Luận văn Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

M là một 0R -môđun, và được gọi là thành phần phân bậc thứ n của M. Một phần tử x M∈ được gọi là thuần nhất nếu : nn x M∃ ∈ ∈ (x có bậc là n, kí hiệu ( )deg x n= ). Mọi y M∈ đều được viết duy nhất dưới dạng tổng hữu hạn 15 ,n n n n y y M ∈ ∈∑  , nhưng với một số hữu hạn 0ny ≠ . Những thành phần khác không ny được gọi là các thành phần thuần nhất của y. Mệnh đề 1.12.4 Cho R là một vành phân bậc và cho M là một R-môđun phân bậc. Khi đó: i) Với mọi môđun con N của M, thì N 1à một R-môđun phân bậc với n nN N∈= ⊕  , ở đây n nN N M=  với mọi n∈ . ii) Với mọi môđun con N của M, thì M N là một R-môđun phân bậc với ( )n nM N M N∈= ⊕  , ở đây ( ) ( )nnM N N M N= + với mọi n∈ . iii) Một iđêan phân bậc của R là iđêan I R⊆ , được phân bậc như là một môđun con của R. Định nghĩa 1.12.5 Cho R là một vành phân bậc, M là một R-môđun phân bậc và r∈ . Với mọi n∈ đặt ( ) n rnM r M += . Khi đó, ( ) ( )n nM r M r∈= ⊕  là một R- môđun phân bậc. R-môđun ( )M r được gọi là sự xê dịch thứ r của M. Nếu N M⊆ là một môđun con phân bậc của M, thì ( )N r là một môđun con của ( )M r và ( )( ) ( ) ( )M N r M r N r= . Mệnh đề 1.12.6 Cho R là một vành phân bậc không âm. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: i) R là Noether. ii) 0R là Noether và iđêan R+ của R là hữu hạn sinh. iii) 0R là Noether và R là một 0R -đại số hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.12.7 Nếu R là một vành phân bậc không âm và M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh thì 0nM = với mọi 0n  . 16 Mệnh đề 1.12.8 Cho n nX X∈= ⊕  là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, với mọi n∈ , nX là một 0R -môđun hữu hạn sinh. Hơn thế nữa nếu 0 tR X+ = với t∈ , thì 0n nX X− = = với n đủ lớn. Mệnh đề 1.12.9 Nếu R là một vành phân bậc thuần nhất và M là hữu hạn sinh, khi đó các mệnh đề sau là tương đương: i) Tồn tại 0r∈ sao cho ( ) 0 rR M+ = . ii) 0nM = với mọi 0n  . iii) M là một R+ -xoắn. Định nghĩa 1.12.10 Cho R và 'R là các vành phân bậc . Cho : 'f R R→ là một đồng cấu vành. Chúng ta nói f là đồng cấu thuần nhất (phân bậc) nếu ( ) 'n nf R R⊆ với mọi n∈ . Định nghĩa 1.12.11 Một R-môđun phân bậc X được gọi là một môđun minimax, nếu tồn tại một môđun con phân bậc hữu hạn sinh 'X của X , sao cho 'X X là một môđun Artin. Định nghĩa 1.12.12 Cho :f A B→ là một đồng cấu vành. Nếu A-môđun B cảm sinh từ f là dẹt, trung thành thì f được gọi là đồng cấu dẹt, trung thành. Mệnh đề 1.12.13 Cho X là một R -môđun minimax phân bậc, ( )0 0,mR là địa phương. Nếu X là R+ -xoắn, khi đó R-môđun ( )0 0 0 ,mRjTor R X và ( )0m jH X là Artin với mọi 0j∈ . 1.13 Môđun cofinite tương ứng với một iđêan Một R-môđun M được gọi là I-cofinite nếu ( ) ( )Supp M V I⊂ và ( ),iRExt R I M là hữu hạn sinh với 0i ≥ . Dễ thấy nếu R là một vành Noether giao hoán và M là một R-môđun hữu hạn sinh sao cho ( ) ( )Supp M V I⊆ thì khi đó M là I-cofinite. 17 Chương 2 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Trong chương này, trước hết tôi sẽ trình bày một số khái niệm liên quan về môđun đối đồng điều địa phương phân bậc . Sau đó, tôi sẽ đưa ra một số tính chất về sự ổn định tiệm cận của tập ( )( ) 0 i R R n Ass H M N + , trong một vài trường hợp đặc biệt. 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Định nghĩa 2.1.1 Cho 0 ii R R ≥ = ⊕ là một vành giao hoán Noether phân bậc 1 0≠ , M và N là hai R-môđun  -phân bậc hữu hạn sinh .Cho 0 ii R R+ >= ⊕ là iđêan phân bậc thực sự của R. Khi đó với mọi i∈ thì môđun ( ) ( ) 0 , : lim / ,i i nR R n H M N Ext M R M N + + ∈ =   là một R-môđun phân bậc. ( ),iRH M N+ được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc của M, N tương ứng với I. Ta có ( ) ( ), ,i iR R nnH M N H M N+ +∈= ⊕ Tính chất 2.1.2 Cho 0 ii R R ≥ = ⊕ là một vành giao hoán Noether phân bậc, M và N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh và I là một iđêan phân bậc của R. Khi đó: i) Luôn có một đẳng cấu thuần nhất tự nhiên ( ) ( )( )0 , ,I I RH M N Hom M N≅ Γ . 18 ii) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và NJ là một phép giải nội xạ rút gọn của R-môđun N. Khi đó ( ) ( )( )( ) ( )( )( ), , , .i i N i NI I R R IH M N H Hom M J H Hom M J≅ Γ ≅ Γ iii) Với mọi t∈ , ta có các môđun phân bậc ( )( ) ( )( ), ,i iI IH M N t H M N t≅ . iv) Từ dãy khớp ngắn của các R-môđun phân bậc 0 0X Y Z→ → → → ( trong ( )*C R ) ta luôn có dãy khớp dài của các R-môđun phân bậc và các đồng cấu thuần nhất ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 10 , , , , ...I I I IH M X H M Y H M Z H M X→ → → → → và ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 10 , , , , ...I I I IH Z N H Y N H X N H Z N→ → → → → v) Cho : 'f R R→ là một đồng cấu vành dẹt trung thành .Khi đó ta có đẳng cấu của các 'R -môđun ( ) ( )' ', ' , ' t t R R RnR R R H M R N R H M N R + + ⊗ ⊗ ≅ ⊗ với mọi 0t∈ . vi) Nếu N là R-môđun 0m -xoắn, khi đó với mọi 0i∈ ta có ( ) ( ), ,mi iRH M N H M N+ ≅ , với 0m=m R++ là iđêan phân bậc tối đại duy nhất của R. Định nghĩa 2.1.3 Nếu n nT T∈= ⊕  là một R-môđun phân bậc, chúng ta nói rằng T là thuần hóa nếu tồn tại số 0n ∈ sao cho hoặc 0nT = với 0n n≤ hoặc 0nT ≠ với 0n n≤ . Rõ ràng, mọi R-môđun Artin và mọi R-môđun Noether đều thuần hóa. 19 Định nghĩa 2.1.4 Nếu ( )n nT ∈ là một họ các R-môđun, chúng ta nói rằng tập ( ) 0R n Ass T là ổn định tiệm cận với n→−∞ nếu có 0n ∈ sao cho ( ) ( )0 0 0R n R nAss T Ass T= với mọi 0n n≤ . 2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập ( ) 0 ,iR R nAss H M N+ Trong phần này của luận văn, ta xét 0 ii R R ≥ = ⊕ là một vành Noether phân bậc, M và N là hai R-môđun  -phân bậc hữu hạn sinh và 0 ii R R+ >= ⊕ là iđêan phân bậc thực sự của R. Nếu ( )( )0 ,iR R nAss H M N+ là ổn định tiệm cận khi n→−∞ thì ta có ( ),iRH M N+ là thuần hóa, và hơn thế nữa tập ( )( ),iR RAss H M N+ là tập hữu hạn. Vì vậy ta sẽ xét tính ổn định tiệm cận của tập ( )( )0 ,iR R nAss H M N+ khi n→−∞ trong một số trường hợp cụ thể sau: Bổ đề 2.2.1 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của vành Noether R. Khi đó, với N là một R-môđun I-xoắn bất kì, ta có ( ) ( ), ,i iI RH M N Ext M N≅ với mọi 0i ≥ . Hơn thế nữa, nếu N là hữu hạn sinh, thì ( ),iIH M N là hữu hạn sinh với mọi 0i ≥ . Chứng minh: Vì N là một R-môđun I-xoắn nên theo [7, 2.1.6] có một phép giải nội xạ rút gọn NJ của N mà mỗi thành phần đều là các R-môđun I-xoắn 0 10NJ J J→ → →: ... Áp dụng hàm tử ( )IΓ • với NJ , ta có ( ) 0 10N NI J J J JΓ ≡ → → →: ... vẫn là một phép giải nội xạ rút gọn của N. Do đó ( )( )( ) ( ), ,i N iR I RH Hom M J Ext M NΓ ≅ 20 với mọi 0i ≥ , và theo mệnh đề 2.1.2(ii) ta có ( ) ( ), ,i iI RH M N Ext M N≅ với mọi 0i ≥ . Tiếp theo, ta chứng minh ( ),iIH M N là hữu hạn sinh với mọi 0i ≥ nếu N là hữu hạn sinh. Thật vậy, vì M là hữu hạn sinh nên ta giả sử 1 2, ,..., kM x x x= Khi đó, ta đặt 0 1 k F R= ⊕ 0 0: i i d F M e x →  0 0kerK d= (với ie là một phần tử trong cơ sở của 0F ) nên ta có dãy khớp 0 00 0.K F M→ → → → Mà 0 0K F⊂ nên 0K là hữu hạn sinh (do R là vành Noether). Lập luân tương tự như trên, ta xây dựng được một phép giải tự do của M 0 1 10 ... ...i iM F F F F−← ← ← ← ← ← ← trong đó iF là các R-môđun tự do với cơ sở là hữu hạn. Áp dụng hàm tử ( ),Hom N• vào phép giải trên, ta có ( ) ( )0 10 , , ...Hom F N Hom F N→ → → Vì iF là tự do và có cơ sở hữu hạn nên ( ),iHom F N N≅ ⊕ (tổng hữu hạn) là hữu hạn sinh với mọi 0i ≥ . Do đó ta có ( ),iRExt M N là hữu hạn sinh với mọi 0i ≥ . Và vì vậy, từ chứng minh trên ta có ( ),iIH M N là hữu hạn sinh với mọi 0i ≥ .  Mệnh đề 2.2.2 Cho R là vành phân bậc Noerther thuần nhất, N là một R-môđun R+ -xoắn phân bậc hữu hạn sinh và cho 0i∈ . Khi đó, với mọi R-môđun M phân 21 bậc hữu hạn sinh, thì ( ),iR nH M N+ là 0R -môđun hữu hạn sinh và chỉ có hữu hạn ( ),iR nH M N+ có thể khác 0. Chứng minh: Vì N là môđun R+ -xoắn phân bậc hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 1.12.9, tồn tại số nguyên 0n ∈ sao cho ( ) 0 0nR N+ = . Do đó ( )0 , 0n iRR Ext M N+ = . Bây giờ, với mọi 00,1,..., 1j n= − , ta có ( ) ( )1, ,j i j iR RR Ext M N R Ext M N++ + là một R R+ -môđun Noether, và vì vậy nó là 0R -môđun Noether. Từ đó suy ra ( ),iRExt M N là một 0R -môđun Noether. Thật vậy, ta có ( )0 1 ,n iRR Ext M N−+ là 0R -môđun Noether, từ dãy khớp ngắn ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 2 1 0 , , , , 0 n ni i R R n ni i R R R Ext M N R Ext M N R Ext M N R Ext M N − − + + − − + + → → → → suy ra ( )0 2 ,n iRR Ext M N−+ là 0R -môđun Noether. Tiếp tục quá trình như trên, ta có ( ),iRExt M N là 0R -môđun Noether. Do đó, ta có ( ),iR nExt M N là một 0R -môđun Noether hữu hạn sinh với mọi n∈ và chỉ có hữu hạn ( ),iR nExt M N có thể khác 0. Theo bổ đề 2.2.1, ta có ( ) ( ), ,i iR RH M N Ext M N+ +≅ , nên ta có điều cần chứng minh.  Định lí 2.2.3 Cho M, N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó: i) Với mọi 0i∈ và với mọi n∈ , 0R -môđun ( ),iR nH M N+ là hữu hạn sinh. ii) Với mọi 0i∈ , tồn tại ir ∈ sao cho ( ), 0iR nH M N+ = với mọi 0i∈ và với mọi in r≥ . Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng cách qui nạp theo i. 22 * Trường hợp 0i = , ta có ( ) ( )( )0 0, ,R R RH M N H Hom M N+ +≅ ( )( ),R RHom M N+≅ Γ , mà ( )( ),R RHom M N+Γ là R-môđun con của R-môđun ( ),RHom M N nên ( )( ),R RHom M N+Γ cũng là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Vì vậy ( )( ),R RHom M N+Γ là R-môđun R+ -xoắn phân bậc hữu hạn sinh, theo mệnh đề 1.12.9 tồn tại số nguyên 0n ∈ sao cho ( ) ( )( ) 0 , 0n R RR Hom M N++ Γ = . Chứng minh tương tự như mệnh đề 2.2.2, ta có với mọi n∈ , 0R -môđun ( )0 ,R nH M N+ là hữu hạn sinh và chỉ có hữu hạn ( )0 , 0R nH M N+ ≠ . Do đó định lí đã đúng với 0i = . * Giả sử 0i > , và định lí đúng với mọi j i< . * Ta chứng minh định lí đúng với i. Thật vậy, từ dãy khớp ( ) ( )0 0R RN N N N+ +→Γ → → Γ → ta có dãy khớp ( )( ) ( ) ( )( )... , , , ...i i iR R R R RH M N H M N H M N N+ + + + +→ Γ → → Γ → của các 0R -môđun. Theo mệnh đề 2.2.2, ta có ( )( ), 0iR R nH M N+ +Γ = với 0n  , nên từ dãy khớp dài trên ta có ( ) ( )( ), ,i iR R Rn nH M N H M N N+ + +≅ Γ với 0n  . Do đó, với mục đích của bước qui nạp này, chúng ta có thể thay thế N bởi ( )RN N+Γ . Và như thế, ta có thể giả sử N là R+ -không xoắn, nên theo mệnh đề 1.10.4 R+ là chứa một ước khác không của N . Khi đó, nếu 0N ≠ thì N R N+≠ . Vì thế, theo [7, 15.1.4 (i)], tồn tại một phần tử thuần nhất a R+∈ , sao cho a không là ước của không trên N. Gọi t là bậc của a. Bây giờ, từ dãy khớp ( ) ( )( )0 0aN N t N aN t→ → → → chúng ta có dãy khớp ( ) ( ) ( )1 , , ,ai i iR R Rn t n n tH M N aN H M N H M N+ + + − + + → → 23 của các 0R -môđun với mọi n∈ . Theo giả thiết qui nạp, tồn tại s∈ sao cho ( )1 , 0iR nH M N aN+ − = với mọi n s≥ . Nên với mọi n s t≥ − , ta có dãy khớp ( ) ( )0 , ,ai iR Rn n tH M N H M N+ + +→ → Mà ( ),iRH M N+ là R+ -xoắn và a R+∈ nên ( ), 0 i RaH M N+ = . Vì vậy, ta suy ra ánh xạ nhân a trong dãy khớp trên là ánh xạ không. Do đó chúng ta có ( ), 0iR nH M N+ = với mọi n s t≥ − . Mặt khác, theo giả thiết qui nạp ta lại có ( )1 ,iR jH M N aN+ − là một 0R -môđun hữu hạn sinh với mọi j∈ . Cố định n∈ và cho 0k∈ sao cho n kt s t+ ≥ − , theo chứng minh trên ta có ( ), 0iR n ktH M N+ + = . Bây giờ, với mỗi 0,1,..., 1j k= − , có một dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , ,ai i iR R Rn j t n jt n j tH M N aN H M N H M N+ + + − + + + + + → → của các 0R -môđun, và ( ) ( ) 1 1 ,iR n j tH M N aN+ − + + là hữu hạn sinh trên 0R . Khi 1j k= − , ta có ( ) ( ) ( )1, , 0 i i R Rn j t n ktH M N H M N+ ++ + += = . Khi đó, ta có dãy khớp ( ) ( ) ( ) 1 1 , , 0.i iR Rn kt n k tH M N aN H M N+ + − + + − → → Do đó, chúng ta có ( ) ( )1, i R n k tH M N+ + − đẳng cấu với môđun thương của ( )1 ,iR n ktH M N aN+ − + , suy ra ( ) ( )1, i R n k tH M N+ + − là hữu hạn sinh trên 0R . Tiếp tục quá trình trên, ta có ( ),iR n jtH M N+ + là hữu hạn sinh trên 0R , với 1, 2,...,1,0j k k= − − . Vì vậy ( ),iR nH M N+ là hữu hạn sinh trên 0R và bước qui nạp được hoàn thành.Và như vậy định lí đã được chứng minh.  Định lí 2.2.4 Giả sử 0 1[ ]R R R= và 0R là vành địa phương. Đặt 0i∈ sao cho R- môđun ( ),jRH M N+ là hữu hạn sinh với mọi j i< . Khi đó ( )( )0 , i R R nAss H M N+ là ổn định tiệm cận khi n →−∞ . 24 Chứng minh: Gọi 0m là iđêan tối đại của 0R . Ta đặt [ ] [ ]0 ' 0 0: m R xR R x= , ở đây x là một xác định. Khi đó, '0R là một 0R -đại số địa phương Noether dẹt trung thành với iđêan tối đại là ' '0 0 0m m R= . Đặt ( )0 00' '0 0' : ,R R nnR R R R R∈= ⊗ = ⊕ ⊗ do đó 'R là một vành thuần nhất phân bậc, như một R-đại số dẹt trung thành và ' 'R R R+ += . Hơn thế nữa, nếu n nL L∈= ⊕  là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh thì 0 0 ' ' 0 0' ' R R n R nL R L R L R L∈= ⊗ = ⊗ = ⊕ ⊗ là 'R -môđun phân bậc hữu hạn sinh [4, 3.2 (B)]. Do đó, theo tính chất 2.1.2(v) và '0R là 0R -môđun dẹt trung thành nên ta có đẳng cấu của các '0R -môđun ( ) ( )' 0 ' 0', ' , t t Rn nR R H M N H M N R + + ≅ ⊗ với mọi 0t∈ và mọi n∈ . Do đó, ta có ' 0R -môđun ( )' ', 'j nRH M N+ là hữu hạn sinh với mọi j i< và ( )( ) ( )( ){ },'0 0' '0 0 0, ', 'p pi iR n nR R RAss H M N R Ass H M N+ += ∈ với mọi n∈ [12, 23.2(ii)]. Và vì thế ( )( )0 ,iR R nAss H M N+ là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi ( )( )' ' 0 ', 'i nR RAss H M N+ là ổn định tiệm cận. Mặt khác, ta lại có trường thặng dư của '0R đẳng cấu với ( )( )0 0mR x là vô hạn. Từ đó, chúng ta có thể thay R, M, N tương ứng bởi ', ', 'R M N và do đó chúng ta có thể giả sử rằng 0 0mR là vô hạn. Bây giờ, chúng ta chứng minh định lí bằng cách qui nạp theo i. * Trường hợp 0i = , ta có ( ) ( )( )0 , , 0R Rn nH M N Hom M N+ +≅ Γ = với 0n  . Do đó ta có điều cần chứng minh. * Xét trường hợp 0i > và giả sử định lí đúng với mọi 1j i≤ − . * Ta chứng minh định lí đúng với i . Thật vậy, ta xét dãy khớp sau ( ) ( )0 0R RN N N N+ +→Γ → → Γ → 25 ta đạt được dãy khớp ( )( ) ( ) ( )( ), , ,i i iR R R R Rnn nH M N H M N H M N N+ + + + +Γ → → Γ của các 0R -môđun với mọi n∈ . Theo bổ đề 2.2.1, ( )( ), 0iR R nH M N+ +Γ = với 0n  . Do đó, từ dãy khớp trên ta có ( ) ( )( ), ,i iR R Rn nH M N H M N N+ + +≅ Γ khi 0n  , nên theo mục đích của bước qui nạp này, chúng ta có thể thay thế N bởi ( )RN N+Γ . Vì vậy ta có thể giả sử N là R+ -không xoắn suy ra R+ chứa một ước khác không của N, nên theo [9, 15.1.4 (ii)] tồn tại 1a R∈ sao cho nó không là ước của 0 trên N. Ta xét dãy khớp ngắn ( ) ( )( )0 1 1 0aN N N aN→ → → → chúng ta có được dãy khớp ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1, 1 , 1 , , 1at t t tR R R RH M N H M N aN H M N H M N+ + + + − −→ → → với mọi t∈ và với mọi n∈ . Từ dãy khớp dài trên, ta có ( )1 ,jRH M N aN+ − là hữu hạn sinh với mọi 1j i< − . Vì vậy, theo giả thiết qui nạp tồn tại 1n ∈ sao cho ( )( ) ( )( )0 0 11 1, , :i iR R R Rn nAss H M N aN Ass H M N aN B+ +− −= = với mọi 1n n≤ . Mặt khác, vì ( )1 ,iRH M N+ − là môđun hữu hạn sinh nên ta có 2 1n n< sao cho ( )1 1, 0 i R nH M N+ − + = với mọi 2n n≤ . Do đó, với mọi 2n n≤ , từ dãy khớp bên trên chúng ta có dãy khớp ( ) ( ) ( )1 1 10 , , , i i i R R Rn n nH M N aN H M N H M N+ + + − + + → → → của các 0R -môđun. Từ đó, ta suy ra ( )( ) ( )( )0 0 1, ,i iR R R Rn nB Ass H M N B Ass H M N+ + +⊆ ⊆  với mọi 2n n≤ . Vì vậy 26 ( )( ) ( )( )0 0 1, ,i iR R R Rn nB Ass H M N Ass H M N+ + +⊆ ⊆ với mọi 2n n< . Vì B và ( )( )0 ,iR R nAss H M N+ là một tập hữu hạn nên ( )( )0 , i R R nAss H M N+ là ổn định tiệm cận khi n →−∞ .  Chú ý 2.2.5 Cho M và N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, chúng ta có thể xem chiều hữu hạn của M và N liên quan với R+ là số nhỏ nhất của tập các chỉ số i∈ sao cho ( ),iRH M N+ không là hữu hạn sinh. Kí hiệu là ( ),Rf M N+ . Khi các 0R -môđun ( ),iR nH M N+ là hữu hạn sinh với mọi 0i∈ , với mọi n∈ và triệt tiêu khi 0n  (như trong định lí 2.2.3), chúng ta có thể viết ( ) ( ){ }{ } ( ){ }{ } 0 0 , : inf # 0 , 0 inf # , 0 i R R n i R n f M N i n H M N i n H M N + + + = ∈ ≤ ≠ = ∞ = ∈ ∈ ≠ = ∞    Định lí 2.2.6 Giả sử [ ]0 1R R R= và ( ),Rf f M N+= . Khi đó ( )( )0 ,fR R nAss H M N+ là ổn định tiệm cận khi n→−∞ . Chứng minh: Vì ( ),fRH M N+ là một môđun R+ -xoắn, nên chúng ta có ( ) ( ),fR RAss H M N V R+ +⊆ . Thật vậy, ta có ( )( ) ( ) ( ), , :p p=f fR R RAss H M N x H M N Ann x+ +∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ Mặt khác, vì mọi phần tử của ( ),fRH M N+ đều bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của R+ nên ( ): 0 p nn R x R+ +∃ ∈ = ⇒ ⊆ . Mà p là iđêan nguyên tố, suy ra p p= . Vì vậy ( )p pR V R+ +⊆ ⇒ ∈ . Từ đó có một song ánh giữa ( )( ),fR RAss H M N+ và ( )( )0 ,fR R nn Ass H M N+∈ (bởi 0p p R  ). Theo [1], ta có ( )( ),fR RAss H M N+ là hữu hạn, vì vậy tập hợp ( )( )0: ,fR R nnA Ass H M N+∈=  cũng hữu hạn. Cho 0p A∈ . Khi đó áp dụng tính 27 chất 2.1.2 (v) với ( ) 0 0' pR R= , ta có ( ) ( )0 00 ,p p p j R H M N + là hữu hạn sinh với mọi j f< . Hơn thế nữa, với mọi n∈ ta có ( )( )00 ,p fR R nAss H M N+∈ nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 0 00 0 ,p p p ppp f R R n R Ass H M N +  ∈     . Vì vậy áp dụng định lí 2.2.4 với các 0p R - môđun hữu hạn sinh 0p M và 0p N , chúng ta có điều phải chứng minh.  Chú ý 2.2.7 Cho M và N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Chúng ta định nghĩa chiều dài hữu hạn đồng điều suy rộng của N tương ứng với M như sau ( ) ( ){ }{ }00, inf # ,iR R ng M N i n l H M N+= ∈ ∈ = ∞ = ∞  Cho M, N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, ta có: i) ( ), 0g M N > . ii) Nếu ( ),i g M N< , thì tồn tại r∈ sao cho ( ) 0 ,iR R nl H M N+ < ∞ với mọi n r≤ . iii) Gọi x R+∈ là một phần tử thuần nhất sao cho ( ) ( )0 : 0 :R N Nx x+Γ = . Khi đó ( ) ( ), , 1g M N xN g M N≥ − . iv) Cho x là một phần tử xác định. Ta đặt [ ] [ ]0 ' 0 0: m R xR R x= , '' 0 0 0m m R= , ( )0 00' '0 0' : ,R n RnR R R R R∈= ⊗ = ⊕ ⊗ ( )0 0' '0 0' : ,R n n RM M R M R∈= ⊗ = ⊕ ⊗ và ( )0 0' '0 0' : .R n n RN N R N R∈= ⊗ = ⊕ ⊗ Khi đó ( ) ( ), ', 'g M N g M N= , và với mọi R-môđun Artin Y thì 'R -môđun 0 ' 0 RR Y⊗ là Artin. Chứng minh: i) Dễ dàng ta thấy i) đúng. ii) Ta chứng minh bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử với i bất kì ta có với mọi r∈ thì tồn tại n r> sao cho ( ) 0 ,iR R nl H M N+ = ∞ . Suy ra 28 ( ){ }0# ,iR R nn l H M N+∈ = ∞ = ∞ . Do đó, theo định nghĩa ta có ( ),i g M N≥ (!). iii) Theo giả thiết ( ) ( )0 : 0 :R N Nx x+Γ = nên ( ) ( ),0 : ,0 : i R N NH M x Ext M x+ ≅ . Từ đó tồn tại r∈ sao cho ( ),0 : 0iR N nH M x+ = với mọi n r≤ và mỗi ( ),i g M N≤ . Do đó, nếu đặt ( )deg x t= , thì từ hai dãy khớp ngắn ( )0 0 : 0xN x N xN→ → → → và 0 0xN N N xN→ → → → kết hợp với tính chất của hàm tử ( ),iRH M+ • , chúng ta nhận được dãy khớp sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, , , , , , xi i i R R Rn n t n t xi i i R R Rn n t n t H M N H M N H M N xN H M N H M N H M N xN + + + + + + − − − + + + + → → → → → với mọi n r≤ và với mọi ( ), 1i g M N≤ − . Vì vậy, theo ii) ta có ( ) ( ), , 1g M N xN g M N≥ − . iv) Cho n∈ . Khi đó, theo [13, 1.9 và 1.6] ( ),iR nH M N+ là 0m -cofinite khi và chỉ khi ( ),iR nH M N+ là Artin. Mặt khác, từ tính chất 2.1.2 (v) ta có ( ) ( )' 0 '0', ' , i i R Rn nR H M N H M N R ++ ≅ ⊗ nên ( ),iR nH M N+ là 0m -cofinite khi và chỉ khi ( )' ', ' i nR H M N + là '0m -cofinte. Do đó ( ),iR nH M N+ là Artin khi và chỉ khi ( )' ', ' i nR H M N + là Artin. Vì vậy ( )( )0 ,iR R nl H M N+ < ∞ khi và chỉ khi ( )( )' '0 ', 'i nR Rl H M N+ < ∞ . Suy ra ( ) ( ), ', 'g M N g M N= . Ta lại có R-môđun Artin Y nên 'R -môđun 0 ' 0 RR Y⊗ là Artin theo [6, 2.1 (C)]. 29 Bổ đề 2.2.8 Cho M, N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, vành cơ sở 0R là địa phương với iđêan tối đại là 0m và ( ),i g M N≤ . Khi đó ( )( )0 0 ,m R RH M N+Γ là Artin. Chứng minh: Chúng ta chứng minh bổ đề trên bằng phương pháp qui nạp theo i. * Trường hợp 0i = , ta có ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 , , ,m mR R R RH M N Hom M N Hom M N≅ Γ ⊆ nên ( )( ) 0 ,m R RHom M NΓ là hữu hạn sinh. Hơn thế nữa ( )( )0 0 ,m R RH M N+Γ là R- môđun 0m R -xoắn nên được linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của 0m R . Do đó ( )( )0 0 ,m R RH M N+Γ có độ dài hữu hạn. Và vì vậy ( )( )0 0 ,m R RH M N+Γ là Artin. * Ta xét trường hợp ( )0 ,i g M N< ≤ và giả sử bổ đề đúng với mọi 1j i≤ − . * Ta sẽ chứng minh bổ đề đúng với trường hợp ( ),i g M N= . Thật vậy, từ dãy khớp ngắn ( ) ( )0 0R RN N N N+ +→Γ → → Γ → ta có dãy khớp dài ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 , , , , i i R R R i i R R R R H M N H M N H M N N H M Nη + + + + + + + + Γ → → Γ → Γ Do đó, theo mệnh đề 2.2.2 ta có ( ) ( )( ), ,i iR R Rn nH M N H M N N+ + +≅ Γ với vô hạn n∈ . Nên ( ) ( )( ), , :Rg M N g M N N g+= Γ = . Từ dãy khớp trên, ta lại có hai dãy khớp ngắn sau ( )0 ker , Im 0iRH M Nη η+→ → → → và ( )( )0 Im , coker 0iR RH M N Nη η+ +→ → Γ → → Áp dụng hàm tử ( ) 0m R Γ • vào hai dãy khớp ngắn trên, ta có 30 ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 010 ker , Im kerm m m miR R R R RH M N Hη η η+→Γ →Γ →Γ → và ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 Im , coker Im m m m m i R R R R R R H M N N H η η η + + →Γ →Γ Γ →Γ → Mặt khác, theo mệnh đề 2.2.2 ta có ( )( ),iR RH M N+ +Γ là hữu hạn sinh và bị linh hóa bởi một lũy thừa của R+ . Do đó ( )( ),iR RH M N+ +Γ có độ dài hữu hạn nên nó là Artin với mọi i g≤ . Suy ra kerη là Artin. Nên theo hai dãy khớp dài trên ta thấy rằng nếu ( )( )( )0 ,m iR R RH M N N+ +Γ Γ là Artin với mọi i g≤ thì ( )( )0 ,m iR RH M N+Γ là Artin với mọi i g≤ . Vì thế chúng ta có thể thay thế N bởi ( )RN N+Γ và vì vậy ta có thể giả sử rằng N là R+ -không xoắn. Theo mệnh đề 1.9.4, chúng ta nhận được một phần tử N-chính qui x R+∈ . Bây giờ, ta xét dãy khớp ngắn 0 0xN N N xN→ → → → ta đạt được dãy khớp dài ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , ,x xi i i i iR R R R RH M N H M N H M N xN H M N H M N+ + + + + − − −→ → → → và do đó, ta cũng nhận được dãy khớp dãy khớp ngắn ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 ,0 , , , 0 : 0iRi i iR R R H M NH M N xH M N H M N xN x+ + + +− − −→ → → → Từ dãy khớp vừa nhận được ở trên, ta lại nhận được dãy khớp ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 , 0 , , , 0 : , , ... m m m mi R i i i R R R R R i i R R R RH M N H M N xH M N H M N xN x H H M N xH M N + + + + ++ − − − − − →Γ →Γ →Γ → → Vì i g≤ , theo chú ý 2.4.8 (iii), ta có ( )1 1 ,i g g M N xN− ≤ − ≤ . Nên theo giả thuyết qui nạp ( )( )0 1 ,m iR RH M N xN+−Γ là Artin. Mặt khác, theo [7, 13.1.10] ta có 31 ( ) ( )( )01 1 1, ,m i iR R RH H M N xH M N+ +− − ≅ ( ) ( )( )( )01 1 1, ,m i in R R nH H M N xH M N+ +− −∈⊕  Và vì i g≤ , tập hợp ( )( ){ }0 1 ,iR R nA n l H M N+−= = ∞ là hữu hạn. Do đó ( ) ( )( )01 1 1, ,m i iR R RH H M N xH M N+ +− − là một tổng trực tiếp hữu hạn của các 0R -môđun Artin ( ) ( )( )( )01 1 1, ,m i iR R nH H M N xH M N+ +− − , nên ( ) ( )( )01 1 1, ,m i iR R RH H M N xH M N+ +− − là một R-môđun Artin. Từ dãy khớp dài trên ta lại có ( )( ) ( )( )0 0, ,0 : 0 : mm i iR R RR H M N H M Nx x+ +Γ Γ =    là R-môđun Artin. Mà ( )( )0 ,m iR RH M N+Γ là 0m R -xoắn nên nó là Rx -xoắn. Vì vậy theo bổ đề Melkersson thì R-môđun ( )( )0 ,m iR RH M N+Γ cũng là Artin.  Định lí 2.2.9 Cho M, N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, cho [ ]0 1R R R= , vành cơ sở 0R là địa phương với iđêan tối đại là 0m , và ( ),g M N < ∞ . Khi đó ( )( )0 ,gR R nAss H M N+ là ổn định tiệm cận khi n→−∞ . Chứng minh: Theo định nghĩa của ( ),g M N và nhận xét trong chú ý 2.2.5, ta có ( ){ }{ } ( ){ }{ }00 0# , # , 0i iR R Rn ni n l H M N i n H M N+ +∈ ∈ = ∞ = ∞ ⊆ ∈ ∈ ≠ = ∞    Suy ra ( ) ( ), ,f M N g M N≤ . Bây giờ, ta sẽ chứng minh định lí. * Trường hợp ( ) ( ), ,f M N g M N= , theo định lí 2.2.6 ta có điều phải chứng minh. * Trường hợp f < g . Khi đó theo chú ý 2.2.7(ii), tồn tại r∈ sao cho ( ) 0 ,iR R nl H M N+ < ∞ với mọi n r≤ . Do đó, theo tính chất 1.3.2 ta có ( ) { } 0 0 , mfR R nAss H M N+ = với mọi 0n  . 32 Đặt ( )0 0ˆ ˆ,mR là bao đủ 0m -adic của vành địa phương ( )0 0,mR và 0 0 ˆ ˆ: RM M R= ⊗ , 0 0 ˆ ˆ: RN N R= ⊗ , 0ˆ ˆ: RR R R= ⊗ . Khi đó, đồng cấu vành tự nhiện 0 0 ˆ:f R R→ là dẹt, trung thành theo [2, 10.14]. Vì vậy, theo tính chất 2.1.2 (v), ta có đẳng cấu ( ) ( )0 0ˆ0ˆ ˆ ˆ, ,i iR R R Rn nH M N R H M N+ +⊗ ≅ Từ đó, ta có 0Rˆ -môđun ( )ˆ ˆ ˆ,jR nH M N+ là hữu hạn sinh với mọi j i< và ( )( ) ( )( ){ },0 0ˆ0 0 0 ˆ ˆˆ ˆ, ,p pi iR nR R R nAss H M N R Ass H M N+ += ∈ với mọi n∈ [15, 23.2(ii)]. Và vì thế ( )( )0 ,iR R nAss H M N+ là ổn địn