Luận văn Dạy học bất phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông

theo x hay sử dụng phương pháp 41 phân tích thành nhân tử đưa PT ban đầu về dạng ( ). ( ) 0f x h x = , từ đó ta thu được PT (1)xa nx p= + trong đó hàm số ở một vế là đồng biến và hàm số ở vế còn lại nghịch biến. + Chọn 0x là nghiệm của (1) và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. Công nghệ-lý thuyết 1 ptmuθ 1. ptmu CCLogθ + Tính biến thiên của hàm số logarit; tính chất của logarit. + Tính chất liên quan đến tập nghiệm của hai PT tương đương. 1. ptmu MuLogθ + Định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit. “Cho hai số dương a, b với 1a ≠ . Số α thỏa mãn a bα = được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b ( loga b a b αα = ⇔ = )”[M1,tr.62] + Tính đơn điệu của hàm số mũ xy a= . 1. ptmu MuHuuTiθ + Tính chất lũy thừa với mũ số thực, phép biến đổi tương đương PT. + Tính đơn điệu của hàm số mũ xy a= . 2 ptmuθ M Na a M N= ⇔ = với 0, 1a a> ≠ . 3 ptmuθ + Hàm số mũ 0 (0 1 , )xy a a x R= > < ≠ ∀ ∈ . + Tính chất song ánh của hàm số mũ ( 0, 1)xy a a a= > ≠ từ R R+ . + Định nghĩa logarit. 4 ptmuθ 4. ptmu MuHuuTiθ + Tính chất lũy thừa với mũ số thực, tính biến thiên của hàm mũ xy a= . 42 + Phép biến đổi tương đương hai PT đại số. 4. ptmu CCLogθ + Điều kiện xác định cho các biểu thức đại số, các tính chất của logarit. + Các kĩ thuật giải PT đại số. 5 ptmuθ + Sự tương giao của hai đường cong. + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. 6 ptmuθ + Hàm số mũ . + Tính chất đơn điệu của hàm số mũ. + Tính chất đơn điệu của hàm số trên khoảng K. + Sự tương giao đồ thị của hai hàm số. 1.2.4. Bất phương trình logarit cơ bản Chúng tôi nhận thấy SGK không nêu khái niệm BPT logarit mà chỉ nêu các dạng của BPT logarit cơ bản và liệu rằng đó có phải là nguyên nhân gây ra các sai lầm ở HS khi giải BPT logarit hay không? “SGK không nêu khái niệm bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.Ta hiểu đó là các bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa hoặc trong biểu thức lấy logarit.” [G1, tr.97] “Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x b> (hoặc log , log , log )a a ax b x b x b≥ ≠ .” [M1, tr.85] Tiếp theo M1 đưa ra kỹ thuật giải cho BPT logarit cơ bản dạng loga x b> như sau: “Xét bất phương trình loga x b> . Trường hợp 1a > ,ta có log ba x b x a> ⇔ > . Trường hợp 0 1a ⇔ < < ” 0 ( 0, 1, )xy a a a x R= > > ≠ ∀ ∈ 43 1 b y x O 1 ab y = b b [M1, tr.87,88] Ví dụ 4 7 2 3 1 2 ) log 7 2 128 1 1) log 3 0 2 8 a x x x b x x x > ⇔ > ⇔ >   > ⇔ > ⇔ < <    [M1, tr.88] Chúng tôi nhận thấy M1 không đưa ra kỹ thuật giải cũng như ví dụ cho các BPT logarit cơ bản dạng: log , log , loga a ax b x b x b≥ < ≤ . Tiếp theo M1 đã minh họa bằng đồ thị để giúp HS hình dung một cách trực quan tập nghiệm của BPT logarit cơ bản dạng loga x b> . Quan sát đồ thị,ta thấy: Trường hợp 1: logaa x b> > khi và chỉ khi bx a> . Trường hợp 0 1: logaa x b khi và chỉ khi 0 bx a< < . Kết luận:Nghiệm của bất phương trình loga x b> được cho trong bảng sau: loga x b> 1a > 0 1a< < y y = b ab O x log ( 1) ay x a = > Hình 1.6 log (0 1) ay x a = < < Hình 1.7 44 [M1, tr.88] Cách tiếp cận này được sách giáo viên giải thích: Cũng như đối với các phương trình ở bài 5, khi giải các bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cơ bản, SGK chú trọng đến việc minh họa bằng đồ thị. Lí do là phương pháp đồ thị giúp học sinh hình dung một cách trực quan tập hợp nghiệm của bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm đó trên trục số. Ngoài ra, qua đồ thị, học sinh nắm vững được các trường hợp bất phương trình luôn nghiệm đúng hoặc vô nghiệm mà không cần ghi nhớ một cách máy móc các kết quả trong bảng. [G1, tr.97;98] Như vậy với PT, BPT mũ và logarit cơ bảnthì M1 đều có minh họahình ảnh trực quan bằng đồ thị về nghiệm và tập nghiệm của PT, BPT.Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ có một dạng BPT logarit cơ bản với dấu “ > ” được giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị, M1 không có giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị đối với các BPT logarit cơ bản với dấu “<,≤ ,≥” mà thay vào đó là hoạt động 3. “Hoạt động 3.Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình log , log , loga a ax b x b x b≥ < ≤ .” [M1, tr.88] Đáp án của hoạt động 3: Từ đồ thị ở hai hình 43 và 44 của SGK,ta có bảng sau đây. loga x b≥ 1a > 0 1a< < Tập nghiệm );ba +∞ (0; ba  Từ đồ thị ta có hai bảng sau đây: loga x b 0 1a< < Tập nghiệm ( )0; ba ( );ba +∞ Nghiệm bx a> 0 bx a< < 45 loga x b≤ 1a > 0 1a< < Tập nghiệm (0; ba  );ba +∞ Ta nhận thấy cấu trúc trình bày BPT logarit là đưa ra các dạng BPT logarit cơ bản, công thức nghiệm, minh họa bằng đồ thị BPT logarit cơ bản dạng loga x b> hoàn toàn tương tự như cấu trúc trình bày đối với PT logarit cơ bản dạng loga x b= , nó được xác định qua dấu hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT logarit cơ bản thành dấu “>” (hoặc dấu “<, ≤, ≥) thì ta có dạng BPT logarit cơ bản và M1 không nêu khái niệm BPT logarit mà chỉ trình bày các dạng của BPT logarit cơ bản. Để rèn luyện kĩ năng cho HS G1 đã đưa ra yêu cầu: “Sau hoạt động 3 nên yêu cầu học sinh giải cụ thể một vài bất phương trình logarit cơ bản để rèn luyện kĩ năng. [G1, tr.98] 1.2.5. Bất phương trình logarit đơn giản Đối với BPT logarit đơn giản thì M1 đưa vào hai ví dụ và hoạt động 2 để minh họa về dạng và phương pháp giải đối với BPT logarit đơn giản. Dưới đây là một số ví dụ về BPT mũ đơn giản như sau: Ta xét một số ví dụ về bất phương trình logarit đơn giản. Ví dụ 5.Giải bất phương trình ( ) ( )20,5 0,5log 5 10 log 6 8x x x+ < + + . Giải.Điều kiện của bất phương trình đã cho là 2 5 10 0 2 2 6 8 0 4 2 x x x x x x x  + > > − ⇔ ⇔ > −  + + > −  Vì cơ số 0,5 bé hơn 1 nên với điều kiện đó,bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình 25 10 6 8x x x+ > + + 2 2 0 2 1x x x⇔ + − < ⇔ − < < Kết hợp với điều kiện,ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng ( )2;1− . 46 Ví dụ 6.Giải bất phương trình ( ) ( )2 2log 3 log 2 1x x− + − ≤ . Giải.Điều kiện của bất phương trình là 3x > .Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với ( )( )2 2log 3 2 log 2x x − − ≤  . Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên ( )( )3 2 2x x− − ≤ . Giải bất phương trình này,ta tìm được 1 4x≤ ≤ .Kết hợp với điều kiện 3x > ,ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 4x< ≤ . [M1, tr.89] Chúng tôi nhận thấy rằng với cách trình bày của M1 là cho 2 ví dụ để minh họa không đưa ra được các phương pháp giải BPT logarit cụ thể như: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụvà liệu đó có phải là nguyên nhân gây khó khăn cho việc dạycủa GV, việc học của HS như khi các em giải các bài tập BPT logarit tương tự thì các em không biết biến đổi như thế nào và phải bắt đầu từ đâu nên HS thường gặp các sai lầm và cho kết quả sai. Tiếp theo,M1 đưa vào hoạt động 4 với mục đích củng cố và rèn luyện cho HSvề phương pháp giải BPT logarit đơn giản sau khi các em làm 2 ví dụ ở trên. “Hoạt động 4.Giải bất phương trình ( ) ( )1 1 2 2 log 2 3 log 3 1x x+ > + .” [M1, tr.89] Đáp án của hoạt động 4:Vì cơ số 1 2 nhỏ hơn 1 nên BPT đã cho tương đương với hệ 32 3 0 22 2 3 3 1 2 x x x x x x  + > > −⇔ ⇔ >  +  Vậy chúng tôi nhận thấy rằng đối với BPT logarit đơn giản thì M1 chỉ đưa ra 2 ví dụ cùng với lời giải cho 2 ví dụ này mà không có một dạng hay một phương pháp cụ thể để giải BPT logarit đơn giản.Với cách trình bày như vậy liệu có ảnh hưởng gì cho GV và HS khi dạy và học đối với nội dung này hay không? Do đó, liệu có cần một sự điều chỉnh về cách trình bày để việcdạyvà học nội dung này đạt được kết quả tốt hơn và các em HS có thể tự tin hơn khi giải các bài tập dạng này hay không? 1.2.6. Phân tích các TCTH liên quan đến BPT logarit 47 Trong phần này chúng tôi sẽ phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng BPT logarit cơ bản và BPT logarit đơn giản. Bên cạnh đó chúng tôi cũng phân tích các TCTH liên quan đến PT logarit cơ bản và PT logarit đơn giản để làm cơ sở tham chiếu so sánh giữa hai đối tượng BPT logarit với PT logarit tương ứng. a. - Kiểu nhiệm vụ T1bptlog: Giải bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x b> (hoặc log , log , log )a a ax b x b x b≥ ≠ . Ví dụ 4 7 2 3 1 2 ) log 7 2 128 1 1) log 3 0 2 8 a x x x b x x x > ⇔ > ⇔ >   > ⇔ > ⇔ < <    [M1.tr88] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ để giải thích cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật log1 bptτ : + Biến đổi log bab a= . + BPT đã cho trở thành log log ba ax a> . + Khi 1a > , log log b ba ax a x a> ⇔ > . + Khi 0 1a ⇔ < < . - Công nghệ log1 bptθ : + Sử dụng tính chất logarit của một lũy thừa: với mọi α, ta có log loga ab b α α= , , 0 ; 1a b a> ≠ . + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit log ( 0, 1)ay x a a= > ≠ luôn xác định trên ( )0;+∞ .Khi 1a > hàm số luôn đồng biến.Khi 0 1a< < hàm số luôn nghịch biến. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV liên quan giải PT logarit cơ bản với mong muốn thấy được sự tương đồng với KNV giải BPT logarit cơ bản như sau: 48 - Kiểu nhiệm vụ T1ptlog: Giải phương trình logarit cơ bản có dạng loga x b= với 0, 1a a> ≠ . “Hoạt động 1.Tìm x, biết 3 1log 4 x = . Giải.Điều kiện 0x > , 1 4 3 1 1log 3 4 81 x x x= ⇔ = ⇔ = Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 1 81 x = ” [M1,tr.81] Từ ví dụ này chúng tôi đưa ra kỹ thuật giải như sau: - Kỹ thuật log1 ptτ :PT log ba x b x a= ⇔ = , với 0 1a< ≠ . - Công nghệ log1 ptθ : Định nghĩa logarit cơ số a của b: Cho hai số dương a,b với 1a ≠ số α thỏa mãn đẳng thức a bα = được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b . ( loga b a b αα = ⇔ = ). [M1,tr.62] Chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT logarit cơ bản có sự tương tự chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>,<, ≥, ≤” để được BPT tương ứng và đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số logarit là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Và liệu đó có phải là nguyên nhân gây ra các sai lầm của HS hay không? Và sai lầm này xảy ra có thể do HS áp dụng qui tắc hành động sau: Với cơ số 0 1 , log ⇔ > baa x b x a . Chúng tôi nhận thấy rằng qui tắc hành động này chỉ hợp thức khi cơ số 1a > và nó không hợp thức khi cơ số 0 1a< < dẫn đến sai lầm. b. - Kiểu nhiệm vụ T2bptlog: Giải bất phương trình logarit đơn giản có dạng log ( ) log ( )a af x g x ≠ .(phương pháp đưa về cùng một cơ số). Ví dụ.Giải bất phương trình: ( ) ( )20,5 0,5log 5 10 log 6 8x x x+ < + + . Bài giải. Điều kiện của bất phương trình đã cho là 49 2 5 10 0 2 2 6 8 0 4 2 x x x x x x x  + > > − ⇔ ⇔ > −  + + > −  Vì cơ số 0,5 bé hơn 1 nên với điều kiện đó,bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình 25 10 6 8x x x+ > + + 2 2 0 2 1x x x⇔ + − < ⇔ − < < Kết hợp với điều kiện,ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng ( )2;1− [M1,tr.89] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật log2 bptτ : + Tìm điều kiện của BPT. +Biến đổi BPT về dạng log ( ) log ( )a af x g x< + Với 1,log ( ) log ( ) ( ) ( )a aa f x g x f x g x> < ⇔ < . + Với 0 1,log ( ) log ( ) ( ) ( )a aa f x g x f x g x . + Giải BPT ( ) ( )f x g x ) kết hợp với điều kiện để đi đến kết luận tập nghiệm của BPT. - Công nghệ log2 bptθ :Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit log ( 0, 1)ay x a a= > ≠ .Khi 1a > hàm số luôn đồng biến. Khi 0 1a< < hàm số luôn nghịch biến. Từ kỹ thuật giải BPT logarit đơn giản có dạng log ( ) log ( )a af x g x< bằng phương pháp đưa về cùng cơ số ta có thể suy ra kỹ thuật giải tương tự đối với các BPT logarit có dạng log ( ) log ( ) a af x g x≤ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số. Với kiểu nhiệm vụ T2bptlogđã sử dụng chiến lược giải là đưa về cùng cơ số.Đây là phương pháp cơ bản để giải BPT dạng này và trước khi giải nên đặt điều kiện để BPT có nghĩa rồi đi đến biến đổi. Cần chú ý chúng ta hay nhầm lẫn trong biến đổi có sử dụng các nhóm công thức 50 sau:  1 2 1 2log ( . ) log loga a ab b b b= +  1 1 2 2 log log loga a a b b b b = −  2log 2 log , , 0ka ab k b k Z b+= ∈ ≠ Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT logarit đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số với mong muốn thấy được sự tương đồng với KNV giải BPT logarit đơn giản. - Kiểu nhiệm vụ T2ptlog: Giải phương trình logarit đơn giản có dạng log ( ) log ( )a af x g x= với 0, 1a a> ≠ .(phương pháp đưa về cùng một cơ số). Ví dụ 5.Giải phương trình 3 9 27log log log 11x x x+ + = . Giải.Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được 2 33 3 3 3 3 3 3 log log log 11 1 1log log log 11 log 6 2 3 x x x x x x x + + = ⇔ + + = ⇔ = Vậy 63 729x = = [M1,tr.83] Bài 2.Giải các phương trình logarit: a) 3 3log (5 3) log (7 5)x x+ = + Giải.Điều kiện 3 5 3 0 35 57 5 0 5 7 xx x x x  > − + > ⇔ ⇔ > −  + >  > −  3 3log (5 3) log (7 5) 5 3 7 5 1x x x x x+ = + ⇔ + = + ⇔ = − Kết hợp với điều kiện 3 5 x > − phương trình đã cho vô nghiệm. [M1,tr.84] Qua ví dụ và bài tập trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: 51 - Kỹ thuật log2 ptτ : + Tìm điều kiện của PT. +Đưa PT về dạng log ( ) log ( )a af x g x= . + Giải PT ( ) ( )f x g x= . + Kết hợp với điều kiện để đi đến kết luận tập nghiệm của PT. - Công nghệ log2 ptθ :Với 0, 1 ; , 0 ; log loga aa a M N M N M N> ≠ > = ⇔ = . Chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT logarit đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số có sự tương tự nhau chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <, ≥, ≤” để được BPT tương ứng nhưng đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số logarit là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Với kỹ thuật giải tương tự như vậy liệu rằng nó có gây ra nhầm lẫn và dẫn đến các sai lầm khi HS giải các bài tập về BPT logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số hay không.Và sai lầm này xảy ra có thể do HS áp dụng qui tắc hành động sau: Với cơ số 0 1 , log ( ) log ( ) ( ) ( ) ⇔ >a aa f x g x f x g x . Chúng tôi nhận thấy rằng qui tắc hành động này chỉ hợp thức khi cơ số 1a > và nó không hợp thức khi cơ số 0 1a< < dẫn đến sai lầm. + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit: Khi cơ số 1a > , log loga aM N M N> ⇔ > +Khi cơ số 0 1a ⇔ < . + Tính chất đơn ánh của hàm số logarit: log loga aM N M N= ⇔ = với 0, 1a a> ≠ . c. - Kiểu nhiệm vụ T3bptlog: Giải bất phương trình logarit đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ có dạng: (log ( )) 0aP f x ≠ Ví dụ 2.Giải các bất phương trình logarit sau: 2 0,2 0,2) log 5log 6c x x− < − Bài giải c)Với điều kiện 0x > ,đặt 0,2logt x= ,ta có bất phương trình 2 5 6 0 2 3t t t− + < ⇔ < < 52 Suy ra 0.22 log 3x< < hay 0,2 0,2 0,2log 0,04 log log 0,008x< < . Vì cơ số 0,2 nhỏ hơn 1 nên ta có 0,008 0,04x ). [E1,tr.105] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật log3 bptτ : + Đặt điều kiện ( ) 0f x > ,giải tìm điều kiện của x. +Đưa BPT đã cho về dạng (log ( )) 0aP f x < . + Đặt log ( )at f x= . + BPT tương đương với ( ) 0P t < ,trong đó ( )P t là một đa thức theo t. + BPT ( ) 0P t < là một BPT đại số với ẩn mới là t. + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay log ( )at f x= ta được một BPT cơ bản. - Công nghệ log3 bptθ : + Tính chất của hàm số log (0 1)ay x a= < ≠ luôn xác định trên ( )0;+∞ . + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Tính chất song ánh của hàm số logarit. d. - Kiểu nhiệm vụ T4bptlog: Giải bất phương trình logarit đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ có dạng: (log ( )) 0aP f x ≤ ,với 0, 1a a> ≠ . Bài 2 .Giải các bất phương trình logarit sau: 2 3 3/ log 5log 6 0d x x− + ≤ Bài giải d/Với điều kiện 0x > ,ta đặt 3logt x= ,ta có bất phương trình: 2 5 6 0 2 3t t t− + ≤ ⇔ ≤ ≤ Suy ra 2 33 3 3 32 log 3 log 3 log log 3x x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 9 27x⇔ ≤ ≤ 53 [M1,tr.90] Qua bài tập trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật log4 bptτ : + Đặt điều kiện ( ) 0f x > giải tìm điều kiện x. +Đưa BPT đã cho về dạng (log ( )) 0aP f x ≤ . + Đặt log ( )at f x= . + BPT trở thành ( ) 0P t ≤ ,trong đó ( )P t là một đa thức theo t. + BPT ( ) 0P t ≤ là một BPT đại số với ẩn mới là t. + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay log ( )at f x= ta được một bất phương trình cơ bản . - Công nghệ log4 bptθ : + Tính chất của hàm số log ( 0, 1)ay x a a= > ≠ luôn xác định trên ( )0;+∞ . + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Tính chất song ánh của hàm số logarit. Với kỹ thuật giải các BPT logarit đơn giản dạng (log ( )) 0aP f x < hoặc (log ( )) 0aP f x ≤ ,với 0, 1a a> ≠ ta có thể suy ra kỹ thuật giải đối với các BPT có dạng (log ( )) 0aP f x > hoặc (log ( )) 0aP f x ≥ một cách tương tự. Mục đích chính của phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho về BPT đại số quen thuộc đặc biệt là các BPT bậc hai hoặc hệ BPT và đây cũng là một phương pháp rất hay dùng để giải BPT logarit. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT logarit đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ với mong muốn thấy được điểm tương đồng cũng như điểm khác biệt với KNV giải BPT logarit đơn giản. - Kiểu nhiệm vụ T3ptlog: Giải phương trình logarit đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ có dạng: (log ( )) 0aP f x = ,với 0, 1a a> ≠ . 54 Hoạt động 5.Giải phương trình 22 2log 3log 2 0x x− + = bằng cách đặt ẩn phụ 2logt x= Giải. + Điều kiện của phương trình 0x > + Đặt 2logt x= ,ta được phương trình: 2 3 2 0t t− + = + Giải phương trình bậc hai theo t , ta được hai nghiệm 1 21 , 2t t= = Vậy 2 1 1 2 2 2log 1 2 ; log 2 4x x x x= ⇔ = = ⇔ = Ví dụ 6.Giải phương trình 1 2 1 5 log 1 logx x + = − + Giải.Điều kiện của phương trình là 0x > , log 5x ≠ và log 1x ≠ − . Đặt ( )log 5, 1t x t t= ≠ ≠ − , ta được phương trình 1 2 1 5 1t t + = − + Từ đó ta có phương trình 2 2 1 2(5 ) (5 )(1 ) 11 4 5 5 6 0 t t t t t t t t t + + − = − + ⇔ − + = − + + ⇔ − + = Giải phương trình bậc hai theo t, ta được hai nghiệm 1 22, 3t t= = đều thỏa mãn điều kiện 5, 1t t≠ ≠ − . Vậy 1 2log 2 , log 3x x= = nên 1 2100 , 1000x x= = . [M1,tr.83] Qua hai ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật log3 ptτ : + Đặt điều kiện của PT là ( ) 0f x > giải tìm điều kiện x. +Đưa PT đã cho về dạng (log ( )) 0aP f x = . + Đặt log ( )at f x= + PT trở thành ( ) 0P t = ,trong đó ( )P t là một đa thức theo t. 55 4 1 4 + PT ( ) 0P t = là một PT đại số với ẩn mới là t. + Giải PT này tìm miền nghiệm t rồi thay log ( )at f x= ta được một phương trình cơ bản rồi tìm x. + Kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm của PT đã cho. - Công nghệ log3 ptθ : + Tính chất của hàm số log ( 0, 1)ay x a a= > ≠ luôn xác định trên ( )0;+∞ . + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Tính chất song ánh của hàm số logarit. - Kiểu nhiệm vụ T5bptlog: Giải bất phương trình logarit đơn giản có dạng loga x bx c> + bằng phương pháp đồ thị với 0, 1a a> ≠ . Ví dụ.Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị. 3) log 4b x x> − Bài giải b)Vẽ đồ thị của hàm số 3logy x= và đường thẳng 4y x= − trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy (H.1.8),ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ 3x = . Từ đồ thị ta thấy đường cong 3logy x= nằm phía trên đường thẳng 4y x= − khi 3x > Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( )3;+∞ . [E1,tr.10] 3logy x= y = 4 - x y 56 O x 3 1 Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật log5 bptτ : + Vẽ đồ thị của hai hàm số logay x= (C) và đồ thị hàm số y bx c= + (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. + Xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số logay x= (C) và đồ thị hàm số y bx c= + (d). + Dựa vào đồ thị rút ra nhận xét khi 0 0 0 0 ( , , )x x x x x x x x> < ≥ ≤ thì (C) và (d) như thế nào với nhau. + Kết luận tập nghiệm của bất phương trình. - Công nghệ log5 bptθ : + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của PT hoành độ giao điểm loga x bx c= + . +Miền nghiệm của BPT ( ) ( )f x g x> . Với kỹ thuật giải BPT logarit bằng phương pháp đồ thị sẽ giúp cho HS có một hình ảnh trực quan hơn về tập nghiệm của BPT logarit.Giải BPT bằng phương pháp đồ thị thường được thực hiện trên máy tính. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT logarit đơn giản bằng phương pháp đồ thị với mong muốn thấy được điểm tương đồng cũng như điểm khác biệt với KNV giải BPT logarit đơn giản cũng bằng phương pháp đồ thị như sau: - Kiểu nhiệm vụ T4ptlog:Giải phương trình logarit đơn giản có dạng loga x bx c= + bằng phương pháp đồ thị với 0, 1a a> ≠ . Bài 2.34.Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị: Hình 1.8 57 1 3 y = O y x 1 1 3 1 3 ) log 3a x x= Giải.Vẽ đồ thị của hàm số 1 3 logy x= và đường thẳng 3y x= trên cùng hệ trục tọa độ Oxy (H.1.9), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ 1 3 x = .Thử lại, ta thấy giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho.Mặt khác, hàm số 1 3 logy x= luôn nghịch biến, hàm số 3y x= luôn đồng biến.Vậy 1 3 x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. [E1,tr.101] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật log4 ptτ : + Vẽ đồ thị của hai hàm số logay x= (C) và đồ thị hàm số y bx c= + (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. + Xác định hoành độ giao điểm x0 của hai đồ thị hàm số logay x= (C) và y bx c= + (d). + Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. + Kiểm tra giá trị 0x x= thỏa mãn phương trình đã cho. 1 3 logy x= Hình 1.9 58 + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số chứng minh 0x x= là nghiệm duy nhất. + Kết luận 0x x= là nghiệm của phương trình đã cho. - Công nghệ log4 ptθ : + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của PT hoành độ giao điểm loga x bx c= + +Tính chất của hàm sốlogarit log x ( 0, 1)ay a a= > ≠ . Bảng tóm tắc các tính chất của hàm số logarit log x ( 0, 1)ay a a= > ≠ Tập xác định ( )0;+∞ Đạo hàm 1' ln y x a = Chiếu biến thiên 1a > :hàm số luôn đồng biến; 0 1a< < :hàm số luôn nghịch biến. Tiệm cận Trục Oy là tiệm cận đứng. Đồ thị Đồ thị luôn đi qua các điểm (1;0) và (a ;1) nằm phía bên phải trục tung. [M1,tr.76] - Kiểu nhiệm vụ T5ptlog: Giải phương trình logarit đơn giản có dạng log ( ) ( )a f x g x= với 0, 1a a> ≠ bằng phương pháp mũ hóa. Ví dụ 7.Giải phương trình 2log (5 2 ) 2 x x− = − . Giải.Điều kiện của phương trình là 5 2 0x− > . Theo định nghĩa, phương trình đã cho tương đương với phương trình ) 2log (5 2 22 2 x x− −= . (Phép biến đổi này thường được gọi là mũ hóa).Từ đó ta có 245 2 2 5.2 4 0 2 x x x x − = ⇔ − + = Đặt 2 ( 0)xt t= > , ta có phương trình bậc hai 2 5 4 0t t− + = với hai nghiệm dương 1, 4t t= = .Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 0, 2x x= = . [M1,tr.84] 59 Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật log5 ptτ : +Tìm điều kiện của PT. +PT log ( ) ( ) ( )log ( ) ( ) ( )a f x g x g xa f x g x a a f x a= ⇔ = ⇔ = +Giải PTmũ ( )( ) g xf x a= . +Kết hợp với điều kiện để đi kết luận nghiệm của PT. - Công nghệ log5 ptθ : + Tính chất: Với , 0; 1a b a> ≠ ta có loga ba b= . + M Na a M N= ⇔ = với 0, 1a a> ≠ . - Kiểu nhiệm vụ T6ptlog :Giải phương trình logarit đơn giản bằng cách áp dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit. Ví dụ 7.Giải các phương trình logarit sau: 2 2 3) log( 6) log( 2) 4 ) log (1 ) loga x x x x b x x− − + = + + + = Giải a) Điều kiện để phương trình có nghĩa là 2 2 36 0 3 22 0 x xx x x xx   − − > ⇔ ⇔ >  > −+ >  . Với 3x > phương trình đã cho tương đương với ( ) 2 2 6log 6 log( 2) 4 log 4 2 log( 3) 4 (1) x xx x x x x x x x − − − − − + = − ⇔ = − + ⇔ − = − Ta có ( ) log( 3)f x x= − đồng biến khi 3x > , hàm số ( ) 4g x x= − là hàm số nghịch biến. Mà 4x = thỏa mãn (1). Vậy 4x = là nghiệm duy nhất của (1), tức là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. b) Điều k