Luận văn Mô phỏng sóng cơ truyền trong cấu trúc đa lớp và ứng dụng trong siêu âm định lượng xương

ùy theo cường độ của âm dội. Sự di chuyển của đầu dò trên da bệnh nhân cho phép ghi lại cấu trúc âm của các mô trong cơ thể nằm trên mặt phẳng quét của chùm tia, đây là phương pháp siêu âm cắt lớp (Echotomography). Hình thu được từ các âm vang này sẽ được lưu trữ trong bộ nhớ và chuyển thành tín hiệu trên màn truyền bằng các chấm trắng, đen, xám. Siêu âm kiểu B này được ứng dụng trong các loại máy siêu âm xách tay đen trắng hay siêu âm phủ màu xách tay. Siêu âm kiểu Động (M-mode) là một kiểu hai chiều với tốc độ quét nhanh, tạo nên hình ảnh theo thời gian thực (real time). Với siêu âm kiểu M âm LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 12 vang sẽ ghi lại theo kiểu A, nhưng chuyển động theo thời gian nhờ màn hình quét ngang thường xuyên. Do đó những cấu trúc đứng yên trên màn hình là một đường thẳng, còn những cấu trúc chuyển động là một đường cong ngoằn nghèo tùy theo sự chuyển động của cơ quan thăm khám. Siêu âm kiểu này thường dùng để khám tim. Siêu âm kiểu Doppler sử dụng hiệu ứng Doppler để đánh giá và quan sát các dòng máu chảy trong mạch máu, đặc biệt được ứng dụng trong chẩn đoán các bệnh tim mạch. Với siêu âm kiểu 3D hiện nay có 2 loại, đó là loại tái tạo lại hình ảnh nhờ các phương pháp dựng hình máy tính và một loại được gọi là 3D thực sự (Live 3D, 3D real time, 4D). Siêu âm 3D do một đầu dò có cấu trúc khá lớn, mà trong đó người ta bố trí các chấn tử nhiều hơn theo hình ma trận, phối hợp với phương pháp quét hình theo chiều không gian nhiều mặt cắt, các mặt cắt theo kiểu 2D này được máy tính lưu giữ lại và dựng thành hình theo không gian 3 chiều. 1.4.2 Định lượng siêu âm xương Rất nhiều ứng dụng của kĩ thuật siêu âm đã được triển khai trên các mô mềm sinh học, tuy nhiên chỉ đến 20 năm gần đây người ta mới bắt đầu nghiên cứu để ứng dụng siêu âm trong việc chẩn đoán và chữa trị các bệnh về xương, mở ra sự phát triển của ngành định lượng siêu âm định lượng xương (QUS) [4- 8]. Đến nay, QUS đã đạt được một số các thành tựu nhất định như có thể chẩn đoán mật độ xương với độ chính xác tương đương với kỹ thuật đo mật độ tia X [9,10], hay theo dõi sự hồi phục của vết nứt xương, gãy xương[11]. Những lợi thế như không chứa các tia có khả năng ion hóa tế bào nên có thể dùng cho cả trẻ sơ sinh và phụ nữ có thai [12], rẻ tiền, nhỏ gọn, dễ di chuyển khiến cho QUS trở thành đối tượng nghiên cứu hấp dẫn do tính ứng dụng cao trong việc chăm sóc sức khỏe con người. Trong QUS, có ba kĩ thuật đo chính được sử dụng là [2]: Kĩ thuật đo xung – phản xạ: giống như siêu âm phần mềm, kĩ thuật đo xung phản xạ sử dụng một đầu dò đơn hoạt động như cả nguồn phát và nguồn LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 13 thu. Đầu dò này phát các xung sóng siêu âm truyền vào trong xương và thu lại phần tính hiệu bị phản xạ. Vận tốc truyền sóng phản ánh tính chất của xương do vậy có thể tính được dựa vào độ dày xương và thời gian trễ của tín hiệu phản xạ v = 2d=t với d là độ dày của xương [3] Kỹ thuật đo truyền ngang: sử dụng một cặp đầu dò phát/ thu đặt trên hai mặt đối diện nhau của mẫu xương. Đầu phát phát ra tín hiệu siêu âm, đi qua mẫu xương. Tín hiệu truyền qua được ghi lại bởi đầu thu. Qua việc so sánh tính hiệu này với một tín hiệu qua môi trường tham chiếu (thường được chọn là nước), người ta có thể rút ra được các thông số quan trọng của mẫu xương như vận tốc khối và hệ số suy giảm tần rộng [13-16]. Hình 1.7: Kĩ thuật đo truyền ngang trong định lượng siêu âm xương[2] Kĩ thuật đo truyền dọc là kĩ thuật định lượng siêu âm sử dụng một tập hợp các các đầu dò phát và thu được xếp thẳng hàng với nhau dọc theo trục xương. Thông số quan trọng trong phép đo này là thời gian tới (TOF) và vận tốc của tín hiệu tới đầu tiên (FAS). Tần số sóng siêu âm sử dụng trong câú hình này nằm trong khoảng 100 kHz đến 2.0 MHz, thấp hơn đáng kể so với tần số lâm sàng được sử dụng trong siêu âm thông thường của các mô mềm. LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 14 Hình 1.8: Kĩ thuật đo truyền dọc trong định lượng siêu âm xương [2] Kĩ thuật đo truyền dọc thường được dùng trong các phép đo định lượng siêu âm trên xương dài. Qua các phép đo, người ta có thể ước lượng mật độ, chiều dày cũng như độ đàn hồi của xương [17-20] LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 15 Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1.1 Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method -FEM) hay nhiều khi còn gọi là giải tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis - FEA) được phát triển vào cuối những năm 1940, ban đầu để phục vụ nhu cầu phát triển của kĩ thuật hàng không trong việc tạo ra những cấu trúc cho máy bay có khả năng chịu lực cao khi bay với tốc độ lớn. Do chưa có sự hỗ trợ của máy tính hiện đại, các kĩ sư đã phát triển một phương pháp dựa trên các ma trận để tính các lực tác động vào các phần của cấu trúc bay khi biết độ dịch chuyển/biến dạng của cấu trúc đó, và ngược lại, để tính độ dịch chuyển của cấu trúc khi biết lực là các phương pháp tiền thân của phương pháp phần tử hữu hạn. Thuật ngữ phần tử hữu hạn (FEM) được dùng đầu tiên bởi Clough [21] vào năm 1960 khi nghiên cứu ứng suất phẳng và được dùng phổ biến đến hiện nay. Trong các thập kỉ 60-70, FEM được phát triển và ứng dụng trong rất nhiều các lĩnh vực của khoa học kĩ thuật. FEM là phương pháp tính toán số nặng, sử dụng các ma trận với số chiều cao. Một trong những phần mềm sử dụng FEM đầu tiên - NASTRAN - được phát triển vào những năm 1960 phục vụ chương trình thám hiểm không gian của Mỹ. Hiện nay cũng có rất nhiều phần mềm tính toán được phát triển sử dụng FEM, có thể kể đến ANSYS ,ALGOR, hay COSMOS/M. Với năng lực của máy tính hiện nay, hầu hết các phần mềm này đều chạy được trên máy tính cá nhân, giải quyết rất nhiều bài toán tĩnh học hay động học của các cấu trúc, bài toán truyền nhiệt, sự chảy của chất lỏng, các bài toán điện từ, sóng trong các môi trường đàn hồi hay sóng địa chất 2.1.2 Các khái niệm và kĩ thuật cơ bản của FEM Giả sử ta có một miền vật liệu với những tính chất vật lý xác định. Để cho dễ hình dung ta xét trường hợp miền có dạng phẳng (Hình 2.2). Nguyên tắc tính toán của FEM dựa trên việc chia nhỏ miền xác định của bài toán thành LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 16 nhiều vùng con với kích thước hữu hạn, được gọi là các “phần tử”. Hình 2.2b cho thấy một phần tử hình tam giác bao phủ một vùng con hữu hạn của miền xác định. Ta thấy “phần tử” có thể có hình dạng bất kì. Các đỉnh của phần tử được đánh số, các điểm ở đỉnh gọi là các nốt (nodes). Một nốt là một điểm mà giá trị của biến trường sẽ được tính tường minh trong FEM. Các nốt nằm trên biên của phần tử được mô tả ở trên được gọi là các nốt ngoài và có thể giúp phần tử liên kết với các phần tử lân cận khác. Ngoài ra ta cũng có thể lấy các nốt không nằm trên biên phần tử được gọi là các nốt trong và không thể liên kết với bất cứ phần tử khác nào. Hình 2.2 b biểu diễn các phần tử tam giác chỉ có các nốt ngoài. Hình 2.2 Sự chia nhỏ miền khảo sát với phần tử hình tam giác trong phương pháp phần tử hữu hạn [22]. Nhìn vào hình 1c, ta thấy một phần tử bất kì đều liên kết với các phần tử khác qua nốt ngoài của chúng (element connectivities). Điều kiện rằng, các biến trường của hai phần từ có giá trị như nhau tại mọi nốt liên kết hai phần tử đó cho phép ta thiết lập phương trình FEM cho tất cả các nốt trong toàn vùng. Điều kiện này được gọi là điều kiện liên tục của biến trường, đảm bảo cho tính vật lý của nghiệm và sự thiết lập phương trình cho các nốt trên toàn vùng được gọi là sự ghép nối (assembling). Có thể thấy độ chính xác của phương pháp phụ LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 17 thuộc vào việc định nghĩa các phần tử. Số phần tử càng nhiều, số nốt càng lớn thì độ chính xác càng cao. Một số ví dụ kinh điển về thiết lập FEM trong tính toán chính xác các kết cấu tĩnh học trong chương 2,3,4 của tài liệu tham khảo [22], ở đó người ta quan tâm tới lực và độ dịch chuyển tại một số điểm gián đoạn của cấu trúc cơ học. Tuy vậy, trong các bài toán truyền sóng, truyền nhiệtta cần tìm trường vật lý biểu diễn quá trình tại mọi điểm thuộc miền xác định. Phương pháp Galerkin-FEM được phát triển [23,24] nhằm giải quyết vấn đề này. Nội dung chính của phương pháp sẽ được trình bày chi tiết ở mục 2.2. Điểm mấu chốt của Galerkin FEM là sử dụng các hàm ngoại suy đã biết để mô tả sự biến thiên của các biến trường tại một điểm bất kì nằm trong phần tử. Giá trị gần đúng của biến trường tại một điểm bất kì có tọa độ (x,y) được suy ra từ các giá trị biến trường tại các nốt. Ví dụ, cho phần tử ba nốt biểu diễn trên đây, giả sử giá trị của trường được xác định tại các nốt 1, 2, và 3 lần lượt được xác định là và , ta có thể tìm biến trường bằng biểu thức gần đúng dưới đây: Á(x; y) = N1(x; y)Á1 + N2(x; y)Á2 + N3(x; y)Á3 (1) Trong đó và là các hàm ngoại suy (interpolation functions) hay hàm định dạng (shape functions) thỏa mãn một số điều kiện nhất định tại các nút. Thông thường, người ta sử dụng các hàm ngoại suy dạng đa thức. Nếu các biến trường là vô hướng (như nhiệt độ trong bài toán truyền nhiệt chẳng hạn), thì các phần tử tam giác cho bởi phương trình (1) được gọi là có 3 bậc tự do. Nếu biến trường là một véc tơ, ví dụ như véc tơ độ dịch chuyển trong phương trình truyền sóng 2 chiều thì các phần tử tam giác này có 6 bậc tự do. Tóm lại, số bậc tự do của phần tử bằng tích của số nốt của phần tử với số giá trị cần tính của biến trường tại một nốt. Một chương trình tính toán sử dụng FEM thường có 3 giai đoạn: a) Giai đoạn tiền xử lý, cần có những thủ tục: -Định nghĩa vùng xác định hình học của bài toán -Định nghĩa loại phần tử sẽ được sử dụng LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 18 -Định nghĩa tính chất hình học của phần tử -Định nghĩa tính chất vật liệu cho phần tử -Định nghĩa liên kết giữa các phần tử để tạo lưới (assembling) -Định nghĩa các điều kiện ràng buộc vật lý (điều kiện biên) b) Thiết lập tính toán -Tính toán các biến trường cơ bản -Tính toán các biến trường thứ phát c) Hậu xử lý -Kiểm tra tính hội tụ của nghiệm -Kiểm tra tính vật lý của nghiệm 2.2 Phương pháp trọng số thặng dư và Garlerkin FEM Vấn đề mà luận văn này quan tâm tới cũng giống như phần lớn các bài toán trong khoa học và kĩ thuật đều được quy định bởi một phương trình vi đối với biến vật lý tương ứng, thỏa mãn những điều kiện biên nhất định. Trong một số trường hợp đơn giản ta có thể tìm nghiệm chính xác của bài toán (lời giải mạnh strong formulation). Tuy nhiên, trong đại đa số các trường hợp, sự phức tạp của phương trình vật lý cùng với sự phức tạp trong cấu trúc hình học của miền xác định và điều kiện biên khiến cho khả năng tìm được nghiệm chính xác là thấp, ta phải phát triển những kĩ thuật để tìm nghiệm gần đúng của phương trình và Galerkin FEM là một trong những kĩ thuật này. Galerkin FEM được phát triển dựa trên một kĩ thuật gần đúng cơ bản hơn: Phương pháp trọng số thặng dư. 2.2.1 Phương pháp trọng số thặng dư Phương pháp trọng số thặng dư là phương pháp gần đúng để giải quyết các phương trình vi phân bằng cách sử dụng một tập hợp hàm cơ bản được chọn thỏa mãn trước các điều kiện biên, và sử dụng một tích phân để tối thiểu hóa sai số trung bình trên toàn bộ miền xác định của bài toán. Để đơn giản, chúng tôi trình bày ở đây một ví dụ. Xét phương trình vi phân một chiều LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 19 (2) với điều kiện biên (3) Phương pháp trọng số thặng dư tìm nghiệm gần đúng của phương trình dưới dạng: (4) Với là nghiệm gần đúng, được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp của các tích giữa hằng số cần được xác định với hàm thử . Điều kiện tiên quyết với hàm thử là chúng liên tục trên vùng đang được xét và thỏa mãn chính xác các điều kiện biên. Thay nghiệm ở phương trình (4) vào phương trình (2) ta định nghĩa sai số thặng dư như sau: (5) ở đó là phần thặng dư. Chú ý rằng thặng dư cũng là một hàm của các hệ số . Phương pháp trọng số thặng dư đòi hỏi rằng, các hệ số được tìm sao cho (6) với là tập hợp hàm trọng số ngẫu nhiên. Ta thấy rằng, tích phân trên cho ta một hệ n phương trình tuyến tính với cho n ẩn số . Phương trình (6) đòi hỏi rằng tổng các sai số với trọng số bất kì trên toàn bộ miền xác định là bằng 0. Chúng ta cần chú ý rằng, do điều kiện rằng các hàm thử thỏa mãn điều kiện tại các biên, nên lời giả là chính xác tại biên, tuy vậy tại một điểm bất kì, lời giải có sai số khác 0. Phương pháp trọng số thặng dư có thể tìm thấy lời giải trùng với nghiệm chính xác trong một số trường hợp đặc biệt, nhưng do “may mắn” hơn là có tính quy luật. Trong các trường hợp 2, 3 chiều việc tìm ra các hàm thử thích hợp cho phương trình vi phân cũng là việc tương đối khó khăn. Ta có thể thấy một số các biến thể của phương pháp trọng số thặng dư như phương pháp lặp điểm, lặp vùng con, bình phương tối thiểu hay phương LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 20 pháp Galerkin. Trong phương pháp Galerkin, hàm trọng số được chọn trùng với hàm thử: (7) Bởi vậy, các ẩn số được xác định bởi n phương trình: (8) 2.2.2 Phương pháp Galerkin cho phần tử hữu hạn Phương pháp trọng số thặng dư đã trình bày trong phần trên sử dụng các hàm thử có tính toàn cục, tức là mỗi hàm thử được sử dụng trong toàn miền và từng hàm đều thỏa mãn điều kiện biên. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày sự ứng dụng của phương pháp này trong FEM. Giả sử chúng ta xem xét phương trình vi phân một chiều (9) thỏa mãn điều kiện biên (10) Chia miền xác định thành M “phần tử” bởi M+1 điểm chia sao cho và . Ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng (11) ở đó là lời giải tại nốt thứ ( ) cần phải tìm trong bài toán và là hàm thử tương ứng. Ở đây có sự khác biệt lớn hàm thử trong FEM: Các hàm chỉ nhận giá trị khác 0 trong khoảng . Hàm thử đơn giản nhất có dạng đa thức bậc nhất được định nghĩa như sau: (12) LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 21 Ta thấy rõ ràng rằng các hàm thử không gì khác chính là các hàm ngoại suy tuyến tính sao cho nghiệm trong khoảng [ ] là tổ hợp tuyến tính của các giá trị nốt lân cận và . Ví dụ, trong khoảng ta có: (13) Chú ý rằng các hàm thử ở đây được chọn là tuyến tính. Các hàm ngoại suy dạng đa thức bậc cao hơn cũng có thể được sử dụng. Thay biểu thức của vào phương trình (9), ta có biểu thức của thặng dư : (14) Áp dụng phương pháp trọng số thặng dư Galerkin, lấy các hàm trọng số giống hệt các hàm thử, ta thu được (15) với . Chú ý rằng trong khoảng chỉ có hai hàm thử là khác 0, do vậy phương trình trên chuyển thành (16) Tính tích phân trên ta được hệ phương trình cho giá trị cần tính của các giá trị nốt . Công thức này gọi là công thức yếu (weak formulation) với ý nghĩa nghiệm là gần đúng. Việc thiết lập công thức yếu cho hệ đang khảo sát làthao tác quan trọng nhất của phương pháp Galerkin FEM. Công thức 16 có thể viết lại dưới dạng ma trận: (17) [K] được gọi là ma trận độ cứng của hệ (stiffness matrix), {y} là véc tơ “dịch chuyển” ở các nốt và {F} là véc tơ “lực” tại các nốt. Phương trình 17 là dạng hình thức của Galerkin FEM, bao gồm cả bước tính toán cho từng phần tử và bước kết nối các phần tử. Như đã nói ở trên, phương trình 17 biểu diễn một cách nguyên tắc phương pháp Galerkin FEM. Trong các tính toán thực tế LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 22 khi số phần tử là rất lớn, ma trận độ cứng có số chiều lớn và không thể tính toán trực tiếp được. Người ta thường tính ma trận độ cứng cho từng phần tử và dùng kĩ thuật kết nối để tạo ma trận độ cứng toàn cục. 2.3 Quy trình thực hiện Galerkin FEM 2.3.1 Giải phương trình vi phân đơn giản bằng Galerkin FEM Để minh họa, chúng tôi sẽ các bước ứng dụng của phương pháp Galerkin FEM để giải một phương trình vi phân, từ đó tóm lược các bước thực hiện Galerkin FEM. Để tiện so sánh kết quả, ta chọn phương trình vi phân đơn giản có nghiệm giải tích (18) thỏa mãn điều kiện biên (19) Phương trình này có nghiệm giải tích là . Bây giờ ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp Galerkin FEM Thiết lập công thức yếu cho bài toán Lấy là hàm thử thỏa mãn các điều kiện biên (20) Nhân phương trình với và lấy tích phân trên miền xác định, ta có (21) Lấy tích phân từng phần ta được: (22) Do điều kiện biên , ta thu được (23) Đây là công thức yếu (weak formulation) của phương trình. Phần tử và nốt LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 23 Ta chia miền xác định [0,1] thành N đoạn thẳng bằng nhau, mỗi đoạn thẳng có độ dài . Định nghĩa các điểm nốt (24) Lúc đó, đoạn thẳng thứ k được giới hạn bởi , ta định nghĩa đây là phần tử thứ k. Tập hợp các nốt và phần tử được gọi là một lưới phần tử. Hình 2.3 Biểu diễn các phần tử và các nốt cho trường hợp N=5. Hình 2.3 Lưới các phần tử của bài toán trong miền xác định [0,1] Hàm cơ sở Với phép chia lưới phần tử như ở trên, ta có: (25) Bởi vậy các hàm thử là (26) (27) (28) Thiết lập hệ phương trình tuyến tính Ta tìm lời giải dưới dạng (29) Do tính chất của các hàm thử, ta có thể thấy các lời giải ở nốt thỏa mãn (30) Đạo hàm của lời giải là LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 24 (31) Thay vào công thức yếu, ta được (32) hay (33) hoặc dưới dạng ma trận: (34) ở đó (35) (36) . Các phần tử ở hàng thứ nhất (i=1) là (37) (38) Đóng góp địa phương của từng phần tử và ráp nối toàn cục (assembling) Ta có thể viết (39) (40) Ta có thể thấy đóng góp cho từ phần tử k là (41) LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 25 Ta thấy rằng trong khoảng [ ] chỉ có các hàm là khác 0, bởi vậy tích phân trên chỉ đóng góp các số hạng khác 0 vào các phần tử . Ma trận 2x2 này được gọi là ma trận độ cứng địa phương của phần tử thứ k . Tuy vậy do dạng của hàm thử và cách chia phần tử là đồng nhất nên ta thấy ma trận này không thay đổi với mọi phần tử. Thay giá trị của hàm cơ sở vào ta tính được: (42) Tương tự ta có (43) Việc thiết lập ma trận toàn cục từ từng phần tử được gọi là kỹ thuật ghép nối (assembling). Sự thành lập ma trận độ cứng toàn cục được minh họa theo quy tắc dưới bảng sau. Chỉ số trong ma trận độ cứng cục bộ Chỉ số trong ma trận độ cứng toàn cục Chỉ số trong véc tơ lực cục bộ Chỉ số trong véc tơ lực cục bộ Hàng Cột Hàng Cột Cột Cột 1 1 k k 1 k 1 2 k k+1 2 1 k+1 k 2 k+1 2 2 k+1 k+1 Bảng 2: Vị trí của các phần tử của ma trận độ cứng và véc tơ lực cục bộ trong biểu diễn toàn cục Giải hệ phương trình Lời giải FEM của phương trình tương ứng với số phần tử khác nhau cho lưới được biểu diễn trong Hình 2.3 so sánh với lời giải giải tích. Ta thấy số phần tử càng lớn thì lời giải FEM càng tiệm cận lời giải giải tích. LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 26 Hình 2.3 Lời giải FEM với số phần tử bằng 2 (đường liền nét, màu vàng), bằng 5 (liền nét, màu đỏ) và bằng 10 (đường chấm trắng) so sánh với lời giải giải tích (đường liền nét, màu xanh) của phương trình 2.3.2 Tóm lược quy trình giải thuật Galerkin FEM Qua ví dụ trên ta có thể tóm lược lại các bước giải thuật Galerkin FEM như sau: Bước 1: Thiết lập công thức yếu (weak formulation) với hàm thử thỏa mãn điều kiện biên của phương trình vật lý. Bước 2: Định nghĩa lưới các phần tử hữu hạn bằng cách chia miền xác định thành những phần nhỏ và xác định các nốt của các phần tử. Bước 3: Dựa trên định nghĩa phần tử và vị trí các nốt, thiết lập công thức cho hệ các các hàm cơ sở. Bước 4: Biến đổi công thức yếu của bài toán để xác định hệ phương tình tuyến tính mà hệ phải thỏa mãn. Bước 5: Tính toán đóng góp địa phương của các phần tử và thực hiện ráp nối toàn cục. LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 27 Bước 6: Giải hệ phương trình tuyến tính và lấy ra nghiệm của phương trình. LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 28 Chương 3. SỰ TRUYỀN CỦA SÓNG DẪN SIÊU ÂM TRONG CẤU TRÚC ĐA LỚP MÔ TẢ XƯƠNG DÀI 3.1 Sóng dẫn và phép định lượng sóng dẫn siêu âm trong xương dài Như đã trình bày trong chương 1, cấu hình đo truyền dọc thường được sử dụng để khảo sát tính chất của các xương dài [17]. Cấu hình này sử dụng một hay một tập hợp các điện cực thu và một hay một tập hợp các điện cực thu nằm trên một trục song song với trục xương và trên cùng một mặt phẳng của cấu trúc xương. Mặt trên của lớp xương có thể được phủ một lớp da, mặt dưới của bản xương có thể tiếp xúc với lớp tủy sống. Sóng siêu âm phát ra từ nguồn phát (transmitter), truyền đi trong cấu trúc xương, và được ghi lại bởi các điện cực thu (receivers) tại các vị trí khác nhau bằng cách di chuyển điện cực thu dọc theo trục của xương hoặc sử dụng một mảng các điện cực thu offset. Hình 3.1 Sơ đồ cấu hình đo truyền dọc trong phép định lượng siêu âm xương Sự hiểu biết lý thuyết sóng là cần thiết để phân tích và đoán nhận tín hiệu. Từ góc độ toán học, sóng truyền trong xương là nghiệm của phương trình sóng trong môi trường đàn hồi. Phương trình sóng này được rút ra tử phương trình định luật 2 Newton (biểu diễn mối liên quan giữa lực tác dụng và đạo hàm bậc 2 theo thời gian của độ dịch chuyển của các phần tử vật chất) và định luật Hook’s (liên hệ tensor nén với tensor độ biến dạng thông qua tensor đàn hồi). Xét trường hợp khi môi trường là đồng nhất và đẳng hướng, phương trình này Nguồn phát Nguồn thu LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 29 gọi là phương trình Navier [25]. Cho các môi trường kích thước vô cùng lớn và không bị giới hạn bởi các mặt phân cách, phương trình sóng viết được thành hai thành phần độc lập: (44) (45) ở đó (46) ở đó và lần lượt là các hệ số Lamé liên quan đến các tensor stress và strain và là khối lượng riêng của môi trường. Nghiệm của phương trình sóng cho ta hai loại sóng độc lập: Một sóng dọc thường được gọi là L-wave truyền với vận tốc , và một sóng ngang thường được gọi là wave truyền với vận tốc . Khi xét đến tính không đồng nhất của môi trường, phương trình sóng trở thành phương trình Christoffel [25]. Số nghiệm thu được cho các sóng khối là 3: một sóng dọc L-wave có vận tốc pha lớn nhất và hai sóng ngang nằm trên mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng dọc là các sóng SH và SV truyền theo phương Ox. Trong trường hợp tổng quát môi trường các sóng khối là giả dọc hay giả ngang. Mẫu xương trong thực tế không phải là môi trường vô hạn mà nó có kích thước nhất định và phân cách với môi trường bên ngoài bởi các mặt phân cách. Lúc đó, sóng truyền trong xương không những bị quy định bởi phương trình sóng (các phương trình Navier, Christoffel như đã nói ở trên) mà còn bị ràng buộc bởi một loạt các phương trình biểu diễn điều kiện biên. Điều kiện biên cứng (nghĩa là sự triệt tiêu của véc tơ độ dịch chuyển và tensor độ nén tại mặt phân cách) hoặc điều kiện biên liên tục (nghĩa là sự liên tục của véc tơ độ dịch chuyển và của tensor độ nén khi đi qua mặt phân cách) thường được sử dụng trong các bài toán. Một số hiện tượng vật lý xảy ra tại mặt phân cách có thể LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 30 hiểu như là biểu hiện vật lý của điều kiện biên: phản xạ, tán xạ và hiện tượng đổi modes. Hiện tượng đổi modes xảy ra khi sóng tới đến theo một góc xiên với mặt phân cách. Giả sử sóng dọc tới chạm tới mặt phân cách dưới một góc khác trực giao, tồn tại một thành phần áp lực song song với mặt phân cách có thể gây ra dịch chuyển của các hạt dẫn đến sự hình thành sóng ngang, đây chính là hiện tượng chuyển mode sóng. Theo đó, cho sóng L‐wave tới, ta có thể có sóng phản xạ kiểu L và kiểu S và sóng tán xạ trong môi trường thứ hai kiểu L hay kiểu S. Do các biên sóng truyền trong môi trường hữu hạn là chồng chập tuyến tính của các sóng khối L và S sau một cơ số các lần bị phản xạ, tán xạ và chuyển modes tại mặt phân cách, gọi là các sóng dẫn. Ta thấy, vật rắn với kích thước vô hạn chỉ cho một số hữu hạn các kiểu sóng được truyền đi (1 L-wave và 2 S-waves). Ngược lại, vật có kích thước hữu hạn cho phép vô số các kiểu (mode) sóng truyền trong nó. Bó sóng trong bản phẳng đồng nhất đẳng hướng là bài toán tiêu biểu về sóng dẫn. Các sóng dẫn trong bản phẳng đồng nhất được gọi là sóng Lambs Các modes sóng trong sóng Lamb chia làm hai loại tùy theo tính chất của dao động: loại thứ nhất là các modes sóng đối xứng kí hiệu là , với và loại thứ hai là kiểu bất đối xứng kí hiệu , Liên hệ giữa vận tốc pha và tần số của các kiểu sóng Lamb được rút ra từ nghiệm thực của các phương trình: (47) Cho kiểu sóng đối xứng và (48) cho kiểu sóng phản xứng. Ở đây, , với là vận tốc pha của bó sóng. , và là vận tốc của các sóng khối kiểu dọc và kiểu ngang, h là độ dày bản xương Định nghĩa vận tốc nhóm của bó sóng bằng biểu thức LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh 31 vg = d! dk = c2p