Luận văn Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học toán ở phổ thông

n thiên, chúng tôi nhận thấy có các dạng bài toán như sau: • Nếu hàm số có GTLN, không có GTNN thì GTLN của hàm số sẽ là giá trị cực đại của hàm số (trong trường hợp này, các hàm số đều chỉ đạt cực đại tại một điểm). Minh họa: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x2(30 - x), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó. (Giải tích 12 nâng cao, tr.23) Hướng dẫn của SGV: G(x) = 0,75x2 – 0,025x3, x > 0. G’(x) = 1,5x – 0,075x2; G’(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 20. 8 Luận văn này, tr.52. 60 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. Khi đó, độ giảm huyết áp là 100. (SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.46) • Nếu hàm số có GTNN, không có GTLN thì GTNN của hàm số sẽ là giá trị cực tiểu của hàm số (trong trường hợp này, các hàm số đều chỉ đạt cực tiểu tại một điểm). Minh họa: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑥 trên khoảng (0; +∞). (Giải tích 12 nâng cao, tr.22) Hướng dẫn của SGV: 𝑓′(𝑥) = 1 − 1 𝑥2 = 𝑥2−1 𝑥2 với mọi 𝑥 ≠ 0; 𝑓′(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = ±1. min𝑥∈(0;+∞) 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) = 2. Hàm số không đạt GTLN trên khoảng (0; +∞). (SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.42) • Nếu hàm số có cả GTLN và GTNN thì tồn tại một trong hai giá trị này là giá trị cực trị của hàm số. Minh họa: 17. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5 trên đoạn [-2;3]. (Giải tích 12 nâng cao, tr.22) 1.21. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥√1 − 𝑥2. (Bài tập Giải tích 12 nâng cao, tr.14) Hướng dẫn của SGV, SBT: 17. 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2;𝑓′(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = −1. 61 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong min 𝑥∈[−2;3]𝑓(𝑥) = 𝑓(−1) = −6 ; max𝑥∈[−2;3]𝑓(𝑥) = 𝑓(3) = 10 (SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.42) 1.21. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [-1;1]. 𝑓′(𝑥) = √1 − 𝑥2 − 𝑥2 √1−𝑥2 = 1−2𝑥2 √1−𝑥2 với -1< x <1. 𝑓′(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = ± √2 2 . min𝑥∈[−1;1] 𝑓(𝑥) = 𝑓 �−√22 � = −12; max𝑥∈[−1;1] 𝑓(𝑥) = 𝑓 �√22 � = 12. (Bài tập Giải tích 12 nâng cao, tr.41) • Không có hàm số nào đạt nhiều cực đại hay nhiều cực tiểu trong các bài toán tìm GTLN hay GTNN của hàm số. Từ những điều này, chúng tôi tự hỏi: Liệu HS có cho rằng GTLN của hàm số luôn là giá trị cực đại của hàm số không và GTNN của hàm số luôn là giá trị cực tiểu của hàm số không? Nếu có nhiều giá trị cực trị thì ứng xử của HS ra sao khi phải tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng bảng biến thiên? Tóm lại: Qua phân tích thể chế với các đối tượng GTLN, GTNN ở sách Giải tích 12 nâng cao, chúng tôi thu được các kết quả sau: ■ Các khái niệm GTLN của hàm số, GTNN của hàm số được định nghĩa tường minh trong SGK. Các KNV liên quan đến GTLN, GTNN đều nhắm đến việc tìm GTLN và GTNN của hàm số. Kỹ thuật bảng biến thiên được thể chế ưu tiên trong việc giải quyết các KNV này. Ngoài ra, có sự xuất hiện của kỹ thuật quy tắc trong việc giải quyết các KNV tìm GTLN và GTNN của hàm số thỏa mãn các điều kiện ĐK. Tuy nhiên, kỹ thuật quy tắc không được thể chế ưu tiên. 62 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong ■ Liên quan đến các sai lầm SL, chúng tôi nhận thấy trong những lời giải chi tiết của SGK, SGV và SBT cho những nhiệm vụ liên quan đến việc tìm GTLN và GTNN của hàm số, các tác giả viết SGK đều chỉ ra sự tồn tại của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑀” và của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑚”. Như vậy, các sai lầm SL, nếu có ở HS lớp 12 học chương trình nâng cao thì không phải do cách trình bày lời giải của SGK, SGV và SBT. ■ Đã có một số kết quả nghiên cứu mà chúng tôi cần tìm hiểu và kiểm chứng: “Khi sử dụng bảng biến thiên tìm được GTLN hoặc GTNN là f(xo), HS không quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện tồn tại của giá trị này”; “HS không có trách nhiệm kiểm tra sự liên tục của hàm số tại các điểm mà nó đạt cực trị, GTLN, GTNN”. ■ Liên quan đến quy tắc QTGV ở GV, chúng tôi nhận thấy có nhiều bài toán tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số mà hàm số được cho không có GTLN (nếu xét GTLN) hay GTNN (nếu xét GTNN) trên tập xác định. Như vậy, nếu có quy tắc này ở GV khi họ dạy lớp 10 và 11 chương trình nâng cao thì có thể HS lớp 12 cho rằng các hàm số luôn có GTLN (GTNN) nếu được yêu cầu tìm GTLN (GTNN). Từ đó có khả năng họ sẽ mắc sai lầm khi giải quyết các nhiệm vụ mà hàm số được yêu cầu tìm GTLN (GTNN) mà lại không tồn tại GTLN (GTNN). 1.2.3.2 Chương trình chuẩn Đối với sách Đại số 10, các thuật ngữ “GTLN” và “GTNN” không thấy xuất hiện trong chương II “Hàm số bậc nhất và bậc hai” như trong sách Đại số 10 nâng cao. Các đối tượng GTLN và GTNN chỉ xuất hiện ngầm ẩn trong việc xác định đỉnh của parabol – đồ thị của hàm số bậc hai – trong khi đã có sẵn công thức để xác định. GTLN và GTNN cũng xuất hiện trong chương IV “Bất đẳng thức, bất phương trình” như trong sách Đại số 10 nâng cao. Các KNV liên quan đến GTLN, GTNN đều liên quan việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số. Tuy nhiên, các bài toán thuộc các KNV này không xuất hiện trong SGK mà chỉ xuất hiện trong SBT. Số lượng các bài toán này trong SBT ít hơn nhiều so với SGK, SBT Đại số 10 nâng cao (5 so với 20). KNV TB.LN.NN.HB.ĐG và kỹ thuật đỉnh của đa giác lồi cũng xuất hiện như trong sách Đại số 10 nâng cao và cũng chỉ mang tính giới thiệu. 63 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong Đối với sách Đại số và Giải tích 11, GTLN và GTNN cũng xuất hiện như trong sách Đại số và Giải tích 11 nâng cao thông qua KNV TLN.NN.HS. Tuy nhiên, kỹ thuật tập giá trị không xuất hiện để giải quyết các KNV này mà chỉ xuất hiện kỹ thuật bất đẳng thức. Đối với sách Giải tích 12, GTLN và GTNN cũng xuất hiện thông qua các KNV TLN.NN.HS, TLN.NN.HS.ĐK và các kỹ thuật bảng biến thiên, quy tắc được huy động để giải quyết các KNV này như trong sách Giải tích 12 nâng cao. Ngoài ra, kỹ thuật đồ thị cũng được huy động để giải quyết KNV TLN.NN.HS. Có sự xuất hiện các kỹ thuật hàm số đơn điệu trong việc giải quyết các KNV liên quan đến việc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục và đơn điệu trên một đoạn. Tuy nhiên, hai kỹ thuật bảng biến thiên và quy tắc được thể chế ưu tiên trong việc tìm GTLN, GTNN của hàm số. Người đọc có thể tham khảo thêm phần phân tích mục này ở phần Phụ lục. Chúng tôi cũng quan tâm đến quy tắc QTGV của hợp đồng dạy học khi xem xét bộ SGK Đại số, Giải tích 10, 11 chương trình chuẩn. Khi đó chúng tôi tiếp tục dự đoán sự tồn tại của quy tắc này khi các biểu thức, hàm số được đưa ra đều có GTLN (nếu xét GTLN) hay GTNN (nếu xét GTNN). Về các sai lầm SL, chúng tôi vẫn nhận thấy các SGK, SGV, SBT Đại số, Giải tích 10, 11, 12 đều chỉ ra rõ sự tồn tại của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để f(xo) = M” và của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để f(xo) = m”. Do đó, việc trình bày lời giải của các tài liệu này không phải là nguyên nhân gây nên các sai lầm SL ở HS. 1.3 Bàn về các thuật ngữ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số Chúng tôi ghi nhận từ luận văn của Lê Anh Tuấn (2009) sau khi tác giả này phân tích SGK Giải tích 12 nâng cao: Khi học kiến thức về tìm GTLN và GTNN của một hàm số (có ứng dụng đạo hàm), HS thường mắc sai lầm khi nhầm lẫn giữa giá trị cực đại và GTLN; giá trị cực tiểu và GTNN (khi sử dụng bảng biến thiên). ([13], tr.59) Tuy nhiên, lời ghi nhận trên chưa được tác giả kiểm chứng. Liệu điều dự đoán này của Lê Anh Tuấn (2009) là hợp lí? Liệu điều đó có xảy ra đối với HS học chương trình chuẩn? Chúng tôi xem xét tiến trình xuất hiện thuật ngữ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu trong các SGK phổ thông cùng với việc đối chiếu với các khái 64 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong niệm này trong một sách đại học (tài liệu [14]) (mà chúng tôi đã xem xét và đề cập ở phần Phụ lục của luận văn) nhằm làm rõ vấn đề này. Cụ thể như sau: ● Về định nghĩa: Đối với SGK Giải tích 12 nâng cao, giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số được định nghĩa ở mục khái niệm cực trị của hàm số trong bài Cực trị của hàm số của chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số như sau: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (𝐷 ⊂ ℝ) và 𝑥𝑜 ∈ 𝐷. a) xo được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm xo sao cho (𝑎; 𝑏) ⊂ 𝐷 và 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥𝑜) với mọi 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)\{𝑥𝑜}. Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f. b) xo được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm xo sao cho (𝑎; 𝑏) ⊂ 𝐷 và 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥𝑜) với mọi 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)\{𝑥𝑜}. Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. (Giải tích 12 nâng cao, tr.10) Tài liệu này còn lưu ý về mặt thuật ngữ và đưa ra ví dụ minh họa: Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm xo. (Giải tích 12 nâng cao, tr.10) Đối với SGK Giải tích 12, các khái niệm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cũng được định nghĩa trong chương đầu tiên Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, ở bài Cực trị của hàm số. Chúng được định nghĩa như sau: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là −∞; b là +∞) và điểm 𝑥𝑜 ∈ (𝑎; 𝑏). a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(xo) với mọi 𝑥 ∈ (𝑥𝑜 − ℎ; 𝑥𝑜 + ℎ) và 𝑥 ≠ 𝑥𝑜 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xo. 65 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xo) với mọi 𝑥 ∈ (𝑥𝑜 − ℎ; 𝑥𝑜 + ℎ) và 𝑥 ≠ 𝑥𝑜 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xo. (Giải tích 12, tr.13) Tài liệu này còn chú ý thêm về mặt thuật ngữ: 1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(xo) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số. [] 2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. (Giải tích 12, tr.14) Như vậy, cùng một thuật ngữ là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) mà hai SGK Giải tích lớp 12 ở hai chương trình thể hiện hai mối quan tâm khác nhau trong định nghĩa của khái niệm này. Ở SGK Giải tích 12 đề cập đến đối tượng hàm số phải liên tục trên khoảng (a;b), trong khi SGK Giải tích 12 nâng cao thì không. Do đó, có thể SGK Giải tích 12 nâng cao sẽ xét cực trị của các hàm số liên tục trên tập xác định và của những hàm số không liên tục trên tập xác định. Chúng tôi không khảo sát cũng như chỉ ra những hệ quả từ những định nghĩa trong hai SGK này dẫn tới. Người đọc có thể tham khảo những điều này trong luận văn của Phan Quang Thắng (2012) (tài liệu [11]). Đối chiếu các định nghĩa của các khái niệm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số trong các SGK Giải tích lớp 12 trên đây với các định nghĩa của chúng trong giáo trình của Vũ Tuấn (và các tác giả khác) (tài liệu [14]), chúng tôi nhận thấy tên gọi của các khái niệm này có sự khác biệt: SGK Giải tích 12 nâng cao Giáo trình [14] Cực đại Giá trị cực đại Cực đại địa phương Giá trị cực đại địa phương Cực tiểu Giá trị cực tiểu Cực tiểu địa phương Giá trị cực tiểu địa phương Cực trị Giá trị cực trị Cực trị địa phương Giá trị cực trị địa phương Cũng như giáo trình [14], các SGK Giải tích lớp 12 cũng cho thấy giá trị cực đại (tương ứng, giá trị cực tiểu) f(xo) của hàm số f chính là GTLN (tương ứng, GTNN) của hàm số f nhưng chỉ trong lân cận của điểm đang xét nào đó của tập xác định của f chứ không phải là cả tập xác định. Khi xét trên cả tập xác định thì các khái niệm 66 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong được đề cập đến là GTLN của hàm số và GTNN của hàm số mà chúng tôi đã từng đề cập trong luận văn này. Khi đối chiếu với các định nghĩa trong giáo trình [14], tên gọi của các khái niệm này không thay đổi, chỉ là có thêm tên gọi khác có mặt trong [14]: Các SGK Giải tích lớp 12 Giáo trình [14] GTLN Cực đại tuyệt đối, GTLN GTLN và GTNN được gọi chung là cực trị tuyệt đối GTNN Cực tiểu tuyệt đối, GTNN Tại sao có sự khác biệt giữa cách gọi tên các khái niệm liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số trong [14] và trong các SGK Giải tích lớp 12? Qua xem xét tài liệu [2], việc gọi tên các khái niệm điểm cực đại, giá trị cực đại, điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu, cực trị không phải chỉ do các tác giả viết các SGK Giải tích lớp 12 đưa ra mà còn là do chương trình quy định từ trước: Về kiến thức: - Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. - Biết các điều kiện cần và đủ để hàm số có điểm cực trị. Về kỹ năng: - Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số. ([2], tr.179) Do đó, dường như thể chế dạy học Toán phổ thông muốn phân biệt rõ ràng giữa các tên gọi của các khái niệm khác nhau, dẫn đến việc gọi tên khác nhau: cực đại – GTLN, cực tiểu – GTNN. Vấn đề là HS có phân biệt được không. Về mặt nghĩa thông thường, cực đại là lớn nhất, cực tiểu là nhỏ nhất và cực trị là GTLN hoặc GTNN. Điều này còn thể hiện trong các SGK Vật lí trung học phổ thông mà chúng tôi xem xét trong phần dưới đây. ● Các thuật ngữ cực đại, cực tiểu, cực trị trong một số SGK: Chúng tôi phát hiện được các thuật ngữ liên quan đến GTLN, GTNN xuất hiện nhiều trong các SGK Vật lí lớp 10 như quãng đường xa nhất, độ cao cực đại, độ cao lớn nhất, gia tốc tối thiểu, tầm bay xa xa nhất, lực ma sát nghỉ cực đại, động năng cực đại, thế năng đàn hồi cực đại, Thuật ngữ cực trị không được tìm thấy trong 67 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các tài liệu này. Chúng tôi minh họa một số trường hợp có mặt thuật ngữ cực đại trong SGK Vật lí 10 nâng cao: ○ Bài toán với lời giải có mặt thuật ngữ độ cao cực đại: Bài toán. Từ độ cao 5 m, một vật nặng được ném theo phương thẳng đứng lên phía trên với vận tốc ban đầu 4 m/s. Chọn trục tọa độ Oy thẳng đứng hướng lên trên. a) Viết phương trình chuyển động của vật. b) Vẽ đồ thị tọa độ, đồ thị vận tốc của vật. c) [] d) [] Bài giải. Chọn gốc tọa độ ở mặt đất, gốc thời gian là lúc ném vật. Ta có: yo = 5m; vo = 4 m/s; g = -9,8 m/s2. a) Phương trình chuyển động: 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑡 + 12 𝑔𝑡2 = 5 + 4𝑡 − 12 . 9,8. 𝑡2 𝑦 = −4,9𝑡2 + 4𝑡 + 5 b) Muốn vẽ được đồ thị tọa độ, ta phải biểu diễn hàm bậc hai 𝑦 = −4,9𝑡2 + 4𝑡 + 5, hàm này có dạng 𝑦 = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 với a = -4,9; b = 4; c = 5. Đường biểu diễn hàm y theo t là một đường parabol có bề lõm hướng xuống (vì a < 0), cắt trục tung tại điểm A (t = 0, y = 5) ứng với lúc ném vật và cắt trục hoành tại điểm C (t = t2, y = 0) ứng với lúc vật chạm đất. t2 là nghiệm dương của phương trình −4,9𝑡2 + 4𝑡 + 5 = 0, t2 = 1,50 s. Đỉnh B của parabol ứng với cực đại của tam thức 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐. Cực đại đạt được khi 𝑡 = 𝑡1 = − 𝑏2𝑎 = 49,8 = 0,41 𝑠. Giá trị của cực đại là: 𝑦max = 𝑦1 = −𝑏2 + 4𝑎𝑐4𝑎 = 5,82 m [] (Vật lí 10 nâng cao, tr.33 – 34) 68 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong Nhận xét: Tung độ của đỉnh parabol chính là GTLN của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 (𝑎 < 0) xét trên ℝ hay trên tập con bất kỳ nào của ℝ mà chứa một số là hoành độ của đỉnh parabol. Lúc này, hoành độ của đỉnh parabol cũng là điểm cực đại và tung độ của nó cũng là giá trị cực đại của hàm số. Như vậy, việc sử dụng thuật ngữ cực đại ở đây mang nghĩa chính xác về mặt toán học (theo các SGK Giải tích lớp 12) lẫn nghĩa thông thường. Trong thời gian học bài này, HS học chương trình trung học phổ thông nâng cao cũng học về khái niệm hàm số bậc hai ở SGK Đại số 10 nâng cao. Ở tài liệu này, HS biết tung độ của đỉnh parabol chính là GTLN hay GTNN của hàm số bậc hai trên ℝ hay trên tập con bất kỳ nào của ℝ mà chứa một số là hoành độ của đỉnh parabol. Từ đó, chúng tôi cho rằng HS có thể gọi GTLN của hàm số là giá trị cực đại của hàm số (trên bất kỳ tập xác định nào) hay gọi GTNN của hàm số là giá trị cực tiểu của hàm số (trên bất kỳ tập xác định nào) – chúng chỉ là những cách gọi khác nhau của cùng một đối tượng. ○ Khi học về khái niệm lực ma sát nghỉ, HS được làm quen với thuật ngữ lực ma sát nghỉ cực đại. Các khái niệm này được mô tả như sau: Vật A đặt trên mặt bàn nằm ngang. Trọng lực 𝑃�⃗ của A cân bằng với phản lực pháp tuyến 𝑁�⃗ của mặt bàn. A đứng yên. Kéo vật A bằng một lực nằm ngang �⃗� tăng dần từ 0. Lúc đầu, A vẫn đứng yên. �⃗� phải đạt tới một giá trị nhất định, A mới dịch chuyển. Vì sao lúc đầu có lực kéo �⃗� mà A vẫn đứng yên? Đó là do mặt bàn đã tác dụng lên A một lực cân bằng với �⃗�, ngăn cản chuyển động của A. Lực đó gọi là lực ma sát nghỉ (�⃗�𝑚𝑠𝑛). Khi F tăng dần, Fmsn tăng theo đến một giá trị FM nhất định thì vật A bắt đầu trượt trên mặt bàn. FM là GTLN của lực ma sát nghỉ: Fmsn ≤ R FM. FM còn gọi là lực ma sát nghỉ cực đại. (Vật lí 10 nâng cao, tr.89 – 90 – 92) Nhận xét: Thuật ngữ cực đại ở đây được hiểu theo ngôn ngữ thông thường, tức là GTLN. Ngoài ra, chúng tôi còn phát hiện những thuật ngữ khác như động năng 69 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong cực đại, thế năng đàn hồi cực đại, vận tốc cực đại đều mang nghĩa thông thường là GTLN. Còn xét trong SGK Vật lí 10, chúng tôi cũng phát hiện ra thuật ngữ cực đại trong các khái niệm như: lực ma sát nghỉ cực đại, động năng cực đại, mà chúng đều được hiểu theo ngôn ngữ thông thường là GTLN. Mặt khác, khi quan sát các SGK Đại số lớp 10, chúng tôi còn nhận thấy thuật ngữ cực trị của biểu thức mà chúng tôi đã từng đề cập trong luận văn này. Đó là trong tiêu đề của một bài đọc thêm “Một phương pháp tìm cực trị của biểu thức P(x;y) = ax + by trên một miền đa giác lồi” đối với SGK Đại số 10 nâng cao và bài đọc thêm “Phương pháp tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác”. Các bài toán được đặt ra trong các bài đọc thêm này là: BÀI TOÁN: Tìm GTNN hay GTLN vủa biểu thức P(x;y) = ax + by (b≠0) trên một miền đa giác phẳng lồi (kể cả biên). (Đại số 10 nâng cao, tr.133) Bài toán. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F = ax + by (a, b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó x, y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A1A2... A i Ai+1 An. Xác định x, y để F đạt GTLN, GTNN. (Đại số 10, tr.99) Tuy nhiên, trong nội dung các bài đọc thêm này chỉ nói đến GTLN, GTNN của biểu thức và không đề cập đến thuật ngữ cực trị của biểu thức nữa. Chúng tôi cho rằng các tác giả viết SGK đã đề cập đến thuật ngữ cực trị theo nghĩa thông thường, tức là GTLN và GTNN. Chúng tôi tham khảo thêm các SGK Vật lí lớp 12 vì HS học đồng thời hai tài liệu SGK Vật lí 12 nâng cao và SGK Giải tích 12 nâng cao (đối với chương trình nâng cao) cũng như SGK Vật lí 12 và SGK Giải tích 12 (đối với chương trình chuẩn). Khi quan sát các SGK Vật lí lớp 12, chúng tôi vẫn tìm thấy những thuật ngữ như: gia tốc có độ lớn cực đại, vận tốc có độ lớn cực đại, độ lệch cực đại của vật so với vị trí cân bằng, Những thuật ngữ này cho thấy việc sử dụng thuật ngữ cực đại là theo ngôn ngữ thông thường, tức là GTLN. 70 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong Tóm lại: Có sự đồng nhất về nghĩa thông thường của các thuật ngữ cực đại và GTLN (cũng như thuật ngữ cực trị và GTLN, GTNN) và nghĩa này cũng tồn tại trong các SGK Vật lí lớp 10, 12. Chúng tôi băn khoăn về sự tồn tại ở HS lớp 12 các quan niệm sau: GTLN của hàm số là cực đại của hàm số, GTNN của hàm số là cực tiểu của hàm số. Gắn với các quan niệm này, chúng tôi dự đoán một số sai lầm ở HS như: - Khi hàm số có GTLN tại đầu mút của đoạn đang xét, đồng thời, hàm số cũng đạt cực đại, họ cho rằng GTLN của hàm số chính là giá trị cực đại của hàm số hoặc nếu có nhiều giá trị cực đại, họ so sánh chúng và giá trị nào lớn nhất chính là GTLN của hàm số trên đoạn đang xét. Điều xảy ra tương tự đối với GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số. - Hay khi hàm số không có GTLN nhưng vẫn có một hay nhiều giá trị cực đại thì HS cho rằng một trong các giá trị cực đại chính là GTLN của hàm số. Điều xảy ra tương tự cho GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số. 1.4 Kết luận Qua việc phân tích mối quan hệ thể chế dạy học môn Toán ở phổ thông với các đối tượng GTLN, GTNN, chúng tôi rút ra được một số kết quả chính như sau: ■ Các đối tượng GTLN, GTNN được chuẩn bị ngay từ những lớp đầu tiên ở cấp tiểu học thông qua các đối tượng số lớn nhất, số bé nhất. Phân tích thể chế các đối tượng này cho thấy đặc trưng quan trọng hình thành nên khái niệm số lớn nhất (số bé nhất) là dựa vào khái niệm số lớn hơn (số bé hơn): số lớn hơn (số bé hơn) tất cả các số còn lại trong nhóm các số là số lớn nhất (số bé nhất) trong nhóm các số đó. Sau này ở các lớp 10, 12, các khái niệm GTLN (GTNN) của biểu thức hay của hàm số tiếp tục được định nghĩa (ngầm ẩn hoặc tường minh) nhờ vào “so sánh hơn”. Điều này không chỉ thể hiện tính nhất quán của chương trình mà còn thể hiện vai trò của giai đoạn hình thành nên các khái niệm số lớn nhất, số bé nhất ở cấp tiểu học. Các đối tượng GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số bắt đầu xuất hiện ở lớp 7 và tiến triển đến lớp 12. Tuy nhiên chúng chỉ xuất hiện tường minh trong các 71 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong SGK từ lớp 9. Các KNV liên quan đến chúng đều liên quan đến việc tìm GTLN hay GTNN của biểu thức hay của hàm số. Ở mỗi lớp đều có nhiều kỹ thuật để giải quyết các KNV này và sự ưu tiên của thể chế đối với mỗi kỹ thuật thì khác nhau. Ở các lớp 10 và 11, thể chế ưu tiên sử dụng các kỹ thuật bất đẳng thức tức là sử dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng để giải quyết. Còn ở lớp 12, bảng biến thiên cùng với sự hỗ trợ của công cụ đạo hàm được thể chế ưu tiên để tìm GTLN và GTNN của hàm số. Kể từ lớp 9 trở đi, việc tìm GTLN và GTNN của biểu thức hay của hàm số đều xét trên tập hợp các số thực sao cho biểu thức hay hàm số có nghĩa. Và do đó, tập hợp các giá trị của biểu thức hay của hàm số là tập vô hạn không đếm được. Trong khi đó, việc tìm số lớn nhất và số bé nhất ở các lớp tiểu học chỉ trong một tập hợp hữu hạn các phần tử (từ 3 đến 5 số). Người đọc có thể tham khảo bảng tóm tắt sự tiến triển của các đối tượng GTLN, GTNN trong thể chế ở phần Phụ lục. ■ Quan hệ cá nhân của HS và GV với các đối tượng GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số: ○ Chúng tôi đưa ra dự đoán về sự tồn tại quy tắc QTGV của hợp đồng dạy học: Khi cho HS lớp 10, 11 giải quyết các bài toán thuộc các KNV liên quan đến GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số, GV có trách nhiệm đưa ra các biểu thức hay các hàm số biểu thị bởi biểu thức phải luôn có GTLN (nếu xét GTLN) hay GTNN (nếu xét GTNN) trên tập xác định. ○ Chúng tôi băn khoăn về sự tồn tại ở HS các quan niệm sau: GTLN của hàm số là cực đại của hàm số, GTNN của hàm số là cực tiểu của hàm số. ○ Các sai lầm SL không phải do việc trình bày lời giải hướng dẫn của SGK, SGV và SBT ở các lớp 10, 11, 12. ○ Đã có một số kết quả nghiên cứu của tác giả Nguyễn Trường Sinh (2012) cần được tìm hiểu và kiểm chứng: “Khi sử dụng bảng biến thiên tìm được GTLN hoặc GTNN là f(xo), HS không quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện tồn tại của giá 72 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong trị này”; “HS không có trách nhiệm kiểm tra sự liên tục của hàm số tại các điểm mà nó đạt cực trị, GTLN, GTNN”. 73 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong Chương 2 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG SƯ PHẠM CỦA ĐỐI TƯỢNG BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG NGHIÊM NGẶT Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: CH2. Các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt có những đặc trưng nào trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến các đối tượng này? Như chúng tôi đã chỉ ra ở chương 1, các bất đẳng thức không nghiêm ngặt không chỉ là công cụ để mô tả các khái niệm GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số ở phổ thông mà còn là công cụ giúp tìm được GTLN và GTNN của chúng. Không những thế, các kỹ thuật bất đẳng thức tức là các kỹ thuật sử dụng các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt được thể chế ưu tiên trong việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức hay của hàm số ở các lớp 10, 11. Do đó, HS ở các lớp 10, 11 sẽ thường xuyên gặp các bất đẳng thức không nghiêm ngặt trong việc tìm GTLN và GTNN của biểu thức hay của hàm số. Việc tìm hiểu sự xuất hiện của các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt sẽ giúp chúng tôi tìm được một số đặc trưng của chúng và qua đó, có thể giải thích được phần nào nguyên nhân gây ra các sai lầm SL. Các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt được biểu thị bởi các ký hiệu ≤ (ứng với các cách gọi “nhỏ hơn hoặc bằng”, “bé hơn hoặc bằng”) và ≥ (ứng v