Luận văn Độ đo và tích phân trên trường số P-Adic

cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của α có dạng 11 Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic của α trong Qp. 1.4. Bổ đề Hensel. Nhƣ chúng ta đã biết các phép toán số học nhƣ: cộng, trừ, nhân và chia trong Qp đƣợc thực hiện một cách khá dễ (xem [6]). Tuy nhiên, việc khai căn của một số nguyên và việc tìm nghiệm của một phƣơng trình nào đó trong Qp nói chung là vấn đề không phải lúc nào chúng ta cũng thực hiện đƣợc. Bổ đề Hensel và bổ đề Hensel mở rộng đƣợc trình bày dƣới đây sẽ giúp chúng ta giải quyết một phần nào về vấn đề trên. 1.4.1.Bổ đề Hensel. Cho F(x) = c0 +C1x + ... + cnx n Zp có đạo hàm F'(x) = c1+2c2x + ... + ncnx n-1 ] Zp. Giả sử a0 Zp thỏa F(a0) = 0(mod p) và F'(a0) (mod p). Khi đó, tồn tại duy nhất a Zp sao cho F(a) = 0 và a ≡ a0 (mod p). 1.4.2. Bổ đề. Nếu x Q và |x|p ≤ 1 thì với mọi i N, tồn tại α Z sao cho |α - x|p ≤ p -i . Hơn nữa, số α có thể chọn trong tập {0, 1, 2,..., pi - 1}. Chứng minh. Giả sử x = a b Q, (a,b) =1. Do |x|p ≤ 1 nên (b,p) =1 từ đó ta thấy b và p i là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó tồn tai m,n Z sao cho mb +npi =1 Đặt α = am Z, khi đó: Hơn nữa, số a có thể chọn trong tập {0, 1, 2,..., pi - 1}. Thật vậy, ta viết α dƣới dạng α = p iq + r trong đó 0 ≤ 1 ≤ pi -1. Do đó Vậy ta có thể tìm đƣợc r {0,1,2,..., pi-1} sao cho | α - x|p ≤ p i 1.4.3. Bổ đề Hensel mở rộng. Cho F(x) là đa thức với hệ số trong ZP, nếu có a0 trong ZP thỏa 12 thì tồn tại duy nhất một số nguyên p-adic a sao cho F(a) = 0 và Chứng minh. Trƣớc hết ta cần xây dựng dãy số nguyên a1, a2,..., an thỏa Ta xây dựng bằng quy nạp theo n. • Với n = 1 Ta chọn ̃ {0,1,..., p m+1 -1 } sao cho ̃ ≡ a0 (mod p m+1 ) khi đó ̃ thỏa (1),(2) và (3), tức là : Đặt a1 = ̃ +b1p m+1, trong đó b1 {0,1,..., p-1}. Khi đó: * a1 thỏa (1) Do đó a1 ≡ a0 (mod p m+1 ) * a1 thỏa (2) Hiển nhiên a1 ≥ 0 và a1 < p m+2 vì nếu a1 ≥ p m+2 thì ̃ +b1p m+1 ≥ pm+2 hay ̃ ≥ p m+2 - (p - 1) p m+1 = p m+1 > p m+1 - 1 Điều này trái với giả thiết về cách trọn ̃ * a1 thỏa (3) Ta có 13 Từ giả thiết suy ra theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại α {0,1 ,...,p-1} sao cho do đó Mặt khác, từ giả thiết bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có suy ra Vậy Ta chọn sao cho Từ giả thiết suy ra do đó 14 theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất b1 {0, 1,..., p-1} sao cho từ đó ta có đồng dƣ thức sau Vậy • Giả sử ta đã chọn đƣợc a1 a2,..., an-1 thỏa các điều kiện (1), (2) và (3). Ta cần tìm an thỏa các điều kiện trên. Đặt an = an-1 + bnp m+n , với cách đặt nhƣ vậy ta thấy an thỏa (1) và (2) ta cần chứng minh an thỏa (3). Tức là F(an) ≡ 0 (mod p 2m+n+1 ). Từ cách đặt an, ta có Ta có an-1 ≡ a0 (mod p m+1 ) nên Mặt khác, vì ,suy ra Theo giả thiết quy nạp, ta có Bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ phần chứng minh trong trƣờng hợp n = 1. thì tồn tại duy nhất α’ {0,1..., p-1} sao cho 15 Mặt khác, từ Áp dụng bổ đề 1 .4.2, tồn tại duy nhất β {0,1,..., p-1}sao cho hay Từ giả thiết suy ra Áp dụng bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất bn {0, 1,..., p-1} thỏa hay Vậy Từ đó bằng cách chọn Khi đó, a là duy nhất vì ̃ và bi ,i =1,2... đƣợc chọn là duy nhất và , với mọi n suy ra ,với mọi n do đó Vậy F (an) = 0. Từ cách chọn a ta có a ≡ ̃ ≡ a0 (mod p m+1 ). Ta thấy rằng với m = 0 thì cách chứng minh bổ đề Hensel mở rộng trùng với cách chứng minh bổ đề Hensel. 16 1.4.4. Ứng dụng của bổ đề Hensel. Áp dụng bổ đề Hensel mở rộng ta có thể tìm √ trong Q2 . Xét đa thức F(x) = x2+7, F'(x) = 2x và p = 2. Chọn a0 =1 Z2 và m =1. Ta có Chọn ̃ {0,1,..., 2 2 -1 } sao cho ̃ ≡ 1 (mod 2 2 ). Ta thấy ̃ =1 Đặt a1 = ̃ + b1p m+1 = 1 + b12 2 . Ta có b1 {0,1} sao cho hay từ đó ta tìm đƣợc b1 = 1 thỏa điều kiện trên. Đặt a2 = a1 + b2 2 3 . Chọn b2 {0,1} sao cho F(a2) ≡ 0 (mod 2 5 ), từ đó ta tìm đƣợc b2 = 0 thỏa mãn điều kiện trên. Đặt a3 = a2 +b32 4 . Chọn b3 {0,1} sao cho F (a3) ≡ 0 (mod 2 6). Phƣơng trình có nghiệm b3 =1. Quá trình cứ tiếp tục nhƣ vậy ta tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình F(x) = 0 là a = l + 1.2 2 +0.2 3 +1.2 4 + ... Vậy giá trị của √ trong Q2 chính là a. Nghĩa là, √ = l + 1.22+0.23+1.24+ ... 1.5. Tính chất tô pô của Qp. Vì tô pô trong Qp là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính chất khác lạ so với tô pô thông thƣờng. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất tô pô cơ bản của Qp nhằm mục đích phục vụ cho chƣơng 2 và chƣơng 3. Các mệnh đề, bổ đề cơ bản đƣợc chứng minh chi tiết để thấy đƣợc các tính chất khác lạ nhƣ: mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm, mọi hình cầu đều có vô số bán kính... 17 1.5.1. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong Qp . • Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp • Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp • Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp Từ định nghĩa ta thấy Zp là hình cầu mở tâm 0 bán kính bằng 1 và Z * p là mặt cầu tâm 0 bán kính bằng 1. 1.5.2. Mệnh đề. 1. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều là những tập vừa mở, vừa đóng. 2. Hai hình cầu bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau hoặc rời nhau. 3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán kính. 4. Qp chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu. Chứng minh. 1. Giả sử a Qp , r R + xét hình cầu mở: Hiển nhiên B(a,r) là tập mở. Ta cần chứng minh B(a,r) là tập đóng nghĩa là B(a,r)\Qp là tập mở. Thật vậy, lấy bất kỳ b B (a,r) \ Qp điều này có nghĩa là |b - a|p ≥ r . Khi đó, luôn tồn tại hình cầu mở S (b,r) nằm hoàn toàn trong B(a,r)\Qp vì với mọi y S(b,r) suy ra |y - b|p < b. Mặt khác Theo nguyên lý tam giác cân, ta phải có do đó suy ra Vậy B(a,r)\Qp là tập mở. 18 Tƣơng tự, ta cũng có là những tập vừa mở vừa đóng. 2. Xét hai hình cầu mở B1 (a,r) và B2 (b,s). Giả sử ta chứng minh chúng phải lồng nhau. Thật vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử r < s. Sau đây chúng ta sẽ chứng minh Từ giả thiết suy ra tồn tại hay Bây giờ với mọi Do đó suy ra y B2 (b,s). Vậy B1 (a,r) ⊂ B2(b,s). Ngƣợc lại, nếu s ≤ r thì bằng cách chứng minh tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có B1 (a,r) ⊂ B2(b,s). Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tƣơng tự. 3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán kính. • Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số Tâm. Bây giờ với a Qp, r R + ta xét một điểm b bất kỳ b ≠ a trong hình cầu mở 19 Ta có |b - a|p < r (do cách chọn b). Hơn thế nữa, ta còn có B(a,r) = B(b,r) vì Nếu x B (a,r) thì |x - a|p < r. Khi đó, Do đó Ngƣợc lại, chứng minh tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có Vậy với mọi b B (a,r). Nói cách khác B(b,r) có vô số tâm. Bằng cách chứng minh tƣơng tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm. • Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính. Trƣớc hết, ta xét hình cầu mở B(a,r). Nhƣ ta đã biết hàm chuẩn | |p chỉ nhận các giá trị trong tập {pn /n Z} ∪{0} nên tồn tại n Z sao cho p n < r ≤ pm+1. Ta chứng minh B(a,s) = B( a,p n+1 ) với mọi s thỏa pn < s ≤ pn+1 Thật vậy, với mọi x B (a,r) ta có |x - a|p < s ≤ p n+1 do đó x B(a, pn+1). Ngƣợc lại, với mọi suy ra hay Vậy 20 Nhƣ vậy, với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa pn < r ≤ pn+1 ta đều có Do đó B(a,r) = B( a,s) với mọi s thỏa pn < s ≤ pn+1. Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính. Đối với hình cầu đóng B[a,r] luôn tồn tại n sao cho pn ≤ r < pn+1. Ta sẽ chứng minh B[a,s] =B [a,p n ] với mọi s thỏa pn ≤ s < pn+1. Thật vậy, với mọi x B [a,s] ta có |x - a|p ≤ s mà p n ≤ s < pn+1. nên |x - a|p ≤ p n Vậy x B [a,pn] Ngƣợc lại, với mọi suy ra y B [a,s]. Do đó B[a,s] = B[a,p n ]. Với pn ≤ r < pn+1, ta có B[a,r] = B[a,p n ], nên với mọi s thỏa pn ≤ s < pn+1 thì B[a,r] = B[a,s]. Vậy hình cầu đóng B[a,r] có vô số bán kính. 4. Ta chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu. Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó. Dùng tính chất này ta sẽ chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu. Thật vậy, lấy bất kỳ a Qp, r R + . Theo (3) tồn tại n Z sao cho B(a,r) = B(a,p n ) Vậy 21 là tập đêm đƣợc. Mặt khác, mọi hình cầu trong Q đều có thể chọn tâm là một số hữu tỷ. Chẳng hạn, đối với hình cầu mở B(a, pn). Do a Qp nên ta giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = amp m + am+1p m+1 +...+ anp n +...(n < m, m Z). Đặt suy ra nên b B (a,pn) do đó B (a,p n ) = B (b,p n ). Vậy mọi hình cầu trong Qp đều có dạng B(b,p n) trong đó b Q và n Z, do đó số hình cầu trong Qp là tập đếm đƣợc. Tƣơng tự, ta cũng chứng minh đƣợc mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong Qp đều là những tập đếm đƣợc. Ta đã biết vành số nguyên p-adic Zp chính là hình cầu mở B (0,1) nên Zp là tập mở. Hơn thế nữa, B (0,1) còn là tập compact. Đó là nội dung của mệnh đề 1.5.3 sau đây. 1.5.3. Mệnh đề. Hình cầu mở B(0, 1) là tập compact. Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh Zp là tập compact. Giả sử {xn} là một dãy tùy ý trong Zp và trong đó 0 ≤ ain ≤ p -1, với mọi i = 0,1,2,... Xét các phần tử a0n (n = 1, 2, 3,..., p-1), ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0, 1, 2,..., p-1}. 22 Vậy phải tồn tại b0 {0,1,2,..., p-1} đƣợc nhận giá trị vô hạn lần. Lấy dãy con {x0n} của dãy {xn} sao cho số hạng đầu tiên trong khai triển p-adic của mỗi phần tử đều bằng b0. Trong dãy {x0n} các số hạng thứ 2: a1n (n = 0, 1, 2,...,p-1) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0, 1, 2,..., p-1). Vậy phải tồn tại b1 {0,1,2,..., p-1} đƣợc nhận giá trị vô hạn lần, từ đó ta lấy dãy con {x1n} của dãy {x0n} sao cho số hạng thứ hai của mỗi phần tử trong dãy con bằng b1 . Nhƣ vậy với mỗi m N tồn tại dãy con {xm,n} của dãy {xm-1,n} sao cho số hạng thứ m của mỗi phần tử bằng bm {0,1,2,..., p-1}. Đặt b = b0+b1p+b2p 2 +...+ bmp m +bm+1 p m+1 +... Xét dãy các đƣờng chéo {xmn} với phần tử x0m có khai triển p-adic mà số hạng thứ nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1,... Phần tử xmn có số hạng thứ nhất là b0,số hạng thứ hai là b1,..., số hạng thứ m + 1 là bm .Ta có Do đó {xmn} là một dãy con lấy ra từ dãy {xn) mà {xmn) hội tụ về b. Vậy Zp là tập compact. Nhận xét. Chúng ta đã chứng minh đƣợc B(0,1) là tập compact điều này có nghĩa là Zp là tập compact. Do đó với mọi a Qp thì a +Zp là lân cận compact của a trong Qp vậy Qp là tập compact địa phƣơng. 1.5.4. Khoảng trong Qp Khoảng trong Qp là hình cầu đóng tâm a bán kính 1 p N với N Z Kí hiệu: Từ mệnh đề 1.5.2 ta thấy khoảng là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng bất kỳ hoặc lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric Qp có một cơ sở gồm các tập mở có dạng khoảng. Một khoảng bất kỳ luôn đƣợc phân tích thành hợp hữu hạn của các khoảng con và mọi tập mỡ compact trong Zp luôn phân tích đƣợc thành hợp rời nhau của các khoảng. Điều này đƣợc thể hiện trong mệnh đề 1.5.5 sau đây. 1.5.5. Mệnh đề. Cho a + (p N ) là khoảng bất kỳ trong Qp. Khi đó, 23 2. Mọi tập mở trong Zp là compact nếu và chỉ nếu nó đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng trong Qp . Chứng minh. 1. Giả sử a + (pN ) là khoảng bất kỳ trong Qp . Với mọi x a+ (pN), x có thể đƣợc viết dƣới dạng x = a + pNq Ta viết q = pq1 + b trong đó 0 ≤ b ≤ p -1 suy ra Ngƣợc lại, với mọi thì tồn tại sao cho Khi đó, X đƣợc viết dƣới dạng x = a +bp N +qp N+1 hay x = a + (b +qp) p N a +(pN). 2. Với mọi tập mở U trong Zp , giả sử U là tập compact. Do U là tập mở trong Zp nên U là hợp của các khoảng Ii:U = ∪ Ii . Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau hoặc rời nhau nên ta có thể giả sử U = ∪ Ii, trong đó Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j. Do U là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho U = Ngƣợc lại, giả sử U = trong đó I là tập hữu hạn và Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j. Do ZP là tập compact và Ii là tập đóng nên Ii là tập compact. Vậy U là tập compact. 24 Tổng quát: Tập mở U trong Qp là compact nếu và chỉ nếu nó đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii. Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên. Ngƣợc lại, giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii và Ii = a + (p N ). Do Zp là tập compact nên Ii là lân cận compact của a trong Qp. Vậy U = ∪ Ii là tập compact trong Qp. Đặc biệt: , với mọi số tự nhiên n. 25 CHƢƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nhƣ: khái niệm hàm hằng địa phƣơng, phân phối p-adic, số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Từ đó chúng tôi chứng minh đƣợc một số kết quả quan trọng làm cơ sở cho chƣơng 3. 2.1. Hàm hằng địa phƣơng. Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phƣơng trên không gian tô pô bất kỳ. Khái niệm hàm hằng địa phƣơng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết độ đo và tích phân trên trƣờng số p-adic. 2.1.1. Định nghĩa. Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f: X → Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi x X thì tồn tại một lân cận U của x sao cho f(U) là một một điểm của Y. Từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng chúng ta rút ra đƣợc nhận xét sau. 2.1.2. Nhận xét. 1. Nếu f là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm số liên tục. Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng. 2. Nếu Y là T1 không gian và f: R → Y là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm hằng trên R. Thật vậy, lấy a f(R). Ta chứng minh f-1(a) là tập mở trong R. Lấy x f-1 (a) suy ra f(x) = a. Do f là hàm hằng địa phƣơng nên tồn tại lân cận Ux của x sao cho f(Ux) = {a}, do đó Ux ⊂ f -1 (a). Vậy f-1(a) là tập mở. Mặt khác, do Y là T1 không gian và f là hàm số liên tục nên f-1 (a) là tập đóng. Ta có ∅ =f-1 (a) ⊂ R suy ra f-1 (a) = R. Vậy f là hàm hằng trên R. Từ nhận xét 2.1.2 ta thấy trên R không có hàm hằng địa phƣơng, nếu có thì nó là hàm hằng nhƣ chúng ta đã biết. Tuy nhiên trên trƣờng số P-adic Qp thì có rất nhiều thí dụ về hàm hằng địa phƣơng. Sau đây là một thí dụ. 2 1.3 Ví dụ. Cho U là tập mở compact của Zp và f : Zp → Qp là hàm đặc trưng được định nghĩa bởi 26 khi đó f là hàm hằng địa phương. Chứng minh. Lấy x X nếu f(x) = 1 thì x U. Ta chọn Ux = U, khi đó f(Ux) ={1}. Nếu f(x) = thì x X\U. Đặt Ux = X \U. Ta thấy Ux là một lân cận mở của x và f -1 (Ux) = {0}. Vậy f là hằng địa phƣơng. Từ ví dụ 2.1.3 ta thấy hàm đặc trƣng của tập mở compact U ⊂ Zp là hàm hằng địa phƣong. Dựa vào các hàm đặc trƣng này, ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa phƣơng trên Zp. Cụ thể ta có mệnh đề sau. 2.1.4. Mệnh đề. Giả sử X là một tập mở compact của Qp. Khi đó f : X → Qp là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact trong X. Chứng minh. • Chiều thuận, giả sử f là hàm hằng địa phƣơng. Khi đó, với mọi x X ta chọn Ux là một lân cận của x sao cho f(Ux) là tập chỉ gồm một điểm. Ta thấy X = ⋃ .Mặt khác, do X là tập compact nên ta có thể viết X dƣới dạng hợp hữu hạn của các Ux . Do đó f(X) là tập hữu hạn. Giả sử f(X) = {a1, a2,..., an), trong đó ai Qp và ai ≠ aj nếu i ≠ j. Đặt Ui = f -1 (ai) với mọi i = ̅̅ ̅̅̅. Do f là hàm số liên tục nên Ui là tập mở compact với mọi i = ̅̅ ̅̅̅ và Ui ∩ Uj = ∅ nếu i ≠ j. Ta cần chứng minh Thật vậy, với mọi x X thì tồn tại duy nhất k {1,2,...,n} sao cho x Uk và x ∉ Ui với mọi i ≠ k. Khi đó, Vậy với mọi x X  Ngƣợc lại, giả sử f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở compact trong X , 27 Với mọi x X, nếu x ∉ Ui, với mọi i {1, 2,..., n} thì Chọn lân cận của x là , khi đó f(Ux) = {0}. Nếu tồn tại i sao cho x Ui thì không mất tính tổng quát ta giả sử {1,2,..,n} = I ∩ J sao cho x Ui với i I và x ∉ Ui với i J. Do đó x ∉ ⋂ . Đặt U’ = X \ ⋂ , khi đó U’ là tập mở. Chọn lân cận của x là Ux = U’ ∩ Ui với i I. Ta thấy Vậy f là hàm hằng địa phƣơng. 2.2. Phân phối p-adic. Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của phân phối p- adic. 2.2.1. Định nghĩa. Một phân phối p-adic trên X là ánh xạ cộng tính từ tập tất cả các tập mở compact trong X vào Qp. Nghĩa là, nếu U ⊂ X và U = ⋃ là hợp của các tập mở compact rời nhau: U1, U2,..., Un thì μ(U) = ∑ . 2.2.2. Mệnh đề. Cho μ là một phân phối p-adic trên X và với mọi tập mở compact U trong X. Nếu ta đặt μ ( = μ (U) thì μ là một Qp - phiếm hàm tuyến tính từ Qp- không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp . Ngƣợc lại, cho μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ Qp -không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp và với mọi tập mở compact U trong X, nếu đặt μ (U) = μ( thì μ là một phân phối p-adic trên X. Chứng minh. • Giả sử μ là một phân phối p-adic trên X. Ta cần chứng minh: trong đó f, g là các hàm hằng địa phƣơng trên X và a Qp. 28 Trƣớc tiên, chúng ta chứng minh: Nếu A1, A2 và B là các tập con mở compact trong X, A1 ∩ A2 = ∅ và với mọi α Qp thì Thật vậy, ta đã biết μ ( ) = μ (A1) và μ ( ) = μ (A2) do đó Chứng minh tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có: μ( ) = αμ( ). Tổng quát: Nếu A1, A2, A3,..., Ak là các tập mở compact đôi một không giao nhau trong X thì Do f và g là các hàm hằng địa phƣơng trên X nên ta có thể viết f, g dƣới dạng: trong đó A1, A2,...,Am và B1, B2,...,Bn là các tập con mở compact trong X đôi một rời nhau và Khi đó với α QP, ta có Tiếp theo ta chứng minh μ (f + g) = μ(f) + μ(g). Ta có do đó Mặt khác, do 29 và do tính chất cộng tính của μ, ta có Lý luận tƣơng tự, ta cũng có Vậy • Ngƣợc lại, giả sử μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ Qp -không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp và với mọi tập mở compact U trong X. Ta chứng minh μ là một phân phối trên X. Tức là, giả sử U ⊂ X và trong đó Ui là các tập con mở compact không giao nhau trong X. Ta cần chứng minh Hiển nhiên ta có do đó Theo định nghĩa phân phối, để cho phân phối μ trên tập compact X ⊂ Zp ta cần phải cho giá trị μ (U) với mọi tập mở compact U ⊂ X. Tuy nhiên, thực tế ta chỉ cần biết giá trị μ( a+(p N)) là đủ. Cụ thể, ta có mệnh đề sau. 2.2.3. Mệnh đề. Mọi ánh xạ μ từ tập các khoảng a +(pN) ⊂ X đến Qp thỏa có thể thác triển một cách duy nhất đến một phân phối p-adic trên X. Chứng minh. 30 Ta biết rằng mọi tập mở compact U ⊂ X đều đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời nhau các khoảng Ii, U = ∪ Ii. Ta định nghĩa . Với định nghĩa này ta có thể kiểm tra μ (U) không phụ thuộc vào việc phân chia U thành các khoảng. Thật vậy, giả sử U = ∪ Ii và U = ∪ . Khi đó, Lý luận tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có Nếu Ii = a + (p N ) thì Iij =a’ +(p N ) , trong đó N' là một số tự nhiên cố định N'> N và a’ ≡ a(mod pN). Vì vậy, bằng việc áp dụng nhiều lần đẳng thức đƣợc cho trong mệnh đề, ta đƣợc do đó Mặt khác, suy ra Vậy Để kết thúc chứng minh, ta cần phải chứng minh μ có tính chất cộng tính. Giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ui, chúng ta viết Ui là hợp rời nhau của các khoảng con Iij, nghĩa là và 31 2.3. Một số phân phối p-adic thƣờng dùng. Trong mục này, chúng tôi trình bày một số phân phối p-adic thƣờng dùng nhƣ: Phân phối Haar, phân phối Dirac và phân phối Mazur. 2.3.1. Phân phối Haar μHaar. Cho (a + (p N )) là một khoảng bất kỳ trong Zp. Ta định nghĩa ánh xạ μHaar nhƣ sau: μHaar = (a + (p N )) = 1 p N . Khi đó, μHaar đƣợc thác triển tới một phân phối trên ZP vì Ánh xạ μHaar đƣợc gọi là phân phối Haar. 2.3.2. Phân phối Dirac μα . Với a Zp cố định, ta định nghĩa ánh xạ μα trên tập mở compact U ⊂ Zp nhƣ sau: Ta thấy μα có tính chất cộng tính, do đó μα là một phân phối và đƣợc gọi là phân phối Dirac. 2.3.3. Phân phối Mazur μMazur. Cho (a + (p N )) là một khoảng bất kỳ trong Zp. Ta định nghĩa ánh xạ μMazur nhƣ sau: Khi đó μMazur có tính chất cộng tính trong mệnh đề 2.2.3 vì Vậy μMazur là một phân phối và dƣợc gọi là phân phối μMazur . Sau đây chúng ta sẽ dùng mệnh đề 2.2.3 để khẳng định ánh xạ μ trong mệnh đề 2.3.4 dƣới đây lầ một phân phối trên Zp. 2.3.4. Mệnh đề. Với a Zp, giả sử khai triển p-adic của a có dạng 32 a = a0 + a1p + a2p 2 +... + akp k +... nghĩa hàm μ trên khoảng a + (pN) như sau trong các trường hợp còn lại. Khi đó, μ là một phân phối p-adic trên Zp. Chứng minh. Để chứng minh μ thác triển tới một phân phối p-adic trên Zp, theo mệnh đề 2.2.3 ta cần chỉ ra: Xét hai khả năng sau: Khả năng 1. Tồn tại ak ≠ 0 trong [N/2] hệ số đầu tiên trong khai triển p-adic của a ứng với p mũ lẻ. Theo dịnh nghĩa μ, ta có do đó, Khả năng 2. Trong khai triển p-adic của a các hệ số Ta xét hai trƣờng hợp sau. • Trƣờng hợp 1. Xét N là số chẩn, giả sử N = 2M . Khi đó, khai triển p-adic của a có dạng: Từ giả thiết của mệnh đề ta có: và Do [ N+1 2 ] = M và ta thấy trong khai triển p-adic của a + bpN có M hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ triệt tiêu, vì vậy theo định nghĩa μ ta có 33 do đó, Vậy • Trƣờng hợp 2. Xét N là số lẻ, giả sử N = 2M + 1. Khi đó, khai triển p-adic của a có dạng: trong đó có M số ak đầu tiên triệt tiêu với k-lẻ. Do đó: Ta tiếp tục tính Ta có và * Nếu a2M+l = 0 thì Vậy * Nếu a2M+1 Với 0 ≤ b < p - a2M+l ta luôn có 0 < a2M+1 ≤ a2M+1 +b < p.Do đó, 34 Với b = p- a2M+l, suy ra a2M+l + b = p. Do đó, hệ số của p 2M+1 trong khai triển p-adic của a + bpN bằng 0. Vậy Với p- a2M+1 p. Giả sử a2M+1 + b= pq +r, trong đó 0 ≤ r < p. Nếu r = 0 thì a2M+1 + b chia hết cho p, suy ra a2M+1 + b =0 hoặc a2M+1 + b =p. Điều này vô lý , vì a2M+1 + b >p. Vậy hệ số của p 2M+1 trong khai triển p-adic của a +bpN là r ≠ 0 với mọi b thỏa p -a2M+1 < b ≤ p-1. Do đó Vậy 2.4. Phân phối Bernoulli. Trong phần này, trƣớc tiên chúng tôi trình bày định nghĩa số Bernoulli Bk và đa thức Bernoulli Bk (x). Trên cơ sở đó chúng ta thấy đƣợc mối quan hệ giữa đa thức Bernoulli và số Bernoulli. Sau đó chúng tôi định nghĩa phân phối Bernoulli μB,k, từ đó tính đƣợc μB,k(Zp) và μB,k (Z * p) để làm cơ sở cho chƣơng sau. 2.4.1. Định nghĩa số Bernoulli. Số Bernoulli thứ k, kí hiệu là Bk được định nghĩa bằng k! lần hệ số thứ k trong khai triển Taylor của hàm một biến Một vài số Bernoulli Bk đầu tiên là: B0=1, B1 = -1/2, B2=1/6, B3=0, B4= -1/30, B5=0, B6=1/4,... 2.4.2. Định nghĩa đa thức Bernoulli. Đa thức Bernoulli Bk(x) bằng kỉ lần hệ số của t k trong khai triển Taylor của hàm hai biến 35 Một vài đa thức Bernoulli đầu tiên là Mối quan hệ giữa số Bernoulli Bk và đa thức Bernoulli Bk (x) đƣợc thể hiện trong mệnh đề dƣới đây. 2.4.3. Mệnh đề. Cho Bk (x) là đa thức Bernoulli. Khi đó, Chứng minh. hệ số của tk trong biểu thức trên ở vế phải là trong đó 0 ≤ i, j ≤ k Do đó Theo kết quả trên, hiển nhiên ta có Bk (0) = Bk 36 Ta có suy ra So sánh hệ số của tk ở hai vế của đẳng thức trên ta đƣợc Ta có đồng nhất thức suy ra Lấy vi phân hai vế biểu thức trên ta đƣợc hay do đó So sánh hệ số của tk-1 ở hai vế của biểu thức trên ta đƣợc Vậy 37 Cố định một số nguyên dƣơng k. Ta định nghĩa ánh xạ μ B,K trên khoảng a + (p N) nhƣ sau Khi đó, μ B,K đƣợc thác triển tới một phân phối trên Zp. Đó là nội dung của mệnh đề 2.4.4 dƣới đây. 2.4.4. Mệnh đề. Ánh xạ μ B,K trên khoảng a + (p N ) ⊂ Zp được thác triển tới một phân phối trên Zp . Chứng minh. Theo mệnh đề 2.2.3, ta chỉ cần chứng minh Điều này tƣơng đƣơng với việc chứng minh Nhân hai vế của đẳng thức cần chứng minh với p-N(k-1) và đặt bất đẳng α = a p N+1 ,thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với Ta có vế phải của đẳng thức trên bằng k! lần hệ số của tk trong biểu thức 38 Do đó k! lần hệ số của tk trong biểu thức trên là Đây là điều cần chứng minh. 2.4.5. Định nghĩa. Phân phối μB,k trong mệnh đề 2.4.4 được gọi là phân phối Bernoulli thứ k. Sau đây chúng tôi đƣa ra một vài phân phối Bernoulli μB,k đầu tiên cho chúng ta các phân phối đã biết: 2.4.6. Áp dụng tính μB,k (Zp) và μB,k (Z * p). Ta đã biết với mọi khoảng a + (pN) ⊂ Zp Mặt khác, ta có do đó, và Để tính μB,k (Z * p) ta lƣu ý rằng Zp = pZp ∪ Z * p, trong đó pZp ∪ Z * p = ∅. Từ tính chất cộng tính của μ B,k, ta có suy ra 39 CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo p-adic, từ đó chúng tôi định nghĩa tích phân cho hàm liên tục nhƣ là giới hạn của tổng Riemann p-adic. Nhƣ là một áp dụng chúng tôi tính các tích phân của các hàm cụ thể ứng với các độ đo cụ thể. Sau đó chúng tôi mở rộng khái niệm tích phân cho một số lớp các phân phối rộng hơn độ đo. Cuối cùng, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo Bernoulli hiệu chỉnh hay gọi tắt là độ đo Bernoulli, từ đó chúng tôi xét một số tích phân ứng với độ đo này. Trong chƣơng này, chúng tôi giả sử X là tập mở compact trong Qp nhƣ là Zp hoặc ZP * , một cách đơn giản giả sử X ⊂ Zp. 3.1. Khái niệm về độ đo và tích p