Luận văn Chỉnh hóa tikhonov cho bài toán giải chập

t x F t F x +→ , ∀∈ . d) ( ) = 0lim X x F X →−∞ và ( ) = 1lim X x F X →+∞ . Đặc biệt, nếu biến ngẫu nhiên : kX Ω→ có phân phối XP là độ đo 17 liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue km trên k , ký hiệu X kP m , nghĩa là với mọi tập Borel đo được B trong k sao cho ( ) = 0km B , ta có ( ) = 0XP B , thì do định lý Radon - Nikodym tồn tại hàm khả tích : kXf →  sao cho 0Xf  và ( ) ( )= = ,X k B P B P X B fdm∈ ∫ với mọi tập Borel đo được B trong k . Khi đó, ta nói X là biến ngẫu nhiên liên tục và Xf là (một) hàm mật độ xác suất của X . Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có các kết quả quan trọng sau Mệnh đề 1.2.2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác suất Xf và hàm phân phối tích lũy XF . Ta có, a) Với mọi a∈ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , = = < = .X X a F X P X a P X a f X dx −∞ ∫ b) Với mọi ,a b∈ , ( ) ( ) ( )= X XP a X b F b F a−  . c) ( ) ( )=X XF X f X′ tại mọi điểm liên tục của hàm Xf . Định nghĩa 1.2.3. Cho ( ), , PΩ M là không gian xác suất và X là một biến số ngẫu nhiên xác định trên Ω . Nếu ( )1X L P∈ , thì trung bình của X , ký hiệu ( )E X , được cho bởi ( ) = .E X XdP Ω ∫ ( )E X còn được gọi là kỳ vọng của X , và còn được ký hiệu là Xµ . 18 Hơn nữa, với mỗi hàm Borel đo được :g →  , hàm số g X lại là một biến số ngẫu nhiên trên Ω mà ta ký hiệu là ( )g X . Trung bình của biến số ngẫu nhiên này, nếu có được ký hiệu là ( )E g X   . Nếu biến ngẫu nhiên X có trung bình là [ ]=X E Xµ thì với hàm số ( ) ( )2= Xg x x µ− , ta được biến số ngẫu nhiên ( ) ( ) 2= Xg X X µ− và trung bình của biến số ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là phương sai của X , ký hiệu ( )var X , được cho bởi công thức ( ) ( ) ( )2 2= = ,X Xvar X E X X dPµ µ Ω  − −  ∫ và với hàm số ( ) = ,ng x x n∈ , ta được biến ngẫu nhiên ( ) = ng X X và trung bình của biến ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là mômen thứ n của X , ( ) = .n nE X X dP Ω ∫ Do định nghĩa, trung bình hay trung bình của X chính là mômen thứ nhất của X . Ngoài ra, căn bậc hai của phương sai của X được gọi là độ lệch chuẩn của X , ký hiệu Xσ , ( )= .X var Xσ Định lý 1.2.2. Cho X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất Xf . Ta có a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22= = , = = ,X X x X X x x E X xf x var X x f xµ σ µ−∑ ∑ và mômen thứ n của X là 19 ( ) ( )= .n n X x E X x f x∑ b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2= = = = ,X X X XE X xf x dx var X x f x dxµ µ Ω Ω −∫ ∫ và mômen thứ n của X là ( ) ( )= .n n XE X x f x dx Ω ∫ Từ tính chất của tích phân Lebesgue và định lý trên, ta có các tính chất sau Định lý 1.2.3. Cho ,X Y là hai biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất ( ), , PΩ M . Ta có a) Cho C∈ là hằng số, ( ) =E C C . b)Nếu ( )1,X Y L P∈ , thì với mọi ,α β ∈ , ta có ( )1X Y L Pα β+ ∈ , và ( ) ( ) ( )= .E X Y E X E Yα β α β+ + c) Nếu X Y hầu chắc chắn (h.c.c) thì ( ) ( )E X E Y . Ngoài ra giả sử 0X h.c.c, ta có ( ) = 0E X nếu và chỉ nếu = 0X h.c.c. d) Nếu ( )1X L P∈ thì ( )1X L P∈ và ( ) .E X E X e) Nếu :g →  là hàm lồi thì ( ) ( ) .g E X E g X       f) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau thì ( ) ( ) ( )= . .E XY E X E Y g) Với X là một biến ngẫu nhiên và ( )=Y Xϕ là một hàm số xác định thì • Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với ( )= =i iP X x p thì 20 ( )= =i iP Y x pϕ   và ( ) ( )= .i iE Y p xϕ∑ • Nếu X có hàm mật độ ( )Xf x , tức X là biến ngẫu nhiên liên tục, thì ( ) ( ) ( )= .E Y x f x dxϕ +∞ −∞ ∫ Tương tự, ta có các tính chất cho phương sai, độ lệch chuẩn như sau Định lý 1.2.4. Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất ( ), , PΩ M . Giả sử ( )2X L P∈ . Ta có a) Với mọi α ∈ , • ( ) ( )2=var X var Xα α , ( ) ( )=var X var Xα+ , ( ) = 0.var C • ( ) ( ) ( )=var X Y var X var Y+ + , Với ,X Y là hai biến độc lập. b) ( )1X L P∈ và ( ) ( ) ( ) 22=var X E X E X−    . Định lý 1.2.5. Ta có a) ( ) 0.Xσ  b) ( ) ( )= .kX k Xσ σ c) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau thì ( ) ( ) ( )= .X Y varX varY X Yσ σ σ± + + Ta có một số phân phối liên tục sẽ được sử dụng trong luận văn. Định nghĩa 1.2.4. Phân phối đều. • Hàm mật độ: ( ) 1= ,f x a x b b a−   với , , <a b a b∈ . 21 • Trung bình: ( ) ( )= = = 2 b a x a bE X xf x dx dx b a +∞ −∞ + −∫ ∫ . • Phương sai: ( ) 2 = 12 b a varX − . Định nghĩa 1.2.5. Phân phối chuẩn (Phân phối Gauss) ( )2,X N µ σ • Hàm mật độ: ( ) ( )2 221= 2 x f x e µ σ σ π − − . • Trung bình: ( ) =E X µ . • Phương sai: 2=varX σ . 1.3. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường  , và ánh xạ . : X → thỏa mãn các tiên đề sau i) 0x  với mọi x∈ . Và = 0x khi và chỉ khi = 0x . ii) =x xα α với mọi x∈ và α ∈ . iii) x y x y+ + với mọi ,x y∈ . Khi đó . là một chuẩn trên X , và ( ), .X được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn. Giả sử ( ), .X là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó ánh xạ ( ) ( ) : , , = d X X x y d x y x y × → → −  22 là một mêtric. Ta gọi d là mêtric được sinh ra từ chuẩn hay chuẩn cảm sinh mêtric trên X . Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian mêtric. Không gian tuyến tính định chuẩn ( ), .X nếu đầy đủ với mêtric được sinh ra từ chuẩn thì X được gọi là không gian Banach. 1.4. Không gian pL , 1 <p +∞ Giả sử ( ), ,X µ là một không gian độ đo. Hàm số phức ( ) ( ) ( )=f x u x iv x+ xác định trên tập hợp A∈ gọi là đo được trên A nếu ,u v là hai hàm số thực đo được trên A . Nếu f là một hàm số phức đo được trên A thì f là một hàm số thực đo được trên A . Cho 1 <p +∞ , gọi ( ),pL X µ là tập hợp tất cả các hàm đo được trên X sao cho ( ) < ,p X f x dµ ∞∫ trong đó hai hàm phức tương đương trên X được xem là đồng nhất. Nếu nX ⊂  là tập đo được theo Lebesgue và µ là độ đo Lebesgue thì ta ký hiệu ( )pL X . Định lý 1.4.1. Tập hợp ( ),pL X µ với hai phép toán cộng là tổng hai hàm và phép nhân là tích vô hướng của một hàm với một số tạo thành một không gian vectơ. 23 Định lý 1.4.2. (Bất đẳng thức Holder) Giả sử 1 < <p ∞ và q thỏa mãn 1 1 = 1 p q + . Nếu ( ),pf L X µ∈ và ( ),qg L X µ∈ thì ( )1 ,fg L X µ∈ và ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 . p qp q X X X f x g x d f x d g x dµ µ µ∫ ∫ ∫ Định lý 1.4.3. (Bất đẳng thức Minkovski) Giả sử 1 <p≤ +∞ và ( ), ,pf g L X µ∈ . Khi đó ( ),pf g L X µ+ ∈ và ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 . p p pp p p X X X f x g x d f x d g x dµ µ µ+ +∫ ∫ ∫ Định lý 1.4.4. Cho ( ), ,X µ là không gian độ đo, 1 <p≤ +∞ . Khi đó, hàm ( )( ) 1 = p p X f f x dµ∫ xác định một chuẩn trên ( ),pL X µ và ( ),pL X µ là một không gian tuyến tính định chuẩn. Định lý 1.4.5. Không gian ( ),pL X µ , 1 <p≤ +∞ là một không gian Banach. Định lý 1.4.6. Cho 1 <p +∞ . Nếu { } ( ), và = 0limpn n n f L X f fµ →∞ ⊂ − thì tồn tại một dãy con { }nkf của dãy { }nf , hội tụ hầu khắp nơi về f trên X . Định lý 1.4.7. Cho dãy { } ( ),pnf L X µ⊂ , 1 <p +∞ . Nếu dãy { }nf đơn điệu tăng và hội tụ hầu khắp nơi về f trên X thì = 0lim n n f f →∞ − . 1.5. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.5.1. Cho H là một không gian trên trường  . Tích 24 vô hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau ( ) .,. : , , H H x y x y × → →  thỏa mãn các tiên đề sau i) , = ,x y y x với mọi ,x y H∈ , ii) , = , ,x y z x z y z+ + với mọi , ,x y z H∈ , iii) , = ,x y x yλ λ với mọi ,x y H∈ và λ∈ , iv) , 0x x  với mọi x H∈ và , = 0x x khi và chỉ khi = 0x , ,x y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y . Cặp ( ), .,.H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita). Từ định nghĩa ta thấy rằng khi  là trường thực thì tích vô hướng là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H . Định lý 1.5.1. (Bất đẳng thức Schwarz) Cho H là không gian tiền Hilbert, với mọi ,x y H∈ ta luôn có bất đẳng thức 2 , , . , .x y x x y y Dấu " = " xảy ra khi x và y phụ thuộc tuyến tính. Định lý 1.5.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó 1 2= , ,x x x x H∈ xác định một chuẩn trên H . Định nghĩa 1.5.2. Cho không gian tiền Hilbert H , theo định lý trên thì H là một không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu H là không gian đầy đủ thì ta gọi H là không gian Hilbert. Định nghĩa 1.5.3. (Toán tử liên hợp) Cho ,X Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và :A X Y→ là một toán tử tuyến tính liên tục. Toán tử tuyến tính * * *:A Y X→ xác định như sau 25 Với mọi * *y Y∈ ta xác định * *A y như sau ( ) ( )* * *=A y x y A x với mọi x X∈ . Khi đó * *A y là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và * * * .A y y A Dễ dàng kiểm tra được *A là toán tử tuyến tính trên *Y và *A A . Suy ra *A liên tục. Toán tử *A được gọi là toán tử liên hợp của A . Định lý 1.5.3. Giả sử , ,X Y Z là các không gian tuyến tính định chuẩn trên trường  , ( ), ,A B X Y∈A và ( ),C Y Z∈A và λ∈ . Khi đó ta có i) ( )* * *=A B A B+ + . ii) ( )* *=A Aλ λ . iii) ( )* * *=C A A C  . Định nghĩa 1.5.4. Cho H là không gian Hilbert và ( )A H∈A . Gọi *A là là toán tử liên hợp của A . Nếu * =A A thì A được gọi là toán tử tự liên hợp. Định lý 1.5.4. Cho H là một không gian Hilbert và A là toán tử tự liên hợp trong H . Khi đó { } { }= sup , : 1 = sup , : = 1 .A Ax x x Ax x x Định lý 1.5.5. Cho H là không gian Hilbert phức và A là toán tử tuyến tính liên tục từ H vào Toán tử A tự liên hợp khi và chỉ khi ,Ax x là số thực với mọi x H∈ . 1.6. Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.6.1. Cho ( )1f L∈  , hàm ftf định bởi ( ) ( )= ,ft itxf t f x e dx +∞ −∞ ∫ 26 được gọi là biến đổi Fourier của f . Định lý 1.6.1. Giả sử ( )1f L∈  thì là không gian các hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa 1 1 . 2 ftf f π∞  Bổ đề 1.6.1. Cho hàm f xác định trên  và với mọi y∈ , đặt yf là tịnh tiến của f định bởi ( ) ( )= , .yf x f x y x− ∀ ∈ Nếu ( ),1 <pf L p∈ ∞  thì ánh xạ ,yy f Từ  vào ( )pL  là liên tục đều. Định lý 1.6.2. Giả sử ( )1f L∈  và ( )1ftf L∈  . Đặt ( ) ( )1= , 2 ft itxg x f t e dt π +∞ − −∞ ∫ (tích phân trên được hiểu theo nghĩa Lebesgue). Khi đó a) 0g C∈ Với 0C là không gian các hàm số liên tục trên  và tiến dần về 0 tại vô cực. b) ( ) ( )=g x f x hầu hết trên  . Định nghĩa 1.6.2. Hàm ( )1 2 itxx F t e dt π +∞ − −∞ ∫ được gọi là biến đổi Fourier ngược của F . Tích phân (theo nghĩa Lebesgue) ở trên là xác định nếu ( )1F L∈  . 27 Tính chất 1.6.1. Tính chất của biến đổi Fourier Tính chất 1. Với > 0r , đặt ( ) ( )=rf x f rx . Ta có ( ) 1= .ft ftrf fr r λλ      Tính chất 2. Với y∈ , đặt ( ) ( )=yf x f x y+ . Ta có ( ) ( )= .ft i y ftyf e fλλ λ Tính chất 3. Cho ( )1f L∈  thỏa [ ],suppf a a⊂ − . Ta có ftf là hàm giải tích trên  . Tính chất 4. Cho dãy ( ) =1,2,...n nf hội tụ trong ( ) 1L  . Khi đó dãy ( ) =1,2,... ft n n f hội tụ đều trên  . Tính chất 5. Cho ( )1f L∈  . Ta có ftf liên tục, bị chận và ( ) 0ftf λ → khi λ →∞ . Tính chất 6. Cho ( )1f L∈  thỏa tính chất ( )1f L′∈  và f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó ( ) = .ft ftf i Fλ′ Tính chất 7. Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong ( )1L  thì ftf hội tụ về 0 càng nhanh khi λ →∞ . Tính chất 8. Cho ( )1f L∈  . Nếu f ′′ tồn tại và ( )1f L′′∈  thì ( )1 .ftf L∈  Tính chất 9. Cho ( )1f L∈  và thỏa ( )1.I f L∈  , I là ánh xạ đồng nhất x x . Khi đó ftf khả vi và ( ) ( ) ( )= . . ft ftdf iI f d λ λ λ − Tính chất 10. Với ( )1,f g L∈  , nhắc lại tích chập của f và g như sau 28 ( )( ) ( ) ( )* = ,f g x f x t g t dt +∞ −∞ −∫ và ( )1*f g L∈  . Khi đó, ta có ( )* = . .ft ft ftf g f g Tính chất 11. Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh, i.e., f C∞∈ và ( ) ( ), , > 0, , .qpp q M x x f x M∀ ∈ ∃ ∀  Khi đó ftf S∈ . Định lý 1.6.3. Định lý Parseval. Nếu ( )2f L∈  thì 22 = 2ftf fπ Hệ quả 1.6.1. Nếu ( )2f L∈  và ( )1ftf L∈  thì ( ) ( )1= 2 ft i tf x f t e dtλ π ∞ −∞ ∫ với h.h .x 1.7. Không gian Sobolev Cho k , N là các số nguyên dương và Ω là tập mở trong N . Cho u là một ánh xạ từ Ω vào  . Đặt ( ) ( )11 2 1 2 = , = ,..., , ... NN N uD u x x x x x x x α α αα α ∂ ∀ ∈Ω ∂ ∂ ∂ trong đó ( )1= ,..., Nα α α với 0iα , = 1,2,...,i N và =1 = N i i α α∑ . Đặt ( )kC Ω là tập hợp các hàm u khả vi k lần sao cho D uα liên tục và bị chận trên Ω với mọi kα  . Khi đó ( )kC Ω là không gian định 29 chuẩn với chuẩn ( ) ( ) 0 = ,khi = 0,sup = ,khi > 0.sup x kC k u u x k u D u kα α ∞ ∈Ω Ω ∞  Đặt ( )kcC Ω là tập hợp các u thuộc ( )kC Ω sao cho tập ( ) ( ){ }: 0supp u x u x≡ ∈Ω ≠ là tập compact chứa trong Ω . Ta ký hiệu ( )C∞ Ω (tương ứng ( )kcC Ω ) là các hàm thỏa ( )ku C∈ Ω với một số nguyên dương k . Cho 1 <p +∞ . Đặt ( )pL Ω là tập hợp các hàm giá trị phức đo được (theo nghĩa độ đo Lebesgue) u sao cho ( ) <pu x Ω +∞∫ và ( )L∞ Ω là các không gian Banach với chuẩn tương ứng sau ( ) ( ){ } 1/ = , pp pL u u x dx Ω Ω∫ ( ) ( ){ }= inf : < .Lu M u x M∞ Ω ∈ Không gian Sobolev ( )1, pW Ω là tập hợp các hàm số u trong ( )pL Ω sao cho có 1 2, ,..., Ng g g trong ( )pL Ω để cho ( )= , , = 1,2,..., .i c i u g C i N x ϕ ϕ ϕ ∞ Ω Ω ∂ − ∀ ∈ Ω ∂∫ ∫ Ta ký hiệu ( ) ( )1 1,2=H WΩ Ω . Với mọi ( )1, pu W∈ Ω ta đặt: 30 2 2 =1 = , = ,..., , = . i i i N N i i u g x u uu x x uu x ∂ ∂  ∂ ∂ ∇  ∂ ∂  ∂ ∆ ∂∑ Không gian ( )1, pW Ω được trang bị chuẩn. Chuẩn này tương đương với chuẩn ( ) ( ) ( ) 1 1, =1 = . p pN p p pW L pi i L uu u xΩ Ω Ω  ∂ +  ∂  ∑ Cho trước 1 <p +∞ , ta ký hiệu ( )10H Ω là bao đóng của ( )10C Ω trong ( )1, pW Ω . Cho số nguyên dương > 1m . Không gian ( ),m pW Ω là tập hợp các hàm số u trong ( )pL Ω sao cho α∀ , mα  tồn tại ( )pg Lα ∈ Ω để cho ( ) ( )= 1 , .cuD g C αα αϕ ϕ ϕ ∞ Ω Ω − ∀ ∈ Ω∫ ∫ Ta ký hiệu =D u gα α . Không gian ( ),m pW Ω được trang bị chuẩn ( ) ( ), 0< < =m p pW L m u D uα α Ω Ω∑ là một không gian Banach. Ta đặt ( ) ( ),2=m mH WΩ Ω ; ( )mH Ω được trang bị bởi tích vô hướng 31 ( ) ( )2 0< < , = , ,mH L m u v D u D vα α α Ω Ω∑ là không gian Hilbert. Định nghĩa 1.7.1. Không gian đối ngẫu của ( )10H U là ( )1H U− hay nói cách khác ( )1f H U−∈ nếu f là ánh xạ tuyến tính bị chận trong ( )10H U . Định nghĩa 1.7.2. Nếu ( )1f H U−∈ ta sẽ định nghĩa chuẩn ( ) ( ) ( ){ }11 10 0= sup , | , 1 .H U H Uf f u u H U u− ∈  Định lý 1.7.1. Giả sử ( )1f H U−∈ . Khi đó tồn tại những hàm 0 1, ,..., nf f f trong ( )2L U sao cho 0 =1 , = . n i xi iU f v f v f v dx+∑∫ 1.8. Bài toán không chỉnh Định nghĩa 1.8.1. Cho ( ), XX ⋅ và ( ), YY ⋅ là hai không gian định chuẩn :K X Y→ là một ánh xạ. Bài toán =Kx y được gọi là chỉnh nếu nó thỏa các tính chất sau a) Tính tồn tại: với mọi y Y∈ tồn tại (ít nhất một) x X∈ sao cho =Kx y . b) Tính duy nhất: với mọi y Y∈ tồn tại nhiều nhất một x X∈ sao cho =Kx y . c) Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y , nghĩa là với 32 mọi dãy ( )nx X⊂ với nKx Kx→ ( )n →∞ , thì nx x→ khi n →∞ . Nếu bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên thì được gọi là bài toán không chỉnh. Định nghĩa 1.8.2. (Sơ đồ chỉnh hóa) Sơ đồ chỉnh hóa là họ các toán tử tuyến tính bị chặn : , > 0,R Y Xα α→ sao cho 0 =limR Kx xα α→ với mọi x X∈ , tức là các toán tử R Kα hội tụ điểm về toán tử đồng nhất. 1.9. Tính không chỉnh của bài toán giải chập Xét phương trình * = ,f g h hay ( ) ( ) ( )= ,f x t g t dt h x +∞ −∞ −∫ trong đó ( )2h L∈  đã có và ( ) ( )1 2f L L∈ ∩  là ẩn cần tìm. Ta đặt ( ) ( ) ( )1 2 2:K L L L∩ →   được xác định bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = , Kf x f x t g t dt f t g x t dt +∞ −∞ +∞ −∞ − − ∫ ∫ (9) với ( ) ( )1 2g L L∈ ∩  . Ta đã biết tích phân này hoàn toàn xác định. Ta sẽ xem xét bài toán này có thỏa yêu cầu của một bài toán chỉnh hay không. Mệnh đề 1.9.1. Cho ,X Y là không gian Banach, :F X Y→ là ánh xạ tuyến tính, liên tục, đơn ánh. Nếu ImF Y≠ và =ImF Y thì 1F − không 33 liên tục. Chứng minh. Từ giả thiết ImF Y≠ suy ra tồn tại \y Y ImF∈ và tồn tại { }ny ImF⊂ sao cho ny y→ khi n →∞ . Với mọi ny ImF∈ , tồn tại nx X∈ sao cho ( )=n ny F x . Nên ( )nF x y→ khi n →∞ . Giả sử 1F − liên tục. Khi đó, tồn tại > 0M sao cho ( )1= .n n nx F y M y−  Do { }ny là dãy hội tụ trong Y nên { }ny là dãy Cauchy trong Y. Từ bất đẳng thức trên suy ra { }nx là dãy Cauchy trong không gian Banach X nên tồn tại x X∈ thỏa nx x→ khi n →∞ . Vì F liên tục nên ( ) ( )= .lim n n F x F x →∞ Do tính chất duy nhất của giới hạn, ta có ( )=y F x tức là y ImF∈ . Điều này mâu thuẫn với \y Y ImF∈ . Vậy 1F − không liên tục và mệnh đề đã được chứng minh. Mệnh đề 1.9.2. K là ánh xạ tuyến tính liên tục. Chứng minh. ( )21 2,f f L∀ ∈  và ,r s∈ , ta có [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 = = = . K rf sf rf sf x t g t dt r f x t g t dt s f x t g t dt rKf sKf +∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ + + − − + − + ∫ ∫ ∫ (10) 34 Vậy K tuyến tính. Mặt khác, ta có 2 2 2 1 = * .Kf f g f g Nên K bị chặn. Suy ra K liên tục. Mệnh đề 1.9.3. Phương trình =Kf h không luôn tồn tại nghiệm. Chứng minh. Với ( ) ( )1 2g L L∈ ∩  , ( ) 0ftg t ≠ hầu khắp nơi trên  , ta có ( )2 .g L∈  Từ phương trình * =f g h , thực hiện biến đổi Fourier cả hai vế ta được . = .ft ft ftf g h Lấy ( )2h L∈  thỏa = 2ft fth g . Khi đó = 2ftf , nên ( )2ftf L∉  . Do đó ( )2f L∉  . Vậy phương trình vô nghiệm ứng với h được chọn thỏa điều kiện như trên. Mệnh đề 1.9.4. Cho ( ){ }= : = 0ftE t g t∈ . Nếu ( ) = 0m E , với m là độ đo Lebesgue, thì phương trình =Kf h nêu trên có nhiều nhất một nghiệm. Chứng minh. Ta chứng minh = 0KerK . Giả sử = 0Kf , ta được ( )( )* = 0, .f g x x∀ ∈ Khi đó ta có ( ) ( ) = 0ft ftf x g x , x∀ ∈ . Mà ( ) 0ftg x ≠ hầu khắp nơi trên  . 35 Nên ( ) = 0ftf x hầu khắp nơi trên  . Do đó theo định lý Parseval ta có = 0f . Vậy mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.9.5. Cho ( ) 0,ftg x x≠ ∀ ∈ . Khi đó phương trình =Kf h nếu có nghiệm thì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. Chứng minh. Ta sẽ áp dụng mệnh đề 1.9.1 để chứng minh 1K − không liên tục, tức là nghiệm bài toán =Kf h nếu có sẽ không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. Ta đã chứng minh được K là tuyến tính, liên tục, đơn ánh và ( )2ImK L≠  . Để áp dụng mệnh đề 1.9.1, ta sẽ chứng minh ( )2= .ImK L  Đặt ( )CC  là không gian các hàm liên tục có giá compact trên  và ( ) ( ){ }2= saocho .ft CB h L h C∈ ∈  Trước hết ta chứng minh B ImK⊂ . Lấy h B∈ , h tùy ý thì ( )ft Ch C∈  . vì ( )1g L∈  nên ( )ftg C∈  (không gian các hàm liên tục trên  ). Suy ra ( ). ft Cft h C g ∈  Ta có ( ) ( )2CC L⊂  nên tồn tại ( )2f L∈  thỏa = , ft ft ft hf g hay ( )= = * .ftft ft fth f g f g 36 Suy ra = *h f g . Vậy tồn tại ( ) ( )2 1f L L∈ ∩  thỏa * =f g h nên h ImK∈ . Vậy ta đã chứng minh được B ImK⊂ . Bây giờ lấy h tùy ý thuộc ( )2L  , ta có ( )2fth L∈  . Do ( )CC  trù mật trong ( )2L  nên tồn tại dãy trong ( )CC  hội tụ về fth , tức là tồn tại dãy { }nh B⊂ thỏa 2 0 khi .ft ftnh h n− → →∞ Theo định lý Parseval, ta được 2 2 0 khi .nh h nπ − → →∞ Nghĩa là nh h→ trong ( )2L  . Như vậy với h tùy ý trong ( )2L  , ta có dãy { }nh ImK∈ thỏa nh h→ khi n →∞ , tức là ( )2=ImK L  . Vậy theo mệnh đề 1.9.1 Ta có 1K − không liên tục. Kết luận Do 1K − không liên tục nên với ( )21 2,h h L∈  và 1 2,f f là hai nghiệm tương ứng với 1 2,h h thỏa ( )21 2 Lh h−  rất nhỏ thì ( )21 2 Lf f−  có thể rất lớn. Như vậy phương trình tích chập * =f g h vi phạm các yêu cầu (a) và (c) của một bài toán chỉnh, tức là phương trình không luôn tồn tại nghiệm và nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. 37 Vậy ta đã chứng minh được bài toán giải chập là một bài toán không chỉnh. 38 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV Như đã đề cập ở phần mở đầu, chúng ta biết rằng (2) là bài toán không chỉnh và yêu cầu phải chỉnh hóa. Trong lý thuyết của bài toán không chỉnh, một phương pháp chỉnh hóa thường dùng cho bài toán giải chập là phương pháp chỉnh hóa Tikhonov. Trong phương pháp này, chúng tôi sẽ trình bày việc xấp xỉ ftf bởi một hàm cho bởi dạng ftgϕ trong đó ϕ thường được gọi là "hàm lọc". Thực ra chúng tôi xem xét toán tử tuyến tính ( ) ( )2 2:A L L→  , ( ) = ftA gϕ ϕ với mọi ( )2Lϕ∈  . Với mọi > 0δ , chúng ta xét phiếm hàm Tikhonov ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22= , . ft LL J A h Lδ ϕ ϕ δ ϕ ϕ− + ∈  (11) Chúng ta sẽ tìm hàm ϕ để Jδ đạt cực tiểu. Như đã biết, Jδ đạt cực tiểu tại duy nhất hàm cực tiểu ( )2Lδϕ ∈  . Hàm cực tiểu δϕ này là nghiệm duy nhất của phương trình ( )( ) ( )* *= ,ftA A A hδ δδϕ ϕ+ (12) với ( ) ( )* 2 2:A L L→  là toán tử liên hợp của A (xem trong Định lý 2.11, phần 2.2 trong [11]). Từ (12), chúng ta có 2 = .ft ft ftg g hδ δδϕ ϕ+ Và vì vậy ta có ước lượng 2 .= , ft ft ft g h g δϕ δ + cho biến đổi Fourier ftf của hàm mật độ f . Sau đó, sử dụng biến đổi Fourier ngược ta có 39 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .1= , . 2 ft ft itx ft g t h t f x e dt x g t δ π δ +∞ − −∞ ∈ + ∫  (13) Đây có thể được xem như một ước lượng của hàm mật độ f . Như đã đề cập, trong những trường hợp thực tế, chúng ta không có hàm mật độ h , chúng ta chỉ có các biến quan sát 1 2, , , nY Y Y . Do đó, chúng ta không thể dùng trực tiếp công thức (13) để tìm một hàm xấp xỉ cho f . Tuy nhiên trong trường hợp các biến quan sát 1 2, , , nY Y Y độc lập được phân phối đồng nhất thì ( ) ( ) =1 =1 1 1= = . n nitY itY ftj j j j e e h t n n       ∑ ∑  Chúng ta có thể thay ( )fth t trong (13) bởi lượng ( )1 =1 1, ,..., = . n itY j n j t Y Y e n ψ ∑ (14) Nó cho ta một ước lượng của hàm mật độ f dựa trên 1 2, , , nY Y Y như sau ( ) ( ) ( ) , 1 2 =1 1 1; ,..., = . 2 ft n itYitx j g n ft j g t L x Y Y e e dt ng t δ π δ +∞ − −∞ ⋅ + ∑∫ (15) Chúng ta có ước lượng tổng quát cho sai số ( ) 2 2,g L L fδ −  như sau 2.1. Bổ đề 2.1.1 Bồ đề 2.1.1. Cho > 0δ , ( ) ( )1 2g L L∈ ∩  là hàm mật độ của các biến sai số ngẫu nhiên và ( ) ( )1 2f L L∈ ∩  là nghiệm của bài toán (2). Thì 40 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 22 2, 22 2 2 1= 1 . 2 1 . 2 ft ft ft g L ft ft ft g t L f f t g t dt n g t f t dt g t δ π δ δ π δ +∞ −∞ +∞ −∞ − − +    +  +  ∫ ∫   (16) Chứng minh. Từ (15), chúng ta có ( ) ( ) ( ) , 2 =1 1= , . ft n itYft j g ft j g t L t e t ng t δ δ ⋅ ∈ + ∑  Áp dụng đẳng thức Parseval, định lý Fubini và đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 , , , 2 , , 2 , , = = = , ft ft ft ft ft ft g g g ft ft ft ft g g ft ft ft g g L t f t var L f t L t f t varL varf t L t Ef t varL t L t f t δ δ δ δ δ δ δ  − − + −  − + − + −     chúng ta nhận được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2, , 2 , , 1= 2 1 1= . 2 2 ft ft g gL ft ft ft g g L f L t f t dt varL t dt L t f t dt δ δ δ δ π π π +∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ − − + − ∫ ∫ ∫     (17) Vì 1 2, , , nY Y Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đồng nhất, ta có 41 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 , 22 =1 2 1 2 2 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 22 1= 1= 1= 1= 1 1= 1 . . ft n itYft j g ft j ft itY ft ft itY itY ft ft ft ft ft ft ft ft g t varL t dt var e dt n g t g t var e dt n g t g t e e dt n g t g t h t dt n g t g t f t g t dt n g t δ δ δ δ δ δ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ + +  −   + − + − + ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫   (18) Mặt khác, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 , 2 2 2 22 2 2 2 2 = = = = . ft itYft ft ft g ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft g t L t f t dt e f t dt g t g t h t f t dt g t g t f t f t dt g t f t dt g t δ δ δ δ δ δ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ − − + − + − +      +  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫   (19) Kết hợp với các đẳng thức trên, chúng ta có kết quả của bổ đề. Từ bổ đề 2.1.1, chúng ta có tính hội tụ của bài toán. Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày một kết quả hội tụ theo chuẩn trong không gian ( )2L  với ước lượng đơn giản và phép chứng minh dễ dàng. 42 2.2. Định lý 2.2.1 Định lý 2.1.1. Cho ( ) ( )1 2g L L∈ ∩  là hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên sai số và ( ) ( )1 2f L L∈ ∩  là nghiệm của bài toán (2). Giả sử rằng ( )\ = 0m NZg với ( ).m là độ đo Lebesgue trên  . Cho ( )nδ là một dãy dương thỏa 0nδ → , 2.