Luận án Phát triển và ứng dụng các phương pháp phân tích tín hiệu trong chẩn đoán vết nứt kết cấu hệ thanh - Nguyễn Văn Quang

số thực đƣợc gọi là vị trí, ( , )Wf a b là hệ số wavelet với độ co giãn a và vị trí b, ( )f t là tín hiệu đầu vào, t b a        là hàm wavelet, * t b a        là liên hợp phức của t b a        . Để đơn giản biểu thức của phép biến đổi wavelet, đặt: * , 1 ( )a b t b t aa          , phép biến đổi wavelet (3.1) có thể đƣợc viết lại nhƣ sau: ,( , ) ( ) .a bWf a b f t dt     (3.2) Một wavelet phải có những tính chất sau:  Có năng lƣợng hữu hạn:   2 .E t dt      (3.3)  Nếu  ˆ  là biến đổi Fourier của  t , nghĩa là:    ˆ .i tt e dt        (3.4) Khi đó các điều kiện sau đây phải đƣợc thoả mãn:   2 0 ˆ .gC d         (3.5) Điều đó có nghĩa là wavelet không có thành phần tần số bằng không: ˆ (0) 0,  51 ( ) 0 khi 0.j tt e dt       (3.6) Hay nói cách khác các wavelet phải có giá trị trung bình bằng không, nghĩa là: ( ) 0.t dt    (3.7)  Một điều kiện khác cho các wavelet phức là biến đổi Fourier phải là thực và bằng không đối với các tần số âm. Biến đổi ngƣợc của wavelet liên tục: 1 , 2 ( ) ( , ) ,a b da f t C Wf a b db a           (3.8) trong đó: 2 ˆ ( ) 2 .C d           (3.9) b. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT) và biến đổi ngược Có thể hoàn toàn khôi phục lại tín hiệu ban đầu bằng cách sử dụng tổng vô hạn của các hệ số wavelet rời rạc thay vì tích phân liên tục nhƣ đòi hỏi của CWT. Điều này dẫn đến phép biến đổi wavelet nhanh (tƣơng tự nhƣ biến đổi Fourier nhanh) nhằm tăng tốc độ của phép biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi ngƣợc của nó. Biến đổi wavelet liên tục, theo công thức (3.2). Nếu sử dụng tất cả các giá trị của a, b để xây dựng hệ số wavelet sẽ lãng phí thời gian, do đó ngƣời ta thƣờng sử dụng các số nguyên 2 , 2j ja b k  , các DWT trở thành:  *2, ,2 ( ) 2 ( ) ( ) , j j j k j kWf f t t k dt f t t dt            (3.10) trong đó:  *2, ( ) 2 2 . j j j k t t k     Biến đổi ngƣợc của DWT sẽ đƣợc biểu diễn nhƣ sau [121]: 52 , ,( ) ( ) .j k j k j k f t Wf t        (3.11) c. Xấp xỉ và chi tiết của biến đổi wavelet rời rạc Sử dụng biến đổi wavelet rời rạc có thể phân tích một tín hiệu thành hai thành phần: xấp xỉ và chi tiết. Một tín hiệu đƣợc coi là một tổng của hai tín hiệu, một với tần số thấp (xấp xỉ), một với tần số cao (chi tiết). Xấp xỉ giữ nguyên dạng chính của tín hiệu, trong khi các chi tiết mô tả các tín hiệu khác thêm vào tín hiệu chính nhƣ: thay đổi nhỏ, nhiễu, tín hiệu không dừng Quá trình phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết có thể đƣợc lặp lại bằng cách coi xấp xỉ ở mức trƣớc là tín hiệu và tiếp tục phân tích thành xấp xỉ và chi tiết ở mức cao hơn. Do đó một tín hiệu gốc có thể đƣợc phân tích thành nhiều thành phần với độ phân giải thấp dần. Cách thức phân tích tín hiệu nhƣ thế đƣợc gọi là cây phân tích nhƣ mô tả ở hình dƣới đây. Ở hình 3.1, S là tín hiệu gốc, đƣợc phân tích thành xấp xỉ cA1 ở mức 1 và chi tiết cD1 ở mức 1. Tiếp theo, cA1 lại đƣợc phân tích thành xấp xỉ cA2 ở mức 2 và chi tiết cD2 ở mức 2 v.v. Hình 3.1. Cây phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết. 3.1.2. Phổ năng lượng wavelet Phổ năng lƣợng wavelet đƣợc định nghĩa là bình phƣơng của hệ số wavelet đƣợc viết dƣới dạng sau: 2 *1( , ) ( ) . t b S a b f t dt a a            (3.12) 53 Phổ wavelet trung bình có thể xác định bằng cách tính tích phân trên miền thời gian, có thể đƣợc biểu diễn nhƣ sau đối với một tín hiệu trong khoảng thời gian hữu hạn: 0 2 1 ( , ) ( , ) . T wt g S a b S a b db C T         (3.13) Năng lƣợng tích lũy trong miền tần số, ký hiệu bởi ( )E f đƣợc xác định bởi toán tử tích phân tại mỗi tần số của phổ wavelet trung bình thông qua biểu thức sau:   1 0 . if WT f f E f S df f   (3.14) Tƣơng tự, phổ wavelet trung bình trong miền thời gian có thể đƣợc định nghĩa nhƣ sau:   1 0 , . nf WT f f S b S b df f         (3.15) Năng lƣợng tích lũy theo miền thời gian, ký hiệu là ( )E t đƣợc xác định nhƣ sau:   1 ( ) . jb j WT b E b S t db  (3.16) Tốc độ thay đổi của độ đo năng lƣợng tích lũy này theo thời gian hoặc tần số đƣợc ký hiệu bởi ( )dE t dt hay ( )dE f df , cực đại của các tốc độ thay đổi này sẽ tạo nên các “lƣỡi dao” trong mặt phẳng thời gian - hệ số co giãn. 54 Hình 3.2. Phổ năng lƣợng wavelet của một kết cấu có tần số không đổi trong quá trình dao động. Hình 3.2 ở trên minh họa một phổ wavelet của một kết cấu có tần số không đổi trong quá trình dao động. Ở hình này ta thấy năng lƣợng của dao động tập trung tại tần số xung quanh 1.6 Hz trong suốt quá trình dao động. Hình 3.3. Phổ năng lƣợng wavelet của một kết cấu có tần số thay đổi trong quá trình dao động. Trong khi đó hình 3.3 minh họa phổ wavelet của một kết cấu có tần số thay đổi theo thời gian. Trên hình vẽ này ta thấy trong khoảng thời gian từ 0 đến khoảng 7s tần số mang năng lƣợng lớn của dao động tập trung xung quanh giá trị 1.6 Hz, sau đó tần số này giảm xuống các giá trị thấp hơn trong khoảng thời gian từ 7s đến 10s. Tần số này cuối cùng sẽ có những sự thay đổi nhỏ trong khoảng thời gian từ 10s đến 17.6s. Khi kết cấu cầu có vết nứt xảy ra đột ngột trong quá trình động đất thì độ cứng của cầu sẽ bị suy giảm đột ngột. Sự thay đổi tần số trƣớc và sau khi xuất hiện vết nứt đột ngột thƣờng rất khó có thể phát hiện đƣợc khi phân tích tín hiệu phản ứng động của kết cấu trong miền thời gian cũng nhƣ trong miền tần số. 55 Hơn nữa, việc phát hiện thời điểm xuất hiện vết nứt cũng rất quan trọng và cũng không thể phát hiện đƣợc dựa trên các phƣơng pháp phân tích số liệu thông thƣờng. Tuy nhiên, biến đổi wavelet biến đổi tín hiệu sang miền tần số trong khi thông tin về thời gian vẫn giữ đƣợc lại, phổ wavelet có thể đƣợc sử dụng để phát hiện sự thay đổi đột ngột của tần số cả về thời điểm xảy ra lẫn mức độ thay đổi của nó ngay trong quá trình xảy ra động đất. Bình phƣơng của mô đun hệ số wavelet hay phổ năng lƣợng wavelet có thể diễn giải nhƣ là phân bố mật độ năng lƣợng trên mặt phẳng  ,a b thời gian - hệ số co giãn. Năng lƣợng của một tín hiệu đƣợc tập trung trên mặt phẳng thời gian - hệ số co giãn xung quanh “lƣỡi dao” trong phổ wavelet. Do hệ số co giãn tƣơng ứng với tần số nên “lƣỡi dao” trong phổ wavelet tƣơng ứng với tần số phụ thuộc thời gian của tín hiệu dao động hay còn gọi là tần số tức thời (IF). Do đó, tần số tức thời của tín hiệu có thể đƣợc quan sát bằng cách quan sát sự thay đổi của “lƣỡi dao” trong phổ wavelet. Để thuận tiện trong việc diễn giải tần số tức thời theo quan niệm thông thƣờng, mặt phẳng thời gian - hệ số co giãn sẽ đƣợc biến đổi sang mặt phẳng thời gian - tần số thông qua tựa tần số nhƣ sau: .ca F F a   (3.17) Ở đây a là hệ số co giãn,  là chu kỳ lấy mẫu, cF là tần số trung tâm của hàm wavelet tính bằng Hz, aF là tựa tần số tƣơng ứng với hệ số co giãn a, tính bằng Hz. Nhƣ vậy, để quan sát sự biến đổi của tần số tức thời của cầu trong quá trình động đất, phổ năng lƣợng wavelet  ,S a b , mà nó chính là độ đo sự thay đổi tại mỗi thời điểm tại mỗi hệ số co gian sẽ đƣợc sử dụng luận án này. Sử dụng phổ wavelet để theo dõi sự thay đổi của tần số tức thời (IF) thì sự thay đổi đột ngột của tần số khi có vết nứt đột ngột sinh ra do tác động của động đất sẽ đƣợc phát hiện. 56 Sơ đồ thuật toán để trích ra đƣợc tần số tức thời IF đƣợc biểu diễn nhƣ sau: 3.1.3. Các hàm wavelet Các loại tín hiệu khác nhau có thể đƣợc phân tích hiệu quả bởi các hàm wavelet khác nhau. Nhiều hàm wavelet đã đƣợc xây dựng sẵn, trong số những hàm này, một số hàm wavelet đã đƣợc chứng minh là có thể áp dụng trong thực tế. Phần này sẽ giới thiệu ngắn gọn về một số hàm wavelet. a. Hàm Haar Hàm này không liên tục, tƣơng tự nhƣ hàm bƣớc nhảy. Hàm Haar đƣợc định nghĩa nhƣ sau [122]:           1 khi 0 0.5 1 khi 0.5 1 . 0 khi ,0 1, x x x x x x                   (3.18) Hình 3.4. Hàm Haar. Đọc số liệu dao động Biến đổi wavelet số liệu dao động Tính phổ wavelet Quan sát tần số tức thời IF IF thay đổi Không có hƣ hỏng Có hƣ hỏng Sai Đúng 57 b. Hàm Daubechies Các hàm wavelet này không có biểu thức dạng hiện, ngoại trừ hàm wavelet Haar là trƣờng hợp đơn giản nhất của hàm wavelet Daubechies [123]. Hàm Daubechies là các hàm không đối xứng. Các hàm này rất tốt khi biểu diễn ứng xử đa thức trong tín hiệu. Hình 3.5 trình bày 9 hàm wavelet Daubechies. Hình 3.5. Hàm Daubechies. c. Hàm Symlets Họ hàm wavelet này gần nhƣ là hàm wavelet đối xứng đƣợc đƣa ra bởi Daubechies [123]. Hình 3.6 mô tả sáu hàm wavelet Symlet. 58 Hình 3.6. Hàm Symlet. d. Hàm Coiflets Các hàm wavelet Coiflets đƣợc sửa đổi từ hàm wavelet Daubechies [123]. Hình 3.7 mô tả bốn hàm wavelet Coiflets. Hình 3.7. Hàm Coiflets. 59 e. Hàm Morlet Hàm Morlet có biểu diễn dạng hiện nhƣ sau [123]: 21 2( ) cos(5 ). x x Ce x   (3.19) Hình 3.8 biểu diễn đồ thị của hàm wavelet từ phƣơng trình (3.19). Hình 3.8. Hàm Morlet. f. Hàm Mexican Hat Hàm wavelet Mexican Hat là hàm tỷ lệ với hàm nhận đƣợc từ đạo hàm bậc hai của hàm phân bố xác suất Gauss. Công thức của hàm Mexican Hat có dạng sau [123]:     21 24 2 2 1 . 3 x x x e      (3.20) Hình 3.9. Hàm Mexican Hat. 60 g. Hàm Meyer Hàm wavelet Meyer đƣợc định nghĩa trong miền tần số nhƣ sau [123]:           1 2 1 22 2 3 2 4 ˆ 2 sin 1 khi 2 2 3 3 3 4 8 ˆ 2 cos 1 khi . 2 2 3 3 2 8 ˆ 0 khi , 3 3 j j e e                                                                   (3.21) Hình 3.10. Hàm Meyer. Dựa vào hình dạng của các hàm wavelet này, ta có thể lựa chọn hàm wavelet phù hợp với dạng của tín hiệu. Nếu tín hiệu có hình dạng phức tạp, hoặc một số chi tiết trong tín hiệu bị ẩn đi, khi đó nên thử tất cả các hàm wavelet từ đó chọn ra hàm wavelet cho kết quả tốt nhất. 3.2. Phƣơng pháp phân bố độ cứng phần tử trong miền tần số Ta xét ma trận độ cứng của phần tử thứ i để làm rõ khái niệm “phân bố chỉ số độ cứng phần tử”: 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 .K i i i i i i i i i e i i i i i i i i k k k k k k k k k k k k k k k k              (3.22) Ma trận độ cứng tổng thể có dạng: 61 1 1 1 1 11 12 13 14 1 1 1 1 21 22 23 24 1 1 1 2 1 2 2 2 31 32 33 11 34 12 13 14 1 1 1 2 1 2 2 2 41 42 43 21 44 22 23 24 2 2 2 3 2 3 3 3 31 32 33 11 34 12 13 14 2 2 2 3 2 3 41 42 43 21 44 22 23 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) K k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k          3 3 24 3 3 3 4 3 4 4 4 31 32 33 11 34 12 13 14 3 3 3 4 3 4 4 4 41 42 43 21 44 22 23 24 1 1 1 1 31 32 33 11 34 12 13 14 1 1 1 1 41 42 43 21 44 22 23 24 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k                 1 1 31 32 33 11 34 12 1 1 41 42 43 21 44 22 . ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k k k k                                                            (3.23) Phƣơng trình (3.23) ta thấy ma trận con ieK có dạng: 1 1 33 11 34 12 13 14 1 1 43 21 44 22 23 24 1 1 31 32 33 11 34 12 1 1 41 42 43 21 44 22 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) K i i i i i i i i i i i i i e i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k                           (3.24) Ma trận độ cứng tổng thể đƣợc thiết lập từ ma trận độ cứng của phần tử thứ i với một số thành phần bổ sung của ma trận độ cứng của phần tử thứ ( 1)i  và ( 1)i  . Từ đó, ma trận con K i e đƣợc sử dụng để mô tả độ cứng của phần tử thứ i đối với bài toán phát hiện vết nứt. Thật vậy, từ phƣơng trình (3.24) ta thấy khi phần tử thứ i xuất hiện vết nứt, chỉ có ba ma trận 1K ie  , K ie , 1 K i e  bị thay đổi. Do đó, ma trận K ie phản ánh tính chất về độ cứng địa phƣơng. Nhƣ vậy, sự thay đổi về dạng của ma trận con K ie có thể đƣợc dùng nhƣ một chỉ số của hƣ hỏng tại phần tử thứ i. 62 Từ ma trận độ cứng tổng thể, để phát hiện thay đổi về dạng của ma trận con K i e ta định nghĩa phân bố chỉ số độ cứng phần tử nhƣ sau:   1 2 1 , ,..., , 1.. , max Q i i i Q         (3.25) ở đó   2 maxK K Ki i T ii e j e ej   là chỉ số độ cứng phần tử thứ i; Q là số phần tử hữu hạn. Khi vết nứt xuất hiện tại phần tử thứ i, phân bố chỉ số độ cứng phần tử sẽ thay đổi ở phần tử thứ i. Nếu ma trận độ cứng tổng thể có thể xây dựng lại từ số liệu đo đạc, thì dựa vào phân bố chỉ số độ cứng phần tử (3.25) có thể phát hiện đƣợc vết nứt trên kết cấu. Từ phƣơng trình dao động của kết cấu: ( ) ( ) ( ) ( ).Ky f My Cyt t t t   (3.26) Biến đổi Fourier hai vế phƣơng trình (3.26) thu đƣợc: ( ) ( ) ( ) ( ).2KY F MY CYi        (3.27) Nếu biết các ma trận ( ), ( )F Y  , M, C, thì ma trận K có thể đƣợc xây dựng lại theo công thức (3.27). Tuy nhiên, dữ liệu phải đo đạc đồng thời là rất nhiều. Để khắc phục điều này, thì phƣơng pháp hàm đáp ứng tần số (FRFs) đƣợc sử dụng. Thật vậy, giả sử chỉ có lực ngoài với biên độ không đổi tác dụng lên bậc tự do thứ k cố định và tín hiệu chuyển vị đƣợc đo liên tục tại mỗi bậc tự do, hàm đáp ứng tần số tƣơng ứng với bậc tự do thứ i có dạng:       ,ii k Y H F     (3.28) ở đó ( )iY  là thành phần thứ i của véc tơ Y; ( )kF  là thành phần thứ k của véc tơ ( )F , từ phƣơng trình(3.28) ta có:      .i i kY H F   (3.29) Do đó, véc tơ Y có dạng: 63      ,Y Hk kF   (3.30) ở đó    1 2, , ,H T k nH H H  là véc tơ của hàm đáp ứng tần số , thu đƣợc từ lực ngoài tác động lên bậc tự do thứ k cố định với các tín hiệu đáp ứng đo đƣợc tại mọi bậc tự do. Hàm đáp ứng tần số có thể đƣợc đo bằng thiết bị rung động một đầu vào – một đầu ra. Thay phƣơng trình (3.30) vào phƣơng trình (3.27), thu đƣợc:      ( ) ( ) ( ) ( ) .2KH F MH CHk k kF F i F           (3.31) Chia hai vế (3.31) cho ( )kF  thu đƣợc:   ( ) ( ) ( ) ( ).2 F KH MH CH k i F           (3.32) Vì chỉ có thành phần thứ k của lực ngoài khác không, thành phần đầu tiên ở vế phải phƣơng trình (3.32) là véc tơ hằng số với thành phần thứ k bằng một, và các thành phần khác bằng không. Ký hiệu véc tơ hằng số này là L, phƣơng trình (3.32) có dạng: ( ) ( ) ( ).2KH L MH CHi       (3.33) Trong thực tế phép quay rất khó đo đạc. Tuy nhiên, do phép quay là đạo hàm của phép tịnh tiến: ( ) ( ) ,tr y t y t x    (3.34) ở đó r và t ký hiệu phép quay và phép tịnh tiến, trong phân tích phần tử hữu hạn thì phép quay tại nút đƣợc xấp xỉ bằng phép tịnh tiến tại hai nút kề nhau nhƣ sau: , 1 , , ( ) ( ) ( ) , t i t i r i y t y t y t x    (3.35) ở đó , ( )r iy t là góc quay tại nút thứ i; , ( )t iy t và , 1( )t iy t là tịnh tiến của các nút thứ i và (i+1). Biến đổi Fourier hai vế của phƣơng trình (3.35) thu đƣợc: 64 , 1 , , ( ) ( ) ( ) . t i t i r i Y Y Y x        (3.36) Thay phƣơng trình (3.29) vào phƣơng trình (3.36), thu đƣợc: , 1 , , ( ) ( ) ( ) , t i t i r i k k H H H F F x        (3.37) hay: , 1 , , ( ) ( ) ( ) . t i t i r i H H H x        (3.38) Do đó, chỉ cần đo đạc hàm đáp ứng tần số tƣơng ứng với phép tịnh tiến, hàm đáp ứng tần số tƣơng ứng với phép quay đƣợc tính từ phƣơng trình (3.38) từ đó thu đƣợc toàn bộ véc tơ H. Véc tơ H không phụ thuộc vào lực và chuyển vị, mà chỉ phụ thuộc vào tính chất của dầm. Nếu biết các ma trận H, M, C, thì ma trận K sẽ đƣợc tính từ phƣơng trình (3.33) khi chia hai vế của phƣơng trình này cho ma trận H. Giả sử các vết nứt không làm ảnh hƣởng đến ma trận khối lƣợng, khi đó ma trận phần tử hữu hạn M của dầm nguyên vẹn đƣợc xem là dữ liệu chính xác. Tuy nhiên, thực tế ma trận C không thể đo đạc đƣợc, ma trận này đƣợc tính xấp xỉ từ ma trận M và K của dầm nguyên vẹn theo phƣơng trình (2.45). Do đó, khi xuất hiện vết nứt và vị trí vết nứt chƣa biết, thì ma trận K tính từ phƣơng trình (3.33) sẽ không chính xác. Để khắc phục điều này, các thành phần của ma trận độ cứng từ mỗi hàng đƣợc tính riêng biệt từ phƣơng trình (3.33). Thành phần trên mỗi hàng của ma trận độ cứng tƣơng ứng với phần tử nguyên vẹn đƣợc tính chính xác, vì các thành phần này đƣợc tính từ các thành phần của ma trận M, C thu đƣợc từ dầm nguyên vẹn. Chỉ có duy nhất thành phần của ma trận độ cứng trên các hàng tƣơng ứng với phần tử chứa vết nứt sẽ không đƣợc tính chính xác. Điều này sẽ dẫn đến sự thay đổi của phân bố chỉ số độ cứng phần tử. Các thành phần của ma trận độ cứng trên mỗi hàng đƣợc tính từng bƣớc từ phƣơng trình (3.33) nhƣ sau. Trƣớc tiên, phân tích các thành phần trên hàng đầu tiên của ma trận K. Từ phƣơng trình (3.23), nhận thấy bốn thành phần đầu tiên nằm trên hàng là khác 65 không, do đó bốn phƣơng trình độc lập này phải đƣợc tính toán. Sử dụng các đáp ứng động lực học tại bốn tần số 1 2 3 4, , ,    , thay vào phƣơng trình (3.33) thu đƣợc: 2 2 11 1 1 12 2 1 13 3 1 14 4 1 1 1 1 11 1 1 1 12 2 1 2 2 1 13 3 1 1 14 4 1 1 11 1 1 1 12 2 1 1 13 3 1 1 14 4 1 11 1 2 12 2 2 13 3 2 14 4 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k H k H k H k H L m H m H m H m H i c H i c H i c H i c H k H k H k H k H L                                              2 211 1 2 2 12 2 2 2 2 2 13 3 2 2 14 4 2 2 11 1 2 2 12 2 2 2 13 3 2 2 14 4 2 2 2 11 1 3 12 2 3 13 3 3 14 4 3 1 3 3 11 1 3 3 12 2 3 2 2 3 13 3 3 3 14 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m H m H m H m H i c H i c H i c H i c H k H k H k H k H L m H m H m H m H                                              3 11 1 3 3 12 2 3 3 13 3 3 3 14 4 3 2 2 11 1 4 12 2 4 13 3 4 14 4 4 1 4 4 11 1 4 4 12 2 4 2 2 4 13 3 4 4 14 4 4 4 11 1 4 4 12 2 4 4 13 3 4 4 14 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i c H i c H i c H i c H k H k H k H k H L m H m H m H m H i c H i c H i c H i c H                                              4( ), (3.39) ở đó , , , ( ), ( )ij ij ij i j i jk m c L H  là các thành phần của ma trận K, M, C, L, H. Ký hiệu: 1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 3 2 3 3 3 4 3 1 4 2 4 3 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A H H H H H H H H H H H H H H H H                             (3.40)  11 12 13 14ˆ ,1K T k k k k (3.41) 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 4 4 2 1 3 3 1 3 3 1 3 1 1 4 4 2 1 4 4 1 4 4 1 4 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j L m H i c H L m H i c H L m H i c H L m H i c H                                                                  (3.42) phƣơng trình (3.39) có dạng: 1 1 1 ˆ ,A K B (3.43) hay: 66 1 1 1 1 ˆ ,K A B (3.44) Bốn thành phần trên hàng đầu tiên của ma trận K thu đƣợc bằng cách thay phần thực của 1A và 1B vào phƣơng trình (3.44):    11 1 1ˆ .K A Breal real      (3.45) Tiếp theo, thành phần trên hàng thứ hai của ma trận K đƣợc tính tƣơng tự nhƣ hàng đầu tiên. Tuy nhiên, trên các hàng tiếp theo có sáu thành phần, do đó phƣơng trình tổng quát để xác định thành phần của hàng thứ i có dạng:    1ˆ ,K A Bi i ireal real      (3.46) ở đó: 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 5 1 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A n n n n n n n n n n n n n n n n n n i n n n n n n n n H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H                                                 2 5 3 5 4 5 5 5 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n H H H H H H H H H H                                       (3.47) , , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ˆ ,K T i i n i n i n i n i n i nk k k k k k        (3.48) 67 6 6 2 1 1 1 1 1 6 6 2 2 2 2 2 2 6 6 2 3 3 3 3 3 6 6 2 4 4 4 4 4 2 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B n n i ij j ij j j n j n k n i ij j ij j j n j n k n i ij j ij j j n j n i k n i ij j ij j j n j n i ij I t m H i c H I t m H i c H I t m H i c H I t m H i c H I t m                                                    6 6 5 5 5 6 6 2 6 6 6 6 6 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n j ij j j n j n k n i ij j ij j j n j n H i c H I t m H i c H                                                           (3.49) n là chỉ số cột của thành phần khác không đầu tiên trên hàng thứ i. Trên hai hàng cuối của ma trận K, chỉ có bốn thành phần khác không. Do đó, các thành phần này đƣợc tính toán tƣơng tự nhƣ đối với hai hàng đầu tiên. Chú ý, số lƣợng các thành phần khác không của ma trận K trên hai hàng đầu tiên và hai hàng cuối cùng phụ thuộc vào điều kiện biên của dầm. Do đó, số phƣơng trình để xác định các thành phần của ma trận K trên hai hàng đầu và hai hàng cuối sẽ phụ thuộc vào điều kiện biên. Bằng phƣơng pháp này, các thành phần trên hàng tƣơng ứng với phần tử nguyên vẹn sẽ đƣợc xây dựng chính xác, vì các thành phần của ma trận C đƣợc tính từ dầm còn nguyên vẹn. Khi các thành phần độ cứng trên các hàng tƣơng ứng với phần tử chứa vết nứt đƣợc xây dựng lại thì thành phần giống nhau của ma trận C không tƣơng ứng với phần tử chứa vết nứt, dẫn đến sự sai khác giữa các thành phần đƣợc xây dựng lại của ma trận độ cứng của phần tử chứa vết nứt. Do đó, sẽ xuất hiện sự thay đổi trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử. Tuy nhiên, nếu phần tử thứ i chứa vết nứt, sự thay đổi thêm này chỉ ảnh hƣởng đến ba ma trận con 1K ie  , K ie , 1 K i e  , trong đó ma trận con K ie bị ảnh hƣởng nhiều nhất. Nhƣ vậy, nhận định rằng có sự thay đổi lớn trong sự phân bố chỉ số độ cứng phần tử tại phần tử chứa vết nứt. 68 a. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Khi các tín hiệu đo đƣợc bị nhiễu, ma trận A và B trong phƣơng trình (3.45) và (3.46) sẽ chứa các sai số, do đó sẽ đƣa đến những phƣơng trình của bài toán đặt không chỉnh. Bài toán này rất nhạy cảm khi thay đổi dữ liệu đo đạc, kể cả khi xuất hiện sai số nhỏ cũng có thể làm sai lệch hẳn kết quả tính toán. Do đó, phƣơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov [124] đƣợc sử dụng để giải quyết bài toán này. Chú ý rằng, nhiễu trong phƣơng trình (3.45) và (3.46) chủ yếu có từ hàm đáp ứng tần số H. Do đó, vấn đề quan trọng là phải lọc đƣợc nhiễu của ma trận H trƣớc khi áp dụng phƣơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tính toán ma trận H tại mỗi tần số, véc tơ H trở thành ma trận để mỗi hàng tƣơng ứng với một hàm đáp ứng tần số tại một bậc tự do. Phƣơng pháp phân tích giá trị kỳ dị rút gọn (TSVD) đƣợc áp dụng làm giảm nhiễu trong ma trận H. Các ma trận U, S, V đƣợc phân tích từ ma trận H: .H USV T (3.50) Điều quan trọng của phƣơng pháp SVD (phân tích giá trị kỳ dị) là ở chính các giá trị kỳ dị. Đối với bài toán đặt không chỉnh rời rạc, các giá trị kỳ dị của ma trận H dần tới không. Giá trị kỳ dị lớn nhất tƣơng ứng với thành phần trơn của ma trận H, trong khi giá trị kỳ dị nhỏ hơn tƣơng ứng với nhiễu của ma trận H. Do đó, để lọc ra nhiễu thì các giá trị kỳ dị dƣơng nhỏ đƣợc đặt bằng không [125]: khi , 0 khi i i i i         (3.51) ở đó i là giá trị kỳ dị của ma trận S.  đƣợc chọn sao cho 1    . Ma trận H đƣợc xây dựng lại từ phƣơng trình (3.50). Sau khi lọc nhiễu từ ma trận H, các thành phần quay của ma trận H đƣợc tính từ phƣơng trình (3.38) và áp dụng phƣơng pháp hiệu chỉnh Tik