Luận văn Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh Trung học Cơ sở thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình

a hình chữ nhật là ẩn thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. GV cần hướng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả năng suy nghĩ để từ đó đặt vấn đề: Muốn tính chu vi hình chữ nhật cần biết những yếu tố nào? (cạnh hình chữ nhật) Từ đó gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m) (điều kiện x > 0) Thì chiều dài của hình chữ nhật là: x + 4 (m)  x2 + 4x - 1200 = 0 Giải phương trình ta được x1 = 30; x2 = - 34 40 Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào điều kiện để loại nghiệm x2, chỉ lấy nghiệm x1 = 30 Vậy Chiều rộng của hình chữ nhật là 30 (m) Chiều dài của hình chữ nhật 30 + 4 = 34 (m) Chu vi của hình chữ nhật là (30 + 34). 2 = 128 (m) c) Rèn luyện cho học sinh kĩ năng biểu thị tình huống thực tiễn thông qua những biểu thức biến và bằng biểu đồ, đồ thị, hình vẽ. Vấn đề này liên quan chặt chẽ với hai vấn đề trình bày ở trên, là cơ sở để thiết lập mô hình toán học cho tình huống thực tiễn. Nếu như không thực hiện được các điều ở trên thì không có công đoạn này. Ở đây, giáo viên cho học sinh thấy rõ một tổ hợp các mối liên hệ giữa các biểu thức chứa biến mô tả quy luật của tình huống chính là mô hình toán học của tình huống đó. Biểu thức càng đơn giản mô hình càng tốt. Ngoài ra cần hướng dẫn người học đa dạng hóa nhiều tình huống thực tiễn. Đây là cơ sở cho việc tìm ra nhiều phương án rất nhiều cách giải quyết vấn đề mà con người quan tâm. Một điều cần chú ý rằng là cần khai thác mô hình toán học dạng đồ thị, biểu đồ, hình vẽ, để mô tả các tình huống thực tiễn trong dạy học toán. Các mô hình dạng đồ thị cũng có tính chất riêng của nó. Theo các tác giả Ted Her và Ken Johnson việc sử dụng đồ thị có lợi thế là trực quan được tình huống thực tế, làm cho vấn đề dễ hiểu hơn và họ cũng khuyến khích việc sử dụng thường xuyên đồ thị [66, tr. 471]. Trong chương trình toán Trung học, người ta cũng dùng đồ thị để mô tả các hiện tượng vật lí. Chẳng hạn, dùng đồ thị của hàm số để mô tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều, chuyển động tròn đều, Các hiện tượng vật lí mà học sinh đã được trải nghiệm qua môn vật lí họ nắm được quy luật các hiện tượng này qua các công thức. Giáo viên cho học sinh mô tả những quy luật bằng đồ thị trong các cơ hội dạy học có liên quan. Một điều cần được chú ý ở đây là học sinh phải có kĩ năng “đọc” đồ thị. Đây không những là yêu cầu để học sinh lập được mô hình dạng đồ thị, mà còn giúp học sinh thông hiểu những bản tin về thời sự, kinh tế trên truyền hình hay “đọc” các bản vẽ kĩ thuật, Để thực hiện được vấn đề này, học sinh cần có kĩ năng vẽ đồ thị. Đồng thời với các hoạt động đó học sinh phải thông hiểu ý nghĩa của đặc trưng của các yếu tố trên hình. 41 Ví dụ 2.10. Một tàu hoả bắt đầu chuyển động từ nghỉ với gia tốc không đổi. Ở một thời điểm nào đó nó có vận tốc 30 m/s và đi tiếp 160m thì vận tốc của nó thành 50m/s. Hãy tính: (a) gia tốc của con tàu. (b) Thời gian để đi đoạn đường 160m nói trên (c) Thời gian cần thiết để nó đạt tốc độ 30 m/s (d) Khoảng cách tàu đi được từ nơi xuất phát đến nơi nó có tốc độ 30 m/s. (e) Vẽ đồ thị x theo t và v của con tàu . Giải: a) Gia tốc của con tàu là: 2 2 2 2 22 1 50 30 5 / 2. 2.160 v v a m s s      b) Thời gian để con tàu đi hết quãng đường 160m là: 2 1 50 30 4 5 v v t s a      c) Thời gian cần thiết để đạt tốc độ 30 m/s là: 30 6 5 v t s a    d) Vẽ đồ thị của x theo t và v của con tàu. Ta có 2 21 2,5 2 x at t  Đồ thị 2.1 Ví dụ 2.11. Một hình chữ nhật có kích thước là 20cm và 30cm. Người ta bớt mỗi kích thước của hình đi x (cm). Gọi chu vi của hình chữ nhật mới là y. x t(s) 250 200 150 100 50 0 2 4 6 8 10 x =2,5t2 42 a) Hãy lập công thức tính chu vi y của hình chữ nhật mới theo x. Khi đó chứng tỏ rằng y là một hàm số bậc nhất đối với biến x. b) Vẽ đồ thị hàm số trên với 0 < x < 20. c) Với giá trị nào của x thì chu vi hình chữ nhật mới bằng một nửa chu vi hình chữ nhật cho trước. Đáp số: a) y = - 4x +100 b) Đồ thị như hình vẽ (phần in đậm) 100 chu vi 80 60 40 20 y = -4x +100 với 0 < x < 20 0 10 20 30 40 kích thước bớt Đồ thị 2.2 d) x = 12,5 (cm) Giáo viên có thể cho học sinh rèn kĩ năng đọc đồ thị của bài toán thực tế sau Ví dụ 2.12. Một người đi từ Thái Bình đến Hà Nội rồi lại từ Hà Nội về Thái Bình. Đồ thị chuyển động (hình vẽ). Hỏi: 43 a) Mỗi đoạn thẳng OA, AB, BC của đồ thị cho biết điều gì? b) Người đó đi tất cả bao nhiêu kilômét? c) Tính tốc độ trung bình của người đó đi trong khoảng thời gian: - Từ 7h đến 10h - Từ 14h đến 16h30’ * Ta có đồ thị như sau : Khoảng cách (km) 100 A B Hà Nội Thái Bình C 0 7 8 9 10 11 12 13 14 Thời gian (Giờ) Đồ thị 2.3 Đáp số: a) * Đoạn thẳng OA trên đồ thị cho biết : - Người đó khởi hành từ Thái Bình lúc 7h - Người đó đến Hà Nội lúc 9 h30’ - Quãng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 2h 30’ là 100 km. * Đoạn thẳng AB cho biết người đó nghỉ tại Hà nội từ 9h 30’ đến 11h * Đoạn thẳng BC cho biết người đó đi từ Hà Nội từ lúc 11h đến 13h về đến Thái Bình. - Đoạn đường người đó đi được là 100km. 44 b) Người đó đi tất cả là 100 x 2 = 200km c) Tốc độ trung bình của người đó trong khoảng thời gian từ 7 h đến 9h30’ là: 100 : 2,5 = 40 (km/h) * Tốc độ trung bình người đó đi trong khoảng thời gian từ 11h đến 13h là: 100 : 2 = 50 (km/h) Với bài toán thực tế trên học sinh được rèn năng lực thu nhận thông tin qua mô hình đồ thị đã cho sẵn, xử lí thông tin để đọc được các dữ kiện của bài toán đã cho Ví dụ 2.13. Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6 m và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác? Hướng dẫn giải H C B A Hình 2.2 Theo hình vẽ trên, bài toán yêu cầu tìm đoạn nào, đã cho biết đoạn nào? Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố kiến thức. Cạnh huyền của tam giác vuông được tình như thế nào? h2 = c. b  AH2 = BH. CH Từ đó gọi độ dài của BH là x (x > 0) Suy ra HC có độ dài là x + 5,6 Theo công thức đã biết ở trên ta có phương trình: x. (x + 5,6) = (9,6)2 Giải phương trình trên ta được x = 7,2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy độ dài cạnh huyền là (7,2 + 5,6) + 7,2 = 20 (m) Ví dụ 2.14. Cho tam giác vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm. M là một điểm nằm trên AB. Qua M kẻ đường thẳng // với AC và BC lần lượt cắt AC và BC tại 45 N và D. hãy xác đinh điểm M để diện tích hình bình hành MNCD = 8 3 diện tích tam giác ABC. * Phân tích bài toán: SABC = ACAB  2 1 SMNCP = AM. NC D N B A C M Hình 2.3 Giải: Gọi độ dài AM là x (cm; 0<x<8) Theo định lí talet trong ABC với MN//BC Ta có: AC AN AB AM   68 ANx   AN = 4 3x (cm)  NC = AC - AN = 6 - 4 3x (cm) S MNCP = AM.NC = x(6 - 4 3x ) (cm2) S ABC = 2 1 AB.AC = 2 1 . 6 . 8 = 24 (cm2) Theo bài ra ta có PT: x. ( 6 - 4 3x ) = 24. 8 3  x2 - 8x + 12 = 0  x1 = 2 ; x2 = 6 (TMĐK) 46 Vậy điểm M cách A là 2cm hoặc 6cm. Ví dụ 2.15. Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc AB, điểm G thuộc AD sao cho AG = AD + 2 3 EB. Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x. Tính x và y để diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng 100 + 4 13 (cm) Giải: Theo giả thiết EB = 2x (cm); x>0 Ta có AE = y - 2x (cm) AG = AD + DG = y + 2 3 EB = y + 2 3 . 2x = y + 3x (cm) Do diện tích của hình chữ nhật GAEF Bằng AE. AG = ( y - 2x)( y+ 3x) Theodầu bài ta có: ( y - 2x) ( y + 3x) = y2 xy - 6x 2 = 0 Hình 2.4  x( y - 6x) = 0 V× x>0  y -6x = 0 (1) Mặt khác FC = 22 DGEB  = 22 94 yx  = x 13 Do chu vi của ngũ giác ABCFG bằng: 3y + x 13 + ( y - 2x) + 3x = x ( 1+ 13 )+ 4y Theo đề bài ta có PT: x( 1 + 13 ) + 4y = 100 + 4 13 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình y - 6x = 0 x( 1 + 13 ) + 4y = 100 + 4 13 Giải hệ phương trình ta được x = 4 và y = 24 ( TMĐK) Vậy x = 4cm và y = 24cm Tóm lại trong dạy học toán, nếu chúng ta biết lồng ghép hoạt động biến đổi mô hình toán học của bài toán để hình thành một cách hợp lí những ý tưởng đã trình bày ở trên thì sẽ góp phần đạt được hai mục đích: vừa phát triển trí tuệ cho HS vừa tăng A D G F C B E 2x y 47 cường khả năng ứng dụng toán học vào thực tế đời sống. Ngoài ra, biện pháp trên cũng góp phần ‘làm rõ mối liên hệ giữa toán học vào thực tiễn’ và nguyên tắc ‘đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng và tính thực tế’ trong dạy học toán. 2.2.2.4. Những điều lưu ý khi sử dụng biện pháp Chú ý đến những vốn văn hóa cho học sinh tập luyện hoạt động xây dựng các tình huống thực tiễn một cách phù hợp cho học sinh tập luyện hoạt động xây dựng mô hình. Chú trọng khai thác tình huống có trong sách giáo khoa phục vụ cho mục đích của luận văn. 2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô hình, đồng thời kiểm tra và điều chình mô hình toán học 2.2.3.1. Mục đích của biện pháp Giúp người học khai thác mô hình trên nhiều phương diện khác nhau, đưa toán học xâm nhập sâu rộng và trong đời sống thực tiễn. 2.2.3.2. Cơ sở và vai trò của biện pháp Thứ nhất, mô hình toán học của tình huống thực tiễn là công cụ đắc lực giúp con người nghiên cứu khám phá các tình huống mà nó mô tả. Bởi vậy, trong dạy học toán, cần tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô hình, quen dần với việc sử dụng mô hình toán học trong hoạt động thực tiễn. Thứ hai, bản thân mô hình cũng là một bài toán nên có thể khai thác, phục vụ cho mục đích dạy học. Mặt khác, trong quá trình khai thác các chức năng của mô hình mới có điều kiện phát hiện ra điều còn tồn tại để điều chỉnh, làm cho mô hình thực sự “tốt” hơn trong điều kiện có thể thực hiện được biện pháp này, có thể đạt được nhiều mục đích trong dạy học, đồng thời góp phần đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào trong cuộc sống. 2.2.3.3. Hướng dẫn thực hiện biện pháp Trước khi khai thác các chức năng của mô hình, phải làm cho học sinh hiểu rõ về mô hình. Những vấn đề học sinh cần nắm ở đây là: 1) Lớp đối tượng mà mô hình phản ánh 2) Hình thức ngôn ngữ dùng để xây dựng mô hình 48 3) Các yếu tố trên mô hình mô tả những khía cạnh của thực tiễn. Nếu như mô hình do người học tự xây dựng thì có thể bỏ qua công đoạn này. Ngược lại, cần phải thực hiện một cách nghiêm túc, trước khi hướng dẫn học sinh khai thác các chức năng của mô hình. Trong phạm vi của luận văn, chúng tôi khai thác các chức năng của mô hình: Khai thác mô hình trên phương diện là một bài thuần tuý toán học phục vụ cho dạy học; rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng mô hình trong việc dự đoán, ước tính tình huống; biến đổi mô hình (thể hiện trên mô hình) theo dụng ý sư phạm khác nhau của luận văn. a) Khai thác các bài toán trên một số mô hình phục vụ cho mục đích dạy học đồng thời giúp học sinh nắm chắc công cụ này trong việc vận dụng vào thực tiễn. Giải toán là hoạt động toán học chủ yếu ở trường THCS. Thông qua giải các bài toán trên mô hình, ngoài những tác dụng như trên, còn nhằm vào mục đích là tìm câu trả lời cho vấn đề thực hiện đặt ra. Chúng tôi cho rằng, giải toán trên mô hình, theo một nghĩa này đó là sự chuyển đổi ngôn ngữ toán học để biến mô hình toán học ban đầu về một mô hình toán học quen thuộc, mà việc giải quyết vấn đề đặt ra được dễ dàng. Ví dụ 2.16. Một tập đoàn đánh cá dự định trung bình mỗi tuần bắt được 20 tấn cá. Nhưng trong thực tế họ đã vượt mức kế hoạch 6 tấn một tuần nên chẳng những đã hoàn thành sớm một tuần mà còn vượt mức 10 tấn nữa. Hỏi theo kế hoạch, tập đoàn phải đánh bắt bao nhiêu tấn cá? Phân tích: Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số tấn cá đánh bắt trong tuần (đã biết), tổng số tấn cá và số tuần đánh bắt (chưa biết): theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan hệ: (Số tấn cá đánh bắt trong tuần) x (số tuần đánh bắt) = Tổng số tấn cá. Ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số tuần đánh bắt theo kế hoạch và y là tổng số tấn cá đánh bắt theo kế hoạch (ẩn được đề Hình 2.5 49 xuất) để chuyển bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán (Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng) Bảng 2.2. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.16 Số tấn cá đánh bắt trong 1 tuần Số tuần Tổng số tấn cá Theo kế hoạch 20 x y Đã thực hiện 26 x - 1 y+10 Khi đó: Phương trình (1) được thiết lập dựa trên định mức trong kế hoạch Phương trình (2) được thiết lập dựa trên việc thực hiện kế hoạch trong thực tế Như vậy theo điều kiện đề bài ta có hệ phương trình: 20 26( 1) 10 x y x y      Ví dụ 2.17. Một người đi từ A đến B gồm quãng đường AC và CB hết thời gian là 4 giờ 20 phút. Tính quãng đường AC và CB biết rằng vận tốc của người đó trên AC là 30 km/h, trên CB là 20 km/h và quãng đường AC ngắn hơn CB là 20km. Phân tích: Đối với dạng toán này, GV cần hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng sơ đồ hình vẽ: Hình 2.6 vAC = 30 km/h; vCB = 20km/h tAB=4 giờ 20 phút = 3 13 (giờ) SBC - SAC = 20 (km) Sau đó GV hướng dẫn HS lập bảng phân tích thông qua các câu hỏi: A C B y(km) x(km) 50 Bảng 2.3. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.17 v (km/h) t (h) S (km) Quãng đường AC 30 30 x x Quãng đường CB 20 20 y y Quãng đường AB 3 13 Theo đề bài ta biết được những ô nào? HS: vAC, vCB, tAB Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào? HS: Quãng đường AC và CB Hãy chọn các đại lượng đó là ẩn (SAC : x(km), SCB : y (km), đk 0<x<y) Quãng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào? HS: y - x = 20 hay -x + y = 20 (1) Biết quãng đường và vận tốc đi trên mỗi quãng đường, ta tính được đại lượng nào? HS: thời gian đi trên mỗi quãng đường Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút = 3 13 (giờ) nên ta có phương trình thế nào? HS: 3 13 2030  yx (2) Từ (1) và (2) ta đã tìm được hệ phương trình của bài toán Sau khi phân tích xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng: Như ta đã phân tích ở trên thì bài toán này còn có thời gian đi trên mỗi quãng đường chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn thời gian đi trên mỗi quãng đường là ẩn. Nếu gọi thời gian đi trên quãng đường AC là x (km), điều kiện x > 0 Thời gian đi trên quãng đường CB là y (km), điều kiện y > 0 Khi đó ta có bảng phân tích như sau: 51 Bảng 2.4. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.17 (cách 2) v (km/h) t (h) S (km) Quãng đường AC 30 x 30x Quãng đường CB 20 y 20y Quãng đường AB 3 13 Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút = 3 13 (giờ) nên ta có phương trình thế nào? HS: x + y = 3 13 (1) Quãng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào? HS: 20y - 30x = 20 hay -30x + 20y =20 (2) Từ (1)