng với 2014 . Chứng minh rằng mỗi số tự nhiên trong 5 số đó đều lớn hơn 2016 . Với tình huống này, GV có thể tổ chức các HĐ sau để tách biệt phần cần thiết và tìm tòi lời giải bài toán. HĐ 1: GV giúp HS nhận ra, với bài toán này có vô số các bộ 5 số thỏa mãn, do đó không thể tìm lời giải bằng cách thử. HĐ 2: GV cần giúp HS để từ giả thiết và kết luận họ có những liên tưởng phù hợp. Chẳng hạn, với giả thiết “5 số tự nhiên đôi một khác nhau” giúp người giải liên tưởng đến “chúng có số bé nhất và sắp xếp được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn” và từ kết luận, các em biết đó là “hội” của 5 yêu cầu “mỗi số đều lớn hơn 2016”. HĐ 3: Chứng minh mỗi số tự nhiên đó lớn hơn 2016 và tách phần “cần thiết” là“Chứng minh số nhỏ nhất trong 5 số tự nhiên đó lớn hơn 2016 ” để giải quyết. HĐ 4: Kết hợp giả thiết “tổng của 3 số bất kỳ trong 5 số đó lớn hơn tổng của 2 số còn lại cộng với 2014 ” với kết luận của bài toán, giúp người giải nghĩ đến việc tách 2016 2014 2.= + GV gợi ý cho HS liên tưởng đến tính chất “hiệu của hai số tự nhiên không kề nhau lớn hơn 1”, từ đó các em sẽ biết so sánh “ 2016 nhỏ hơn 2014 cộng với tổng của 2 biểu thức mà mỗi biểu thức là hiệu của hai số tự nhiên không kề nhau”. Do đó, tách phần “đơn giản” để xét và biến đổi là “tổng của 3 số nhỏ nhất trong 5 số đó lớn hơn tổng của 2 số còn lại cộng với 2014 ” dễ dàng có điều cần chứng minh. 94 HĐ 5 (Trình bày giải pháp): Thật vậy, gọi 5 số đó là 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a , vì chúng đôi một khác nhau nên giả sử 1 2 3 4 5 .< < < <a a a a a Mặt khác, kết hợp với giả thiết còn lại ta có: 1 2 3 4 5 2014+ + > + +a a a a a . Do đó 1 4 2 5 3( ) ( ) 2014a a a a a> − + − + suy ra 1 2016>a . Kết hợp các chi tiết tách ra và các kiến thức đã biết ta có lời giải bài toán. * Ngoài ra, cần chú trọng việc tập luyện cho HS đổi vị trí và nhóm các yếu tố một cách hợp lý nhằm thay đổi “cấu trúc” và có thể làm thay đổi trọng tâm bài toán theo quan niệm của người giải để phân chia bài toán ban đầu thành các bài toán bộ phận đơn giản hơn. Để thực hiện cách thức này chúng ta có thể tiến hành như sau: + Tập cho HS biết quan sát đặc điểm của bài toán và khai thác triệt để các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm. + Giúp HS liên tưởng với các tri thức đã biết (các hằng đẳng thức, các định lý, các quy tắc, công thức, các bài toán) nhằm phát hiện việc thay đổi vị trí và nhóm các yếu tố một cách hợp lý để phân nhóm dữ liệu; từ đó, chia bài toán ban đầu thành các bài toán bộ phận đơn giản hơn. Ví dụ 3.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 26 2 12 2 45.= + − − + +M x y xy x y GV yêu cầu HS quan sát bài toán để nhận ra: Đây là một đa thức bậc hai của x (y) và hai biến x, y phụ thuộc nhau nên cần phân nhỏ M thành tổng các biểu thức là bình phương của một đa thức nào đó. Ở đây, hạng tử x2 có hệ số bằng 1, có hạng tử (-2xy) nên tất cả các hạng tử chứa x phải nhóm vào biểu thức bình phương của một tổng (chứa cả x và y). Từ đó, các em biết đổi vị trí các số hạng và nhóm các số hạng để xuất hiện điều này và tìm được các hạng tử của biểu thức thứ nhất, đó là ( )2 2 36 2 12 12 .x y xy x y+ + − − + Phần còn lại HS tiếp tục phân nhóm để xây dựng biểu thức thứ hai là bình phương của một tổng với ẩn y, gồm các hạng tử chứa y còn lại và hệ số tự do để tạo thành bình phương đúng, đó là ( )25 10 5− +y y và cuối cùng chỉ còn lại hệ số tự do. Khi đó, ta có thể phân nhỏ biểu thức M như sau: ( ) ( ) 2 2 2M 36 2 12 12 5 10 5 4= + + − − + + − + +x y xy x y y y ( ) ( )2 26 5 1 4.= − − + − +x y y Do đó, muốn giải bài toán trên người học chỉ cần giải hai bài toán thành phần: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( )21 6= − −M x y và ( ) 2 2 1= −M y . Kết hợp các bài toán trên ta có lời giải bài toán ban đầu. HS dễ dàng tìm 95 được min M = 4 khi và chỉ khi 1, 7.= =y x Như vậy, với sự quan sát, suy luận, liên tưởng và huy động kiến thức một cách hợp lý, người học biết phân nhỏ bài toán ban đầu thành các bài toán thành phần quen thuộc, đơn giản hơn và biết loại bỏ “phần không cần thiết” giúp họ dễ dàng vận dụng những kiến thức đã biết để tìm tòi lời giải bài toán ban đầu. b) Bổ sung các bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ giúp HS dễ dàng tìm phương án giải quyết vấn đề Trong chương trình môn Toán ở trường THCS, có nhiều định lý và bài toán mà với những yếu tố đã cho chúng ta chưa thể tìm được phương án giải quyết. Với những tình huống đó, theo G. Polya “Trong khi đi dần tới cách giải, chúng ta bổ sung thêm những phần tử mới vào các phần tử khảo sát lúc đầu. Phần tử mà ta đưa vào với hy vọng giúp ta tiến tới tìm được cách giải bài toán, gọi là phần tử phụ” [84, tr. 53]. Theo tác giả, “bổ sung” là thêm những chi tiết mới, đưa vào những yếu tố phụ, những hiểu biết của chúng ta về bài toán để khắc phục các “lỗ hổng” và làm cho bài toán được hoàn thiện nhất định. Từ đó, chúng ta đã có được “một ý chói lọi” trong quan niệm mới về bài toán sau khi bổ sung những phần tử phụ nhất định để có được một “chìa khóa có thể đưa tới một ý quyết định trong việc tìm được giải pháp hiệu quả giải quyết vấn đề. Bởi vậy, chúng ta cần tiến hành giúp HS thực hiện hiệu quả các hoạt động sau: Thứ nhất, giúp người học xác định được các yếu tố phụ thường sử dụng và một số tình huống nhận thức thường sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ. - Các yếu tố phụ thường dùng trong dạy học môn Toán ở trường THCS là: Bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ, tham số phụ... Mỗi yếu tố phụ lại gồm nhiều thành phần, chẳng hạn, hình phụ có thể là: Điểm (trung điểm, điểm chia trong, chia ngoài đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước...); tia (tia đối của một tia, tia phân giác của một góc, tia hợp với một tia cho trước một góc cho trước...); đoạn thẳng (đoạn thẳng nối hai điểm cho trước, đoạn thẳng bằng k lần đoạn thẳng cho trước, dây cung chung của hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm của hai đường tròn...); góc (góc bằng k lần góc cho trước, góc có số đo đặc biệt...); đường thẳng (đường thẳng qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước, đường thẳng đi qua một điểm cho trước là tiếp tuyến của một đường tròn...); đường tròn (nội tiếp, ngoại tiếp một đa giác...). - Một số tình huống DH thường bổ sung yếu tố phụ: + Bổ sung bài toán phụ trong chứng minh định lý và giải bài tập toán. + Đặt ẩn phụ trong giải các bài toán đại số (phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức;...) mà 96 giữa các đại lượng tham gia trong bài toán có một mối liên hệ nào đó (được biểu hiện bởi các hệ thức toán học) mà nhờ các mối liên hệ này, các đại lượng này biểu diễn được qua đại lượng kia (có thể hoàn toàn hoặc không hoàn toàn). + Vẽ hình phụ trong chứng minh định lý hay giải toán hình học với những bài toán mà mối liên kết giữa các yếu tố đã cho chưa tìm ra phương án giải, HS cần phải dùng đến kinh nghiệm, kỹ năng để tìm ra phương hướng giải quyết bằng cách bổ sung thêm điểm phụ, đường phụ... Thứ hai, tập luyện cho HS biết sử dụng một số hướng để bổ sung yếu tố phụ. Thông thường các yếu tố phụ cần bổ sung khi tìm phương án giải quyết vấn đề đều ở dạng không tường minh. HS cần phải có kinh nghiệm nhất định khi suy nghĩ, mò mẫm, tìm đoán dựa vào các yếu tố đã cho và các yêu cầu của bài toán; từ đó chọn lựa yếu tố phụ thích hợp. Tuy vậy, người học có thể suy nghĩ bổ sung các yếu tố phụ theo các hướng sau: - Bổ sung các bài toán phụ có thể là: Bài toán đặc biệt, bài toán tổng quát, bài toán tương tự... Theo G. Polya, muốn giải bài toán ban đầu, nhiều khi, trước hết phải giải một bài toán khác, ta gọi đó là bài toán phụ, bài toán này là trường hợp của bài toán ban đầu. Trong khi giải bài toán ban đầu khá tế nhị thì bài toán phụ dễ giải hơn, nên ít có tham vọng hơn bài toán ban đầu. Làm thế nào để giải được bài toán ban đầu từ bài toán phụ? Ta có thể giải được bài toán ban đầu nhờ hai điều nhận xét. Trước hết nghĩ ra được bài toán phụ; sau nữa, ta đã có nhận xét quan trọng nhờ đó ta có thể chuyển qua bài toán ban đầu. Như vậy, chúng ta đã giải bài toán qua hai giai đoạn, cũng như đã vượt qua một con suối nhờ hai bước, nếu ở giữa suối có một tảng đá mà ta có thể đặt chân lên đấy. - Bổ sung ẩn phụ: Đặt ẩn phụ giữ nguyên số phương trình và số ẩn; đặt ẩn phụ chuyển bài toán ít ẩn, ít phương trình thành bài toán nhiều ẩn, nhiều phương trình; đặt ẩn phụ chuyển đẳng thức, bất đẳng thức, bất phương trình, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất phức tạp về dạng đơn giản hơn... - Bổ sung hình phụ: Bổ sung hình phụ có liên quan đến những yếu tố có trong hình vẽ; bổ sung hình phụ bằng cách xét các vị trí đặc biệt của các yếu tố trong bài toán; bổ sung hình phụ nhờ phân tích yếu tố cần giải quyết trong các tình huống tri thức mới bằng các cách khác nhau dựa vào mối liên tưởng với các yếu tố đã cho, tri thức đã biết; phân tích đi lên, trong các chuỗi suy luận ở “điểm nút” nào bế tắc sẽ xuất hiện cách tháo gỡ bằng cách vẽ hình phụ thích hợp; bổ sung hình phụ nhờ chuyển đổi hình thức của vấn đề (làm bộc lộ nội dung) khi gặp chướng ngại, khó khăn trong việc liên hệ điều cần giải quyết với những yếu tố đã cho, những tri thức đã có; dùng các phép biến hình để liên kết các dữ kiện 97 rời rạc với nhau làm cho các yếu tố của bài toán nằm trong một hình thuận lợi. Tuy nhiên, việc bổ sung yếu tố phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi HS phải biết dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp lý. Theo G. Polya, “Cái lý do buộc phải đưa vào một phần tử phụ nào đó có thể là khác nhau nhưng phải có lý do của nó. Không nên đưa vào những phần tử mà không có một lý do nào cả” [84, tr.54]. Sau đây, chúng tôi trình bày ví dụ về bồi dưỡng TP bổ sung yếu tố phụ cho HS trong DH hình học: Ví dụ 3.12. Hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ. Có nhiều cách thức để hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ. Trong ví dụ này, chúng tôi trình bày một số cách thức thường sử dụng, đó là: i) Tập luyện cho HS phân tích yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong tình huống cần giải quyết bằng cách khai thác mối liên hệ nhân quả của yếu tố đã cho, kiến thức đã biết và yếu tố cần tìm nhằm phát hiện ra yếu tố phụ cần bổ sung Theo [76, tr. 12], “Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trí tuệ”. Trên cơ sở tính khách quan, tính phổ biến của mối liên hệ nhân quả theo quan điểm duy vật biện chứng, cụ thể: Một nguyên nhân có thể sinh ra nhiều kết quả và một kết quả cũng có thể do nhiều nguyên nhân gây ra, GV cần tập luyện cho HS thói quen biết phân tích yếu tố cần tìm của bài toán một cách toàn diện, đầy đủ để tìm ra yếu tố phụ cần bổ sung trên cơ sở những yếu tố đã cho và kiến thức đã biết. Có thể có nhiều cách khác nhau để bổ sung yếu tố phụ trong một tình huống DH Hình học nhờ mối liên hệ nhân quả. Sau đây, chúng tôi trình bày một số định hướng hữu ích để HS có thể nhanh chóng xác định được các yếu tố phụ thích hợp, chẳng hạn: + Nếu điều kiện cần tìm liên quan đến độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của góc thì chúng ta thường sử dụng các tam giác bằng nhau, tính chất các đường đặc biệt của tam giác, hình bình hành (chữ nhật, thoi, vuông), đường tròn; nếu điều cần chứng minh liên quan đến tích độ dài ta thường sử dụng tam giác đồng dạng + Nếu các yếu tố đã cho có trung điểm của một đoạn thẳng thì có thể liên hệ với đường với đường trung tuyến (của tam giác), đường trung bình đi qua nó (tam giác, hình thang), tâm của hình bình hành nhận đoạn thẳng đó làm một đường chéo, trung điểm của một dây trong đường tròn; nếu cho dây cung ta nghĩ đến đường kính, bán kính đi qua trung điểm hoặc qua đầu dây cung; hai đường tròn thường liên hệ với đường nối tâm, tiếp tuyến chung, dây cung; cho tam giác hoặc tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° (hay có hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới các góc bằng nhau) ta thường nghĩ đến đường tròn ngoại tiếp Thực hiện cách thức này chúng ta có thể tiến hành như sau: 1) Tập luyện cho HS khai thác đặc điểm, tính chất của yếu tố đã cho để tìm định hướng bổ sung yếu 98 tố phụ có liên quan đến vấn đề cần giải quyết; 2) Tập luyện cho HS phân tích yếu tố cần tìm trong mối liên hệ với yếu tố đã cho để xác định các hướng có thể bổ sung yếu tố phụ nhằm tìm cách đưa vấn đề về dạng quen thuộc. Để minh họa cho các ý tưởng trên, chúng tôi dẫn ra đây bài toán: Bài toán 3.12.1. Cho góc xOy và điểm I thuộc miền trong của góc đó. Dựng đường thẳng d đi qua I lần lượt cắt các cạnh Ox, Oy tại các điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. Đối tượng nhận thức trong tình huống này là: Phương pháp dựng đường thẳng qua I cắt hai nửa đường thẳng giao nhau tại M, N sao cho .=IM IN Như vậy, điểm M, N cần dựng có thể được xuất phát từ các nguồn gốc sau: +) M, N là hai đỉnh đối diệncủa hình bình hành có tâm là I, khi đó vẽ hình phụ là hình bình hành tâm I, bằng cách: Xác định 'O trên đường thẳng OI sao cho '=IO IO , 'O nằm khác phía O đối với I và dựng qua 'O các đường thẳng lần lượt song song với Oy và Ox cắt Ox và Oy tương ứng tại M, N (Hình 3.5a). +) M là ảnh đối xứng của N qua phép đối xứng tâm I, khi đó hình phụ là ảnh ' 'O y của Oy qua phép đối xứng tâm I, suy ra ' '= ∩M Ox O y (Hình 3.5b). +) IM, IN là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Ta bổ sung yếu tố phụ là điểm O’ trên tia đối của IO sao cho IO’=IO, dựng đường thẳng O’y’//Oy cắt Ox tại M; MI cắt Oy tại N ( '∆ = ∆OIN O IM ) (Hình 3.5b). Hoặc, qua I kẻ đường thẳng bất kỳ cắt Oy tại P, trên tia đối IP lấy điểm Q sao cho =IP IQ , kẻ Qz//Oy cắt Ox tại M; MI cắt Oy tại N (Hình 3.5c). +) MN là cạnh của một tam giác nhận đường thẳng qua I song song với Ox (Oy) làm đường trung bình. Do đó, bằng cách vẽ đường thẳng IK//Ox ( ∈K Oy ) ta có K xác định. Trên Oy lấy điểm N nằm khác phía O đối với K, sao cho .=OK KN Từ đó suy ra cách dựng d đi qua N và I (Hình 3.5d). Qua bài toán trên, chúng ta thấy việc phân tích mối liên hệ giữa yếu tố cần tìm với yếu tố đã cho, kiến thức đã biết và liên tưởng đến những kiến thức liên quan giúp người học biết bổ sung yếu tố phụ hợp lý để có d y x y' x' O' I O M N Hình 3.5a d y x y' O' I O M N Hình 3.5b d y x Q L P I O M N Hình 3.5c x y M IK N O Hình 3.5d 99 thể tìm được nhiều cách khác nhau; từ đó, có được lời giải tối ưu của bài toán. Tuy nhiên, để HS có nhiều sự liên tưởng thì các em phải có nhiều “hình ảnh” liên quan đến đối tượng nghiên cứu. Do đó, trong quá trình DH, GV thường xuyên cần trang bị cho người học nền kiến thức vững chắc và tích lũy nhiều kỹ năng, kinh nghiệm để khi gặp tình huống cụ thể các em có thể rút ra và vận dụng thích hợp, giúp bức tranh về đối tượng nghiên cứu hoàn thiện hơn nhằm giải quyết hiệu quả vấn đề. ii) Tập luyện cho HS bổ sung yếu tố phụ nhờ chuyển đổi hình thức của vấn đề khi gặp chướng ngại, khó khăn trong việc liên hệ yếu tố cần tìm với những yếu tố đã cho, kiến thức đã biết Thực hiện cách thức này, giúp HS biết biến đổi đối tượng bằng cách chuyển hóa hình thức của đối tượng cho phù hợp với nội dung (dựa trên cơ sở của quan điểm triết học duy vật biện chứng: cùng một nội dung, trong quá trình phát triển có thể được thể hiện dưới nhiều hình thức và ngược lại), để “bóc trần” nội dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức đã có của HS nhằm gợi ra hướng bổ sung các yếu tố phụ và từ đó đi đến việc giải quyết vấn đề. Mặt khác, trong hoạt động nhận thức, lúc đầu đối tượng có thể tồn tại độc lập với chủ thể HS. Do đó, để chủ thể có thể xâm nhập vào đối tượng (hiểu, giải thích và vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm thực sự của hoạt động) thì họ phải tiến hành biến đổi đối tượng sao cho dễ dàng huy động các kiến thức đã có. Việc biến đổi bài toán (đặc biệt là biến đổi kết luận về dạng tương đương là phương thức đơn giản, thường được “thử nghiệm” đầu tiên) từ chỗ chưa nhìn thấy hướng giải, hướng sử dụng yếu tố phụ thành dạng có hy vọng gợi ra hướng bổ sung yếu tố phụ để đi đến lời giải là điều hết sức cần thiết đối với các em. G. Polya cho rằng: “Thành công trong việc giải bài toán phụ thuộc vào việc chọn con đường đúng và phụ thuộc vào việc ta tấn công pháo đài có đúng mặt yếu của nó hay không. Để thấy được con đường nào đúng hơn, phía nào dễ qua hơn, ta phải xét bài toán theo nhiều quan điểm khác nhau, đề cập bài toán theo nhiều cách, phải biến đổi bài toán.” [87, tr. 45]. Như vậy, bằng cách biến đổi bài toán nói riêng (vấn đề nói chung), nhằm chuyển hướng (khi cần thiết) trong tư duy của người học mang lại những chi tiết mới, những khả năng mới để làm xuất hiện các liên tưởng trong trı́ nhớ những cái liên quan tới bài toán của ta. Đặc biệt, đối với nhiều vấn đề Hình học thì đây là cơ sở giúp HS có thể phát hiện và lựa chọn được các yếu tố phụ thích hợp cần bổ sung để giải quyết vấn đề. Bài toán sau là một ví dụ minh họa: Bài toán 3.12.2. Cho ∆ABC có > ,AB AC vẽ hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng + > +AB CE AC BD . 100 Trong thực tiễn DH không ít HS lúng túng khi giải bài toán này, nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng bằng +AB CE và một đoạn thẳng khác bằng +AC BD thì cũng khó để tìm được điều cần chứng minh. Để có thể tháo gỡ được điều đó, chúng tôi đã yêu cầu người học phát biểu các điều kiện tương đương với kết luận để có thể vận dụng được các kiến thức đã học. Mong đợi của GV ở đây là với giả thiết >AB AC , HS thay đổi kết luận và phát biểu được bài toán phụ tương đương với bài toán ban đầu như sau: “Cho ∆ABC có >AB AC . Vẽ hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng - -AB AC BD CE> ”. Biến đổi bài toán như vậy sẽ “gợi ý” cho người giải vẽ đường phụ bằng cách đặt đoạn 'AB AB= chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC (Hình 3.6), đó là: ' '= − = −CB AB AC AB AC . Ta có: ∆ABB’ cân tại A. Từ 'B kẻ ' ⊥B H AB và '⊥CF B H . Đến đây, ta thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng. Ta chỉ cần chứng minh '=BD B H và CEHF là hình chữ nhật. Từ đó, suy ra ' -=B F BD CE . Cuối cùng bài toán đưa về việc so sánh 'B F với 'B C trong ∆CFB’. Qua việc giải bài toán trên, HS nhận ra rằng, nhiều khi để chứng minh một bài toán hình học (đặc biệt là chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức) nên bổ sung yếu tố phụ bằng cách đưa những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi (một hình mới) làm cho chúng có liên hệ với nhau. iii) Tập luyện cho HS bổ sung yếu tố phụ trên cơ sở cấu trúc lại yếu tố đã cho đặt trong kiến thức đã có nhằm tạo ra cấu trúc mới phù hợp với tình huống cần giải quyết. Trong DH hình học ở trường THCS, HS có thể gặp tình huống, bài toán là chướng ngại nhận thức đối với các em; tri thức đã có chưa thể giải đáp được yêu cầu của bài toán hay nói cách khác tri thức đã có không tương thích với tình huống mới. Khi đó, việc cấu trúc lại các đối tượng, tạo cho HS có điều kiện gắn kết giữa kiến thức, kinh nghiệm đã có với yếu tố cần tìm, khắc phục chướng ngại trong bài toán nhằm dễ dàng chiếm lĩnh kiến thức. Do đó, trong quá trình DH Hình học GV cần giúp HS biết đặt đối tượng nghiên cứu trong mối quan hệ với các đối tượng khác, tránh tình trạng HS thường nhìn nhận sự vật, hiện tượng một cách đơn lẻ dẫn đến khó tìm được yếu tố phụ cần thiết để bổ sung. Bài toán sau minh họa cho điều này: Hình 3.6 F H E D B A C B' 101 Bài toán 3.12.3. Chứng minh định lý: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm”. Thực tiễn giảng dạy cho thấy, học sinh lớp 7 THCS gặp khó khăn khi chứng minh định lý này. Tuy nhiên các em có thể giải quyết được bài toán, nếu được GV hướng dẫn làm sáng tỏ các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác 1 1 1A B C , với 1 1 1, ,A B C lần lượt là giao điểm của các đường thẳng qua , ,A B C lần lượt song song với ,BC ,AC AB (Hình 3.7). Như vậy, nhờ bổ sung yếu tố phụ là tam giác 1 1 1A B C cho phép chuyển việc chứng minh tính chất đồng quy của ba đường cao trong tam giác ABC về một định lý quen thuộc là tính chất đồng quy của ba đường trung trực. iv) Tập luyện cho HS phát hiện yếu tố phụ cần bổ sung bằng cách xét các vị trí đặc biệt của các yếu tố hình học có trong vấn đề cần giải quyết. Mục đích của cách thức này là giúp HS biết xét các vị trí đặc biệt c