Luận án Dạy học Toán Trung học Phổ thông theo hướng khai thác vẻ đẹp Toán học hóp phần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh - Nguyễn Văn Trà

khó khăn. Qua cách giải trên, HS cảm thụ đƣợc vẻ đẹp toán học đó là tính mềm dẻo, linh hoạt và đầy sáng tạo của tƣ duy trong việc tìm lời giải độc đáo của bài toán. Ví dụ 42. Sau khi học bài “Tích vô hƣớng của hai vectơ” (§2, chƣơng II, Hình học 10 – Cơ bản), Trong tiết luyện tập, GV yêu cầu HS làm bài tập sau: Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm  3 ; 2M  . Tìm hai điểm A và B trên trục Ox sao cho tổng MA MB nhỏ nhất, biết rằng độ dài 4AB . Hướng dẫn: Cách 1. Dùng phương pháp tọa độ Gọi tọa độ điểm  ; 0A a và  ; 0B b . Ta có 4a b .  Do vai trò hai điểm A và B là nhƣ nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử điểm B ở bên phải của điểm A ở trên trục Ox , hay 4b a  . Ta có     22 3 4 1 4MA a ; MB a .      Do đó     2 2 3 4 1 4T MA MB a a .        Đến đây bài toán trở thành tìm a để T đạt giá trị nhỏ nhất. Ta xét các vectơ      , 1 ; 2 , 4 ; 4 .3 ; 2 MB a MBMA a MA       Áp dụng bất đẳng thức tam giác MA MB MA MB   , ta có     2 2 2 23 4 1 4 ( 4) 4 4 2T a a .           Dấu bằng trong đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi các vectơ MA và MB cùng phƣơng hay khi và chỉ khi 3 2 1 2 a , a     tức 2 5a , b   . Vậy  1 ; 0A và  5 ; 0B là hai 89 điểm cần tìm trên trục Ox để cho tổng T MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất là 4 2. Cách 2. Dùng bất đẳng thức Cô-si Xét tam giác MAB có 4AB  và khoảng cách từ điểm M đến cạnh AB là     2d M ,AB d M ,Ox .  Ta đặt MB a, MA b  . Theo công thức tính diện tích tam giác ta có   1 4 2 MABS AB d M ,AB .    Mặt khác theo công thức tính diện tích Hê – rông ta có ( 4)( )( )MABS p p p a p b ,      với 4 2 a b p    là nửa chu vi của tam giác MAB. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực không âm ( )p a và ( ),p b ta có      2 ( )( ) 2 2 2 p a p b p a b p a p b .           Mặc khác         2 21 1( 4) 4 4 4 ( ) 4 4 2 p p a b a b a b          nên ta có sự biến đổi tƣơng đƣơng sau 2 2( 4)( )( ) ( ) 4S p p p a p b a b MAB         2( ) 16 4a b    2( ) 32a b   4 2a b .   Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi a b, tức tam giác MAB cân tại M . Từ đây suy ra tổng MA MB a b   có giá trị nhỏ nhất là 4 2 khi 2 2a b .  Gọi hoành độ của điểm B là B x ta có phƣơng trình     22 3 4 2 2x    hay 5. B x  Tƣơng tự gọi hoành độ của điểm A là A x ta tìm đƣợc 1. A x  Vậy  1 ; 0A và  5 ; 0B là hai điểm trên trục Ox để tổng MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. 90 Ví dụ 43. Trong tiết luyện tập “Ôn tập chƣơng III” (Hình học 10 – Cơ bản), sau khi cho HS giải bài tập 2 trang 93 (SGK Hình học 10 – Cơ bản) sau đây: Cho (1 ; 2), ( 3 ; 1), (4 ; 2)A B C  . Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2MA MB MC .  Lời giải. Gọi ( ; ) M M M x y là toạ độ của điểm ,M ta có     2 22 1 2 ;M MMA x y        2 22 3 1 ;M MMB x y        2 22 4 2M MMC x y .    Từ điều kiện đã cho của bài toán ta có phƣơng trình xác định tập hợp các điểm M là 2 212 + 10 7 0M MM Mx x y y        2 5 6 5 54M Mx y .     Dựa vào phƣơng trình trên ta kết luận tập hợp các điểm M cần tìm là đƣờng tròn tâm  6 5O ,  , với bán kính 54 3 6R .  Bây giờ nhằm mở rộng KT, GV yêu cầu HS giải bổ sung bài tập tổng quát hơn sau đây: Ví dụ 44. Sau khi học xong kiến thức về phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng. Trong tiết luyện tập, ôn tập (Chƣơng III, Hình học 10 – Cơ bản), GV yêu cầu HS giải bài tập sau: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2 .MA MB MC  Hướng dẫn: Lời giải 1. Dùng phƣơng pháp tọa độ Gọi ( ; ), ( ; ), ( ; ) B BA A C C A x y B x y C x y và ( ; ) M M M x y là các tọa độ của các điểm tƣơng ứng. Ta có             2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; ; M A M A M B M B M C M C MA x x y y MB x x y y MC x x y y             91 và             2 22 2 22 2 22 ; ; B BA A A C A C B BC C AB x x y y AC x x y y BC x x y y .             Từ điều kiện 2 2 2MA MB MC  đã cho của bài toán, tính toán đơn giản ta có phƣơng trình xác định tập hợp các điểm M là       2 2 2 2 2( ) ( )M A B C M A B Cx x x x y y y y AC BC AB .           Dựa vào phƣơng trình   ta biện luận tập hợp các điểm M cần tìm theo ba trƣờng hợp sau: - Nếu 2 2 2AC BC AB  thì tập hợp các điểm M cần tìm chính là đƣờng tròn tâm  ;A AB C B CD x x x y y y ,    bán kính 2 2 2R AC BC AB .   - Nếu 2 2 2AC BC AB  thì điểm M trùng với điểm D hay tập hợp các điểm M cần tìm chỉ gồm một điểm duy nhất xác định là:  ;A AB C B CD x x x y y y .    - Nếu 2 2 2AC BC AB  thì không tồn tại điểm M nào thỏa mãn yêu cầu của bài toán tức tập hợp các điểm M là tập hợp rỗng. Nhận xét: Qua lời giải 1, nếu mở rộng bài toán tƣơng tự từ bài toán gốc trong SGK dƣới dạng tổng quát hơn thì việc định hƣớng để tìm lời giải là vấn đề cần quan tâm. Tuy nhiên nếu GV tăng cƣờng hƣớng dẫn cho HS giải các dạng bài toán này sẽ giúp các em chiếm lĩnh tri thức một cách nhẹ nhàng và lôgic, từ đó kích thích ở các em sự say mê, hứng thú với cảm giác chiến thắng trƣớc một vấn đề mới, tự khẳng định đƣợc KN vận dụng KT của mình. Đây cũng chính là một khai thác cụ thể giúp HS cảm nhận đƣợc vẻ đẹp toán học. Bên cạnh đó GV nên hƣớng dẫn HS giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhằm giúp các em phát huy tính độc lập, tính linh hoạt và từng bƣớc phát triển tƣ duy phê phán. Đây là nền móng để HS từng bƣớc tiếp cận với tƣ duy sáng tạo trong học tập môn Toán. 92 Lời giải 2. Dùng phƣơng pháp vectơ Dựng hình bình hành ABCD . Từ giả thiết ta có       2 2 2 2 2 2 0 (*)MA MB MC MD DA MD DB MD DC .          Vì ABCD là hình bình hành nên DC AB,DA CB,  do đó ta có sự biến đổi sau       2 2 2 (*) 0MD DA MD DB MD DC       2 2 2 2DM AC BC AB .    - Nếu 2 2 2 0AC BC AB   (tức tam giác ABC vuông tại C ) thì 0DM  , khi đó điểm M trùng với điểm D đã xác định. - Nếu 2 2 2 0AC BC AB   (tức tam giác ABC nhọn) thì tập hợp các điểm M là đƣờng tròn tâm D , bán kính 2 2 2R AC BC AB .   - Nếu 2 2 2 0AC BC AB   (tức tam giác ABC tù) thì không tồn tại điểm M nào thỏa mãn yêu cầu của bài toán tức tập hợp các điểm M là tập hợp rỗng. Lời giải 2 đã giúp cho HS củng cố khắc sâu KT và có thêm góc nhìn toàn diện hơn về bài toán, kích thích sự tò mò và say mê ở HS từ đó các em có thể tìm tòi thêm nhiều lời giải khác độc đáo và sáng tạo hơn. Để tổng hợp phát triển thành những chùm bài tập, ngoài việc khuyến khích HS giải một bài toán bằng nhiều cách, GV cần hƣớng dẫn HS khai thác tính tƣơng tự hóa, đặc biệt hóa và khái quát hóa bài toán. Bằng những cách thức xây dựng bài toán mới qua việc khai thác từ bài toán gốc trong SGK sẽ có tác dụng bồi dƣỡng tính sáng tạo trong suy nghĩ để không ngừng rèn luyện khả năng tƣ duy và góp phần phát huy TTC học tập cho HS. Ví dụ 45. Sau khi học bài Bất đẳng thức (Đại số 10 – Cơ bản). Trong tiết luyện tập. GV yêu cầu HS giải bài tập sau: Cho a,b là các số dƣơng. Chứng minh rằng: 4 4 3 3a b a b ab   Sau khi HS giải bài toán, GV có thể hƣớng dẫn và yêu cầu HS mở rộng bài toán trên cơ sở nâng số mũ của bài toán ban đầu: Bài toán 1. Chứng minh rằng: 5 5 4 4a b a b ab   93 Bài toán 2. Chứng minh rằng: 1 1 n n n na b a b ab .    Với a,b là các số thực dƣơng và n là số tự nhiên khác 0. Tiếp tục mở rộng bài toán theo hƣớng tăng từ hai số lên ba số, ta có bài toán sau: Bài toán 3. Cho a,b,c là các số thực dƣơng. Chứng minh rằng: 4 4 4 2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a .     Theo hƣớng khái quát hóa cho n số, ta thu đƣợc bài toán tổng quát: Bài toán 4. Cho n số thực dương 1 2 3 nx , x , x ,..., x và m,k là các số tự nhiên sao cho m k. Chứng minh rằng 1 2 3 1 2 2 3 3 4 1 m m m m k m k k m k k m k k m k n nx x x x x x x x x x x x .             Bằng những cách thức xây dựng bài toán mới qua việc khai thác từ bài toán gốc trong SGK sẽ có tác dụng bồi dƣỡng tính sáng tạo trong suy nghĩ để không ngừng rèn luyện khả năng tƣ duy và góp phần phát huy TTC học tập cho HS. Ví dụ 46. Sau khi học về dãy số. Trong tiết luyện tập, ôn tập GV có thể yêu cầu HS làm bài toán sau: Bằng phƣơng pháp quy nạp. Hãy chứng minh tổng 2 1 2 3 ... 2 n n S n        GV: củng cố kiến thức lý thyết: “Phƣơng pháp chứng minh quy nạp” HS: Đa số đã chứng minh đƣợc bài toán bằng phƣơng pháp quy nạp theo đúng quy trình và các bƣớc nhƣ cách GV đã hƣớng dẫn trên lớp theo nhƣ cách tái hiện và bắt chước những gì GV đã hƣớng dẫn. GV: Sau khi HS chứng minh xong bài toán, GV giảng lại một lần nữa để các em đƣợc đƣợc hiểu sâu hơn về phƣơng pháp và cách áp dụng. GV: Tiếp tục đặt câu hỏi để HS tìm tòi kiến thức đã học, cách giải quen thuộc. Tính tổng 1 2 3 ...S n     bằng nhiều cách? Một số HS sẽ tái hiện kiến thức về dãy số đã đƣợc học ở lớp dƣới và giải bài toán theo các cách sau: Cách 1. Tính theo công thức tính tổng các số hạng của dãy số có quy luật cách đều: Tổng các số hạng  (số hạng lớn – số hạng bé)  số số hạng : 2 Do đó 2 ( 1).n n S   94 Cách 2. Một số HS giải theo cách này Ta có    2 1 2 3 ... 1 2 3 ...S S S n n           Hay       ...2 1 1 1S n n n      n số hạng 1n Suy ra . 2 ( 1).n n S   Cách 3. Một số HS giải theo cách này Với 1.2 2 1 1n S    Với 2.3 2 2 1 2 3n S      Với 3.4 2 3 1 2 3 6n S       Dự đoán công thức tổng quát: . 2 .( 1)n n S   Cuối cùng HS dùng phƣơng pháp chứng minh quy nạp để khẳng định kết quả dự đoán trên là đúng. GV yêu cầu HS phân tích và cho ý kiến về ba cách giải đã đƣợc trình bày. Sau đó GV khuyến khích HS tiếp tục suy nghỉ để sáng tạo thêm cách chứng minh độc đáo cho bài toán ban đầu. Cách chứng minh 2 1 2 3 ... 2 n n n       bằng cách vẽ hình đƣợc GV hƣớng dẫn và HS trình bày nhƣ sau: 2 2 1 2 3 ... 2 2 2 n n n n n         Hình 2.4. Minh họa chứng minh tổng bằng vẽ hình (ví dụ 46) 95 Đây là cách chứng minh khá độc đáo, đơn giản và đầy sáng tạo, cùng với các cách giải trên của bài toán cơ bản về dãy số ở trên sẽ giúp HS có góc nhìn toàn diện hơn trong quá trình học toán, nhận thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các các kiến thức trong toán học, qua đó các em cảm nhận đƣợc vẻ đẹp toán học qua từng lời giải, cách giải hay, độc đáo, sáng tạo và đầy bất ngờ. Ngoài cách giải trên, GV có thể chỉ dẫn HS tìm thêm cách giải khác, chẳng hạn theo cách phân tích nhƣ sau:   1 1.2 0.1 2 1    1 2.3 1.2 2 2    1 3.4 2.3 2 3    1 .( 1) ( 1). 2 n n n nn    Cộng vế theo vế (các số hạng đối nhau sẽ triệt tiêu), ta có điều cần chứng minh. Cách chứng minh này cũng tƣơng đối khó phân tích và tổng hợp đối với một số HS, tuy nhiên nếu GV giảng giải thật kĩ và dễ hiểu thì HS sẽ tiếp thu tốt và có thể vận dụng đƣợc kĩ thuật phân tích này vào nhiều bài toán khác. Vì là tiết luyện tập, ôn tập nên GV cần tổng hợp phát triển bài toán ban đầu thành những chùm bài tập, hƣớng dẫn HS khai thác tính tƣơng tự hóa, đặc biệt hóa và khái quát hóa bài toán. Cụ thể: GV yêu cầu HS lần lƣợt giải quyết các bài toán sau: Bài toán 1. Tính tổng 2 2 2 2 1 1 2 3 ...S n     Bài toán 2. Tính tổng 3 3 3 3 2 1 2 3 ...S n     Bài toán 3. Tính tổng 3 1 2 3 ... k k k k S n     với k và 3k  . Hướng dẫn: Trƣớc khi giải bài toán 1. GV yêu cầu HS vận dụng các kĩ thuật phân tích đã đƣợc học ở bài trên vào tính tổng bài toán sau: 1.2 2.3 3.4 ... . 1( )T n n      . 96 Ta có 3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... . )1( .3T n n       ( 2) ( 1)3 1.2.3 2.3.(4 1) 3.4.(5 2 ( ).) ... . 1 n nT n n           Thực hiện phép nhân phân phối ở vế phải xuất hiện các cặp số hạng đối nhau và thực hiện rút gọn ta đƣợc: 3 . 1( ).( 2)T n n n  . Vậy . ( ).(. 1 3 2)nn n T   GV tiếp tục hƣớng dẫn HS lần lƣợt tính 1 S , 2 S và 3 S nhƣ sau: Nhận xét: 1.2 2.3 3.4 ... . 1( )T n n      1.(1 1) 2.(2 1) 3.(3 1) ... 1 ).(n n            2 2 2 2 11 2 3 ... 1 2 3 ...n n S S           (Với 1 2 3 ...S n     và 2 2 2 2 1 1 2 3 ...S n     ) Do đó với S và T đã tính ở trên ta suy ra 1 2 ( ).( 2. 1 ) .( 1) 3 n n n S n T S n        Vậy 2 2 2 2 1 .( 1).(2 1) 6 1 2 3 ... n n n S n        Tƣơng tự, để tính tổng 2 S GV hƣớng dẫn HS thực hiện cách làm nhƣ trên sẽ thu đƣợc tổng 2 3 3 3 3 . 2 .( 1) 2 1 2 3 ... n n S n             GV có thể hƣớng dẫn HS tìm thêm các cách giải khác để tính 2 S , chẳng hạn: Áp dụng phân tích Nhị thức Niu-tơn    0 nn k n k k n k a b a bC     để phân tích các số hạng mang lũy thừa, tìm đa thức bậc bốn ( )f x sao cho: 3 ( ) ( 1)f x f x x   , (GV cần giảng giải kĩ phƣơng pháp này cho HS). Từ đây, HS đễ dàng tính đƣợc bài toán tổng quát 3 .1 2 3 ... k k k k S n     97 Qua ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy trong quá trình dạy học môn Toán, nếu GV mong muốn TCH hoạt động học tập cho HS thì bƣớc đầu tiên GV phải làm cho HS hứng thú với việc học, cụ thể trong khi giải bài tập toán GV cần khuyến khích HS tìm nhiều cách giải khác nhau cho bài toán từ đó chọn ra cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất. Điều này không chỉ có tác dụng ôn tập củng cố kiến thức lý thuyết mà còn giúp HS phát huy vận dụng kiến thức, phát triển năng lực tƣ duy, sáng tạo và rèn trí thông minh cho HS. Qua đó tạo ra cho HS niềm say mê, hứng thú, cảm nhận một cách tự nhiên vẻ đẹp toán học giúp cho HS chủ động, tích cực trong học tập và vận dụng hiệu quả hơn những kiến thức toán học vào các môn học khác và trong thực tiễn. 2.2.2. Biện pháp 2. Tăng cƣờng khai thác tính thực tiễn của toán học thông qua các mô hình hóa toán học những bài toán có nội dung thực tế 2.2.2.1. Cơ sở và mục đích của biện pháp Môn Toán có tính trừu tƣợng cao độ, tính lôgic, tính TN và tính thực tiễn phổ dụng. Ăngghen và Lênin (dẫn theo [106]), đã chỉ rõ: “Toán học là một khoa học rất thực tiễn. Việc khoa học ấy mang một hình thức cực kì trừu tượng chỉ che đậy bề ngoài nguồn gốc của nó trong thế giới khách quan. Muốn nghiên cứu những hình dạng và quan hệ ấy một cách thuần túy thì phải tách chúng ra khỏi nội dung này, coi nó như không có Cũng như tất cả các môn khoa học khác, toán học phát sinh từ những nhu cầu thực tế của con người, từ việc đo đạc diện tích của các đám đất và dung tích của các hình chậu, từ việc tính thời gian, từ cơ học”. Tác giả Trần Kiều [46], cho rằng: “Học Toán trong nhà trƣờng phổ thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức định lí, phƣơng pháp thuần túy mang tính lý thuyết, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu nguồn gốc thực tiễn của toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống”. Theo tâm lý học sƣ phạm [47], trong thực tiễn DH việc dạy cho HS có khả năng mô hình hóa các mối quan hệ đã phát hiện, cũng nhƣ có khả năng sử dụng mô hình đó để tếp tục phân tích đối tƣợng là việc làm cần thiết nhằm phát triển trí tuệ cho HS, phát triển năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề. Việc học toán ở THPT cần rèn luyện các khả năng ứng dụng thông qua các 98 KN sau đây: Mô hình hóa (đƣa các bài toán thực tế về ngôn ngữ toán học); biểu diễn (chọn một hình thức tính toán đề diễn đạt bài toán); tính toán (thực hiện các phép tính, các thuật toán đơn giản để giải); lập luận (sử dụng các KT lôgic cơ bản để suy luận); trao đổi (thực hiện việc biến đổi giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ hình thức); phát triển các lập luận toán học đúng đắn; phản biện các bƣớc giải hoặc các lời giải; trình bày rõ ràng và chính xác lời giải. Biện pháp này trực tiếp tác động đến thành tố 1 (tính khái quát, trừu tƣợng) và thành tố 5 (tính thực tiễn phổ quát cả về nguồn gốc và ứng dụng của toán học), đồng thời tập luyện các thành tố 2 (sáng tạo toán học) và thành tố 3 (ngôn ngữ toán học). Thông qua đó, GV tạo cho HS động lực để tham gia vào hoạt động học tập, thúc đẩy HS suy nghĩ, tìm tòi, khám phá, tích cực khai thác vẻ đẹp của toán học góp phần bồi dƣỡng NL phát hiện và sáng tạo KT mới, nâng cao KN tiếp cận giải quyết vấn đề trong học tập toán cũng nhƣ trong cuộc sống cho HS. 2.2.2.2. Cách thức thực hiện biện pháp Ứng dụng toán học vào các môn học khác (Tích hợp liên môn của toán học) không đơn thuần chỉ là sử dụng công cụ toán học để giải quyết các bài toán của các môn học khác. Mà theo chúng tôi GV cần lƣu ý tới việc khuyến khích HS ứng dụng cả các KN, NL bộ môn, phƣơng pháp suy luận của toán học vào việc học tập các môn học khác. Chẳng hạn, KN phán đoán, KN tính toán, tính logic, chặt chẽ trong lập luận, tính hệ thống, tính phản biện, tính thẩm mỹ, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa, phƣơng pháp diễn đạt, so sánh, NL TN, NL sử dụng ngôn ngữ toán học.Chính sự chú trọng ứng dụng những vấn đề này sẽ góp phần to lớn trong việc nâng cao hiệu quả và chất lƣợng học tập các môn học khác. Qua đó làm tăng hứng thú học tập môn Toán, từng bƣớc kích thích ở HS sự đam mê và tìm thấy niềm vui trong việc học toán, tạo nền tảng cho tƣ duy sáng tạo, góp phần TCH hoạt động học tập bộ môn. Chú ý rằng: Khai thác tính thực tiễn trong môn Toán phổ thông không nhất thiết và cũng không thể lặp lại lịch sử hình thành phát triển KT toán học trong thực tế đƣợc. Cần hiểu đúng và đủ “thực tiễn” đối với toán học có thể là: 99 + Thực tiễn nội bộ của môn Toán được xem là nguyên nhân dẫn đến KT, phương pháp mới; + thực tiễn ở các môn học khác trong nhà trường phổ thông cần đến công cụ toán học; + Thực tiễn cuộc sống (bao gồm cả các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống xung quanh HS). Vì vậy, một trong những hƣớng làm cho HS thấy đƣợc vẻ đẹp toán học khi học toán là: - Thực hiện DH liên môn, tích hợp. - Xây dựng và sử dụng các tình huống thực tiễn nhằm gợi động cơ trong hoạt động DH và học tập cho HS. Để có thể hƣớng dẫn HS sáng tạo ra những lời giải của bài toán có tính ứng dụng, ngƣời GV cần nắm vững lĩnh vực đang quan tâm, tìm hiểu thêm những lĩnh vực liên quan, biết cách đặt câu hỏi, trao đổi với HS, đồng nghiệp và biết quan tâm đến một bức tranh tổng thể của toán học. Ngoài ra, đối với mỗi GV cũng cần một số yếu tố sáng tạo nhất định, tính kiên nhẫn và sự trải nghiệm cần thiết về nhiều lĩnh vực và tuân theo các nguyên tắc sau: - Đảm bảo tính thống nhất giữa lý luận và thực tiễn trong DH toán theo phƣơng châm lý luận dẫn đƣờng, thực tiễn là tiêu chuẩn kiểm tra và minh họa cho chân lý. - Phù hợp với điều kiện thực tế của nhà trƣờng, địa phƣơng và HS. - Tăng cƣờng liên hệ với thực tiễn trong quá trình DH toán. - Các mô hình toán học phải đảm bảo yếu tố điển hình, không quá xa lạ đối với HS, không hình thức giả tạo, gắn với đời sống và môi trƣờng. - Xây dựng đƣợc hệ thống bài tập và câu hỏi gắn với thực tiễn trong kiểm tra và ĐG đối với HS. - Các kết quả của bài toán dạng ứng dụng cần có kiểm chứng bằng thực tế. Bên cạnh đó, GV có thể tạo ra những sân chơi bổ ích cho HS luyện tập diễn đạt một số tính chất hình học bằng ngôn ngữ đại số hay diễn đạt dƣới dạng ngôn ngữ lƣợng giác từ đơn giản đến phức tạp thông qua những bài toán cụ thể trong phần bài tập hay bổ sung thêm những bài toán từ các nguồn tham khảo khác. Bên cạnh đó, thay vì giải 100 nhiều bài tập của một đơn vị KT. GV hãy sƣu tầm những bài tập của các môn khác nhƣ Lí, Hóa, Sinh trong chƣơng trình và hƣớng dẫn HS vận dụng KT đã học để diễn đạt các bài tập này thành ngôn ngữ toán học. Khi đó HS cảm nhận nhận đƣợc vẻ đẹp tính liên môn của toán học, làm cho các em hứng thú hơn và tích cực hơn trong việc huy động KT cũng nhƣ việc hoàn thành nhiệm vụ đƣợc giao. Cùng với cách giải toán bằng hình học truyền thống, HS cần đƣợc hƣớng dẫn để giải toán hình học bằng phƣơng pháp đại số hóa cùng với những KN chuyển đổi một bài toán từ lĩnh vực này thành một bài toán của lĩnh vực khác trong sự thống nhất trọn vẹn của toán học Biện pháp này có thể áp dụng trong khi DH nội dung lý thuyết, chứng minh các định lí hay trong một số tiết bài tập, ôn tập và luyện tập. Những KT ở các phân môn trong toán học và các môn khác cần phải đƣợc GV củng cố một cách cơ bản và súc tích trƣớc khi tiến hành áp dụng, nhằm phát huy tối đa hiệu quả của biện pháp. a) Sử dụng biện pháp 2 trong DH khái niệm GV sƣu tầm, xây dựng khai thác những tình huống thực tiễn và liên môn để dẫn đến KT mới, hoặc nhận ra, sử dụng các khái niệm đã biết. Ví dụ 47. DH khái niệm bài tích vô hƣớng của hai vectơ (§ 2, chƣơng II, Hình học 10 – Cơ bản). Hướng dẫn: Ý tưởng DH: Để minh họa cho vấn đề đặt ra. Chúng tôi tiến hành DH theo giáo án đã biên soạn và lồng ghép vào bài dạy một số kỹ thuật khai thác vẻ đẹp toán học, cụ thể tiến hành nhƣ sau: Đặt vấn đề: Xây dựng khái niệm tích vô hƣớng của hai vectơ. Hoạt động 1. Nhằm giúp HS liên hệ nội dung bài học với thực tế. GV yêu cầu HS tìm trong tự nhiên, đời sống các đại lƣợng vô hƣớng và các đại lƣợng có hƣớng, cho biết mối liên hệ giữa chúng. GV hƣớng dẫn: Vận tốc là có hƣớng nhƣng tốc độ là vô hƣớng, GV đề nghị HS hãy tìm các ví dụ tƣơng tự. Sau đó trình chiếu lên màn hình một vài đáp án để HS tiếp cận một cách trực quan sinh động, hoạt động này sẽ tạo đƣợc sự tích cực nhận thức và hăng hái tiếp thu bài mới của HS. 101 Hình 2.5. Minh họa khái niệm tích vô hướng ( ví dụ 47) Tiếp theo, chia lớp thành bốn nhóm. GV trình chiếu hình động, thao tác trên phần mềm để xe dịch chuyển (Hình vẽ). Yêu cầu các nhóm HS trả lời các câu hỏi liên quan đến KT hình thành khái niệm. - Cho biết công thức tính công của lực F trên đoạn đƣờng AB. - Nếu thay đổi lực F thì công có thay đổi không? và thay đổi nhƣ thế nào? Hoạt động 2. Sau khi HS trả lời, GV tổng hợp sửa chữa các ý kiến chƣa chính xác và dẫn dắt HS đến khái niệm nhƣ trong SGK. Thông qua bài học, HS sẽ thấy đƣợc mối liên hệ giữa toán học với Vật lý và đời sống từ đó HS sẽ nhận ra vẻ đẹp của toán học nằm ở tính liên môn và thực tiễn của toán học. Ví dụ 48. DH khái niệm Mặt cầu (§ 2, Hình học 12 – Cơ bản). Để giới thiệu khái niệm “mặt cầu”, thay vì vẽ hình mặt cầu (Hình 2.14, SGK) lên bảng bằng phấn và hƣớng dẫn HS về khái niệm này (công việc này một mặt làm mất thời gian của GV và HS, mặt khác gây phân tán sự tập trung của HS ngay đầu giờ học) nên dùng phần mềm GeoGebra. Ý tƣởng giảng dạy: Để minh họa cho vấn đề đặt ra. Chúng tôi tiến hành DH theo giáo án đã biên soạn và lồng ghép vào bài dạy một số các hoạt động khai thác vẻ đẹp toán học trong khi hình thành khái niệm mặt cầu cho HS thông qua mô phỏng động đối tƣợng trên màn hình chiếu, cụ thể tiến hành với các bƣớc nhƣ sau: - GV hƣớng dẫn HS đọc hiểu định nghĩa mặt cầu trong SGK; 102 - HS nhìn hình vẽ mặt cầu trong SGK; - GV mở tệp tin chứa một số hình ảnh của mặt cầu trong thực tế đời sống; - Cho HS quan sát hình ảnh trực quan của một số mặt cầu; - Yêu cầu HS điền tên những vật thể trong thực tế có hình dạng mặt cầu; - Yêu cầu HS bổ sung thêm vật thể thực tế khác có hình dạng mặt cầu; - GV giới thiệu những vật thể có hình dạng tựa mặt cầu để HS so sánh; - GV giới thiệu hình vẽ tƣơng giao giữa mặt cầu với mặt phẳng, đƣờng thẳng; - GV giới thiệu hình vẽ tƣơng giao của mặt cầu với mặt của hình lập phƣơng. STT Tên vật thể Hình dạng Mặt cầu 1 Quả địa cầu V 2 Quả bóng đá V 3 Quả bóng chuyền V 4 Quả cầu thông gió V 5 Quả cầu tuyết V 6 Quả cầu pha - lê V 7 Quả cầu vàng Hô-li-út V 8 Quả cầu đá ở sân Mỹ Đình V 9 Quả bƣởi X 10 Thành cầu Trƣờng Tiền (Huế) X Hình dáng của những vật thể GV yêu cầu HS tìm kiếm đƣợc (GV lƣu sẵn trong file) và khi HS đọc tên vật thể nào cùng lúc đó GV sẽ cập nhật hình ảnh. Thông qua cách nêu vấn đề nhƣ trên HS sẽ tiếp cận khái niệm Mặt cầu thật nhẹ nhàng và thú vị. - Tiếp đến GV mở phần mềm GeoGebra và biễu diễn Hình 2.14 trong SGK. Quả địa cầu Quả bóng rổ Hình 2.6. Mô hình quả địa cầu và bóng rổ (ví dụ 48) 103 Nhƣ vậy thông qua việc trình chiếu biểu diễn mặt cầu và tạo các hình ảnh động của đối tƣợng GV đã hình thành khái niệm và biểu diễn mặt cầu cho HS một cách trực quan sinh động. Qua đó giúp HS tiếp cận nội dung bài học mới một cách nhẹ nhàng, thú vị, tạo hứng thú cho HS trong tiếp thu bài học và HS cảm thụ đƣợc vẻ đẹp đặc trƣng, tròn trĩnh, đối xứng và kỳ vĩ của mặt cầu. b) Sử dụng biện pháp 2 trong DH bài tập, luyện tập, ôn tập GV tìm hiểu thực tế và liên môn từ đó xây dựng hệ thống bài tập lồng ghép vào kiến thức giáo khoa nhằm khai thác những tình huống thực tiễn để HS khám phá KT mới, hoặc nhận ra