Luận văn Họ chuẩn tắc đều và ứng dụng

n của đa tạp phức Y , Kobayashi [22] đã định nghĩa một giả khoảng cách tương đối ,X Yk và dạng vi phân của ,X YK trên X , bao đóng của X trong .Y Các hàm ,X Yk và ,X YK được định nghĩa tương tự như Xk và XK nhưng sử dụng họ     1, , :X YF f H D Y f Y X   cã nhiÒu nhÊt mét phÇn tö . Nếu không có ,X Yf F thỏa mãn  0f p và    0df re v thì  ,X YK v được định nghĩa bằng . 1.4.7. Định lý. Cho ' ', , ,X Y X Y là các không gian phức sao cho X Y và ' 'X Y . Khi đó ta có:         ' '1 , , ,XX X XK v max K v K           ' ' ' ',, ,2 , , ,X YX X Y Y X YK v max K v K               ' '' ' ' '3 , , , , ,k , ,XX X Xk p p q q max k p q p q             ' ' ' '' ' ' ',, ,4 , , , , ,k , .X YX X Y Y X Yk p p q q max k p q p q   Nói chung ,X Y XK K với X là đa tạp con phức của đa tạp phức Y . Tuy nhiên, sử dụng Định lý 1.4.7, Kobayashi [23] đã chứng tỏ rằng trong một vài trường hợp chúng là bằng nhau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 14 1.4.8. Định lý. (Kobayashi). Đối với các không gian  * m D và mD , trong đó m là một số nguyên, ta có:  * , m m m DD D k k và  * , m m m DD D K K . Các giả khoảng cách nội tại và các dạng vi phân của chúng có tính chất tương tự với khoảng cách Kobayashi và dạng vi phân của nó. 1.4.9. Định lý. Cho ' ', , ,X Y X Y là các đa tạp phức sao cho X Y và ' 'X Y . Khi đó:  1 Với  ', , ,f H X X p q X  ta có:  '* XXf K K và       ' , , .XXk f p f q k p q Hơn nữa, XK (tương ứng Xk ) là hàm giả độ dài lớn nhất E (tương ứng giả khoảng cách d ) trên X thỏa mãn với mỗi    *, , Df H D X f E K  (tương ứng       , ,Dd f z f k z   với ,z D ).  2 Với mỗi  ',f H Y Y sao cho   'f X X và với mỗi ,p q X , ta có  ' '* ,, X YX Yf K K và       ' ' ,, , , .X YX Yk f p f q k p q Hơn nữa, hàm ,X YK (tương ứng ,X Yk ) là hàm nửa độ dài lớn nhất E (tương ứng hàm giả khoảng cách d ) trên X thỏa mãn với mỗi  *, ,X Y Df F f E K  (tương ứng       , ,Dd f z f k z   với ,z D ). Nếu X là một đa tạp phức hyperbolic và Y là một đa tạp phức với hàm độ dài E , chuẩn E df của ánh xạ tiếp xúc của  ,f H X Y ứng với E được định nghĩa bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 15   sup :pE Edf df p X  trong đó            sup : 1, .X pp pEdf E df v K v v T X   (Ta chỉ sử dụng df và   p df khi không thể xảy ra nhầm lẫn). Trong trường hợp đặc biệt với  , ,f H D Y      0 df E df e . Ta cũng có  * Xf E cK nếu E df cc  . Ta có tính chất của các đa tạp hyperbolic sau: 1.4.10. Mệnh đề. Cho  ,f H M Y trong đó M là một đa tạp hyperbolic và Y là một không gian phức với một hàm độ dài E . Khi đó:          0sup : , , 0pdf d f H D M p     với ,p M và      0sup : ,df d f H D M       sup : , .d f H D M   Chứng minh. Cho p M và  pv T M sao cho   1MK v  và cho   . Tồn tại  ,H D M và 0r  sao cho    0 ,p d re v   và 1r   . Ta có:              0 01pE df v E d f re d f                   0 1 sup : , , 0 1 . p d f H D M p df             Từ đó các đẳng thức trên được suy ngay ra từ bổ đề Schwarz-Pick. Đó là điều phải chứng minh. Mệnh đề sau đây có được từ tính chất giảm khoảng cách của các ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp hyperbolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 16 1.4.11. Mệnh đề. Cho M là một đa tạp hyperbolic thuần nhất và Y là một đa tạp phức với một hàm độ dài E . Khi đó với  ,f H M Y ta có:           sup : sup : , . df d f g g A M d f g g H M M       1.5. Ánh xạ chỉnh hình vào các không gian hyperbolic Royden đã định nghĩa một đa tạp phức X là hyperbolic tại p X nếu có một lân cận tọa độ địa phương U của p và một hằng số 0c  sao cho XK c v với mọi  v T U . Mở rộng định nghĩa này ta có: 1.5.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian con phức của một không gian phức Y với một hàm độ dài E . Một điểm p X là một điểm hyperbolic đối với X nếu có một lân cận U của p và một hằng số 0c  sao cho XK cE trên X U . Kobayashi gọi một điểm p X là điểm hyperbolic nếu mỗi lân cận U của p chứa một lân cận nhỏ hơn V của p sao cho  , 0Xk V X X U   . Các đặc trưng tiếp theo của một điểm hyperbolic chứng tỏ rằng hai định nghĩa của điểm hyperbolic là tương đương và làm sáng tỏ thêm về các tính chất của một không gian con nhúng hyperbolic. Khi X là một không gian con phức của một không gian phức ,Y ta sẽ kí hiệu tập hợp các điểm hyperbolic của X bởi  ,R X Y . 1.5.2. Định lý. [16]. Cho X là một không gian con phức của một không gian phức Y với một hàm độ dài E . Các điều kiện sau đây là tương đương với p X :  1 Điểm p là một điểm hyperbolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 17  2 Với tất cả các dãy  np và  nq trong X thỏa mãn np p và không có dãy con nào của  nq hội tụ về p , ta có  lim , 0X n nk p q  .  3 Nếu  nf và  nz là các dãy tương ứng trong  *,H D X và *D sao cho 0nz  và  n nf z p , khi đó với mỗi lân cận mở U của p , có một số 0 1r  sao cho  *n rf D U .  4 Nếu  nf và  nz là các dãy tương ứng trong  *,H D X và *D sao cho 0nz  và  n nf z p , khi đó hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:  i Mỗi nf có thác triển   ,nf H D Y và  ii Tồn tại một số 0 1r  , một dãy con   kn f của  nf và một hàm  ,rf H D Y sao cho  knf f .  5 Nếu  nf là một dãy trong ,X YF sao cho  0nf p , khi đó với mỗi lân cận mở U của p , có một số 0 1r  sao cho  n rf D U .  6 Có một lân cận U của p sao cho     ,0sup : , 0X Ydf f F f U   .  7 Có một lân cận U của p và một số 0c  sao cho ,X YK cE trên U X .  8 Với mọi dãy  np và  nq trong X thỏa mãn np p và không có dãy con nào của  nq hội tụ về p , ta có  ,lim , 0X Y n nk p q  .  9 Có một lân cận U của p sao cho nếu  np và  nq là các dãy trong U X và  , , 0X Y n nk p q  khi đó  , 0E n nd p q  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 18 1.5.3. Ví dụ. Cho 1n ¹ là một số nguyên dương và cho ( ) { }{ }1 2, ,..., : 0,1 . n n iM z z z z= Πϣ Cho { }0 1, ,..., nw w w là các tọa độ thuần nhất của không gian xạ ảnh ( ) nP £ và cho [ ]{ }0 1 0, ,..., : 0 .nw w w wp = = Xác định ( ): nM Py ® £ bởi ( ) [ ]1 2 1; ,..., 1, ,..., .n nz z z z zy = y nhúng M vào trong ( )nP £ và Kiernan [20] đã nhận thấy rằng ( )My không là nhúng hyperbolic trong ( )nP £ . Ta dễ dàng thấy rằng, từ điều kiện tương đương ( )2 của Định lý 1.5.2, nếu [ ]20,1, ,..., np w w p= Î và 1iw ³ với mỗi i thì p không là điểm hyperbolic của ( )My . Định nghĩa dãy { }kf trong ( )( )*,H D My bởi ( ) 2 2 1 1 1, , ,..., ,1, ,..., . 2 2 2 2 k n n k k k k k w w z w w f z z z z k kz kz+ + é ùé ù ê úê ú= = ê úê úë û ë û Khi đó 1 2 kf p k æ ö ÷ç ®÷ç ÷çè ø , trong khi đó [ ]2 1 0,1,2 ,...,2 4 k nf w w k æ ö ÷ç ®÷ç ÷çè ø . Sau đây là một dạng mở rộng của Định lý 1.5.2. 1.5.4. Định lý. Cho X là một không gian con phức của một không gian phức Y . Khi đó các điều kiện sau là tương đương : ( )1 X là nhúng hyperbolic trong Y . ( )2 Có một hàm độ dài H trên Y sao cho ,X YK H³ trên X . ( )3 Nếu ,p q XÎ và p q¹ , thì ( ), , 0X Yk p q > . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 19 Chứng minh. ( ) ( )1 2Þ . Đầu tiên ta chứng tỏ rằng với mỗi hàm độ dài E trên Y và với mỗi tập compact K YÐ , có một hằng số 0c> sao cho ,X YK cE³ trên K XÇ . Giả sử một tập con compact K YÐ và một hàm độ dài E trên Y không thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó có một dãy { }nf trong ,X YF sao cho ( )0nf p X K® Î Ç và ( )0ndf ® ¥ và do đó không có lân cận của 0 được ánh xạ bởi { }nf vào một tập con compact của một lân cận của p mà song chỉnh hình với một hình cầu. Từ điều kiện tương đương ( )6 của Định lý 1.5.2, ta được điều mâu thuẫn. Cho { } 1k k U ¥ = là một dãy các tập con mở compact tương đối trong Y thỏa mãn 1k kU U +Ð và 1k kU Y ¥ =È = . Khi đó có một số 0kc > sao cho ,X Y kK c E³ trên kU XÇ . Suy ra có một hàm số thực dương liên tục j trên Y sao cho kcj £ trên kU XÇ . Đặt H Ej= ta nhận được  2 . ( ) ( )2 3Þ . Hiển nhiên. ( ) ( )3 1Þ . Rõ ràng, vì ( ) ( ),, ,X X Yk p q k p q³ với ,p q XÎ . Định lý được chứng minh. 1.5.5. Hệ quả. Cho X là một không gian con phức của một không gian phức Y . Cho ( )*,f H D XÎ và cho { }nz là một dãy trong *D sao cho 0nz ® và ( ) ( ),nf z p R X Y® Î . Khi đó f thác triển được tới ° ( ),f H D YÎ . Chứng minh. Hệ quả này được chứng minh bằng cách áp dụng điều kiện ( )4 của Định lý 1.5.2 đối với dãy hằng { }f . Định lý sau đây là tổng quát của định lý Picard lớn của Kwack, Kobayashi và Kiernan. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 20 1.5.6. Định lý. Cho X là một không gian con phức nhúng hyperbolic của một không gian phức Y . Khi đó mỗi ( )*,f H D XÎ thác triển tới ° ( ),f C D Y ¥Î . Nếu X là compact tương đối trong Y , thì °f là chỉnh hình. Chứng minh. Nếu có một dãy { }nz trong *D sao cho 0nz ® và ( )nf z p Y® Î , khi đó từ ( ),p R X YÎ theo Hệ quả 1.5.5, f thác triển tới ° ( ),f H D YÎ . Trong trường hợp còn lại nếu dãy { }nz trong *D sao cho 0nz ® , thì ta có ( )nf z ® ¥ và ta có điều phải chứng minh. Kiernan đã chứng minh được rằng một không gian con phức compact tương đối X của một không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi ( ),H D X là một tập con compact tương đối của ( ),H D Y . Điều kiện cần của kết quả này là một mở rộng lên số chiều cao của định lý Montel đối với các họ chuẩn tắc [4]. Một định lý của Carathéodory chỉ ra rằng nếu { }0,1X = -£ và ( )1Y P= £ , thì khi đó ( )*, ; ,H D Y H D Xé ùê úë û là compact tương đối trong ( ),H D Y trong đó ta sử dụng ký hiệu [ ] [ ]( ), ; , ;H M N Q C M N Q là không gian các thác triển chỉnh hình (liên tục) của các ánh xạ trong Q . Nếu X là một không gian con phức của một không gian phức Y , và { }( ), D , ; ,X Y z G C D Y H D z X¥ Î é ù= È -ê úë û , ta tổng quát định lý Carathéodory và sẽ chứng tỏ trong định lý sau rằng tính nhúng hyperbolic được đặc trưng bởi tính compact tương đối của các tập con của ,X YG . Ta chú ý rằng ( ) ( )* *, ; , , ; , .C D Y H D X H D Y H D Xé ù é ù=ê ú ê úë û ë û 1.5.7. Định lý. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với một không gian con phức X của một không gian phức Y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 21 ( )1 X là nhúng hyperbolic trong Y . ( )2 ,X YG là compact tương đối trong ( ),C D Y ¥ . ( )3 ( )*, ; ,C D Y H D X¥é ùê úë û là compact tương đối trong ( ),C D Y ¥ . ( )4 ,X YF là compact tương đối trong ( ),C D Y ¥ . ( )5 ( )*, ; ,H D Y H D Xé ùê úë û là compact tương đối trong ( ),C D Y ¥ . ( )6 ( ),H D X là compact tương đối trong ( ),C D Y ¥ . 1.5.8. Nhận xét. Khi X là một không gian con phức compact tương đối của một không gian phức Y thì: ( ) ( )1 ,C D Y ¥ có thể được thay thế bởi ( ),H D Y trong cả định lý 1.5.7. ( ) , ,2 X Y X YG F= và ( ) ( ) * *, ; , , ; ,H D Y H D X C D Y H D X¥é ù é ù=ê ú ê úë û ë û . 1.5.9. Nhận xét. Kết quả của Abate [1] nói rằng một đa tạp phức X là hyperbolic khi và chỉ khi ( ),H D X là compact tương đối trong ( ),C D X ¥ được suy ra từ Định lý 1.5.7. Định lý 1.5.10 sau là một mở rộng kết quả của Kobayashi-Kwack trong việc tổng quát định lý Picard lớn. 1.5.10. Định lý. Nếu X là một không gian con phức nhúng hyperbolic của một không gian phức Y khi đó mỗi ( )*,f H D XÎ thác triển tới ° ( ),f C D Y ¥Î . Chứng minh. Nếu { }nf là một dãy trong ( ) *,H D X và ( )*,nf f C D Y ¥® Î , thì tồn tại ° nf bởi Định lý 1.5.6, và theo Định lý 1.5.7, có một ( ),g C D Y ¥Î và một dãy con { } kn f của { }nf sao cho ° kn f g® . Do đó, g f= trên *D . Vì vậy, °g f= . Điều phải chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 22 Chƣơng 2 HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG 2.1. Họ chuẩn tắc đều và một số tính chất Trong phần này chúng tôi mở rộng khái niệm ánh xạ chuẩn tắc lên một họ các ánh xạ vào không gian phức nhúng hyperbolic. Trước hết ta nhắc lại một số kết quả. 2.1.1. Mệnh đề. Nếu W là một miền hyperbolic trong £ , một ánh xạ ( )( )1,f H PÎ W £ là chuẩn tắc khhi và chỉ khi df < ¥ . 2.1.2. Mệnh đề. Một họ bất biến ( )( )1,F H D PÐ £ là chuẩn tắc khi và chỉ khi { }sup :df f FÎ < ¥ . 2.1.3. Mệnh đề. Một họ ( )F H DÐ là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi { }sup :df f FÎ < ¥ . 2.1.4. Định lý. Một không gian con phức X nhúng hyperbolic trong một không gian phức Y khi và chỉ khi có một hàm độ dài E trên Y sao cho: ( ){ }sup : ,df f H D XÎ < ¥ . Định lý sau đây là một hệ quả của Định lý 1.1.5 và ( ),H X Y là Lipschitz ứng với Xk và .Ed 2.1.5. Định lý. Cho X là một đa tạp hyperbolic và Y là một không gian phức với một hàm độ dài E và cho ( ), .F H X YÐ Nếu { }sup :df f FÎ < ¥ , thì F là tập compact tương đối trong ( ), .C X Y ¥ Từ Mệnh đề 1.4.10 ta có một kết quả mạnh hơn sau đây. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 23 2.1.6. Định lý. Cho X là một đa tạp hyperbolic, Y là một không gian phức với một hàm độ dài E và ( ),F H X YÐ . Nếu { }sup :df f FÎ < ¥ , thì họ ( ),F H D Xo là compact tương đối trong ( ),C D Y ¥ . Trong Định nghĩa 2.1.7 dưới đây ta sẽ gọi một họ các ánh xạ là chuẩn tắc đều nếu nó thỏa mãn các kết luận của Định lý 2.1.6. Định nghĩa này là mở rộng khái niệm ánh xạ chuẩn tắc của Lehto-Vertanen và họ chuẩn tắc đều của Hayman tới các không gian phức nhiều chiều. 2.1.7. Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian phức. Một họ ( ),F H X YÐ là chuẩn tắc đều trong ( ),H X Y nếu ( ),F H M Xo là compact tương đối trong ( ),C M Y ¥ với mỗi đa tạp phức M . Ta nói rằng f là một ánh xạ chuẩn tắc nếu họ { }f là chuẩn tắc đều. Rõ ràng rằng từ Định nghĩa 2.1.7 mỗi phần tử của một họ chuẩn tắc đều là một ánh xạ chuẩn tắc. Các Mệnh đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.9 được suy ra từ Định nghĩa 2.1.7. 2.1.8. Mệnh đề. Nếu M là một đa tạp phức và Y là một không gian phức và ( ),F H M YÐ là chuẩn tắc đều thì F là tập con compact tương đối của ( ),C M Y ¥ . 2.1.9. Mệnh đề. Nếu ,X Y là các không gian phức và ( )X,F H YÐ , các mệnh đề sau đây là tương đương: ( )1 F là chuẩn tắc đều. ( )2 Nếu Z là một không gian phức và ( ),G H Z XÐ thì F Go là chuẩn tắc đều. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 24 ( )3 Nếu Z là một không gian con phức của X thì họ các hạn chế của các phần tử của F trên Z là chuẩn tắc đều. Mệnh đề 2.1.10 chứng tỏ đa tạp phức W trong Định nghĩa 2.1.7 có thể được thay thế bởi đĩa đơn vị D . 2.1.10 Mệnh đề. Nếu ,X Y là các không gian phức và ( ),F H X YÐ thì các điều kiện sau đây là tương đương: ( )1 F là chuẩn tắc đều. ( ) ( )2 ,F H D Xo là chuẩn tắc đều. ( ) ( )3 ,F H D Xo là một tập con compact tương đối của ( ),C D Y ¥ . Định lý 2.1.11 là một đặc trưng cho các họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic thuần nhất. 2.1.11. Định lý. Các mệnh đề sau đây là tương đương với ( ),F H M YÐ khi M là đa tạp hyperbolic thuần nhất và Y là một không gian phức: ( )1 F là chuẩn tắc đều. ( )2 ( )F A Mo là một tập con liên tục đồng đều của ( ), .H M Y ( )3 ( )F A Mo là compact tương đối trong ( ), .C M Y ¥ ( )4 ( ),F H M Mo là compact tương đối trong ( ), .C M Y ¥ 2.1.12. Hệ quả. Cho M một đa tạp hyperbolic thuần nhất, Y là một không gian phức và ( ),F H M YÐ là một họ bất biến (Tức là ( )F F A M= o ). Khi đó ( )1 F là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi F là compact tương đối trong ( ),C M Y ¥ ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 25 ( )2 Nếu M D= và Y C= , F là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi F là chuẩn tắc theo nghĩa của Wu [36]. Chứng minh. Khẳng định ( )1 được suy ra từ Mệnh đề 2.1.8 và điều kiện ( )3 của Định lý 2.1.11. Khẳng định ( )2 được suy ra từ ( )1 và bổ đề Hurwitz. Hệ quả được chứng minh. 2.1.13. Định lý. Cho M là một đa tạp phức, và Y là một không gian phức ( ),f H M YÐ . Các mệnh đề sau đây là tương đương: ( )1 F là chuẩn tắc đều. ( )2 ( ),MF H Do là một tập con liên tục đồng đều của ( ),H D Y . ( )3 Có một hàm độ dài E trên Y sao cho ( )* ,Mf E K£ với mỗi .f FÎ Chứng minh. ( ) ( )1 2Þ . Được suy ra từ Mệnh đề 2.1.10. ( ) ( )2 3Þ . Đầu tiên chúng ta chứng tỏ rằng nếu ( )2 đúng thì với mỗi hàm độ dài E trên Y và tập compact ,Q YÐ có một số 0c> sao cho ( )* Mf E cK£ trên ( )1f Q- với mỗi f FÎ . Chứng minh này được lập luận tương tự như chứng minh trong ( ) ( )1 2Þ của Định lý 1.5.4. Nếu Q YÐ là compact và ( )3 không xảy ra đối với hàm độ dài E , thì có các dãy { }{ }{ }, ,n n np f v và q QÎ sao cho ,np MÎ ,nf FÎ ( ),nn pv T MÎ ( ) ,n nf p QÎ ( ) 1,M nK v = ( ) ,n nf p q® ( ) ( )( ) . n n np E df v n> Từ đó kéo theo dãy { }nj nào đó trong ( ),H D M thỏa mãn ( )0n npj = và ( )( ) ( )( )0n nE d f ej ® ¥o và do đó ( )( )0n nd f j ® ¥o . Cho V là lân cận compact tương đối của ,q nhúng hyperbolic trong Y . Từ ( ),F H D Mo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 26 là một tập con liên tục đồng đều của ( ), ,H D Y nên có một số 0 1r< < sao cho ( )n n rf D Vj Ðo ; Dãy các hạn chế của { }n nf jo trên rD , mà ta vẫn gọi là { },n nf jo là chuẩn tắc đều và do đó là tập con compact tương đối của ( ),rH D Y . Một dãy con nào đó của { }n nf jo sẽ hội tụ tới ( ), .rh H D YÎ Điều này mâu thuẫn với điều kiện ( )( ) 0n n d f j ® ¥o . ( ) ( )3 1 .Þ Từ ( )3 ta có một hàm khoảng cách Ed trên Y sao cho ( ),F H D Mo là giảm khoảng cách từ Dk tới Ed và ( )1 được suy ra từ Định lý 1.1.5 và Mệnh đề 2.1.10. Định lý được chứng minh. 2.2. Tổng quát hóa một số định lí cổ điển đối với họ chuẩn tắc đều. Trong phần này chúng ta khái quát một số định lý cổ điển đối với họ chuẩn tắc đều xác định trên không gian phức [18]. Brody đã chứng minh kết quả sau (xem [26], Trang 68). 2.2.1. Định lý. Cho X là một không gian con phức compact tương đối của một không gian phức Y . Nếu X không là nhúng hyperbolic trong Y , thì tồn tại các dãy  nr trong  0, ,  ng và ánh xạ khác hằng ( , )g H Y  sao cho , ( , ) nn n r r g H D X  và ng g trên các tập con compact của  . Trong Định lý trên ta có thể giả thiết rằng nr n với mỗi n . Thật vậy, trước hết giả sử 1 1r  và 1 1n nr r   bằng cách lấy dãy con. Nếu k là một số nguyên dương và 1,k r định nghĩa 1;kf g nếu 1n nr k r   , định nghĩa 1.k nf g  Khi đó ( , )k kf H D X với mỗi k và kf g trên các tập con compact của  . Chúng ta sẽ trình bày chứng minh định lý Brody ở trên bằng cách sử dụng Định lý 1.3.4, chương 1 của Lohwater và Pommerenke trong Định lý 2.2.5 sau đây. 2.2.2. Định nghĩa. Cho X , Y là các không gian phức và ( , )F H X Y . (1) Một dãy Brody đối với F là một dãy  n nf  trong đó nf F và ( , )n nH D X  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 27 (2) Một ánh xạ ( , )h C Y  được gọi là giới hạn Brody đối với F nếu có một dãy Brody  nh đối với F sao cho nh h trên các tập con compact của  . Khi X là một không gian con phức compact tương đối của một không gian phức Y , các dãy Brody đối với F , trùng với các đường cong chỉnh hình Zaidenberg và các giới hạn Brody trùng với các ánh xạ F - giới hạn của Zaidenberg. Ta có các nhận xét sau: 2.2.3. Nhận xét. Cho X ,Y là các không gian phức và cho ( , )n nm H D D là phép nhân với n . Khi đó ( , )n n n ng f m F H D X    và 1 ( , ).n nm H D D   Vì 1 n n n nf g m   , nến một dãy Brody đối với ( , )F H D X cũng là một dãy Brody đối với F và ngược lại. Mỗi ánh xạ 1( , ( ))f H P   có thể được coi như là một giới hạn Brody đối với chính nó bằng cách sử dụng ánh xạ bao hàm ( , )n ni H D  và do đó Định lý 2.2.4 sau đây được xem như là một khái quát của định lý Picard bé. 2.2.4. Định lý. Cho M là một đa tạp phức và cho ( , )F H M Y là họ chuẩn tắc. Khi đó (1) Mỗi dãy Brody đối với F có một dãy con mà hội tụ đến một giới hạn Brody đối với F trên các tập con compact của  ; (2) Mỗi giới hạn Brody đối với F đều là một ánh xạ hằng. Chứng minh. Trước hết chúng ta chứng minh định lý với giả thiết rằng M là một không gian hyperbolic. Khi đó định lí được suy ra từ Nhận xét 2.2.3. Từ (3) trong Định lý 2.1.13 suy ra có một hàm độ dài E trên Y sao cho F là giảm khoảng cách đối với Mk và Ed . Đối với (1) , nếu m là một số nguyên dương và  n nf g là một dãy Brody đối với F trong đó f F và ( , )n ng H D M , thì khi đó  :n nf g n m là giảm khoảng cách từ mD k đến Ed , và do đó bởi Định lý 1.1.5, chương 1 nó là tập con compact tương đối của ( , )nC D Y  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 28 Đối với (2), giả sử  n là một dãy Brody đối với F với giới hạn Brody  . Nếu ,p q và ( ), ( )p q Y   , với n đủ lớn chúng ta có ( ( )), ( ) ( , ) nE n n D d p q k p q   . Từ ( , ) 0 nD k p q  ta có ( ) ( )p q  . Nếu ( )p  , tính liên tục của  và tính liên thông của  kéo theo ( )q   vì ( )C Y  có nhiều nhất một điểm. Từ Nhận xét 2.2.3 ta suy ra điều phải chứng minh. Định lý sau khái quát một định lý của Lohwater và Pommerenke đối với một hàm chuẩn tắc và một định lý của Hahn đối với một ánh xạ chuẩn tắc mà có miền giá trị là ( ).nP  2.2.5. Định lý. Cho Y là một không gian phức và cho ( , )F H D Y . Khi đó F không là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi với mỗi hàm độ dài E trên Y có các dãy  nf trong F ,  np trong D ,  nr trong (0, ) ,   [1/4,1]n  , và  n thỏa mãn các điều kiện sau: (1) 0, / ( ) 0;n n n nr r p   (2) ( , ) nn s H D D  được xác định bởi ( )n n nz p zr   , trong đó   /n n n ns p r  ; (3) ( , )n nf g C Y    ; (4) limsup (( ( )) ( )) 1n n zE d f e  cho mỗi z và 0(( ( )) ( )) 1n nE d f e  . Hơn nữa, ánh xạ g trong (3) là ánh xạ hằng nếu ( )g Y   . Chứng minh. Điều kiện đủ là một hệ quả của Định lý 2.2.4. Đối với điều kiện cần, giả sử F không phải là chuẩn tắc đều và cho E là một hàm độ dài trong Y . Khi đó có các dãy  nz trong D ,  nf trong F thỏa mãn ( ) . nn z df  Định nghĩa 0n  bởi: 2 2 2 2 2 1/ 4 7 1 2 / (1 ) 7 1. n n n n n z z z z        nếu nếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 29 Khi đó n thỏa mãn các điều kiện sau đây: 2 22(1) [1 / 4,1); ; (1 / ) (1 ) / 2n n n n n nz z z       và chúng ta có thể giả sử. 2 (2) (1 / ) (( ) ( )) . nn n n z z E df e  Đặt  2max (1 / ) (( ) ( )) : ;n n n z nM z E df e z    Giả sử nM đạt được tại np , và 1/ (( ) ( )).nn n pr E df e Chúng ta thấy rằng  / 0n n nr p   , giả sử rằng nM  và  / 0n n nr p   . Đặt   /n n n ns p r  và định nghĩa ( , )nn sH D D  bởi ( )n n nz p zr   . Bây giờ giả sử 0r  và ns r . Với rz D và e là vecto đơn vị trong ( )zT D ta có ( )(( ( ) ( )) (( ) ( ))nn n z n n zE d f e r E df e  1 2 1 n nn n n p zr r M            1 1 1 1n n n n n n r r r r p p                     và biểu thức ở bên phải của đẳng thức cuối cùng dần đến 1. Do đó  n nf  là liên tục đồng đều trên rD ứng với metric Euclide trên rD và Ed trên Y . Theo Định lý 1.1.5, Chương 1, ta có  n nf  là một tập con compact tương đối của ( , )nC D Y  và do đó chúng ta có thể giả thiết rằng ( , )  n nf g C Y . Từ đó các điều kiện (1); (2); (3) được thỏa mãn với      ; ;n n nf p r và  n . Dễ dàng thấy rằng 0(( ( )) ( )) 1n nE d f e . Do đó (4) được chứng minh. Vậy Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.2.6 được suy ra từ Định lý 2.2.5 và Mệnh đề 2.1.10. 2.2.6. Hệ quả. Cho ,M Y là các không gian phức và cho ( , )F H M Y . Khi đó F không là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi mỗi với hàm độ dài E trên Y , có một dãy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 30 Brody  ng đối với F với một giới hạn Brody g sao cho 0lim (( ) ( )) 0.nE dg e  Hơn nữa nếu ( )  g Y  , thì g không là ánh xạ hằng. Hệ quả 2.2.7 là một khái quát của Định lý 2.2.1 của Brody và định lý đảo vì ( , )H D X là họ chuẩn tắc đều trong ( , )H D X khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong Y . 2.2.7. Hệ quả. Cho ,M Y là các không gian phức và cho ( , )F H M Y thỏa mãn  ( ) ( ) :F x f x f F  là compact tương đối trong Y với x M . Khi đó F không là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi tồn tại một giới hạn Brody khác hằng đối với F . Định lý 2.2.8 sau là một đặc trưng về họ chuẩn tắc đều dưới ngôn ngữ dãy Brody. 2.2.8. Định lý. Nếu ,X Y là các không gian phức và ( , )F H X Y thì các mệnh đề sau là tương đương; (1) F là họ chuẩn tắc đều. (2) Có một hàm độ dài E trên Y sao cho 1 E dg  với mỗi ( , )g F H D X  . (3) Có một hàm độ dài E trên Y sao cho 0 (( ) ( )) 0 n E dh e  với mỗi dãy Brody  nh đối với F .