Luận văn Môđun compắc tuyến tính theo nghĩa zöschinger

ép chiếu lên thành phần SRiR. Với mỗi i I, ta có URiR=Ker RiRp là môđun tối đại của M do M/Ker RiRp SRiR là môđun đơn. Vì với mỗi i I, Rad(M) ⊆ URiR nên Rad(M) ⊆ R RURiR=U, điều này có nghĩa là Rad(M) ⊆ r(M). Mệnh đề 2.1.14. Cho M là một R-môđun, khi đó Chứng minh. Cho U là một môđun con tối đại của M, ta có M/U R/ với là một iđêan tối đại nào đó của R. Vì (M/U)=0 nên M⊆ U, điều này có nghĩa là R R M⊆Rad(M). Đảo lại, với mỗi Ω ta có M/ M là R/ - không gian vectơ nên cũng là một R-môđun nửa đơn. Theo 2.1.14 ta có Rad(M) ⊆ R R M như yêu cầu. Hệ quả 2.1.15. M là R-môđun căn nếu và chỉ nếu M=M với mọi Ω . 18 Chứng minh. M là môđun căn nếu và chỉ nếu M=Rad(M)= R R M, nếu và chỉ nếu M=M với mọi Ω . Hệ quả 2.1.16. Cho M là một R-môđun căn, khi đó (1) Môđun thương của M là môđun căn. (2) Hạng tử trực tiếp của M là môđun căn. Chứng minh.(1) Cho U là môđun con của M, với mọi Ω ta có (M/U)= M+U/U=M+U/U=M/U. Vậy M/U là môđun căn.(2) Nếu M=UR R B thì U M/B là môđun căn. Hệ quả 2.1.17. Mỗi R-môđun M có một môđun con căn lớn nhất. Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh M có môđun con căn tối đại nhờ bổ đề Zorn. Gọi là tập tất cả các môđun con căn của M được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm, ta có do 0 . Gọi R0R là một tập con sắp thứ tự toàn phần của và đặt UR0R=R RU. Ta có UR0 Rlà một môđun con của M do RUR0R⊆ R R U⊆UR0R. Hơn nữa, với mỗi Ω , ta có UR0R=R R U=UR0R nên UR0R là môđun căn, tức là UR0R R0R. Vì R0 Rcó cận trên nên theo bổ đề Zorn, có phần tử tối đại. Sau cùng, cho U,V là các môđun con căn tối đại của M, ta khẳng định U=V. Thật vậy, nếu U V thì U+VR R U và U+V là môđun con căn do (U+V)= U+ V=U+V, điều này mâu thuẫn với tính tối đại của U. Định nghĩa 2.1.18. Môđun con căn lớn nhất của R-môđun M được kí hiệu là P(M). Bổ đề 2.1.19. Cho M là một R-môđun và x M. Khi đó nếu Rx không nhỏ trong M thì tồn tại môđun con tối đại K của M sao cho x∉ K. Chứng minh. Xét ={B B là môđun con thật sự của M và Rx+B=M}. Ta có là tập sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm và do Rx không nhỏ trong M. Gọi R0R là một tập con sắp thứ tự toàn phần của và đặt BR0R=R RB. Để có BR0R R0R ta chỉ cần chứng minh BR0R là môđun con của M và BR0R M. Điều này dễ thấy vì nếu BR0R=M thì tồn tại B R0R sao cho x B, nhưng khi đó B=Rx+B=M, mâu thuẫn. Tóm lại ta có BR0R R0R và do đó theo bổ đề Zorn có phần tử tối đại K thoả yêu cầu. Mệnh đề 2.1.20. Cho M là một R-môđun, khi đó Rad(M) bằng tổng của tất cả các môđun con nhỏ trong M. 19 Chứng minh. Đặt r(M) là tổng của tất cả các môđun con nhỏ trong M. Trường hợp M không có môđun con tối đại, ta có r(M) ⊆ M=Rad(M). Trong trường hợp ngược lại, cho U là một môđun con tối đại của M. Nếu K M thì phải có K⊆ U vì điều ngược lại đưa đến UR R U+K=M và do đó U=M, mâu thuẫn. Tón lại ta có r(M) ⊆Rad(M). Để thấy chiều ngược lại, lấy x Rad(M). Ta phải có Rx M vì điều ngược lại theo 2.1.20 đưa đến tồn tại môđun con tối đại K⊆ M sao cho xR R K, tức là xR R ad(M), mâu thuẫn. Tóm lại ta có Rx M và do đó x r(M). Điều này có nghĩa là Rad(M)=r(M). Mệnh đề 2.1.21. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, khi đó mỗi môđun con thật sự của M chứa trong một môđun con tối đại. Chứng minh. Giả sử M được sinh bởi các phần tử xR1R,...,xRnR và U là một môđun con thật sự của M. Gọi ={B R R B là môđun con của M thoả U⊆ BR R M} ta có là tập sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm và do U . Xét R0R là một tập con sắp thứ tự toàn phần của và cho U=R RB. Nếu U=M thì với mỗi i {1,...,n} tồn tại BRiR R0R sao cho xRiR BRiR, khi đó R RBRiR R0R và R RBRiR=M, vô lý. Như vậy phải có UR R M, tức là U R0R. Từ đây theo bổ đề Zorn, có phần tử tối đại như yêu cầu. Định nghĩa 2.1.13. Một R-môđun M được gọi là coatomic nếu mỗi môđun con thật sự của M chứa trong một môđun con tối đại. Hệ quả 2.1.14. Mỗi R-môđun hữu hạn sinh là coatomic. Hệ quả 2.1..15. Nếu M là R-môđun căn, đồng thời M hữu hạn sinh thì M=0. Chứng minh. Nếu M 0 thì theo 2.1.22, M có môđun con tối đại, mâu thuẫn với giả thiết M là môđun căn. 2.2. Môđun compắc tuyến tính Định nghĩa 2.2.1. Một họ {xRiR+URiR}R R gồm các đối tập của các môđun con của R- môđun M được gọi là có tính giao hữu hạn nếu 20 với bất kỳ tập con hữu hạn J⊆ I. Định nghĩa 2.2.2. Một R-môđun M được gọi là compắc tuyến tính nếu M có tính chất: Nếu {xRiR+URiR}R R là một họ các đối tập của các môđun con của M có tính giao hữu hạn thì Mệnh đề 2.2.3. Cho M là một R-môđun compắc tuyến tính và U là một môđun con của M. Khi đó U và M/U là các môđun compắc tuyến tính. Chứng minh. Vì đối tập của một môđun con của U cũng là đối tập của một môđun con của M nên rõ ràng U compắc tuyến tính, ta chỉ cần chứng minh M/U compắc tuyến tính. Gọi p:M M/U là phép chiếu tự nhiên và cho {p(xRiR)+p(URiR)}R R là một họ các đối tập của các môđun con của M/U có tính giao hữu hạn, tức là (p(xRiR)+p(URiR)) với mọi tập con hữu hạn J⊆ I. Khi đó, ta có {xRiR+URiR+U}R R là một họ các đối tập của các môđun con của M có tính giao hữu hạn. Thật vậy, với mỗi tập con hữu hạn J⊆ I ta cần chỉ ra R R(xRiR+URiR+U) . Theo trên, tồn tại x M sao cho p(x) R R(p(xRiR)+p(URiR)), như vậy với mọi i J ta có p(x-xRiR) p(URiR) ftrightarrow x- xRiR-uRiR U với uRiR URiR. Điều này có nghĩa là x-xRiR URiR+U với mọi i J, tức là R R(xRiR+URiR+U) như yêu cầu. Từ đây ta thu được R R(xRiR+URiR+U) do M compắc tuyến tính. Và với x R R(xRiR+URiR+U) ta cũng có p(x) R R(p(xRiR)+p(URiR)), điều này cho thấy M/U compắc tuyến tính. Mệnh đề 2.2.4. Mỗi R-môđun artin là compắc tuyến tính. Chứng minh. Cho {xRiR+URiR}R R là một họ các đối tập của các môđun con đóng của M có tính giao hữu hạn. Vì M artin ta có thể giả sử R R là phần tử tối tiểu của tập {R RURiR J⊆ I và J hữu hạn}. Cố định x M sao cho jj ii Uxx =− với mọi j {1,2,...,n}, ta khẳng định x-xRiR URiR với mọi i I. Thật vậy, với mỗi i I, lấy x' M sao cho jj ii Uxx ∈−' với mọi j {1,2,...,n} và x'-xRiR URiR. Khi đó ta có tức là x-xRiR=(x-x')+(x'-xRiR) URiR. 21 Định nghĩa 2.2.5. Cho là một iđêan của R và r R. Một R-môđun M được gọi là r- chia được nếu rM=M, M được gọi là -chia được nếu M=M. Mệnh đề 2.2.6. Cho R là vành noether, M là một R- môđun và là một iđêan của R. Khi đó (1) M là - chia được nếu và chỉ nếu không nằm trong một iđêan nguyên tố đối liên kết nào của M. (2) M là môđun căn nếu và chỉ nếu Coass(M) không chứa iđêan tối đại. (3) M M nếu và chỉ nếu chứa trong tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết của M. (4) M là coatomic nếu và chỉ nếu Coass(M) chỉ chứa các iđêan tối đại. Chứng minh.(1) Đầu tiên, ta chỉ ra một kết quả tổng quát hơn rằng Coass(M/ M) = Coass(M)∩V( ). Luôn có Coass(M/ M) ⊆Coass(M) và rõ ràng với mỗi P Coass(M/ M) ta có ⊆Ann(M/ M) ⊆P vì thế P V( ). Đảo lại, cho P Coass(M) ∩ V( ), tức là ⊆P=I(M') với môđun thương M' nào đó của M. Nếu M' là - chia được thì xM'=M' với x ⊆P. Vì vậy xR R I(M')=P, mâu thuẫn. Vì thế M' không là - chia được, tức là yM' M' với y nào đó. Do đó P=I(M')=I(M'/ M') với M'/ M' là môđun thương của M/ M, tức là P Coass(M/ M). Như vậy M không là - chia được nếu và chỉ nếu M M, nếu và chỉ nếu Coass(M/ M)=Coass(M) ∩ V( ), nếu và chỉ nếu tồn tại P⊆ và P Coass(M). Ta đã chứng minh được (1). (2) Theo 2.1.16,, M là môđun căn nếu và chỉ nếu M là - chia được với mọi Ω . Điều cần chứng minh có ngay từ(1). (3) Nếu M M thì Coass(M)=Coass(M/ M), do đó Coass(M) ⊆ V( ), tức là ⊆P với mọi P Coass(M). Nhưng nếu M không nhỏ trong M thì có một môđun thương lõm - chia được M' của M và P=I(M') không chứa theo(1). (4) Cho P Coass(M), ta có P=I(M/MR0R)=I((M/MR0R)/(K/MR0R))= I(M/K) với môđun con MR0R nào đó và môđun con tối đại K chứa MR0R. Vì M/K R/ với iđêan tối đại nào đó, ta có P=I(R/ )={x R xR+ R}. Nếu x thì xR+ = R vì thế x P. Vậy ⊆P kéo theo =P. Đảo lại giả sử Coass(M) ⊆ Ω , khi đó với mỗi 22 X M ta có M/X không là môđun căn theo(2), tức là X chứa trong một môđun con tối đại của M. Hệ quả 2.2.7. Cho R là vành noether và M là một R-môđun. Khi đó (1) R RCoass(M)={x R xM M}. (2) =R RCoass(M) là iđêan lớn nhất của R sao cho M M. Bổ đề 2.2.8. Cho R là vành noether, là iđêan tối đại của R, M là một R-môđun và 0 x M. Khi đó, nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho ^kx=0 thì Ass(M). Chứng minh. Ta có PkP ⊆P với P là phần tử tối đại của tập {AnnR RR(y) y Rx,y 0}. Theo 1.3.6, P là iđêan nguyên tố nên theo 1.3.3(2), phải có ⊆P, tức là =P Ass(M). Bổ đề 2.2.9. Cho(R, ) là vành địa phương noether và M là một R-môđun, khi đó ∉Ass(M) nếu và chỉ nếu Soc(M)=0. Chứng minh. Nếu Ass(M) thì có môđun con B 0 của M sao cho R/ B, từ đây suy ra 0 B⊆Soc(M). Đảo lại, nếu Soc(M) 0 thì Ass(Soc(M)) ⊆Ass(M). Mệnh đề 2.2.10. Cho R là một vành noether và M là R- môđun có tính chất: Nếu U là một môđun con của M thỏa Soc(M/U) = 0 thì U là môđun căn. Khi đó với mỗi P Ass(M), ta có dim(R/P) 1. Chứng minh. UBước 1U: Giả sử(R, ) là vành địa phương. Lấy P Ass(M), từ đẳng thức 2.1.8 suy ra P Ass(L(M)) hoặc P Ass(M/L(M)). Trường hợp P Ass(L(M)), đưa đến P=m theo 2.1.5 và 2.1.6, vậy chỉ phải xét trường hợp P Ass(M/L(M)). Nhưng do tính chất của M được kế thừa trên môđun thương và theo 2.1.9, Soc(M/L(M))=0, thay M/L(M) bởi M, ta chỉ cần chứng minh bổ đề trong trường hợp Soc(M)=0. Lấy P Ass(M), có B⊆ M sao cho B R/P. Dãy khớp tự nhiên 0 B M M/B 0 cảm sinh dãy khớp 23 trong đó HomRRR(R/ ,M) Soc(M)=0 và Soc(M/B) HomRRR(R/ ,M/B) theo 2.1.3. Dãy trên trở thành Vì B hữu hạn sinh nên có dãy khớp 0 K RPmP B 0 với K hữu hạn sinh, từ đây ta thu được dãy khớp Vì HomRRR(R/ ,K) AnnRkR( ) ⊆ K nên HomRRR(R/m,K) hữu hạn sinh, dãy khớp trên cho R R hữu hạn sinh và do đó Soc(M/B) hữu hạn sinh. Tiếp theo, cho U/B=L(M/B) ta có Soc(U/B) ⊆Soc(M/B) nên Soc(U/B) hữu hạn sinh, đồng thời theo 2.1.5 U /B có cấp tối đại nên theo 2.1.5 U/B là môđun artin. Theo 2.1.9, 0=Soc((M/B)/(U/B)) Soc(M/U) nên theo giả thiết U là môđun căn, vì thế U/B cũng là môđun căn và do đó R RCoass(U/B) theo 2.2.6(2). Dựa vào 2.2.4, ta có U/B compắc tuyến tính nên theo 2.2.18 và định lý tránh nguyên tố 1.3.3 Lấy theo 2.2.7 x \P sao cho U/B là x- chia được. Từ U=xU+B ta có U/xU=(xU+B)/xU B/xU∩ B. Do B hữu hạn sinh nên U/xU hữu hạn sinh, đồng thời U/xU là môđun căn do U là môđun căn. Vậy phải có U/xU=0, 2.1.25 và do đó U là x- chia được. Xem biểu đồ giao hoán với hai dòng khớp sau trong đó xRBR,xRUR,xRU/BR chính là các đồng cấu nhân với x. Từ đây, theo bổ đề Ker- Cok 1.5.5 ta thu được dãy khớp hay 24 Vì AnnRU/BR(x) là môđun artin nên B/xB cũng là môđun artin và vì thế B/xB dài hữu hạn do nó cũng hữu hạn sinh. Từ đây có dim(B/xB)=0 theo 1.7.4. Nếu dim B=dim R/AnnRRR(B)= 0 thì do R/AnnRRR(B) là vành artin nên tồn tại kR R1 sao cho PkP⊆AnnRRR(B), khi đó ta cũng có xPkP AnnRRR(B) nhưng điều này không đúng do x không là ước của 0 trên B. Vậy theo 1.7.3, phải có dim B=1. UBước 2U: Cho R tùy ý, với mỗi Ω , ta có RR R là vành noether và MR R là RR R- môđun thỏa điều kiện tương ứng. Thật vậy, từ Soc(MR R/UR R)= 0 suy ra theo 2.2.9 rằng RR RAssRR R(MR R/UR R), điều này tương đương với ∉AssRRR(M/U), 1.3.11. Vì vậy trong =M/ U, thành phần - nguyên sơ LR R ) = R R bằng với =U/ U. Để làm rõ điều này, trước hết nhận xét rằng nếu x M\U thì PkPxR R U với mọi kR R1 vì ngược lại đưa đến Ass(M/U), 2.2.8. Dễ có R Rvậy chỉ cần chứng minh R R với mọi kR R1. Lấy x M sao cho PkPx⊆ U, nếu x∉ U thì theo trên PkPxR R U, mâu thuẫn. Vậy phải có x U tức là R . Nhưng do R R=0 nên R R cũng là môđun căn. Theo 1.3.19, R R là hạng tử trực tiếp của R R, do đó là môđun căn theo 2.1.17. Từ đây suy ra R R hay U là - chia được. Khi đó theo 1.2.11, UR R=( U)R R= RR R UR R, tức là UR R là RR R-chia được và do đó UR R là môđun căn, 2.2.6 Đến đây theo bước 1, với mỗi P Ass(M) ta có dim(RR R/PRR R) 1. Nếu tồn tại iđêan nguyên tố PR1R sao cho PR RPR1 R thì do PR1R/P 0 hữu hạn sinh và AnnRRR(PR1R/P) ∩ (R\ )= nên 0 (PR1R/P)R R=PR1R R R/PRR R, 1.2.10. Tương tự có 0 RR R/PR1R RR R, và do đó PRR R PR1R R R RR R, mâu thuẫn. Tóm lại ta đã chứng minh được dim(R/P) 1. Định nghĩa 2.2.12. Một R-môđun M được gọi là môđun đều nếu M 0 và mỗi môđun con khác 0 của M là môđun con cốt yếu của M. Định nghĩa 2.2.12. Ta nói một R-môđun M có số chiều Goldie hữu hạn nếu có một số nguyên dương n và một môđun con V của M sao cho V⊆ e M và V là tổng trực tiếp của n môđun con đều của M. 25 Bổ đề 2.2.13. Cho M là một R-môđun có số chiều Goldie hữu hạn, khi đó mỗi môđun con N 0 của M chứa một môđun con đều. Chứng minh. Giả sử trái lại N không có môđun con đều, khi đó N⊆ AR1 R BR1R với AR1R,BR1R là các môđun con khác 0 nào đó của N. Vì BR1R không đều, ta lại có BR1R⊆ AR2 R BR2R với AR2R,BR2R là các môđun con khác 0 của BR1R. Tiếp tục quá trình này, ta thu được tổng trực tiếp vô hạn AR1 R AR2 R AR3 R...⊆ M, mâu thuẫn. Mệnh đề 2.2.14. Một R-môđun M có số chiều Goldie hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các môđun con khác 0 của M. Chứng minh. Giả sử trái lại, M chứa tổng trực tiếp NR1 R NR2 R... gồm vô hạn các môđun con khác 0 của M. Khi đó, với mỗi iR R1 lấy theo 2.2.13 môđun con đều URiR⊆ NRiR thì M chứa tổng trực tiếp UR1 R UR2 R... gồm vô hạn các môđun con đều, mâu thuẫn. Bổ đề 2.2.15. Cho R là vành noether và M là một R-môđun đều, khi đó tập Ass(M) chỉ có một phần tử. Chứng minh. Với PR1R,PR2R Ass(M), tồn tại các môđun con NR1R,NR2R⊆ M sao cho Ass(NRiR)={PRiR},(i=1,2). Do M đều nên N=NR1R∩ NR2R 0, đồng thời R là vành neother nên Ass(N) ⊆Ass(NRiR),(i=1,2), từ đây phải có PR1R=PR2R. Mệnh đề 2.2.16. Nếu M là một R-môđun có số chiều Goldie hữu hạn thì tồn tại các iđêan nguyên tố PR1R,...,PRnR của R sao cho R R /PRiR M là mở rộng cốt yếu. Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại các môđun con đều UR1R,...,URnR của M sao cho UR1 R...R R URnR⊆ e M và Ass(URiR)={PRiR}. Khi đó với mỗi i, tồn tại mở rộng cốt yếu fRiR:R/PRiR URiR, đồng cấu cảm sinh f: R/PRiR UR1 R...R R URnR,,(xR1R,...,xRnR) (fR1R(xR1R),...,fRnR(xRnR)) theo 1.1.3 là một mở rộng cốt yếu. Gọi i:UR1 R...R R URnR M là đồng cấu nhúng, ta có if là đồng cấu thoả yêu cầu. Mệnh đề 2.2.17. Nếu M là một R-môđun compắc tuyến tính thì M có số chiều Goldie hữu hạn. Chứng minh. Giả sử trái lại tồn tại môđun con N= R R URiR của M với I là tập vô hạn và URiR 0 với mọi i I. Với mỗi j I, lấy xR jR URiR và đặt NR jR = R R URiR, ta có {xRiR+NRiR}R R là một họ các đối tập của các môđun con của N có tính giao hữu hạn. Thật vậy, cho {xR1R+NR1R,...,xRsR+NRsR} là một tập con hữu hạn của {xRiR+NRiR}R R, chọn x=xR1R+...+xRsR 26 thì ta có x-xRiR NRiR,(i=1,...,s), tức là x R R(xRiR+NRiR). Như vậy {xRiR+NRiR}R R là một họ các đối tập của các môđun con của N có tính giao hữu hạn, trong khi R R(xRiR+NRiR)= , điều này không đúng vì N compắc tuyến tính theo 2.2.3. Hệ quả 2.2.18. Cho R là một vành noether và M là một R-môđun compắc tuyến tính. Khi đó M chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Chứng minh. Theo 2.2.17 tồn tại môđun con N=R R URiR của M sao cho N⊆ e M và mỗi URiR là môđun đều. Khi đó Ass(M)=Ass(N)={PR1R,...,PRnR} với PRi R= Ass(URiR), 2.2.15 Hệ quả 2.2.19. Nếu M là một R-môđun compắc tuyến tính thì L(M) là môđun artin. Chứng minh. Ta có L(M) compắc tuyến tính và Soc(L(M)) hữu hạn sinh theo 2.2.17, đồng thời theo 2.1.5 L(M) có cấp tối đại và do đó L(M) artin theo 1.3.18. Định nghĩa 2.2.20. Một tập S gồm các môđun con của R-môđun M được gọi là độc lập trong M nếu với mỗi tập con hữu hạn {MR1R,...,MRnR} của S ta luôn có Bổ đề 2.2.21. Cho K,L,N là các môđun con của R-môđun M. Khi đó nếu K+L=M và(K∩ N)+L=M thì K +(L ∩ N) = L +(K ∩ N) = M. Chứng minh. Ta có Lập luận tương tự đối với L +(K ∩ N) ta cũng có L +(K ∩ N) = M. Bổ đề 2.2.22. Cho R R là một tập các môđun con thật sự của M. Khi đó các điều kiện sau tương đương: (1) R R là tập độc lập. (2) {LR1R,...,LRnR} là tập độc lập với mọi n . (3) LRnR+(LR1R∩ ...∩ LRn-1R)=M với mọi n . 27 Chứng minh.(1) (3) đã rõ. Đối với(3) (2) ta dùng qui nạp trên n. Trường hợp n=1 điều khẳng định là hiển nhiên. Cho n>1 và giả sử {LR1R,...,LR n-1R} là tập độc lập, để có {LR1R,...,LRnR} cũng là tập độc lập, ta chỉ cần chứng minh với mỗi i {1,...,n-1}, LRiR(R RLRjR) ∩ LRnR =M trong đó F={1,...,n}\{i}. Nhưng điều này có ngay theo 2.2.21 với nhận xét R RLR jR +LRnR=M và LRiR∩ (R RLR jR )+LRnR=M. (2) (1) Cho F là tập con hữu hạn của và i \F. Chọn n = max({i} F), theo giả thiết {LR1R,...,LRnR} là tập độc lập, vì vậy LRiR+R RLR jR =M. Bổ đề 2.2.23. Cho M là một R-môđun và 0=NR0R⊆ NR1R⊆ NR2R⊆ ... là một dãy tăng thật sự của các môđun con của M sao cho với mỗi kR R1, NRkR/NRk-1R không nhỏ trong M/NRk-1R Khi đó M chứa một tập độc lập gồm vô hạn các môđun con của M. Chứng minh. Theo giả thiết, với mỗi kR R1 tồn tại một môđun con LRkR của M sao cho LRkR⊆ NRk-1R và NRkR/NRk-1R+LRkR/NRk-1R=M/NRk-1R, tức là LRkR+NRkR=M. Bây giờ, ta chứng minh bằng qui nạp trên k rằng LRkR=NRk-1R+(LR1R∩ ...∩ LRkR) với mọi kR R1. Vì NR0R=0 nên rõ ràng khẳng định đúng với k=1. Giả sử khẳng định đúng với kR R1 nào đó, tức là LRkR=NRk-1R+(LR1R∩ ...∩ LRkR), khi đó vì M=NRkR+LRkR và NRkR⊆ LRk+1R ta có và điều khẳng định được chứng minh. Từ đây với mỗi k>1 ta thu được Từ đây theo 2.2.22, R R là tập độc lập gồm vô hạn các môđun con của M. Bổ đề 2.2.24. Cho M 0 là một R-môđun sao cho mọi tập độc lập gồm các môđun con của M là tập hữu hạn. Khi đó M có một môđun thương lõm. Chứng minh. Giả sử M không có môđun thương lõm. Khi đó với NR0R=0, do M/NR0R không lõm nên tồn tại môđun con NR1R 0 sao cho NR1R/NR0R không nhỏ trong M/NR0R, tiếp tục vì M/NR1R không lõm nên có môđun con NR2R của M sao cho NR2 R NR1R và NR2R/NR1R không nhỏ trong M/NR1R. Tiếp tục quá trình này, ta thu được một dãy tăng thực sự 28 0=NR0R⊆ NR1R⊆ NR2R⊆ ... các môđun con của M sao cho với mỗi kR R1, NRkR/NRk-1R không nhỏ trong M/NRk-1R. Tức là M chứa một tập độc lập gồm vô hạn các môđun con theo 2.2.23, mâu thuẫn. Bổ đề 2.2.25. Cho M 0 là một R-môđun sao cho mỗi môđun thương khác 0 của M có một môđun thương lõm. Khi đó M chứa một tập độc lập {KRiR}R R gồm các môđun con sao cho M/KRiR lõm với mọi i I và R R KRiR M. Chứng minh. Xét Ta có là tập sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm và do {N} với N là một môđun con của M sao cho M/N lõm. Tiếp theo, cho là một dây chuyền gồm các phần tử thuộc . Dễ thấy R Rcũng là một tập độc lập trong M. Từ đây theo bổ đề Zorn, có phần tử tối đại Hơn nữa, nếu K=R R không nhỏ trong M thì có môđun con thật sự L M sao cho K+L=M, theo giả thiết M/L có môđun thương lõm là M/N. Khi đó ta có L⊆ N, vì thế K+N=M và do đó R R {N} là một phần tử thuộc thật sự chứa R R, điều này mâu thuẫn với tính tối đại của R R và như vậy phải có K M. Bổ đề 2.2.26. Cho M là một R-môđun và {KR1R,...,KRnR} là một tập độc lập gồm hữu hạn các môđun con của M. Khi đó ta có Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp trên n. Trường hợp n=1 điều cần chứng minh là tầm thường. Cho n>1 và giả sử điều khẳng định đúng với mọi tập độc lập gồm n-1 môđun con KRiR của M, ta cần chứng minh nó cũng đúng với tập {KR1R,...,KRnR}. Cho K=R R KRiR, theo giả thiết qui nạp ta có M/K R RM/KRiR và vì K+KRnR=M nên 29 Ta thu được điều cần chứng minh. Mệnh đề 2.2.27. Cho M 0 là một R-môđun sao cho mọi tập độc lập gồm các môđun con của M là tập hữu hạn. Khi đó, tồn tại một toàn cấu p từ M đến một tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun lõm sao cho Kerp M. Chứng minh. Cho M/U là một môđun thương bất kỳ của M và S={KRiR/U}R R là tập độc lập gồm các môđun con của M/U. Khi đó {KRiR}R R là một tập độc lập gồm các môđun con của M, do đó theo giả thiết I là tập hữu hạn. Từ đây theo 2.2.24, M/U có một môđun thương lõm, do đó theo 2.2.25, M chứa một tập độc lập {KRiR}R R gồm hữu hạn các môđun con của M sao cho M/KRiR lõm với mọi i I và K=R R KRiR M. Bây giờ, gọi pR0R:M M/K là toàn cấu tự nhiên và f:M/K R R M/KRiR là đẳng cấu 2.2.26 thì ta có p=fpR0R là toàn cấu cần tìm với Kerp=K. Bổ đề 2.2.28. Cho S là một tập độc lập gồm các môđun con của M và {MR1R,...,MRnR} là một tập con hữu hạn của S. Khi đó với xR1R,...,xRnR là các phần tử bất kỳ thuộc M, ta có Chứng minh. Với mỗi i {1,...,n} ta có MRiR+ Rj=1R,Rj i RMR jR =M, do đó xRiR=yRiR+cRiR với yRiR MRiR,cRiR R j=1R,Rj iR MR jR. Từ đây chọn x=cR1R+...+cRnR ta có x-xRiR MRiR với mọi i {1,...,n}, tức là R R(xRiR+MRiR) . Mệnh đề 2.2.29. Nếu M 0 là một R-môđun compắc tuyến tính thì mỗi tập độc lập gồm các môđun con của M là tập hữu hạn. Chứng minh. Cho {MRiR}R R là một tập độc lập của các môđun con của M và {xRiR}R R là tập các phần tử bất kỳ của M. Khi đó theo 2.2.28, họ {xRiR+MRiR}R R có tính giao hữu hạn nên tồn tại một phần tử thuộc R R(xRiR+MRiR) do M compắc tuyến tính. 30 Xét MR0R={x M có tập con hữu hạn J⊆ I sao cho x MRiR với mọi i I\J}, ta có MR0R là một môđun con của M. Khi đó, với mỗi i I chọn xRi R MRiR và xét họ R R gồm 0+MR0R và tất cả các đối tập xRiR+MRiR. Để thấy R R có tính giao hữu hạn, không mất tính tổng quát ta có thể xét tập con hữu hạn {xR1R,...,xRnR+M,0+MR0R} của R R, khi đó bằng cách chọn theo trên phần tử x R R(xRiR+MRiR), đồng thời x 0+MR jR với mọi j I\{1,...,n} ta có x R R như yêu cầu. Từ đây do M compắc tuyến tính nên tồn tại x M sao cho x xRiR+MRiR với mọi i I, đồng thời x MR0R. Nhưng khi đó vì(xRiR+MRiR) ∩ MRiR= nên xR R MRiR với mỗi i I, mặc khác x MR0R nên phải có xR R MRiR với hữu hạn các MRiR. Điều này chỉ xảy ra khi I là tập hữu hạn, ta thu được đều phải chứng minh. Hệ quả 2.2.30. Nếu M là một R-môđun compắc tuyến tính thì M chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố đối liên kết. Chứng minh. Chọn theo 2.2.27 toàn cấu p:M M/KRi R...R R M/KRnR sao cho M/KRiR lõm với mọi i {1,...,n} và Kerp M. Khi đó theo 1.4.6(2) ta có R R{PR1R,...,PRnR} trong đó Coass(M/KRiR)={PRiR}, với mọi i {1,...,n}. Định nghĩa 2.2.31. Cho N là một R-môđun, ta nói phần tử x R tác động song ánh lên N nếu đồng cấu nhân với x là một đẳng cấu. Bổ đề 2.2.32. Cho là một iđêan tối đại của R và N là R- môđun sao cho tồn tại phần tử x tác động song ánh lên N. Khi đó (1) R (2) R Chứng minh.(1) Dãy khớp ngắn 0 Rx R R/Rx 0 cảm sinh dãy khớp R R. Trong đó, vì x không là ước của 0 trên N nên R R và do đó . Tiếp theo, với Rx⊆ , toàn cấu tự nhiên R/Rx R/ 0 cảm sinh dãy khớp 31 với các thành viên ở hai đầu bằng 0. Thật vậy, dễ thấy rằng R R do với mọi r , n N ta có n=xn' với n' N và do đó R R. Vậy Tor^RR1 (2) Dãy khớp ngắn 0 Rx R R/Rx 0 cảm sinh dãy khớp 0 HomRRR(R,N)R R để thấy R R=0, ta cần chỉ ra i* là toàn cấu. Cho f HomRRR(Rx,N) với f(x)=xe, e N, vì x không là ước của 0 trên N nên ta có f=0 nếu và chỉ nếu e=0, khi đó bằng cách chọn g:R N định bởi g(1)=e ta có i*(g)=f, i* là toàn cấu. Sau cùng, toàn cấu tự nhiên R/Rx R/ 0 cảm sinh dãy khớp với các thành viên ở hai đầu bằng 0. Thật vậy, với mọi f HomRRR( /Rx,N) ta phải có f=0 vì nếu tồn tại phần tử f(y+Rx) 0 thì ta có xf(y+Rx)=0, mâu thuẫn vì x không là ước 0 trên N. Định nghĩa 2.2.33. Ta kí hiệu R R là tập tất cả các R-môđun M có tính chất: nếu U là một môđun con của M thì Ass(U) Coass(U) là tập hữu hạn. Hệ quả 2.2.34. Mỗi R- môđun compắc tuyến tính thuộc vào R R. Chứng minh. Suy ra ngay từ 2.2.30. Mệnh đề 2.2.35. Cho R là một vành noether và M là một R-môđun thuộc vào R R. Khi đó (1) Nếu M/U là môđun đế thì P(U)=U∩ P(M). (2) Nếu U là một môđun con căn của M thì L(M/U) =(L(M)+U)/U. Chứng minh.(1) Xét N=P(M)/U∩ P(M) R R, ta có N là môđun căn và do N P(M)+U/UR R M/U nên N cũng là môđun đế. Với mỗi Ω , ta có R RCoass(N) R RAss(N), vì thế tồn tại xR R tác động song ánh lên N. Dãy khớp tự nhiên 0 U∩ P(M) P(M) N 0 cảm sinh dãy khớp 32 với R R theo 2.2.32(1) và R/ RRRP(M) P(M)/R RP(M)=0 do P(M) là R R-chia được, 1.5.2. Vậy phải có R/R R RRRU∩P(M)=0 và do đó (U∩P(M))/ R R(U∩P(M))=0 theo 1.5.4, tức là U∩P(M) là R R-chia được. Điều này thỏa với tất cả R R, vì vậy U∩ P(M) là môđun căn nên chứa trong P(U). (2) Ta chỉ cần chứng minh nếu U là R R- chia được thì LR R(M/U)=(LR R(M)+U)/ U vì khi đó Bây giờ với N=U/LR R(U), ta có Ass(U)=Ass(LR R(U)) Ass(N) theo 2.1.10, đồng thời do Coass(N)R RCoass(U) nên N R R. Theo 2.1.11 ta có R R∉Ass(N), hơn nữa vì N là môđun căn nên R RCoass(N). Như vậy theo định lý tránh nguyên tố 1.3.3, phải có R RCoass(N) R RAss(N) và do đó cũng như ở (1) ta có R R theo 2.2.32 (2). Toàn cấu tự nhiên M/LR R(M) M/LR R(M)+U 0 cảm sinh dãy khớp với do R RAss(M/LR R(M)) theo 2.1.11.. Trong khi Dãy khớp trên bây giờ trở thành và điều này có nghĩa là Với mọi số nguyên k> 1 ta phải có AnnRM/L (M)+UR(R RPkP)=0 vì điều ngược lại đưa đến R R Ass(M/LR R(M)+U), 2.2.8. Và điều này không đúng với sự kiện AnnRM/(L (M)+U) R(R R) = 0. Tóm lại R R- thành phần của (M/U)/(LR R(M)+U/U) bằng 0, vì thế LR R(M/U)R R(LR R(M)+U)/U. Đối với bao hàm thức còn lại, cho x+U (LR R(M)+U)/U với x 33 LR R(M). Ta có R RPkPx=0 với số nguy