Luận văn Các mô hình chuỗi thời gian tài chính

t→∞ Mt 〈M〉t = 0 (1.23) 13 Chương 2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính Mục đích chương này nhằm giới thiệu các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính tiêu biểu như quá trình trung bình trượt MA, các quá trình tự hồi quy AR, hồi quy tích hợp ARMA và mô hình ARIMA cùng ứng dụng của nó vào phân tích và dự báo biến số kinh tế vĩ mô. 2.1 Quá trình trung bình trượt 2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1) Quá trình MA(1) mô tả quá trình yt (giá tài sản tài chính,trái phiếu,cổ phiếu,tỷ giá...) theo thời gian phụ thuộc vào ut (nhiễu trắng) nhưng không phụ thuộc vào biến trễ của nó. yt = µ +ut +θut−1 (2.1) trong phương trình (2.1), µ là hằng số còn ut là nhiễu trắng (white noise), Eut = 0;varut = σ2 và us(t 6= s) là độc lập. Ta có Eyt = µ V aryt = ( θ 2+1 ) σ2 (2.2) 14 Mặt khác γ1 = cov(yt;yt−1) = E (yt −µ)(yt−1−µ) = E (ut +θut−1)(ut−1+θut−2) = θEu2t−1 = θσ2 (2.3) và γk = cov(yt ;yt−k) = E (yt −µ)(yt−k−µ) = E (ut +θut−1)(ut−k +θut−k−1) = 0(k > 1) (2.4) Như vậy với quá trình MA(1) thì từ (2.2), (2.3), (2.4) ta có Eyt;V aryt;cov(yt;yt−k) /∈ t Do đó quá trình MA(1) là chuỗi dừng. Ta có ACF (k) = ρk = γkγ0 = 0(k > 1) ρ1 = γ1γ0 = θσ 2 σ 2(θ2+1) = θ θ2+1 (2.5) 2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- MA(q) Quá trình MA(q) có dạng: yt = µ +ut +θ1ut−1+θ2ut−2+ ...+θqut−q (2.6) với µ là hằng số còn ut là nhiễu trắng (white noise), Eut = 0;varut = σ2 và us(t 6= s) là độc lập. Dễ thấy Eyt = µ V aryt = ( θ 21 +θ 22 + ...+θ 2q ) σ2 γk = cov(yt;yt−k) = E (yt −µ)(yt−k−µ) = E ( ut +θ1ut−1+ ...+θqut−q )( ut−k +θ1ut−k−1+ ...+θqut−k−q ) =  σ 2 q−k ∑ i=0 θiθi+k (k ≤ q) 0(k > q) Vậy với bất kì các giá trị của θ1;θ2...θq thì giá trị trung bình, phương sai và hệ số tương quan của yt đều không phụ thuộc vào thời gian. Do đó MA(q) cũng là quá trình dừng. 15 2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA(∞) Quá trình trung bình trượt vô hạn có dạng: yt = µ + +∞ ∑ k=0 ψkut−k (2.7) Điều kiện để chuỗi dừng là chuỗi +∞ ∑ k=0 ψ2k <+∞. Khi chuỗi dừng ta có Eyt = µ V aryt = Lim k→∞ V ar(µ +ψ0ut +ψ1ut−1+ ...+ψkut−k) = Lim k→∞ ( ψ20 +ψ21 + ...+ψ2k ) σ2 = ( +∞ ∑ k=0 ψ2k ) σ2 (2.8) 2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive) 2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1) 2.2.1.1 Quá trìnhAR(1) không có hệ số chặn Quá trình AR(1) không có hệ số chặn có dạng như sau yt = ϕyt−1+ut (2.9) trong phương trình(2.9) ϕ là hàm số và ut là nhiễu trắng (white noise). Như vậy yt không những phụ thuộc vào ut mà còn phụ thuộc vào biến trễ của chính nó yt−1 Tính toán đệ quy ta được yt = ϕ ty0 + ( ut +ϕ t−1ut−1+ ...+ϕu1 ) Do đó Eyt = ϕ ty0 Varyt = σ2 ( 1+ϕ2+ϕ4+ ...+ϕ2(t−1) ) = σ2 1−ϕ 2t 1−ϕ2 Ta thấy khi −1 < ϕ < 1 và với t đủ lớn thì Lim t→∞ Eyt = Limt−→∞ ϕ ty0 = 0 Lim t→∞ Varyt = Limt−→∞ σ 2 1−ϕ2t 1−ϕ2 = σ2 1−ϕ2 (2.10) 16 Hệ số tương quan γ1 = cov(yt ;yt−1) = cov(ϕyt−1+ut;yt−1) = ϕvaryt - 1+ cov ( ut;ϕ t−1y0 +ut−1+ ...+ϕu1 ) ︸ ︷︷ ︸ 0 = ϕvaryt - 1 Do đó ACF(1) = ρ1 = cov(yt ;yt−1) varyt = ϕ và γ2 = cov(yt;yt−2) = cov(ϕyt−1+ut;yt−2) = cov ( ϕ2yt−2+ϕut−1+ut;yt−2 ) = ϕ2varyt - 2+ cov(ϕut−1+ut;yt−2)︸ ︷︷ ︸ 0 = ϕ2varyt - 2 Tổng quát γk = ϕkvaryt - k = ϕkvaryt (với t đủ lớn) Suy ra ACF(k) = ρk = γk γ0 = ϕk → 0(k → ∞) (2.11) Từ (2.10), (2.11) thì ta vẫn có thể coi AR(1) là chuỗi dừng khi −1 < ϕ < 1 và với t đủ lớn. Như vậy ta có nhận xét là với chuỗi dừng thì ACF(k) sẽ giảm về 0 khi k tăng còn với chuỗi không dừng thì không có xu hướng đó. Nếu sử dụng toán tử trễ ta có yt = ϕyt−1+ut ⇔ (1−ϕL)yt = ut (2.12) Vì thế nếu |ϕ|< 1 thì yt là dừng và ∃(1−ϕL)−1 = 1+ϕL+ϕ2L2 + ... Do đó từ (2.12) yt =(1−ϕL)−1 ut = ( 1+ϕL+ϕ2L2 + ... ) ut = ut+ϕut−1+ϕ2ut−2+ ... (2.13) 17 Điều này ngụ ý là AR(1) dừng có thể được trình bày như quá trình MA(∞).Tính toán ta cũng thu được kết quả tương tự như trên Eyt = 0 V aryt = σ2 ( 1+ϕ2+ϕ4+ ... ) = σ2 11−ϕ2 γk = cov (yt;yt−k) = E (ytyt−k) = E ( ut +ϕut−1+ϕ2ut−2+ ... )( ut−k +ϕut−k−1+ϕ2ut−k−2+ ... ) = E ( ϕku2t−k +ϕk+2ut−k−1+ .... ) = σ2ϕk ( 1+ϕ2+ϕ4+ ... ) = σ 2ϕk 1−ϕ2 = ϕ kvaryt Suy ra ACF(k) = ρk = γk γ0 = ϕk → 0(k → ∞) 2.2.1.2 Bước ngẫu nhiên(Random walk) Bước ngẫu nhiên là trường hợp đặc biệt của AR(1) với ϕ = 1 yt = yt−1+ut (2.14) Khi đó yt = y0+(u1+u2+ ...+ut) Ta có Eyt = Ey0 = const nhưng varyt = tσ2 phụ thuộc vào thời gian t nên bước ngẫu nhiên không phải là chuỗi dừng. Hơn nữa γ1 = cov(yt ;yt−1) = cov(yt−1+ut;yt−1) = cov(yt−1;yt−1) = varyt−1 = (t−1)σ2. ⇒ γk = cov(yt;yt−k) = (t− k)σ2 ⇒ ACF(k) = γkvaryt = t−k t ACF(k) cũng phụ thuộc thời gian t,nó không phải là chuỗi dừng. ACF(k) sẽ không có xu hướng giảm về 0 khi độ trễ k tăng lên. Để tạo một bước ngẫu nhiên trong Eviews ta làm như sau: Smpl 1 1 Genr yt=0 Smpl 2 500 Genr yt=yt(-1)+nrnd Smpl 1 500 18 Hình 2.1: Bước ngẫu nhiên Plot yt Những người theo trường phái lí thuyết thị trường hiệu quả (efficient market) cho rằng giá một tài sản tài chính ở thời điểm hiện tại là phản ánh đầy đủ thông tin hiện có trên thị trường. Điều đó có nghĩa là giá chuyển động là ngẫu nhiên (Random walk),do đó không thể dự báo và phân tích kĩ thuật (technical analysis) là hoàn toàn vô nghĩa. Ngược lại,những người theo trường phái kĩ thuật cho rằng giá tài sản tài chính phản ánh không phải tốt nhất thông tin hiện có, đôi khi chậm hơn thông tin được công bố và thị trường trong nhiều trường hợp là có thể dự báo được. 2.2.1.3 Quá trình AR(1) có hệ số chặn Quá trình AR(1) có hệ số chặn có dạng yt = α +ϕyt−1+ut (2.15) như vậy quá trình này chỉ khác AR(1) ở trên là có hệ số α Dùng toán tử trễ ta đưa về (1−ϕL)yt = α +ut (2.16) Nếu |ϕ|< 1 thì ∃(1−ϕL)−1 = 1+ϕL+ϕ2L2 + ... 19 Từ (2.16) ta suy ra yt = ( 1+ϕL+ϕ2L2 + ... ) (α +ut) = α ( 1+ϕ +ϕ2+ ... ) +ut +ϕut−1+ϕ2ut−2+ ... = α1−ϕ +ut +ϕut−1+ϕ2ut−2+ ... Do đó Eyt = α1−ϕ V aryt = σ2 ( 1+ϕ2+ϕ4+ ... ) = σ 2 1−ϕ2 ACF(k) = γkγ0 = ϕ k (2.17) Như vậy từ (2.17) thì AR(1) có thể coi là một chuỗi dừng khi |ϕ|< 1 và t đủ lớn. 2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p) Trong mục này ta sẽ xem xét quá trình hồi quy tổng quát cấp p yt = ϕ0 +ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+ ...+ϕpyt−p+ut (2.18) trong đó các ϕi(i = 0; p) là các hàm thực còn ut là nhiễu trắng. Như vậy yt ngoài phụ thuộc vào nhiễu trắng còn phụ thuộc vào p biến trễ của chính nó. Dạng toán tử trễ ( 1−ϕ1L−ϕ2L2− ...−ϕpLp ) yt = ϕ0+ut (2.19) Kí hiệu ϕ (L) = 1−ϕ1L−ϕ2L2− ...−ϕpLp thì ta có ϕ (L)yt = ϕ0 +ut Phương trình đặc trưng của AR(p) là 1−ϕ1z−ϕ2z2− ...−ϕpzp = 0 (2.20) Quá trình AR(p) dừng khi các nghiệm của phương trình (2.20) nằm ngoài đường tròn đơn vị. Khi đó Eyt = ϕ0 1−ϕ1−ϕ2− ...−ϕp = µ 20 Hệ số tương quan γk = E (yt −µ)(yt−k−µ) Vì yt −µ = ϕ1(yt−1−µ)+ϕ2(yt−2−µ)+ ...+ϕp(yt−p−µ)+ut Suy ra (yt−µ)(yt−k−µ)=ϕ1(yt−1−µ)(yt−k−µ)+ ...+ϕp(yt−p−µ)(yt−k−µ)+ut(yt−k−µ) Lấy kì vọng hai vế ta được phương trình Yule-Walker γk =  ϕ1γk−1+ϕ2γk−2+ ...+ϕpγk−p (k = 1,2...)ϕ1γk−1+ϕ2γk−2+ ...+ϕpγk−p+σ2 (k = 0) (2.21) 2.2.3 Xác định bậc của AR(p) bằng PACF Hàm tương quan riêng PACF là công cụ hữu ích trong việc xác định bậc của quá trình AR. PACF(k) được sử dụng để đo lường mức độ giữa yt và yt−k khi các ảnh hưởng của các độ trễ từ 1 đến k-1 đã được loại trừ. Giả sử akl là hệ số của quá trình AR(k) yt = ak1yt−1 +ak2yt−2+ ...+akkyt−k +ukt thì PACF(k) = ρkk = akk Ta có k phương trình Yule-Walker ρ j = ak1ρ j−1+ak2ρ j−2+ ...+akkρ j−k ( j = 1,2...k) (2.22) hoặc viết dưới dạng ma trận 1 ρ1 ρ1 · · · 1 ρk−1 ρk−2 ... ... ... ρk−2 ρk−1 ρk−2 · · · ρ1 1   ak1 ak2 · · · akk−1 akk  =  ρ1 ρ2 · · · ρk−1 ρk  (2.23) Từ (2.23) và theo quy tắc Cramer akk = detP∗k detPk ,k = 1,2... 21 trong đó Pk =  1 ρ1 ρ1 · · · 1 ρk−1 ρk−2 ... ... ... ρk−2 ρk−1 ρk−2 · · · ρ1 1  và P∗k =  1 ρ1 ρ1 · · · 1 ρk−2 ρk−3 ... ... ... ρk−2 ρk−1 ρk−2 · · · ρ1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ρ1 ρ2 ρk  nhận được từ Pk bằng cách thay cột cuối cùng bằng ma trận ở vế phải Do cột cuối cùng của P∗k là tổ hợp tuyến tính của nhỏ hơn k-1 cột đầu tiên nên detP∗k = 0 với các quá trình AR bậc nhỏ hơn k. Nhận xét: -Như vậy với AR(p) thì PACF sẽ khác 0 cho đến độ trễ p và bằng 0 ngay sau đó. Tính chất này cho phép ta xác định được bậc quá trình AR từ việc quan sát PACF nhận được từ mẫu. -Với quá trình MA(q) thì ACF sẽ bằng 0 sau độ trễ thứ k=q. Hai nhận xét quan trọng này giúp ta xác định mô hình phù hợp cho chuỗi dữ liệu tuân theo MA hoặc AR bằng cách quan sát lược đồ tự tương quan của chuỗi dữ liệu đó. 2.2.4 Ước lượng tham số của quá trình AR(p) Trong mục này,ta viết lại quá trình AR(p) dưới dạng yt = µt +ut µt = ϕ0+ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+ ...+ϕpyt−p (2.24) Một trong những vấn đề trọng tâm của thống kê là ước lượng tham số. Tham số cần ước lượng ở đây là θ = (ϕ0,ϕ1...ϕp) với giả sử rằng y0,y−1... là đã biết và nhiễu trắng ut là quá trình Gauss. 22 Một trong những phương pháp ước lượng phổ biến là ước lượng hợp lí cực đại(maximum likelihood). Ta tìm tham số ước lượng θ̂ làm cực đại hàm hợp lí,tức là θ̂t = max θ pθ (y1,y2...yt) trong đó pθ (y1,y2...yt) là hàm mật độ đồng thời của vecto Gauss (y1,y2...yt) Để đơn giản ta xét quá trình AR(1) yt = ϕ0+ϕ1yt−1+ut y0 = 0 (2.25) Giả sử ut là quá trình Gauss và Luật(yt |ℑt−1)∼ N ( µt ;σ2t ) trong đó µt = E (yt |ℑt−1) = ϕ0+ϕ1yt−1 σ2t = E ( (yt −µt)2 |ℑt−1 ) = Eu2t = 1 (2.26) Ta có kết quả ước lượng sau đây: Mệnh đề 2.2.4 Với các giả định trên thì ước lượng hợp lí cực đại của tham số ϕ1 của quá trình AR(1) trong (2.25) là ϕ̂1 = ϕ1 + Mt〈M〉t trong đó Mt là martingale và 〈M〉t là đặc trưng bình phương(quadratic characteristic) của martingale đó. Hơn nữa ϕ̂1 là ước lượng vững cho ϕ1. Chứng minh Hàm mật độ đồng thời là pθ (y1,y2...yt) = 1( √ 2pi) t exp [ −1 2 t ∑ k=1 (yk−ϕ0−ϕ1yk−1)2 2 ] với tham số cần ước lượng θ = (ϕ0,ϕ1).Lấy loga hai vế log pθ (y1,y2...yt) = log 1( √ 2pi) t − 12 t ∑ k=1 (yk−ϕ0−ϕ1yk−1)2 2 23 Ước lượng hợp lí cực đại là nghiệm của phương trình hợp lí ∂ log pθ ∂ϕ0 = 0 ∂ log pθ ∂ϕ1 = 0 ⇔  t ∑ k=1 (yk−ϕ0−ϕ1yk−1) = 0 t ∑ k=1 (yk−ϕ0−ϕ1yk−1)yk−1 = 0 (2.27) Giải hệ (2.27) ta thu được ϕ̂0; ϕ̂1 Trong trường hợp ϕ0 = 0 đã biết thì AR(1) viết thành yt = ϕ1yt−1+ut . Từ hệ trên ta có ϕ̂1 = t ∑ k=1 ykyk−1 t ∑ k=1 y2k−1 = t ∑ k=1 yk−1 (ϕ1yk−1+uk) t ∑ k=1 y2k−1 = ϕ1 + t ∑ k=1 yk−1uk t ∑ k=1 y2k−1 (2.28) Đặt Mt = t ∑ k=1 yk−1uk (2.29) Ta chứng minhMt là martingale với 〈M〉t = t ∑ k=1 y2k−1 là đặc trưng bình phương(quadratic characteristic). Thật vậy E (Mt |ℑt−1) = E (Mt−1+utyt−1 |ℑt−1 ) = Mt−1+ yt−1Eut = Mt−1+0 = Mt−1 Vậy Mt là martingale với đặc trưng bình phương trong khai triển Doob là 〈M〉t = t ∑ k=1 E [ (∆Mk)2 |ℑk−1 ] = t ∑ k=1 E ( y2k−1u 2 k |ℑk−1 ) = t ∑ k=1 y2k−1 (2.30) Vậy từ (2.28),(2.29),(2.30) ta thu được: ϕ̂1 = ϕ1+ Mt〈M〉t (đpcm) Mặt khác vì 〈M〉t −−−→t→∞ ∞ nên theo định lý 1.3.3.4 về luật mạnh số lớn của mar- tingale bình phương khả tích ta có Mt〈M〉t −−−→t→∞ 0 với xác suất 1. Do đó ϕ̂1 −−−→ t→∞ ϕ1 với xác suất 1. Hay nói cách khác khác ϕ̂1 là ước lượng vững cho ϕ1 . 24 2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q) Quá trình ARMA là quá trình tích hợp của hai quá trình tự hồi quy AR và trung bình trượt MA. Do đó nó có dạng tổng quát sau yt = ϕ0+ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+ ...+ϕpyt−p+ut +θ1ut−1+θ2ut−2+ ...+θqut−q (2.31) Hay dạng toán tử trễ( 1−ϕ1L−ϕ2L2− ...−ϕpLp ) yt = ϕ0+ ( 1+θ1L+ ...+θqLq ) ut ⇔ ϕ (L)yt = ϕ0+θ (L)ut (2.32) Với ϕ (L) = 1−ϕ1L−ϕ2L2− ...−ϕpLp θ (L) = 1+θ1L+θ2L2 + ...+θqLq Nếu các nghiệm của phương trình 1−ϕ1z−ϕ2z2− ...−ϕpzp = 0 đều nằm ngoài đường tròn đơn vị thì yt = [ϕ (L)]−1 ϕ0 + ( 1+θ1L+...+θqLq 1−ϕ1L−...−ϕpLp ) ut = µ +ψ (L)ut Trong đó µ = [ϕ (L)]−1 ϕ0 = ϕ01−ϕ1−...−ϕp ψ (L) = 1+θ1L+...+θqL q 1−ϕ1L−...−ϕpLp = 1+ψ1L+ψ2L 2 +ψ3L3 + ...( +∞ ∑ k=0 |ψk|<+∞ ) Ví dụ với p=1;q=1 thì ta có ψ (L) = 1+θ1L1−ϕ1L = (1+θ1L) ( 1+ϕ1L+ϕ21 L2 + ... ) = 1+L(ϕ1+θ1)+L2ϕ1 (ϕ1+θ1)+L3ϕ21 (ϕ1+θ1)+ .... Như vậy ψ1 = ϕ1 +θ1;ψ2 = ϕ1 (ϕ1+θ1) ;ψ3 = ϕ21 (ϕ1 +θ1) ... Do ϕ (L) = ϕ0 + θ (L)ut nên tính dừng của quá trình ARMA chỉ phụ thuộc vào các tham số ϕi ( i = 1, p ) mà không phụ thuộc vào các tham số θi ( i = 1,q ) Chú ý: Ta nói chuỗi thời gian khả nghịch nếu ta có thể tái hiện các ut qua các giá trị hiện tại và quá khứ yt,yt−1....Ví dụ MA(1) là khả nghịch, AR(p) là khả nghịch. 25 2.2.6 Dự báo 2.2.6.1 Dự báo quá trình AR(p) Xét quá trình AR(1) yt = α +ϕyt−1+ut (2.33) với |ϕ|< 1 Ta có Eyt = µ = α1−ϕ ⇒ α = µ (1−ϕ) Phương trình (2.33) viết dưới dạng toán tử trễ: (1−ϕL)yt = α +ut ⇔ (1−ϕL)(yt −µ) = ut ⇒ yt −µ = (1−ϕL)−1 ut ⇒ yt = µ + ( 1+ϕL+ϕ2L2 + ... ) ut (2.34) Mặt khác ψ(L) Ls = ϕs +ϕs+1L+ϕs+2L2 + ...= ϕs ( 1+ϕL+ϕ2L2 + ... ) = ϕs (1−ϕL)−1 và yt Ls = µ + (1−ϕL)−1ut Ls ⇔ yt+s = µ +(1−ϕL)−1 ut+s Dự báo ŷt+s = µ +E [ (1−ϕL)−1 ut+s ] Từ ut = (1−ϕL)(yt −µ) ⇒ ut+s = (1−ϕL)(yt−µ)Ls Ta có ŷt+s = µ +E [ (1−ϕL)−1 Ls (1−ϕL)(yt −µ) ] ŷt+s = µ +ϕs (1−ϕL)−1 (1−ϕL)(yt −µ) = µ +ϕs (yt −µ) 26 2.2.6.2 Dự báo quá trình MA(q) Quá trình MA(q) có dạng yt = µ +ut +θ1ut−1+θ2ut−2+ ...+θqut−q (2.35) Hay dạng toán tử trễ yt −µ = ( 1+θ1L+θ2L2 + ...+θqLq ) ut (2.36) Suy ra yt+s = µ + ( 1+θ1L+...+θqLq Ls ) ut yt+s = µ + ( 1+θ1L+ ...θqLq ) ut+s Từ phương trình (2.36) yt −µ = ( 1+θ1L+θ2L2 + ...+θqLq ) ut Kéo theo ut = yt−µ 1+θ1L+...+θqLq ⇒ ut+s = yt−µLs(1+θ1L+...+θqLq) Do đó yt+s = µ + ( 1+θ1L+...+θqLq Ls ) . ( 1 1+θ1L+...+θqLq ) (yt −µ) Mặt khác 1+θ1L+...+θqLq Ls =  θs +θs+1L+ ...+θqLq−s ( s = 1;q ) 0(s≥ q+1) Ta được ŷt+s = µ + ( θs +θs+1L+ ...+θqLq−s ) ut 27 2.2.6.3 Dự báo quá trình ARMA(1;1) Dạng toán tử của ARMA(1;1) (1−ϕL)(yt −µ) = (1+θL)ut (2.37) Quá trình này dừng với |ϕ|< 1 Dự báo ŷt+s = µ + (1+θL)(1−ϕL)Ls ut = µ + 1+θL 1−ϕLut+s = µ + 1+θL(1−ϕL)Ls . 1−ϕL 1+θL (yt −µ) Mà 1+θL (1−ϕL)Ls = 1+ϕL+ϕ2L2+... Ls + θL(1+ϕL+ϕ2L2+...) Ls = ( ϕs +ϕs+1L+ϕs+2L2 + ... ) +θ ( ϕs−1+ϕsL+ϕs+1L2 + ... ) = ϕs ( 1+ϕL+ϕ2L2 + ... ) +θϕs−1 ( 1+ϕL+ϕ2L2 + ... ) = ( ϕs +θϕs−1 ) (1−ϕL)−1 Suy ra ŷt+s = µ + ϕ s+θϕ s−1 1−ϕL . 1−ϕL 1+θL (yt −µ) = µ + ϕ s+θϕ s−1 1+θL (yt −µ) ŷt+s−1 = µ + ϕ s−1+θϕ s−2 1+θL (yt −µ) Và ŷt+s−µ = ϕ ( ŷt+s−1−µ ) Ví dụ với s=1 ŷt+1 = µ + ϕ+θ1+θL (yt −µ) ⇒ ŷt+1−µ = [ ϕ(1+θL)+θ(1−ϕL) 1+θL ] (yt −µ) = ϕ (yt −µ)+θεt với εt = ( 1−ϕL 1+θL ) (yt −µ) = yt − ŷt 2.2.6.4 Dự báo quá trình ARMA(p;q) Xét quá trình dừng và khả nghịch ARMA(p;q)( 1−ϕ1L−ϕ2L2− ...−ϕpLp ) (yt −µ) = ( 1+θ1L+θ2L2 + ...+θqLq ) ut Tương tự như phần trên ta có ŷt+1−µ = ϕ1 (yt −µ)+ϕ2 (yt−1−µ)+ ...+ϕp ( yt−p+1−µ ) +θ1ε1 +θ2ε2 + ...+θqεq với εt = yt − ŷt 28 2.2.6.5 Dự báo quá trình ARIMA(p;d;q) Ta hiểu quá trình này là quá trình ARMA(p;q) sau khi lấy sai phân bậc d. Kí hiệu y∗t = ∆d (yt):sai phân bậc d là chuỗi dừng. Gọi p là bậc tự hồi quy và q là bậc trung bình trượt của y∗t = ∆d (yt) ta có quá trình ARIMA(p;d;q)( 1−ϕ1L−ϕ2L2− ...−ϕpLp ) (y∗t −µ) = ( 1+θ1L+θ2L2 + ...+θqLq ) ut Khi dự báo ta sẽ dự báo cho chuỗi y∗t = ∆d (yt) sau đó suy ra cho chuỗi yt . Box và Jenkin(1976) đã đưa ra các bước để dự báo quá trình ARIMA(p;d;q) gọi là phương pháp Box-Jenkin được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau từ kinh tế,kĩ thuật,y tế...Nó gồm ba bước: -Định dạng mô hình,xác định các tham số p,d,q -Ước lượng các tham số -Kiểm định Ý nghĩa của mô hình ARIMA trong tài chính Thông thường các chuỗi dữ liệu kinh tế và tài chính như GDP, CPI, GNP, giá cổ phiếu...đều là các chuỗi không dừng, có yếu tố xu thế. Chính vì vậy để tạo ra chuỗi dừng ta phải khử yếu tố xu thế trong các chuỗi dữ liệu gốc thông qua quy trình lấy sai phân hoặc lợi nhuận logarit. Từ việc dự báo chuỗi dừng này ta suy ra dự báo cho chuỗi dữ liệu gốc. 2.2.7 Kiểm định 2.2.7.1 Kiểm định đơn vị(Unit Root Test) Đây là một kiểm định quan trọng khi phân tích tính dừng của chuỗi thời gian. Việc tìm ra kiểm định đơn vị là một trong các phát hiện quan trọng của kinh tế học hiện đại. Kiểm định ADF(Augument Dickey-Fuller) Dickey-Fuller đã nghiên cứu quá trình AR(1) yt = ρyt−1+ut (2.38) với y0 < ∞;ut ∼ IID. Dễ thấy với ρ = 1 thì nó là bước ngẫu nhiên và do đó nó là chuỗi không dừng. Do đó, để kiểm định tính dừng của yt ta sẽ kiểm định cặp giả thiết H0 : ρ = 1/H1 : ρ < 1 29 Test thống kê T = ρ̂−1Se(ρ̂) có phân bố DF. Nếu |T |> |Tα | thì ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 có nghĩa là chuỗi dừng. Bây giờ chúng ta sẽ xét đến việc ứng dụng quá trình ARIMA vào dự báo GDP của Mỹ tính theo giá năm 2005. Số liệu theo năm từ 1929 đến 2010(nguồn BEA-Cục phân tích kinh tế Mỹ: Hình 2.2: GDP của Mỹ tính theo giá 2005 30 Quan sát lược đồ tự tương quan thì đây không phải chuỗi dừng Hình 2.3: Lược đồ tự tương quan của chuỗi GDP2005 Lấy sai phân bậc một của chuỗi GDP_2005 trong Eviews: GenrDGDP_2005 = GDP_2005−GDP_2005(−1) 31 Ta được chuỗi DGDP_2005 là chuỗi dừng. Hình 2.4: Đồ thị chuỗi DGDP2005 Kiểm định đơn vị Hình 2.5: Kiểm định đơn vị Thống kê |T | = 5.36 > 3.51 do đõ chuỗi sai phân là dừng với mức ý nghĩa 1% .Như vậy bậc sai phân d=1. 32 Lược đồ tự tương quan của chuỗi DGDP_2005 Nhìn vào lược đồ tự tương quan cho ta p=1 và q=2 vì ρ11 6= 0 và từ độ trễ thứ 2 Hình 2.6: Lược đồ tự tương quan của DGDP trở đi thì ρk;ρkk giảm dần về 0.Ước lượng mô hình ARIMA(1;1;2) ta được. Nhập lệnh trong Eviews DGDP2005 c ar(1) ma(1) ma(2) Hình 2.7: Kết quả ước lượng Tức là DGDP_2005t = 295.4565+0.975993.DGDP_2005t−1+ut−0.589753ut−1−0.38185ut−2 33 Kiểm định phần dư sau khi ước lượng là một chuỗi ngẫu nhiên (nhiễu trắng). Nhìn vào lược đồ tương quan ta thấy phần dư là nhiễu trắng. Để dự báoDGDP_2005 Hình 2.8: Phần dư cho giai đoạn t+1 ta làm như sau -Từ kết quả ước lượng vào Forecast->Dynamic->OK.Eviews sẽ tạo ra một biến DGDP f_2005 trong đó có chứa giá trị của DGDP_2005 giai đoạn t+1 Dự báo Hình 2.9: DGDP_2005 giai đoạn t+1 theo công thức GDP_2005t+1 = GDP_2005t +DGDP_2005t+1 Nhập lệnh trong Eviews Plot DGDPF_2005 DGDP_2005 34 Hình 2.10: Đường GDP dự báo và thực tế 2.2.7.2 Một số tiêu chí để lựa chọn mô hình ARIMA 1.Phần dư của mô hình dự báo tuân thủ tính chất nhiễu trắng Sau khi ước lượng mô hình ARIMA ta cần kiểm tra phần dư RESID có tính chất nhiễu trắng hay không bằng cách sử dụng lược đồ tự tương quan. 2.Tiêu chuẩn thông tin AIC/BIC Những tiêu chuẩn chỉ dựa trên phương sai có những khiếm khuyết nhất định vì hiển nhiên mô hình có nhiều tham số càng phù hợp hơn do mỗi một tham số đưa thêm sẽ làm mô hình mềm dẻo hơn trong việc xấp xỉ các số liệu quan sát. Tuy nhiên việc sử dụng quá nhiều tham số để mô tả phần MA thì khả năng dự báo ngoài mẫu sẽ kém đi. Người ta đã đưa ra một số tiêu chuẩn khắc phục tình trạng quá nhiều tham số như AIC (Akaike Information Criterion), BIC (Bayesian Information Criterion)[12]. AIC = −2 n log( f )+ 2 n m Trong đó f là hàm hợp lí,m là số các tham số,n là cỡ mẫu. Với mô hình Gauss AR(p) thì AIC và BIC rút gọn thành AIC(p) = Log ( σ̂2 ) + 2p n BIC(p) = Log ( σ̂2 ) + p log(n) n Mô hình nào có AIC/BIC nhỏ nhất là mô hình tối ưu. 3.Sai số dự báo càng nhỏ càng tốt Sau khi dự báo kiểm tra RMSE(căn bậc hai sai số dự báo bình phương trung bình). 35 Mô hình nào có RMSE nhỏ hơn là mô hình tốt hơn. 4.So sánh giá trị dự báo và thực tế Mô hình nào có giá trị dự báo càng gần giá trị thực tế thì đó là mô hình tốt. Trên Eviews, sau khi dự báo ta vào View/Actual,Fitted,Residual Graph để kiểm tra. 5.Hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê hay không Mô hình nào có hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê cao thì mô hình đó tốt hơn. 36 Chương 3 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện và ứng dụng Trong phân tích kinh tế lượng cổ điển giả định phương sai của sai số là không đổi theo thời gian. Tuy nhiên, bất kì một chuỗi thời gian nào đều chịu ảnh hưởng ít nhiều của các tin tức tốt, xấu và nhà đầu tư trên thị trường đều ứng xử hành vi kiểu đám đông. Do đó, giả định phương sai không thay đổi theo thời gian thường không còn phù hợp. Vì thế sẽ nảy sinh ý tưởng là xem xét các dạng dữ liệu mà phương sai của nó phụ thuộc theo thời gian, ở đây là phụ thuộc vào các phương sai trong quá khứ (phương sai trễ). Chương này đề cập đến các mô hình ARCH của Engle, GARCH của Bollerslev, các mô hình cải tiến cùng các ứng dụng của chúng. 37 3.1 Rủi ro Rủi ro (Risk) là một nhân tố quan trọng trong phân tích kinh tế, quản lí quỹ đầu tư, định giá tài sản, giao dịch giao ngay (spot),giao dịch quyền chọn (option), kỳ hạn (forward), tương lai (future). . . Thiếu thông tin về rủi ro thì không thể đưa ra chiến lược đầu tư. Rủi ro có các tính chất -Không quan sát trực tiếp được. -Có tính chất tập kết (cluster property) tức là độ rủi ro có thể cao ở các thời kì nhất định và thấp ở các thời kì khác. -Rủi ro thường biến thiên trong một miền xác định nào đó. Về mặt toán học thì lợi suất tài sản,độ rủi ro của nó thường là một chuỗi dừng. 3.2 Cấu trúc mô hình Gọi Pt là giá của tài sản tài chính ở thời điểm t(cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá, giá vàng, dầu. . . ). Lợi suất logarit được định nghĩa như sau: rt = log Pt Pt−1 (3.1) Giá trị trung bình có điều kiện của lợi suất µt = E (rt |ℑt−1) (3.2) Rủi ro được hiểu ở đây là phương sai có điều kiện của lợi suất logarit σ2t =V ar (rt |ℑt−1) = E ( (rt −µt)2 |ℑt−1 ) (3.3) Trong đó ℑt−1 = σ (ε1;ε2; ...εt−1) là tập hợp thông tin có ở thời điểm t-1, bao gồm tất cả các hàm tuyến tính của lợi suất trong quá khứ. Giả thiết rằng rt tuân thủ chuỗi thời gian đơn giản chẳng hạn như quá trình dừng ARMA(p,q) với một vài biến số giải thích nào đó rt = µt +ut µt = ϕ0+ k ∑ i=1 βixit + p ∑ i=1 ϕirt−i + q ∑ i=1 θiut−i (3.4) Trong phương trình (3.4) thì k,p,q là các số nguyên không âm và xit là các biến giải thích. Từ phương trình trên ta có σ2t = V ar(rt |ℑt−1) = V ar(ut |ℑt−1) là phương 38 sai có điều kiện biến đổi theo thời gian còn ut đặc trưng cho các cú sốc (shock or innovation) của lợi suất một loại tài sản ở thời điểm t. 3.3 Mô hình ARCH(p) Mô hình này do Engle đề xuất năm 1982.Nó có dạng rt = µt +ut ut = σtεt σ2t = α0+α1u 2 t−1 +α2u 2 t−2+ ....+αpu 2 t−p (3.5) Trong đó µt đại diện cho trung bình của lợi suất rt , σ2t đại diện cho mức độ biến động của rt còn ut đại diện cho các “cú sốc”(shock) của lợi suất một loại tài sản ở thời điểm t. Với α0 > 0;αi ≥ 0 ( i = 1, p ) εt ∼ IID;Eεt = 0;V arεt = 1 Thông thường ta hay giả thiết ut ∼ N ( 0;σ2t ) hoặc phân phối Student. Để cụ thể hơn ta xét mô hình ARCH(1) 3.3.1 Mô hình ARCH(1) 3.3.1.1 Dạng mô hình ARCH(1) rt = µt +ut ut = σtεt σ2t = α0 +α1u 2 t−1 (3.6) trong đó α0 > 0;α1 ≥ 0 39 3.3.1.2 Tính chất ARCH(1) (i) Eut = 0;V arut = α0 1−α1 (0≤ α1 < 1) (3.7) (ii)Nếu ut là dừng với moment cấp 4 và εt ∼ N (0;1) thì m4 = Eu4t = 3α20 (1+α1) (1−α1) ( 1−3α21 ) (0≤ α1 <√13 ) (3.8) (iii)Hệ số nhọn Kurtoris K = Eu4t( Eu2t )2 −3 > 0 (3.9) Chứng minh (i)Theo tính chất kì vọng có điều kiện ta có Eut = E (E (ut |ℑt−1)) = E (E (σtεt |ℑt−1 )) = E (σtE (εt |ℑt−1 )) = E (σtEεt) = 0 (do εt là độc lập với ℑt−1 và σt là ℑt−1 đo được) Hơn nữa V arut = Eu2t = E ( E ( u2t |ℑt−1 )) = E ( σ2t E ( ε2t |ℑt−1 )) = E ( α0 +α1u 2 t−1 ) Eε2t = α0 +α1Eu2t−1 Do ut là chuỗi dừng với Eut = 0;V arut =V arut−1 = Eu2t Suy ra V arut = α0 +α1V arut ⇒V arut = α01−α1 > 0(0≤ α1 < 1) (ii)Do εt ∼ N (0;1) nên Eε4t = 3 Ta có Eu4t = E ( E ( u4t |ℑt−1 )) = E(σ4t E ( ε4t |ℑt−1 ) ) = E ( σ4t Eε4t ) = 3E ( α0 +α1u 2 t−1 )2 = 3 ( α20 +α 2 1 Eu 4 t−1+2α0α1Eu2t−1 ) Nếu ut là dừng với moment cấp 4 thì m4 ( 1−3α21 ) = 3α20 ( 1+ 2α11−α1 ) = 3α20 ( 1+α1 1−α1 ) ⇒ m4 = 3α 2 0 (1+α1) (1−α1)(1−3α21) 40 (iii) Từ (3.7) và (3.8): K = Eu 4 t (Eu2t ) 2 −3 = 3α 2 0 (1+α1) (1−α1)(1−3α21) . (1−α1)2 α20 −3 = 3(1−α21) 1−3α21 −3 = 3 ( 1+ 2α 2 1 1−3α21 ) −3 > 0 với ( 0≤ α1 < √ 1 3 ) (đpcm) Điều này có nghĩa là phân bố của ut bẹt hơn phân bố chuẩn hóa. Tính chất này vẫn đúng cho ARCH(p). Ý nghĩa mô hình ARCH(1) Mô hình này cho thấy khi có một cú sốc lớn xảy ra ở giai đoạn t-1 thì giá trị |ut| cũng sẽ lớn hơn. Các cú sốc lớn có xu hướng do các cú sốc lớn trong quá khứ gây ra. Đặc điểm này giống tính chất tập kết (cluster property) của độ rủi ro. 3.3.2 Mối liên hệ giữa ARCH(p) và AR(p) Từ rt = µt +ut ut = σtεt σ2t = α0+α1u 2 t−1+α2u 2 t−2+ ....+αpu 2 t−p Ta viết thành u2t = α0 +α1u 2 t−1+α2u 2 t−2+ ....+αpu 2 t−p+u 2 t −σ2t (3.10) Đặt vt = u 2 t −σ2t ;xt = u2t (3.11) Từ (3.10) và (3.11) ta được xt = α0+α1xt−1+ ...+αpxt−p+ vt (3.12) Nhiễu vt là một hiệu martingale. Thật vậy E (vt |ℑt−1 ) = E ( u2t −σ2t |ℑt−1 ) = E ( σ2t ε 2 t |ℑt−1 )−E (σ2t |ℑt−1) = σ2t Eε2t −σ2t = σ2t −σ2t = 0 V