LỜI CAM ĐOAN. i
LỜI CẢM ƠN.ii
MỤC LỤC .iii
MỞ ĐẦU . 1
Chƣơng 1 KHÔNG GIAN b METRIC . 3
1.1. Không gian b metric. 3
1.2 Định lí Banach trong không gian b- metric . . .5
Chƣơng 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIANb
METRIC VỚI t KHOẢNG CÁCH. 8
2.1. khoảng cách và t khoảng cách trong không gian b metric . 8
2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b metric với t
khoảng cách . 10
2.3. Các lớp m hàm . 21
2.4. Một số định lí điểm bất động đối với m hàm trong không gian b
metric với t khoảng cách. 23
KẾT LUẬN. 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 32
36 trang |
Chia sẻ: honganh20 | Ngày: 26/02/2022 | Lượt xem: 417 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Định lí điểm bất động trong không gian B metric với t khoảng cách, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1
0
k
và mỗi n . Khi đó { }
n
t là dãy Cauchy trong E .
1.2. Định lí Banach trong không gian b -metric
Định lí 1.2.1. Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hệ số k , và
:f E E là ánh xạ sao cho với
1
0
k
,
fs ft s t( , ) ( , )
với mọi ,s t E . Khi đó f có điểm bất động duy nhất r , và với mỗi
0
s E ,
dãy
0
{ }nf s hội tụ đến r .
Chứng minh. Lấy
0
s E bất kì và kí hiệu
0
n
n
t f s . Khi đó
1 1 1
( , ) ( , ) ( , )
n n n n n n
t t ft ft t t
Với mỗi 1,2....n Bổ đề 1.1.9 kéo theo { }
n
t là dãy Cauchy, và vì ( , )E đầy
đủ, nên r E sao cho
n
t r khi n . Khi đó
1
( , ) ( ( , ) ( , ))
n n
fr r k fr ft t r
1
( ( , ) ( , )) 0
n n
k r t t r
khi n . Do đó, ( , ) 0fr r và fr r .
Nếu
1 1
fr r , thì ta có
1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , )r r fr fr r r r r .
Định lí 1.2.2. Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hệ số k . Cho
:f E E là ánh xạ sao cho với mỗi n tồn tại (0,1)
n
sao cho
lim 0
nn
và ( , ) ( , )n n
n
f s f t s t với mọi ,s t E . Khi đó f có điểm bất
động duy nhất .
6
Chứng minh. Lấy sao cho
1
0
k
. Vì 0
n
khi n , nên
tồn tại
0 0
: ,
n
n n n . Khi đó ( , ) ( , ), ,n nf s f t s t s t E khi
0
n n . Nói cách khác, với
0
m n tùy ý, mg f thỏa mãn
( , ) ( , ), ,gs gt s t s t E .
Theo Định lí 1.2.2 ! :r gr r . Khi đó mf r r , kéo theo
1 ( )m mf r f fr fr và fr là điểm bất động của mg f . Vì điểm bất động
của g là duy nhất, nên fr r .
Định lí 1.2.3. Cho ( , )E là không gian b -metric đầy đủ với hằng số 1k , và
giả sử :f E E thỏa mãn ( ( ), ( )) ( ( , )), ,f s f t s t s t E , trong đó
: là hàm tăng và thỏa mãn lim ( ) 0n
n
t với mỗi 0t . Khi đó
! : ( )s E f s s và lim ( ) , .n
n
f s s s E
Chứng minh. Trước tiên theo giả thiết về suy ra
0
lim ( ) 0
t
t ,
do đó f liên tục. Bây giờ, cho s E và 0 tùy ý. Chọn n sao cho
( )
2
n
k
. Đặt ng f và ( )m
m
s g s với mỗi m . Khi đó
1
( , ) ( ( ), ( )) ( ( ( ), )m m nm
m m
s s g gs g s g s s .
Do đó,
1
lim ( , ) 0
m mm
s s .
Bây giờ chọn m sao cho 1( , ) 2m m
s s
k
và lấy ( ; ).
m
u B s Khi đó
( ( ), ( )) ( ( , )) ( )
2
n n
m m
g u g s u s
k
và
7
1( ( ), ) ( , ) 2m m m m
g s s s s
k
.
Do đó ta có
( ( ), ) [ ( ( ), ( )) ( ( ), )]
m m m m
g u s k g u g s g s s .
Vì vậy : ( ; ) ( ; )
m m
g B s B s . Từ đó suy ra rằng nếu ,i j m , thì
( , ) [ ( , ), ( , )] 2
i j i m m j
s s k s s s s k .
Do đó { }
m
s là dãy Cauchy, vì vậy : lim
mm
s E s s . Vì f liên tục
nên g liên tục, do đó
1
lim lim lim ( ) ( )
m m mm m m
s s s g s g s .
Vì
( ( ), ( ) ( ( , )) ( , )ng s g t s t s t
nếu s t , suy ra g có đúng một điểm bất động. Hơn nữa, vì
( , ( )) ( ( ), ( ))m m ms g s g s g s
( ( , )) 0nm s s khi m ,
nên ( ) ,mg s s s E . Mặt khác, vì f liên tục, nên
( ) lim ( ) lim ( ( ))m
mm m
f s f s f g s lim ( ( ))m
m
g f s s .
Cuối cùng, với s E bất kỳ và {0,1,..., 1},p n
( ) ( ( ))m p m pf s g f s s khi m ,
suy ra lim ( )m
m
f s s .
8
Chƣơng 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
b METRIC VỚI t KHOẢNG CÁCH
2.1. khoảng cách và t khoảng cách trong không gian b metric
Định nghĩa 2.1.1. Cho ( , )E là không gian metric. Hàm :d E E
được gọi là khoảng cách trên E nếu:
(1) ( , ) ( , ) ( , )d s t d s r d r t với mọi , ,r s t E ;
(2) với s E bất kì, ( , ) :s E là hàm nửa liên tục dưới (tức là, nếu
s E và
n
t t E , thì ( , ) lim inf ( , )
nn
d s t d s t );
(3) với 0, 0 : ( , )d r s và ( , )d r t kéo theo ( , )s t .
Ví dụ 2.1.2. Cho ( , )E là không gian metric. Hàm :d E E xác định
bởi ( , )d s t c với mọi ,s t E là khoảng cách trên E , trong đó c là số
thực dương. Nhưng d không là metric vì ( , ) 0d s s c với mọi s E .
Ví dụ 2.1.3. Cho E là tập số thực và phiếm hàm :d xác định bởi
2( , ) | |d s t s t
với mọi ,s t . ( , )E d là không gian b metric với hệ số 2.k Tuy nhiên,
ta biết rằng d không là metric trên E vì bất đẳng thức tam giác không thỏa
mãn. Thật vậy,
(3,5) (3,4) (4,5).d d d
Định nghĩa 2.1.4. Hàm giá trị thực f xác định trên không gian b metric E
gọi là k nửa liên tục dưới tại điểm 0s E nếu
0
lim inf ( )
n
nx x
f s hoặc
0
0
( ) lim inf ( )
n
nx x
f s kf s , với mọi { }ns E và 0ns s .
Năm 2014 , Hussian [4] đã giới thiệu khái niệm t khoảng cách như sau:
9
Định nghĩa 2.1.5. Cho ( , )E là không gian b metric với hằng số 1k .
Một hàm số :d E E được gọi là t khoảng cách trên E nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau:
( )i ( , ) ( ( , ) ( , ))d s r k d s t d t r với mọi , ,r s t E ;
( )ii với mỗi , ( ,.) :s E d s E là hàm k nửa liên tục dưới.
( )iii với 0, 0 : ( , )d r s và ( , )d r t kéo theo ( , )s t .
Ví dụ 2.1.6. Cho ( , )E là không gian b metric. Khi đó là một t
khoảng cách trên E .
Ví dụ 2.1.7. Cho E và 2( , ) ( )s t s t . Khi đó hàm :d E E xác
định bởi
2 2( , ) | | | |d s t s t với mọi ,s t E là t khoảng cách trên E .
Bổ đề 2.1.8. ([4]). Cho ( , )E là không gian b metric với hằng số 1k và
d là t khoảng cách trên E . ( )ns và ( )nt là các dãy trong E , ( )n và ( )n
là các dãy trong [0, ) hội tụ đến 0 và , ,r s t E . Khi đó:
( )i nếu ( , )n nd s t và ( , )n nd s r với n bất kỳ, thì t r .
Đặc biệt, nếu ( , ) 0d s t và ( , ) 0d s r thì t r ;
( )ii nếu ( , )n n nd s t và ( , )n nd s r với n , thì ( )nt hội tụ đến r ;
( )iii nếu ( , )n m nd s s với ,n m bất kỳ, m n , thì ( )ns là dãy Cauchy.
( )iv nếu ( , )n nd t s với n bất kỳ, thì ( )ns là dãy Cauchy.
Định nghĩa 2.1.9. Cho ( , )E là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Hai phần tử
,s t E gọi là so sánh được đối với quan hệ thứ tự nếu s t hoặc t s .
Ta kí hiệu E là tập con của E E được xác định bởi
{( , ) :E s t E E s t hoặc y x}.
10
Định nghĩa 2.1.10. Cho ( , )E là một tập được sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ
:f E E . Ta nói rằng
(1) f là tăng ngược, nếu với mọi ,s t E , ( ) ( )f s f t kéo theo s t .
(2) f là không giảm, nếu với mọi ,s t E , s t kéo theo ( ) ( )f s f t .
2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b metric với t
khoảng cách
Định lí 2.2.1. Cho d là t khoảng cách trên không gian b metric đầy đủ
( , )E với hằng số 1k và 1S , 2 :S E E . Giả sử [0,1/ )r k sao cho
1 2 1
2 1 2
( ( ), ( )),
max
( ( ), ( ))
d S s S S s
d S s S S s 1 2
min ( , ( )), ( , ( ))r d s S s d s S s (2.1)
với mỗi s E và
1 2
inf ( , ) min ( , ( )), ( , ( )) : 0d s t d s S s d s S s s E (2.2)
với mỗi t E với t không là điểm bất động chung của 1S và 2S . Khi đó 1S
và 2S có điểm bất động chung trong E . Ngoài ra, nếu 1 2( ) ( )s S s S s thì
( , ) 0d s s .
Chứng minh. Cho 0s E tùy ý và định nghĩa dãy ( )ns bởi
1 1( )n ns S s nếu n lẻ và
2 1( )n ns S s nếu n chẵn.
Nếu n lẻ thì theo (2.1) ta có
1 1 1 2
( , ) ( ( ), ( ))
n n n n
d s s d S s S s
1 1 2 1 1( ( ), ( ))n nd S s S S s
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
max ( ( ), ( )), ( ( ), ( ))
n n n n
d S s S S s d S s S S s
1 1 1 1 2 1
min ( ( , ( )), ( , ( ))
n n n n
r d s S s d s S s
11
1 1 1( , ( ))n nrd s S s 1( , )n nrd s s .
Nếu n chẵn thì theo (2.1), ta có
1 2 1 1
( , ) ( ( ), ( ))
n n n n
d s s d S s S s
2 1 1 2 1( ( ), ( ))n nd S s S S s
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1
max ( ( ), ( )), ( ( ), ( ))
n n n n
d S s S S s d S s S S s
1 2 1 1 1 1
min ( , ( )), ( , ( ))
n n n n
r d s S s d s S s
1 2 1( , ( ))n nrd s S s 1( , )n nrd s s .
Do đó
1 1
( , ) ( , )
n n n n
d s s rd s s (2.3)
Áp dụng (2.3) liên tiếp ta được
1 0 1
( , ) ( , )n
n n
d s s r d s s (2.4)
Với ,m n , m n từ (2.4) suy ra
1 1
( , ) [ ( , ) ( , )]
n m n n n m
d s s k d s s d s s
2 1
1 1 2 2 1 1
( , ) ( , ) ... [ ( , ) ( , )]m n
n n n n m m m m
kd s s k d s s k d s s d s s
2 1 1 2 1 1
0 1
[ ... ] ( , )n n m n m m n mkr k r k r k r d s s
2 2 1
0 1
[1 ( ) ... ( ) ( ) ] ( , )n m n m nkr kr kr kr kr d s s
0 1
( , )
1
nkr
d s s
kr
.
Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), { }ns là dãy Cauchy trong E . Vì E đầy đủ, nên
{ }
n
s hội tụ đến z E . Cố định n . Khi đó vì { }ns hội tụ đến z và
( ,.)
n
d s là k nửa liên tục dưới, nên ta có
2
0 1
( , ) lim inf ( , ) ( , )
1
n
n n mm
k r
d s z kd s s d s s
kr
.
12
Giả sử z không là điểm bất động chung của 1S và 2S . Khi đó theo giả
thiết ta có
1 2
0 inf ( , ) min ( , ( )), ( , ( )) :d s z d s S s d s S s s E
1 2
inf ( , ) min ( , ( )), ( , ( )) :
n n n n n
d s z d s S s d s S s n
2
0 1 1
inf ( , ) ( , ) :
1
n
n n
k r
d s s d s s n
kr
2
0 1 0 1
inf ( , ) ( , ) : 0
1
n
nk r d s s r d s s n
kr
Điều này mâu thuẫn. Do đó, 1 2( ) ( )z S z S z . Nếu 1 2( ) ( )s S s S s
với s E thì
1 2 1 2 1 2
( , ) max ( ( ), ( )), ( ( ), ( ))d s s p S s S S s p S s S S s
1 2
min ( , ( )), ( , ( ))r d s S s d s S s
min ( , ), ( , )r d s s d s s ( , )rd s s
Từ đó suy ra ( , ) 0d s s .
Hệ quả 2.2.2. Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hằng số 1k , d
là t khoảng cách trên E và :S E E . Giả sử tồn tại [0,1/ )r k sao cho
2( ( ), ( )) ( , ( ))d S s S s rd s S s
với mỗi s E và
inf ( , ) ( , ( )) : 0d s t d s S s s E
với mỗi t E với ( )t S t . Khi đó : ( )s E S s s .
Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Định lí 2.2.1 bằng cách lấy
1 2
S S S .
13
Định lí 2.2.3. Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hằng số 1k ,
d là t khoảng cách trên E và :S E E là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại
[0,1/ )r k sao cho
2( ( ), ( )) ( , ( ))d S s S s rd s S s
với mỗi s E . Khi đó
0 0 0
: ( )s E S s s .
Chứng minh. Giả sử : ( )t E t S t và
inf ( , ) ( , ( )) : 0d s t d s S s s E .
Khi đó { }ns E :
lim ( , ) ( , ( )) 0
n n nn
d s t d s S s .
Suy ra ( , ) 0nd s t và ( , ( )) 0n nd s S s . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra
( )
n
S s t . Ta có
2 2( , ( )) [ ( , ( )) ( ( ), ( ))]
n n n n n n
d s S s k d s S s d S s S s
(1 ) ( , ( )) 0n nk r d s S s .
Do đó,
2( ( ))
n
S s hội tụ đến t . Nhưng :S E E liên tục, nên
2( ) (lim ( )) lim ( )
n nn n
S t S S s S s t
Điều này mâu thuẫn với ( )t S t . Do đó, nếu ( )t S t , thì
inf ( , ) ( , ( )) : 0d s t d s S s s E .
Theo Hệ quả 2.2.2,
0 0 0
: ( )s E S s s .
Định lí 2.2.4. Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hằng số 1k ,
và ánh xạ :S E E sao cho
1 2 3
( ( ), ( )) ( , ) ( , ( )) ( , ( ))S s S t c s t c s S s c t S t (2.5)
với mỗi ,s t E , trong đó
1 2 3
, , 0c c c với
1 2 3
1
c c c
k
.
14
Khi đó
0 0 0
! : ( )s E S s s .
Chứng minh. Ta xét b metric là t khoảng cách trên E . Từ (2.5), ta có
2 2
1 2 3
( ( ), ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ( ), ( ))S s S s c s S s c s S s c S s S s .
Suy ra
2 1 2
3
( ( ), ( )) ( , ( ))
1
c c
S s S s s S s
c
(2.6)
Đặt 1 2
3
1
c c
r
c
khi đó
1
[0, )r
k
vì
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) 1k c c c k c c c .
Do đó, (2.6) trở thành
2( ( ), ( )) ( , ( ))S s S s r s S s với mỗi s E .
Giả sử : ( )t E t S t và
inf ( , ) ( , ( )) : 0s t s S s s E .
Khi đó { }ns E :
lim{ ( , ) ( , ( ))} 0
n n nn
s t s S s .
Từ đó ( , ) 0ns t và ( , ( )) 0n ns S s . Theo Bổ đề 2.1.8, ( )nS s t .
Ta có
( , ( )) [ ( , ( )) ( ( ), ( ))]n nt S t k t S s S s S t
1 2 3[ ( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , ( ))]n n n nk t S s c s t c s S s c t S t
với mỗi n và từ đó
3
( , ( )) ( , ( ))t S t kc t S t .
Do đó, ( , ( ) 0t S t , tức là ( )t S t là mâu thuẫn. Như vậy, nếu
( )t S t thì
inf ( , ) ( , ( )) : 0s t s S s s E .
Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta có điều phải chứng minh
15
Định lí 2.2.5. Giả sử ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hằng số
1k và ánh xạ :S E E thỏa mãn
1 2
( ( ), ( )) ( , ( )) ( , ( ))S s S t c s S t c t S s (2.7)
với mọi ,s t E trong đó
1 2
, 0c c với
1
1
1
c k
k
hoặc
2
1
1
c k
k
. Khi
đó S có một điểm bất động trong E . Hơn nữa, nếu
1 2
1c c , thì S có điểm
bất động duy nhất trong E .
Chứng minh. Ta xét b metric là t khoảng cách trên E . Từ (2.7),
ta có
2 2
1 2
( ( ), ( )) ( , ( )) ( ( ), ( ))S s S s c s S s c S s S sx
2
1
[ ( , ( )) ( ( ), ( ))]c k s S s S s S s .
Suy ra
2 1
1
( ( ), ( )) ( , ( ))
1
c k
S s S s s S s
c k
(2.8).
Đặt 1
1
1
c k
r
c k
. Khi đó
1
[0, )r
k
. Do đó, (2.8) trở thành
2( ( ), ( )) ( , ( ))S s S s r s S s
với mọi s E . Giả sử t E với ( )t S t và
inf ( , ) ( , ( )) : 0s t s S s s E .
Khi đó { } :ns E
lim{ ( , ) ( , ( ))} 0
n n nn
s t s S s .
Từ đó ( , ) 0ns t và ( , ( )) 0n nd s S s . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra ( )nS s t .
Ta cũng có
( , ( )) [ ( , ( )) ( ( ), ( ))]n nt S t k t S s S s S t
16
1 2[ ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))]n n nk t S s c s S t c t S s
1 1 2[ ( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , ( ))]n n nk t S s c k s t c k t S t c t S s
2
1 1 2
( , ( )) [ ( , ( )) ( , ) ( , ( ))]
n n n
c k t S t k t S s c k s t c t S s
với n . Cho n ta được
2
1
( , ( )) ( , ( ))t S t k c t S t .
Suy ra ( , ( )) 0t S t , tức là ( )t S t . Điều này là mâu thuẫn. Do đó,
nếu ( )t S t thì
inf ( , ) ( , ( )) : 0s t s S s s E .
Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta nhận được điểm bất động của S trong E .
Bây giờ giả sử
1 2
1c c và , :u v X ( )S u u và ( )S v v . Khi đó
1 2 1 2
( , ) ( ( ), ( )) ( , ) ( , ) ( ) ( , )u v S u S v c u v c v u c c u v .
Điều này kéo theo ( , ) 0u v , suy ra u v . Do đó S có điểm bất động duy
nhất trong E .
Định lí 2.2.6. Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hằng số 1k
và :S E E . Giả sử tồn tại [0,1/ )r k sao cho
( ( ), ( )) max{ ( , ), ( , ( )), ( , ( )), ( , ( ))}S s S t r s t s S s t S t t S s (2.9)
với mọi ,s t E . Khi đó
0 0 0
! : ( )s E S s s .
Chứng minh. Ta xét b metric là t khoảng cách trên E . Từ (2.9), ta có
2 2
( , ( )), ( , ( )),
( ( ), ( )) max
( ( ), ( )), ( ( ), ( ))
s S s s S s
S s S s r
S s S s S s S s
(2.10)
2max{ ( , ( )), ( ( ), ( ))}r s S s S s S s .
Nếu 2( ) ( )S s S s thì rõ ràng T có điểm bất động. Giả sử 2( ) ( )S s S s . Vì
1
r
k
, nên từ (2.10) ta nhận được
17
2( ( ), ( )) ( , ( ))S s S s r s S s
với mọi s E . Giả sử : ( )t E t S t và
inf ( , ) ( , ( )) : 0s t s S s s E .
Khi đó { } :
n
s E
lim ( , ) ( , ( ))} 0
n n nn
s t s S s .
( , ) 0ns t và ( , ( )) 0n ns S s . Theo Bổ đề 2.1.8, ( )nS s t . Ta cũng có
( , ( )) [ ( , ( )) ( ( ), ( ))]
n n
t S t k t S s S s S t
( , ( )) max ( , ), ( , ( )), ( , ( )), ( , ( ))
n n n n n
k t S s kr s t s S s t S t t S s
với n . Cho n ta được
( , ( )) ( , ( ))t S t kr t S t .
Do đó ( , ( )) 0t S t tức là ( )t S t . Điều này là mâu thuẫn. Do đó nếu
( )t S t thì
inf ( , ) ( , ( )) : 0s t s S s s E .
Theo Hệ quả 2.2.2, tồn tại điểm bất động duy nhất của S trong E .
Định lí 2.2.7. Cho p là t khoảng cách trên không gian b metric đầy đủ
( , )E với hằng số 1k . Cho 1 2, :S S E E là toàn ánh. Giả sử tồn tại
r k sao cho
2 1 1
1 2
1 2 2
( ( ), ( )),
min max ( ( ), ), ( ( ), )
( ( ), ( ))
p S S s S s
r p S s s p S s s
p S S s S s
(2.11)
với mọi s E và
1 2
inf ( , ) min ( ( ), ), ( ( ), ) : 0p s t p S s s p S s s s E (2.12)
đối với mỗi t E với t không là điểm bất động chung của 1S và 2S . Khi đó
1
S và 2S có điểm bất động chung trong E .
18
Chứng minh. Lấy 0u E tùy ý, vì 1S là toàn ánh nên tồn tại 1u E sao cho
1
1 1 0
( )u S u . Vì 2S cũng là toàn ánh, nên 2u E :
1
2 2 1
( )u S u .
Tiếp tục lập luận như trên, ta tìm được 1
2 1 1 2
( )
n n
u S u và 1
2 2 2 2 1
( )
n n
u S u
với 1,2,...n . Do đó
2 1 2 1
( )
n n
u S u và
2 1 2 2 2
( )
n n
u S u với 0,1,2...n .
Nếu 2n m thì do (2.11) ta có
1 2 1 2( , ) ( , )n n m mp u u p u u 2 2 1 2 1( ( ), ( ))m mp S u S u
2 1 2 1 1 2 1
( ( ), ( ))
m m
p S S u S u
2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
min{ ( ( ), ( )), ( ( ), ( ))}
m m m m
p S S u S u p S S u S u
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
max{ ( ( ), ), ( ( ), )}
m m m m
r p S u u p S u u
1 2 1 2 1
( ( ), )
m m
rp S u u
2 2 1
( , )
m m
rp u u
1
( , )
n n
rp u u .
Nếu 2 1n m thì theo (2.11) ta có
1 2 2 1
( , ) ( , )
n n m m
p u u p u u
1 2 1 2 2 2
( ( ), ( ))
m m
p S u S u
1 2 2 2 2 2 2
( ( ), ( ))
m m
p S S u S u
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2
min{ ( ( ), ( )), ( ( ), ( ))}
m m m m
p S S u S u p S S u S u
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
max{ ( ( ), ), ( ( ), )}
m m m m
r p S u u p S u u
2 2 2 2 2
( ( ), )
m m
rp S u u
2 1 2 2
( , )
m m
rp u u
1
( , )
n n
rp u u .
Như vậy, với mỗi n nguyên dương bất kỳ ta được
1 1
( , ) ( , )
n n n n
p u u rp u u .
Từ đó suy ra
1 1 0 1
1 1
( , ) ( , ) ... ( ) ( , )n
n n n n
p u u p u u p u u
r r
(2.13)
Đặt
1
r
, thì
1
0
k
vì r k . Khi đó (2.13) trở thành
19
1 0 1
( , ) ( , )n
n n
p u u p u u .
Do đó, nếu m n thì
1 1
( , ) [ ( , ) ( , )]
n m n n n m
p u u k p u u p u u
2 1
1 1 2 2 1 1
( , ) ( , ) ... [ ( , ) ( , )]m n
n n n n m m m m
kp u u k p u u k p u u p u u
2 1 1 2 1 1
0 1
[ ... ] ( , )n n m n m m n mk k k k p u u
2 1 1 2 1
0 1
[ ... ] ( , )n n m n m m n mk k k k p u u
2 2 1
0 1
[1 ( ) ... ( ) ( ) ] ( , )n m n m nk k k k k p u u
0 1
( , )
1
nk
p u u
k
.
Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), { }nu là dãy Cauchy trong E . Vì E đầy đủ, nên { }nu hội
tụ đến điểm w E . Cố định n . Vì ( ,.)np u là s nửa liên tục dưới, nên
2
0 1
( ,w) lim inf ( , ) ( , )
1
n
n n mm
k
p u kp u u p u u
k
(2.14)
Giả sử w không là điểm bất động chung của 1S và 2S . Khi đó theo giả thiết ta có
1 20 inf{ ( ,w) min{ ( ( ), ), ( ( ), )} : }p s p S s s p S s s s E
1 2inf{ ( ,w) min{ ( ( ), ), ( ( ), )} : }n n n n np u p S u u p S u u n
2
0 1 1
inf ( , ) ( , ) :
1
n
n n
k
p u u p u u n
k
2
1
0 1 0 1
inf ( , ) ( , ) :
1
n
nk p u u p u u n
k
0 .
Mâu thuẫn này dẫn đến 1 2w (w) (w)S S .
Lấy
1 2
S S S , ta có:
Hệ quả 2.2.8. Cho p là t khoảng cách trên không gian b metric đầy đủ
( , )E với hằng số 1k và :S E E là toàn ánh. Giả sử :r k
20
2( ( ), ( )) ( ( ), )p S s S s rp S s s (2.15)
với mọi s E và
inf{ ( , ) ( ( ), ) : } 0p s t p S s s s E (2.16)
với mọi t E với ( )t S t . Khi đó S có điểm bất động trong E .
Áp dụng Hệ quả 2.2.8, ta có các kết quả sau.
Định lí 2.2.9. Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hằng số 1k
và :S E E là toàn ánh liên tục. Giả sử :r k
2( ( ), ( )) ( ( ), )S s S s r S s s
với mọi s E . Khi đó : ( )z E S z z .
Chứng minh. Xét là t khoảng cách trên E . Giả sử tồn tại t E với
( )t S t và
inf{ ( , ) ( ( ), ) : } 0s t S s s s E .
Khi đó { }
n
s E :
lim{ ( , ) ( ( ), )} 0
n n nn
s t S s s .
Suy ra ( , ) 0
n
s t và ( ( ), ) 0
n n
S s s khi n . Mặt khác ta có
( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) 0
n n n n
S s t S s s s t khi n .
Suy ra lim ( )
nn
S s t . Vì S là liên tục, nên
( ) (lim ) lim ( )
n nn n
S t S s S s t .
Mâu thuẫn này kéo theo ( )t S t , từ đó
inf{ ( , ) ( ( ), ) : } 0s t S s s s E .
Theo Hệ quả 2.2.8, : ( )z E S z z .
Định lí 2.2.10. Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ với hằng số 1k
và cho :S E E là toàn ánh liên tục. Giả sử :r k
21
( ( ), ( )) min{ ( , ( )), ( ( ), ), ( , )}S s S t r s S s S t t s t (2.17)
với mọi ,s t E . Khi đó : ( )z E S z z .
Chứng minh. Xét là t khoảng cách trên E . Thay t bởi ( )S s trong (2.17),
ta có
2 2( ( ), ( )) min{ ( , ( )), ( ( ), ( )), ( , ( ))}S s S s r s S s S s S s s S s (2.18)
với s E . Nếu 2( ) ( )S s S s thì rõ ràng S có điểm bất động. Không mất tính
tổng quát, ta giả sử 2( ) ( )S s S s . Vì 1r k , nên từ (2.18) suy ra
2( ( ), ( )) ( ( ), )S s S s r S s s
với mọi s E . Bằng cách tương tự như trong chứng minh Định lí 2.2.9, ta có
thể khẳng định rằng nếu ( )t S t thì
inf{ ( , ) ( ( ), ) : }> 0s t S s s s E .
Từ đó, theo Hệ quả 2.2.8, : ( )z E S z z .
2.3. Các lớp m hàm
Năm 2015, Khojasteh [7] đã giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng, gọi tắt
là m hàm, là tổng quát điều kiện co Banach như sau:
Định nghĩa 2.3.1 ([7]). m hàm là một ánh xạ : [0, ) [0, ) thỏa
mãn các điều kiện sau:
1
( ) (0,0) 0;
2
( ) t s s t( , ) với mọi s t, 0 .
3
( ) nếu
n
t{ } và
n
s{ } là các dãy số dương sao cho
n nn n
t slim lim 0 thì
n n
n
t slimsup ( , ) 0 .
Ví dụ 2.3.2 Cho
i
: [0, ) [0, ) với i 1,2,3 xác định bởi
22
(1) t s s t
1
( , ) ( ) ( ) với , [0, )t s , ở đó , : [0, ) [0, ) là
hai hàm liên tục sao cho t t( ) ( ) 0 t 0 và t t t( ) ( )
với mọi t 0;
(2)
f t s
t s s t
g t s2
( , )
( , )
( , )
với mọi t s, [0, ), trong đó
f g, : [0, ) [0, ) (0, ) là hai hàm liên tục theo từng biến sao cho
f t s g t s( , ) ( , ) với , 0t s .
(3) t s s s t
3
( , ) ( ) với mọi t s, [0, ), trong đó
: [0, ) [0, ) là hàm liên tục sao cho t( ) 0 t 0 .
Khi đó
i
với i 1,2,3 là m hàm.
Roldaùn- Loùpez-de-Hierro đã sửa đổi khái niệm m hàm như sau:
Định nghĩa 2.3.3. m hàm là một ánh xạ : [0, ) [0, ) thỏa mãn
các điều kiện sau:
1
( ) (0,0) 0;
2
( ) t s s t( , ) với , 0s t ;
3
( ) Nếu
n
t{ } và
n
s{ } là hai dãy số dương sao cho
n nn n
t slim lim 0
và
n n
t s với mọi n thì
n n
n
t slimsup ( , ) 0 .
Lớp tất cả các m hàm : [0, ) [0, ) được kí hiệu bởi và mỗi
m hàm theo nghĩa của Khojasteh [7] cũng là m hàm theo nghĩa của
Roldaùn- Loùpez-de-Hierro, nhưng ngược lại không đúng như trong ví dụ sau:
Ví dụ 2.3.4. Lấy k sao cho k 1 và là hàm xác định bởi
2 2 ,
( , )
,
s t khi s t
t s
ks t khi s t
Khi đó là m hàm theo nghĩa của Định nghĩa 2.3.3, nhưng không
thỏa mãn điều kiện
3
( ) của Định nghĩa 2.3.1.
23
Định nghĩa 2.3.5. Cho ( , )E d là không gian metric đầy đủ. Ánh xạ :S E E
gọi là - co nếu tồn tại sao cho
( ( , ), ( , )) 0d Ss St d s t (2.19)
với mọi ,s t E .
Chú ý 2.3.6. Nếu lấy t s s t( , ) với mọi s t, 0 , ở đó [0,1) trong
Định nghĩa 2.3.5 thì co trở thành co Banach.
2.4. Một số định lí điểm bất động đối với m hàm trong không gian b
metric với t khoảng cách
Trong mục này, ta xét khái niệm của m hàm và chỉ ra sự tồn tại của
điểm bất động cho ánh xạ như thế trong các không gian b metric đầy đủ có
t khoảng cách. Trước tiên C. Mongkolkehaa, Y. J. Chob and P. Kumam [9]
đã cải tiến khái niệm m hàm như sau:
Định nghĩa 2.4.1. Cho là số thực sao cho 1. m hàm là một ánh xạ
: [0, ) [0, ) thỏa mãn các điều kiện sau:
(
1
) (0,0) 0;
(
2
) ( , )t s s t với mọi s t, 0 ;
(
3
) Nếu
n
t{ } và
n
s{ } là các dãy số dương sao cho
limsup limsup 0
n n
n n
t s và
n n
t s với mọi n thì
limsup ( , ) 0
n n
n
t s .
Ví dụ 2.4.2. Lấy , sao cho 1 và 1. Xét ánh xạ
: [0, ) [0, ) xác định bởi
,
( , )
,
1
s t khi s t
t s s t
khi s t
s
Rõ ràng (0,0) 0 nên thỏa mãn (
1
) và thỏa mãn
2
( ) . Thật vậy,
24
0 ( , )
, 0,
0 ( , ) .
1 1
s t t s s t
s t s t s t
t s t s s t
s s
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng thỏa mãn (
3
). Nếu
n
t{ } và
n
s{ } là các dãy
số dương sao cho limsup limsup 0
n n
n n
t s và
n n
t s với mọi n thì
limsup ( , ) limsup
1
n n
n n
n n
n
s t
t s
s
lim sup
1
n n
n
n
s t
t
lim sup n n
n
n
s t
t
lim sup n n
n
n n
s t
t t
limsup lim inf(1) 1 1 0n
nn
n
s
t
.
Khi đó là m hàm theo nghĩa của Định nghĩa 2.4.1, nhưng không thỏa
mãn điều kiện
3
( ) của Định nghĩa 2.3.1. Thật vậy, nếu lấy 1,
n
t 2 2
và
n
s
n
1
2 2 ,với mọi n thì
n n
s t và
n n
n n n
t s
n n
1 1
limsup ( , ) limsup 2 2 2 2 limsup( ) 0.
Định lí 2.4.3. Cho ( , )E là tập được sắp thứ tự bộ phận, ( , )E là không gian
b metric đầy đủ với hằng số 1k và d là t khoảng cách trên E . Giả sử
:S E E là ánh xạ không giảm thỏa mãn:
( )i :
2( ( ( ), ( )), ( , ( ))) 0kd S u S u d u S u (2.20)
với mọi ( , )u Su E ;
( )ii với mọi u E mà ( , )u Su E ,
25
inf{ ( , ) ( , )} 0d u v d u Su
với mọi v E với v Sv
( )iii tồn tại
0
u E sao cho
0 0
( , )u Su E .
Khi đó :z E Sz z . Ngoài ra, nếu Sz z thì ( , ) 0.d z z
Chứng minh. Nếu
0 0
Su u thì định lí được chứng minh. Giả sử kết luận
không đúng. Khi đó
0
u E :
0 0
( , )u Su E . Vì S không giảm, nên ta có
2
0 0
( , )Su S u X . Tiếp tục quá trình này, ta được 0 0( , )
n mS u S u E với mọi
n m, . Ta sẽ chứng minh
1
0 0
lim ( , ) 0n n
n
d S u S u . (2.21)
Theo giả thiết (i) và tính chất của , ta có
1 1
0 0 0 0
0 ( ( , ), ( , ))n n n nkd S u S u d S u S u (2.22)
1 1
0 0 0 0
( , ) ( , )n n n nd S u S u kd S u S u
với mọi n . Vì 1s nên từ (2.22), suy ra
1 1 1
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )n n n n n nd S u S u kd S u S u d S u S u . (2.23)
Điều này có nghĩa là dãy
1
0 0
{ ( , )}n nd S u S u là dãy giảm các số thực không âm
nên hội tụ đến 0r nào đó. Giả sử r 0 .
Trƣờng hợp 1. Nếu 1k , cho n trong (2.23), ta được r kr r .
điều này là mâu thuẫn.
Trƣờng hợp 2. Nếu 1k , đặt 1 2
0 0
( , )n n
n
t d S u S u và 1
0 0
( , )n n
n
s k S u S u ,
thì các dãy { }
n
kt và
n
s{ } có cùng giới hạn dương. Đồng thời, các dãy { }
n
kt
và
n
s{ } có cùng giới hạn trên dương, do đó
n n
t s với mọi n . Theo điều
kiện (
3
) trong Định nghĩa 2.4.1. ta có
1 2 1
0 0 0 0
limsup ( ( , ), ( , )) limsup ( , ) 0n n n n
n n
n n
kd S u S u d S u S
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- luan_van_dinh_li_diem_bat_dong_trong_khong_gian_b_metric_voi.pdf