Luận văn Mô hình hóa các quá trình lãi suất

chất lượng trái phiếu (quality swap) để tìm cách có trái phiếu có độ an toàn hơn và độ rủi ro ít hơn.  Đổi cách đóng thuế (tax swap), chẳng hạn tạo ra thua lỗ để được trừ bớt thuế, bằng cách bán trái phiếu đang bị lỗ rồi mua các trái phiếu khác hiệu quả bảo hộ đầu tư cao hơn. Việc chuyển đổi trái phiếu như vậy thường được thực hiện thông qua các công ty dịch vụ tài chính, các ngân hàng, hợp đồng ấy có thể đem ra mua bán. Giả sử một công ty muốn bán hợp đồng chuyển đổi, cụ thể là muốn đổi một trái phiếu với lãi suất thay đổi để lấy một trái phiếu có lãi suất không đổi. Để định giá hợp đồng chuyển đổi và muốn thành công thì công ty đó phải dự đoán được, ước lượng được các lãi suất trong tương lai. Có rất nhiếu dạng của các hợp đồng như vậy, nhưng người ta chỉ hạn chế xét hợp đồng chuyển đổi định trước thanh toán sau (forward swap settled in arrears). Xét thời điểm t cố định mà tại đó hợp đồng chuyển đổi được ký kết. Hơn nữa ta sẽ xác định một dãy các điểm cách đều nhau 0 1 ... nT T T< < < được định nghĩa như là một dãy các khoản trả tại thời điểm 1, 1,2,..., 1iT i n+ = − trong đó 1 , 1,2,..., 1i iT T i nδ+ − = = − . Ta sẽ ký hiệu lãi suất cố định là R và lượng giả định là K . Một hợp đồng chuyển đổi với K và R cố định cho các thời kỳ 1 2, ,..., nT T T được định nghĩa như là một dãy các khoản trả ở thời điểm 1, 1,2,..., 1iT i n+ = − được xác định bởi: ( )1i iX K L T Rδ+  = −  Trong đó lãi suất thả nổi ( )iL T trên thời kỳ [ ]1,i iT T + được coi như là lãi suất đơn giản và được xác định bởi: ( ) ( )1 1, 1i i i P T T L Tδ+ = + Không mất tính tổng quát ta có thể coi 1K = . Nếu sử dụng công thức định giá trái phiếu (I) cho thời kỳ [ ]1,i iT T + , giá trị tại thời điểm t của toàn bộ hợp đồng được cho bởi: ( ) ( ) ( )( ) 1 exp iTn Q i t i t t E r s ds L T Rδ =     ∏ = − −      ∑ ∫  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1exp 1 , 1exp exp 1 , , 1 , i i i i i Tn Q t i i it T Tn Q Q T t i i it T n i i i E r s ds R P T T E r s ds E r s ds R P T T P t T R P t T δ δ δ − − − = + = − − =      = − − +                    = − − × − +                      = − +  ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑    Như vậy, ta thu được giá của hợp đồng chuyển đổi là: ( ) ( ) ( )0 1 , , n i i i t P t T c P t T = ∏ = −∑ (2.17) trong đó , 1,2,..., 1. 1i nc R i n c Rδ δ= = − = + . Chú ý rằng toàn bộ hợp đồng chuyển đổi có thể được định giá nếu biết các giá của trái phiếu tại thời điểm t và dễ dàng thấy rằng quyền chuyển đổi có thể đáp ứng được bởi các danh mục đầu tư trên các trái phiếu. Như trên ta đã xem lãi suất cố định R là số đã cho. Bây giờ ta có thể xác định lãi suất chuyển đổi cho thời kỳ nói trên của hợp đồng tại thời điểm t dẫn đén giá trị không của hợp đồng chuyển đổi. Sử dụng công thức ( ) ( ) ( )0 1 , , n i i i t P t T c P t T = ∏ = −∑ ta thu được lãi suất chuyển đổi R ∧ được xác định bởi: ( ) ( ) ( ) 0 1 , , , n n i i P t T P t T R P t Tδ ∧ = − = ∑ (2.18) 2.4. Định giá và bảo hộ một hợp đồng chuyển đổi Hợp đồng chuyển đổi (Swap Contract) thường được thực hiện qua một ngân hàng hoặc một cơ sở đầu tư. Giả sử một công ty có một món nợ với một chủ nợ nào đó với một lãi suất thả nổi (floating rate). Công ty đó có thể mua một hợp đồng chuyển đổi, cho phép lãi suất thả nổi lấy một lãi suất nhất định. Phía bên kia của hợp đồng, tức ngân hàng họ chịu nhận lãi suất cố định do công ty ấy trả và trả lãi suất thả nổi cho chủ nợ của công ty ấy. Trước tình thế đó, Ngân hàng cần phải định giá được sự chuyển đổi này để tự bảo hộ cho mình trước những diễn biến không dự đoán được của lãi suất tương lai. Ngân hàng phải thỏa thuận theo những điều khoản sau: i. Khoảng thời gian Hợp Đồng chuyển đổi có giá trị là [ ]0,T . Số nợ gốc của công ty là 0B ii. Ngân hàng sẽ trả lại cho chủ nợ của công ty tại các thời điểm 1 2, ,..., Nt t t cách đều nhau, tức là 1 0, 0,k k Nt t t t Tτ+ − = = = . iii. Lãi suất mỗi lần trả đó là Rk cho khoảng thời gian [ ]1,k kt t + , xác định tại thời điểm kt , nhưng không biết tại thời điểm 0t = . iv. Số tiền lãi mà Ngân hàng trả hộ trong khoảng thời gian [ ]1,k kt t + sẽ là 0 kB Rτ và trả vào cuối khoảng thời gian đó, tức là tại thời điểm 1kt + Nhận xét 2.5: Thông thường người ta thích làm việc với lãi suất kiểu hàm số mũ (hay còn gọi là lãi suất hình học). Như vậy số tiền lãi nêu trong điều khoản thư tư sẽ là: 0 ( 1)k RB e τ − . Hơn nữa, sử dụng các giả thuyết này sẽ làm cho việc tính toán đơn giản và thuận lợi hơn rất nhiều. Có thể Ngân hàng đang chịu áp lực của sự biến đổi của lãi suất trong tương lai. Tuy nhiên có một biện pháp mà họ có thể tự bảo hộ. Chiến lược của Ngân Hàng sẽ làm như sau: Ta hãy tập trung chú ý vào khoảng thời gian [ ]1,k kt t + , tại thời điểm 0t = ta không biết kR . Ngân hàng mua 0B trái phiếu chiết khấu (0, )kP t và bán đi 0B trái phiếu chiết khấu 1(0, )kP t + . Chi phí tại thời điểm 0t = sẽ là: 0 1[ (0, ) (0, )]k kB P t P t +− Tại thời điểm kt t= , Ngân hàng nhận về 1 đô la cho trái phiếu (0, )kP t và mua vào trái phiếu 1(0, )kP t + mà giá trị tại thời điểm kt là 11.(1 )kR τ −+ Do đó phần thu hoạch thực sự của Ngân hàng là: 10 0[1-(1 ) ]=B .1 k k k RB R R ττ τ −+ + Ngân hàng đầu tư khoản tiền này cho thời kỳ [ ]1,k kt t + với lãi suất kR . Vậy, tại thời điểm 1kt t += thì số tiền ấy sẽ biến thành 0 0B . (1 )1 k k k k R R B R R τ τ τ τ + = + Ta chú ý rằng, số tiền này lại chính là số tiền thả nổi mà Ngân Hàng phải trả tại thời điểm 1kt + theo điều khoản thư tư ở trên. Ngân hàng sẽ thực hiện việc mua bán này cho mọi thời kỳ [ ]1,k kt t + , tức là mua vào 0 (0, )kB P t trái phiếu và bán đi 0 1(0, )kB P t + cho mỗi thời kỳ ấy. Tại thời điểm 0t = thì số tiền ấy là: [ ] [ ] [ ] 1 0 1 0 0 0 (0, ) (0, ) (0,0) (0, 1 (0, ) N k k N k B P t P t B P P t B P T − + = − = − = −∑ Về phần mình thì Ngân hàng nhận được một khoản trả là 0B rτ tại thời điểm 1( 0,1,2,... 1)kt k N+ = − , trong đó r phải được xác định. Khoản tiền này còn phải chịu chiết khấu, nên giá trị thực của nó sẽ là: 0 1(0, )kB r P tτ + tại thời điểm 0t = . Để xác định r , ta phải cân bằng [ ] 1 0 1 0 0 (0, ) 1 (0, ) N k k B r P t B P Tτ − + = = −∑ Do đó: [ ] 1 1 (0, ) (0, ) N k k P T r P tτ = − = ∑ (2.19) Chú ý rằng (2.19) là giá trị là giá trị duy nhất có thể của r . Mọi giá trị khác sẽ tạo nên cơ hội chênh lệch giá. Ta có thể khái quát hóa cách tiếp cận trên cho trường hợp mà số nợ ban đầu của Công ty thay đổi theo từng khoảng thời gian, và độ dài các khoảng thời gian nhỏ ấy cũng khác nhau, không đều nhau như trước đây nữa. Và bây giờ ta sẽ giả thiết rằng: 1. Khoảng thời gian tổng cộng là [ ]0,T . Ngân hàng sẽ thực hiện trả lãi vào các thời điểm 1 2, ,..., Nt t t . Độ dài các khoảng thời gian nhỏ là 1 0, ( 0,1,..., 1), 0,k k Nt k N t t Tτ += = − = = . 2. Số nợ gốc đầu kỳ [ ]1,k kt t + là kB . 3. Như điều khoản 3 ở phần trên, tức lãi suất là kR cho khoảng thời gian [ ]1,k kt t + , xác định tại thời điểm kt và không biết tại thời điểm 0t = . 4. Số tiền lãi mà chủ nợ sẽ trả cho chủ nợ của Công ty cho thời kỳ [ ]1,k kt t + là k k kB Rτ , và việc chi trả được thực hiện vào thời điểm 1kt t += . Như trước đây, tại thời điểm 0t = , ngân hàng mua vào kB trái phiếu có chiết khấu (0, )kP t và bán ra kB trái phiếu có chiết khấu 1(0, )kP t + cho khoảng thời gian [ ]1,k kt t + . Tại thời điểm kt thì vụ mua bán đó đem lại kết quả là: ( ) 11 1k k kB R τ − − +  (4.6) Ngân hàng sẽ đem số tiền đó đầu tư cho thời kỳ [ ]1,k kt t + . Đến cuối kỳ, tức là tại thời điểm 1kt t += thì số tiền ấy sẽ biến thành ( ) ( ) 11 1 1k k k k k k k kB R R B Rτ τ τ − − + + =  Vừa đúng bằng số tiền lãi mà người đòi hỏi cho thời kỳ ấy. Vì số tiền lãi này, được chiết khấu cho tới thời điểm 0t = , cho nên giá trị thực của nó chỉ còn: 1(0, )k k k kB R P tτ + Vậy phải có [ ] 1 1 1 1 0 0 (0, ) (0, ) (0, ) N N k k k k k k k k B r P t B P t P tτ − − + + = = = −∑ ∑ (2.20) Chú ý rằng nếu ký hiệu kF là lãi suất định trước (forward rate) cho thời kỳ [ ]1,k kt t + thì ta có: ( )1(0, ) (0, ) 1k k k kP t P t F τ+= + .Khi đó: ( )1 1(0, ) (0, ) 0,k k k k kP t P t F P tτ+ +− = (2.21) Khi đó: 1 1 1 1 0 0 (0, ) (0, ) N N k k k k k k k k k B r P t B F P tτ τ − − + + = = =∑ ∑ (2.22) Do đó: [ ] 1 1 0 1 1 0 (0, ) (0, ) (0, ) N k k k k N k k k k B P t P t r B P tτ − + = − + = − = ∑ ∑ (2.23) Nếu ta đặt ( )1k 1 1 0 0, w (0, ) k k k N k k k k B P t B P t τ τ + − + = = ∑ thì ta có 1 k 0 w N k k r F − = = ∑ . Vậy r là trung bình có trọng số của các lãi suất định trước 2.5. Mô hình định giá trái phiếu 2.5.1. Quá trình định giá Quyền Chọn  Ta bắt đầu với Quyền Chọn S với giá ( ),V S t . Ta giả sử rằng dS Sdt SdBµ σ= + trong đó B là chuyển động Brown. Theo công thức Itô ta có: 2 2 2 2 1 2 V V VdV dt dS S dt t S S σ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ [ ] 2 2 2 2 1 2 V V Vdt Sdt SdB S dt t S S µ σ σ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 1 2 V V V VS S dt S dB t S S S µ σ σ  ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂  (2.24)  Xây dựng phương án đầu tư ∏ có dạng: V S C∏ = −∆ + hoặc S C∏ = Φ + . Bằng cách chọn ∆ một cách sáng suốt (C là khoản tiền mặt) ta khử được số hạng có dB  Thiết lập phương trình Black-Scholes: 2 2 2 2 1 0 2 V V VrS S rV t S S σ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ (2.25)  Giải các phương trình đó. 2.5.2. Mô hình định giá trái phiếu a) Giả sử rằng giá trái phiếu ( ),P t T chỉ phụ thuộc vào: • Thời điểm đáo hạn T • Thời điểm t • Lãi suất ngắn hạn ( )r t Ta sẽ dùng cho mô hình ( )r t như sau: ( ) ( ), ,dr r t dt r t dBµ σ= + (2.26) Trong đó B là chuyển động Brown. b) Ta khai triển ( ),P t T thành một chuỗi lũy thừa của hai biến ,r t . Thay thế dr bởi biểu thức trên và áp dụng công thức Itô ta được ( ) 2 2 2 1, 2 P P P PdP t T dt dB r r t r µ σ σ  ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂  (2.27) Đặt : ( ) 2 2 2 1, 2 P P Pu t T r r t µ σ  ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂  và ( ), Pv t T r σ ∂= ∂ Khi đó: ( ) ( ) ( ), , ,dP t T u t T dt v t T dB= + (2.28) c) Phương án đầu tư: Ta không thể mua lãi suất để khử sự bất thường về giá. Thay vào đó, ta sẽ chọn các trái phiếu-0 với các thời gian đáo hạn khác nhau là 1T và 2T . Vậy phương án của chúng ta sẽ là: 1 2P P CΠ = −∆ + 1 2d dP dP rCdtΠ = −∆ + trong đó ( )1 1,P P t T= , ( )2 2,P P t T= và C là tiền mặt. Đặt ( )1 1,u u t T= , ( )1 1,v v t T= và ( )2 2,u u t T= , ( )2 2,v v t T= Khi đó: 1 1 1dP u dt v dB= + và 2 2 2dP u dt v dB= + (2.29) Ta dùng các biểu thức viết tắt (2.29) cho 1dP và 2dP để viết lại biểu thức của dΠ , thì ta được: ( ) ( )1 1 2 2d u dt v dB u dt v dB rCdtΠ = + − ∆ + + ( ) ( )1 2 1 2d u u dt v v dB rCdtΠ = −∆ + − ∆ + (2.30) Nếu ta chọn 1 2 v v ∆ = thì số hạng có chứa dB sẽ bị triệt tiêu. Khi đó, ta có: ( )1 2d u u dt rCdtΠ = −∆ + Mà [ ]1 2C P P= Π + − − ∆ nên ta có: [ ]11 2 1 2 2 vd u u dt r P P dt v    Π = − + Π + − − ∆      (2.31) d) Độ chênh lệch thị giá (Arbitrage) Trong hệ thức (2.31) ta nhận thấy không còn số hạng nào chứa dB nữa, vậy Π sẽ biến thiên đều trong suốt thời gian. Vì Π có dáng điệu giống phương án đầu tư vào thị trường tiền tệ, cho nên lãi suất của nó phải có dáng điệu của lãi suất ngắn hạn, tức là: ( )d r t dtΠ = Π Thay vào (2.31) ta có: ( ) 1 11 2 1 2 2 2 v vr t dt u u dt r dt r P P dt v v     Π = − + Π + − +        [ ] 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 v vu u dt r P P dt v v v vu u r P P dt v v v vu u r P P v v vu rP u rP v     ⇒ − + − + =             ⇒ − + − + =              ⇒ − + − + =        ⇒ − − − = Khi đó: [ ]11 1 2 2 2 vu rP u rP v − = − hay [ ] [ ]1 1 2 2 1 2 1 1u rP u rP v v − = − Hay là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 2 1 1, , , , , , u t T rP t T u t T rP t T v t T v t T  −  =  −     (2.32) Nhìn vào hệ thức (2.32), ta thấy vế trái phụ thuộc vào 1T trong khi vế phải phụ thuộc vào 2T . Như vậy tỷ số ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , u t T r t T P t T v t T − thực ra không phụ thuộc gì vào giá trị của T , ta ký hiệu tỷ số đó là ( ),t rλ . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , , , , u t T r t T P t T t r v t T λ − = (2.33) Tỷ số λ này được gọi là giá thị trường của rủi ro. Hệ thức (2.33) có thể viết dưới dạng: ( ) ( ) ( ), , ,u t T rP t T v t Tλ= + (2.34) Theo định nghĩa của ( ),u t T và ( , )v t T thì ta có: ( ) 2 2 2 1, 2 P P Pu t T r r t µ σ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ (2.35) ( , ) Pv t T r σ ∂= ∂ (2.36) Từ (2.34), (2.35) và (2.36) ta thu được: 2 2 2 1 2 P P P PrP v rP t r r r µ σ λ λσ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ Như vậy bây giờ ta đã có một phương trình định giá trái phiếu P : ( ) 2 2 2 1 0 2 P P P rP t r r µ λσ σ∂ ∂ ∂+ − + − = ∂ ∂ ∂ (2.37) Đây là phương trình đạo hàm riêng đối với P với điều kiện cuối là ( ), 1P T T = , vì ( ) ( ),, T t f t s ds P t T e −∫= . Ta nhận thấy phương trình rất giống với phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes. Chúng đều thuộc loại phương trình đạo hàm riêng Parabolic. Tuy nhiên, phương trình (2.37) còn tổng quát hơn phương trình Black-Scholes ở chỗ µ và σ ở đây đều là những hàm số của t . Ngoài ra, đối với phương trình Black- Scholes khi ta cho các điều kiện ban đầu thì sẽ tồn tại lời giải duy nhất. Còn đối với (2.37) thì có vô số lời giải phụ thuộc vào cách chọn ( )r t . e) Ta đã bắt đầu bằng một mô hình đối với lãi suất ngắn hạn ( ) ( ), ,dr r t dt r t dBµ σ= + Và ta đi tới một mô hình định giá trái phiếu biểu thị bởi phương trình (6.14). Nếu ta xác định được các tham số ,µ σ và λ ta sẽ có thể giải được (6.14) trong một số trường hợp nào đó. Nói chung phương trình đó không thể giải được dưới dạng hiển nhiên. Tuy nhiên ta vẫn có thể giải được gần đúng bằng các phương pháp của giải tích số. Ta xét một trường hợp đơn giản sau: Giả sử ta có lãi suất thỏa mãn phương trình: dr dt dBµ σ= + (2.38) Với µ và σ đều là các hằng số. Phương trình này có lời giải là: ( ) 0 tr t r t Bµ σ= + + (2.39) Trong trường hợp này thì phương trình giá trái phiếu (2.37) chỉ có hai số hạng có hệ số biến đổi là ( ), Pt r r µ λ σ ∂ −   ∂ và ( )r P− . Nếu ta giả thiết thêm rằng giá thị trường của rủi ro ( ),t rλ cũng không đổi thì phương trình giá trái phiếu (2.37) còn đơn giản hơn nữa. Giả thiết đó tuy không thực tế lắm nhưng cho chúng ta một ước lượng giá gần đúng. Vậy ta có thể giả thiết rằng aµ λσ− = là một hằng số chưa biết. Ta sẽ giải phương trình: 2 2 2 1 0 2 P P Pa rP t r r σ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ (2.40) Lưu ý rằng phương trình này còn đơn giản hơn cả phương trình Black-Scholes. Ta sẽ đoán dạng gần đúng của phương trình (2.40). Bước 1: Ta thử phán đoán P có dạng sau: .A rP e= , trong đó A là một hằng số nào đó. Ta có: 2 . 2 . 20, , A r A rP P PAe A e t r r ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ Thay vào (2.40) ta được: 2 2 2 21 10 0 0 2 2 Ar Ar Ar AraAe A e re aA A r eσ σ + + − = ⇔ + − =    Suy ra: 2 21 0 2 aA A rσ+ − = Điều này vô lý, vì nếu A là hằng số thì r cũng phải là hằng số, trong khi r là một đại lượng biến đổi phụ thuộc vào t . Bước 2: Giả sử P có dạng như sau: ( ) ( ).A t r B tP e += , trong đó ( )A t và ( )B t phụ thuộc vào t . Khi đó, ta có: ( ) ( )' ' . ' ' . 2 2 2 A r B A r B P A r B e A r B P t P Ae AP r P A P r + + ∂ = + = + ∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ Thay vào (2.40) ta được ( )' ' 2 2 ' ' 2 21 1 10 02 2 2A r B P aAP A P rP A r B aA A r Pσ σ  + + + − = ⇔ + + + − =    Suy ra: ' ' 2 21 0 2 A r B aA A rσ+ + + − = Hay ( )' ' 2 211 02A r B aA Aσ− + + + = . Bây giờ, dù r biến đổi, nhưng nếu ta chọn A sao cho ' 1A = thì ta có hệ thức: ' 2 21 0 2 B aA Aσ+ + = (2.41) Nghĩa là ta có một lời giải dạng ( ) ( ).A t r B tP e += , miễn là ( )A A t= và ( )B B t= được chọn sao cho thỏa mãn hệ thức (2.41). Ta có ( )' 1A t = nên ( ) onstA t t c= + , ta chọn hằng số là T− cho thuận tiện về sau này, trong đó T là thời điểm đáo hạn của trái phiếu. Vậy bây giờ lời giải ( ),P P t T= có dạng: ( ) ( ) ( ), t T r B tP P t T e − += = (2.42) Bây giờ ta sẽ chọn ( )B t . Ta chú ý rằng tại thời điểm đáo hạn t T= thì ( ), 1P P T T= = (do ( ) ( ) 0 , , t f t s ds P t T e −∫ = ) . Điều đó có nghĩa tại thời điểm đáo hạn t T= thì 0B = tức ( ) 0B T = . Khi đó hệ thức (2.42) trở thành ( )0 1B te + = . Mặt khác, theo hệ thức (2.41) thì ( ) ( )2' 2 2 21 1 2 2 B aA A a t T t Tσ σ= − + = − − + − . Lấy tích phân hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 6 aB B t t T t Tσ= = − − − − Hay ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 6 aB t T t T tσ= − − + − . Do đó ta có lời giải của mô hình trái phiếu trên là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3, exp 2 6 aP t T T t r t T t T tσ   = − − − − + −    (2.43) trong đó ( ) 0 tr t r t Bµ σ= + + 2.5.1. Giá trái phiếu Mô hình (2.43) chỉ là một trường hợp đặc biệt, khi mà µ và σ là các hằng số. Trong các trường hợp chung thì công thức (2.43) cho ta một phán đoán về giá trái phiếu tại thời điểm t nếu ta biết giá trị của ( )r t vào thời điểm đó. Giả sử ta biết được các “giá trị đúng” của các tham số a và σ , thì tại thời điểm t sau khi tham khảo thị trường để biết được lãi suất ngắn hạn ( )r t là bao nhiêu, rồi đem thay vào công thức (2.43) thì ta có thể phán đoán được giá trái phiếu vào lúc đó. Tuy nhiên, trên thực tế sự phán đoán trên còn hạn chế vì chỉ tính được giá trong cùng một ngày. Ví dụ: Xét một mô hình thị trường kho bạc Mỹ, với 0,005a = và 0,03σ = . Giả sử ta cũng biết được rằng 0,052r = vào ngày hôm nay. Tìm giá bán hôm nay cho các trái phiếu lãi suất 0 với kỳ hạn 5 năm và 10 năm? Trong biểu thức (2.43), giá P chỉ phụ thuộc vào T t− , tức là thời gian từ hôm nay (thời điểm t ) đến lúc đáo hạn, nên ta đặt 5T t− = và 10T t− = trong phương trình (2.43). Giá trái phiếu 5 năm là: ( ) ( ) 3 2 30,030,0055. 0,0,52 .5 .5 0,30375 2 6 − − + = − Do đó: ( ) 0,30375, 5 0,738P t t e−+ = ≈ Điều đó có nghĩa là một trái phiếu 5 năm với mệnh giá 1000đô la được bán hôm nay với giá 738 đô la. Hoa lợi của nó là 0,30375 0,067 5 = . Giá trái phiếu 10 năm là: ( ) ( ) 3 2 30,030,00510. 0,0,52 .10 .10 0,62 2 6 − − + = − Do đó: ( ) 0,62, 10 0,538P t t e−+ =  Vậy một trái phiếu 10 năm với mệnh giá 1000 đô la được bán hôm nay với giá 538 đô la. Hoa lợi hiện tại là 0,62 10 , lãi suất hàng năm là 6,2% cho đến lúc đáo hạn. CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT Các mô hình lãi suất chủ yếu được sử dụng để định giá các trái phiếu, định giá và bảo hộ các quyền lựa chọn trên các trái phiếu. Các mô hình trái phiếu thường không tương đương với mô hình Black-Scholes cho các quyền lựa chọn trên các trái phiếu. Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các mô hình lãi suất quan trọng nhất, nghiên cứu các phương pháp định giá trái phiếu dựa trên các mô hình cơ bản đó và chỉ rõ cách vận dụng chúng trong thực hành. Nội dung chủ yếu của phần này là dựa trên các công trình nghiên cứu của Aztzner và Dalbaen (1989) và Bjork (1997). 3.1. Mô hình Vasicek và mô hình Ho-Lee: 3.1.1. Định nghĩa: Mô hình Vasicek đối với lãi suất ( )r r t= có dạng như sau: ( )dr r dt dBα β σ= − + (3.1) Ta nhận thấy mô hình này là sự thay đổi một chút từ mô hình dr dt dBµ σ= + , trong đó hệ số dịch chuyển µ là hằng số được thay thế bằng một hệ số là một hàm tuyến tính của :r ( )rα β − Các mô hình loại này thường được gọi là mô hình phục hồi trung bình, vì số hạng ( )rα β − đẩy r về β khi nó biến thiên với tốc độ là α . Cũng như trước đây, β biểu thị độ biến động (volatility) của lãi suất ( )r r t= theo nhiễu trắng dB . Đối với mô hình Vasicek, ta giả thiết rằng giá rủi ro thị trường ( ),t rλ là một hàm tuyến tính của t . Do đó, hệ số biến đổi ( )µ λσ− trong phương trình đạo hàm riêng (2.37) là: ( )rα β λσ− − Nếu 0b = và ký hiệu a thành a− thì ta có mô hình Ho-Lee đối với lãi suất ( )r r t= như sau: dr ardt dBσ= + . Vậy mô hình Ho-Lee chỉ là một trường hợp đặc biệt của mô hình Vasicek. 3.1.2. Phương trình giá trái phiếu Vasicek: Như vậy mô hình Vasicek, phương trình trái phiếu (2.37) có dạng: ( ) 2 2 2 1 0 2 P P Pa b r rP t r r σ∂ ∂ ∂+ − + − = ∂ ∂ ∂ (3.2) Tương tự trong trường hợp mô hình đơn giản đã xét ở mục trước, ta tìm trái phiếu P dưới dạng: ( ) ( ) ( ), . ,, A t T r B t TP P t T e += = Và sẽ tìm thấy ( ) ( )1, 1 a T tA t T e a − − = − −  Và ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 1, , , 2 4 B t T A t T T t a b A t T a a σ   = − − + − −      Ở đây ta có ba hằng số là ,a b và σ . Các hằng số đó được xác định bằng các dữ liệu thị trường. Vào gần ngày xác định ấy, ta có đường hoa lợi mà người ta công bố trên thị trường, rồi ép cho hoa lợi lý thuyết (tính theo mô hình) cho phù hợp với đường cong thực tế đó. Cách làm đó cho ta phương trình để tính ,a b và σ , nó đòi hỏi một sự điều chỉnh khéo léo để phù hợp với trực quan trên thị trường. Mô hình Vasicek có ưu điểm là dễ phân tích. Tuy nhiên bên cạnh ưu điểm đó thì do lãi suất thường được phân bố một cách thông thường khi chạy mô hình ứng với mỗi biến t chúng ta có thể xác định được biến r mang dấu âm mà điều này thì theo quan điểm kinh tế là không chấp nhận được. 3.2. Mô hình Hull-White Mô hình Hull-White là mô hình mở rộng của mô hình Vasicek nhằm tạo ra kết quả phản ánh chính xác nhất cấu trúc kỳ hạn hiện hành quan sát được trên thị trường. Mô hình Hull-White còn được biết đến với tên gọi là mô hình Vasicek mở rộng. Trong mô hình này lái suất ( )r r t= được mô tả bởi phương trình: . W(t)dr a r dt d a α σ = − +    (3.3) Trong đó a là tốc độ phục hồi trung bình của lãi suất ngắn hạn và là hằng số, σ là độ lệch chuẩn của lãi suất và cũng là hằng số. 3.2.1. Công thức giá trái phiếu P : Nếu ta chọn độ biến động là ( ) ( )( ), 1 a T tt T ea σσ − −= − thì quan hệ giữa giá trái phiếu ( ),P t T và lãi suất ( )r t như thế nào? Ở đây cả ( ),P t T và ( )r t đều khác với giá trái phiếu trong mô hình Vasicek và ta ép cho mô hình thích hợp với một cấu trúc ban đầu cho trước. Ta có công thức giá trái phiếu như sau: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0, 1, exp , , , , 0, 2 t t s P T P t T s t s T ds s t s T dB P t σ σ σ σ    = − +  −       ∫ ∫ (3.4) Ta lấy logarit hai vế của phương trình (3.4) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 0 1ln , ln 0, ln 0, , , , , 2 t t sP t T P T P t s t s T ds s t s T dBσ σ σ σ = − + − +  −   ∫ ∫ (3.5) Các tích phân quan trọng trong (3.5) là: • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 , 1 , 0, , 0, 2 t s T ds D t T D T D t T D T a a σ σσ  =  + −  + −   ∫ ,trong đó ( ) ( )1, 1 a T tD t T e a − − = −  (3.6) • ( ) ( ) as 0 0 0 , 1 t t t a T s aT s s t ss T dB e dB B e e dBa a σ σσ − − −   = − = −     ∫ ∫ ∫ Ta ký hiệu ( ) ( )2 0 , , t C t T s T dsσ= ∫ (3.7) Khi đó công thức (3.5) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) as 0 1ln ln 0, ln 0, , , 2 t aT t sP P T P t C t t C t T B e e dBa σ − = − +  −  + −     ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) as 0 1ln ln 0, ln 0, , , 2 t at aT sP P T P t C t t C t T e e e dBa σ − − = − +  −  + −    ∫ (3.8) Trong công thức (3.8) này duy nhất chỉ có tích phân as 0 t se dB∫ là không tính ra được dưới dạng khép kín. Số hạng ( )ln 0,P T được coi như đã biết vì nó được quan sát theo các số liệu thị trường. Bây giờ ta viết lại biểu thức giá trái phiếu ( ),P t T : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) as 0 0, 1, exp , , , 0, 2 t at s P T P t T C t t C t T D t T e e dB P t σ −   =  −  +     ∫ (3.9) Trong đó ( ) ( )1, 1 a T tD t T e a − − = −  và ( ) ( ) 2 0 , , t C t T s T dsσ= ∫ đều có thể tính được từ các công thức (3.6) và (3.7). 3.2.2. Lãi suất ngắn hạn trong mô hình Hull-White: Ta sẽ áp dụng công thức (3.9) ta có: ln ln 1( , ) (0, ) ( , ) ( , ) 2 as 0 P P C Dt T T t T t T e e dB T T T T tat sσ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∫ Ta có công thức tính lãi suất ngắn hạn theo giá trái phiếu như sau: ( ) ( )ln , T t Pr t t T T = ∂ = − ∂ ( chú ý rằng đạo hàm riêng ở đây là đối với T ) Ta có: ( ) ( ) ( ) as 0 ln ln 1, 0, , 2 t at s P P Ct T T t T e e dB T T T σ −∂ ∂ ∂= − + ∂ ∂ ∂ ∫ Thay T t= ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) as 0 ln ln 1, 0, , 2 t at s T t P P Cr t t T t t t e e dB T T T σ − = ∂ ∂ ∂ = − = − + − ∂ ∂ ∂ ∫ (3.10) Chú ý rằng trong (3.9) và (3.10) đều có chứa thành phần as 0 t at se e dBσ − ∫ . Nếu ta tìm cách khử nó thì sẽ được một công thức liên hệ giữa lã