Luận văn Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

) . (1.46) 20 Giả sử (1.27) thỏa mãn, tức là ta có (1.43). Vế trái và vế phải hội tụ lần lượt tới ( x 1+ ε )γ và ( x 1− ε )γ , mệnh đề thỏa mãn với mọi ε > 0, tức là lim t→∞ t −1U ( x 1−F(t) ) = xγ . (1.47) Áp dụng bổ đề 1.1.1 và (1.47), ta có kết quả của định lý lim t→∞ 1−F(t) 1−F(tx) = x 1 γ . Chứng minh định lý 1.2.2 cho γ > 0: Từ (1.28) với ε > 0, t đủ lớn, 1−F(te) 1−F(t) ≤ e ε− 1γ , do đó, 1−F(ten) 1−F(t) = n ∏ k=1 1−F(tek) 1−F(tek−1) ≤ e ( ε− 1γ ) n , với mọi x > 1, 1−F(tx) 1−F(t) ≤ 1−F(te[log x]) 1−F(t) ≤ e ( ε− 1γ ) [logx] ≤ e ( ε− 1γ ) (1+ logx) = e −1γ + ε · x− 1 γ + ε . Từ (1.28), lim t→∞ ∞∫ 1 1−F(tx) 1−F(t) dx x = ∞∫ 1 x −1γ dx x = γ, đó là (1.32). Mặt khác ∞∫ 1 1−F(x) x dx < ∞, từ tính hội tụ, giả sử rằng lim t→∞ a(t) = 1 γ 21 với a(t) := 1−F(t) ∞∫ t 1−F(x) x dx . Chú ý rằng − log ∞∫ t 1−F(x) x dx+ log ∞∫ 1 1−F(x) x dx = t∫ 1 a(x) dx x . Sử dụng định nghĩa của hàm a, ta có: 1−F(t) = a(t) ∞∫ t 1−F(x) x dx = a(t) ∞∫ 1 1−F(x) x dxexp ( − t∫ 1 a(x) x dx ) , với mọi x > 0, t→ ∞, 1−F(tx) 1−F(t) = a(tx) a(t) exp ( − x∫ 1 a(tγ)dγγ ) → exp ( − 1γ x∫ 1 dγ γ ) = x −1γ . 1.3 Hàm phân phối vượt ngưỡng Cho F là một hàm phân phối và x∗ := sup{x : F(x) < 1}. Xét u là một ngưỡng nhỏ hơn điểm bên phải x∗ của hàm F . Ta gọi F [u] là phân phối điều kiện vượt ngưỡng tại u, nếu X là một biến ngẫu nhiên với phân phối F thì: F [u](x) = P(X ≤ x|X > u) = P(X ≤ x,X > u) P(X > u) = F(x)−F(u) 1−F(u) , (x ≥ u) F [u](x) = F(x) F(u) , (x ≥ u). Với: F(x) = 1−F(x) được gọi là đuôi của phân phối F . Điểm trái của F tại u là α(F [u]) = inf{x : F [u](x) > 0}. Ta có α(F [u]) = u. 1.4 Phân phối Pareto tổng quát Ta có mối liên hệ giữa phân phối Pareto, kí hiệu là GPD và phân phối cực trị EV : W (x) = 1+ logG(x) nếu logG(x) >−1. 22 Các dạng biểu diễn của hàm phân phối GPD thông qua hàm phân phối cực trị EV ở chú ý 1.1.6 là: • Phân phối mũ GP0: W0(x) =   0, x < 0 1− e−x, x≥ 0 • Phân phối GP1, α > 0: W1,α(x) =   0, x < 1 1− x−α , x≥ 1 • Phân phối GP2, α < 0: W2,α(x) =   1, x > 0 1− (−x)−α , −1 < x≤ 0 0, x≤−1 Ta có các hàm mật độ tương ứng là: • Mật độ mũ (GP0): w0 = e−x với x≥ 0. • Pareto (GP1), α > 0: w1,α(x) = αx−(1+α) với x≥ 1. • Beta (GP2), α < 0: w2,α(x) = |α|(−x)−(1+α) với −1≤ x≤ 0. Chúng ta phải thêm vào các hàm phân phối GPD hai tham số µ và σ để có được một họ các thống kê đủ GPD, kí hiệu W1,α ,µ ,σ (x) = W1,α (x−µ σ ) . Hàm phân phối GPD được gọi là liên tục đối với phân phối F , nếu ta chọn được các hằng số bu và au thỏa mãn: F [u](bu +aux) = F(x). Ở đây F [u](x) = F(x)−F(u)1−F(u) là hàm phân phối vượt ngưỡng tại u. • Hàm phân phối vượt ngưỡng của W0 có điểm trái bằng 0, W [u]0,0,σ = W0,µ ,σ 23 • Hàm phân phối vượt ngưỡng của W1,α ,µ ,σ với µ +σ < µ : W [u]1,α ,µ ,σ = W1,α ,µ ,u−µ • Hàm phân phối vượt ngưỡng Wγ ,µ ,σ với µ 0, W [u]γ ,µ ,σ = Wγ ,u,σ+γ(u−µ) 2 4 0,5 1 2 4 0,5 1 Hình 1.2: Hình vẽ bên trái: mật độ mũ (nét đứt) và mật độ Pareto với γ = 0,5; γ = 1. Hình vẽ bên phải: mật độ mũ (nét đứt) và mật độ beta với γ = −0,3; γ =−0,5. 1 2 3 0,5 1 Hình 1.3: Hàm phân phối beta W−0,3 (nét liền) và phân phối vượt ngưỡng W [1]−0,3 = W−0,3,1,0,7 (nét đứt). 24 1.5 Hàm phân vị Nếu hàm phân phối F là liên tục và tăng ngặt trên (α(F);x∗) thì hàm F← sẽ là hàm ngược của F và để đơn giản ta kí hiệu là F−1: F−1(q) := inf{x : F(x)≥ q} (0 < q < 1). Chú ý: F−1(q) là q-phân vị của F . Khi đó, nếu Fµ ,σ là phân phối có trung bình là µ và độ lệch chuẩn σ thì: F−1µ ,σ = µ +σF−1 ở đây F = F0,1 là phân phối chuẩn. Hàm phân vị của phân phối cực trị EV với biểu diễn tham số α: • Gumbel (EV0): G−10 (q) =− log(− log(q)). • Fre´chet (EV1), α > 0: Φ−1α (q) = (− log(q))− 1 α . • Weibull (EV2), α < 0: Ψ−1α (q) =−(− log(q))− 1 α . Hàm phân vị của phân phối cực trị EV với biểu diễn tham số γ: G−1γ (q) = [ (− log(q))−γ −1 ] γ , γ 6= 0 trường hợp γ = 0 ta có hàm phân vị Gumbel là G−10 . Hàm phân vị của phân phối GPD với biểu diễn tham số α: • dạng mũ (GP0): W−10 (q) =− log(1−q), • Pareto (GP1), α > 0: W−11,α(q) = (1−q)− 1 α , • Beta (GP2), α < 0: W−12,α(q) =−(1−q)− 1 α . 25 1.6 Biểu đồ Q-Q và P-P • Biểu đồ Q-Q: Giả sử dãy dữ liệu x1,x2, ...,xn có hàm phân phối Fµ ,σ (x) = F (x−µ σ ) với các tham số trung bình µ và độ lệch chuẩn σ > 0. Kí hiệu : ˆFn(x) := 1 n ∑ i≤n I(xi ≤ x) F = F0,1 là phân phối chuẩn, thống kê thứ tự của x1, ...,xn kí hiệu là x1:n ≤ x2:n ≤ ·· · ≤ xn:n. Giá trị của hàm phân vị ˆF−1n (q) sẽ được vẽ tương ứng với F−1(q). Biểu đồ Q−Q được vẽ bởi các điểm: (F−1(qi); ˆF−1n (qi)), i = 1,n, qi = i n+1 . Vì ˆF−1n (qi) = xi:n, do đó ˆF−1n (qi)≈ F−1µ ,σ (qi) = µ +σF−1(qi). Do đó, biểu đồ Q-Q là tập các điểm: (F−1(qi);xi:n), i = 1,n. Nó sẽ xấp xỉ đồ thị (x; µ + σx). Hiển nhiên hệ số chặn và hệ số góc của biểu đồ Q-Q là ước lượng của µ và σ , thông thường chọn qi = i−0,5 n . •Biểu đồ P-P được cho bởi:( qi;F (xi:n−µn σn )) , i = 1,n ở đây µn và σn là các ước lượng. Ta có F (xi:n−µn σn ) = Fµn,σn( ˆF −1 n (qi)). 1.7 Ước lượng các mô hình cực trị • Mô hình Gumbel (EV0): Đây là một mô hình truyền thống trong phân tích giá trị cực trị. Nó được coi là mô hình chuẩn trong việc áp dụng vào các 26 lĩnh vực khác. Phân phối chuẩn Gumbel là G0(x) = exp(−e−x). Bằng cách thêm vào các tham số µ , σ có mô hình Gumbel (EV0): EV0 : {G0,µ ,σ , µ thực , σ > 0} Các giá trị ước lượng cho µ và σ : MLE (EV0): ước lượng MLEs cho µn và σn. Đầu tiên σn là nghiệm của phương trình: σn−n−1 ∑ i≤n xi + ( ∑xi exp ( − xi σ )) ( ∑exp ( − xi σ )) = 0 dùng phương pháp ước lượng bình phương tối thiểu cho σ và các giá trị ban đầu: µn =−σn log ( n−1 ∑ i≤n exp ( − xi σn )) . Moment (EV0): ước lượng µ và σ được suy từ trung bình mẫu và phương sai mẫu. Nhắc lại λ = ∞∫ 0 (− logx)e−xdx là hằng số Euler’s và Var G0 = pi2/6. σn = √ 6sn pi , µn = x−σnλ là ước lượng của µ , σ trong mô hình Gumbel. Ở đây, x là trung bình mẫu, s2n là phương sai mẫu. • Mô hình Fre´chet (EV1): Phân phối chuẩn Fre´chet với tham số α > 0 được cho bởi Φα = exp(−x−α) với x > 0. Với việc thêm tham số σ có mô hình EV1: EV1 : {G1,α ,0,σ : α,σ > 0}. Điểm α ( G[u]1,α ,0,σ ) = 0. 27 • Mô hình Weibull (EV2): Phân phối chuẩn Weibull với tham số α < 0 được cho bởi Ψα(x) = exp(−(−x)−α) với x≤ 0. Mô hình: EV2 : {G2,α ,0,σ : α > 0,σ > 0}. • Mô hình cực trị đồng nhất: Mô hình EV đồng nhất là mô hình cực đại quan trọng nhất với các tham số µ ,σ thì ta có: EV : {Gγ ,µ ,σ : µ ,γ thực ,σ > 0}. • Một số mục liên quan đến quá trình ước lượng: • MLE (EV ): Ước lượng MLE trong mô hình EV là ước lượng bằng số và là nghiệm của phương trình hợp lý. MLE xác định cực đại địa phương của phương trình hợp lý với γ >−1. • MDE (EV ): cho d là một khoảng cách trên tập các hàm phân phối thì (γn,µn,σn) là một MDE nếu d( ˆFn,Gγn,µn,σn) = infγ ,µ ,σ d( ˆFn,Gγ ,µ ,σ ) Hơn nữa, MDE được thiết lập dựa trên khoảng cách giữa các hàm mật độ. • LRSE (EV ): đây là ước lượng tổ hợp tuyến tính của tỉ số khoảng cách: rˆ = x[nq2]:n− x[nq1]:n x[nq1]:n− γ[nq0]:n ở đây q0 < q1 < q2. Thống kê này phụ thuộc vào tham số trong phân phối rˆ ≈ G −1 γ (q2)−G−1γ (q1) G−1γ (q1)−G−1γ (q0) = ( − logq2 logq0 )−γ2 . Nếu q0,q1 và q2 thỏa mãn: (− logq1)2 = (− logq2)(− logq0), từ đây ta có: γn = 2log(rˆ) log (logq0 logq1 ) 28 là ước lượng của γ . Nếu q0 = q, q1 = qa, q2 = qa 2 (0 < q,a < 1) thì: γn = log(rˆ) log ( 1 a ) =− log rˆ loga 1.8 Một số mô hình cực trị mở rộng và mối liên hệ các mô hình • Phân phối Log-Gamma và GP-Gamma: Nếu log(X) có mật độ hr ( x σ ) σ với σ > 0 và hàm hr(x) được xác định bởi hr(x) = 1 Γ(r) · xr−1 · e−x thì X có mật độ Log-Gamma: f1,r,α(x) = α r Γ(r) · (logx)r−1 · x−(1+α), (x > 1) với α = 1 σ . Ta thấy rằng phân phối Log-Gamma có các tham số r,α > 0. Nếu r = 1 thì ta có mật độ chuẩn Pareto với tham số α . Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Log - Gamma thì− 1 X có mật độ là: GP-Gamma 2 : f2,r,α(x)= |α| r Γ(r) (− log |x|)r−1(−x)−(1+α), (−1 < x < 0), α < 0. Chú ý mật độ chuẩn beta (GP2) là trường hợp đặc biệt, với r = 1. Kí hiệu mật độ gamma là f0,r. 29 Gamma exponential (GPO) log-Gamma Pareto (GP1) GP-Gamma 2 Beta (GP2) -1/X log (X) Hình 1.4: Mối liên hệ giữa các mô hình. Với r > 0 và γ 6= 0, ta có: GP-Gamma : fr,γ(x) = 1Γ(r) [log(1+ γ) γ ]r−1 (1+ γx) − ( 1+ 1γ ) . Với x > 0 và γ > 0, hoặc 0 < x < 1|γ| nếu γ < 0, mật độ fr,0 có được bởi lim γ→0 fr,γ . • Phân phối Gamma đủ và Log-Gamma đối với max: Nếu r < 1 và γ < −1 thì mật độ GP-Gamma có cực điểm tại 0 và đơn điệu giảm. Nếu r > 1 thì có một điều tương tự mật độ EV. – Mật độ gamma có đuôi trên loại mũ và gần 0 bởi trung bình của thừa số xr−1. – Log-Gamma mật độ với µ =−1 có đuôi trên loại Pareto và gần 0 bởi log(1+ x)r−1 ≈ xr−1 Vì vậy, mật độ gamma và Log-Gamma có hình dáng gần với mật độ Fre´chet nếu r > 1. • Phân phối Gamma tổng quát: Nếu X là biến ngẫu nhiên gamma với r > 0 thì X1/β là gamma tổng quát và mật độ h˜r,β (x) = β Γ(r) xβ r−1 exp(−xβ ), x≥ 0, β > 0. 30 Mô hình gamma tổng quát gồm có mô hình Weibull ngược (r = 1); β = 2 và r = 1 2 ta có phân phối nửa chuẩn. Phân phối gamma bội tổng quát bao gồm phân phối chuẩn nếu mật độ dạng: h˜r,β (|x|) 2 . • Họ hai tham số Beta: Ta có phân phối beta với hai tham số được cho bởi fa,b(x) = x a−1(1− x)b−1 B(a,b) , 0≤ x≤ 1, a,b > 0 ở đây B(a,b) = 1∫ 0 xa−1(1− x)b−1dx gọi là hàm beta. Hàmmật độ beta trong mô hình GP2 tạo nên một trường hợp đặc biệt: W1,α ,1,1 = f1,−α . 31 Chương 2 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro tài chính 2.1 Rủi ro tài chính Trong lĩnh vực tài chính những biến cố cực trị như các vụ phá sản lớn, các cuộc khủng hoảng trong kinh tế, tài chính và những cú sốc thị trường ... được nhiều người quan tâm, đặc biệt là các nhà đầu tư. Đây là lĩnh vực liên quan đến quản lý rủi ro. Trong vòng 24 năm từ 1987 đến 2011, khoảng thời gian không lớn so với tiến trình phát triển của thị trường tài chính thế giới, chúng ta đã chứng kiến nhiều sự kiện với hệ lụy dẫn tới sự đổ vỡ của các định chế, tổ chức tài chính lớn gây ra khủng hoảng tài chính quy mô khu vực cũng như toàn cầu. Bảng dưới đây liệt kê, tóm tắt các sự kiện và hậu quả đối với thị trường tài chính thế giới. Bảng 1: Sự kiện và hậu quả đối với thị trường tài chính thế giới giai đoạn 1987-2011 32 Năm Sự kiện Hậu quả 1987 Khủng hoảng thị trường Chỉ số Dow Jones giảm 31 % sau một chứng khoán thế giới tuần, thị trường chứng khoán toàn cầu sụt giảm 1990 Khủng hoảng thị trường Sự phá sản của Drexel Burnham trái phiếu Mỹ Lambert US S&L và sụp đổ thị trường jumkbond 1991 Chiến tranh vùng vịnh Giá dầu thô biến động bất thường lần thứ nhất 1994 Lãi xuất cơ bản của Mỹ Tổn thất lớn đối với các nhà đầu tư, đặc tăng cao biệt trong lĩnh vực sử dụng phát sinh và đòn bẩy 1994 Khủng hoảng tại Mexicô Thị trường Mexiccô sụp đổ kéo theo khủng hoảng thanh khoản đối với các thị trường mới nổi 1997 Khủng hoảng tài chính Khủng hoảng nợ của nhiều tổ chức tài Châu Á chính, sự đổ vỡ của thị trường cổ phiếu và tiền tệ Châu Á 1998 Khủng hoảng nợ tại Nga Khủng hoảng tại thị trường mới nổi 1998 Sụp đổ quỹ LTCM Khủng hoảng thanh khoản và tín dụng 1999 Thị trường vàng biến động Tổn thất lớn cho các quỹ phòng hộ vàng 2000 Sự mất giá của cổ phiếu Chỉ số NASDAQ giảm gần 50 % sau TMT một thời gian ngắn 33 2001 Khủng hoảng nợ của Khủng hoảng trên các thị trường mới Argentina nổi 2002 Khủng hoảng thị trường Sự phá sản của Enron, WorldCom và trái phiếu công ty Mỹ một số công ty lớn khác 2003 Chiến tranh vùng vịnh Giá dầu thô tăng kỷ lục lần thứ hai 2007 Khủng hoảng thị trường Khủng hoảng tài chính và suy giảm vay thế chấp ở Mỹ dẫn đến kinh tễ toàn cầu, lạm phát tăng cao tại sự đổ vỡ của các ngân hàng, nhiều quốc gia mất giá tiền tệ tại nhiều quốc gia 2011 Sự kiện động đất và sóng Thiệt hại ước chừng khoảng 15 ngàn tỉ thần tại Nhật Bản yên-tức là vào khoảng 3 % GDP của ngày 11/3/2011 Nhật, đồng yên và các chỉ số khác giảm mạnh như FTSE 100 (2,7 %), DAX (4,9 %) và Dow Jones (1,15 %), Nikke giảm kỷ lục 17 % trong 2 ngày. Trong lĩnh vực bảo hiểm thiệt hại từ 12-35 tỉ USD Có thể nhận thấy hai đặc điểm của các sự kiện trên: • Các sự kiện tưởng như "trăm năm mới có một lần" lại diễn ra tương đối thường xuyên, gần như hàng năm! • Ảnh hưởng tiêu cực tới thị trường tài chính ngày càng mở rộng cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Như vậy với quy mô phát triển và xu hướng toàn cầu hóa, trong quá trình vận hành, thị trường tài chính thế giới hàm chứa nhiều yếu tố bất định, rủi ro. Để hỗ 34 trợ công tác quản trị rủi ro tài chính, cần có phương pháp tiếp cận, công cụ phân tích định lượng đáng tin cậy về lý thuyết lẫn thực hành. Hiện nay, lý thuyết cực trị được sử dụng trong lĩnh vực quản lý rủi ro, đặc biệt đo lường rủi ro thị trường. Rủi ro thực chất là phản ánh tính không chắc chắn của kết quả nên người ta sử dụng phân phối xác suất để đo lường rủi ro. Lý thuyết EVT đưa ra những phương pháp để ước lượng các phân phối xác suất, đặc biệt là đuôi phân phối. Nó giúp ta đánh giá và phân tích được các độ rủi ro như giá trị rủi ro (The Value at Risk – VaR); mức tổn thất kỳ vọng (The Expected shortfall –ES); giá trị rủi ro trong đầu tư vốn (The Capital – at –Risk) là các thước đo trong nghiên cứu. 2.2 Mô hình đo lường rủi ro 2.2.1 Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽ Ta xét một nhà đầu tư (cá nhân hoặc tổ chức) nắm giữ một danh mục. Đặt t: thời điểm hiện tại, (t +1): thời điểm cuối của kỳ đầu tư (thời điểm trong tương lai), Vt , Vt+1: giá trị của danh mục tại t và (t + 1). Giá trị Vt đã biết, Vt+1 chưa biết và là biến ngẫu nhiên do đó khi nắm giữ danh mục nhà đầu tư sẽ đối mặt với rủi ro: nhà đầu tư sẽ bị thua lỗ (tổn thất) nếu Vt+1 < Vt và mức thua lỗ: X = Vt+1−Vt cũng là biến ngẫu nhiên. Vấn đề đặt ra là: • Có thể tìm ra một thước đo chung, khái quát (độ đo rủi ro), một chỉ tiêu định lượng vừa thể hiện mức độ rủi ro của danh mục (mức thua lỗ) – bất kể nguồn gốc phát sinh (biến động của thị trường, tỷ giá, lãi suất, vỡ nợ. . . ) – vừa thuận tiện cho yêu cầu giám sát, quản trị? • Độ đo rủi ro cần phải đáp ứng những yêu cầu cơ bản nào (những tiên đề) để phù hợp logic và thực tiễn? Vào giữa những năm 90 của thế kỷ trước, P. Artzner, F. Delbaen, D. Heath và một số tác giả khác (tham khảo trong [1], [2]) đã nghiên cứu vấn đề trên và đề xuất một mô hình lý thuyết về độ đo rủi ro và được gọi là “Độ đo rủi ro chặt chẽ” để đo lường rủi ro của danh mục. Hoạt động của thị trường tài chính diễn ra trong môi trường bất định, môi trường này được mô hình hóa bởi không gian xác suất (Ω,F ,P). Gọi X0 là tập các biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắc chắn 35 trong không gian trên. Cho X ⊆ X0 là một nón lồi. Các nhà đầu tư tham gia thị trường thông qua việc nắm giữ danh mục. Rủi ro tài chính của việc nắm giữ danh mục biểu hiện bởi mức thua lỗ tiềm ẩn sau kỳ đầu tư và được mô hình hóa bởi biến ngẫu nhiên X ∈X . Định nghĩa 2.2.1. Độ đo rủi ro chặt trẽ của danh mục: Ánh xạ ρ : X → R gọi là độ đo rủi ro của danh mục. Danh mục với mức thua lỗ X có mức rủi ro ρ(X). Trong quản trị, giám sát rủi ro có thể xem ρ(X) như khoản dự phòng, khoản thế chấp ... Định nghĩa 2.2.2. Độ đo rủi ro ρ(X) gọi là độ đo rủi ro chặt chẽ nếu thỏa mãn các điều kiện (tiên đề) sau: T1: Bất biến theo phép tịnh tiến: Với mọi X ∈X , với mọi a ∈ R: ρ(X +a) = ρ(X)−a. T2: Cộng tính dưới: Với mọi X1,X2 ∈X ta có: ρ(X1 +X2)≤ ρ(X1)+ρ(X2). T3: Thuần nhất dương: Với mọi X ∈X và với mọi λ > 0: ρ(λ X) = λ ρ(X). T4: Đơn điệu tăng: Với X1,X2 ∈ X mà X1 ≤ X2 hầu chắc chắn, ta có: ρ(X1)≤ ρ(X2). Ta có thể giải thích tính logic của các tiên đề như sau: T1: Với danh mục có độ rủi ro ρ(X), khi bổ sung tài sản phi rủi ro có giá trị a thì mức độ rủi ro của danh mục giảm còn ρ(X)−a. T2: Rủi ro của danh mục tổng hợp (ứng với X1 +X2) không lớn hơn tổng rủi ro của các danh mục thành phần. Yêu cầu này phù hợp với nguyên lý Đa dạng hóa đầu tư. T3: Danh mục có quy mô lớn thì rủi ro cũng lớn. T4: Danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn cao thì rủi ro cũng cao. Như vậy tất cả các yêu cầu (các tiên đề) đối với độ đo rủi ro đều hợp lý và phù hợp với thực tiễn. Độ đo rủi ro của danh mục theo cách tiếp cận trên rất tổng quát. Người làm công tác quản trị rủi ro có thể căn cứ vào nguồn gốc của rủi romà xây dựng các độ đo cụ thể. Kết quả sau sẽ cung cấp tiêu chuẩn để đánh giá một độ đo rủi ro 36 cụ thể có phải là độ đo rủi ro chặt chẽ hay không. Ký hiệu A là tập các hàm φ(p), xác định trên [0,1], φ(p)≥ 0, đơn điệu giảm và 1∫ 0 φ(x)dx = 1. Ta có thể xem φ(p) như một dạng hàm mật độ xác suất. Gọi F(x) là hàm phân phối của mức tổn thất X . Ta xây dựng độ đo rủi ro như sau: ρ(X) =− 1∫ 0 F−1(p)φ(p)d p (2.1) với φ(p): xác định trên [0,1], φ(p) ≥ 0 và 1∫ 0 φ(x)dx = 1. Có thể coi φ(p) là hàm tỷ trọng. Định lý 2.2.3. (Định lý biểu diễn độ đo rủi ro chặt chẽ) Độ đo rủi ro (2.1) là chặt chẽ khi và chỉ khi φ(p) ∈ A. Với công thức biểu diễn (2.1) của độ đo rủi ro chặt chẽ ta có thể xây dựng các độ đo cụ thể phù hợp với nguồn gốc phát sinh rủi ro thông qua việc chọn hàm φ(p). Đây là gợi ý rất quan trọng trong đo lường rủi ro. 2.2.2 Mô hình VaR Định nghĩa 2.2.4. Xét danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn X trong chu kỳ k (đơn vị thời gian) có hàm phân phối F(x). VaR của danh mục với độ tin cậy (1−q)100%-ký hiệu là VaRq- là phân vị mức q của hàm F(x): VaRq = F−1(q) (2.2) Theo thông lệ quốc tế, độ tin cậy thường được chọn là 99% hoặc 95%. Chu kỳ tính VaR-chu kỳ k-thường là 1 ngày, 5 ngày hay 10 ngày. Dấu âm của VaR biểu thị tổn thất (thua lỗ). Ý nghĩa của VaRq: Nếu nhà đầu tư nắm giữ danh mục sau chu kỳ k, trong điều kiện thị trường hoạt động bình thường, với xác suất (1− q)100% mức tổn thất (nếu có) sẽ không vượt quá khoản |VaRq|. Để thuận tiện trong ước lượng và tính toán, thay vì trực tiếp xét mức thua lỗ X người ta thường xét qua lợi suất r của danh mục. 37 Sau đây là ưu điểm và hạn chế của độ đo rủi ro VaR. Ưu điểm: 1. VaRq của danh mục được tính toán và biểu thị bằng một số lượng tiền nên dễ hình dung và so sánh mức rủi ro giữa các danh mục và chu kỳ khác nhau. 2. Về phương diện ước lượng, do VaRq có cấu trúc tương đối đơn giản nên có thể sử dụng nhiều phương pháp ước lượng trong thống kê, kinh tế lượng. Hạn chế về phương diện lý thuyết: VaRq là độ đo rủi ro của danh mục, thỏa mãn các tiên đề T1, T3 và T4. Tuy nhiên do không thỏa mãn tiên đề T2: cộng tính dưới, nên VaR không phải là độ đo chặt chẽ. Trong [4], [7] các tác giả đã đưa ra những ví dụ minh chứng. Mặt khác, nếu mức thua lỗ X có phân phối chuẩn thì độ đo VaRq sẽ thỏa mãn cả 4 tiên đề nên khi này VaRq là độ đo rủi ro chặt chẽ. Hạn chế về phương diện thực tiễn: Nhiều bằng chứng thực nghiệm chỉ ra rằng giả định X có phân phối chuẩn tỏ ra chưa phù hợp kể cả đối với thị trường chứng khoán Việt nam (xem [9]). Các phân phối của lợi suất danh mục thuộc dạng có đuôi dày, điều này chứng tỏ rằng khả năng thị trường có những biến động lớn và mức tổn thất cao là đáng kể. Với tình huống này VaRq không phải là độ đo chặt chẽ. Nếu tiếp tục sử dụng VaRq như công cụ quản trị rủi ro rất có thể sẽ gánh chịu các hậu quả: • Tổn thất thực tế sẽ lớn hơn nhiều so với ước tính theo VaRq. • Do VaRq không có tính chất cộng tính dưới (tiên đề T2) nên quy tắc đa dạng hóa bị phá vỡ và nguyên lý phân cấp quản trị rủi ro có thể bị vô hiệu hóa và lợi dụng. Một số nghiên cứu mới đây về nguyên nhân của khủng hoảng tài chính toàn cầu năm 2008 cho thấy rất có thể những hậu quả trên có vai trò nhất định. Trong tình huống độ đo VaRq là chặt chẽ thì VaRq cũng chỉ giúp ta trả lời câu hỏi: “Ta có thể bị mất tối đa bao nhiêu trong phần lớn các tình huống?” Tuy nhiên độ đo VaRq không trả lời được câu hỏi: “Trong một phần nhỏ các tình huống còn lại (1% hay 5% tình huống xấu - tương ứng với diễn biến bất thường của thị trường), khi xảy ra tổn thất, mức tổn thất có thể dự tính được là bao nhiêu?”. Như tổng kết thực tế đã nêu trong bảng 1, các sự kiện, tình huống tưởng chừng hiếm khi xảy ra lại xuất hiện khá thường xuyên, nên 1% hay 5% tình huống xấu cũng đáng để quan tâm và câu hỏi trên rất cần lời giải để hỗ trợ công tác quản trị và giám sát rủi ro tài chính. Mô hình ES sẽ giúp ta tìm câu trả lời. 38 2.2.3 Mô hình ES Theo logic, sau khi đã tính VaRq của danh mục chúng ta quan tâm tới những trường hợp tổn thất thực tế của danh mục vượt ngưỡng VaRq và tính trung bình (kỳ vọng) của các mức tổn thất này. Như vậy ta có: Định nghĩa 2.2.5. Tổn thất kỳ vọng của danh mục với độ tin cậy (1−q)100%- ký hiệu là ESq-là đại lượng kỳ vọng có điều kiện: ESq = E(X |X > VaRq) (2.3) Một số tính chất của ESq: • ESq là độ đo rủi ro chặt chẽ của danh mục. • Mọi độ đo rủi ro chặt chẽ ρ(X) khác của danh mục có thể biểu diễn như một tổ hợp lồi của ESq với các tham số q phù hợp và ESq ≤ ρ(X). Như vậy việc xác định, tính toán ESq của danh mục vừa thay thế VaRq trong vai trò đo lường rủi ro đầy đủ hơn vừa chỉ ra đây là thước đo rủi ro ưu việt. 2.2.4 Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES Để thuận tiện trong phân tích thống kê và tính toán ước lượng, thay vì xét mức lỗ/lãi X của danh mục ta xét lợi suất (loga lợi suất) của danh mục. Ta định nghĩa: rt = ln ( Vt Vt+1 ) là lợi suất của danh mục. Nếu tính được VaRq, ESq của lợi suất rt sẽ dễ dàng suy ra VaRq, ESq của danh mục. Cũng tương tự như khi ước lượng VaRq từ số liệu quá khứ, có hai phương pháp chính ước lượng ESq: phương pháp tham số và phi tham số. Phương pháp tham số dựa trên giả định về phân phối của lợi suất r: chẳng hạn phân phối chuẩn, T- Student, Pareto tổng quát. . . Sau đó từ số liệu quá khứ của r, sử dụng các phương pháp ước lượng trong thống kê, kinh tế lượng (hợp lý tối đa, moment tổng quát, ARCH, GARCH. . . ) để ước lượng các tham số đặc trưng của phân phối và suy ra các ước lượng của VaRq (tham khảo trong [9] và ESq tương ứng (tham khảo trong [3],[4],[6],[7]). Phương pháp phi tham số không đưa ra giả định về phân phối của lợi suất r mà chỉ dùng các phương pháp ước lượng thực nghiệm, mô phỏng và bootstraps cùng các kỹ thuật tính toán xấp xỉ (phương pháp ngoại suy, mạng nơron. . . ) để 39 ước lượng (tham khảo trong [5], [8]). Công thức ước lượng: Cho mức ý nghĩa q∈ (0,1), theo thông lệ thường chọn q = 0,01 (1%) hoặc 5%. Lập mẫu kích thước n: (X1,X2, ...,Xn). Ký hiệu Xi:n là thống kê thứ tự thứ i của mẫu, tức là: X1:n ≤ X2:n ≤ ·· · ≤ Xi:n ≤ ·· · ≤ Xn:n. Gọi k là phần nguyên của nq, đặt p = nq− k. Nếu nq là số nguyên thì p = 0. Ta tính thống kê trung bình mẫu của các thống kê thứ tự từ 1 đến k: Xk:n = X1:n +X2:n + · · ·+Xk:n k (2.4) Ta có các công thức ước lượng thực nghiệm cho VaRq và ES (chi tiết tham khảo trong [5], [8]): VaRq =−Xk:n (2.5) ESq =   −Xk:n (nq: nguyên) −(1− p)Xk:n− pXk+1:n (nq: không nguyên) (2.6) Đây là ví dụ Phương pháp thực nghiệm ước lượng ESq cho thị trường chứng khoán Việt Nam. Trong khuôn khổ luận văn, tác giả sẽ giới thiệu phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ESq áp dụng cho thị trường chứng khoán Việt Nam thông qua chuỗi VnIndex trên sàn HOSE. Diễn biến của lợi suất thị trường-lợi suất chỉ số VnIndex: Chuỗi VnIndex (giá trị đóng cửa theo ngày) được thu thập từ phiên giao dịch đầu tiên ngày 28/7/2000 đến phiên giao dịch ngày 30/6/2010 (2320 phiên) từ nguồn VnDirect. Tính lợi suất (theo ngày) của chỉ số VnIndex (để thuận tiện trong tính toán và giải thích theo tỷ lệ %, lợi suất sẽ được nhân với 100). Công thức tính lợi suất VnIndex: LsVnindext = ln ( VnIndext VnIndext+1 ) ·100 (2.7) Có thể thấy trong khoảng thời gian trên phân phối của LSVNINDEX không phải là phân phối chuẩn và thuộc dạng có đuôi dầy (Kurtosis = 5.143954 > 3). Để ước lượng theo kinh nghiệm thực tế của nhiều tác giả, không nên chọn chuỗi thời gian quá dài vì với thời gian dài các điều kiện, môi trường hoạt động của thị trường sẽ có sự thay đổi lớn. Ta chọn số liệu trong khoảng thời gian từ tháng 1/2006 đến 6/2010 để ước lượng vì các lý do sau: 40 Hình 2.1: Biểu đồ chuỗi lợi suất VnIndex Hình 2.2: Một số thống kê mô tả • Số lượng quan sát cũng đủ lớn (1116 quan sát) để thực hiện phân tích thống kê, kinh tế lượng. • Trong giai đoạn này thị trường chứng khoán Việt nam phát triển tăng nhanh số lượng công ty niêm yết và với đủ sắc thái: bùng nổ (cuối 2006 đầu 2007), 41 trầm lắng, suy giảm (cuối 2007, 2008), phục hồi, khởi sắc (2009) Trong giai đoạn này ta có kết quả: Hình 2.3: Biểu đồ chuỗi lợi suất VnIndex Có thể thấy trong giai đoạn này thị trường ổn định hơn thể hiện bởi đặc tính phân phối chuẩn của lợi suất. Với n = 1116, q = 1% và 5%, ta có nq = 11,6 và 55,8