Luận án Xây dựng và khảo sát mô hình khối lượng neutrino với đối xứng vị A4 bằng phương pháp nhiễu loạn

phần trong mô hình chuẩn với đối xứng vị A4 × ZN [109]. 48 Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(1)4 Khi đó, các trường thành phần lepton và vô hướng sẽ biến đối theo nhóm SU(2)L× U(1)Y × A4 × Z3 × Z4 và được biểu diễn trong bảng 2.2. `L e˜R µ˜R τ˜R φh N ϕE ϕN ξ ξ ′ ξ ′′ SU(2)L 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 A4 3 1 1 ′ 1 ′′ 1 3 3 3 1 1′ 1′′ Z3 ω 2 1 1 1 ω2 ω 1 ω ω ω ω2 Z4 i 1 1 1 1 i i -1 -1 i i Bảng 2.2: Các trường lepton và vô hướng với nhóm biến đổi A4, Z3, Z4. Trong mô hình này chúng tôi sử dụng biểu diễn nhóm A4 theo cơ sở T chéo (2.5) và quy tắc nhân nhóm (2.2) có các biểu diễn (2.7). Sau khi có cấu trúc mô hình, nhiệm vụ tiếp theo chúng ta sẽ xét các tương tác giữa các trường vô hướng với nhau và tương tác Yukawa. 2.3 Phần vô hướng Với các trường thành phần của mô hình được biểu diễn trong bảng 2.2, thì thế tương tác của các trường ϕE, ϕN , ξ, ξ ′, ξ′′ có dạng V(φh, ϕE, ϕN , ξ, ξ′ , ξ′′) = V1(φh) + V2(ϕE, ξ′ , ξ′′) + V3(ϕN , φh, ξ, ξ′ , ξ′′) + V4(ξ, φh). (2.8) Trong đó, V1(φh) = µ2h(φ†hφh) + λh(φ†hφh)2, (2.9) V2(ϕE, ξ′ , ξ′′) = α1(ϕEϕE)1(ϕEϕE)1 + α2(ϕEϕE)1′ (ϕEϕE)1′′ + α3(ϕEϕE)3s(ϕEϕE)3s + α4(ϕEϕE)3a(ϕEϕE)3a + α5(ϕEϕE)3s(ϕEϕE)3a + [α6 2 (ϕEϕE)1(ξ ′ ξ ′′ )1 + h.c. ] , (2.10) 49 Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(1)4 V3(ϕN , φh, ξ, ξ′ , ξ′′) = µ2 ( ϕ†NϕN ) 1 + λ1 ( ϕ†NϕN )2 1 + 2λ2 ( ϕ†NϕN ) 1′ ( ϕ†NϕN ) 1′′ + λ3 ( ϕ†NϕN ) 3s ( ϕ†NϕN ) 3s + λ4 ( ϕ†NϕN ) 3a ( ϕ†NϕN ) 3a + 2λ5 ( ϕ†NϕN ) 3s ( ϕ†NϕN ) 3a + γ1 ( ϕ†NϕN ) 1 ( ξ†ξ ) 1 + γ2 ( ϕ†NϕN ) 1′′ ( ξ ′′†ξ ′′ ) 1′ + γ3 ( ϕ†NϕN ) 1′ ( ξ ′†ξ ′ ) 1′′ + γ ( ϕ†NϕN ) 1 ( φ†hφh ) 1 , (2.11) và V4(ξ, φh) = η21 ( ξ†ξ ) 1 + χ1 ( ξ†ξ )2 1 + χ2 ( ξ†ξ ) 1 ( φ†hφh ) 1 , (2.12) ở đây µh, µ, αi, λk, γj, η1, ξ1,2 là hệ số của thế tương tác, và để thuận tiện cho tính toán về sau ta có thể nhân hệ số λ2 và λ5 với 2 ở trong (2.11). Trong mô hình sự có mặt của đối xứng Z3 × Z4 làm nhiệm vụ loại trừ các tương tác giữa trường ϕE và ϕN , như các tương tác V5(ϕE, ϕN) = ρ1(ϕEϕE)3s(ϕ † NϕN)3s + ρ2(ϕEϕE)3s(ϕ † NϕN)3a + ρ3(ϕEϕE)3a(ϕ † NϕN)3s + ρ4(ϕEϕE)3a(ϕ † NϕN)3a + ρ5(ϕEϕE)1(ϕ † NϕN)1 + ρ6(ϕEϕE)1′ (ϕ † NϕN)1′′ + ρ7(ϕEϕE)1′′ (ϕ † NϕN)1′ + h.c., (2.13) V6(ϕE, ϕN) =κ1(ϕEϕE)3sϕN + κ2(ϕEϕE)3aϕN + κ3(ϕ † NϕN)3sϕE + κ4(ϕ † NϕN)3aϕE + h.c. (2.14) và tương tác Yukawa giữa ϕN với các lepton tích −LfY = λfe (lLφh)e˜R ϕN Λ + λfµ ( lLφh )′′ µ˜R ϕN Λ + λfτ ( lLφh )′ τ˜R ϕN Λ + gfN ( N cN ) ϕE + h.c., (2.15) vì nếu các tương tác này xuất hiện, chúng sẽ phá huỷ hoàn toàn cấu trúc của khối lượng lepton tích mà những cấu trúc này đã được mô tả và kiểm chứng trong mô hình chuẩn. Các trường vô hướng ξ, ξ′, ξ′′, ϕE := (φ1, φ2, φ3) và ϕN := (ϕ1, ϕ2, ϕ3) có trung bình 50 Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(1)4 chân không như 〈ξ〉 = σa, 〈ξ′〉 = σb, 〈ξ′′〉 = σc, (2.16) 〈φh〉 = vh, 〈ϕE〉 = (v1, v2, v3) , 〈ϕN〉 = (u1, u2, u3) . (2.17) Với thế tương tác trên, chúng ta có thể xác định giá trị trung bình chân không của các trường ϕE và ϕN bằng cách xét điều kiện thế năng cực trị của thế tương tác. Trước hết, chúng tôi xét thế năng cực trị đối với trường ϕE = (φ1, φ2, φ3) là ∂V ∂φi ∣∣∣∣ 〈φi〉=vi = 0, (i = 1, 2, 3). (2.18) Từ (3.10) và (2.17), chúng tôi thu được hệ phương trình với ẩn vi như 2(α1 + α ′ 3)v 3 1 + (α2 − α′3)(v32 + v33) + 4(α1 + α2)v1v2v3 + α6rv1σbσc = 0, 2(α1 + α2)v 2 1v3 + 3(α2 − α′3)v1v22 + (4α1 + α2 + 3α′3)v2v23 + α6rv3σbσc = 0, 2(α1 + α2)v 2 1v2 + 3(α2 − α′3)v1v23 + (4α1 + α2 + 3α′3)v22v3 + α6rv2σbσc = 0, (2.19) trong đó, α ′ 3 = 4α3 9 , α6r = 1 2 (α6 + α ∗ 6). (2.20) Giải hệ phương trình trên sẽ cho nghiệm và một trong các nghiệm đó là v21 = v 2 = −α6rσbσc 2(α1 + α ′ 3) , v2 = v3 = 0. (2.21) Việc chọn nghiệm này để ma trận khối lượng của lepton tích được chéo hoá một cách dễ dàng. Tiếp theo, chúng tôi xét thế năng cực trị với trường ϕN := (ϕ1, ϕ2, ϕ3) ∂V ∂ϕi ∣∣∣∣ 〈ϕi〉=vi = 0, (i = 1, 2, 3), (2.22) 51 Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(1)4 thì từ (2.22) và (2.17), chúng tôi thu được hệ phương trình của ui như λ0u1 + 2(λ1 + λ ′ 3)u 3 1 + (2λ2 − λ′3 + λ′5)(u32 + u33) + 2(2λ1 + 4λ2 − λ′5)u1u2u3 + β2u3 +β3u2 = 0, λ0u3 + 2(λ1 + 2λ2 + λ ′ 5)u 2 1u3 + (6λ2 − 3λ′3 − λ′5)u1u22 + (4λ1 + 2λ2 + 3λ′3 − λ′5)u2u23 +β2u2 + β3u1 = 0, λ0u2 + 2(λ1 + 2λ2)u 2 1u2 + (6λ2 − 3λ′3 − λ′5)u1u23 + (4λ1 + 2λ2 + 3λ′3 + λ′5)u22u3 + β2u1 +β3u3 = 0, (2.23) trong đó, λ0 = µ 2 + γ1σ 2 a + γv 2 h, λ ′ 3 = 4λ3 9 , λ ′ 5 = 4λ5 9 , (2.24) β2 = γ2σ 2 c , β3 = γ3σ 2 b . (2.25) Hệ phương trình (2.23) có 4 loại nghiệm: Loại-1: (0, 0, 0) , tức là, u1 = u2 = u3 = 0, (2.26) Loại-2: (u, 0, 0) , u2 = λ0 2(λ1 + λ ′ 3) , (2.27) Loại-3: (u, u, u) , u2 = −λ0 + β2 + β3 6(λ1 + 2λ2) ≡ u2, (2.28) Loại-4: (u1, u2, u3) , u1 6= u2 6= u3 6= u1, ui 6= 0. (2.29) Các nghiệm (2.29) rất phức tạp và dài nên không viết ở đây, nhưng sẽ được tính toán số cụ thể ở phần sau. Chúng ta thấy rằng, nghiệm của hệ phương trình (2.23) được phân thành 4 loại nghiệm (2.26), (2.27), (2.28) và (2.29). Việc phân chia này rất rõ ràng, hai loại nghiệm đầu (2.26) và (2.27) sẽ không dẫn tới mô hình có ma trận dạng UPMNS cũng như dạng UTBM . Loại nghiệm (2.28) sẽ dẫn tới mô hình TBM (nghĩa là mô hình sẽ cho ma trận trộn neutrino có dạng TBM). Cuối cùng, loại nghiệm (2.29) sẽ dẫn tới mô hình không TBM (nghĩa là mô hình sẽ cho ma trận trộn neutrino tổng quát, không có dạng TBM). Thực tế, với số liệu thực nghiệm hiện tại, ma trận trộn neutrino không TBM có sự chệnh lệch rất nhỏ so với ma trận TBM. Mà trong mô hình đang xét, sự chênh lệch giữa ma trận trộn PMNS với ma trận TBM đến từ chênh lệch của các giá trị VEV u1, u2, u3 của ϕN . Do đó, các VEV này sẽ quyết định 52 Phần lepton KL và CH neutrino trong A(1)4 giá trị chênh lệch của hai ma trận trộn PMNS và TBM. Các loại nghiệm (2.28) và (2.29) sẽ được xem xét cụ thể ở phần phía dưới. 2.4 Phần lepton Từ cơ sở đối xứng SU(2)L × U(1)Y × A4 × Z3 × Z4 của mô hình, chúng ta có thể xây dựng được Lagrangian tương tác Yukawa cho phần lepton −LnewY = λe(lLφh)e˜R ϕE Λ + λµ ( lLφh )′′ µ˜R ϕE Λ + λτ ( lLφh )′ τ˜R ϕE Λ + λD`Lφ˜hN + gN ( N cN ) ϕN + gξ ( N cN ) 1 ξ + h.c., (2.30) trong đó, λe, λµ, λτ , λD, gN và gξ là các hệ số tương tác của Lagrangian, Λ ở mức thang năng lượng của đối xứng A4. Từ Lagrangian (2.30) chúng ta có ma trận khối lượng của lepton tích Ml = vh  λev1 Λ λµv2 Λ λτv3 Λ λev3 Λ λµv1 Λ λτv2 Λ λev2 Λ λµv3 Λ λτv1 Λ .  . (2.31) Như đã trình bày ở phần trên, chúng ta có thể chọn giá trị VEV (2.21) của ϕE là 〈ϕE〉 = (v, 0, 0). (2.32) Việc chọn VEV của ϕE này chính là có sự phá vỡ đối xứng A4 xuống nhóm con GT của nó [60]. Do đó, ma trận khối lượng lepton tích (2.31) sẽ tự chéo hoá và có dạng Ml =  yevh 0 0 0 yµvh 0 0 0 yτvh , (2.33) ở đây ye = λev Λ , yµ = λµv Λ , yτ = λτv Λ . (2.34) Từ Lagrangian (2.30), chúng ta có thể viết được ma trận khối neutrino Majorana 53 Phần lepton KL và CH neutrino trong A(1)4 MN và ma trận khối lượng DiracMD lần lượt là MN =  2b1 + d −b3 −b2 −b3 2b2 −b1 + d −b2 −b1 + d 2b3  , (2.35) và MD = λDvh  1 0 0 0 0 1 0 1 0  , (2.36) trong đó d = 2gξσa, b1 = 2 3 gNu1, b2 = 2 3 gNu2, b3 = 2 3 gNu3. (2.37) Từ cơ chế see-saw trình bày ở phần 2.3, thì ma trận khối lượng neutrino sẽ là Mν = −MTDM−1N MD. (2.38) Ở đây, thang của MN là rất lớn và chưa cố định (chỉ xét đối với (2.38)), để tiện tính toán về sau, chúng ta có thể thực hiện tính toán trong thang năng lượng này với MD ∼ 1, hay (λDvh)2 ∼ 1. Đến đây, chúng ta thay (2.35) và (2.36) vào (2.38) thì thu được Mν = 1 D  −b21 + 2b1d− d2 + 4b2b3 2b22 + b3(b1 − d) 2b23 + b1b2 − b2d 2b22 + b3(b1 − d) −b23 + 4b1b2 + 2b2d 2b21 − b1d− d2 + b2b3 2b23 + b1b2 − b2d 2b21 − b1d− d2 + b2b3 2b3(2b1 + d)− b22  , (2.39) trong đó D = det(MN) là định thức của ma trậnMN và có dạng D = −2b31 + 3b21d+ 6b1b2b3 − 2b32 + 6b2b3d− 2b33 − d3. (2.40) Chúng ta có thể thấy việc xác định ma trận trộn UPMNS = U †l Uν , trong đó Ul là ma trận trộn lepton tích và Uν là ma trận trộn neutrino, là một trong những nhiệm vụ rất quan trọng cả trong thực nghiệm và lý thuyết của neutrino. Tuy nhiên, trong thực nghiệm hiện tại không phát hiện có sự trộn của các lepton tích, nên được hiểu là các lepton tích không bị trộn hoặc bị trộn rất bé với nhau, có thể bỏ qua. Do vậy, việc tìm kiếm ma trận trộn lepton UPMNS trong thực nghiệm hay trong mô hình lý thuyết chính là đi tìm ma trận trộn neutrino, nghĩa là khi chéo hoá ma trận khối 54 Phần lepton KL và CH neutrino trong A(1)4 lượng neutrino trên cơ sở của lepton tích thì sẽ tìm được ma trận trộn lepton. Cụ thể trong mô hình này chúng ta thấy phần khối lượng lepton tích tự chéo với ma trận chéo là ma trận đơn vị, do đó việc xác định ma trận trộn neutrino chính là việc đi chéo hoá ma trận khối lượng neutrino (2.39) hay tương đương với việc chéo hoá chéo hoá ma trận bậc hai Mν ≡MνM †ν , (2.41) để có các trị riêng không âm như diag(Mν) =  |m1|2 0 0 0 |m2|2 0 0 0 |m3|2  . (2.42) Chúng tôi thấy rằng, trong ma trận Mν (2.39) có chứa VEV (u1, u2, u3) của ϕN , nhưng VEV này lại có 2 loại nghiệm (2.28) và (2.29). Do đó, khi chéo hoá ma trận Mν , chúng tôi xét hai trường hợp: u1 = u2 = u3 = u (2.28) và u1 6= u2 6= u3 6= u1 (2.29). Với trường hợp VEV u1 = u2 = u3 = u trong (2.28) tương ứng b1 = b2 = b3 ≡ b, lúc này ma trậnMν (2.39) có dạng Mν0 = 1 D0  3b2 + 2bd− d2 −3b2 + bd −3b2 + bd −3b2 + bd 3b2 + 2bd 3b2 − bd− d2 −3b2 + bd 3b2 − bd− d2 3b2 + 2bd  ≡ 1D0M ′0, (2.43) ở đây D0 = det(M0N) là định thức của ma trậnMN trong trường hợp u1 = u2 = u3 và có giá trị D0 = 9b2d− d3. (2.44) Khi chéo hoá ma trậnMν0 = Mν0M †ν0, chúng tôi thu được diag(Mν0) =  |mν01|2 0 0 0 |mν02|2 0 0 0 |mν03|2  = UTtbmMν0Utbm, (2.45) 55 Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1)4 trong đó, Utbm =  √ 2 3 √ 1 3 0 − √ 1 6 √ 1 3 − √ 1 2 − √ 1 6 √ 1 3 √ 1 2  . (2.46) Vậy trường hợp u1 = u2 = u3 trong mô hình đối xứng SU(2)L × U(1)Y ×A4 × Z3 × Z4 sẽ dẫn tới mô hình TBM. Với trường hợp VEV u1 6= u2 6= u3 6= u1 của ϕN trong (2.29), tương ứng b1 6= b2 6= b3 6= b1, khi đó ma trận khối lượng neutrino làMν trong (2.39), thì nhiệm vụ đặt ra đối với chúng tôi là phải chéo hoá ma trận khối lượng neutrino Mν này. Khi chéo hoáMν để ma trận chéo là unitary và trị riêng là xác định dương (Phụ lục A), chúng tôi sẽ tiến hành chéo hoá ma trậnMν trong (2.41) diag(Mν) = U †pmnsMνUpmns. (2.47) ở đây, Upmns là ma trận trộn, tương đương với UPMNS, có thể sai khác nhau bởi phần tử pha. Việc chéo hoá ma trận khối lượng Mν để có ma trận trộn neutrino dạng Upmns phù hợp với thực nghiệm là nhiệm vụ thực sự rất khó khăn. Giải quyết vấn đề này, có rất nhiều phương pháp khác nhau, như trình bày ở đầu chương, ở đây chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp nhiễu loạn quanh ma trận UTBM để tìm ma trận trộn Upmns và so sánh với ma trận UPMNS thực nghiệm. 2.5 Khối lượng và trộn neutrino Như trình bày trong chương Mở đầu, ở đây chúng ta có ma trận trộn neutrino trong mô hình dạng chính tắc Upmns =  c12c13 s12c13 s13e −iδ −c23s12 − s13s23c12eiδ c23c12 − s13s23s12eiδ s23c13 s23s12 − s13c23c12eiδ −s23c12 − s13c23s12eiδ c23c13  , (2.48) trong đó, sij = sin θij, cij = cos θij với θij ∈ [0, pi/2] là các góc trộn và δ ≡ δCP ∈ [0, 2pi] là pha Dirac vi phạm CP. Mô hình TBM, thì ma trận Upmns trở thành ma trận Utbm (2.46) khi s13 = 0, s223 = 12 , s 2 12 = 1 3 (ở đây chúng tôi sẽ chọn s23 = − √ 1 2 , s12 = √ 1 3 , nhưng cũng có thể chọn s23 = √ 1 2 , s12 = √ 1 3 ). Dữ liệu thực nghiệm hiện 56 Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1)4 tại θ13 ≈ 8.8◦, θ23 ≈ 42◦, θ12 ≈ 33◦ [7] chứng tỏ rằng ma trận Upmns có sự chênh lệch bé với Utbm bởi các bổ đính khác nhau và độ chênh lệch là ∆Utn =  0.006 −0.029 0.153e−iδ −0.008 + 0.084eiδ 0.047 + 0.056eiδ 0.054 0.041− 0.095eiδ −0.027 − 0.064eiδ 0.034  . (2.49) Do đó, chúng tôi có thể xét ma trận Upmns như là nhiễu loạn nhỏ quanh ma trận Utbm, đây cũng là một trong những định hướng để xây dựng mô hình có điều kiện với các tham số của nó. Chúng tôi thấy rằng,Mν trong (2.39) có thể viết thành Mν = M0 + V , (2.50) với M0 = M ′′ 0 D , (2.51) trong đóM ′′0 có dạng tương đương trong (2.43), và V là ma trận gồm các phần tử rất bé được biểu diễn phía dưới. Ngoài ra, ma trận M0 = M0M †0 được chéo hoá bởi ma trận UTBM như UTTBMM0UTBM = diag(|m01|2, |m02|2, |m03|2), (2.52) trong đó, UTBM =  √ 2 3 √ 1 3 0 − √ 1 6 √ 1 3 − √ 1 2 − √ 1 6 √ 1 3 √ 1 2 × P0 ∼ (|10〉, |20〉, |30〉) , (2.53) m0i, i = 1, 2, 3, là khối lượng không nhiễu loạn và P0 = diag ( ei α01 2 , ei α02 2 , 1 ) . (2.54) Chú ý rằng ma trận Utbm trong (2.46) có thể sai khác UTBM (2.53) bởi phần tử pha P0. Bây giờ, chúng tôi sẽ xét nhiễu loạn bậc nhất của ma trậnMν quanhM0 có dạng Mν =M0 + ( M †0V + V†M0 ) . (2.55) 57 Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1)4 Trong đó, bình phương khối lượng neutrino |mi|2 thu được bởi chéo hoá ma trậnMν là |mi|2 = |m0i|2 + δ|mi|2, (2.56) với |m0i|2 chính là bình phương khối lượng không nhiễu loạn trong (2.52) có dạng m01 = (3b− d)d D , m02 = 9b2 − d2 D , m03 = (3b+ d)d D . (2.57) Chúng ta có thể thấy, biểu thức VEV 〈ϕN〉0 = (u1, u1, u1) đã đưa mô hình về dạng TBM. Nhưng thực nghiệm hiện tại không phải là dạng TBM, nên chúng ta phải xét biểu thức VEV 〈ϕN〉 = (u1, u2, u3) (2.29), mà nó có sự chênh lệnh (u1, u2, u3) = (u1, u1 + 2, u1 + 3); 2, 3  1, (2.58) ở đây, (0, 2, 3) là nhiễu loạn nhỏ của 〈ϕN〉 quanh mức (u1, u1, u1). Điều kiện này được thoả mãn nếu λ1, λ2, λ ′ 3 và λ ′ 5 được chọn cùng độ lớn và rất lớn so với λ0, tức là λ0  λ1 ≈ λ2 ≈ λ′3 ≈ λ ′ 5 ≡ λ, (2.59) và β2, β3 được chọn cùng độ lớn nhưng rất nhỏ so với λ, tức là β2 ≈ β3  λ. (2.60) Từ (2.37) ta thấy rằng (u1, u2, u3) tỉ lệ với (b1, b2, b3), mà (b1, b1, b1) đưa mô hình về dạng TBM. Do vậy (b1, b2, b3) cũng phải có chênh lệch với (b1, b1, b1) (b1, b2, b3) = (b1, b1 + e2, b1 + e3); e2, e3  1. (2.61) Với điều kiện (2.59)-(2.61) ta có V = 1D  4b(e2 + e3) −de3 + b(4e2 + e3) −de2 + b(e2 + 4e3) −de3 + b(4e2 + e3) 4be2 + 2de2 − 2be3 b(e2 + e3) −de2 + b(e2 + 4e3) b(e2 + e3) 4be3 + 2de3 − 2be2  . (2.62) Thực tế, để có V trong (2.62) chỉ cần điều kiện e2, e3  D (hay 2, 3  D/gN ), nhưng ở đây chúng tôi có điều kiện mạnh hơn là e2, e3  1 và 2, 3  1. Bây giờ, chúng ta có thể khai triển nhiễu loạn quanh trạng thái TBM (2.53). Sử 58 Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1)4 dụng công thức nhiễu loạn (Phụ lục C) |n〉 = |n0〉+ ∑ k 6=n akn|k0〉+ ..., (2.63) với |n0〉, n = 1, 2, 3, được định nghĩa (2.53) và akn = (|m0n|2 − |m0k|2)−1Vkn, Vkn = 〈k0|M †0V + V†M0|n0〉. (2.64) Từ (2.63), ma trậnMν có thể được chéo hoá U †MνU = diag (|m1|2, |m2|2, |m3|2) , (2.65) bởi ma trận U = UTBM + ∆U =  √ 2 3 + ∆U11 √ 1 3 + ∆U12 ∆U13 − √ 1 6 + ∆U21 √ 1 3 + ∆U22 − √ 1 2 + ∆U23 − √ 1 6 + ∆U31 √ 1 3 + ∆U32 √ 1 2 + ∆U33 × P0, (2.66) tương ứng khai triển nhiễu loạn từ UTBM trong (2.53) và thêm bởi ma trận nhiễu loạn bậc 1 là ∆U , trong đó ∆U11 = √ 1 3 X∗, ∆U12 = − √ 2 3 X, ∆U13 = − √ 2 3 Y − √ 1 3 Z, ∆U21 = √ 1 3 X∗ − √ 1 2 Y ∗, ∆U22 = √ 1 6 X − √ 1 2 Z∗, ∆U23 = √ 1 6 Y − √ 1 3 Z, ∆U31 = √ 1 3 X∗ + √ 1 2 Y ∗, ∆U32 = √ 1 6 X + √ 1 2 Z∗, ∆U33 = √ 1 6 Y − √ 1 3 Z, (2.67) với X = −a12, Y = −a13, Z = −a23. (2.68) Chúng ta thấy rằng tham số aij, i, j = 1, 2, 3 trong ∆U được xác định từ các phần tử ma trận V trong (2.62) dưới khai triển nhiễu loạn (2.61) mà có điều kiện ràng buộc tham số mô hình trong (2.59) và (2.60). Tiếp theo, chúng tôi sẽ tiến hành tính toán số để kiểm tra độ tin cậy của mô hình [90]. Để đơn giản, chúng tôi giả sử tham số gN , d, λ0, λ là số thực, với giả thiết 59 Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1)4 này hệ phương trình (2.23) có 27 nghiệm (u1, u2, u3) thuộc 4 loại dưới đây: Loại-1: (0, 0, 0) , tức là, u1 = u2 = u3 = 0, (2.69) Loại-2: (u, 0, 0) , u 6= 0, (2.70) Loại-3: (u, u, u) , u 6= 0, (2.71) Loại-4: (u1, u2, u3) , u1 6= u2 6= u3 6= u1, ui 6= 0. (2.72) Chúng tôi đã khảo sát và thầy rằng các nghiệm Loại-1, Loại-2 và Loại-3 không dẫn đến mô hình có ma trận trộn PMNS như mong muốn (mà trong đó chỉ có nghiệm Loại-3 là dẫn tới mô hình TBM), do đó các nghiệm Loại-1, 2, 3 bị loại bỏ, và chúng tôi sẽ chọn Loại-4 để tính toán. Một trong các nghiệm của Loại-4 có dạng (u1, u2, u3) = ( −(0.14 + 0.28i) √ λ0 λ1 ,−(0.019− 0.32i) √ λ0 λ1 ,−(0.17− 0.26i) √ λ0 λ1 ) , (2.73) và với nghiệm này, chúng tôi có thể tính toán các đại lượng vật lý cho kết quả phù hợp với dữ liệu thực nghiệm hiện tại. Thậy vậy, từ giá trị (u1, u2, u3) trong (2.73), chúng tôi tính được (b1, b2, b3) = (−(0.14 + 0.28i)K,−(0.019− 0.32i)K,−(0.17− 0.26i)K) , K = gN √ λ0 λ1 . (2.74) Khối lượng neutrino (2.56) bây giờ có dạng (Phụ lục C) [87] m21 = m 2 01 + V11, m 2 2 = m 2 02 + V22, m 2 3 = m 2 03 + V33, (2.75) ở đây Vii được tính theo biểu thức (2.64) là Vii = 〈i0|M †0V + V†M0|i0〉, i = 1, 2, 3. (2.76) Sử dụng dữ liệu thực nghiệm của các chênh lệch bình phương khối lượng neutrino ∆m221 và ∆m232 trong bảng 2.3 ta có∆m 2 21 = m 2 2 −m21 = 7, 54 · 10−5, ∆m231 = m 2 3 −m21 = 2, 47 · 10−3. (2.77) Từ hệ phương trình (2.77), chúng tôi tìm được K và d trong (2.74), (2.35), ở đây dữ liệu được lấy cho trường hợp phân bậc khối lượng thuận (NO) để khảo sát, còn 60 Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1)4 trường hợp phân bậc khối lượng ngược (IO) làm tương tự. Một trong những nghiệm của (2.77) là K = 1, 74 + 0, 05i, d = −9, 01. (2.78) Từ nghiệm (2.78), chúng tôi tính được e2 D = 0, 0003 + 0, 0015i, e3 D = −0, 0001 + 0, 0014i, (2.79) và X = 0, 326 + 0, 034i, Y = −0, 007 + 0, 003i, Z = −0, 082 + 0, 251i. (2.80) Với giá trị của X, Y và Z ở trên, U13 tính được là U13 = 0, 053− 0, 148i. (2.81) Tham số Best fit Vùng 1σ Vùng 2σ Vùng 3σ ∆m221/10 −5 eV2 (NO or IO) 7.54 7.32 – 7.80 7.15 – 8.00 6.99 – 8.18 sin2 θ12/10 −1 (NO or IO) 3.08 2.91 – 3.25 2.75 – 3.42 2.59 – 3.59 ∆m231/10 −3 eV2 (NO) 2.47 2.41 – 2.53 2.34 – 2.59 2.27 – 2.65 |∆m232|/10−3 eV2 (IO) 2.42 2.36 – 2.48 2.29 – 2.55 2.23 – 2.61 sin2 θ13/10 −2 (NO) 2.34 2.15 – 2.54 1.95 – 2.74 1.76 – 2.95 sin2 θ13/10 −2 (IO) 2.40 2.18 – 2.59 1.98 – 2.79 1.78 – 2.98 sin2 θ23/10 −1 (NO) 4.37 4.14 – 4.70 3.93 – 5.52 3.74 – 6.26 sin2 θ23/10 −1 (IO) 4.55 4.24 – 5.94 4.00 – 6.20 3.80 – 6.41 Bảng 2.3: Dữ liệu thực nghiệm của trường hợp NO và IO [6,7]. Sử dụng nghiệm (2.78), chúng tôi tính được giá trị tuyệt đối của khối lượng neutrino m1 = 0, 1109 eV, m2 = 0, 1114 eV, m3 = 0, 1217 eV, (2.82) kết quả này khá phù hợp với sự đánh của thực nghiệm hiện tại [6] (do thực nghiệm chưa xác định được chính xác khối lượng tuyệt đối của neutrino mà chỉ đưa ra được giới hạn trên của khối lượng neutrino < 0.2 eV). So sánh biểu thức (2.81) với U13 = s13e−iδ trong ma trận trộn UPMNS thì thu được s13 ≈ 0, 157 (hay θ13 = 9, 03◦) và δ ≈ 1, 39pi. Ở đây, chúng ta có thể thấy giá trị của s13 rất gần với giá trị thực nghiệm trong (2.49) hay trong [6] và một điều hết sức thú vị 61 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1)4 là giá trị của pha Dirac vi phạm CP δCP ≈ 1, 39pi là trùng hợp một cách đáng ngạc nhiên với giá trị phù hợp nhất (best fit) trong [7]. Phần tiếp sau, chúng tôi sẽ đưa ra biểu thức giải tích liên hệ giữa δCP và các góc trộn θij. 2.6 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog Trong ma trận (2.66) với các phần tử Uij, i, j = 1, 2, 3, chúng tôi tìm được phương trình 2 (|U21|2 − |U31|2)− (|U22|2 − |U32|2) = −2√2Re(U13). (2.83) Từ phương trình (2.83), chúng tôi so sánh các phần tử trong phương trình với các phần tử tương ứng của ma trận trộn tham số hoá UPMNS. Ma trận UPMNS được viết lại để tiện việc so sánh UPMNS =  c12c13 s12c13 s13e −iδ −c23s12 − s13s23c12eiδ c23c12 − s13s23s12eiδ s23c13 s23s12 − s13c23c12eiδ −s23c12 − s13c23s12eiδ c23c13 × P, (2.84) trong đó P (thường sẽ khác P0 trong trường hợp tổng quát) là ma trận chéo có dạng P = diag ( ei α1 2 , ei α2 2 , 1 ) với α1 and α2 là pha Majorana. Từ việc so sánh trên, chúng tôi thu được biểu thức liên hệ giữa pha Dirac vi phạm CP, δCP ≡ δ với các góc trộn neutrino θij ( c223 − s223 ) ( 2s212 − c212 ) + 12s13s23c23s12c12 cos δ = −2 √ 2s13 cos δ, (2.85) trong đó đã bỏ qua số hạng O(λ2) và số hạng nhiễu loạn bậc cao. Từ (2.85), chúng ta có thể đưa về dạng cos δ = (s223 − c223)(2s212 − c212) 2 √ 2(3 √ 2s23c23s12c12 + 1)s13 . (2.86) với δ ∈ [0, 2pi]. Nếu δ0 là nghiệm của phương trình (2.86) thì 2pi − δ0 cũng là nghiệm của phương trình. Từ giá trị δCP cũng có thể tìm được tham số Jarlskog JCP của mô hình. Trên cơ sở biểu thức (2.86) và dữ liệu thực nghiệm đầu vào từ bảng 2.3, δCP có 62 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1)4 thể tính được giá trị số. Sử dụng dữ liệu thực nghiệm của các góc trộn trong khoảng 1σ, quanh giá trị phù hợp nhất (best fit) [6, 7], trong trường hợp phân bậc khối lượng thuận thì vẽ được đồ thị phân bố của δCP hình 2.2 và sự phụ thuộc δCP với s213 hình 2.3, còn trong trường hợp phân bậc khối lượng ngược thì vẽ đồ thị ứng với hình 2.4 và 2.5. Trong tất cả các đồ thị hình vẽ, ký hiệu "Mean" có nghĩa là giá trị trung bình và "RMS" là độ lệch chuẩn. Ở đây, trong từng phân bố, gồm 10000 sự kiện được tạo ra thì δCP được tính theo từng sự kiện đó. Trong từng sự kiện này tương ứng với sij có giá trị ngẫu nhiên được tạo ra trên cơ sở của phân bố Gaussian có giá trị best fit và các vùng σ trong bảng 2.3. Trong 2 hình 2.2 và 2.4, mỗi hình gồm 2 phân bố tương ứng với 2 nghiệm phân biệt của (2.86), biểu diễn bởi màu xanh và đỏ. Trong hai nghiệm này, chúng ta thấy rằng nghiệm nằm trong khoảng [pi, 2pi] thì gần giá trị best fit hơn. Ngoài ra, trong 2 hình 2.3 và 2.5, mỗi hình đều có 3 màu khác nhau là màu đỏ, xanh lá cây và xanh dương là tương ứng với ba vùng 1σ, 2σ và 3σ. Hình 2.2: Phân bố của δCP trong trường hợp NO. 63 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1)4 Hình 2.3: Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trong trường hợp NO. Hình 2.4: Phân bố của δCP trong trường hợp IO. Hình 2.5: Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trong trường hợp IO. 64 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1)4 Trong trường hợp NO biểu diễn trong hình 2.2, thấy rằng δCP có hai nghiệm tương ứng lần lượt với 2 giá trị trung bình (Mean) 2.265 ≈ 0.72pi và 4.018 ≈ 1.28pi và hai giá trị cực đại là 2.35 ≈ 0.75pi và 3.95 ≈ 1.26pi. Chúng ta thấy rằng nghiệm thứ hai (ứng với cả giá trị trung bình và giá trị cực đại) nằm trong vùng 1σ chứa giá trị best fit 1.39pi cho trong [6,7]. Trong trường hợp IO biểu diễn trong hình 2.4, δCP có hai nghiệm tương ứng lần lượt với 2 giá trị trung bình (Mean) 1.769 ≈ 0.56pi và 4.514 ≈ 1.44pi, và hai giá trị cực đại là 2.15 ≈ 0.68pi và 4.17 ≈ 1.33pi. Chúng ta cũng thấy rằng nghiệm thứ hai (cho cả giá trị trung bình và giá trị cực đại) nằm trong vùng 1σ chứa giá trị best fit 1.31pi trong [6,7]. Từ những kết quả trên chúng ta có thể thấy phân bố và nghiệm từ (2.86) cho giá trị δCP rất gần với δCP trong [6,7] của cả hai trường hợp NO và IO. Một lần nữa cho thấy, đây cũng là dấu hiệu để khẳng định sự tin cậy của mô hình được đề xuất. Khi đã có các góc trộn và pha Dirac vi phạm CP, chúng tôi có thể xác định được tham số Jarlskog JCP ≡ J . Thật vậy, từ biểu thức JCP trong (1.139) như |JCP | = |c12c23c213s12s23s13 sin δ|. (2.87) Chúng tôi thu được |JCP | ≤ 0.038 and |JCP | ≤ 0.039 với trường hợp NO và IO tương ứng, phân bố của JCP được biểu diễn trên hình 2.6. Từ phân bố, chúng tôi thu được giá trị trung bình và cực đại của JCP trong trường hợp NO là JNOmean = 0.024 và J NO max = 0.027, (2.88) và trong trường hợp IO là J IOmean = 0.027 và J IO max = 0.033. (2.89) Kết quả này cũng tương tự kết quả thu được trong các công trình [222–226] bởi các phương pháp khác nhau của các tác giả khác nhau. 65 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1)4 Hình 2.6: Phân bố của JCP trong trường hợp NO và IO. Để đơn giản hơn, chúng tôi tổng kết các kết quả tính toán trên trong bảng 2.4 [90]. Phân bậc khối lượng Phân bậc khối lượng thuận neutrino ngược neutrino δCP/pi 1.28 1.44 |JCP | 0.024 0.027 Bảng 2.4: Giá trị trung bình của δCP và |JCP | trong trường hợp NO và IO của mô hình A(1)4 . Kết luận và đánh giá kết quả của mô hình Tóm lại, kết quả nghiên cứu của phần này, chúng tôi đã đề xuất