Luận văn Mô hình ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

ất cả mọi mặt phẳng đều được biểu diễn bởi E‟(νi). Năng lượng tương tác giữa hai hàng lân cận trong tất cả các mặt là E(νi, νi+1). Năng lượng tương tác giữa hàng thứ i trong hai mặt lân cận biểu diễn là E „‟(νi). Vậy kết quả năng lượng trong tinh thể biểu diễn là: , 1 1 1 1 '( ) ''( ) ( ) m m m c i i i i i i i E E E E             (1.37) Dựa trên đối xứng, ta thấy rằng spin trong hàng thứ m trong mọi mặt phẳng của tinh thể tác động với hàng trước đó trong cùng một mặt. Chúng ta ưu tiên áp dụng cho mô hình tinh thể hình trụ theo Onsager và Kaufman. Tuy nhiên, trong trường hợp tinh thể 3D, có l hình trụ đồng trục đối xứng với l mặt trong khi trong mô hình 2D chỉ có duy nhất một hình trụ. Ta có thể viết lại như sau: 11 1 2 3 ( ) exp{ ( , ) / }, ( ) exp{ '( ) / }, ( ) exp{ ''( ) / }, i i i i i i v v i i B v v i B v v i B V E v v k T V E v k T V E v k T         (1.38) Tìm thấy xác suất của cấu hình tỉ lệ : 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 / 3 2 1 3 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) c B m m m m m E k T v v v v v v v v v v v v v v v ve V V V V V V V V     (1.39) Hàm tổng thống kê trở thành: 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 , ,... ( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m m m v v v v v v v v v v v v v v v Z V V V V V V trace VV V  (1.40) Từ mỗi vị trí i: 1 ≤ 𝑣𝑖 ≤ 2 𝑛−𝑙 chúng ta tìm được V1, V2 và V3 có ma trận 2 n-l chiều và V2, V3 là đường chéo. V1, V2 và V3 trở thành: Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 18 3 , , 1 1 1 2 , 1, 1 1 2 1 , 1 1 exp{ ''. '' '' } exp{ ''. ''} exp{ '. ' ' } exp{ '. '} (2sinh 2 ) exp{ . } n l r s r s r s l n r s r s s r n l l n r s s r V K s s K A V K s s K A V K K C                   (1.41) Ở đây , ,'' , 'r s r ss s và Cr,s và bộ bốn ma trận 2 n-l chiều: , , , '' 1 1 ... 1 '' 1 ... 1, ' 1 1 ... 1 ' 1 ... 1, 1 1 ... 1 1 ... 1, r s r s r s s s s s C C                         (1.42) Có n-l nhân tố trong các tích số với s‟‟, s‟ và C ở vị trí (r,s).s‟‟, s‟ và C sinh ra từ ma trận Pauli: 𝑠′′ ≡ 0 −1 1 0 , 𝑠′ ≡ 1 0 0 −1 , ≡ 0 1 1 0 , 1 = 1 0 0 1 (1.43) K* được định nghĩa bởi: 2 tanh .Ke K   (1.44) Để đơn giản ta bắt đầu sử dụng phương pháp chéo hóa ma trận, chúng ta đặt số lớn nhất giữa K, K‟ và K‟‟ như tiêu chuẩn cho định nghĩa của K*.Chúng ta xác định được V1 là hệ số vô hướng : 1 , 1 1 exp{ *. } exp{ *. } l n r s s r V K C K B     (1.45) Hàm tổng thống kê được biểu diễn theo biểu thức dưới đây: 2 2 2 3 2 1 1 (2sinh 2 ) . ( ) (2sinh 2 ) n lm n l m n l m m i i Z K trace VV V K          (1.46) Với i là trị riêng của ma trận V≡V3.V2.V1 Từ tổng thống kê (1.46) ta có thể tính được năng lượng thống kê, tham số nhiệt động của hệ spin. Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 19 1.3.4.Năng lƣợng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising Trong mô hình Ising 1D, Erst Ising giả thiết tất cả các spin của nguyên tử đều tạo cặp và có hướng ngược nhau được mô tả ở hai trạng thái đặc trưng là trạng thái lên (spin up) và xuống (spin down)do đó từ trường được tạo ra bởi nguyên tử này lại bị phá hủy bởi từ trường của nguyên tử khác nên khi xét một lượng lớn các điện tử sắp xếp có spin theo hướng ngược nhau thì từ trường tổng cộng bằng 0 – không có từ tính. Wilhelm Lenz giả thuyết: vật liệu có tính sắt từ do các nguyên tử không tạo cặp và có thể tạo ra được từ trường. Từ trường tạo thành tác dụng lên các hạt tích điện làm các hạt tích điện này dịch chuyển theo hai hướng: Một hướng các hạt di chuyển cùng chiều từ trường – các hạt này có mang năng lượng thấp, hướng còn lại các hạt di chuyển theo hướng chống lại từ trường – các hạt này mang năng lượng cao.Giả sử vật liệu sắt từ được đặt trong một từ trường và được giữ ở nhiệt độ không đổi, khi đó từ trường này tạo ra trong mạng tinh thể một độ từ hóa nhất định do spin tại các nút mạng có xu hướng ở trạng thái “up”. Những kết quả tính toán và thực nghiệm cho thấy, độ từ hóa tạo thành này phụ thuộc vào từ trường và nhiệt độ: khi từ trường tác dụng giảm, ở vùng nhiệt độ cao mạng tinh thể trở về trạng thái không từ hóa (thuận từ), ngược lại ở vùng nhiệt độ thấp khi từ trường giảm về 0 độ từ hóa của mạng tinh thể vẫn khác 0 (do một số lượng nhỏ các spin vẫn ở trạng thái up). Độ từ hóa này được gọi là độ từ hóa tự phát. Xét tại vị trí thứ j (bất kỳ) trong mạng tinh thể với một biến spin độc lập jS  1,...j N , trong đó jS chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1 (hai trạng thái có thể có tại mỗi vị trí của mạng tinh thể). Với mỗi giá trị của jS tại một vị trí của mạng tinh thể cho ta một trạng thái (cấu hình) của hệ do đó khi xét với mạng tinh thể với N nút mạng sẽ có tất cả 2N trạng thái. Giả thiết rằng, chỉ có tương tác giữa những lân cận gần nhất và tương tác giữa các nút mạng với trường ngoài đóng góp vào năng lượng của hệ, khi đó năng lượng tổng cộng của hệ được xác định bằng Hamiltonian. Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 20   , jk j k j j k j H H S J S S hS     (1.47) Trong đó: jkJ là các thông số năng lượng phụ thuộc vào cường độ tương tác giữa những lân cận gần nhất và h là trường ngoài. Số hạng thứ nhất trong (1.47) lấy theo tổng tất cả các cặp lân cận gần nhất trong mạng tinh thể, số hạng thứ hai lấy theo tổng tất cả các nút mạng. Khi đó tổng thống kê Z hay hàm phân bố các trạng thái của hệ với Hamiltonian (1.6) có dạng:     1 , , , H S jkZ Z J h N e      (1.48) Trong đó: 1 Bk T   , k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ (nhiệt độ tuyệt đối), H là Hamiltonian của hệ. Xác suất tồn tại một trạng thái bất kỳ của hệ được xác định theo công thức:    H S e P S Z   (1.49) Từ biểu thức của hàm phân bố (1.7) ta có năng lượng tự do của mỗi spin được xác định theo công thức:     1 , , lim ln , , ,jk jk N F F J h Z J h N N      (1.50) Ở đây giới hạn N được gọi là giới hạn nhiệt động học. Khi đó mô men từ được xác định theo công thức:    , ,M h F h h      (1.51) Quá trình chuyển pha của hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising được thể hiện thông qua sự gián đoạn của biểu thức năng lượng tự do F hay trong đạo hàm của nó. Do đó để kiểm chứng các hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising có quá trình chuyển pha hay không cần xác định được tính gián đoạn hay liên tục của của hàm F hay F‟. Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 21 1.3.5 : Kết luận Như vậy đối với mô hình một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha, vật liệu không có từ tính. Với mô hình hai chiều và ba chiều xảy ra quá trình chuyển pha từ sắt từ sang thuận từ, vật liệu có từ tính. Trong những không gian có số chiều lớn hơn 4 mô hình Ising được giải thích bằng lý thuyết trường. Mô hình Ising chỉ xem xét các spin trong mối tương tác trao đổi với các spin lân cận nhất của nó với số lân cận gần nhất này được xác định bằng biểu thức Z=2d ( d là số chiều của mô hình ) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 22 CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH ISING MẤT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHÂN TRAO ĐỔI THĂNG GIÁNG VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này chúng ta cùng xây dựng biểu thức tính mô men từ theo hệ thức Callen và phương pháp Monte CarlO cho mô hình Ising mất trật tự. 2.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising mất trật tự. 2.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự. Hamiltonian cho mô hình Ising cho mạng spin tuần hoàn trong không gian với trường ngoài h được viết như sau [13]: 2 j k j j k j J H S S h S      (2.1) Ở đây, tổng được lấy với j chạy từ 1 đến N và sử dụng điều kiện biên tuần hoàn j j NS S  . Trong đó: ,j kS S lần lượt là biến spin tại các nút mạng thứ ,j k . ,j k : Là những lân cận gần nhất. h : Là ký hiệu của trường ngoài (tính trong đơn vị năng lượng). J : Là tích phân trao đổi giữa những lân cận gần nhất Giá trị trung bình thống kê của biến spin tại một vị trí j bất kỳ của mạng tinh thể được xác định: H j j H TrS e S Tre      (2.2) Với : 1 , B B k k T   là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ tuyệt đối (K). Trước hết Hamiltonian trong (2.1) có thế tách thành hai thành phần: số hạng thứ nhất ký hiệu là jH - bao gồm tất cả các liên kết tại vị trí j của mạng tinh thể và số hạng thứ hai – ký hiệu là 'H không phụ thuộc vào vị trí j . Khi đó Hamiltonian trong biểu thức (2.1) có thể viết lại: Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 23 'jH H H  (2.3) Với: j j k j j j k H J S S hS S E     và j k k E J S h  (2.4) Hj là từ trường tại vị trí j ( jE là hàm phụ thuộc vào biến số lân cận của spin tại vị trí j : kS do đó jE không phụ thuộc vào vị trí j ). Trong mạng tinh thể spin tại các vị trí ,j k khác nhau là các biến có thể giao hoán cho nhau do đó ta có: , 0j kS S    (2.5) Suy ra: , ' , , 0j j j jH H H H H H H              (2.6) Từ (2.2) ta có:         1 1 ' N N i i j j i i j Tr tr tr tr Tr tr              (2.7) Trong đó:   1 1i j S tr     là viết tắt của vết liên quan đến các thông số tại vị trí j và 'Tr được xác định bằng công thức:   1 ' N i i j Tr tr           (2.8) Từ biểu thức (2.3), (2.7), (2.8) biểu thức (2.2) trở thành:          ' ' ' ' j j H H jj j H HH jj H Tr tr S e S Tre Tr e tr S e Tre            (2.9) Thêm vào vế phải của (2.9) biểu thức:       1 j j H j H j tr e tr e      khi đó (2.9) trở thành: Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 24                   ' ' 1 ' 1 ' 1 j j j j j j j j H jjHH j j HH j H jH H j j HH j H jjH HH j tr S e S Tr e tr e Tre tr e tr S e Tr tr e Tre tr e tr S e Tre Tre tr e                                                        (2.10) Bằng cách sử dụng phương trình (2.7), (2.4) ta có thể xác định được biểu thức trong dấu ngoặc của phương trình (2.10):     1 1 2 2 jj j j j EH S E E j jtr e tr e e e        (2.11)     1 1 2 2 1 ( ) 2 j jj j j E EH S E j jj jtr S e tr S e e e        (2.12) Thay vào phương trình (2.11) ta thu được:  tanh 1 tanh 2 2 H j j j H Tr e E E S Tre         (2.13) Biểu thức (2.13) là hệ thức Callen trong mạng spin tuần hoàn trong không gian có số chiều bất kỳvới spin 1 2 S  [10,13] Vận dụng những tính toán giải tích dựa trên hệ thức Callen với mô hình Ising sẽ xác định được một số các tham số nhiệt động học như: mô men từ tổng cộng, nhiệt độ chuyển pha Curie, độ cảm từ... 2.1.2. Mô hình Isingmất trật tự với tích phân trao đổi thăng giáng và hệ thức Callen. Trong thực tế chúng ta gặp những hệ spin mất trật tự tương tác (trong hệ có thể có các loại tương tác sắt từ ( Jij >0) hoặc phản sắt từ (Jij<0) hay nhiều loại sắt từ khác nhau). Để khảo sát hệ spin mất trật tự loại này ta có thể sử dụng mẫu Ising mất trật tự. Hamiltonian của mô hình Ising mất trật tự được viết dưới dạng: Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 25 ij ij 1 2 i j B j j H J S S g h S    (2.14) Trong đó : Si , Sj là các spin ở vị trí thứ i và j của mạng. h : kí hiệu từ trường bên ngoài Jij : tích phân trao đổi của nút mạng thứ i và j là lân cận gần nhất nhưng có thể có giá trị khác nhau J và 'J với xác suất p và (1-p). Jij được coi như biến thăng giáng và tuân theo qui luật xác suất sau : ij ij ij( ) [ ] (1 ) [ ']P J p J J p J J        (2.15) (1 )J J   ; ' (1 )J J  (2.16) 0 1p  J : đặc trưng cho trao đổi sắt từ với xác suất là p 'J : đặc trưng cho trao đổi phản sắt từ với xác suất (1-p) khi ∆> 1, còn khi 1  nó cũng là trao đổi sắt từ nhưng với cường độ nhỏ hơn. J, ∆ : là giá trị trung bình của tích phân trao đổi và độ thăng giáng của nó. Để xây dựng phương trình xác định giá trị trung bình thống kê của mômen từcủa mô hình Ising, chúng ta có thể sử dụng hệ thức Callen tính toán giá trị trung bình của spin ở vị trí bất kì trong mạng tinh thể có số chiều bất kì và spin tùy ý. Đối với spin tùy ý hàm tanh(x) trong (2.13) được thay bằng hàm Brillouin BS(x): ( ) k s k rr S B E (2.17) Với k kj j k j E J S g hS   ; 1 Bk T   Trong đó Bs(x) là hàm Brillouin: 1 1 1 ( ) 1 1 2 2 2 2 s x B x cth x cth S S S S                      (2.18) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 26 k S là biến spin ở nút mạng k. Khi S=1/2 hàm Brillouin có dạng hàm tanh(𝛽𝐸𝑘 ) đã biết ở trên theo công thức (2.13). Hai dấu ngoặc trong công thức (2.17) có nghĩa là trung bình thống kê với Hamiltonian Ising H và trung bình theo hàm phân bố ngẫu nhiên P(Jij) ... ( ...) / ( )H HTr e Tr e   (2.19) ij ij ij ij( ) ( ) ( )r L J p J L J dJ  (2.20) 2.1.3: Phƣơng trình đại số cho mômen từ trên một nút mạng nhận bằng phƣơng pháp biến đổi tích phân. Biến đổi Fourier cho vế phải của công thức (2.11) dẫn đến phương trình tích phân cho mô men từ [6] : 0 ( ) Im exp(k s kr r m S F t iE t dt     (2.21) 0 2 ( ) ( )sin( )s SF t B x tx dx     (2.22) Dễ dàng biểu diễn biểu thức (2.22) dưới dạng: 22 2 1 ( ) ( ) 2 1 s S t sh S F t S t sh sh S t S                (2.23) Khi lấy giá trị spin S= 1 2 thì (2.22) có dạng: 1/2 0 sin x ( ) tanh( ) 2 tdt B x x t sh      (2.24) Khi spin S=1 thì công thức (2.22) trở thành : Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 27 1 0 2 ( ) 4 3( ) sin( ) 2 ( ) 1 t ch sh x B x tx dt sh x sh t         (2.25) Sử dụng biến đổi chuỗi Fourier áp dụng cho trường hợp spin S=1/2 thì giá trị trung bình trong công thức (2.21) được biểu diễn như sau : exp( exp( ) exp(k kj jr j r iE t ikt h it J S    (2.26) Bằng phép khai triển hàm số mũ trong biểu thức chúng ta có được phương trình tính mômen từ trên một nút mạng là : 1 2 10 ... ... n n z z n j j j n j j r m A S S S    (2.27) Vế phải là tổng của các hàm tương quan giữa n spin khác nhau và z là số spin lân cận gần nhất. Hệ số Ancó dạng tường minh là: 0 ( ) ( ) sin 2 sinh 2 z n n n a x b x n A hx dx x                    (2.28) Với a(x)=p cos𝛼(1+∆ )x+(1-p) cos 𝛼 (1-∆ )x (2.29) b(x)= p sin 𝛼 (1+∆ )x + (1-p) sin 𝛼 (1-∆ )x (2.30) Một số đại lượng thứ nguyên trong (2.28) , (2.29), (2.30) có ý nghĩa như sau: 𝛽𝐽 = 𝛼 ; 𝛽𝑔𝜇𝐵ℎ = 𝛼ℎ và ℎ = 𝑔𝜇𝐵ℎ 𝐽 (2.31) Trong gần đúngtrường hiệu dụng hàm tương quannhiều spin trong công thức(2.26) có thể coi gần đúng là : 1 1 ... z n k k k r S S S m (2.32) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 28 Theo lý thuyết trường hiệu dụng tương đương với gần đúng Orstein-Zernick mômen từ trung bình m là nghiệm của phương trình đại số (hệ quả của (2.27)) sau: 0 ( , , , , ) z n n z n n m C A p z h m    (2.33) Biểu thức (2.28) (2.33) sử dụng để tính sự phụ thuộc của mômen từ tỉ đối vào nhiệt độ ở các trường ngoài khác nhau và sự phụ thuộc của xác suất thăng giáng vào nhiệt độ trong quá trình cạnh tranh giữa sắt từ và phản sắt từ. Trong đó nzC hệ số nhị thức. Biến đổi từ phương trình trong trường hợp không có từ trường ngoài ( h=0) ta có phương trình xác định điểm Currie: 1 1 ( , , , ,0) 0czA p z   ; c b c J k T   (2.34) Phương trình (2.33)cho mômen từ có thể biến đổi để nhận được phương trình đại số tường minh hơn và giải được nghiệm kỳ dị tốt hơn bằng phương pháp thong thường. Ta viết lại công thức (2.27), (2.28) như sau:   0 Im sinh 2 zi htdt m a ibm t e          (2.35) Sử dụng khai triển nhị thức Newton cho công thức (2.35) ta được : 00 Im ( ) sinh 2 z n z n z i ht z n dt m C a ibm e t        (2.36) Với:    cos 1 sin 1 (1 )[cos (1 ) sin (1 ) ](2.37)a ibm p t mi t p t im t                 Đặt :   2222 11 mprmpr  , 2 2 1 cosh ,sinh 1 1 p m r m m       (2.38) 2 1 1)1( mpr  (2.39) Khi đó ta có: Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 29          1 cosh cosh 1 sinh sinh 1 cosh cosh 1 sinh sinh 1 a ibm r i t i t r i t i t                  (2.40) Sử dụng công thức lượng giác cho hàm hypebolic:  cosh cosh sinhxsinh coshx y y x y   Công thức (2.44) trở thành:            /2 21 cosh 1 1 cosh 1 zzz a ibm m p i t p i t                  (2.41) Sử dụng các công thức khai triển [7]:   1 2 2 22 0 1 cosh 2 cosh 2 2 n n k n n nn k x C n k x C              (2.42)   1 2 1 2 12 2 0 1 cosh cosh 2 2 1 2 n n k nn k x C n k x        (2.43) Từ các công thức (2.42), (2.43) sử dụng phương pháp truy hồi ta được:        ( ) 2 ( ) 0 1 cosh 1 cosh 2 22 n f n n k nn f n k n x C f n k f n n k t                  (2.44) Với:     0 2 1 2 1 f n khi n k f n khi n k        (2.45) Khi đó công thức (2.41) trở thành:             /2 2 0 1 cosh 1 1 cosh 1 2.46 zzz z nn n n z n z n a ibm m C p i t p i t                     Thay vào biểu thức (2.35) ta được biểu thức xác định mô men từ tỷ đối trên một nút mạng bất kỳ (hay phương trình đại số cho giá trị trung bình spin trên một nút mạng):           /2 2 00 Im 1 1 cosh 1 cosh 1 2.47 sinh 2 i ht z z z nn n n z n z n dt m m C p p i t i t t e                        Sử dụng công thức khai triển (2.44) ta được biểu thức xác định mô men từ tỷ đối như sau: Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 30                                   2/2 2 0 0 0 2 0 /2 2 1 1 Im sinh 2 1 1 cosh 1 2 22 1 1 cosh 1 2 22 1 n f n i ht z z nn n z n z k nn f n n z n f n l z n f nz n f n l z n k z n dt m m C p p t n C f n k f n i t n k z n C f z n l f z n i t z n l m C C C e                                                                                                        2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 1 2 2 1 Im cosh 1 2 1 2 2 sinh 2 cosh 1 2 1 2 n f n z n f n z nnz l z n f n z f n n k l i ht p p n z n f n k f n f z n l f z n i t n k i t z n k t i t n k i t z n l e                                                                                     (2.48) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 31 Xét tích phân:                                  0 0 1 Im cosh 1 2 1 2 2 2 2 sinh 2 cosh 1 2 1 2 2 2 2 Im cosh 2 2 2 2 2 2 2 2 sinh 2 cosh 2 2 2 2 2 2 2 i ht i ht dt I i t n k t z n l z k l t i t n k t z n l n z l k dt i z k l z k n l z k l t i z k l z k l z n k l e e                                                                                 0 Im exp{ 2 2 2 2 2 2 2 } 4 sinh 2 exp{ t[ 2 2 ( 2 2 2 ) ] ( 2 2 )} exp{ 2 2 2 2 2 2 2 2 } exp{ [ 2 2 2 ( 2 2 ) ] ( 2 2 ) dt i t z k l z k n l h z k l t i z k l z k n l h y z k l i t z n k l z k l h z n k l i t z n k l z k l h y z k l                                                                                           2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 } 1 = sin 2 2 2 2 2 4 sinh 2 sin 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 z k l z k l z n k l z n k l dt t z k l z k n l h t t z k l z k n l h t z k k l z k n l h t z n k l z k n l h e e e e                                                                     Để xác định tích phân I chúng ta sử dụng tích phân : 0 sin ' tanh sinh 2 2 ax a I x         (2.50) Khi đó ta xác định được tích phân (2.47): (2.49) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 32                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tanh 2 2 2 2 2 4 tanh 2 2 2 2 2 tanh 2 2 2 2 2 tanh 2 2 2 2 2 z k l z n k l z k l z n k l I z k l z k n l h e z n k l z k l h e z k l z k n l h e z n k l z k l h e                                                             (2.51) Hay :         1 , , , , , , , , , , , , , , 4 , , , , , , , , , , , , , , I X z n k l h X z n k l h Y z n k l h Y z n k l h                     (2.52) Trong đó:      2 2, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 z k lX z n k l h z n l z n k l h e                   (2.53)      2 2 2, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 z n k lY z n k l h z n k l z k l h e                  (2.54) Thay vào công thức (2.48) ta được : Phương trình đại số cho giá trị trung bình spin trên một nút mạng (hay mô men từ tỷ đối trên một nút mạng thứ j bất kỳ của mạng tinh thể) với hệ số X, Y được xác định theo (2.53), (2.54)                              2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , n f n z n f n z nnz n k l z n z n f n z f n n k l p p m m C C C n z n f n k f n f z n l f z n X z n k l h X z n k l h Y z n k l h Y z n k l h                                                                   (2.55) Mặt khác theo (2.38): tanh atanh m m    ta có: 1/2 /2 1 1 1 1 e e m m m e e m me e                            (2.56) Thay vào biểu thức (2.53), (2.54) ta được: Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ Luận văn tốt nghiệp 33     /2 1 , , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 2 1 z k l m X z n k l h m z n k l z n k l h m                       (2.57)     21 , , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 1 z n k l m Y z n k l h m z n k l z k l h m                       (2.58) Khi đó thay vào công thức (2.55) ta có:                              2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , n f n z n f n z n znz n k l z n z n f n z f n n k l p p m C C C m n z n f n k f n f z n l f n X z n k l h m X z n k l h m Y z n k l h m Y z n k l h m                                                              (2.59) Hay có thể viết:                            2 2 2 2 0 0 0 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , n f n z n f n z nnz n k l z n z n f n z f n n k l p p m C C C n z n f n k f n f z n l f n X z n k l h m X z n k l h m Y z n k l h m Y z n k l h m                                                             (2.60) Với các hệ số X, Y được xác định bằng biểu thức:        , , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 1 1 (2.61) k l z k l X z n k l h m z k l z n k l h m m                           , , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 1 1 2.62 n k l z n k l Y z n k l h m z n k l z k l h m m                    Còn : , B g h J h J     Biểu thức (2.60) (2.61) và (2.62) được sử dụng để tính sự phụ thuộc của mô men từvào từ trường ngoài ở nhiệt độ thấp Vậy :Mômen từ tỷ đối của mỗi nút mạng bất kỳ trong mạng tinh thể phụ thuộc vào nhiệt độ,