Luận án Quan hệ giữa hệ số Hilbert hiệu chỉnh và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy

d là hệ tham số tách biệt của M đối với lọc F . Đặt x = x1. Khi đó, M/xM là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen-Macaulay suy rộng F /xM : M/xM ⊃ (xM + M1)/xM ⊃ . . . ⊃ (xM + Ms−1)/xM ⊃ 0, trong đó s = t − 1 nếu dt−1 = 1 và s = t trong các trường hợp còn lại. Hơn nữa, I(F /xM, M/xM) ≤ I(F , M). Chứng minh. Theo Định lý 2.1.10 và Bổ đề 2.1.8, môđun M/xM là Cohen-Macaulay suy rộng dãy và F /xM là lọc Cohen-Macaulay suy rộng của M/xM. Hơn nữa, tiếp tục sử dụng Bổ đề 2.1.8 ta có I(F /xM, M/xM) = s−1∑ i=0 I(Mi/Mi+1 + xM ∩ Mi) ≤ s−1∑ i=0 I(Mi/Mi+1) ≤ I(F , M). Hệ quả được chứng minh.  Bổ đề 2.1.12. Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen- Macaulay suy rộng F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mt. Khi đó, F /H0 m (M) : M/H0 m (M) ⊃ (H0 m (M)+M1)/H 0 m (M) ⊃ . . . ⊃ (H0 m (M)+Mt−1)/H 0 m (M) ⊃ 0 là một lọc Cohen-Macaulay suy rộng của M/H0 m (M). Hơn nữa, I(F , M) = I(F /H0 m (M), M/H0 m (M)) + ℓ(H0 m (M)). Chứng minh. Dễ thấy, F /H0 m (M) là lọc Cohen-Macaulay suy rộng của M/H0 m (M). Do ℓ( H0 m (M) ∩ Mi H0m(M) ∩ Mi+1 ) < ∞ và các dãy khớp ngắn 0 → H0 m (M) ∩ Mi H0m(M) ∩ Mi+1 → Mi/Mi+1 → Mi H0m(M) ∩ Mi + Mi+1 → 0 26 với i = 0, ..., t − 1, ta có I(F /H0 m (M), M/H0 m (M)) = t−1∑ i=0 ( I( Mi Mi+1 ) − ℓ( H0 m (M) ∩ Mi H0m(M) ∩ Mi+1 ) ) = t−1∑ i=0 I( Mi Mi+1 ) − ℓ(H0 m (M)/Mt) = I(F , M) − ℓ(H0 m (M)). Vậy, I(F , M) = I(F /H0 m (M), M/H0 m (M)) + ℓ(H0 m (M)).  Bổ đề 2.1.13. Cho x1, ..., xd là một hệ tham số của M. Gọi q = (x1, ..., xd) và J = (x2, ..., xd). Khi đó, ℓ ( q n+mM : xm 1 qnM ) ≤ ℓ  J n+1M : xm 1 Jn+1M  với mọi số nguyên dương m, n. Chứng minh. Trước hết, ta có q n+mM : xm1 ⊆ (J n+1M + xm1 q nM) : xm1 ⊆ (J n+1M : xm1 ) + q nM với mọi số nguyên dương m, n. Do đó, ℓ ( q n+mM : xm 1 qnM ) ≤ ℓ (J n+1M : xm 1 ) + qnM qnM  ≤ ℓ  J n+1M : xm 1 (Jn+1M : xm 1 ) ∩ qnM  ≤ ℓ  J n+1M : xm 1 Jn+1M  . Bổ đề được chứng minh.  Bổ đề 2.1.14. Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen- Macaulay suy rộng F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mt và q = (x1, . . . , xd) là iđêan tham số tách biệt của M đối với F . Đặt x = x1. Khi đó, với mọi số nguyên dương m, n, thì ℓ ( q n+mM : xm qnM ) ≤ ( n + d − 2 d − 2 ) I(F , M). Chứng minh. Cho n là một số nguyên dương tùy ý. Đặt J = (x2, ..., xd). Dễ thấy, dim(M/Jn+1M) = 1 nên M/Jn+1M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Mặt khác 27 (Jn+1M : xm)/Jn+1M ⊆ H0 m (M/Jn+1M) nên ℓ((Jn+1M : xm)/Jn+1M) ≤ ℓ(H0 m (M/Jn+1M)) = I(M/Jn+1M) với mọi số nguyên dương m. Theo Bổ đề 2.1.13, ℓ ( q n+mM : xm qnM ) ≤ ℓ ( Jn+1M : xm Jn+1M ) ≤ I(M/Jn+1M). Do đó, bổ đề được chứng minh nếu I(M/Jn+1M) ≤ ( n + d − 2 d − 2 ) I(F , M). Thật vậy, trước hết chúng ta chỉ ra I(M/Jn+1M) ≤ t−1∑ i=0 I(Mi/J n+1Mi +Mi+1)+ ℓ(Mt) bằng quy nạp theo độ dài t của lọc F . Nếu t = 1 thì M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và ℓ(M1) < ∞. Từ dãy khớp ngắn 0 → M1 Jn+1M ∩ M1  Jn+1M + M1 Jn+1M → M Jn+1M → M Jn+1M + M1 → 0, ta có I(M/JnM) = I(M/JnM + M1) + ℓ(M1/J nM ∩ M1) ≤ I(M/J nM + M1) + ℓ(M1). Giả sử t > 1. Xét dãy khớp ngắn 0 → Jn+1M ∩ M1 Jn+1M1 → M1 Jn+1M1 → M1 Jn+1M ∩ M1 → 0 và đặt C = Jn+1M ∩ M1/Jn+1M1. Theo Hệ quả 2.1.6 ta có ℓ(C) < ∞, kéo theo M1/(J n+1M ∩ M1), M1/J n+1M1, M/(J n+1M +M1), M1/(J n+1M ∩ M1) là các môđun Cohen-Macaulay suy rộng chiều 1. Do đó, từ hai dãy khớp trên ta có I(M/Jn+1M) ≤ I(M/Jn+1M + M1) + I(M1/J n+1M ∩ M1) = I(M/Jn+1M + M1) + I(M1/J n+1M1) − ℓ(C). Theo giả thiết quy nạp I(M/Jn+1M) ≤ t−1∑ i=0 I(Mi/J n+1Mi + Mi+1) + ℓ(Mt). Chú ý rằng với i = (2, . . . d) thì j(i) = d j − 1 với mọi j = 0, ..., t − 1. Do đó, I(M/Jn+1M) ≤ t∑ i=0 ( n + di − 2 di − 2 ) I(Mi/Mi+1) ≤ ( n + d − 2 d − 2 ) I(F , M) theo Bổ đề 2.1.8.  28 2.2 Chặn đều chỉ số chính quy cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Theo D. Mumford [22, p. 101, Theorem], chỉ số chính quy hình học của một đại số phân bậc chuẩn có thể ước lượng thông qua hàm Hilbert của nó. Kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp môđun phân bậc hữu hạn sinh. Tuy nhiên ở đây, chúng tôi chỉ phát biểu cho trường hợp môđun phân bậc liên kết như sau. Bổ đề 2.2.1. Cho I là một iđêan m-nguyên sơ của R. Lấy x ∈ I\I2 sao cho phần tử khởi đầu x∗ là phần tử lọc chính quy của GI(M) và n là số nguyên thỏa mãn g-reg(GI(M)/x ∗GI(M)) ≤ n. Khi đó g-reg(GI(M)) ≤ n + pGI(M)(n) − hGI(M)/L(n), trong đó pGI(M)(n) là đa thức Hilbert của GI(M), L là môđun con có độ dài hữu hạn lớn nhất của GI(M) và hGI(M)/L(n) là hàm Hilbert của GI(M)/L. Chứng minh. Xem [2, Định lý 1.2.7].  Cho q là iđêan tham số của M. Theo Bổ đề 1.3.6(ii), ta có reg(Gq(M)) ≤ reg(Gq(M/H 0 m (M))) + ℓ(H0 m (M)). Để chặn trên cho reg(Gq(M)) ta cần chặn trên cho reg(Gq(M/H0m(M))). Do đó, có thể giả thiết rằng H0 m (M) = 0. Khi đó, reg(Gq(M)) = g-reg(Gq(M)) theo Bổ đề 1.3.6(i). Chọn x ∈ q\q2 sao cho phần tử khởi đầu x∗ là phần tửGq(M)-lọc chính quy. Theo Bổ đề 1.3.7(i), ta có g-reg(Gq(M)/x ∗Gq(M)) = g-reg(Gq(M/xM)). Theo Bổ đề 2.2.1, với mọi n ≥ g-reg(Gq(M/xM), ta có g-reg(Gq(M)) ≤ n + pGq(M)(n) − hGq(M)/L, trong đó L là môđun con có độ dài hữu hạn lớn nhất của Gq(M). Vậy, trước hết cần ước lượng pGq(M)(n) − hGq(M)/L(n). 29 Bổ đề 2.2.2. Cho q là iđêan tham số của M và x ∈ q \ q2 sao cho phần tử khởi đầu x∗ là phần tử lọc chính quy của Gq(M). Khi đó, với mọi n ≥ reg(Gq(M/xM)), tồn tại số nguyên dương m sao cho pGq(M)(n) − hGq(M)/L(n) ≤ ℓ( q n+1M : x qnM ) + ℓ( q n+m+1M : xm qn+1M ), với L là môđun con lớn nhất có độ dài hữu hạn của Gq(M). Chứng minh. Xem [2, Bổ đề 1.4.8].  Bổ đề 2.2.3. Cho q là iđêan tham số tách biệt của M đối với lọc F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Ms. Khi đó, luôn tồn tại một hệ tham số tách biệt x1, ..., xd của M đối với lọc F sao cho phần tử khởi đầu x∗ 1 là phần tử Gq(M)-lọc chính quy và q = (x1, ..., xd). Chứng minh. Giả sử y1, ..., yd là một hệ tham số tách biệt của M đối với lọc F sao cho q = (y1, ..., yd). Đặt ki = dim Mi với mọi i = 0, ..., s. Ta xét hai trường hợp sau. Trường hợp 1: ks ≤ 0 thì qMs = 0. Khi đó, theo Định lý tránh nguyên tố, luôn chọn được x1 ∈ q \ mq và x1 < p với mọi p ∈ Ass(Ms−1) \ {m} sao cho phần tử khởi đầu x∗ 1 là Gq(M)-lọc chính quy. Chú ý rằng, (yks−1+1, ..., yd) ⊆ Ann(Ms−1) ⊆ ⋂ p∈Ass(Ms−1)\{m} p. Khi đó, luôn chọn được các phần tử x1, ..., xks−1 ∈ q \mq là một phần hệ tham số của M sao cho xi < p với mọi p ∈ Ass(Ms−1) \ {m} và mọi i = 1, ..., ds−1. Đặt x j = y j với mọi j = ds−1+1, ..., d ta có x1, ..., xd là hệ tham số tách biệt của M và q = (x1, ..., xd). Trường hợp 2: ks > 0, ta xét lọc F ′ : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Ms ⊃ 0. Trở lại trường hợp 1, ta luôn chọn được hệ tham số tách biệt x1, ..., xd của M đối với lọc F ′ sao cho q = (x1, ..., xd) và x∗1 là phần tử Gq(M)-lọc chính quy. Chú ý rằng mọi hệ tham số tách biệt của M đối với F ′ đều là hệ tham số tách biệt đối với F .  Do đó, nếu q = (x1, ..., xd) là iđêan tham số tách biệt của M đối với lọc F , ta luôn có thể giả sử x∗ 1 là phần tử lọc chính quy của Gq(M). Hệ quả 2.2.4. Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mt là lọc Cohen-Macaulay suy rộng của M và q = (x1, . . . , xd) là iđêan 30 tham số tách biệt của M đối với F . Lấy x = x1 ∈ q\q2 sao cho phần tử khởi đầu x∗ là phần tử lọc chính quy của Gq(M). Khi đó g-reg(Gq(M)) ≤ n + ( n + d − 2 d − 2 ) I(F , M) + ( n + d − 1 d − 2 ) I(F , M) với mọi n ≥ reg(Gq(M/xM)) + 1. Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.1, với L là môđun con lớn nhất có độ dài hữu hạn của Gq(M) ta có g-reg(Gq(M)) ≤ n + pGq(M)(n) − hGq(M)/L với mọi n ≥ reg(Gq(M/xM)) + 1 > g-reg(Gq(M/xM)). Theo Bổ đề 2.2.2 và Bổ đề 2.1.14, ta có điều phải chứng minh.  Trước hết, ta xét chỉ số chính quy trong trường hợp M là môđun Cohen-Macaulay dãy. Mệnh đề 2.2.5. Cho M là một môđun Cohen-Macaulay dãy. Khi đó reg(Gq(M)) = 0 với mọi iđêan tham số tách biệt q của M. Chứng minh. Cho D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ... ⊃ Dt = H0m(M) là lọc chiều của M. Ta chứng minh quy nạp theo t. Nếu t = 1, lọc chiều có dạng D : M = D0 ⊃ D1 = H 0 m (M). Với mọi số nguyên n ≥ 0, từ các dãy khớp ngắn 0 → q nM ∩ H0 m (M) qn+1M ∩ H0m(M) → q nM qn+1M → q nM + H0 m (M) qn+1M + H0m(M) → 0, ta có dãy khớp ngắn các môđun phân bậc 0 → K → Gq(M) → Gq(M/H 0 m (M)) → 0, trong đó K = ⊕ n≥0 Kn với Kn = q nM ∩ H0 m (M) qn+1M ∩ H0m(M) . Khi đó, theo Bổ đề 1.2.6 ta có K0 = H 0 m (M) và Kn = 0 với n > 0. Do đó reg(Gq(M)) = 0 vì M/H0m(M) là một môđun Cohen-Macaulay. Giả sử t > 1 và đặt a = (xi|1 ≤ i ≤ d1). Do M/D1 là một môđun Cohen-Macaulay và tiếp tục sử dụng Bổ đề 1.2.6, ta có q nM ∩ D1 = q nD1 = a nD1 31 với mọi n ≥ 0. Dẫn đến có dãy khớp ngắn 0 → Ga(D1) → Gq(M) → Gq(M/D1) → 0. Khi đó theo quy nạp và dãy khớp trên ta có reg(Gq(M)) ≤ max{reg(Ga(D1)), reg(Gq(M/D1))} = max{reg(Ga(D1)), 0} = 0.  Sau đây, chúng tôi đưa ra một chặn đều cho chỉ số chính quy của môđun phân bậc liên kết của môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Đây cũng là kết quả chính của chương này. Định lý 2.2.6. Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy và F là lọc Cohen- Macaulay suy rộng của M. Khi đó, tồn tại hằng số CF sao cho reg(Gq(M)) ≤ CF với mọi iđêan tham số tách biệt q của M đối với F . Chứng minh. Giả sử lọc có dạng F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mt. Ta chứng minh quy nạp theo d = dim M rằng hằng số CF (chỉ phụ thuộc vào lọc F ) trong Định lý 2.2.6 có thể xác định bởi CF = (3I(F , M)) d! − 2I(F , M). Cho d = 1 và q = (x) là iđêan tham số tách biệt của M. Đặt L = H0 m (M). Khi đó, ta có dãy khớp ngắn 0 −→ K = ⊕ n≥0 Kn −→ Gq(M) −→ Gq(M/L) −→ 0, trong đó Kn = xnM ∩ L/xn+1M ∩ L  xnL/xn+1L. Do M/L là môđun Cohen- Macaulay và Kn = 0 với mọi n ≥ ℓ(L), ta có reg(Gq(M) ≤ reg(Gq(M/L)) + ℓ(L) = ℓ(L) = I(F , M) = CF . 32 Cho d ≥ 2. Nếu I(F , M) = 0 thì M là một môđun Cohen-Macaulay dãy. Do đó, reg(Gq(M)) = 0 theo Mệnh đề 2.2.5. Vậy không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng I(F , M) ≥ 1. Mặt khác, reg(Gq(M)) ≤ reg(Gq(M/L)) + ℓ(L) theo Bổ đề 1.3.6(ii). Thêm vào đó, I(F , M) = I(F /L, M/L) + ℓ(L) theo Bổ đề 2.1.12. Vì vậy, có thể giả thiết thêm rằng H0 m (M) = 0. Khi đó, ta chỉ cần chỉ ra g-reg(Gq(M)) ≤ CF với mọi iđêan tham số tách biệt q của M đối với lọc F . Theo Bổ đề 2.2.3, luôn tồn tại hệ tham số tách biệt x1, ..., xd của M đối với lọc F sao cho q = (x1, . . . , xd). Hơn nữa, x = x1 có phần tử khởi đầu x∗ là một phần tử lọc chính quy của Gq(M). Theo Hệ quả 2.2.4, với mọi n ≥ reg(Gq(M/xM)) + 1 ta có g-reg(Gq(M)) ≤ n + ( n + d − 2 d − 2 ) I(F , M) + ( n + d − 1 d − 2 ) I(F , M) ≤ n + (n + 1)d−2I(F , M) + (n + 2)d−2I(F , M), trong đó đẳng thức cuối có thể dễ dàng kiểm tra. Theo Hệ quả 2.1.11 ta có M/xM là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen-Macaulay suy rộng F /xM : M/xM ⊃ (xM + M1)/xM ⊃ . . . ⊃ (xM + Ms−1)/xM ⊃ 0, trong đó s = t − 1 nếu dt−1 = 1 và s = t trong các trường hợp còn lại. Theo quy nạp và I(F /xM, M/xM)] ≤ I(F , M), ta có reg(Gq(M/xM)) ≤ [(3I(F /xM, M/xM)] (d−1)! − 2I(F /xM, M/xM) ≤ [3I(F , M)](d−1)! − 2I(F , M). Kéo theo, chọn n = (3I(F , M))(d−1)! − 2I(F , M) + 1 ≥ 2 và chú ý rằng n + (n + 1)d−2I(F , M) + (n + 2)d−2I(F , M) ≤ (n + 2I(F , M) − 1)d − 2I(F , M). Khi đó, g-reg(Gq(M)) ≤ (n + 2I(F , M) − 1) d − 2I(F , M) ≤ (3I(F , M))d! − 2I(F , M).  33 Cho M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó mọi hệ tham số của M đều là hệ tham số tách biệt đối với lọc Cohen-Macaulay suy rộng F : M ⊃ 0. Do đó, kết quả chính trong [25] được xem như hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.6. Hệ quả 2.2.7. Cho M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó tồn tại hằng số C sao cho reg(Gq(M)) ≤ C với mọi iđêan tham số q của M. Tiếp theo, chúng tôi có kết quả về chặn đều cho chỉ số chính quy đối với một vài môđun con của Gq(M) như sau. Hệ quả 2.2.8. Với M và F như trong Định lý 2.2.6. Đặt Gi(q, M) = ⊕ n≥0 (qnM ∩ Mi)/(q n+1M ∩ Mi). Khi đó reg(Gi(q, M)) ≤ CF + 1 với mọi i = 0, ..., t, và mọi iđêan tham số tách biệt q của M đối với lọc F . Chứng minh. Từ dãy khớp ngắn sau 0 −→ Gi(q, M) −→ Gq(M) −→ Gq(M/Mi) −→ 0 ta có reg(Gi(q, M)) ≤ max{reg(Gq(M)), reg(Gq(M/Mi)) + 1} ≤ CF + 1.  Cho I = (x1, .., xs) là một iđêan của R. Đại số Rees R[It] = ⊕ n≥0 Intn của I là một vành thương của vành đa thức s biến trên R. Khi đó, tồn tại một toàn cấu φ : R[T1, ...,Ts] −→ R[It] xác định bởi Ti 7→ xit. Hạt nhân J của φ là một iđêan thuần nhất trong R[T1, ...,Ts], gọi f1, . . . , fm là hệ sinh tối tiểu thuần nhất của J. Khi đó kiểu quan hệ của I được định nghĩa và ký hiệu như sau reltype(I) = max{deg f1, . . . , deg fm}. Theo N. V. Trung [34, Proposition 4.1] ta có reltype(I) ≤ reg(R[It]) + 1. Bên cạnh đó, reg(R[It]) = reg(GI(R)) theo A. Ooishi [27, Lemma 4.8]. Do đó, reltype(I) ≤ reg(GI(R))+1. Khi đó kết quả sau được xem như hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.6. 34 Hệ quả 2.2.9. Cho R là một vành Cohen-Macaulay suy rộng dãy chiều d và F : R = I0 ⊃ I1 ⊃ . . . ⊃ It là một lọc suy rộng của R. Khi đó tồn tại hằng số C sao cho reltype(x1, ..., xd) ≤ C với mọi hệ tham số tách biệt x1, ..., xd của R đối với lọc F . Lưu ý, kết quả chính của H. J. Wang trong [41] về chặn đều kiểu quan hệ cho iđêan tham số của một vành Cohen-Macaulay suy rộng được xem như một trường hợp của Hệ quả 2.2.9. Chú ý 2.2.10. Lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát, tập các hệ tham số thực sự lớn hơn tập các hệ tham số tách biệt, ngay cả trong các môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Vì vậy, tồn tại các vành Cohen-Macaulay suy rộng dãy mà chỉ số chính quy không bị chặn với mọi hệ tham số như ví dụ sau đây: Xét vành địa phương R = k[[X,Y,Z,W]]/(W2,WZ) được đưa ra trong [3, Example 2.1 ], với k là một trường. Khi đó dễ dàng kiểm tra dãy lọc các iđêan R = R0 ⊃ (W)/(W 2,Z) ∩ (W) = R1 ⊃ 0 là lọc chiều của R, hơn thế R/R1  k[[X,Y,Z]] là Cohen-Macaulay và R1 là một R- môđun Cohen-Macaulay suy rộng chiều 2. Vì vậy R là một vành Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Ký hiệu x, y, z,w là các ảnh của X,Y,Z,W trong R và đặt a1,n = xn−1y + zn, a2,n = xn, a3,n = yn. Trong [3, Example 2.1], họ đã chỉ ra rằng Qn = (a1,n, a2,n, a3,n) có kiểu đa thức tổi thiểu là n, nói cách khác có chỉ số chính quy tối thiểu là n − 1. Lưu ý rằng, với mọi n ≥ 2 iđêans Qn không là iđêan tham số tách biệt đối với bất kỳ lọc Cohen-Macaulay suy rộng. Thật vậy giả sử u1, u2, u3 là một hệ tham số tách biệt của R đối với lọc Cohen-Macaulay suy rộng F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ 0 sao cho Qn = (u1, u2, u3). Khi đó luôn có ma trận B =  b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33  để B  a1,n a2,n a3,n  =  u1 u2 u3  sao cho det(B) khả nghịch. Không mất tổng quát có thể giả sử u1M = 0. Do ℓ(R1/M1) < ∞ nên tồn tại số nguyên m đủ lớn sao cho um1 R1 = 0. Lưu ý, R1 = (W)/(W2,WZ), cho nên um1 ∈ (W 2,WZ) : W = (W,Z). Vì vậy, u1 = b11a1,n+ b12a2,n+b13a3,n ∈ (W,Z). Dẫn đến b11(Xn−1Y +Zn)+b12Xn+b13Yn ∈ (W,Z). Từ đó, ta có b12 ∈ (Y,Z,W), b13 ∈ (X,Z,W) và b11 ∈ (Xn,Yn,Z,W) : Xn−1Y ⊆ (X,Y,Z,W) với mọi n ≥ 2. Do đó, det(B) không khả nghịch. Vì vậy, Qn không là iđêan tham số tách biệt với bất kỳ lọc Cohen-Macaulay suy rộng. 35 Cho I là một iđêan m-nguyên sơ của R. Theo Bổ đề 1.4.1, ta có ρI(M) ≤ reg(GI(M)). Do đó, kết quả sau là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.6. Hệ quả 2.2.11. Cho M, F và hằng số CF như trong Định lý 2.2.6. Khi đó, ρq(M) ≤ CF với mọi iđêan tham số tách biệt q của M đối với lọc F . 36 Chương 3 Về một hiệu chỉnh của hàm Hilbert-Samuel Cho q là một iđêan tham số của M. Xét hàm (biến n) Had q,M(n) = ℓ(M/q n+1M) − d∑ i=0 adegi(q; M) ( n + i i ) , trong đó adegi(q; M) là bậc số học thứ i của M đối với iđêan tham số q, được gọi là hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel của M đối với iđêan q. Trong chương này, chúng tôi chỉ ra rằng nếu q là một iđêan tham số tách biệt thì luôn tồn tại số nguyên dương n0 đủ lớn sao cho hàm số Hadq,M(n) tăng và nhận giá trị không âm với n ≥ n0. Hơn nữa, nếu M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, số nguyên n0 tồn tại độc lập với iđêan hệ tham số tách biệt q. Chương 3 được viết dựa trên bài báo [26]. 3.1 Bậc số học Trước tiên, chúng tôi cần mở rộng khái niệm lọc chiều như sau. Ký hiệu 3.1.1. ChoD : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ... ⊃ Dt = H0m(M) là lọc chiều của M. Tập các lọc F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mt các môđun con của M có cùng độ dài với lọc chiều sao cho ℓ(Di/Mi) < ∞ với mọi i = 0, ..., t được ký hiệu là F (M). Dễ thấy, nếu F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mt là một lọc của F (M) thì dim Mi = dim Di = di với mọi i = 0, ..., t − 1. Chú ý 3.1.2. Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy thì F (M) chính là tập tất cả các lọc Cohen-Macaulay suy rộng của M. 37 Sau đây chúng tôi đưa ra một vài tính chất của các lọc trong F (M). Nhắc lại, Ass(M) là tập các iđêan nguyên tố liên kết của M và Assh(M) là tập các iđêan nguyên tố liên kết có chiều bằng chiều của M. Bổ đề 3.1.3. Cho F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Ms là một lọc các môđun con của M. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) s = t và F ∈ F (M). (ii) ℓ(Mt) < ∞ và Ass(Mi/Mi+1) ⊆ Assh(Mi/Mi+1) ∪ {m} với mọi i = 0, ..., t − 1. Chứng minh. Xem [9, Lemma 2.2]  Cho F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mt là một lọc của F (M) và x là một phần tử lọc chính quy của M. Khi đó, lọc F /xM có dạng giống nhữ Hệ quả 2.1.11. Cụ thể, F /xM : M/xM ⊃ (M1 + xM)/xM ⊃ ... ⊃ (Ms−1 + xM)/xM ⊃ 0 là một lọc của M/xM (lọc thỏa mãn điều kiện chiều), trong đó s = t−1 nếu dt−1 = 1 và s = t trong các trường hợp còn lại. Bổ đề 3.1.4. Cho F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mt và N : M = N0 ⊃ N1 ⊃ ... ⊃ Nt là các lọc có cùng độ dài với lọc chiều của M. Khi đó, các phát biểu sau là đúng. (i) Nếu Ni ⊆ Mi và ℓ(Mi/Ni) < ∞ với mọi i = 0, ..., t, ta có F ∈ F (M) khi và chỉ khi N ∈ F (M). (ii) Cho x là một phần tử lọc chính quy của M và F ,N ∈ F (M). Khi đó, F /xM ∈ F (M/xM) khi và chỉ khi N/xM ∈ F (M/xM). Chứng minh. (i) Gọi D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ... ⊃ Dt = H0m(M) là lọc chiều của M. Xét các dãy khớp ngắn 0 −→ Mi/Ni −→ Di/Ni −→ Di/Mi −→ 0 với mọi i = 1, ..., t. Do ℓ(Mi/Ni) < ∞, dẫn đến ℓ(Di/Mi) < ∞ khi và chỉ khi ℓ(Di/Ni) < ∞. Do đó, F ∈ F (M) khi và chỉ khi N ∈ F (M). (ii) Trước hết, ta xét các lọc D/xM : M/xM ⊃ (D1 + xM)/xM ⊃ ... ⊃ (Ds−1 + xM)/xM ⊃ 0, F /xM : M/xM ⊃ (M1 + xM)/xM ⊃ ... ⊃ (Ms−1 + xM)/xM ⊃ 0, N/xM : M/xM ⊃ (N1 + xM)/xM ⊃ ... ⊃ (Ns−1 + xM)/xM ⊃ 0, 38 trong đó s = t − 1 nếu dt−1 = 1 và s = t trong các trường hợp còn lại. Lưu ý rằng F , N ∈ F (M), kéo theo ℓ(Di + xM/Mi + xM) < ∞ và ℓ(Di + xM/Ni + xM) < ∞ với mọi i = 1, ..., s. Theo (i) của bổ đề này thì F /xM ∈ F (M/xM) khi và chỉ khi D/xM ∈ F (M/xM) vàD/xM ∈ F (M/xM) khi và chỉ khiN/xM ∈ F (M/xM). Vì vậy, ta có điều cần chứng minh.  Định nghĩa 3.1.5. ([4],[37],[38]) Cho I là một iđêan m-nguyên sơ của R. Bậc số học thứ i của M đối với iđêan I được định nghĩa như sau adegi(I; M) = ∑ p∈Ass(M), dim R/p=i multM(p)e0(I; R/p), trong đó multM(p) là độ dài của Rp-môđun H0pRp(Mp) và được gọi là độ dài bội của M tại iđêan nguyên tố p. Kết quả sau đưa ra mối liên hệ giữa bậc số học và bội của các môđun trong lọc chiều. Bổ đề 3.1.6. Cho F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mt là một lọc của F (M) và I là một iđêan m-nguyên sơ của R. Khi đó, adegi(I; M) =  ℓ(H0 m (M)) nếu i = 0, e0(I; M j) nếu d j = i với j = 0, ..., t − 1, 0 trong các trường hợp còn lại. Chứng minh. Theo [9, Proposition 3.2], ta có adegi(I; M) =  ℓ(H0 m (M)) nếu i = 0, e0(I; D j) nếu d j = i với j = 0, ..., t − 1, 0 trong các trường hợp còn lại. Hơn nữa, do F ∈ F (M) cho nên ℓ(Di/Mi) < ∞. Do dó, e0(I; Di) = e0(I; Mi) với mọi i = 0, ..., t − 1.  Sau đây, chúng tôi chỉ ra bậc số học thứ i > 0 của M và M/H0 m (M) đối với một iđêan m-nguyên sơ là như nhau. Hệ quả 3.1.7. Cho I là một iđêan m-nguyên sơ của R. Khi đó adegi(I; M/H 0 m (M)) = adegi(I; M) với mọi i = 1, ..., d. 39 Chứng minh. Gọi D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ... ⊃ Dt = H0m(M) là lọc chiều của M. Dễ thấy, D/H0 m (M) : M/H0 m (M) ⊃ D1/H 0 m (M) ⊃ ... ⊃ 0 là lọc chiều của môđun M/H0 m (M). Vậy, theo Bổ đề 3.1.6 và Bổ đề 1.4.2 ta có adegdi(I; M/H 0 m (M)) = e0(I; Di/H 0 m (M)) = e0(I; Di) = adegdi(I; M) với mọi di > 0. Còn lại, nếu 0 < j , di thì adeg j(I; M) = 0 = adeg j(I; M/H 0 m (M)) với mọi i = 0, ..., t − 1.  Kết quả sau so sánh bậc số học của môđun M và môđun M/xM, trong đó x là một phần tử lọc chính quy của M. Đây là một tính chất quan trọng, giúp chúng tôi có thể áp dụng chứng minh quy nạp cho các hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel. Bổ đề 3.1.8. Cho F là một lọc của F (M) và q là iđêan tham số của M. Giả sử tồn tại phần tử x ∈ q là một phần tử lọc chính quy của M sao cho F /xM ∈ F (M/xM). Khi đó, adegi(q; M/xM) = adegi+1(q; M), với mọi i ≥ 1. Hơn nữa, nếu q = (x, x2, ..., xd) là iđêan tham số tách biệt của M đối với lọc F , thì adeg0(q; M/xM) ≥ adeg1(q; M). Chứng minh. Gọi D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ... ⊃ Dt = H0m(M) là lọc chiều của M. Khi đó, lọcD/xM ∈ F (M/xM) theo Bổ đề 3.1.4(ii) và có dạng D/xM : M/xM ⊃ (D1 + xM)/xM ⊃ ... ⊃ (Ds−1 + xM)/xM ⊃ 0, trong đó s = t − 1 nếu dt−1 = 1 và s = t trong các trường hợp còn lại. Do x là phần tử lọc chính quy của M, dẫn đến x là một phần tử chính quy của M/Di. Ta có xM ∩ Di = xDi với mọi i = 1, ..., t. Do D/xM ∈ F (M/xM) và theo Bổ đề 3.1.6, ta có adegdi−1(q; M/xM) = e0(q; (Di + xM)/xM) = e0(q; (Di/xDi) = e0(q; Di) = adegdi(q; M) với mọi di ≥ 2. Nếu 1 ≤ i , dim((Di + xM)/xM) = d j − 1 thì 2 ≤ i+ 1 , di với mọi j = 0, ..., s − 1. Do đó, adegi(q; M/xM) = 0 = adegi+1(q; M). 40 Cuối cùng, nếu dt−1 > 1 thì adeg1(q; M) = 0 ≤ adeg0(q; M). Giả sử dt−1 = 1 và F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mt. Vì q = (x, x2, ..., xd) là iđêan tham số tách biệt của M đối với lọc F ∈ F (M) và theo Bổ đề 3.1.6, ta có adeg1(q; M) = e0(q; Mt−1) = e0(x; Mt−1) = e0(x; D1) ≤ ℓ(Dt−1/xDt−1). Mặt khác, H0m(M/xM) ⊇ (Dt−1+ xM)/xM  Dt−1/(Dt−1∩ xM) = Dt−1/xDt−1. Điều này dẫn đến adeg1(q; M) ≤ ℓ(Dt−1/xDt−1) ≤ adeg0(q; M/xM).  Phần tiếp theo của tiết này, chúng tôi sẽ chỉ ra luôn tồn tại phần tử x thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 3.1.8. Kết quả sau đây của S. Goto và Y. Nakamura [15, Lemma 3.2, Proposition 3.3] cho vành địa phương Noether, tuy nhiên có thể dễ dàng mở rộng cho R-môđun hữu hạn sinh như sau. Bổ đề 3.1.9. Giả sử R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địa phương và Ass(M) ⊆ Assh(M) ∪ {m}. Khi đó, các phát biểu sau là đúng. (i) Tập các iđêan nguyên tố A = { p ∈ Spec(R) | htR(p) > 1 = depth(Mp), p , m } là hữu hạn. (ii) Cho q là iđêan tham số của M. Luôn tồn tại x ∈ q\q2 sao cho x < ⋃ p∈A∪Ass(M)\{m} p. Khi đó, Ass(M/xM) ⊆ Assh(M/xM) ∪ {m}. Chú ý 3.1.10. Cho D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ . . . ⊃ Dt = H0m(M) là lọc chiều của M. Đặt Ri = R/AnnR(Di/Di+1). Theo Chú ý 1.1.2(i), ta có AssR(Ri) = AsshR(Ri). Khi đó, nếu R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địa phương, theo Bổ đề 3.1.9(i), tập các iđêan nguyên tố Ai = { p ∈ Spec(Ri) | htRi(p) > 1 = depth((Di/Di+1)p) } là hữu hạn với mọi i = 0, ..., t − 1. Do đó, A(M) = ( t−1⋃ i=0 Ai) ∪ AssR(M)  \ {m} là tập hữu hạn các iđêan nguyên tố. 41 Kết quả sau đây chỉ ra giả thiết của Bổ đề 3.1.8 luôn được thỏa mãn. Bổ đề 3.1.11. Giả sử R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Cho q là iđêan tham số của M và F là một lọc của F (M). Khi đó, (i) Luôn tồn tại là phần tử bề mặt x của M đối với iđêan q sao cho x < p với mọi p ∈ A(M). Hơn nữa, F /xM ∈ F (M/xM). (ii) Với x như trong mệnh đề (i), nếu q là iđêan tham số tách biệt của M đối với lọc F thì luôn tồn tại hệ tham số tách biệt x1, ..., xd của M đối với F sao cho x = x1 và q = (x1, ..., xd). Chứng minh. (i) Theo Chú ý 3.1.10, tập A(M) là hữu hạn. Vì vậy, luôn tồn tại x theo Định lý tránh nguyên tố. Gọi D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ... ⊃ Dt = H0m(M) là lọc chiều của M. Theo cách chọn x, dễ thấy nó là phần tử lọc chính quy của M. Lọc D/xM có dạng D/xM : M/xM ⊃ D1 + xM/xM ⊃ ... ⊃ Ds−1 + xM/xM ⊃ 0, trong đó s = t − 1 nếu dt−1 = 1 và s = t trong các trường hợp còn lại. Do x là phần tử lọc chính quy của M, cho nên sẽ là phần tử chính quy của M/Di. Do đó, xM ∩ Di = xDi với mọi i = 0, ..., t − 1. Dẫn đến, Di + xM Di+1 + xM  Di Di+1 + xM ∩ Di  Di Di+1 + xDi  Di/Di+1 x(Di/Di+1) . Theo Chú ý 1.1.2(i), Ass(Di/Di+1) = Assh(Di/Di+1). Áp dụng Bổ đề 3.1.9(ii) cho môđun Di/Di+1 với mọi i = 0, ..., t− 1 và theo Bổ đề 3.1.3, ta đượcD/xM ∈ F (M). Do đó, F /xM ∈ F (M) theo Bổ đề 3.1.4(ii). (ii) Giả sử F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mt, luôn có q ⊆ Ann(Mt). Do đó, ta có thể chứng minh tiếp tương tự như Bổ đề 2.2.3.  Kết quả sau đưa ra sự liên hệ với bậc số học của địa phương hóa. Bổ đề 3.1.12. Cho F là một lọc của F (M), q = (x1, ..., xd) là một iđêan tham số tách biệt của M đối với lọc F và a = (x j+1, ..., xd) là iđêan của R. Khi đó với mọi i = 0, ..., d −