Luận văn Ảnh hưởng của thăng giáng nhiệt lên mật độ mức trong hạt nhân

hệ hữu hạn như hạt nhân nguyên tử chính là do thăng giáng số giả hạt. Mục tiêu của luận văn này là áp dụng lý thuyết FTBCS1 như đã đề cập ở trên vào việc tính toán mật độ mức cũng như các đại lượng nhiệt động học như khe năng lượng kết cặp, nhiệt dung riêng, entropy, và năng lượng toàn phần cho một số hạt nhân chẵn-chẵn (số proton và neutron là chẵn) như 56Fe, 60Ni,96Mo,98Mo, và116Sn. Bằng việc so sánh các kết quả thu được từ lý thuyết FTBCS1 với FTBCS và với các số liệu thực nghiệm đo được gần đây bởi trung tâm máy gia tốc (Cyclotron center) của trường Đại học Oslo, Nauy [19, 11], chúng ta sẽ thấy được tầm quan trọng cũng như ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt, cụ thể là thăng giáng số giả hạt lên mật độ mức cũng như các đại lượng nhiệt động họccủa các hạt nhân trên. 6 7 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Hamiltonian kết cặp Hamiltonian kết cặp sử dụng trong luận văn này bao gồm hai phần, phần mô tả trường trung bình (mean field) H0 và phần mô tả kết cặp Hpair [22] 𝐻 = 𝐻0 + 𝐻𝑝𝑎𝑖𝑟 , (1.1.1) trong đó, 𝐻0 = �𝜖𝑘𝑁�𝑘 𝑘 ; 𝐻𝑝𝑎𝑖𝑟 = 𝐺 � 𝑃�𝑘†𝑃�𝑘′ 𝑘,𝑘′>0 , (1.1.2) với𝜖𝑘 là năng lượng đơn hạt trên mức thứ k(viết trong cơ sở biến dạng – deformed basis) trong trường trung bình (có thể dùng Hatree-Fock hoặc Woods-Saxon) và G là hằng số tương tác cặp. Toán tử số hạt 𝑁�𝑘 và toán tử kết cặp 𝑃�𝑘+được cho bởi 𝑁�𝑘 = 𝑎𝑘†𝑎𝑘 + 𝑎−𝑘† 𝑎−𝑘 , (1.1.3) 𝑃�𝑘 † = 𝑎𝑘†𝑎−𝑘† ; 𝑃�𝑘 = �𝑃�𝑘†�† , (1.1.4) trongđó, 𝑎𝑘 † và 𝑎𝑘 lần lượt là các toán tử sinh hạt và hủy hạt. Bởi vì nucleon (proton và neutron) trong hạt nhân là các hạt Fermion nên các toán tử sinh và huỷ hạt này tuân theo hệ thức phản giao hoán của các Fermion có dạng �𝑎𝑘 ,𝑎𝑘′† � = 𝛿𝑘𝑘′ ; {𝑎𝑘 ,𝑎𝑘′} = �𝑎𝑘†,𝑎𝑘′† � = 0 . (1.1.5) Các toán tử số hạt và kết cặp trong các phương trình (1.1.3) và (1.1.4) tuân theo một cách chính xác các định luật về giao hoán tử [𝑃�𝑘 ,𝑃�𝑘′† ] = 𝛿𝑘𝑘′�1 − 𝑁�𝑘 �; [𝑁�𝑘 ,𝑃�𝑘′† ] = 2𝛿𝑘𝑘′𝑃�𝑘′† , [𝑁�𝑘 ,𝑃�𝑘′ ] = −2𝛿𝑘𝑘′𝑃�𝑘′ . (1.1.6) Chỉ số k ở đây dùng để biểu thị trạng thái đơn hạt |𝑘,𝑚𝑘 > với hình chiếu spin đơn hạt dươngmk, trong khi đó chỉ số -kbiểu thị trạng thái nghịch đảo thời gian |𝑘,−𝑚𝑘 >, tức là trạng thái với hình chiếu đơn hạt mk âm. Hamiltonian kết cặp (1.1.1) mô tả một hệ có N neutron và Z proton phân bố trên các mức đơn hạt với năng lượng 𝜖𝑘và tương tác với nhau thông qua một lực tương tác cặp đơn cực G. Biến đổi Bogoliubov từ các toán tử sinh và huỷ hạt 𝑎𝑘 † và 𝑎𝑘 thành các toán tử sinh và huỷ giả hạt 𝛼𝑘 † và 𝛼𝑘 có dạng 𝑎𝑘 † = 𝑢𝑘𝛼𝑘† + 𝑣𝑘𝛼−𝑘 ; 𝑎−𝑘 = 𝑢𝑘𝛼−𝑘 − 𝑣𝑘𝛼𝑘† , (1.1.7) 𝑎−𝑘 † = 𝑢𝑘𝛼−𝑘† − 𝑣𝑘𝛼𝑘 ; 𝑎𝑘 = 𝑢𝑘𝛼𝑘 + 𝑣𝑘𝛼−𝑘† , (1.1.8) 8 với𝑢𝑘 và 𝑣k là hệ số của biến đổi Bogoliubov.Thông qua phép biến đổi Bogoliubov (1.1.7) và (1.1.8), Hamiltonian (1.1.1) biến đổi thành Hamiltonian giả hạt (quasiparticle Hamiltonian)có dạng [5, 13] 𝐻𝑞 = 𝑎 + �𝑏𝑘 𝑘 𝒩�𝑘 + �𝑐𝑘 𝑘 ��̂�𝑘 † + �̂�𝑘� + �𝑑𝑘𝑘′ 𝑘𝑘′ �̂�𝑘 †�̂�𝑘′ + �𝑔𝑘 𝑘𝑘′ (𝑘 ′)��̂� 𝑘′ † 𝒩�𝑘 + 𝒩�𝑘�̂�𝑘′� + �ℎ𝑘𝑘′ 𝑘𝑘′ ��̂�𝑘 †�̂� 𝑘′ † + �̂�𝑘′�̂�𝑘 � + �𝑞𝑘𝑘′ 𝑘𝑘′ 𝒩�𝑘𝒩�𝑘′, (1.1.9) trong đó, 𝒩�𝑘 là toán tử số giả hạt và �̂�𝑘 † và �̂�𝑘 là các toán tử sinh và huỷ một cặp giả hạt tương ứng trong không gian liên hợpvề thời gian (time conjugated quasiparticles). Toán tử số giả hạt và các toán tử sinh hạt và hủy hạt biểu diễn thông qua các giả hạt sẽ có dạng như sau 𝒩�𝑘 = 𝛼𝑘†𝛼𝑘 + 𝛼−𝑘† 𝛼−𝑘 ; �̂�𝑘† = 𝛼𝑘†𝛼−𝑘† ; �̂�𝑘 = (𝐴𝑘†)† . (1.1.10) Tương tự như các toán tử hạt, các toán tử này tuân theo hệ thức giao hoán giống như trong phương trình (2.1.6) ��̂�𝑘 , �̂�𝑘′† � = 𝛿𝑘𝑘′�1 −𝒩�𝑘 �; �𝒩�𝑘 , �̂�𝑘′† � = 2𝛿𝑘𝑘′�̂�𝑘′† , �𝒩�𝑘 , �̂�𝑘′ � = −2𝛿𝑘𝑘′�̂�𝑘′ . (1.1.11) Các hệ số a, bk, ck, dkk’, gk(k’), hkk’ và qkk’ trong phương trình (1.1.9) là các hàm số phụ thuộc vào các hệ số uk và vkcủa biến đổi Bogoliubov (1.1.7) và (1.1.8), và năng lượng đơn hạt 𝜖𝑘 (xem phần Phụ lục A của [1]) 𝑎 = 2�𝜖𝑘 𝑘 𝑣𝑘 2 − 𝐺 ��𝑢𝑘𝑣𝑘 𝑘 � 2 − 𝐺�𝑣𝑘 4 𝑘 , (1.1.12) 𝑏𝑘 = 𝜖𝑘(𝑢𝑘2 − 𝑣𝑘2) + 2G𝑢𝑘𝑣𝑘�𝑢𝑘′𝑣𝑘′ 𝑘′ + 𝐺𝑣𝑘4 , (1.1.13) 𝑐𝑘 = 2𝜖𝑘𝑢𝑘𝑣𝑘 − 𝐺(𝑢𝑘2 − 𝑣𝑘2)�𝑢𝑘′𝑣𝑘′ 𝑘′ − 2𝐺𝑢𝑘𝑣𝑘3 , (1.1.14) 𝑑𝑘𝑘′ = −𝐺(𝑢𝑘2𝑢𝑘′2 + 𝑣𝑘2𝑣𝑘′2 ) = 𝑑𝑘′𝑘 , (1.1.15) 𝑔𝑘(𝑘 ′) = G𝑢𝑘𝑣𝑘(𝑢𝑘′2 − 𝑣𝑘′2 ) , (1.1.16) ℎ𝑘𝑘′ = 𝐺2 (𝑢𝑘2𝑣𝑘′2 + 𝑣𝑘2𝑢𝑘′2 ) = ℎ𝑘′𝑘 , (1.1.17) 𝑞𝑘𝑘′ = −G𝑢𝑘𝑣𝑘𝑢𝑘′𝑣𝑘′ = 𝑞𝑘′𝑘 . (1.1.18) 9 1.2. Lý thuyết BCS tại nhiệt độ hữu hạn (FTBCS) 1.2.1. Lý thuyết BCS tại nhiệt độ bằng không Tương tự như lý thuyết BCS dùng để xác định trạng thái cơ bản của các chất bán dẫn [12], lý thuyết BCS dùng trong hạt nhân sử dụng hàm sóng cho hạt nhân chẵn-chẵn (hạt nhân có số neutron và proton đều là chẵn) có dạng[23] 𝜓𝐵𝐶𝑆 ≡ |𝐵𝐶𝑆⟩ = ��𝑢𝑘 + 𝑣𝑘𝑎𝑘†𝑎−𝑘† �∞ 𝑘>0 |0⟩ , (1.2.1) trong đó, 𝑢𝑘 và 𝑣k là các thông số biến phân với|𝑢𝑘|2 là xác suất để cặp (k,-k) lấp đầy mức đơn hạt thứ k và |𝑣k|2 là xác suất để cặp (k,-k) rỗng tức là không nằm trên mức đơn hạt thứ k. Hàm sóng (1.2.1) luôn phải thoả mãn điều kiện chuẩn hoá〈𝐵𝐶𝑆|𝐵𝐶𝑆〉 = 1, do vậy ta thu được𝑢𝑘2 + 𝑣𝑘2 = 1. Cũng tương tự như phương trình BCS cho các chất bán dẫn, phương trình BCS cho hạt nhân tại nhiệt độ bằng không thu được bằng cách lấy biến phân của Hamiltonian 𝐻𝐵𝐶𝑆 = 𝐻 − 𝜆𝑁�để xác định được giá trị trung bình cực tiểu của HBCStrong trạng thái cơ bản (ground state) của hàm sóng (1.2.1) 𝛿〈𝐵𝐶𝑆|𝐻𝐵𝐶𝑆|𝐵𝐶𝑆〉 = 0 , (1.2.2) trong đó, H là Hamiltonian kết cặp cho bởi phương trình (1.1.1),𝑁� là toán tử số hạt cho bởi phương trình (1.1.3), vàλ là nhân Lagrange (Lagrange multiplier) hay còn được gọi là thế hoá (chemical potential) cần được xác định. Từ (1.2.2) kết hợp với một số phép biến đổi đơn giản, ta thu được phương trình có dạng [23, 2] 2(𝜖𝑘 − 𝜆 − 𝐺𝑣𝑘2)𝑢𝑘𝑣𝑘 − Δ(𝑢𝑘2 − 𝑣𝑘2) = 0, (1.2.3) trong đó, khe năng lượng kết cặp Δcho bởi Δ = G�𝑢𝑘𝑣𝑘 𝑘 , (1.2.4) với các hệ số uk và vkcó dạng 𝑢𝑘 2 = 12�1 + 𝜖𝑘 − λ − 𝐺𝑣𝑘2𝐸𝑘 � ; 𝑣𝑘2 = 1 − 𝑢𝑘2 . (1.2.5) Năng lượng của các giả hạt (quasiparticle energy)Ektrong phương trình (1.2.5) được cho bởi 𝐸𝑘 = �(𝜖k − λ − 𝐺𝑣𝑘2)2 + ∆2 . (1.2.6) Từ phương trình cho số hạt ta có thể xác định được thế hoá λ 10 𝑁 = 〈𝐵𝐶𝑆�𝑁��𝐵𝐶𝑆〉 = 2�𝑣𝑘2 𝑘 . (1.2.7) Hệ các phương trình phi tuyến tính (nonlinear equations) từ (1.2.4) – (1.2.7) được gọi là các phương trình BCS tại nhiệt độ bằng không và được giải bằng phương pháp lặp với các giá trị ban đầu là số hạt (N hoặc Z), năng lượng đơn hạt 𝜖𝑘, và hằng số lực tương tác cặp G. 1.2.2. Lý thuyết FTBCS Tại nhiệt độ hay năng lượng kích thích khác không, hạt nhân ban đầu ở trạng thái phức hợp (compound nucleus). Sau khoảng thời gian 10-23 giây hạt nhân sẽ đạt trạng thái cân bằng nhiệt và bắt đầu phát các tia gamma để trở về trạng thái cơ bản. Do vậy, khái niệm trạng thái cơ bản của hạt nhân lúc này không còn nữa mà thay vào đó là một tập hợp của rất nhiều trạng thái cơ bản và kích thích nằm trong một môi trường nhiệt bên ngoài. Để mô tả được tính chất này của hạt nhân, các lý thuyết về thống kê nhiệt động học thường được sử dụng.Trong số các lý thuyết thống kê nhiệt động học thì lý thuyết về tập hợp đại chính tắc (grand canonical ensemble – GCE) được sử dụng rộng rãi nhất.GCE mô tả các hệ đồng nhất nằm trong một môi trường nhiệt bên ngoài.Các hệ này trao đổi với nhau năng lượng và số hạt. Theo GCE, giá trị trung bình của mọi toán tử 𝒪� tại nhiệt độ hữu hạn được tính bằng [6, 12] 〈𝒪�〉 = 𝑇𝑟�𝒪�𝑒−𝛽𝐻� 𝑇𝑟𝑒−𝛽𝐻 , (1.2.8) trong đó, 𝛽 = 1/𝑇 là nghịch đảo của nhiệt độ. Giống như tại nhiệt độ bằng không, lý thuyết FTBCS cũng được xây dựng dựa trên phương pháp biến phân để cực tiểu hóa giá trị trung bình của Hamiltonian 𝐻𝐵𝐶𝑆 = 𝐻 − 𝜆𝑁� . Tuy nhiên giá trị trung bình này được tính trong GCE (1.2.8) thay cho trạng thái cơ bản (1.2.1) 𝛿〈𝐺𝐶𝐸|𝐻𝐵𝐶𝑆|𝐺𝐶𝐸〉 = 0 . (1.2.9) Từ (1.2.9) chúng ta dễ dàng thu được hệ các phương trình FTBCS cho khe năng lượng kết cặp và số hạt có dạng (chi tiết quá trình biến đổi được trình bày trong Phụ lục B của [1]) ∆= 𝐺�𝑢𝑘𝑣𝑘 𝑘 (1 − 2𝑛𝑘) , (1.2.10) 11 𝑁 = 2�[𝑣𝑘2(1 − 2𝑛𝑘) + 𝑛𝑘] 𝑘 , (1.2.11) 𝑢𝑘 2 = 12�1 + 𝜖𝑘 − λ − 𝐺𝑣𝑘2𝐸𝑘 � ; 𝑣𝑘2 = 1 − 𝑢𝑘2 , (1.2.12) 𝐸𝑘 = �(𝜖𝑘 − λ − 𝐺𝑣𝑘2)2 + ∆2 . (1.2.13) Trong phương trình (1.2.10) và (1.2.11), số lượng tử chiếm của các giả hạt nk lúc này được cho bởi phân bố Fermi-Dirac của các giả hạt Fermion tự do 𝑛𝑘 = 11 + 𝑒𝛽𝐸𝑘 . (1.2.14) Hệ các phương trình FTBCS[(1.2.10) – (1.2.14)]sẽ được giải bằng phương pháp lặp với các thông số ban đầu giống như tại T = 0, tuy nhiên có thêm thông số nhiệt độ T. Theo lý thuyết FTBCS, năng lượng toàn phần EFTBCS, nhiệt dung riêng CFTBCS, và entropy SFTBCS được tính bởi 𝐸𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆(𝑇) = 2�𝜖𝑘[(1 − 2𝑛𝑘)𝑣𝑘2 + 𝑛𝑘] 𝑘 − ∆2 𝐺 − 𝐺�𝑣𝑘 4(1 − 2𝑛𝑘) 𝑘 , (1.2.15) 𝑆𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆(𝑇) = −2�[𝑛𝑘ln𝑛𝑘 + (1 − 𝑛𝑘)ln(1 − 𝑛𝑘)] , 𝑘 (1.2.16) 𝐶𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆(𝑇) = 𝜕𝐸𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆𝜕𝑇 . (1.2.17) 1.3. Lý thuyết FTBCS có tính tới ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt (lý thuyết FTBCS1) Biến đổi một cách chi tiết từ phương trình biến phân (1.2.9) để tìm giá trị trung bình cực tiểu của HBCS trong GCE chúng ta thu được phương trình [6, 12] 2(𝜖𝑘′ − 𝐺𝑣𝑘2 − 𝜆)𝑢𝑘𝑣𝑘 − ∆𝑘(𝑢𝑘2 − 𝑣𝑘2) = 0 , (1.3.1) trongđó 𝜖𝑘 ′ = 𝜖𝑘 + 𝐺〈𝐷𝑘 〉�(𝑢𝑘′2 − 𝑣𝑘′2 )𝑘′ �〈�̂�𝑘†�̂�𝑘′≠𝑘† 〉 + 〈�̂�𝑘†�̂�𝑘′ 〉�, (1.3.2) với 𝐷�𝑘 = 1 −𝒩�𝑘 ;𝒩�𝑘 là toán tử số giả hạt;�̂�𝑘†và �̂�𝑘 tương ứng là các toán tử sinh và hủy giả hạt cho bởi công thức (1.1.10). Từ phương trình (1.3.1) ta thu được khe năng lượng kết cặp có dạng 12 ∆𝑘= 𝐺〈𝐷𝑘〉�〈𝐷𝑘𝐷𝑘′〉𝑢𝑘′𝑣𝑘′𝑘′ , (1.3.3) 𝑢𝑘 2 = 12�1 + 𝜖𝑘′ − λ − 𝐺𝑣𝑘2𝐸𝑘 � ; 𝑣𝑘2 = 1 − 𝑢𝑘2 , (1.3.4) 𝐸𝑘 = �(𝜖𝑘′ − λ − 𝐺𝑣𝑘2)2 + ∆𝑘2 . (1.3.5) Phương trình cho số hạt trong trường hợp này giống hệt phương trình (1.2.11) trong FTBCS.Các số hạng 〈�̂�𝑘 †�̂�𝑘′≠𝑘 † 〉 và 〈�̂�𝑘 †�̂�𝑘′ 〉 trong phương trình (1.3.2) phải được tính thông qua lý thuyết gần đúng pha ngẫu nhiên tự hợp trong biểu diễn giả hạt [6]. Tuy nhiên trong phạm vi luận văn này, chúng tôi bỏ qua đóng góp của các số hạng này bởi nếu đưa các số hạng này vào thì việc tính toán mật độ mức sẽ rất phức tạp. Do vậy, từ phương trình (1.3.2) chúng ta sẽ thu được𝜖𝑘′ = 𝜖𝑘. Trong phương trình (1.3.3), giá trị trung bình của 〈𝐷𝑘𝐷𝑘′〉được tính một cách chính xác bởi 〈𝐷𝑘𝐷𝑘′〉 = 〈𝐷𝑘〉〈𝐷𝑘′〉 + 𝛿𝒩𝑘𝑘′ , (1.3.6) trong đó 𝛿𝒩𝑘𝑘′ = 〈𝒩𝑘𝒩𝑘′〉 − 〈𝒩𝑘〉〈𝒩𝑘′〉 . (1.3.7) Số hạng𝛿𝒩𝑘𝑘′trong phương trình (1.3.7)có chứa các chuỗi khai triển boson vô hạn của các toán tử boson, do vậy không thể tính chính xác được [25]. Do đó, để tính được giá trị trung bình này, chúng tôi sử dụng phương pháp khai triển gần đúng trong trường trung bình (mean-field contraction) có dạng 𝛿𝒩𝑘𝑘′ ≃ 𝛿𝒩𝑘 2𝛿𝑘𝑘′ , (1.3.8) trong đó 𝛿𝒩𝑘 2 = 𝑛𝑘(1 − 𝑛𝑘) , (1.3.9) với 𝑛𝑘 = 〈𝒩𝑘〉2 = 12 (1 − 〈𝐷𝑘〉) . (1.3.10) Đại lượng𝛿𝒩𝑘2 trong phương trình (1.3.9) được gọi là thăng giáng số giả hạt. Thay (1.3.6) và (1.3.9) vào (1.3.3), chúng ta thu được phương trình cho khe năng lượng kết cặp bao gồm hai số hạng, số hạng phụ thuộc vào mức đơn hạt 𝛿∆𝑘 và số hạng không phụ thuộc vào mức đơn hạt ∆ ∆𝑘= ∆ + 𝛿∆𝑘 , (1.3.11) trong đó 13 ∆ = 𝐺�𝑢𝑘′𝑣𝑘′(1 − 2𝑛𝑘′) 𝑘′ , (1.3.12) 𝛿∆𝑘= 2𝐺 𝛿𝒩𝑘21 − 2𝑛𝑘 𝑢𝑘𝑣𝑘 = 2𝐺 𝑛𝑘(1 − 𝑛𝑘)1 − 2𝑛𝑘 𝑢𝑘𝑣𝑘 . (1.3.13) Hệ các phương trình (1.3.3) – (1.3.13) cùng với phương trình số hạt [có dạng giống hệt phương trình (1.2.11)] được gọi là các phương trình FTBCS1.Điểm khác biệt cơ bản giữa lý thuyết FTBCS và FTBCS1 nằm ở chỗ phương trình cho khe năng lượng kết cặp của FTBCS1 có chứa số hạng 𝛿∆𝑘 [phương trình (1.3.13)] phụ thuộc vào các thăng giáng số giả hạt. Theo lý thuyết FTBCS1, các phương trình tính toán cho năng lượng toàn phầnE, nhiệt dung riêng C, và entropy S của hệ có dạng giống hệt các phương trình (1.2.15) – (1.2.17) của FTBCS. Do vậy chúng tôi không viết lại các phương trình ở phần này. 1.4. Mật độ mức 1.4.1. Mật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS Theo mô hình thống kê nhiệt động học dựa trên lý thuyết FTBCS của Moretto đề xuất từ những năm 1970s và được sử dụng rộng rãi trong các tính toán mật độ mức sau này, mật độ mức của hạt nhân có N neutron,Z proton, và năng lượng Eđược tính thông qua logarithm của hàm phân chia lớn Ω (the grand partition function)có dạng [21] 𝑒𝛺 = � exp(𝛼𝑁𝑁 + 𝛼𝑍𝑍 − 𝛽𝐸) , 𝑁,𝑍,𝐸 (1.4.1) trong đó, 𝛼𝑁 = 𝛽𝜆𝑁 và 𝛼𝑍 = 𝛽𝜆𝑍 với 𝜆𝑁 và 𝜆𝑍 tương ứng là thế hoá thu được từ việc giải các phương trình FTBCS cho neutron và proton. Trong vế phải của phương trình (1.4.1), tổng được tính cho tất cả hạt nhân với N neutron, Z proton, và năng lượng E. Vì phổ năng lượng kích thích trong hạt nhân là liên tục nên tổng lấy theo năng lượng Ecó thể được thay thế bằng tích phân liên tục theo năng lượng có dạng 𝑒𝛺 = ��𝜔(𝐸,𝑁,𝑍)exp (𝛼𝑁𝑁 + 𝛼𝑍𝑍 − 𝛽𝐸) 𝑁,𝑍 𝑑𝐸 . (1.4.2) Sử dụng phépbiến đổi Laplace ngược của hàm phân chia lớn (1.4.2) chúng ta sẽ thu đượcmật độ trạng thái 𝜔(𝐸,𝑁,𝑍)có dạng 𝜔(𝐸,𝑁,𝑍) = 1(2𝜋𝑖)3 �𝑑𝛼𝑁 �𝑑𝛼𝑍 � 𝑒𝑆𝑑𝛽 , (1.4.3) 14 trong đó 𝑆 = Ω − 𝛼𝑁𝑁 − 𝛼𝑍𝑍 − 𝛽𝐸là entropy tổng (neutron + proton) của hệ, thu được từ các lý thuyết FTBCS[phương trình (1.2.16)]. Tích phân (1.4.3) được tính thông qua phương pháp gần đúng điểm yên ngựa (the saddle point approximation) với các điều kiện 𝑁 = 𝜕Ω 𝜕𝛼𝑁 ; 𝑍 = 𝜕Ω 𝜕𝛼𝑍 ; 𝐸 = −𝜕Ω 𝜕𝛽 . Biểu thức cuối cùng của mật độ trạng thái 𝜔(𝐸,𝑁,𝑍) = 𝑒𝑆(2𝜋)3/2𝐷1/2 , (1.4.4) trong đó D là định thức 3 x 3 có dạng 𝐷 = � � 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑁 2 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑁𝜕𝛼𝑍 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑁𝜕𝛽 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑍𝜕𝛼𝑁 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑍 2 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑍𝜕𝛽 𝜕2𝛺 𝜕𝛽𝜕𝛼𝑁 𝜕2𝛺 𝜕𝛽𝜕𝛼𝑍 𝜕2𝛺 𝜕𝛽2 � � . (1.4.5) Trong lý thuyết FTBCS, hàm phân chia lớnΩ được tính cụ thể theo công thức 𝛺(𝛼,𝛽) ≡ ln�tr�𝑒−𝛽𝐻�� = −𝛽�(𝜖𝑘 − 𝜆 − 𝐸𝑘) 𝑘 + 2� ln�1 + 𝑒−𝛽𝐸𝑘� − 𝛽 ∆2 𝐺 . 𝑘 (1.4.6) Lấy đạo hàm riêng phần bậc nhất và bậc hai của 𝛺(𝛼,𝛽) theo αN, αZ, và β chúng ta dễ dàng tìm được biểu thức cụ thể của các đạo hàm trong định thức (1.4.5) như sau [21] 𝜕2𝛺 𝜕𝛼2 = �(𝜖𝑘 − 𝜆)2 𝑘 𝑎𝑘 + ∆2�𝑏𝑘 𝑘 − 𝛽∆ 𝜕∆ 𝜕𝛼 �(𝜖𝑘 𝑘 − 𝜆) (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘) , 𝜕2𝛺 𝜕𝛽2 = 𝜆∆2�𝜖𝑘𝑏𝑘 𝑘 + ∆2�𝜖𝑘(𝜖𝑘 − 𝜆)𝑎𝑘 𝑘+ �𝜖𝑘2(𝜖𝑘 − 𝜆)2 𝑘 𝑎𝑘 (1.4.8) 15 +𝛽∆𝜕∆ 𝜕𝛽 � 𝜖𝑘(𝜖𝑘 − 𝜆) 𝑘 (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘) + 2 𝛽𝐺 � , 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝜕𝛽 = −𝜆∆2�𝑏𝑘 𝑘 −�𝜖𝑘(𝜖𝑘 𝑘 − 𝜆)2𝑎𝑘 − ∆2�(𝜖𝑘 𝑘 − 𝜆)𝑎𝑘 −𝛽∆𝜕∆ 𝜕𝛽 �(𝜖𝑘 − 𝜆) 𝑘 (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘) , 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑁𝜕𝛼𝑍 = 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑍𝜕𝛼𝑁 = 0 , trong đó, 𝑎𝑘 = 12𝐸𝑘2 sech2 12𝛽𝐸𝑘 , 𝑏𝑘 = 1𝛽𝐸𝑘3 tanh 12𝛽𝐸𝑘 , (1.4.11) 𝜕∆ 𝜕𝛽 = −∆2 ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝜖𝑘(𝜖𝑘 − 𝜆)𝑎𝑘𝑘 − 𝜆∑ 𝑏𝑘(𝜖𝑘 − 𝜆)𝑘𝑘 𝛽∆∑ (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘)𝑘 , (1.4.12) 𝜕∆ 𝜕𝛼 = −∑ (𝜖𝑘 − 𝜆)𝑘 (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘) 𝛽∆∑ (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘)𝑘 . (1.4.13) Biết được mật độ trạng thái chúng ta có thể dễ dàng tính được mật độ mức theo công thức 𝜌(𝐸∗,𝑁,𝑍) = 𝜔(𝐸∗,𝑁,𝑍)(2𝜋𝜎2)1/2 , (1.4.14) trong đó, hệ số ngưỡng spinσ (spin cut-off parameter) được tính bởi 𝜎2 = 12�𝑚𝑘2 𝑘 sech2 12𝛽𝐸𝑘 . (1.4.15) 16 1.4.2. Mật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS1 Theo lý thuyết FTBCS1 hàm phân chia lớn có dạng giống như hàm phân chia lớn của FTBCS [phương trình (2.4.6)]. Do đó các đạo hàm bậc nhất và hai của hàm phân chia lớn trong FTBCS1 cũng giống như trong FTBCS [phương trình (1.4.7) – (1.4.10)]. Sự khác biệt chỉ đến từ các đạo hàm bậc nhất của khe năng luợng theoα và β [phương trình (1.4.12) và (1.4.13)] bởi vì phương trình của khe năng lượng kết cặp theo FTBCS1 [phương trình (1.3.11)] không còn đơn giản như trong FTBCS nữa. Trong số hai đạo hàm 𝜕∆𝑘/𝜕𝛼 và 𝜕∆𝑘/𝜕𝛽 thì 𝜕∆𝑘/𝜕𝛽 có thể được tính bằng số một cách dễ dàng bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm bậc nhất 𝜕∆𝑘 𝜕𝛽 = −𝑇2 𝜕∆𝑘 𝜕𝑇 = −𝑇2 ∆𝑘(𝑇 + 𝛿𝑇) − ∆𝑘(𝑇) 𝛿𝑇 , (1.4.16) với khoảng nhiệt độ δTđược chọn một cách hợp lý. Ngược lại, việc tính đạo hàm 𝜕∆𝑘/𝜕𝛼lại khá phức tạp thay vì phương trình đơn giảnnhư (1.4.13).Đạo hàm này được tính bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của bên trái và bên phải phương trình (1.3.11) theoα. Từ đó chúng ta sẽ thu được một hệ phương trình phi tuyến cho 𝜕∆𝑘/𝜕𝛼 có dạng như sau [15] ��𝐴𝑘𝛽 𝜕∆𝑘 𝜕𝛼 + 𝐵𝑘� 𝑘 + 2 �𝐶𝑘 − 1𝐺�𝛽 𝜕∆𝑘𝜕𝛼 + 2𝐷𝑘 = 0 , (1.4.17) trongđó, 𝐴𝑘 = 1𝐸𝑘3 �(𝜆 − 𝜖𝑘)2(1 − 2𝑛𝑘) + 2𝛽∆𝑘2𝐸𝑘 (1 − 𝑛𝑘)𝑛𝑘� , (1.4.18) 𝐵𝑘 = −∆𝑘(𝜆 − 𝜖𝑘)𝐸𝑘3 �1 − 2𝑛𝑘 − 2𝛽𝐸𝑘 (1 − 𝑛𝑘)𝑛𝑘� , (1.4.19) 𝐶𝑘 = − 𝑛𝑘(1 − 𝑛𝑘)(1 − 2𝑛𝑘)2𝐸𝑘3 �(𝜆 − 𝜖𝑘)2(1 − 2𝑛𝑘) − 𝛽∆𝑘2𝐸𝑘 (2𝑛𝑘2 − 2𝑛𝑘 + 1)� , (1.4.20) 𝐷𝑘 = −𝑛𝑘(1 − 𝑛𝑘)∆𝑘(𝜆 − 𝜖𝑘)(1 − 2𝑛𝑘)2𝐸𝑘3 �1 − 2𝑛𝑘 − 𝛽𝐸𝑘 (2𝑛𝑘2 − 2𝑛𝑘 + 1)� . (1.4.21) Trong phương trình (1.4.14), năng lượng kích thích E* được tính bằng năng lượng toàn phần E(T) trừ cho năng lượng của trạng thái cơ bản tại nhiệt độ T = 0[27] 𝐸∗(𝑇) = 𝐸(𝑇) − 𝐸𝑔.𝑠(𝑇 = 0) , (1.4.22) 17 trong đó, năng lượng trạng thái cơ bản Eg.s được tính bằng năng lượng toàn phần tính theo FTBCS hoặc FTBCS1 tại nhiệt độ T = 0cộng với hiệu chỉnh năng lượng trạng thái cơ bản E0 𝐸𝑔.𝑠(𝑇 = 0) = 𝐸𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆(𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆1)(𝑇 = 0) − 𝐸0(𝑇 = 0) . (1.4.23) Hiệu chỉnh năng lượng trạng thái cơ bản E0 được thêm vào trong phương trình (1.4.23) nhằm mục đích mô tả một cách chính xác năng lượng trạng thái cơ bản (ground- state energy) hay năng lượng liên kết (binding energy) của hạt nhân bởi vì trong luận văn này chúng tôi chỉ sử dụng Hamiltonian kết cặp có dạng khá đơn giản [Phương trình (1.1.1)], trong đó các số hạng tương tác bậc cao hơn như tương tác lưỡng cực (dipole), tức cực (quadrupole), bát cực (octupole) chưa được tính tới. 18 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN 2.1. Các số liệu đầu vào cho tính toán Tính toán số được thực hiện với một số hạt nhân có số khối trung bình và nặng như 56Fe, 60Ni, 96Mo, 98Mo, và116Sn. Các mức năng lượng đơn hạt của các hạt nhân này được tính từ phương pháp trường trung bình Hartree-Fock (Hartree-Fock mean field) với lực tương tác nucleon-nucleon (NN) hiệu dụng cho bởi lực Skyrme MSk7 [27]. Lực MSk7 có 10 tham số (phương trình (1) của [27]), cùng với 4 tham số của hàm delta dùng cho lực tương tác cặp (phương trình (2) của [27]), và hai tham số hiệu chỉnh Wigner cho các hạt nhân có N = Z (số neutron bằng số proton) (phương trình (3) của [27]). Lực MSk7 đã mô tả khá tốt khối lượng của 9200 hạt nhân, bao gồm cả những hạt nhân nằm rất xa đường bền vững.Kết quả tính toán khối lượng của 1888 hạt nhân theo phương pháp Hartree-Fock kết hợp với lực MSk7 khá tốt với sai số bình phương trung bình so với dữ số liệu thực nghiệm là khoảng 0.738 MeV. Đối với mỗi hạt nhân, số mức đơn hạt được lấy từ mức năng lượng thấp nhất tới mức năng lượng có giá trị âm cuối cùng, nghĩa là tất cả các mức năng lượng đơn hạt có giá trị âm (bound states) đều được xét tới trong tính toán của chúng tôi.Các hằng số tương tác cặp của neutron (GN) và proton (GZ) được điều chỉnh sao cho khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ T =0trùng với giá trị thực nghiệm [23]. Giá trị của GN, GZ, và khe năng lượng kết cặp tương ứng tại T=0(∆N, ∆Z) cho các hạt nhân 56Fe, 60Ni, 96Mo,98Mo,và 116Sn được trình bày trong Bảng 1. Các giá trị này là giống nhau cho cả lý thuyết FTBCS1 cũng như FTBCS. GN(MeV) GZ (MeV) ∆N (MeV) ∆Z (MeV) 56Fe 0.367 0.413 1.400 1.613 60Ni 0.368 0.000 1.837 0.00 96Mo 0.202 0.233 1.112 1.354 98Mo 0.19 0.223 1.028 1.310 19 116Sn 0.139 0.000 1.144 0.000 Bảng 1.Giá trị của hằng số tương tác cặp GN, GZ, và khe năng lượng kết cặp tương ứng (∆N, ∆Z) tại T = 0 thu được từ lý thuyết FTBCS (FTBCS1) cho các hạt nhân 56Fe, 60Ni, 96Mo, 98Mo, và 116Sn. 2.2. Kết quả tính toán và phân tích 2.2.1. Khe năng lượng kết cặp Kết quả tính toán cho khe năng lượng kết cặptheo nhiệt độ được thể hiện trên Hình 1 (cho hai hạt nhân có khối lượng trung bình là56Fe và 60Ni) và Hình 2 (cho các hạt nhân có khối lượng nặng là96Mo, 98Mo, và 116Sn). Từ các hình vẽ này chúng ta có thể dễ dàng nhìn thấy khe năng lượng kết cặp thu được từ lý thuyết FTBCS (ΔFTBCS) và FTBCS1 (ΔFTBCS1) có giá trị giống nhau tại T = 0 rồi giảm dần khi T tăng. ΔFTBCSgiảm theo T và bằng không tại một giá trị nhiệt độ nhất định được gọi là nhiệt độ tới hạn Tc hay còn được gọi là nhiệt độ chuyển pha của hệ từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường. Giá trị của Tcthu được từ lý thuyết FTBCS được cho trong Bảng 2. Theo bảng này thì Tc có giá trị càng nhỏ khi hạt nhân càng nặng, ví dụ Tc = 1.04 MeV đối với neutron trong hạt nhân có khối lượng trung bình 60Ni, trong khi đó Tc = 0.62 MeV đối với neutron trong hạt nhân có khối lượng nặng 116Sn. Khe năng lượng kết cặp của proton trong hai hạt nhân 60Ni và 116Sn có giá trị bằng không bởi vì hai hạt nhân này có số proton (Z) là các số magic (60Ni có Z = 28 và 116Sn có Z = 50). Tại T < Tc, ΔFTBCS1 và ΔFTBCScó giá trị tương đối gần nhau. Tuy nhiên tại khác hẳn với ΔFTBCS , tại T > Tcthì ΔFTBCS1 không biến mất mà vẫn giảm rất chậm theo T và luôn có giá trị hữu hạn dù T có tăng tới giá trị rất cao lên tới 4 hoặc 5 MeV. Nguyên nhân vi mô dẫn tới tính chất này của ΔFTBCS1 chính là do các thăng giáng nhiệt, cụ thể là thăng giáng số giả hạt trong phương trình (1.3.13). Thăng giáng số giả hạt bằng không hoặc có giá trị rất nhỏ khi T Tc.ΔFTBCS1 tại T > Tc của hai hạt nhân có khối lượng trung bình 56Fe và 60Ni có giá trị cao hơn so với ΔFTBCS1 của ba hạt nhân có khối lượng nặng 96,98Mo, và 116Sn. Điều này chứng tỏ rằng thăng giáng số giả hạt càng lớn khi hạt nhân càng nhẹ. Ngoài ra, sự không biến mất của ΔFTBCS1 tại T > Tc cũng chứng tỏ rằng sự dịch chuyển 20 pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường trong hạt nhân đã bị xoá nhoà bởi các thăng giáng số giả hạt trong hệ. Nhiệt độ Hạt nhân 𝑇𝑐 (𝑀𝑒𝑉) Neutron Proton 56Fe 0.84 0.92 60Ni 1.04 0.0 96Mo 0.66 0.74 98Mo 0.62 0.72 116Sn 0.62 0.0 Bảng 2.Giá trị nhiệt độ tới hạn Tcthu được từ ký thuyết FTBCS cho neutron và proton đối với các hạt nhân 56Fe, 60Ni, 96Mo, 98Mo và 116Sn. 21 Hình 1.Khe năng lượng kết cặp theo hàm của nhiệt độ thu được từ lý thuyết FTBCS (đường chấm cho neutron và đường gạch một chấm cho proton) và FTBCS1 (đường gạch cho neutron và đường gạch hai chấm cho proton) cho hai hạt nhân có khối lượng trung bình56Fe (a) và 60Ni (b). 22 Hình 2. Giống Hình 1 nhưng cho hạt nhân 96Mo (a), 98Mo (b), và 116Sn (c). 23 2.2.2. Năng lượng kích thích toàn phần Hình 3 và 4biểu diễn năng lượng kích thích toàn phần E*(T) = E(T) – E(T=0) theo hàm của nhiệt độ thu được từ lý thuyết FTBCS (đường chấm) và FTBCS1 (đường gạch) cho các hạt nhân trung bình56Fe và 60Ni (Hình 3) và nặng 96Mo, 98Mo, và 116Sn (Hình 4). Năng lượng kích thích toàn phần ở đây được định nghĩa là năng lượng kích thích của cả neutron cộng với proton. Từ các hình vẽ này ta có thể thấy rằng năng lượng kích thích toàn phần thu được từ lý thuyết FTBCSvà FTBCS1 chỉ khác nhau ở vùng quanh nhiệt độ Tc, trong khi đó chúng có giá trị rất gần nhau ngoài vùng nhiệt độ này. Tại T = Tc, đường biểu diễn năng lượng kích thích thu được từ lý thuyết FTBCS thể hiện một đoạn gẫy khúc do sự biến mất của khe năng lượng kết cặp tại điểm nhiệt độ này. Trong khi đó, đường biểu diễn năng lượng kích thích thu được từ lý thuyết FTBCS1 là một đường trơn trên toàn bộ vùng nhiệt độ cần nghiên cứu do khe năng lượng kết cặp thu được từ lý thuyết FTBCS1 không biến mất tại Tc mà có giá trị hữu hạn và giảm dần theo sự tăng của nhiệt độ. Xung quanh vùng nhiệt độ chuyển phaTc, năng lượng kích thích thu được từ lý thuyết FTBCS luôn lớn hơn năng lượng kích thích thu được từ lý thuyết FTBCS1.Sựchênh lệch giữanăng lượng kích thích thu được từ lý thuyết FTBCS và FTBCS1 cho các hạt nhân có khối lượng trung bình như 56Fe [Hình 3(a)] và 60Ni [Hình 3(b)] luôn lớn hơn so với các hạt nhân có khối lượng nặng như96Mo [Hình 4(a)],98Mo [Hình 4(b)], và 116Sn [Hình 4(c)].Điều này chứng tỏ rằng thăng giáng nhiệt đã làm giảm năng lượng kích thích của hệ và hệ càng nhỏ thì sự giảm năng lượng này càng lớn. 24 Hình 3. Năng lượng kích thích toàn phần (neutron + proton)theo hàm của nhiệt độ thu được từ lý thuyết FTBCS (đường chấm) và FTBCS1 (đường gạch ) cho hạt nhân 56Fe (a) và 60Ni. 25 Hình 4. Giống Hình 3 nhưng cho hạt nhân 96Mo (a), 98Mo (b), và 116Sn (c). 2.2.3. Nhiệt dung riêng Hình 5 và 6 biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt dung riêng tổng cộng (neutron + proton)vào nhiệt độ cho các hạt nhân trung bình 56Fe [Hình 5