Luận văn Cơ sở Gröbner trong vành đa thức

ra bởi hữu hạn đơn thức như vậy, tức là ( ) ( )' 1 ',..., .sJ x xa a= 16 Theo định nghĩa với mỗi 1,...,si = tồn tại im ∈ sao cho ( )' .ii mnx x I a ∈ Giả sử { }1max ,..., .sm m m= Với mỗi 0,..., 1,p m= − xét ideal [ ]'pJ K x⊆ sinh bởi các đơn thức 'x β sao cho ' .pnx x Iβ ∈ Lại theo giả thiết qui nạp, ( ) ( )'' 1 ,..., , 0,..., 1.p pp spJ x x p m aa= = − Ta sẽ chứng tỏ I sinh ra bởi các đơn thức (từ :J ) ( ) ( )' 1 ',..., ,sm mn nx x x x a a (từ 0 :J ) ( ) ( )0 00 '' 1 ,..., ,sx x aa (từ 1 :J ) ( ) ( )1 1 1' 1 ',..., ,sn nx x x x a a (từ 1 :mJ − ) ( ) ( )1 11 '' 1 1 1,..., .m mm sm mn nx x x x aa − −− − − Thật vậy, giả sử ' .qnx x Ia ∈ nếu ,q m≥ theo cách xây dựng ,J 'x a phải chia hết cho ( )' ix a nào đó, và do đó ' qnx x a chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ nhất ở trên. Nếu 1q m≤ − thì ' qnx xa chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ 2q + ở trên. Theo mệnh đề 2.1.3 và Hệ quả 2.1.5 các đơn thức liệt kê ở trên sinh ra .I Như vậy I sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức ( ) ( )1 ,..., x rxβ β . Sử dụng mệnh đề 2.1.3 lần nữa, ta thấy mỗi đơn thức ( )jxβ chia hết cho ( )jxγ nào đó với ( ) .j Aγ ∈ Từ đó có ngay ( ) ( )1 ,..., .rI x xγ γ= ■ Khi đó ta có mỗi ideal đơn thức I có một tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức. Tập sinh này được gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu của I . Ta kí hiệu tập này là ( ).G I Mỗi đơn thức trong tập sinh này được gọi là đơn thức sinh của .I Khi đó: Mệnh đề 2.1.8: Các đơn thức sinh trong tập ( )G I không có ước thực sự trong I . 17 Chứng minh: Giả sử đơn thức sinh u trong ( )G I có ước thực sự v trong .I Khi đó v thuộc ( )G I (mâu thuẫn tính sinh tối tiểu của u ). Vậy các đơn thức sinh trong tập ( )G I không có ước thực sự trong I . ■ Mệnh đề 2.1.9: Mỗi ideal đơn thức I có một tập sinh đơn thức tối tiểu duy nhất. Chứng minh: gọi { }1 1,..., rG u u= và { }2 1,..., sG v v= là hai tập sinh tối tiểu của ideal .I Vì ,iu I∈ nên tồn tại jv sao cho 1wi ju v= với đơn thức 1w nào đó. Tương tự tồn tại 2,ku w sao cho 2 .j kv w u= Suy ra 1 2 .i ku w w u= Vì 1G là tập sinh tối tiểu của I nên k i= và 1 2 1.w w = Vậy 1 1,w = vì thế 2.i ju v G= ∈ Vậy 1 2.G G⊂ Tương tự như vậy ta cũng có 2 1.G G⊂ ■ Chú ý: Để mô tả ideal đơn thức I chỉ cần chỉ rõ tập tất cả các đơn thức thuộc I hoặc chỉ ra tập sinh đơn thức tối tiểu của .I Mỗi đơn thức ax có thể biểu diễn bởi điểm có tọa độ ( )1,..., na a trong không gian .n Khi đó đơn thức bx chia hết cho đơn thức ax khi và chỉ khi 1 1,..., n nb a b a≥ ≥ hay tương đương điểm ( )1,..., nb b nằm trong khối vuông đầu tiên của hệ tọa độ Đề Các thông thường với gốc tọa độ là điểm ( )1,..., .na a Như vậy nếu ( ) ( )( )1 ,...,a a sI x x= với ( ) ( )1 ,...,a a s A∈ ,thì tất cả các đơn thức của I là những điểm nguyên nằm trong các khối vuông có đỉnh là các điểm thuộc ,A và tập các đỉnh này là tập sinh đơn thức tối tiểu của .I 2. Các tính chất ideal đơn thức Mệnh đề 2.1.10: Cho ,I J là hai ideal đơn thức. Khi đó I J∩ và :I J là các ideal đơn thức. Hơn nữa, nếu 1,..., rI m m= và 1,..., , ,s i jJ n n m n= là các đơn thức, thì: (a) ( ), |1 ;1 .i jI J BCNN m n i r i j∩ = ≤ ≤ ≤ ≤ (b) ( ): / , |1 .j i i jI n m UCLN m n i r= ≤ ≤ Do đó :I J có thể tính được theo công thức ( )1: : s jj I J I n = =  và (a). 18 Chứng minh: Ta có ( )1: : .sj jI J I n== ∩ Do đó chỉ cần chứng minh I J∩ là ideal đơn thức, và các công thức tính ở ( )a và ( )b đúng. Cho f I J∈ ∩ và m là một từ của f . Vì ,I J là các ideal đơn thức nên theo mệnh đề 2.1.6 m I∈ và .m J∈ Do đó .m I J∈ ∩ Lại theo mệnh đề 2.1.6, I J∩ là ideal đơn thức. Để chứng minh ( ) ,a nhận xét rằng bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên. Cho đơn thức .m I J∈ ∩ Theo mệnh đề 2.1.3, m chia hết cho im và jn nào đó. Do đó m chia hết cho ( ),i jBCNN m n . Suy ra ( ), |1 ;1 ,i jm BCNN m n i r i j∈ ≤ ≤ ≤ ≤ và ta có ( )a . Chứng minh ( )b tương tự nếu để ý rằng ( ) ( ), , .i j i j i jUCLN m n BCNN m n m n= ■ Mệnh đề 2.1.11: Căn của một ideal đơn thức là một ideal đơn thức. Chứng minh: Lấy 1 ...af cx I= + ∈ với 0 .c K≠ ∈ Ta có ,kf I∈ vì I là ideal đơn thức nên mọi từ của kf đều thuộc .I Gọi { }1 ,..., ra aS x x= là tập các đơn thức của .f Bao lồi của tập { }1,..., nra a ⊂  là một đa giác lồi. Ta có thể giả sử 1a là một đỉnh của đa giác hay 1a không thuộc bao lồi của tập { }2 ,..., .ra a Ta giả sử ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 2. ... rrk k k ka a a ax x x x= với 1 2 ... rk k k k= + + + và 1 .k k< Vì thế ( )( )1 1 2 / r i i i a k k k a = = −∑ với ( )( )1 2 / 1. r i i k k k = − =∑ Vì vậy 1a không là một đỉnh của đa giác lồi (mâu thuẫn). Vậy đơn thức ( )1 kax không thể biểu diễn qua các từ khác trong kf nên ( )1 kax là một đơn thức của .kf Mà kf I∈ nên ( )1 .kax I∈ Vì vậy 1ax I∈ và 1 .af cx I− ∈ Tiếp tục với 2 ,..., ra ax x ta sẽ có mọi từ của f đều thuộc I vì thế I là một ideal đơn thức. Căn của một ideal đơn thức có thể được tính một cách tường minh thông qua , 0i i i a u x ≠ = ∏ với au x= là một đơn thức.■ Mệnh đề 2.1.12: Cho I là một ideal đơn thức. Căn của I được sinh bởi tập ( ){ }:u u G I∈ . 19 Chứng minh: Dễ thấy ( ){ }: .u u G I I∈ ⊂ Vì I là một ideal đơn thức, điều này đủ để chứng tỏ mỗi đơn thức u I∈ là một tích của một vài phần tử u với ( ).u G I∈ Thật vậy, nếu v I∈ thì kv I∈ với 0,k ≥ vì thế kv wu= với w là một đơn thức. Vậy ta có điều phải chứng minh.■ 3. Ideal đơn thức nguyên tố, ideal bất khả quy và sự phân tích nguyên sơ A. Ideal đơn thức nguyên tố Mệnh đề 2.1.13: I là ideal đơn thức nguyên tố khi và chỉ khi I sinh bởi các biến. Chứng minh: ( )⇒ gọi ( ) { }1,..., rG I m m= , gọi { }1,..., nS x x= là tập các biến sinh ra các phần tử , 1,im i s∈ . Ta chứng minh I S= . Dễ thấy .I S⊂ Lấy kx S∈ thì tồn tại im sao cho i k km q x= với kq là một đơn thức. Vì I là ideal nguyên tố nên kq I∈ hoặc .kx I∈ Nhưng ( )im G I∀ ∈ không có ước thực sự trong I nên kq cũng không là một ước thực sự của im suy ra i km ux= với .u K∈ Vậy .kx I∈ Suy ra .S I⊂ ( )⇐ Ta có 1,.., .sI x x= Lấy ( ) ( )f x g x I∈ suy ra mỗi từ của ( ) ( )f x g x chia hết cho ix với { }1,..., .i sx x x∈ Mà mỗi từ của ( ) ( )f x g x là tích của một từ của ( )f x và một từ của ( )g x nên từ của ( )f x chia hết cho ix hoặc từ của ( )g x chia hết cho .ix Vậy ( )f x I∈ hoặc ( )g x I∈ . Vậy I là một ideal nguyên tố.■ Như vậy mỗi ideal đơn thức nguyên tố đều hữu hạn sinh, đặc biệt đối với vành đa thức n biến thì số ideal đơn thức nguyên tố là hữu hạn. Mệnh đề 2.1.14: Cho vành [ ]1,..., ,nR K x x= số ideal đơn thức nguyên tố trong vành R là 2 1.n − Chứng minh: Theo mệnh đề 2.1.13 thì ideal đơn thức nguyên tố I sinh bởi các biến. Ta có: • Nếu I sinh bởi 1 biến thì có 1nC ideal .I 20 • Nếu I sinh bởi 2 biến thì có 2nC ideal .I • .. • Nếu I sinh bởi n biến thì có nnC ideal .I Vậy ta có ( )1 2 0... 1 1 2 1nn nn n n nC C C C+ + + = + − = − ideal đơn thức nguyên tố. ■ Trong số các ideal đơn thức nguyên tố trên vành đa thức n biến thì ideal nào là ideal tối đại. Ta có mệnh đề: Mệnh đề 2.1.15: Cho vành [ ]1,..., ,nR K x x= ideal 1,..., nI x x= là ideal tối đại đơn thức duy nhất. Chứng minh: Ta có I là ideal đơn thức nguyên tố (theo mệnh đề). Ta lại có [ ]1 1 ,..., ,..., n n K x xR KI x x= ≅ là trường nên I là ideal tối đại. Vậy I là ideal đơn thức tối đại. ■ B. Ideal bất khả quy và sự phân tích nguyên sơ R là vành đa thức trên trường nên là vành Noether. Theo định lí Lasker-Noether, mỗi ideal trên vành Noether đều có phân tích nguyên sơ. Cho nên ta xét sự phân tích nguyên sơ của các ideal đơn thức. Một phân tích nguyên sơ của ideal 1 : m iiI I Q== được goi là tối giản nếu không ideal iQ nào có thể lược bỏ trong biểu diễn này. Ta có định lí nền tảng sau: Định lí 2.1.16: Cho [ ]I S K x⊂ = là một ideal đơn thức. Khi đó 1 m ii I Q = =  với iQ được sinh bởi lũy thừa của các biến nghĩa là 1 1 ,..., k k aa i i iQ x x= . Hơn nữa sự phân tích nguyên sơ này là duy nhất. Chứng minh: Để chứng mịnh định lí này trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 2.1.17: Giả sử ,m n là hai đơn thức có ( ), 1UCLN m n = (không chứa biến chung) và 1,..., rm m là các đơn thức. Khi đó 1 1 1,..., , ,..., , ,..., ,r r rm m mn m m m m m n= ∩ 21 Chứng minh bổ đề: Chỉ cần chứng minh .⊇ Nếu đơn thức 1 1,..., , ,..., ,r ru m m m m m n∈ ∩ chia hết cho im nào đó, ,i r≤ thì 1,..., , .ru m m mn∈ Trong trường hợp ngược lại, vì 1,..., , ,ru m m m∈ nên theo mệnh đề 2.1.3 phải có | .m u Vì ,m n không chứa biến chung nên | .mn u Do đó 1,..., , .ru m m mn∈ Chứng minh định lí: Lấy ( ) { }1,..., rG I u u= và giả sử 1u không là một lũy thừa của các biến. Khi đó ta có thể viết 1u vw= với ,v w là những đơn thức nguyên tố cùng nhau. Áp dụng bổ đề ta có 1 2I I I= ∩ với 1 2, ,..., rI v u u= và 2 2, ,..., .rI w u u= Nếu ( )1G I hoặc ( )2G I chứa phần tử không là lũy thừa của các biến thì tiếp tục làm như trên. Sau hữu hạn bước ta sẽ được một phân tích của I bằng giao của cái ideal đơn thức sinh bởi lũy thừa của các biến. Loại bỏ các ideal chứa giao của các ideal khác, ta được một phân tích nguyên sơ tối giản của .I Bây giờ ta đi chứng minh sự phân tích nguyên sơ tối giản này là duy nhất. Lấy ' '1 1... ...r sQ Q Q Q∩ ∩ = ∩ ∩ là hai phân tích nguyên sơ tối giản của .I Ta sẽ chỉ ra rằng mỗi 1, ri∈ thì tồn tại 1,j s∈ sao cho ' .j iQ Q⊂ Tương tự ta cũng chỉ ra với mỗi 1,k s∈ thì tồn tại 1,l r∈ sao cho ' .l kQ Q⊂ Điều này sẽ dẫn tới r s= và { } { }' '1 1,..., ,..., .r sQ Q Q Q= Thật vậy, lấy 1, .i r∈ Ta có thể giả sử 11 ,..., .k aa i kQ x x= Giả sử 'j iQ Q⊂/ với 1, .j s∀ ∈ Với mỗi j tồn tại ' \ .j j b l j ix Q Q∈ Suy ra 1,jl k∈/ hoặc .jj lb a< Lấy { }11 ,..., .ssbbl lu BCNN x x= Ta có ' 1 .s j iju Q Q=∈ ⊂ Vì thế tồn tại 1, ki∈ sao cho ia ix chia hết u (điều này không thể). Vậy ta có điều phải chứng minh. ■ Một ideal được gọi là bất khả quy nếu nó không thể viết được như hai giao thật sự của hai ideal đơn thức. Nó được gọi là khả quy nếu nó không bất khả quy. Hệ quả 2.1.18: Một ideal đơn thức là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó được sinh bởi lũy thừa của các biến. 22 Chứng minh: Lấy 1 1 ,..., ,k k aa i iQ x x= và cho Q I J= ∩ với ,I J là những ideal đơn thức thật sự chứa .Q Theo định lí trên ta có 1 r ii I Q = =  và ' 1 s jj J Q = =  với ',i jQ Q sinh bởi lũy thừa của các biến. Vì thế ta có biểu diễn: ' 1 1 . r s i j i j Q Q Q = = =    Bởi việc loại bỏ những ideal có sẵn trong giao ở vế phải, ta sẽ có sự phân tích nguyên sơ tối giản của .Q Do tính duy nhất của sự phân tích nguyên sơ tối giản ta có iQ Q= hoặc 'jQ Q= với ,i j nào đó (mâu thuẫn). Ngược lai, nếu ( )G Q chứa một đơn thức u vw= với ( ), 1UCLN v w = và 1v w≠ ≠ , Áp dụng bổ đề Q có thể được viết bằng giao thật sự của các ideal đơn thức. ■ Ví dụ: Cho 2 2 2 2 21 2 1 3 2 2 3, , , .I x x x x x x x= Theo quá trình trên ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 3 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = = = =        Mỗi ideal đều có sự phân tích nguyên sơ, vậy ideal có mang tính chất của các thành phần nguyên sơ. Mệnh đề sau cho ta kết quả nếu các thành phần nguyên sơ không chứa trong một ideal thì ideal ban đầu cũng không chứa trong ideal đó. Mện đề 2.1.19: Giả sử 1,..., ,rI I I là các ideal đơn thức chỉ sinh bởi lũy thừa của các biến. Giả sử rằng 1 ,..., .rI I I I⊆ ⊆/ / Khi đó: 1 ... .rI I I∩ ∩ ⊆/ Chứng minh : Giả sử ngược lại 1 ... .rI I I⊆  Với mỗi ,i r≤ vì ,iI I⊆/ có thể chọn được đơn thức sinh dạng i i a jx của iI sao cho nó không thuộc .I Vì ( )11 1,..., ...rra aj j rBCNN x x I I∈   nên ( )11 ,..., rra aj jBCNN x x chia hết cho một đơn thức sinh akx nào đó của .I Không mất tính tổng quát có thể giả thiết 1j k= và 1a là số lớn nhất trong 23 tất cả các số ia mà .ij k= Khi đó 1a là lũy thừa của biến kx trong ( )11 ,..., .rra aj jBCNN x x Từ đó phải có 1 .a a≥ Suy ra 11 . a jx I∈ Vô lí. Vậy 1 ... .rI I I⊆/  ■ Ví Dụ: Ta có 2 3 2 3 2 2 31 2 3 1 2 1 2 3, , , , ,x x x x x x x x=  . Ta có 2 3 2 2 1 2 1 2 3, , ,x x x x x⊆/ và 2 2 3 2 2 1 2 3 1 2 3, , , ,x x x x x x⊆/ nên 2 3 1 2 3, ,x x x 2 2 1 2 3, ,x x x⊆/ . §2: IDEAL KHỞI ĐẦU Trong tiết mở đầu, khi đề cập đến vành đa thức nhiều biến, ta đã đưa ra một số thứ tự từ để sắp xếp thứ tự các từ của đa thức. Điều đó giúp ta có được khái niệm sau: Như thường lệ, kí hiệu [ ] [ ]1,..., nR K x K x x= = và M là tập đơn thức của nó. 1. Từ khởi đầu, đơn thức đầu Định nghĩa 2.2.1: Cho ≤ là một thứ tự từ và [ ]1,..., .nf R K x x∈ = Từ khởi đầu của ,f kí hiệu là ( ),in f≤ là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự từ .≤ Nếu ( ) ,0 ,ain f x Ka a≤ = ≠ ∈ thì ( )lc f a≤ = được gọi là hệ số đầu và ( ) alm f x≤ = là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ .≤ Nếu thứ tự từ ≤ đã được ngầm định, ta sẽ viết ( )in f (tương ứng ( ) ( ), )lc f lm f thay cho ( )in f≤ (tương ứng ( ) ( ), ).lc f lm f≤ ≤ Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể nhận giá trị tùy ý). Từ khởi đầu còn được gọi là từ đầu hay từ đầu tiên. Như vậy nếu trong biểu diễn của đa thức f ta viết các từ theo thứ tự giảm dần, thì ( )in f sẽ xuất hiện đầu tiên. Đương nhiên cách viết này cũng như từ khởi đầu của f phụ thuộc vào thứ tự từ đã chọn. 24 Ví dụ: Cho 4 5 3 2 84 7 .f x y x y xyz= + − Đối với thứ tự từ điển x y z> > thì ( ) 4 5in f x y= , đối với thứ tự từ điển phân bậc thì ( ) 87 .in f xyz= − Một số tính chất cơ bản của các từ khởi đầu với một thứ tự từ ≤ nào đó trong quan hệ với các phép toán trong vành đa thức. Mệnh đề 2.2.2: Cho ,f g R∈ và .m M∈ Khi đó: (i) ( ) ( ). .in mf m in f= (ii) ( ) ( ) ( ).in fg in f in g= (iii) ( ) ( ) ( ){ }max , .lm f g lm f lm g+ ≤ Dấu < xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ).in f in g= − Chứng minh: Giả sử: ( ) ( ); ,i if in f m m in f= + <∑ và ( ) ( ); ,j jg in g n n in g= + <∑ trong đó im và jn là các từ có thể bằng 0. Khi đó: (i) Ta có: ( ) ( ). .in . .in . .i im f m f m m m f m m= + = +∑ ∑ Vì ( )im in f< nên ( ). . , .im m m in f i< ∀ Vậy ( ) ( ). .in mf m in f= (ii) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ). . . . .j i i jf g in f in g n in f m in g m n= + + +∑ ∑ ∑ Ta có: ( )jn in g< ⇒ ( ) ( ) ( ). .jn in f in g in f< ( ) ( ) ( ) ( ). . .i im in f m in g in f in g< ⇒ < ( ) ( ) ( ) ( ), . . .i j i jm in f n in g m n in f in g< < ⇒ < Suy ra: ( ) ( ) ( ). .in fg in f in g= 25 (iii) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết ( ) ( ).in f in g≥ Nếu ( ) ( )in f in g> thì: ( ) ( ) .i jf g in f in g m n+ = + + +∑ ∑ Ta có ( ) ( ) jin f in g n≥ > nên ( ) .jin f n> Theo định nghĩa từ khởi đầu lại có ( ) .iin f m> Vậy từ ( )in f lớn nhất trong tổng trên và không giản ước được với các từ khác, nên ( ) ( ) ( ){ }max , .lm f g lm f lm g+ ≤ Nếu ( ) ( )lm f lm g= và ( ) ( )lc f lc g≠ − thì ( ) ( )( ) ( ) .i jf g lc f lc g lm f m n+ = + + +∑ ∑ Do ( ) ( ) 0lc f lc g+ ≠ và ( ) ( ) ( ),i jlm f m lm f lm g n> = > nên lại có ( ) ( ) ( ) ( ){ }max , .lm f g lm f lm f lm g+ = = Nếu ( ) ( )in f in g= − thì .i jf g m n+ = +∑ ∑ Như vậy hoặc 0,f g+ = hoặc ( ) ( ) ( ),ilm f g lm m lm f+ = < hoặc ( ) ( ) ( ) ( ,jlm f g lm n lm g i j+ = < nào đó). Vì vậy: ( ) ( ) ( ){ }max , .lm f g lm f lm g+ < ■ Chú ý rằng bất đẳng thức ở khẳng định (iii) ở trên cũng được viết dưới dạng: ( ) ( ) ( ){ }max , ,in f g in f in g+ ≤ Trong đó khi ( ) ( )lm f lm g= thì ( ) ( ){ }max ,in f in g được hiểu như ( ).lm fa với 0 Ka≠ ∈ nào đó. 2. Ideal khởi đầu 26 Khái niệm ideal khởi đầu sẽ là xuất phát điểm hình thành khái niệm cơ sở Gröbner. Định nghĩa 2.2.3: Cho I là ideal của R và ≤ là một thứ tự từ. Ideal khởi đầu của ,I kí hiệu là ( ),in I≤ là ideal của R sinh bởi các từ đầu của các phần tử của ,I nghĩa là ( ) ( ) | .in I in f f I≤ ≤= ∈ Cũng như trên ta sẽ viết ( )in I thay vì ( )in I≤ nếu ≤ đã xác định. Rõ ràng cũng có ( ) ( ) | ,in I lm f f I= ∈ nên ( )in I là ideal đơn thức. Cho ≤ là một thứ tự từ và ,I J là hai ideal của .R Khi đó: Nhận xét 2.2.3: (i) Tập tất cả các đơn thức trong ( )in I là tập ( ){ }| .lm f f I∈ (ii) Nếu I là ideal đơn thức thì ( ) .in I I= Thật vậy: (i) Nếu ( )m in I∈ là một đơn thức, thì theo mệnh đề 2.1.3 ( ). ',m lm f m= trong đó f I∈ và ' .m M∈ Theo mệnh đề 2.2.2 (i) ( ) ( ). ' 'm lm f m lm m f= = và ' .m f I∈ Vậy ( ){ }| .m lm f f I∈ ∈ Điều ngược lại luôn luôn đúng. (ii) Vì I là ideal đơn thức, nên I sinh bởi tập hợp đơn thức A nào đó. Với mỗi ( ) ( ), ,m A m in m in I∈ = ∈ nên ( ).I in I⊆ Nếu f I∈ là phần tử tùy ý, thì theo các mệnh đề 2.1.3 và 2.1.4, ( )in f chia hết cho đơn thức m A∈ nào đó. Lại theo mệnh đề 2.1.3, ( ) ,in f I⊆ tức là ( ) .in I I= Ideal khởi đầu ( )in I có thể xem là một xấp xỉ của I bởi mệnh đề sau: 27 Mệnh đề 2.2.4: Nếu I J⊆ thì ( ) ( ).in I in J⊆ Hơn nữa nếu I J⊆ và ( ) ( )in I in J= thì .I J= Chứng minh: Theo định nghĩa rõ ràng I J⊆ kéo theo ( ) ( ).in I in J⊆ Giả sử ( ) ( ).in I in J= Nếu ,I J≠ do mọi thứ tự từ là thứ tự tốt nên ta có thể chọn được \f J I∈ để ( ) ( ){ }min | \ .lm f lm g g J I= ∈ Vì ( ) ( ) ( ),lm f in J in I∈ = nên tồn tại g I∈ sao cho ( ) ( ).lm f lm g= Thay f,g bằng ( ) ( )/ , /f lc f g lc g ta có thể giả thiết ( )( ) 1.lc f lc g= = Đặt .h f g= − Vì ,f g J∈ nên .h J∈ Nhưng f I∉ và g I∈ nên .h I∉ Vậy \ .h J I∈ Mặt khác, theo mệnh đề 2.2.2(iii) ta lại có ( ) ( ).lm h lm f< Điều này mâu thuẩn với việc chọn .f Vậy .I J= ■ Mệnh đề trên cho ta lấy được thông tin của ideal I từ ideal khởi đầu ( ).in I Nếu cho ideal khởi đầu ( ) ,in I khi đó ( )in I sẽ có hệ sinh đơn thức tối tiểu ( )( ).G in I Ta lấy các đa thức trong I sao cho từ khởi đầu của nó là một đơn thức tối tiểu trong ( )( ).G in I Gọi J là ideal sinh bởi các đa thức này. Rõ ràng J I⊆ và ( ) ( ).in J in I= Vậy .I J= Như vậy từ ideal khởi đầu ta có thể tìm lại thông tin ngược của ideal ban đầu nhưng rõ ràng ideal khởi đầu dễ nghiên cứu hơn vì nó là ideal đơn thức. Ta xét tính chất của ideal khởi đầu trong quan hệ các phép toán trên ideal: Mệnh đề 2.2.5: (i) ( ) ( ) ( ).in I in J in IJ⊆ (ii) ( ) ( ) ( ).in I in J in I J+ ⊆ + Chứng minh: 28 (i) Vì ( ) ( )in I in J sinh bởi các từ ( ) ( ),in f in g trong đó f I∈ và ,g J∈ và theo mệnh đề 2.2.2 (ii) ta có ( ) ( ) ( ),in fg in f in g= nên ta có ( ) ( ) ( ).in I in J in IJ⊆ (ii) Ta có ,I I J J I J⊂ + ⊂ + nên theo định nghĩa ta có ( ) ( )in I in I J⊂ + và ( ) ( ).in J in I J⊂ + Suy ra ( ) ( ) ( ).in I in J in I J+ ⊆ + ■ Ta có [ ]1,..., kR K x x= là K − không gian véc tơ và tập { }:a kx a∈ là cơ sở của không gian véc tơ .R Cho I là ideal của R nên I là không gian véc tơ con của .R Ta có: { } ( ){ } ( ){ }: : :a k a a a aR x a x x in I x x in I= ∈ = ∈ ⊕ ∉ Gọi ( ){ }: .a aB x x in I= ∉ Vậy ta có ( )R in I B= ⊕ suy ra ( )/ .R in I B≅ Định lý Macaulay sẽ cho ta biết không gian véc tơ đẳng cấu với /R I là không gian véc tơ nào? Định lí 2.2.6 (Định lý Macaulay) Với mọi thứ tự từ ,≤ tập B tất cả các đơn thức của M nằm ngoài ( )in I≤ lập thành một hệ đại diện cơ sở của không gian véc tơ /R I trên trường .K Chứng minh: Trước hết ta chứng tỏ tập B độc lập tuyến tính. Giả sử tồn tại 1,..., sm m B∈ và { }1,..., \ 0s Ka a ∈ sao cho 1 1: ... s sf m ma a= + + và 0f = (trong / ).R I Khi đó ( ) i iin f ma= với i s≤ nào đó. Do đó ( ),im in I∈ trái với giả thiết .im B∈ Bây giờ ta chứng tỏ B là hệ sinh của / ,R I hay tương đương B I∪ sinh ra .R Kí hiệu E là tập các tổ hợp tuyến tính của B I∪ trên .K Giả sử .E R≠ Do thứ tự từ là thứ tự tốt nên ta có thể chọn được \f R E∈ sao cho ( ) ( ){ }min | \ .lm f lm g g R E= ∈ Nếu ( ) ,lm f B∈ thì ( )in f E∈ và do đó ( ) \f in f R E− ∈ có từ khởi đầu thực sự bé hơn ( )in f (theo mệnh đề 2.2.2(iii) ). Vô lí. Vậy phải có ( ) ( ).lm f in I∈ Theo nhận xét 2.2.3(i) tìm được g I∈ sao cho ( ) ( ).in f in g= Vì g I E∈ ⊆ và f E∉ nên 29 : \ .h f g R E= − ∈ Mặt khác theo mệnh đề 2.2.2(iii) lại có ( ) ( ),lm h lm f< trái với cách chọn .f Suy ra phải có ,E R= tức B là hệ sinh của / .R I ■ Vậy / .R I B≅ Như vậy, mặc dù ( )I in I≠ nhưng chúng chung phần bù để lấy tổng trực tiếp bằng .R Ta có ngay hệ quả: Hệ quả 2.2.7: Nếu một trong hai không gian vector /R I và ( )/R in I hữu hạn chiều, thì không gian kia cũng hữu hạn chiều và ( ) ( )( )dim / dim / .R I R in I= Cho J là ideal của .R Với mỗi ,s∈ kí hiệu sR≤ là tập các đa thức trong J bậc nhỏ hơn hay bằng s và sJ≤ là tập các đa thức trong J bậc nhỏ hơn hoặc bằng .s Ta có: Định lí 2.2.7: Cho ideal I R⊆ và ≤ là một thứ tự từ trên .R Khi đó: Nếu ≤ là một thứ tự từ phân bậc và ,s∈ thì ( ) ( )( )( )dim / dim / .K s s s sR I R in I≤ ≤ ≤ ≤ ≤= Chứng minh: Kí hiệu sB≤ là tập tất cả đơn thức bậc không quá s và nằm ngoài ( ).in I Khi đó với một thay đổi nhỏ - , ,B R S thay bằng , ,s s sB R I≤ ≤ ≤ - chứng minh của định lí trên cũng cho phép ta khẳng định sB≤ là hệ đại diện cơ sở của không gian vector ./s sR I≤ ≤ Mặt khác, rõ ràng sB≤ là hệ đại diện cơ sở của không gian vector ( )( )/ .s sR in I≤ ≤ ≤ Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh. ■ 30 §3: CƠ SỞ GRöBNER Như đã nói tới trong lời mở đầu, việc thực hiện chia một đa thức nhiều biến f cho một hệ các đơn thức 1,..., sf f có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau và dẫn tới việc có thể có các đa thức dư khác nhau. Vì vậy việc kiểm tra một đa thức f cho trước có thuộc 1,..., sI f f= gặp nhiều khó khăn. Vấn đề đặt ra ở đây là có một hệ sinh phù hợp 1,..., tg g của I sao cho dù chia f cho 1,..., tg g theo cách nào thì đa thức dư là duy nhất. Hệ sinh như thế sẽ được thấy trong tiết này và được gọi là cơ sở Gröbner và được định nghĩa như sau: Định nghĩa 2.3.1: Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một ideal của .R Tập hữu hạn các đa thức khác không 1,..., sg g I∈ được gọi là một cơ sở Gröbner của I đối với thứ tự ≤ nếu ( ) ( ) ( )1 ,..., .sin I in g in g≤ ≤ ≤= Tập 1,..., sg g I∈ được gọi là một cơ sở Gröbner, nếu nó là cơ sở Gröbner của ideal sinh bởi chính các phần tử này. Với định nghĩa như trên, các từ khởi đầu của cơ sở Gröbner của I sinh ra ideal khởi đầu .I Vậy tương ứng cơ sở Gröbner có sinh ra ideal I ? Để trả lời câu hỏi đó ta xét mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3.2: Cho I là một ideal tùy ý của .R Nếu 1,..., sg g là cơ sở Gröbner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì 1,..., sg g là cơ sở của .I Chứng minh: Đặt 1,..., .sJ g g I= ⊆ Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ,..., ,sin I in g in g in J in I= ⊆ ⊆ nên ( ) ( ).in J in I= Theo mệnh đề 2.2.4, .I J= ■ Ngược lại, một cơ sở của I thì có thể không là cơ sở Gröbner của .I Ví dụ: Xét [ ]1 7,...,R K x x= và thứ tự từ điển phân bậc với 1 2 7... .x x x> > > Lấy 1 4 2 3f x x x x= − và 4 7 5 6g x x x x= − . Khi đó ( ) ( )ex ex1 4 4 7, .l lin f x x in g x x< <= = Lấy ,I f g= . 31 Khi đó { },f g không là cơ sở Gröbner của I với thứ tự từ điển phân bậc. Thật vậy, đa thức 7 1 1 5 6 2 3 7 ,h x f x g x x x x x x I= − = − ∈ nhưng ( )ex 1 5 6lin h x x x< = không chia hết cho ( ) exl in f< hay ( )exlin g< , vì thế ( ) ( ) ( )ex ex ex,l l lin h in f in g< < <∉ .Do đó ( ) ( ) ( ) ex ex ex , . l l l in I in f in g< < <≠ Hay nói cách khác { },f g là cơ sở của I nhưng không là cơ sở Gröbner của .I Như vậy việc xác định ideal khởi đầu tương đương với việc tìm một cơ sở Gröbner của I (đối với một thứ tự từ nào đó). Tuy nhiên việc này không đơn giản vì không phải mọi cơ sở của I là cơ sở Gröbner của .I Hơn nữa, một cơ sở đã cho của I có thể là cơ sở Gröbner đối với thứ tự này, nhưng không là cơ sở Gröbner với thứ tự khác. Ví dụ: Cho  = ⊆ = = −  3 3 1 2, , vaø , .I xy y K x y f xy f xy y Cho .x y> Khi đó ( ) ( )1 2 ,lex lexin f in f xy≤ ≤= = nên { }1 2;f f không phải là cở sở Gröbner của I đối với thứ tự từ điển ex ,l≤ vì ( )ex .lin I I≤ = Tuy nhiên ( ) ( )1 1 ,glex rlexin f in f xy≤ ≤= = ( ) ( ) 32 2glex rlexin f in f y≤ ≤= = và ( ) ( )lgex rlexin I in I I≤ ≤= = nên 1 2,f f là cở sở Gröbner của I đối với thứ tự từ điển phân bậc, cũng như đối với thứ tự từ điển ngược. Khi cố định một thứ tự từ thì cơ sở Gröbner không xác định duy nhất, bởi vì khi thêm một số phần tử vào cơ sở Gröbner đã biết, thì sẽ được một cơ sở Gröbner mới. Bởi vậy ta có khái niệm sau: Định nghĩa 2.3.3: Cơ sở Gröbner tối tiểu của I đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở Gröbner G I⊂ thỏa mãn các tính chất sau: (i) ( ) 1lc g = với mọi .g G∈ (ii) Với mọi g G∈ không tồn tại 'g G∈ để ( ) ( )' | .in g in g Vì mỗi ideal đơn thức chỉ có duy nhất một tập sinh đơn thức tối tiểu, nên ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.3.4: Cho ≤ là một thứ tự từ. Khi đó mọi ideal đều có cơ sở Gröbner tối tiểu và mọi cơ sở Gröbner tối tiểu của cùng một ideal đều có chung số lượng phần tử và chung