Luận án Mảng kìm quang học biến điệu quang - âm

cos qx  . Đồng thời, chiết suất ( )n x sẽ được biến diệu theo trục y dưới tác động của sóng âm truyền theo trục y, do đó, chúng ta có :           0 0 0 0 ( , ) (x) y y y n x y n n cos qy n n cos qx n cos qy n n cos qx cos qy                  (2.12) Sau khi thay số sóng q trong công thức (2.2), phương trình (2.12) được biến đổi như sau : 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 y y y x y n x y n n cos cos x y x y n n cos cos                                             (2.13) Do vai trò của hai sóng biến điệu theo hai phương x và y là tương đương nhau, chúng có thể thay đổi cho nhau, do đó, để đơn giản và không thay đổi tính cân bằng của phương trình (2.13), chúng ta có thể viết lại phương trình (2.13) như sau: 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y y y y x y x y n x y n n cos cos x y x y n n cos cos x y x y n n cos cos                                                                     (2.13)’ Từ phương trình (2.13)’ chúng ta có thể khảo sát được phân bố chiết suất của môi trường quang - âm trên mặt phẳng (X,Y). 47 2.4. Khảo sát phân bố chiết suất 2D trong tinh thể vô định hình Ge33As12Se33 Chúng ta sẽ khảo sát phân bố chiết suất 2D trong tinh thể vô định hình Ge33As12Se33 [66]. Các tham số quang học của Ge33As12Se33 như sau: - Phổ truyền qua  1,0 14,0 m [66], - Chiết suất 4,0n  [66], - Hằng số đáp ứng 11 21,68.10 /M m W [66]. Tinh thể vô định hình Ge33As12Se33 được biến điệu bởi một sóng siêu âm có các tham số sau: - Tần số 6178.10sF Hz [10], - Cường độ trường 4 2I 1,0.10 W /s m , - Tốc độ 5500 /sV m s [25], - Sử dụng (2.3), bước sóng của sóng âm trong Ge33As12Se33 là : / 5500 /172 31s sV F m    , Với các tham số đã cho ở trên, sử dụng phương trình (2.13), phân bố chiết suất trong mặt phẳng (X,Y) của tinh thể vô định hình Ge33As12Se33 được khảo sát như trên hình 2.7a với giả thiết độ lệch pha 0  . Chúng ta nhận thấy, chiết suất thay đổi theo chu kỳ bằng bước sóng  trên cả hai trục X và Y . Giá trị cực đại là 4,001 và cực tiểu là 3,999, nghĩa là biên độ dao động 0 0,0005n  . Giá trị biên độ này sẽ tăng lên rất nhiều khi tăng cường độ sóng siêu âm: 0 0,03n  (hình 2.7b) ứng với 7 2I 3,0.10 W /s m [94] và 0 0,05n  (hình 2.7c) ứng với 7 2I 8,0.10 W /s m [93] tăng lên gần 100 lần so với trường hợp 4 2I 1,0.10 W /s m trong hình 2.7a. Hình chiếu của phân bố chiết suất lên mặt phẳng (X,Y) như trong hình 2.4b cho thấy, sau khi được biến 48 điệu chiết suất khối tinh thể vô định hình Ge33As12Se33 kích thước a a d  có thể được xem như một ma trận N N khối tinh thể kích thước d chiết suất thay đổi liên tục ( , )n x y , trong đó, N = phần nguyên của a/ . a) b) c) d) Hình 2.7 Phân bố chiết suất của tinh thể vô định hình Ge33As12Se33 trong mặt phẳng (X,Y) với 4 2I 1,0.10 W /s m , (a), 7 2I 3,0.10 W /s m , (b) và 7 2I 8,0.10 W /s m , (c); d) Sự hình thành mảng chiết suất - vùng chiết suất giống nhau trên mặt phẳng (X,Y). Với các tham số khác: 4,0n  ; 11 21,68.10 /M m W , 6178.10sF Hz , , 5500 /sV m s 49 Các khối này được giới hạn bởi các mặt phẳng (Y,Z) đi qua các điểm ( 1). , 1,2,3,...x l l    và (X,Z) đi qua các điểm ( 1). , 1,2,3,...y l l    , trong đó 1,2,3,...l  là số thứ tự chu kỳ lặp tính từ gốc tọa độ (0,0). Mỗi khối tinh thể có chiết suất thay đổi theo trục x và y (hình 2.8a). Phân bố chiết suất trong các khối này hoàn toàn giống nhau, giá trị cực đại tại trục song song với phương z đi qua tâm của khối tại tọa độ  / 2 ( 1). ; y / 2 ( 1). , 1,2,3...x l l l           và giảm dần về phía các mặt bên. Đường mức phân bố chiết suất trong mỗi khối thành phần (hình 2.8b) cho thấy gần tâm đường mức có dạng tròn, biến đổi dần thành hình tứ giác cong và cuối cùng dạng hoa thị ở biên. Khi khảo sát phân bố chiết suất trong khối thứ nhất (gần gốc tọa độ nhất) với độ lệch pha ban đầu / 2   (hình 2.8c) và 3 / 2   (hình 2.8d), chúng ta thấy chỉ có tâm của khối này dịch chuyển khi thay đổi độ lệch pha ban đầu, còn dạng phân bố chiết suất trong khối đó vẫn giữ nguyên. Như vậy, độ lệch pha ban đầu không ảnh hưởng đến phân bố chiết suất trong các khối thành phần mà chỉ thay đổi vị trí tâm của chúng. Tính chất này sẽ được áp dụng khi nghiên cứu nguyên lý sàng (sẽ trình bày ở chương sau). 50 a b c d Hình 2.8 a) Phân bố chiết suất trong diện tích , b) Đường đẳng chiết trong diện tích  ( 0  ), c) Đường đẳng chiết trong diện tích  ( / 2   ), b) Đường đẳng chiết trong diện tích  ( 3 / 2   ). Với các tham số: 4,0n  ; 11 21,68.10 /M m W , 6172.10sF Hz , 4 2I 1,0.10 W /s m , 5500 /sV m s . 51 2.5. Mảng vi thấu kính biến điệu quang âm Như đã khảo sát ở trên, sau khi được biến điệu bằng sóng âm, khối vật liệu Ge33As12Se33 trở thành một mảng NN khối thành phần có chiết suất phân bố như nhau giảm dần từ trục tâm khối. Theo [25] mỗi khối thành phần trên sẽ là một khối GRIN và như vậy chúng ta nhận được một mảng gồm NN khối GRIN giống nhau (hình 2.9). Nếu mỗi khối GRIN này là một vi thấu kính chúng ta sẽ có một mảng vi thấu kính. Sau đây chúng ta xem xét, chứng minh rằng mỗi khối GRIN là một vi thấu kính có kích thước và tiêu cự cỡ micromet. Vì rằng các khối GRIN giống nhau nên nếu với điều kiện lựa chọn phù hợp, mỗi một khối GRIN trở thành một vi thấu kính, chúng ta sẽ nhận được một mảng NN vi thấu kính. Sau đây chúng ta sẽ tính tiêu cự của các vi thấu kính dựa vào phép phân tích quang hình. Hình 2.9 Khối GRIN của tinh thể vô định hình Ge33As12Se33 biến điệu quang - âm Trước tiên, từ hình 2.8, chúng ta thấy độ uốn của các profile chiết suất khác nhau trên các mặt phẳng xoay quanh trục của khối. Độ dốc trên profile trong mặt phẳng (ABCD) đi qua tọa độ / 2x   hay tọa độ / 2y   là cực tiểu. Độ dốc phân bố chiết suất sẽ tăng dần đến cực đại trong mặt phẳng (EFGH) đi qua  , yx     . Phân bố chiết suất có độ dốc cực đại và cực tiểu được trình bày trên hình 2.10. 52 Độ dốc của profile chiết suất tác động đến quang trình của ánh sáng truyền trong môi trường. Môi trường có chiết suất thay đổi theo profile như trên hình 2.10 được gọi là khối GRIN. Hình 2.10 Phân bố chiết suất cực tiểu (đỏ) và cực đại (xanh) trong hai mặt phẳng khác nhau xoay quanh trục của khối GRIN. Với các tham số: 4,0n  ; 11 21,68.10 /M m W , 6178.10sF Hz , 4 2I 1,0.10 W /s m , 5500 /sV m s . Trước tiên, dựa vào quang trình của ánh sáng truyền trong môi trường, chúng ta xét khả năng hội tụ ánh sáng của một khối GRIN. Do tính đối xứng qua trục xoay, nên chúng ta chỉ xét thay đổi chiết suất theo tọa độ x (sẽ tương tự đối với tọa độ y). Quang trình của ánh sáng truyền qua môi trường có chiều dày d chiết suất ( )n x sẽ là ( )n x d . Sử dụng phương trình (2.9), chúng ta có quang trình của ánh sáng truyền trên mặt phẳng đi qua trục của khối GRIN và song song với trục tọa độ x sẽ là:  0( ) ( ) '( )n x d dn d n cos qx dn d n x dn d x n         (2.14) 53 trong đó,  0( )n x n cos qx     , và ( ) '( ) n x d x d n   . Từ (2.14), chúng ta có thể viết phương trình quang trình đi qua tọa độ (x,y) trong khối GRIN như sau : ( , ) ( , ) '( , )n x y d dn d n x y dn d x y n     . (2.15) trong đó, ( , ) '( , ) n x y d x y d n   . (2.15)’ Phương trình (2.15) có nghĩa ánh sáng truyền qua một khối GRIN (hình 2.11.a) tương đương với truyền qua một môi trường đồng nhất chiết suất không đổi độ dày cơ học d chiết suất n (phần bên trái hình 2.11.b) và một môi trường đồng nhất chiết suất n không đổi với chiều dày cơ học thay đổi theo hàm '( , )d x y (phần bên phải hình 2.11.b). Từ hình 2.8 và phương trình (2.13), chúng ta thấy 0( , ) 2 x y x y n x y n cos cos                    là hàm giảm dần từ tâm của khối GRIN. Do đó, '( , )d x y cũng là hàm giảm từ tâm của khối GRIN. Như vậy, phần môi trường bên phải trong hình 2.11b đóng vai trò như một thấu kính và ánh sáng truyền qua môi trường này sẽ bị hội tụ tại một điểm trên trục của khối. Điều này chứng tỏ rằng tia sáng truyền trong một khối GRIN sẽ bị hội tụ vào một điểm trên trục của nó. 54 Hình 2.11 Mô hình tương đương thấu kính của khối GRIN a) Quang trình của tia sáng qua khối GRIN n(x,y;) b) Quang trình của tia sáng qua khối chiết suất không đổi n chiều dày d và thấu kính chiết suất không đổi n mặt cong d’(x,y). Phân bố độ dày '( , )d x y của một khối thành phần trong tinh thể biến điệu quang - âm được mô phỏng trên hình 2.12. Chúng ta nhận thấy phân bố độ dày d’(x,y) gần đối xứng tròn quanh trục của khối (đi qua gốc tọa độ (0,0) của khối- hệ tọa độ này sẽ nói chi tiết ở phân sau). Chính phân bố '( , )d x y sẽ quyết định tiêu cự của khối GRIN. Nếu xét theo quang hình, ánh sáng truyền trong khối chất lưu GRIN tương đương với truyền trong thấu kính có một mặt phẳng và một mặt cong gây ra bởi thay đổi chiết suất từ trục ra biên có bán kính cong cR . Dựa vào các công thức hình học và từ hình 2.13, chúng ta tính gần đúng bán kính cong theo công thức sau: 2 2 2 c c c h R R h   (2.16) trong đó, ch , R  , cR tương ứng là độ dày tại tâm, đường kính mở và bán kính cong của vi thấu kính . 55 Hình 2.12 Phân bố d’ (x[Λ],y[Λ]) tương đương thấu kính của khối thành phần trong tinh thể vô định hình Ge33As12Se33 biến điệu quang - âm Với các tham số: 11 21,68.10 /M m W , 6178.10sF Hz , 4n  , 7 2I 8.10 W /s m , 5500 / , 100sV m s d m  . Hình 2.13 Mặt cắt chóp cầu nd’(x,y). 56 Áp dụng cho trường hợp Ge33As12Se33 với 11 21,68.10 /M m W , độ dày 100d m được biến điệu bởi sóng âm có cường độ 7 2I 8,0.10 W /s m [93], tần số 178sF MHz khi đó biên độ chiết suất 11 7 0 1,68.10 .8.10 0,0259sn MI    . (hình 2.12), chúng ta có: ' 6 ax 1,49.10c mh d m   , 6 5500 / 31 178 10 s s V m s R m F Hz       . Thay vào (2.16), chúng ta có:     2 212 12 6 6 1,49 10 31,0 10 323.10 323 2.1,49.10 cR m m         (2.17) Sử dụng công thức tính tiêu cự của thấu kính gồm một mặt cong và một mặt phẳng, chúng ta có: 1 1 1 323 ( 1) 108 (n 1) 4 1 c c R n f m f R                (2.18) Như vậy, trên cơ sở phân tích gần đúng quang hình, chúng có thể suy đoán, tiêu cự của khối GRIN biến điệu quang - âm đã khảo sát trên tương với một thấu kính có tiêu cự khoảng 108m. Khối vật liệu Ge33As12Se33 sau khi được biến điệu quang - âm có thể được xét như một mảng vi thấu kính. Mỗi một vi thấu kính có đường kính mở tương đương bước sóng sóng âm  . Trong vùng sóng siêu âm, bước sóng của sóng âm cỡ micromet, do đó, toàn bộ khối vật liệu Ge33As12Se33 nói riêng và môi trường quang - âm nói chung sẽ trở thành một mảng các “vi thấu kính” khi được biến điệu. Trên mặt phẳng (X,Y), mỗi vi thấu kính có tâm tại tọa độ 57  / 2 ( 1). , 1,2,3...x y i i       . Mảng vi thấu kính sẽ có kích thước mạng (khoảng cách giữa các tâm vi thấu kính) mD   ( 31mD m cho trường hợp đã khảo sát trên), đường kính mở của mỗi vi thấu kính là D   . Kích thước của vi thấu kính biến điệu quang - âm tương đương với mô hình thực nghiệm mà Sow và cộng sự đạt được (so sánh với hình 1.21). Trong khi mảng vi thấu kính mà Sow và cộng sự chế tạo có kích thước mạng, đường kính mở của vi thấu kính và vị trí của tâm vi thấu kính không đổi thì trong mảng vi thấu kính biến điệu quang - âm, vị trí tâm, kích thước mạng và đường kính mở của vi thấu kính có thể thay đổi khi thay đổi pha và tần tần số sóng âm. Đây là điểm khác so với mảng vi thấu kính của Sow, tức là chúng ta có thể tạo ra mảng vi thấu kính động. Một điều khác biệt nữa so với mảng kìm quang học của Sow có tiêu cự không đổi là tiêu cự của vi thấu kính trong mảng kìm quang học biến điệu quang - âm có thể thay đổi được bằng cách thay đổi cường độ sóng âm. Sau đây chúng ta sẽ tính toán và bình luận về tiêu cự của các vi thấu kính trên dựa vào hàm phân bố chiết suất trong khối GRIN. 2.6. Tính tiêu cự của vi thấu kính Như chúng ta khảo sát trên hình 2.10, profile chiết suất khác nhau trên mặt phẳng đi qua trục xoay của khối GRIN. Với phân bố chiết suất không đồng nhất như vậy, quang trình truyền qua các tọa độ ( , )x y khác nhau sẽ khác nhau, kết quả là vị trí hội tụ của các tia sáng đi qua tọa độ đó sẽ khác nhau trên trục của khối GRIN. Tuy nhiên, trong trường hợp sai số vị trí hội tụ quá nhỏ, chúng ta có thể bỏ qua sai số đó. Điều này tương đương với việc bỏ qua độ sâu hội tụ khi hội tụ chùm ánh sáng không đơn sắc. Sau đây chúng ta sẽ tính tiêu cự cho khối GRIN có phân bố chiết suất có độ dốc cực tiểu và độ dốc cực đại. Trên cơ sở đó lựa chọn tiêu cự cho vi thấu kính. 58 2.6.1. Tiêu cự cho khối GRIN có phân bố chiết suất có độ dốc cực đại Trước hết chúng ta giả thiết phân bố chiết suất trong khối trụ GRIN được xác định gần đúng theo độ dốc cực đại. Để đơn giản chúng ta xét cho khối trụ có bán kính / 2 có tâm tại  / 2, / 2x y    . Từ (2.13)’ chúng ta có phương trình mô tả phân bố chiết suất trên đường chéo của diện tích , tức là x y : 0 0 ( , ) 2 2 2 x y n x y n n cos cos x y x y n n cos cos                                          (2.19) Như đã trình bày ở trên, độ lệch pha ban đầu không ảnh hưởng đến phân bố chiết suất trong khối thành phần  nên chúng ta có thể chọn 0  trong (2.19). Do x y , nên (2.19) sẽ rút gọn như sau: 0 2 ( ) 2 x n x n n cos           (2.20) Sau khi sử dụng công thức lượng giác: 2 2 2(2 ) ( ) ( ) 1 2 ( )cos x cos x sin x sin x    , phương trình (2.20) có dạng: 2 0 0( ) 2 2 x n x n n n sin             . (2.21) Phương trình (2.21) mô tả phân bố chiết suất trên hai đường chéo của diện tích . Với các tham số đã cho ở trên, phân bố chiết suất trên đường chéo được mô tả trên hình 2.10 (đường màu xanh). 59 Các khối GRIN lặp lại theo chu kỳ , trên trục x và y của khối môi trường quang - âm. Phân bố chiết suất của mỗi khối GRIN đối xứng qua trục của khối. Tọa độ của trục các khối được mô tả theo phương trình sau:      , 1 , 1 2 2 T T i ix y i i              . (2.22) . Như vậy, tâm của khối GRIN thứ nhất (gần gốc hệ tọa độ nhất) có tọa độ  1 1, ,2 2 T Tx y         . (2.23) Như đã phân tích ở trên, các khối GRIN có phân bố chiết suất giống nhau, nên sẽ trở thành vi thấu kính có các tham số giống nhau và do đó sẽ không mất tính tổng quát khi chúng ta tính tiêu cự cho một khối GRIN, cụ thể khối GRIN thứ nhất. Để áp dụng phương trình (2.21) mô tả phân bố chiết suất trên mặt phẳng (X,Y) để xác định tiêu cự vi thấu kính là rất phức tạp. Trong khi đó, nếu biến đổi về dạng phân bố theo hàm parabol sẽ đơn giản hơn vì đã có các biểu thức tính điều kiện hình thành vi thấu kính và tiêu cự vi thấu kính cho khối GRIN có chiết suất phân bố dạng parabol [25]. Để thuận lợi lợi trong quá trình biến đổi phân bố chiết suất từ dạng hàm cos 2 (x) về dạng parabol -x2, chúng ta thực hiện phép chuyển đổi hệ tọa độ của môi trường về hệ tọa độ riêng cho khối GRIN thứ nhất (hình 2.14). 60 Với phép biến đổi hệ tọa độ trên hình 2.14, chúng ta có:      ' '1 1 1 1 0 ( ) '( ') ' ; ' 2 2 , , , 0,0 2 2 T T T T x y x y x x y y x y x y                              . (2.24) Hình 2.14 Hệ tọa độ của khối GRIN thứ nhất theo hệ tọa độ của môi trường. Sau khi thay (2.24) vào (2.21), chúng ta có hàm phân bố chiết suất theo biến 'x (tương tự đối với biến y’) như sau: 2 0 0 ' ( ') 2 2 2 x n x n n n sin              (2.25) Lúc này phân bố chiết suất trên trục x’(tương tự trên trục y’) được mô tả như trên hình 2.15. Phân bố này đối xứng qua gốc tọa độ ' 0x  (tâm của khối GRIN thứ nhất). 61 Từ các hình 2.8, 2.12 và 2.15, chúng ta nhận thấy phân bố chiết suất ở gần trục của khối GRIN đối xứng tương đối đều qua trục của khối GRIN. Mặt khác, trong các bài toán quang hình, điều kiện cận trục (gần trục) được áp dụng với mục đích loại bỏ sai số do phân kỳ của chùm tia, đồng thời tránh sai số do nhiễu xạ ở biên của hệ quang [25]. Do đó, ở đây chúng ta sẽ sử dụng điều kiện cận trục để biến đổi gần đúng phân bố chiết suất trong khối GRIN , từ đó tính tiêu cựu vi thấu kính. Hình 2.15 Phân bố chiết suất theo biến x’. Với các tham số: 4,0n  ; 11 21,68.10 /M m W , 6178.10sF Hz , 4 2I 1,0.10 W /s m , 5500 /sV m s Chúng ta sẽ xét phân bố chiết suất miền giới hạn sau: ' 2 x   (2.26) Hơn nữa chúng ta dựa vào tính chất của hàm sin: 2 1 ' 0' 0 ' / 22 xx sin x               (2.27) 62 Sau khi sử dụng (2.26) và (2.27) chúng ta có thể biến đổi gần đúng sau: 2 2 2 ' 2 ' ( ) 1 2 x x sin (2.28) đối với biến ' 2 2 x      . Sau khi thế phương trình (2.28) vào phương trình (2.25), chúng ta có biểu thức gần đúng cho phân bố chiết suất trên đường chéo như sau:   2 0 2 ' ' 4 x n x n n    (2.29) và được mô tả trên hình 2.16. Để kiểm tra độ chính xác của phương trình (2.29), phân bố chiết suất theo phương trình gốc (2.25) được so sánh với phân bố chiết suất theo phương trình (2.29) như trên hình 2.17. Tọa độ trên trục x’ tính từ gốc [m] Hình 2.16 Phân bố chiết suất gần đúng theo biến x’ Với các tham số: 4,0n  ; 11 21,68.10 /M m W , 6178.10sF Hz , 4 2I 1,0.10 W /s m , 5500 /sV m s C h iế t su ấ t 63 Tọa độ trên trục x’ tính từ gốc [m] Hình 2.17 So sánh phân bố chiết suất mô tả theo hai phương trình (2.20) - đường chấm chấm và (2.24) - đường liền nét. Với các tham số: 4,0n  ; 11 21,68.10 /M m W , 6178.10sF Hz , 4 2I 1,0.10 W /s m , 5500 /sV m s . Chúng ta thấy trong vùng ' / 4x   phân bố chiết suất hoàn toàn trùng nhau. Điều này có thể khẳng định, phép gần đúng cận trục không làm mất đi đặc trưng phân bố chiết suất trong khối GRIN. Do đó, có thể áp dụng phương trình (2.29) có dạng hàm parabol để xác định điều kiện trở thành vi thấu kính và tính tiêu cự của nó. Để thuận lợi trong việc xác định tiêu cự cho khối môi trường GRIN có phân bố chiết suất theo phương trình (2.29), chúng ta cần biểu diễn qua tọa độ hướng tâm 2 2' 'x y (tổng quát cho tọa độ x’ và y’). Vì chúng ta xét trên đường chéo ' 'x y nên chúng ta có: 2 2 2 2' ' ' 2 x x x (2.30) C h iế t su ấ t 64 Sau khi thế (2.30) vào (2.29) chúng ta có:   2 0 2 2n n n       (2.31) Phương trình (2.31) có thể viết lại dạng sau:   2 0 2 20 2 2 2 01 2 1 41 1 2 1 1 2 n n n n n n n N                           (2.32) trong đó, 01N n (2.33) là chiết suất cực đại tại tâm của khối GRIN và 0 1 2 4 n n     (2.34) là hệ số giảm hướng tâm. Chúng ta quay lại hình 2.3 và thấy rằng khối GRIN sẽ là ống dẫn quang hay thấu kính phụ thuộc vào tương quan giữa hệ số giảm hướng tâm  và độ dày d của nó. Để khối GRIN trở thành thấu kính, chúng ta cần chọn độ dày của nó thỏa mãn điều kiện sau [25]: / 2d   (2.35) tức là chiều dày khối trụ nhỏ hơn ½ chu kỳ lặp của quang trình tia sáng (pitch) trong ống dẫn sóng. Khi đó, giao điểm của các tia sáng truyền theo các góc khác nhau trong ống dẫn quang sẽ nằm ngoài ống dẫn quang. 65 Như vậy, nếu chiều dày khối môi trường GRIN thỏa mãn (2.35), tiêu cự của thấu kính sẽ là tính như sau [25]: 1 2 1 f n d (2.36) 2.6.2. Tiêu cự cho khối GRIN có phân bố chiết suất có độ dốc cực tiểu Như trên hình 2.10, phân bố chiết suất có độ dốc cực tiểu sẽ đi qua tọa độ / 2x   hoặc tọa độ / 2y   . Từ phương trình (2.13) chúng ta có phương trình cho phân bố chiết suất có độ dốc nhỏ nhất đi qua / 2y   như sau: 0( ) 2 2 2 x x n x n n cos cos                      (2.37) Sau khi sử dụng công thức lượng giác: ,2 2 x x x x cos cos cos cos                                      (2.38) chúng ta nhận được 2 0 2 2 0 0 0 ( ) 2 2 1 2 2 x n x n n cos x x n n sin n n n sin                                     (2.39) Bằng lập luận gần đúng như trong mục 2.6.1, chúng ta nhận được: Phương trình phân bố chiết suất theo tọa độ gần trục 2 0 0 ' ( ') 2 2 2 x n x n n n sin              ; (2.40) 66 Phương trình chiết suất theo tọa độ hướng tâm:           2 0 0 2 0 20 0 2 0 2 2 02 2 2 2 1 2 41 2 1 2 2 1 1 2 n n n n n n n n n n n N                                    (2.41) trong đó,  02 02N n n   (2.42)   0 2 2 0 4 2 n n n       ; (2.43) Tiêu cự thấu kính sẽ là: 2 2 0 2 1 ( 2 ) f n n d (2.44) So sánh (2.43) với (2.43) và (2.44) với (2.36), chúng ta thấy chênh lệch tiêu cự của hai khối GRIN có phân bố chiết suất có độ dốc lớn nhất và nhỏ nhất là không đáng kể trong gần đúng cận trục vì 02 n n . Như chúng ta đã nhận xét trên, nếu khối GRIN trong tinh thể Ge33As12Se33 với chiết suất thay đổi thuần túy theo profile trên mặt chéo khối (đường xanh hình 2.10) thì nó có tiêu cự lớn nhất; mặt khác, nếu với chiết suất thay đổi thuần túy theo profile trên mặt song song với trục x hoặc y (đường đỏ trên hình 2.10) thì nó sẽ có tiêu cự nhỏ nhất. Khối có chiết suất theo profile trung gian sẽ có tiêu cự 2 1f f f . Theo (2.36) và (2.44) tiêu cự cực đại và cực tiểu có sai số rất nhỏ có thể bỏ qua, do đó, chúng ta có thể 67 chọn một trong hai phương trình để mô tả sự phụ thuộc của tiêu cự vào các tham số môi trường và sóng âm, nghĩa là: 1 2 1 f f n d (2.45) trong đó, 0 2 4 n n     . Sau đây chúng ta xác định chiều dày khối theo điều kiện (2.35) cho môi trường Ge33As12Se33. Sau khi thay các tham số đã cho ở trên vào (2.35), chúng ta nhận được:   2 3 10 22 6 4 4.2,59.10 5,19.10 4 31.10 n m n          (2.46) Để thỏa mãn điều kiện (2.35), ta có thể chọn chiều dày của khối GRIN thỏa mãn bất đẳng thức sau: 3 3 3,14 0,302.10 302 2 2.5,19.10 d m m        (2.47) Sau khi thay biểu thức tính bước sóng và biên độ chiết suất vào (2.46) và thay (2.46) vào (2.45) chúng ta nhận được biểu thức tiêu cự phụ thuộc vào tần số, cường độ sóng âm và chiều dày, hệ số đáp ứng của môi trường như sau: 22(V / F ) 4 s s s f d MI (2.48) với chiều dày d thỏa mãn điều kiện (2.47). Xét cụ thể trường hợp Ge33As12Se33 với các tham số: 4,0n  ; 11 21,68.10 /M m W , 6178.10sF Hz , 7 2I 8.10 W /s m , 5500 /sV m s , 100d m , chúng ta nhận được: 68 2 2 12 62 11 7 4 0 2(V / F ) 2.(5500 /178) .10 93,18.10 93 4 4. 1,68.10 .8.10 .10 sf m m MI d (2.49) So sánh kết quả (2.18) tính theo gần đúng quang hình và (2.49) tính theo gần đúng cận trục của hàm biến đổi chiết suất, chúng ta thấy giá trị tiêu cự trung bình là 100.5 μm và sai số của hai cách tính là 7,5%. Với sai số này, kết quả trong hai cách xét gần đúng trên là hợp lý. Do đó, chúng ta có thể khẳng định khối GRIN hình thành trong tinh thể Ge33Asi2Se33 đã xem xét có tiêu cự nằm trong vùng m, cùng bậc với bước sóng sóng âm. Vi thấu kính này là một chỏm cầu hình vuông mỗi cạnh bằng bước sóng sóng âm 31a m   , tiêu cự 100,5f m được mô tả như sau trong hình 2.18. a) b) Hình 2.18 Cấu hình vi thấu kính biến điệu quang - âm bởi hai sóng siêu âm vuông góc với nhau: a) hình chiếu theo trục z, b) hình chiếu theo trục x (y). Tuy nhiên, từ công thức (2.48), chúng ta thấy, giá trị tiêu cự của khối GRIN này còn phụ thuộc vào các tham số thiết kế như, tần số (Fs), cường độ sóng âm (Is), chiều dày (d) và hằng số đáp ứng (M) của môi trường. Sau đây khảo sát ảnh hưởng của một vài tham số trên. 69 Sự phụ thuộc vào chiều dày tinh thể của tiêu cự vi thấu kính trong tinh thể Ge33Asi2Se33 ( 11 21,68.10 /M m W , 4n ) biến điệu bằng sóng siêu âm tần số thay đổi và cường độ không đổi 7 2 0 8.10 /I W m được trình bày trên hình 2.19. Kết quả khảo sát trên hình 2.19 cho thấy, nếu sử dụng sóng âm có cường độ 7 2 0 8.10 /I W m , khi đó, tiêu cựu thấu kính càng ngắn khi tăng chiều dày môi trường và tần số sóng âm. Trong trường hợp này, nếu chiều chỉnh tần số sóng âm tăng lên, thì chúng ta có thể giảm được chiều dày của môi trường. Hình 2.19 Phụ thuộ