Luận văn Hiệu ứng đám đông đại phân tử đối với tính chất cuốn của protein

nsition state) nằm ở đỉnh rào thế năng lượng tự do. Độ chênh lệch năng lượng tự do giữa trạng thái cuốn và trạng thái duỗi đặc trưng có mức độ ổn định của protein được gọi là năng lượng tự do cuốn (folding free energy) ΔF≡ ΔF N−U=FN−FU. Hình 1.3: Giản đồ năng lượng tự do của protein trong mô hình hai trạng thái. 12 Độ cao bờ thế năng lượng tự do cuốn được định nghĩa bằng ΔF N=FTS−FU. Độ cao bờ thế năng lượng tự do duỗi ΔFU=FTS−F N. Các bờ thế này quyết định tốc độ cuốn (kf) và tốc độ duỗi (ku) theo định luật Van’t Hoff – Arrhennius: k f ,u=ν0exp (−ΔFN ,UkBT ) , (1.1) trong đó v0 là hằng số, T là nhiệt độ và kB là hằng số Boltzmann. ∆FN,U phụ thuộc vào nhiều yếu tố như nhiệt độ, áp suất, nồng độ chất làm duỗi trong các thí nghiệm. Các nghiên cứu thí nghiệm của quá trình cuốn thường thực hiện bằng cách thay đổi nhanh chóng điều kiện dung môi để protein chuyển từ trạng thái không cuốn sang trạng thái cuốn và ngược lại. Trong giới hạn cho phép, có thể coi rằng ∆FN,U phụ thuộc tuyến tính vào nồng độ của hoá chất làm duỗi protein trong dung dịch. Do đó, theo phương trình (1.1), ln(kf) và ln(ku) cũng phụ thuộc tuyến tính vào nồng độ chất làm duỗi. Động học của protein trong mô hình hai trạng thái tuân theo hệ phương trình chủ ∂PN ∂ t =k f PU−kuPN , (1.2) ∂PU ∂ t =kuPN−k f PU , (1.3) trong đó PN và PU lần lượt là xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái N và U. Sử dụng các điều kiện biên ta thu được nghiệm của phương trình có dạng: PN ( t )=PN ∞+(PN0 −PN∞ )e−kt . (1.4) Động học trong đó k = kf + ku , PN 0 là xác suất ban đầu, PN ∞ là xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái cuốn khi hệ ở cân bằng nhiệt động khi t →∞. Như vậy, hai 13 đặc trưng chính của mô hình hai trạng thái là: logarit của tốc độ cuốn và duỗi phụ thuộc tuyến tính vào nồng độ chất làm duỗi và quá trình hồi phục tuân theo hàm mũ. Trong thực nghiệm, thông thường những protein nhỏ đơn miền có động học thoả mãn hai tính chất này. Chúng được gọi là các protein hai trạng thái. 1.4 Hiệu ứng đám đông đại phân tử Môi trường trong tế bào là một môi trường không đồng nhất, tập trung đông đúc các đại phân tử. Số lượng, chủng loại, nồng độ phân tử trong bào tương phụ thuộc vào loại tế bào và chu kỳ của tế bào. Tổng lượng protein trong tế bào ước tính cỡ 50 − 400 mg/ml tương ứng với cỡ từ 5 − 40% tổng thể tích (Hình 1.1). Môi trường đông đúc như vậy được biết đến với tên gọi “đám đông đại phân tử” [1] và có ảnh hưởng lớn tới các tính chất của các phân tử trong tế bào cũng như các quá trình xảy ra trong tế bào [2,3]. Ví dụ, đám đông đại phân tử được biết làm tăng khả năng kết dính giữa DNA và enzyme DNA polymerase trong các quá trình sao chép và nhân đôi DNA [4], đẩy mạnh sự liên kết giữa các protein [5], và cải thiện hiệu quả hoạt động của các chaperonin [3]. Người ta cũng chỉ ra rằng đám đông đại phân tử làm tăng tính ổn định và tốc độ cuốn của protein [6], nhưng đồng thời cũng làm tăng khả năng kết tụ của protein [7]. Việc quá trình cuốn của protein xảy ra trong một không gian bị lấp đầy đáng kể bởi các đại phân tử dẫn đến các câu hỏi là: Làm thế nào để protein cuốn và thực hiện chức năng trong một môi trường đông đúc như vậy? Liệu các kết quả thực nghiệm về các tính chất của protein được thực hiện trong môi trường pha loãng có phản ánh chính xác những gì xảy ra trong cơ thể hay không và có thể chấp nhận ở mức độ nào? Câu hỏi đầu tiên có ý nghĩa cơ bản đối với hiểu biết của chúng ta về protein, trong khi câu hỏi thứ hai cũng rất quan trọng bởi hầu hết các thông tin hiện có về quá trình cuốn của protein đều 14 nhận được từ các thí nghiệm trong đó protein nằm trong một dung dịch pha loãng trong ống nghiệm. Các thí nghiệm này thường sử dụng các dung dịch loãng nhất có thể để tránh các điều kiện không lý tưởng và tập trung vào tính chất của protein tinh khiết. Trong tế bào, sự xuất hiện của các đám đông đại phân tử đã phá vỡ các điều kiện lý tưởng như trong ống nghiệm. Hình 1.4: Hình ảnh mô phỏng mô tả mật độ đông đúc của các đại phân tử bên trong tế bào [14]. Hiệu ứng cơ bản của đám đông đại phân tử được cho là gây ra bởi thể tích loại trừ bị chiếm bởi các phân tử đám đông và không thể tiếp cận được đối với các phân tử khác. Trong cuốn protein, sự thăng giáng của các không gian trống còn lại trở nên bất lợi đối với trạng thái duỗi của protein nhiều hơn so trạng thái cuốn, do trạng thái duỗi cần một không gian lớn hơn. Đây chính là cơ sở của một số lý thuyết về hiệu ứng đám đông dựa trên lý thuyết hạt điều chỉnh tỷ lệ (scaled particle theory - SPT) [8, 9, 10]. Những lý thuyết này cho phép tính toán sự thay đổi năng lượng tự do cuốn của protein, là sự chênh lệch năng lượng tự do ở trạng thái cuốn so với trạng thái duỗi, gây ra bởi sự có mặt của các phân tử đám đông. Các nghiên cứu mô phỏng đã khẳng định lại vai 15 trò của thể tích loại trừ [11, 12]. Ngoài ra, các ảnh hưởng của đám đông lên cuốn protein được chỉ ra là cho các kết quả tương tự như các hiệu ứng gây ra bởi sự hạn chế về không gian [10, 13]. Mặc dù vậy, các nghiên cứu thực nghiệm cho đến nay vẫn đưa ra các kết quả không hoàn toàn thống nhất về ảnh hưởng của đám đông đại phân tử lên cuốn protein. Các nghiên cứu về hiệu ứng đám đông đại phân tử trong hơn 30 năm gần đây đã thu được những hiểu biết đáng kể. Ngoài các tương tác phức tạp giữa protein và các phân tử đám đông, có thể kể ra hai hiệu ứng quan trọng và trực tiếp mà môi trường đông đúc bên trong tế bào tác động lên protein, là hiệu ứng thể tích loại trừ (excluded volume effect) và hiệu ứng rút kiệt (depletion effect). Hiệu ứng thể tích loại trừ khiến cho protein bị thay đổi không gian cấu hình, và bị giam cầm trong một khu vực linh động tạo ra các khác biệt so với quá trình cuốn trong một dung dịch pha loãng. Hiệu ứng rút kiệt có bản chất liên quan đến entropy của các phân tử đám đông [15] khiến cho các protein có xu hướng co cụm lại gần nhau, giúp ổn định các phức hệ protein nhưng cũng làm tăng khả năng kết tụ. Các nghiên cứu thực nghiệm và mô phỏng gần đây đã làm rõ hơn các hiệu ứng này. Trong hầu hết các trường hợp, nghiên cứu thực nghiệm và mô phỏng cho thấy đám đông đại phân tử làm tăng sự ổn định cuốn của protein chống lại khả năng biến tính do tác động hoá học và nhiệt độ. Khả năng tăng sức đề kháng với biến tính nhiệt độ thay đổi đáng kể từ protein này đến protein khác. Pielak và các đồng nghiệp [16, 17] tìm thấy hai kết quả trái ngược nhau. Hai tác nhân polymer PVP và Ficoll có tác dụng ổn định cuốn cho protein CI2 phù hợp với các nghiên cứu khác [18, 19]. Trong khi đó, hai tác nhân protein lysozyme và huyết thanh bò (BSA) dẫn đến sự bất ổn nhẹ. Kết luận này trái ngược với những hiểu biết hiện nay về ảnh hưởng của đám đông đại phân tử lên sự ổn định cuốn của protein. Gần đây, các dữ liệu thực nghiệm của phòng 16 thí nghiệm Pielak được Zhou tái phân tích [20], theo đó tác giả đưa ra gợi ý rằng hiệu ứng trái ngược của các tác nhân đám đông polymer và protein lên sự ổn định cuốn của CI2 là do sự khác biệt trong nhiệt độ khảo sát và do hai loại tác nhân có tương tác hút khác nhau lên protein CI2. Tác giả cũng dự đoán rằng đối với một protein nhất định, mỗi đám đông đại phân tử có một giá trị nhiệt độ chuyển giao tại đó ảnh hưởng của đám đông thay đổi từ mất ổn định sang ổn định. Do đó nhiệt độ thử nghiệm đóng một vai trò quan trọng trong hiệu ứng đám đông lên sự ổn định cuốn. Phù hợp với kỳ vọng này, ảnh hưởng của đám đông PVP và Ficoll làm tăng sự ổn định cuốn của CI2 được đo ở nhiệt độ cao 37oC, trong khi đó hiệu ứng gây mất ổn định bởi lysozyme và BSA được đo ở nhiệt độ thấp 20oC. Tiên đoán là đám đông PVP và Ficoll sẽ gây mất ổn định ở nhiệt độ thấp và ngược lại lysozyme và BSA sẽ làm tăng sự ổn định cuốn ở nhiệt độ cao hơn. Trong khi dự đoán này vẫn chưa được kiểm tra, phòng thí nghiệm của Gruebele hiện đã công bố kết quả ảnh hưởng của đám đông protein (subL) làm tăng sự ổn định cuốn của protein λ6−85 [21] và của enzim phosphoglycerate bên trong tế bào [22] đều ở nhiệt độ cao. Tóm lại, nhiệt độ được tiên đoán đóng vai trò quyết định ảnh hưởng thực sự của đám đông lên sự ổn định cuốn của protein trong các sinh vật chịu nhiệt. Các nghiên cứu cho thấy đám đông đại phân tử làm tăng nhẹ tốc độ cuốn của protein [23, 24]. Cụ thể, tốc độ cuốn lại của carbonic anhydrase tăng trong sự có mặt của Ficoll 70 [25]. Tương tự, tốc độ cuốn lại của VlsE [26], apoflavodoxin [27], và apocytochrome b562 [28] cũng tăng trong sự hiện diện của các đám đông như Ficoll, Dextran hoặc PEG nhưng tốc độ duỗi lại không bị ảnh hưởng. Kết quả thu được khi nghiên cứu sự cuốn lại của carbonic anhydrase cho thấy tổng lượng protein được cuốn thành công giảm xuống khi có mặt đám đông Ficoll, nghĩa là hiệu quả cuốn giảm [25]. Kết quả này thống nhất 17 với các nghiên cứu của Dobson [23, 24] cho rằng đám đông làm giảm khả năng cuốn lại do kết tụ. Tuy nhiên, vai trò của đám đông đại phân tử trong môi trường nội bào lên sự cuốn hỏng của protein chưa được hiểu biết rõ ràng. Trong một nghiên cứu gần đây của nhóm Ma [29] cho thấy các hiệu ứng trái ngược của đám đông đại phân tử lên sự cuốn lỗi của protein. Đám đông đại phân tử làm tăng sự hình thành các sợi kết tụ đối với protein Tau của người (protein Tau hình thành sợi kết tụ trong não gây ra bệnh Alzheimer) nhưng ức chế sự hình thành sợi amyloid trong các protein prion của thỏ (là một trong số ít loài đề kháng với bệnh) và lysozyme trong lòng trắng trứng gà. Các tác giả đề xuất rằng các protein dễ bị kết tụ thành sợi và có liên quan đến các bệnh dễ bị cuốn lỗi dưới ảnh hưởng của đám đông hơn trong dung dịch pha loãng. Ngược lại, các protein không liên quan đến các bệnh ít có khả năng hình thành kết tụ trong các điều kiện đông đúc. 1.5 Lý thuyết hạt tỷ lệ Lý thuyết hạt tỷ lệ (scaled particle theory - SPT) được đưa ra đầu tiên bởi Reiss và các đồng nghiệp [30] để ước tính sự thay đổi thế hoá học khi chèn một hạt mới vào trong một chất lỏng có chứa rất nhiều các hạt khác với giả thiết các hạt có kích thước đáng kể. Lý thuyết hạt điều chỉnh tỷ lệ lúc đầu chỉ được xây dựng được cho hệ chất lỏng chỉ chứa một loại hạt là các quả cầu cứng với cùng kích thước, sau đó được mở rộng cho dung dịch chứa nhiều loại hạt hình cầu cứng với bán kính khác nhau. Nó cũng áp dụng khá tốt cho các hệ gồm các hạt không phải hình cầu [31]. Xét một dung dịch có thể tích V chứa N đại phân tử đám đông có kích thước giống nhau. Gọi Rc là bán kính của các đại phân tử. Tỷ lệ thể tích bị chiếm chỗ bởi các đại phân tử được ký hiệu là c. Theo lý thuyết hạt điều chỉnh tỷ lệ, khi chèn một quả cầu cứng với bán kính R vào dung dịch, sự thay đổi năng lượng tự do (thế hóa học) được cho bởi 18 Δ μ kBT =− ln (1−ϕc )+ ρ y (3+3 y+ y 2)+ρ2 y2 (9 /2+3 y )+3 ρ3 y3, (1.5) trong đó  là thế hóa học, kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối,  = (1-c)/c, và y=R/Rc. Đối với protein cuốn theo cơ chế hai trạng thái, giản đồ năng lượng tự do theo một trục toạ độ cuốn có hai cực tiểu ứng với trạng thái tự nhiên (cuốn) và duỗi (không cuốn). Ở điều kiện dung môi xác định, sự chênh lệch năng lượng tự do giữa hai mức cực tiểu này phản ánh sự ổn định của protein ở trạng thái tự nhiên. Khi cực tiểu năng lượng tự do ứng với trạng thái tự nhiên thấp hơn cực tiểu năng lượng tự do ở trạng thái duỗi thì protein ổn định ở trạng trái cuốn. Mức độ ổn định càng lớn khi độ chênh lệch năng lượng tự do giữa trạng thái duỗi và trạng thái cuốn càng lớn. Như vậy, để nghiên cứu tác động của hiệu ứng đám đông đại phân tử lên sự ổn định cuốn của protein chúng ta cần xem xét đại lượng năng lượng tự do cuốn, là hiệu năng lượng tự do tại các trạng thái cuốn và trạng thái duỗi, trong trường hợp vắng mặt và có mặt các đại phân tử đám đông. Sự thay đổi năng lượng tự do cuốn do sự có mặt của các đại phân tử được cho bởi: . (1.6) Do đó, bài toán nghiên cứu tác động của đám đông đại phân tử lên sự ổn định cuốn của protein được chuyển thành bài toán ước tính thay đổi thế hoá học của trạng thái cuốn (∆μN) và duỗi (∆μU) của protein khi đặt thêm các đại phân tử vào hệ. Có 2 cách áp dụng lý thuyết hạt điều chỉnh tỷ lệ cho việc tính toán sự thay đổi thế hóa học này, được đề xuất lần lượt bởi Minton và Zhou. 19 Minton [32] là người đầu tiên áp dụng lý thuyết hạt điều chỉnh tỷ lệ vào nghiên cứu ảnh hưởng của đám đông đại phân tử lên quá trình cuốn của protein trong môi trường tế bào. Để làm việc này, ông coi các trạng thái cuốn và trạng thái duỗi của protein một cách gần đúng là các quả cầu cứng, trong đó bán kính của trạng thái cuốn nhỏ hơn bán kính của trạng thái duỗi. Áp dụng công thức (1.5) ta tính được sự thay đổi thế hoá ∆μN và ∆μU cho protein ở các trạng thái cuốn và duỗi, được coi là các quả cầu cứng với bán kính tương ứng là RN và RU được chèn vào dung dịch đông đúc các đại phân tử. Thay lại vào công thức (1.6) ta có thể xác định sự thay đổi năng lượng tự do cuốn protein bởi các đại phân tử đám đông. Kết quả tiên đoán của Minton cho thấy sự hiện diện của các đại phân tử đám đông hình cầu được tiên đoán gây ra sự giảm phi tuyến của năng lượng tự do cuốn vào mật độ thể tích của các đại phân tử đám đông. Zhou [33] sử dụng cách tiếp cận tương tự với Minton nhưng dựa trên giả định khác cho trạng thái không cuốn. Zhou áp dụng mô hình chuỗi Gauss cho trạng thái không cuốn trong sự hiện diện của đám đông đại phân tử hình cầu, còn trạng thái cuốn vẫn được coi là các quả cầu cứng. Chuỗi Gauss được xem là một tập hợp các hạt kết nối với nhau bởi các thế năng điều hoà. Gọi li là khoảng cách từ hạt thứ i đến i + 1. Bán kính hồi chuyển (radius of gyration) của chuỗi Gaussian được cho bởi: Rg=(N l 2 6 ) 1/2 , với N là số amino acid trong protein, và l là trung bình căn quân phương của các chiều dài liên kết li: l=√ 1N ∑ li2. 20 Trong cách áp dụng của Zhou, sự thay đổi thế hóa của trạng thái cuốn vẫn tính theo công thức (1.5), trong khi sự thay đổi thế hóa của trạng thái duỗi được cho bởi: ΔμU k BT =− ln (1−ϕ )+3ϕ y2(1+ 2y √π )−9 ϕ2 y2 ln y , với y = Rg/Rc. Lý thuyết của Zhou tiên đoán rằng khi đám đông chiếm chỗ nhiều hơn trong dung dịch, năng lượng tự do cuốn giảm và protein ổn định cuốn tốt hơn. Tuy nhiên, nếu nồng độ đám đông tiếp tục tăng lên đến một giá trị nào đó thì năng lượng tự do cuốn đảo chiều, tăng dần, thậm chí vượt qua cả giá trị 0 [33]. Khi đó, trạng thái cuốn trở nên kém ổn định hơn trạng thái duỗi. Lý do của kết quả này được giải thích là do các chuỗi Gauss có thể chen vào các khoảng trống giữa các đại phân tử đám đông. Sự khác biệt giữa 2 lý thuyết của Minton và Zhou được mô tả trên Hình 1.5 Hình 1.5: Sự thay đổi năng lượng tự do cuốn phụ thuộc vào tỷ lệ thể tích của đám đông đại phân tử trong lý thuyết của Minton (đường liền nét) và Zhou (đường đứt nét). 21 Chương 2: Các mô hình và phương pháp mô phỏng 2.1 Mô hình Go cho protein Hiện nay, với một số phần mềm mô phỏng hiện đại, ví dụ như GROMACS, người ta có thể mô phỏng protein trong mô hình gồm tất cả các nguyên tử trong dung môi với các trường lực (force field) hay các thế năng có tính thực tế cao. Tuy nhiên, đối với bài toán cuốn protein, cách tiếp cận này đến nay vẫn là không phù hợp do các hạn chế về tốc độ máy tính. Nghiên cứu quá trình cuốn của các protein hoàn chỉnh đòi hỏi các mô hình đơn giản hoá. Trong nghiên cứu về cơ chế cuốn của protein thì các mô hình tương tự Go (Go-like model) là các mô hình đơn giản hóa được sử dụng nhiều nhất do sự phù hợp khá tốt của chúng với thực nghiệm. Mô hình Go [34] đầu tiên được đưa ra bởi GS. Nobuhiro Go người Nhật Bản năm 1981. Mô hình Go bỏ qua tính chuyên biệt của trình tự amino acid trong chuỗi protein và xây dựng các thế năng tương tác dựa trên cấu trúc của trạng thái cuốn. Mô hình này áp đặt thế năng hút vào các cặp hạt lân cận trong trạng thái cuốn, trong khi coi các cặp hạt khác là không tương tác hoặc tương tác đẩy ở khoảng cách gần. Như vậy, cấu hình cuốn (trạng thái tự nhiên của protein) trong mô hình Go luôn có năng lượng cực tiểu. Mô hình Go đầu tiên được xét trên mạng vuông 2 chiều. Các mô hình tương tự sau này được phát triển trong không gian liên tục 3 chiều và ngoài thế năng tương tác cặp còn sử dụng thế năng góc cho các cấu trúc cuốn địa phương. Một lợi thế của mô hình Go đó là có thể áp dụng cho một protein bất kỳ với cấu trúc cuốn đã được xác định bằng thực nghiệm. Mô hình Go không thể dùng để phỏng đoán cấu trúc protein từ trình tự amino acid mà chỉ được dùng để nghiên cứu quá trình cuốn về một cấu trúc đã biết. Trong luận văn này, chúng tôi xét một phiên bản của mô hình tương tự Go đã được mô tả trong tài liệu [35]. Trong mô hình này, mỗi amino acid được coi như một hạt có bán kính 2.5 Å đặt tại vị trí nguyên tử Cα. Tiếp xúc 22 cuốn được coi là tồn tại giữa hai amino acid cách nhau bởi ít nhất 3 amino acid khác trong chuỗi polypeptide và khoảng cách giữa chúng ở trạng thái tự nhiên nhỏ hơn 7.5 Å. Thế năng tương tác cặp giữa hai amino acid có tiếp xúc cuốn được định nghĩa bằng thế năng Lennard-Jones. Thế năng tổng cộng của các tương tác trong chuỗi polypeptide trong mô hình tương tự Go được cho bởi [35]: (2.1) trong đó N là tổng số hạt trong chuỗi; ri là vị trí của hạt thứ i (i = 1, ... , N); r ij là khoảng cách giữa hạt i và hạt j; θ và φ là các góc liên kết và góc nhị diện; n nhận giá trị 1 và 3; chỉ số trên tương ứng với trạng thái cuốn; ∆∗ ij bằng 1 nếu giữa hạt i và j có tiếp xúc cuốn (native contact) và bằng 0 trong các trường hợp khác. Ba số hạng đầu tiên của công thức (2.1) tương ứng với thế năng đàn hồi giữa hai hạt cạnh nhau, thế năng góc liên kết và thế năng góc nhị diện do tính chất của các liên kết peptide (tương tác cộng hoá trị) quy định. Hai số hạng cuối là các thế năng Lennard-Jones (LJ) đối với các tiếp xúc cuốn và thế năng đẩy giữa các hạt còn lại. Năng lượng được cho trong hệ đơn vị  (độ sâu của thế LJ). Thế năng LJ được chọn sao cho cực tiểu của nó đạt được khi hai hạt cách nhau một khoảng đúng bằng khoảng cách giữa hai hạt trong trạng thái tự nhiên, nghĩa là σij = 2−1/6 rij. Các hằng số được chọn cho mô hình của chúng tôi 23 là: b = 3.8 Å, σ = 5 Å, Kb = 100  (Å)−2 , Kθ = 20  (rad)−2 , Kφ(1) = − và Kφ(3) = −0.5 . Do các thế năng đều có giá trị nhỏ nhất khi protein nằm ở trạng thái cuốn, trạng thái cuốn là trạng thái cực tiểu về năng lượng hay trạng thái tự nhiên của hệ. Mặc dù khá đơn giản, nhưng mô hình tương tự Go đã thành công trong việc mô tả cơ chế cuốn của protein. 2.2 Mô hình đám đông đại phân tử Trong luận văn này, chúng tôi cũng xét mô hình đơn giản hóa cho các đại phân tử như trong tài liệu [38]. Mỗi đại phân tử được coi là một quả cầu với bán kính Rc = 10 Å. Các quả cầu tương tác với nhau và tương tác với các amino acid trong protein thông qua thế năng đẩy ở khoảng cách gần. Thế năng này có dạng thế Lennard-Jones bị cắt và dịch chuyển (truncated and shifted Lennard-Jones potential): V repulsive (r ' )={4 ε [( σr ' ) 12 −( σr ' ) 6 ]+ε , r ' ≤r c 0, r '>r c (2.2) trong đó s = 5 Å và r '=r−R−R c+rc , (2.3) với r là khoảng cách nối tâm 2 hạt, R là bán kính của amino acid (Ra) hoặc bán kính đại phân tử (Rc) và rc = 21/6σ là khoảng cách cắt thế năng. Để nghiên cứu hiệu ứng của đám đông đại phân tử lên protein, chúng tôi xét hệ gồm 1 phân tử protein và M đại phân tử đám đông trong một hộp lập phương với kích thước cạnh Lbox = 100 Å. Điều kiện biên tuần hoàn được áp dụng cho các phân tử đám đông đại phân tử. Tỷ lệ thể tích đám đông đại phân tử được cho bởi: 24 ϕc= M (4π/3)Rc 3 Lbox 3 . (2.4) 2.3 Phương pháp động lực học phân tử dựa trên phương trình Langevin Khi xét chuyển động của các hạt chịu tác động của các yếu tố ngẫu nhiên của môi trường bên ngoài như chuyển động Brown của các hạt huyền phù, người ta sử dụng phương trình Langevin. Phương trình Langevin có thể được sử dụng để mô tả chuyển động của các hạt lớn như các amino acid trong protein và các phân tử đám đông trong dung môi là nước. Ở nhiệt độ T, phương trình Langevin một chiều cho một hạt có dạng: m x¨ (t )=f (t )−ζ x˙ (t )+Γ(t ) , (2.5) trong đó m là khối lượng của hạt; f là lực tác dụng lên hạt gây ra bởi các thế năng tương tác trong hệ f=−∂V ( x ) /∂ x; ζ là hệ số ma sát của dung môi tác động lên hạt; Γ là lực ngẫu nhiên của dung môi tác động lên các hạt. Lực Γ có phân bố Gauss với trung bình bằng không, ⟨Γ⟩=0, và hàm tương quan theo thời gian thoả mãn định luật biến thiên - tiêu tán ⟨Γ(t )Γ(t+t ')⟩=2ζ kBT δ(t ' ) , (2.6) với δ(t ') là hàm delta Dirac. Chú ý là khi ζ = 0 phương trình Langevin trở thành phương trình Newton. Trong luận văn này, chuyển động của các hạt được mô phỏng bằng cách lấy tích phân phương trình chuyển động (2.5) sử dụng thuật toán Verlet. Khai triển theo chuỗi Taylor tới bậc 2 ta có x (t+Δ t )≈x (t )+ x˙ (t )Δ t+1 2 x¨ (t )(Δ t )2 (2.7) 25 x (t−Δ t )≈x (t )− x˙ (t )Δ t+ 1 2 x¨ (t )(Δ t )2 (2.8) trong đó Δt là bước thời gian. Từ 2 phương trình trên ta thu được x (t+Δ t )≈2 x (t )−x (t−Δ t )+ x¨ (t )(Δ t )2 (2.9) x˙ (t )≈ x (t+Δ t )−x(t−Δ t ) 2Δ t (2.10) Từ phương trình Langevin ta có: x¨ (t )= 1 m [ f (t )−ζ x˙ (t )+Γ(t ) ] (2.11) Thay (2.19) và (2.11) vào (2.9) ta thu được được x (t+Δ t )=(1+ Δ t2m ζ ) −1[2 x (t )−(1− Δ t2m ζ )x (t−Δ t )+ (Δ t ) 2 m [ f (t )+Γ(t )]] (2.12) Phương trình trên cho phép tính tọa độ của hạt tại thời điểm t + Δt khi biết tọa độ tại các thời điểm t và t - Δt. Trong luận văn này, tương tự như trong tài liệu [38], chúng tôi sử dụng hệ đơn vị rút gọn. Nhiệt độ được tính theo đơn vị e/kB, thời gian được đo trong hệ đơn vị τ=√ms2 / ϵ . Bước thời gian được chọn là Δ t=0.002 τ . Do chúng ta có 2 loại hạt nên khối lượng của amino acid được lấy bằng m a = 1. Khối lượng của phân tử đám đông được lấy bằng mc = 56 * ma, tương đương với khối lượng của protein G có 56 amino acid. Hệ số ma sát của amino acid ζa = 0.5. Hệ số ma sát ζc của phân tử đám đông tỷ lệ thuận với khối lượng của hạt và được lấy bằng ζc = 56 ζa. 2.4 Phương pháp phân tích biểu đồ có trọng số Phương pháp phân tích biểu đồ có trọng số (Weighted Histogram Analysis Method, hay viết tắt là WHAM) hay còn gọi là phương pháp đa biểu 26 đồ để tính toán các đại lượng trung bình nhiệt động như năng lượng tự do, nhiệt dung riêng v.v. Phương pháp phân tích này có ưu điểm là ta có thể kết hợp dữ liệu từ nhiều nguồn khác nhau và có thể áp dụng cho số mô phỏng bất kỳ, miễn là các dữ liệu được lấy ở các điều kiện cân bằng. Phương pháp đa biểu đồ được phát triển bởi Ferrenberg và Swendsen trên cơ sở tối ưu hoá các dữ liệu mô phỏng thu được với nhiều bộ tham số khác nhau. Việc kết hợp các biểu đồ sẽ cho nhiều thông tin hơn và kết quả thu được chính xác hơn so với việc chỉ phân tích từng biểu đồ riêng lẻ, đặc biệt cho các hệ có chuyển pha. Dưới đây, chúng tôi dẫn giải phương pháp này cho các mô phỏng lấy mẫu ô thực hiện ở các nhiệt độ và các thế năng giữ khác nhau. Giả sử ta quan tâm tới năng lượng tự do của hệ phụ thuộc vào một toạ độ ξ nào đó. Hàm phân hoạch của hệ được cho bởi biểu thức: Z=∫d ξ∫dEΩ (E , ξ )e− βE, (2.13) trong đó E là năng lượng, Ω (E ,ξ ) là hàm mật độ trạng thái phụ thuộc vào E và ξ . Xác suất tìm thấy hệ ở toạ độ ξ tại nhiệt độ T cho bởi: Pβ (ξ )= 1 Z∫dEΩ (E , ξ ) e − βE. (2.14) Năng lượng tự do theo ξ cho bởi F β (ξ )=−kBT lnPβ (ξ ), (2.15) trong đó β= 1 kBT . Giả sử ta thực hiện R mô phỏng tại các nhiệt độ Tk với k = 1, 2,..., R. Hàm phân hoạch của mô phỏng thứ k trở thành: Zk=∫dξ∫dEΩk (E ,ξ ) e− βk E=∫dξ∫dE Pk (E ,ξ ) e−f k (2.16) trong đó Ωk (E , ξ ) là mật độ trạng thái và Pk (E ,ξ )=Ωk (E ,ξ ) e − βk E là xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái có năng lượng E và có toạ độ ξ . 27 Gọi Nk(E, ξ) là số trạng thái có toạ độ ξ , năng lượng E nhận được từ mô phỏng thứ k. Nk(E, ξ) là biểu đồ thứ k theo E và ξ , nk là tổng số trạng thái của thứ k ứng với tất cả các toạ độ và tất cả các giá trị của năng lượng. nk=∫dξ∫dEN k (E, ξ ) . (2.17) Trong trường hợp này Nk(E, ξ) tỷ lệ với xác suất Pk(E, ξ) mà hệ ở trạng thái có năng lượng E và có toạ độ ξ . Ta có: N k (E ,ξ ) nk ≈ P k (E ,ξ ) Zk =Ωk (E, ξ ) e f k− βk E . (2.18) Vì vậy có thể ước lượng Ωk (E, ξ )thông qua các biểu đồ thu được từ mô phỏng Ωk (E, ξ )= N k (E , ξ ) nk eβk E−f k . ( 2.19) Mật độ trạng thái trung bình Ω (E ,ξ )của hệ thu được từ các mật độ trạng thái Ωk (E, ξ ) là: Ω (E , ξ )=∑ k=1 R ωk (E ,ξ )Ωk (E ,ξ ) (2.20) trong đó ωk (E, ξ ) là trọng số thống kê, là tỉ lệ đóng góp của mô phỏng thứ k cho hàm mật độ trạng thái ωk (E, ξ ) thoả mãn điều kiện chuẩn hoá: ∑ k=1 R ωk (E ,ξ )=1 . (2.21) Chúng ta phải tìm ωk (E, ξ ) sao cho sai số của hàm mật độ trạng thái Ω (E ,ξ ) được xác định thông qua biểu thức dưới đây là nhỏ nhất: δ 2Ω (E , ξ )=⟨Ω2 (E ,ξ ) ⟩− ⟨Ω (E ,ξ ) ⟩2=∑ k=1 R ωk 2 (E ,ξ )δ2Ωk (E ,ξ ) (2.22) Từ phương trình (2.22) ta có: δ 2Ωk (E, ξ )=δ 2 N k (E ,ξ )nk −2e2( βk E−f k) . (2.23) 28 Giả sử Nk(E,ξ) tuân theo phân bố Poisson, ta có: δ 2N k (E ,ξ )≈N k (E ,ξ ) , (2.24) với N