MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .2
MỤC LỤC .3
MỞ ĐẦU.4
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .12
1.1. Không gian đo - Tích phân Lebesgue .12
1.2. Biến số ngẫu nhiên .15
1.3. Không gian định chuẩn.21
1.4. Không gian Lp , 1 < p +∞ .22
1.5. Không gian Hilbert .23
1.6. Biến đổi Fourier.25
1.7. Không gian Sobolev .28
1.8. Bài toán không chỉnh.31
1.9. Tính không chỉnh của bài toán giải chập .32
Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV .38
2.1. Bổ đề 2.1.1.39
2.2. Định lý 2.2.1 .42
2.3. Định lý 2.3.1 .43
Chương 3 CHẶN TRÊN VÀ CHẶN DƯỚI CỦA SAI SỐ XẤP XỈ .45
3.1. Chặn trên của sai số xấp xỉ.47
3.2. Chặn dưới của sai số xấp xỉ.51
3.3. Chứng minh bổ đề 3.1.1 .54
KẾT LUẬN .59
TÀI LIỆU THAM KHẢO.60
63 trang |
Chia sẻ: mimhthuy20 | Lượt xem: 532 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Chỉnh hóa tikhonov cho bài toán giải chập, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
t x
F t F x
+→
,
∀∈ .
d) ( ) = 0lim X
x
F X
→−∞
và ( ) = 1lim X
x
F X
→+∞
.
Đặc biệt, nếu biến ngẫu nhiên : kX Ω→ có phân phối XP là độ đo
17
liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue km trên
k , ký hiệu X kP m ,
nghĩa là với mọi tập Borel đo được B trong k sao cho ( ) = 0km B , ta có
( ) = 0XP B , thì do định lý Radon - Nikodym tồn tại hàm khả tích
: kXf → sao cho 0Xf và
( ) ( )= = ,X k
B
P B P X B fdm∈ ∫
với mọi tập Borel đo được B trong k . Khi đó, ta nói X là biến ngẫu
nhiên liên tục và Xf là (một) hàm mật độ xác suất của X .
Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có các kết quả quan trọng sau
Mệnh đề 1.2.2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác
suất Xf và hàm phân phối tích lũy XF . Ta có,
a) Với mọi a∈ ,
( ) ( ) ( )
( )
( )
,
= = < = .X X
a
F X P X a P X a f X dx
−∞
∫
b) Với mọi ,a b∈ , ( ) ( ) ( )= X XP a X b F b F a− .
c) ( ) ( )=X XF X f X′ tại mọi điểm liên tục của hàm Xf .
Định nghĩa 1.2.3. Cho ( ), , PΩ M là không gian xác suất và X là
một biến số ngẫu nhiên xác định trên Ω . Nếu ( )1X L P∈ , thì trung bình của
X , ký hiệu ( )E X , được cho bởi
( ) = .E X XdP
Ω
∫
( )E X còn được gọi là kỳ vọng của X , và còn được ký hiệu là Xµ .
18
Hơn nữa, với mỗi hàm Borel đo được :g → , hàm số g X lại là
một biến số ngẫu nhiên trên Ω mà ta ký hiệu là ( )g X . Trung bình của biến
số ngẫu nhiên này, nếu có được ký hiệu là ( )E g X .
Nếu biến ngẫu nhiên X có trung bình là [ ]=X E Xµ thì với hàm số
( ) ( )2= Xg x x µ− , ta được biến số ngẫu nhiên ( ) ( )
2= Xg X X µ− và trung
bình của biến số ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là phương sai của X , ký
hiệu ( )var X , được cho bởi công thức
( ) ( ) ( )2 2= = ,X Xvar X E X X dPµ µ
Ω
− − ∫
và với hàm số ( ) = ,ng x x n∈ , ta được biến ngẫu nhiên ( ) = ng X X và
trung bình của biến ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là mômen thứ n của
X ,
( ) = .n nE X X dP
Ω
∫
Do định nghĩa, trung bình hay trung bình của X chính là mômen thứ nhất
của X . Ngoài ra, căn bậc hai của phương sai của X được gọi là độ lệch
chuẩn của X , ký hiệu Xσ ,
( )= .X var Xσ
Định lý 1.2.2. Cho X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất
Xf . Ta có
a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22= = , = = ,X X x X X
x x
E X xf x var X x f xµ σ µ−∑ ∑
và mômen thứ n của X là
19
( ) ( )= .n n X
x
E X x f x∑
b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2= = = = ,X X X XE X xf x dx var X x f x dxµ µ
Ω Ω
−∫ ∫
và mômen thứ n của X là
( ) ( )= .n n XE X x f x dx
Ω
∫
Từ tính chất của tích phân Lebesgue và định lý trên, ta có các tính chất
sau
Định lý 1.2.3. Cho ,X Y là hai biến ngẫu nhiên xác định trên không
gian xác suất ( ), , PΩ M . Ta có
a) Cho C∈ là hằng số, ( ) =E C C .
b)Nếu ( )1,X Y L P∈ , thì với mọi ,α β ∈ , ta có ( )1X Y L Pα β+ ∈ ,
và
( ) ( ) ( )= .E X Y E X E Yα β α β+ +
c) Nếu X Y hầu chắc chắn (h.c.c) thì ( ) ( )E X E Y . Ngoài ra giả
sử 0X h.c.c, ta có ( ) = 0E X nếu và chỉ nếu = 0X h.c.c.
d) Nếu ( )1X L P∈ thì ( )1X L P∈ và ( ) .E X E X
e) Nếu :g → là hàm lồi thì
( ) ( ) .g E X E g X
f) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau thì
( ) ( ) ( )= . .E XY E X E Y
g) Với X là một biến ngẫu nhiên và ( )=Y Xϕ là một hàm số xác
định thì
• Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với ( )= =i iP X x p thì
20
( )= =i iP Y x pϕ và ( ) ( )= .i iE Y p xϕ∑
• Nếu X có hàm mật độ ( )Xf x , tức X là biến ngẫu nhiên liên
tục, thì
( ) ( ) ( )= .E Y x f x dxϕ
+∞
−∞
∫
Tương tự, ta có các tính chất cho phương sai, độ lệch chuẩn như sau
Định lý 1.2.4. Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian
xác suất ( ), , PΩ M . Giả sử ( )2X L P∈ . Ta có
a) Với mọi α ∈ ,
• ( ) ( )2=var X var Xα α , ( ) ( )=var X var Xα+ , ( ) = 0.var C
• ( ) ( ) ( )=var X Y var X var Y+ + , Với ,X Y là hai biến độc lập.
b) ( )1X L P∈ và ( ) ( ) ( ) 22=var X E X E X− .
Định lý 1.2.5. Ta có
a) ( ) 0.Xσ
b) ( ) ( )= .kX k Xσ σ
c) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau thì
( ) ( ) ( )= .X Y varX varY X Yσ σ σ± + +
Ta có một số phân phối liên tục sẽ được sử dụng trong luận văn.
Định nghĩa 1.2.4. Phân phối đều.
• Hàm mật độ: ( ) 1= ,f x a x b
b a−
với , , <a b a b∈ .
21
• Trung bình: ( ) ( )= = =
2
b
a
x a bE X xf x dx dx
b a
+∞
−∞
+
−∫ ∫ .
• Phương sai: ( )
2
=
12
b a
varX
−
.
Định nghĩa 1.2.5. Phân phối chuẩn (Phân phối Gauss) ( )2,X N µ σ
• Hàm mật độ: ( )
( )2
221=
2
x
f x e
µ
σ
σ π
−
−
.
• Trung bình: ( ) =E X µ .
• Phương sai: 2=varX σ .
1.3. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường
, và ánh xạ
. : X →
thỏa mãn các tiên đề sau
i) 0x với mọi x∈ . Và = 0x khi và chỉ khi = 0x .
ii) =x xα α với mọi x∈ và α ∈ .
iii) x y x y+ + với mọi ,x y∈ .
Khi đó . là một chuẩn trên X , và ( ), .X được gọi là một không
gian tuyến tính định chuẩn.
Giả sử ( ), .X là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó ánh
xạ
( ) ( )
:
, , =
d X X
x y d x y x y
× →
→ −
22
là một mêtric. Ta gọi d là mêtric được sinh ra từ chuẩn hay chuẩn cảm sinh
mêtric trên X . Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn là một không
gian mêtric.
Không gian tuyến tính định chuẩn ( ), .X nếu đầy đủ với mêtric
được sinh ra từ chuẩn thì X được gọi là không gian Banach.
1.4. Không gian pL , 1 <p +∞
Giả sử ( ), ,X µ là một không gian độ đo. Hàm số phức
( ) ( ) ( )=f x u x iv x+
xác định trên tập hợp A∈ gọi là đo được trên A nếu ,u v là hai hàm số
thực đo được trên A . Nếu f là một hàm số phức đo được trên A thì f
là một hàm số thực đo được trên A .
Cho 1 <p +∞ , gọi ( ),pL X µ là tập hợp tất cả các hàm đo được trên
X sao cho
( ) < ,p
X
f x dµ ∞∫
trong đó hai hàm phức tương đương trên X được xem là đồng nhất. Nếu
nX ⊂ là tập đo được theo Lebesgue và µ là độ đo Lebesgue thì ta ký
hiệu ( )pL X .
Định lý 1.4.1. Tập hợp ( ),pL X µ với hai phép toán cộng là tổng hai
hàm và phép nhân là tích vô hướng của một hàm với một số tạo thành một
không gian vectơ.
23
Định lý 1.4.2. (Bất đẳng thức Holder) Giả sử 1 < <p ∞ và q thỏa
mãn 1 1 = 1
p q
+ . Nếu ( ),pf L X µ∈ và ( ),qg L X µ∈ thì ( )1 ,fg L X µ∈ và
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 1
.
p qp q
X X X
f x g x d f x d g x dµ µ µ∫ ∫ ∫
Định lý 1.4.3. (Bất đẳng thức Minkovski) Giả sử 1 <p≤ +∞ và
( ), ,pf g L X µ∈ . Khi đó ( ),pf g L X µ+ ∈ và
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1
.
p p pp p p
X X X
f x g x d f x d g x dµ µ µ+ +∫ ∫ ∫
Định lý 1.4.4. Cho ( ), ,X µ là không gian độ đo, 1 <p≤ +∞ . Khi
đó, hàm
( )( )
1
=
p p
X
f f x dµ∫
xác định một chuẩn trên ( ),pL X µ và ( ),pL X µ là một không gian tuyến
tính định chuẩn.
Định lý 1.4.5. Không gian ( ),pL X µ , 1 <p≤ +∞ là một không gian
Banach.
Định lý 1.4.6. Cho 1 <p +∞ . Nếu
{ } ( ), và = 0limpn n
n
f L X f fµ
→∞
⊂ −
thì tồn tại một dãy con { }nkf của dãy { }nf , hội tụ hầu khắp nơi về f trên
X .
Định lý 1.4.7. Cho dãy { } ( ),pnf L X µ⊂ , 1 <p +∞ . Nếu dãy { }nf
đơn điệu tăng và hội tụ hầu khắp nơi về f trên X thì = 0lim n
n
f f
→∞
− .
1.5. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.5.1. Cho H là một không gian trên trường . Tích
24
vô hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau
( )
.,. :
, ,
H H
x y x y
× →
→
thỏa mãn các tiên đề sau
i) , = ,x y y x với mọi ,x y H∈ ,
ii) , = , ,x y z x z y z+ + với mọi , ,x y z H∈ ,
iii) , = ,x y x yλ λ với mọi ,x y H∈ và λ∈ ,
iv) , 0x x với mọi x H∈ và , = 0x x khi và chỉ khi = 0x ,
,x y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y .
Cặp ( ), .,.H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian
Unita).
Từ định nghĩa ta thấy rằng khi là trường thực thì tích vô hướng là
một dạng song tuyến tính xác định dương trên H .
Định lý 1.5.1. (Bất đẳng thức Schwarz) Cho H là không gian tiền
Hilbert, với mọi ,x y H∈ ta luôn có bất đẳng thức
2
, , . , .x y x x y y
Dấu " = " xảy ra khi x và y phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 1.5.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó
1
2= , ,x x x x H∈
xác định một chuẩn trên H .
Định nghĩa 1.5.2. Cho không gian tiền Hilbert H , theo định lý trên
thì H là một không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu H là không gian đầy
đủ thì ta gọi H là không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.5.3. (Toán tử liên hợp) Cho ,X Y là hai không gian
tuyến tính định chuẩn và :A X Y→ là một toán tử tuyến tính liên tục. Toán
tử tuyến tính * * *:A Y X→ xác định như sau
25
Với mọi * *y Y∈ ta xác định * *A y như sau ( ) ( )* * *=A y x y A x với
mọi x X∈ . Khi đó * *A y là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và
* * * .A y y A
Dễ dàng kiểm tra được *A là toán tử tuyến tính trên *Y và *A A . Suy
ra *A liên tục. Toán tử *A được gọi là toán tử liên hợp của A .
Định lý 1.5.3. Giả sử , ,X Y Z là các không gian tuyến tính định
chuẩn trên trường , ( ), ,A B X Y∈A và ( ),C Y Z∈A và λ∈ . Khi đó
ta có
i) ( )* * *=A B A B+ + .
ii) ( )* *=A Aλ λ .
iii) ( )* * *=C A A C .
Định nghĩa 1.5.4. Cho H là không gian Hilbert và ( )A H∈A .
Gọi *A là là toán tử liên hợp của A . Nếu * =A A thì A được gọi là toán
tử tự liên hợp.
Định lý 1.5.4. Cho H là một không gian Hilbert và A là toán tử tự
liên hợp trong H . Khi đó
{ } { }= sup , : 1 = sup , : = 1 .A Ax x x Ax x x
Định lý 1.5.5. Cho H là không gian Hilbert phức và A là toán tử
tuyến tính liên tục từ H vào Toán tử A tự liên hợp khi và chỉ khi ,Ax x
là số thực với mọi x H∈ .
1.6. Biến đổi Fourier
Định nghĩa 1.6.1. Cho ( )1f L∈ , hàm ftf định bởi
( ) ( )= ,ft itxf t f x e dx
+∞
−∞
∫
26
được gọi là biến đổi Fourier của f .
Định lý 1.6.1. Giả sử ( )1f L∈ thì là không gian các hàm số liên tục
tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa
1
1 .
2
ftf f
π∞
Bổ đề 1.6.1. Cho hàm f xác định trên và với mọi y∈ , đặt yf
là tịnh tiến của f định bởi
( ) ( )= , .yf x f x y x− ∀ ∈
Nếu ( ),1 <pf L p∈ ∞ thì ánh xạ
,yy f
Từ vào ( )pL là liên tục đều.
Định lý 1.6.2. Giả sử ( )1f L∈ và ( )1ftf L∈ . Đặt
( ) ( )1= ,
2
ft itxg x f t e dt
π
+∞
−
−∞
∫
(tích phân trên được hiểu theo nghĩa Lebesgue). Khi đó
a) 0g C∈ Với 0C là không gian các hàm số liên tục trên và tiến
dần về 0 tại vô cực.
b) ( ) ( )=g x f x hầu hết trên .
Định nghĩa 1.6.2. Hàm ( )1
2
itxx F t e dt
π
+∞
−
−∞
∫ được gọi là biến đổi
Fourier ngược của F . Tích phân (theo nghĩa Lebesgue) ở trên là xác định
nếu ( )1F L∈ .
27
Tính chất 1.6.1. Tính chất của biến đổi Fourier
Tính chất 1. Với > 0r , đặt ( ) ( )=rf x f rx . Ta có
( ) 1= .ft ftrf fr r
λλ
Tính chất 2. Với y∈ , đặt ( ) ( )=yf x f x y+ . Ta có
( ) ( )= .ft i y ftyf e fλλ λ
Tính chất 3. Cho ( )1f L∈ thỏa [ ],suppf a a⊂ − . Ta có ftf là hàm giải
tích trên .
Tính chất 4. Cho dãy ( ) =1,2,...n nf hội tụ trong ( )
1L . Khi đó dãy
( )
=1,2,...
ft
n n
f hội tụ đều trên .
Tính chất 5. Cho ( )1f L∈ . Ta có ftf liên tục, bị chận và ( ) 0ftf λ →
khi λ →∞ .
Tính chất 6. Cho ( )1f L∈ thỏa tính chất ( )1f L′∈ và f liên tục
tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó
( ) = .ft ftf i Fλ′
Tính chất 7. Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong ( )1L thì ftf hội tụ
về 0 càng nhanh khi λ →∞ .
Tính chất 8. Cho ( )1f L∈ . Nếu f ′′ tồn tại và ( )1f L′′∈ thì
( )1 .ftf L∈
Tính chất 9. Cho ( )1f L∈ và thỏa ( )1.I f L∈ , I là ánh xạ đồng nhất
x x . Khi đó ftf khả vi và
( ) ( ) ( )= . .
ft
ftdf iI f
d
λ λ
λ
−
Tính chất 10. Với ( )1,f g L∈ , nhắc lại tích chập của f và g như sau
28
( )( ) ( ) ( )* = ,f g x f x t g t dt
+∞
−∞
−∫
và ( )1*f g L∈ . Khi đó, ta có
( )* = . .ft ft ftf g f g
Tính chất 11. Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh, i.e.,
f C∞∈ và
( ) ( ), , > 0, , .qpp q M x x f x M∀ ∈ ∃ ∀
Khi đó ftf S∈ .
Định lý 1.6.3. Định lý Parseval. Nếu ( )2f L∈ thì
22
= 2ftf fπ
Hệ quả 1.6.1. Nếu ( )2f L∈ và ( )1ftf L∈ thì
( ) ( )1=
2
ft i tf x f t e dtλ
π
∞
−∞
∫ với h.h .x
1.7. Không gian Sobolev
Cho k , N là các số nguyên dương và Ω là tập mở trong N .
Cho u là một ánh xạ từ Ω vào . Đặt
( ) ( )11 2
1 2
= , = ,..., ,
... NN N
uD u x x x x
x x x
α
α
αα α
∂
∀ ∈Ω
∂ ∂ ∂
trong đó ( )1= ,..., Nα α α với 0iα , = 1,2,...,i N và
=1
=
N
i
i
α α∑ .
Đặt ( )kC Ω là tập hợp các hàm u khả vi k lần sao cho D uα liên
tục và bị chận trên Ω với mọi kα . Khi đó ( )kC Ω là không gian định
29
chuẩn với chuẩn
( )
( )
0
= ,khi = 0,sup
= ,khi > 0.sup
x
kC
k
u u x k
u D u kα
α
∞
∈Ω
Ω ∞
Đặt ( )kcC Ω là tập hợp các u thuộc ( )kC Ω sao cho tập
( ) ( ){ }: 0supp u x u x≡ ∈Ω ≠ là tập compact chứa trong Ω .
Ta ký hiệu ( )C∞ Ω (tương ứng ( )kcC Ω ) là các hàm thỏa ( )ku C∈ Ω
với một số nguyên dương k .
Cho 1 <p +∞ . Đặt ( )pL Ω là tập hợp các hàm giá trị phức đo được
(theo nghĩa độ đo Lebesgue) u sao cho ( ) <pu x
Ω
+∞∫ và ( )L∞ Ω là các
không gian Banach với chuẩn tương ứng sau
( ) ( ){ }
1/
= ,
pp
pL
u u x dx
Ω Ω∫
( ) ( ){ }= inf : < .Lu M u x M∞ Ω ∈
Không gian Sobolev ( )1, pW Ω là tập hợp các hàm số u trong ( )pL Ω sao
cho có 1 2, ,..., Ng g g trong ( )pL Ω để cho
( )= , , = 1,2,..., .i c
i
u g C i N
x
ϕ ϕ ϕ ∞
Ω Ω
∂
− ∀ ∈ Ω
∂∫ ∫
Ta ký hiệu ( ) ( )1 1,2=H WΩ Ω .
Với mọi ( )1, pu W∈ Ω ta đặt:
30
2
2
=1
= ,
= ,..., ,
= .
i
i
i N
N
i i
u g
x
u uu
x x
uu
x
∂
∂
∂ ∂
∇ ∂ ∂
∂
∆
∂∑
Không gian ( )1, pW Ω được trang bị chuẩn. Chuẩn này tương đương với
chuẩn
( ) ( )
( )
1
1,
=1
= .
p pN
p
p pW L
pi i L
uu u
xΩ Ω
Ω
∂ +
∂
∑
Cho trước 1 <p +∞ , ta ký hiệu ( )10H Ω là bao đóng của ( )10C Ω trong
( )1, pW Ω .
Cho số nguyên dương > 1m . Không gian ( ),m pW Ω là tập hợp các
hàm số u trong ( )pL Ω sao cho α∀ , mα tồn tại ( )pg Lα ∈ Ω để cho
( ) ( )= 1 , .cuD g C
αα
αϕ ϕ ϕ
∞
Ω Ω
− ∀ ∈ Ω∫ ∫
Ta ký hiệu =D u gα α .
Không gian ( ),m pW Ω được trang bị chuẩn
( ) ( ),
0< <
=m p pW L
m
u D uα
α
Ω Ω∑
là một không gian Banach.
Ta đặt ( ) ( ),2=m mH WΩ Ω ; ( )mH Ω được trang bị bởi tích vô hướng
31
( ) ( )2
0< <
, = , ,mH L
m
u v D u D vα α
α
Ω Ω∑
là không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.7.1. Không gian đối ngẫu của ( )10H U là ( )1H U− hay
nói cách khác ( )1f H U−∈ nếu f là ánh xạ tuyến tính bị chận trong
( )10H U .
Định nghĩa 1.7.2. Nếu ( )1f H U−∈ ta sẽ định nghĩa chuẩn
( ) ( ) ( ){ }11 10 0= sup , | , 1 .H U H Uf f u u H U u− ∈
Định lý 1.7.1. Giả sử ( )1f H U−∈ . Khi đó tồn tại những hàm
0 1, ,..., nf f f trong ( )2L U sao cho
0
=1
, = .
n
i
xi
iU
f v f v f v dx+∑∫
1.8. Bài toán không chỉnh
Định nghĩa 1.8.1. Cho ( ), XX ⋅ và ( ), YY ⋅ là hai không gian định
chuẩn :K X Y→ là một ánh xạ. Bài toán =Kx y được gọi là chỉnh nếu nó
thỏa các tính chất sau
a) Tính tồn tại: với mọi y Y∈ tồn tại (ít nhất một) x X∈ sao cho
=Kx y .
b) Tính duy nhất: với mọi y Y∈ tồn tại nhiều nhất một x X∈ sao
cho =Kx y .
c) Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y , nghĩa là với
32
mọi dãy ( )nx X⊂ với nKx Kx→ ( )n →∞ , thì nx x→ khi n →∞ .
Nếu bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên thì được
gọi là bài toán không chỉnh.
Định nghĩa 1.8.2. (Sơ đồ chỉnh hóa) Sơ đồ chỉnh hóa là họ các toán tử
tuyến tính bị chặn
: , > 0,R Y Xα α→
sao cho
0
=limR Kx xα
α→
với mọi x X∈ , tức là các toán tử R Kα hội tụ điểm
về toán tử đồng nhất.
1.9. Tính không chỉnh của bài toán giải chập
Xét phương trình
* = ,f g h
hay
( ) ( ) ( )= ,f x t g t dt h x
+∞
−∞
−∫
trong đó ( )2h L∈ đã có và ( ) ( )1 2f L L∈ ∩ là ẩn cần tìm.
Ta đặt ( ) ( ) ( )1 2 2:K L L L∩ → được xác định bởi
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
= ,
Kf x f x t g t dt
f t g x t dt
+∞
−∞
+∞
−∞
−
−
∫
∫
(9)
với ( ) ( )1 2g L L∈ ∩ . Ta đã biết tích phân này hoàn toàn xác định.
Ta sẽ xem xét bài toán này có thỏa yêu cầu của một bài toán chỉnh hay
không.
Mệnh đề 1.9.1. Cho ,X Y là không gian Banach, :F X Y→ là ánh
xạ tuyến tính, liên tục, đơn ánh. Nếu ImF Y≠ và =ImF Y thì 1F − không
33
liên tục.
Chứng minh.
Từ giả thiết ImF Y≠ suy ra tồn tại \y Y ImF∈ và tồn tại
{ }ny ImF⊂ sao cho ny y→ khi n →∞ . Với mọi ny ImF∈ , tồn tại
nx X∈ sao cho ( )=n ny F x . Nên ( )nF x y→ khi n →∞ .
Giả sử 1F − liên tục. Khi đó, tồn tại > 0M sao cho
( )1= .n n nx F y M y−
Do { }ny là dãy hội tụ trong Y nên { }ny là dãy Cauchy trong Y. Từ bất
đẳng thức trên suy ra { }nx là dãy Cauchy trong không gian Banach X nên
tồn tại x X∈ thỏa nx x→ khi n →∞ .
Vì F liên tục nên
( ) ( )= .lim n
n
F x F x
→∞
Do tính chất duy nhất của giới hạn, ta có ( )=y F x tức là y ImF∈ . Điều
này mâu thuẫn với \y Y ImF∈ .
Vậy 1F − không liên tục và mệnh đề đã được chứng minh.
Mệnh đề 1.9.2. K là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Chứng minh.
( )21 2,f f L∀ ∈ và ,r s∈ , ta có
[ ] [ ]( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2
=
=
= .
K rf sf rf sf x t g t dt
r f x t g t dt s f x t g t dt
rKf sKf
+∞
−∞
+∞ +∞
−∞ −∞
+ + −
− + −
+
∫
∫ ∫ (10)
34
Vậy K tuyến tính.
Mặt khác, ta có
2 2 2 1
= * .Kf f g f g
Nên K bị chặn. Suy ra K liên tục.
Mệnh đề 1.9.3. Phương trình =Kf h không luôn tồn tại nghiệm.
Chứng minh.
Với ( ) ( )1 2g L L∈ ∩ , ( ) 0ftg t ≠ hầu khắp nơi trên , ta có
( )2 .g L∈
Từ phương trình * =f g h , thực hiện biến đổi Fourier cả hai vế ta được
. = .ft ft ftf g h
Lấy ( )2h L∈ thỏa = 2ft fth g . Khi đó = 2ftf , nên ( )2ftf L∉ . Do đó
( )2f L∉ .
Vậy phương trình vô nghiệm ứng với h được chọn thỏa điều kiện
như trên.
Mệnh đề 1.9.4. Cho ( ){ }= : = 0ftE t g t∈ . Nếu ( ) = 0m E , với m
là độ đo Lebesgue, thì phương trình =Kf h nêu trên có nhiều nhất một
nghiệm.
Chứng minh.
Ta chứng minh = 0KerK .
Giả sử = 0Kf , ta được
( )( )* = 0, .f g x x∀ ∈
Khi đó ta có ( ) ( ) = 0ft ftf x g x , x∀ ∈ .
Mà ( ) 0ftg x ≠ hầu khắp nơi trên .
35
Nên ( ) = 0ftf x hầu khắp nơi trên .
Do đó theo định lý Parseval ta có = 0f .
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.9.5. Cho ( ) 0,ftg x x≠ ∀ ∈ . Khi đó phương trình =Kf h
nếu có nghiệm thì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện.
Chứng minh.
Ta sẽ áp dụng mệnh đề 1.9.1 để chứng minh 1K − không liên tục, tức
là nghiệm bài toán =Kf h nếu có sẽ không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện.
Ta đã chứng minh được K là tuyến tính, liên tục, đơn ánh và
( )2ImK L≠ .
Để áp dụng mệnh đề 1.9.1, ta sẽ chứng minh
( )2= .ImK L
Đặt ( )CC là không gian các hàm liên tục có giá compact trên và
( ) ( ){ }2= saocho .ft CB h L h C∈ ∈
Trước hết ta chứng minh B ImK⊂ .
Lấy h B∈ , h tùy ý thì ( )ft Ch C∈ .
vì ( )1g L∈ nên ( )ftg C∈ (không gian các hàm liên tục trên ).
Suy ra
( ).
ft
Cft
h C
g
∈
Ta có ( ) ( )2CC L⊂ nên tồn tại ( )2f L∈ thỏa
= ,
ft
ft
ft
hf
g
hay
( )= = * .ftft ft fth f g f g
36
Suy ra = *h f g .
Vậy tồn tại ( ) ( )2 1f L L∈ ∩ thỏa * =f g h nên h ImK∈ .
Vậy ta đã chứng minh được B ImK⊂ .
Bây giờ lấy h tùy ý thuộc ( )2L , ta có ( )2fth L∈ .
Do ( )CC trù mật trong ( )2L nên tồn tại dãy trong ( )CC hội
tụ về fth , tức là tồn tại dãy { }nh B⊂ thỏa
2
0 khi .ft ftnh h n− → →∞
Theo định lý Parseval, ta được
2
2 0 khi .nh h nπ − → →∞
Nghĩa là nh h→ trong ( )2L .
Như vậy với h tùy ý trong ( )2L , ta có dãy { }nh ImK∈ thỏa
nh h→ khi n →∞ , tức là ( )2=ImK L .
Vậy theo mệnh đề 1.9.1 Ta có 1K − không liên tục.
Kết luận
Do 1K − không liên tục nên với ( )21 2,h h L∈ và 1 2,f f là hai
nghiệm tương ứng với 1 2,h h thỏa ( )21 2 Lh h− rất nhỏ thì ( )21 2 Lf f− có
thể rất lớn.
Như vậy phương trình tích chập * =f g h vi phạm các yêu cầu (a) và
(c) của một bài toán chỉnh, tức là phương trình không luôn tồn tại nghiệm và
nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện.
37
Vậy ta đã chứng minh được bài toán giải chập là một bài toán không
chỉnh.
38
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV
Như đã đề cập ở phần mở đầu, chúng ta biết rằng (2) là bài toán không
chỉnh và yêu cầu phải chỉnh hóa. Trong lý thuyết của bài toán không chỉnh,
một phương pháp chỉnh hóa thường dùng cho bài toán giải chập là phương
pháp chỉnh hóa Tikhonov. Trong phương pháp này, chúng tôi sẽ trình bày
việc xấp xỉ ftf bởi một hàm cho bởi dạng ftgϕ trong đó ϕ thường được
gọi là "hàm lọc". Thực ra chúng tôi xem xét toán tử tuyến tính
( ) ( )2 2:A L L→ , ( ) = ftA gϕ ϕ với mọi ( )2Lϕ∈ . Với mọi
> 0δ , chúng ta xét phiếm hàm Tikhonov
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
22= , .
ft
LL
J A h Lδ ϕ ϕ δ ϕ ϕ− + ∈ (11)
Chúng ta sẽ tìm hàm ϕ để Jδ đạt cực tiểu.
Như đã biết, Jδ đạt cực tiểu tại duy nhất hàm cực tiểu ( )2Lδϕ ∈ .
Hàm cực tiểu δϕ này là nghiệm duy nhất của phương trình
( )( ) ( )* *= ,ftA A A hδ δδϕ ϕ+ (12)
với ( ) ( )* 2 2:A L L→ là toán tử liên hợp của A (xem trong Định lý
2.11, phần 2.2 trong [11]).
Từ (12), chúng ta có
2
= .ft ft ftg g hδ δδϕ ϕ+
Và vì vậy ta có ước lượng
2
.= ,
ft ft
ft
g h
g
δϕ
δ +
cho biến đổi Fourier ftf của hàm mật độ f . Sau đó, sử dụng biến đổi
Fourier ngược ta có
39
( ) ( ) ( )
( )
2
.1= , .
2
ft ft
itx
ft
g t h t
f x e dt x
g t
δ π δ
+∞
−
−∞
∈
+
∫ (13)
Đây có thể được xem như một ước lượng của hàm mật độ f .
Như đã đề cập, trong những trường hợp thực tế, chúng ta không có
hàm mật độ h , chúng ta chỉ có các biến quan sát 1 2, , , nY Y Y . Do đó, chúng
ta không thể dùng trực tiếp công thức (13) để tìm một hàm xấp xỉ cho f .
Tuy nhiên trong trường hợp các biến quan sát 1 2, , , nY Y Y độc lập được
phân phối đồng nhất thì
( ) ( )
=1 =1
1 1= = .
n nitY itY ftj j
j j
e e h t
n n
∑ ∑
Chúng ta có thể thay ( )fth t trong (13) bởi lượng
( )1
=1
1, ,..., = .
n itY j
n
j
t Y Y e
n
ψ ∑ (14)
Nó cho ta một ước lượng của hàm mật độ f dựa trên 1 2, , , nY Y Y
như sau
( ) ( )
( )
, 1 2
=1
1 1; ,..., = .
2
ft n itYitx j
g n ft j
g t
L x Y Y e e dt
ng t
δ π δ
+∞
−
−∞
⋅
+
∑∫ (15)
Chúng ta có ước lượng tổng quát cho sai số
( )
2
2,g L
L fδ − như sau
2.1. Bổ đề 2.1.1
Bồ đề 2.1.1. Cho > 0δ , ( ) ( )1 2g L L∈ ∩ là hàm mật độ của các
biến sai số ngẫu nhiên và ( ) ( )1 2f L L∈ ∩ là nghiệm của bài toán (2).
Thì
40
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
2
22
2, 22
2
2
1= 1 .
2
1 .
2
ft
ft ft
g L ft
ft
ft
g t
L f f t g t dt
n g t
f t dt
g t
δ π δ
δ
π δ
+∞
−∞
+∞
−∞
− −
+
+
+
∫
∫
(16)
Chứng minh.
Từ (15), chúng ta có
( ) ( )
( )
, 2
=1
1= , .
ft n itYft j
g ft j
g t
L t e t
ng t
δ
δ
⋅ ∈
+
∑
Áp dụng đẳng thức Parseval, định lý Fubini và đẳng thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
, , ,
2
, ,
2
, ,
=
=
= ,
ft ft ft ft ft ft
g g g
ft ft ft ft
g g
ft ft ft
g g
L t f t var L f t L t f t
varL varf t L t Ef t
varL t L t f t
δ δ δ
δ δ
δ δ
− − + −
− + −
+ −
chúng ta nhận được
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
2, ,
2
, ,
1=
2
1 1= .
2 2
ft ft
g gL
ft ft ft
g g
L f L t f t dt
varL t dt L t f t dt
δ δ
δ δ
π
π π
+∞
−∞
+∞ +∞
−∞ −∞
− −
+ −
∫
∫ ∫
(17)
Vì 1 2, , , nY Y Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đồng nhất,
ta có
41
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
2
, 22
=1
2
1
2
2
2 2
1 1
22
2
2
22
2
2
22
1=
1=
1=
1= 1
1= 1 . .
ft n itYft j
g ft j
ft
itY
ft
ft
itY itY
ft
ft
ft
ft
ft
ft ft
ft
g t
varL t dt var e dt
n g t
g t
var e dt
n g t
g t
e e dt
n g t
g t
h t dt
n g t
g t
f t g t dt
n g t
δ
δ
δ
δ
δ
δ
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+
+
−
+
−
+
−
+
∑∫ ∫
∫
∫
∫
∫
(18)
Mặt khác, ta có
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
1
, 2
2
2
22
2
2
2
2
=
=
=
= .
ft
itYft ft ft
g ft
ft
ft ft
ft
ft
ft ft
ft
ft
ft
g t
L t f t dt e f t dt
g t
g t
h t f t dt
g t
g t
f t f t dt
g t
f t dt
g t
δ
δ
δ
δ
δ
δ
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
− −
+
−
+
−
+
+
∫ ∫
∫
∫
∫
(19)
Kết hợp với các đẳng thức trên, chúng ta có kết quả của bổ đề.
Từ bổ đề 2.1.1, chúng ta có tính hội tụ của bài toán.
Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày một kết quả hội tụ theo chuẩn trong
không gian ( )2L với ước lượng đơn giản và phép chứng minh dễ dàng.
42
2.2. Định lý 2.2.1
Định lý 2.1.1. Cho ( ) ( )1 2g L L∈ ∩ là hàm mật độ của các biến
ngẫu nhiên sai số và ( ) ( )1 2f L L∈ ∩ là nghiệm của bài toán (2). Giả sử
rằng ( )\ = 0m NZg với ( ).m là độ đo Lebesgue trên . Cho ( )nδ là
một dãy dương thỏa 0nδ → ,
2.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- tvefile_2015_01_06_6956704711_3018_1872713.pdf