Luận văn Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong dạy học hình học lớp 12 ở Việt Nam

. Như đã nói trước đây, vì giới hạn thời gian nên chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu chương trình và SGK lớp 12. Khi nghiên cứu phần yêu cầu về kiến thức và kĩ năng trong mục “mức độ cần đạt” của cuốn “chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” ban hành ngày 05 tháng 5 năm 2006 và sách giáo viên hình học 12, chúng tôi nhận thấy yêu cầu chủ yếu của thể chế là: “Biết phương trình mặt cầu Xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trước” (chương trình giáo dục phổ thông môn toán, 2006, trang 188) Hoặc là: “Hiểu được khái niệm vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng trang 24 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích Biết phương trình tổng quát của mặt phẳng, điều kiện vuông góc, song song của hai mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. Biết cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính được khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng” (chương trình giáo dục phổ thông môn toán, 2006, trang 189) - Chẳng hạn, cụ thể với mục tiêu: “Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng”, chúng ta biết rằng học sinh phải vận dụng được các kiến thức của hình học không gian như khái niệm và các điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; hoặc với yêu cầu “Biết điều kiện vuông góc, song song của hai mặt phẳng”, học sinh cần phải vận dụng được định nghĩa, các tính chất của hai mặt phẳng song song, vuông góc mới biết được lí do có công thức đại số để xét tính song song, vuông góc của hai mặt phẳng trong HHGT. - Rõ ràng để đáp ứng yêu cầu của chương trình, học sinh phải biết vận dụng kiến thức của hình học không gian tổng hợp, hay nói khác hơn thể chế đã ngầm ẩn yêu cầu khả năng vận dụng kiến thức hình học không gian tổng hợp vào việc giải quyết các vấn đề của HHGT. - Đối với yêu cầu vận dụng kiến thức HHGT để giải toán hình học không gian tổng hợp, chúng tôi nhận thấy sách giáo viên có yêu cầu như sau: “Biểu thị chính xác bằng tọa độ các quan hệ hình học như sự thẳng hàng của ba điểm, sự cùng phương của hai vectơ, sự đồng phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc. Giải được một số bài toán của HHKG bằng phương pháp tọa độ” (theo [9], tr66). “Nên rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số” (theo [9], tr 67). - Như vậy, chương trình và SGV hình học 12 nâng cao yêu cầu học sinh nắm được mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học trong HHTH và HHGT theo cả hai chiều: vận dụng kiến thức hình học không gian tổng hợp để trang 25 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích hiểu HHGT và vận dụng kiến thức HHGT để giải toán hình học không gian tổng hợp. - Những yêu cầu của chương trình và hướng dẫn của SGV thường không tác động trực tiếp đến học sinh vì đối tượng này ít có cơ hội tiếp xúc với các yêu cầu đó. Học sinh nắm được yêu cầu của chương trình qua giáo viên và SGK là chủ yếu. Họ tiếp cận các khái niệm và nhận ra những gì thể chế mong đợi ở họ thông qua phần lí thuyết và bài tập trong SGK. Sau đây chúng tôi sẽ lần lượt phân tích các tình huống đưa vào các khái niệm hình học, các quan hệ hình học trong chương “phương pháp tọa độ trong không gian”, SGK hình học nâng cao lớp 12 chương trình hiện hành để làm rõ những ràng buộc của thể chế với mối liên hệ giữa HHTH và HHGT: 2.1 Tình huống đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm - Như chúng ta vẫn biết, trong toán học điểm là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa). Trong các SGK của chương trình phổ thông, điểm được đưa vào dưới hình ảnh trực quan: “Dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnh của điểm. Người ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C để đặt tên cho điểm.” (SGK toán 6 tập 1, trang 103). - Từ hình ảnh trực quan này, SGK hình học nâng cao 12 đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm bằng cách đưa vào khái niệm tọa độ của vectơ trước đó: “Trong không gian tọa độ Oxyz với các vectơ đơn vị , ,i j k    trên các trục, cho một vectơ u  . Khi đó có một bộ ba số (x;y;z) sao cho u xi y j zk= + +     . Bộ ba số đó cũng được gọi là tọa độ của vectơ u  đối với hệ trục tọa độ Oxyz và kí hiệu u  =(x;y;z) hoặc u  (x;y;z)” ([8], tr 71) - Sau khi giới thiệu khái niệm tọa độ vectơ như trên, SGK đưa vào khái niệm tọa độ của điểm như sau: M O z x y zk  y j  xi  trang 26 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích “Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi OM  . Bởi vậy nếu (x;y;z) là tọa độ của OM  thì ta cũng nói (x;y;z) là tọa độ của điểm M và kí hiệu là M=(x;y;z) hoặc M(x;y;z)” ([8], tr 72) - Như vậy, với hình vẽ trên, SGK đã chỉ ra cách xác định tọa độ một điểm trong một hệ trục cho trước và cách xác định điểm khi cho trước tọa độ của nó. Tuy nhiên cách xác định này tỏ ra khá mờ nhạt khi chỉ được minh họa qua hình vẽ và không có bất kì lời giải thích kèm theo nào! Nổi bật lên là một định nghĩa hình thức và mục tiêu là: khẳng định sự tương ứng giữa điểm và tọa độ của nó trong một hệ trục tọa độ xác định là tương ứng 1-1. Điều này là cơ sở cho việc: khi cho một điểm chỉ cần cho tọa độ của nó, hoặc khi xác định một điểm chỉ cần xác định tọa độ của nó. Hay nói cách khác: điểm có thể hoàn toàn thay thế bằng tọa độ của nó. Như vậy mối liên hệ giữa điểm và tọa độ của nó, hay cụ thể hơn là sự xác định điểm khi biết tọa độ của nó và ngược lại liệu đã được thể chế quan tâm? Liệu cho một điểm trong một hệ trục tọa độ thì học sinh có biết cách xác định tọa độ của nó không, và ngược lại, cho tọa độ một điểm liệu học sinh có dựng được điểm đó trong một hệ trục tọa độ cho sẵn? 2.2 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng - Như ta vẫn biết trong hình học tổng hợp, mặt phẳng là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa). Trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông, mặt phẳng chính thức được giới thiệu qua hai lớp: lớp 6 và lớp 11. - SGK toán 6 nêu khái niệm mặt phẳng như sau: “trang giấy, mặt bảng là hình ảnh của mặt phẳng. Mặt phẳng không bị giới hạn về mọi phía” (SGK toán 6 tập 2, trang 71). - SGK hình học 11 giới thiệu mặt phẳng như sau: “trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, tấm gương phẳng cho ta hình ảnh của một phần mặt phẳng trong không gian” (SGK hình học nâng cao 11, tr 40). trang 27 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích x n  M0 M y z o - Như vậy khái niệm mặt phẳng cũng được giới thiệu một cách trực quan. Ngoài ra để giới thiệu khái niệm phương trình mặt phẳng ở lớp 12 thì có một số khái niệm và tính chất đáng quan tâm được giới thiệu trong chương trình lớp 11 như sau: “một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó” (định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, SGK hình học nâng cao 11, trang 97). “có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước” (tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, SGK hình học nâng cao 11, trang 97). - Trên cơ sở này, SGK hình học 12 đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng như sau: Trước tiên, SGK định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: “vec tơ 0n ≠   gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α nếu giá của n  vuông góc với mặt phẳng ( )α ” ([8], trang 82) Sau đó, dựa vào sự tồn tại duy nhất của mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và nhận ( ; ; )n A B C=  làm vectơ pháp tuyến, SGK đưa vào phương trình mặt phẳng ( )α như sau: “Khi đó, điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộc ( )α là 0. 0n M M =   (hình vẽ), hay: 0 0 0( ) ( ) ( ) 0 (1)A x x B y y C z z− + − + − = Nhận xét: nếu ta đặt 0 0 0( )D Ax By Cz= − + + thì phương trình (1) trở thành: 0Ax By Cz D+ + + = trong đó 2 2 2 0 (2)A B C+ + > Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )α hay nói gọn là phương trình mặt phẳng ( )α ” ([8], trang 83) - Cuối cùng, để chỉ rõ tương ứng 1-1 giữa một mặt phẳng và phương trình của nó, SGK đưa vào định lí: trang 28 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích “Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình 0Ax By Cz D+ + + = với 2 2 2 0A B C+ + > đều là phương trình của một mặt phẳng xác định” ([8], trang 83). - Như vậy, để xây dựng phương trình của mặt phẳng, SGK đã sử dụng hình ảnh trực quan của mặt phẳng và các tính chất hình học sẵn có của mặt phẳng trong HHTH. Tuy nhiên, những tính chất đó chỉ được sử dụng ngầm ẩn. Nổi bật lên, chúng ta nhận thấy: SGK đã thể hiện một các rõ ràng sự tương ứng 1-1 giữa một mặt phẳng và phương trình của nó. Điều này cho phép thay thế một mặt phẳng bởi phương trình của nó trong việc xét vị trí tương đối, tính góc, xác định mặt phẳng Có lẽ vì mục tiêu này mà sách giáo viên đã yêu cầu: “làm cho học sinh hiểu được rằng: trong không gian tọa độ, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng 0Ax By Cz D+ + + = trong đó ba số A,B,C không đồng thời bằng 0 (hay tương đương 2 2 2 0A B C+ + > ). Ngược lại, mỗi phương trình như vậy đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó.” ([9], trang 80). Từ đây chúng tôi nhận thấy: mối liên hệ giữa phương trình mặt phẳng với các tính chất hình học của nó rất mờ nhạt. Liệu học sinh sẽ ứng xử như thế nào trước bài toán: “Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa A,B đồng thời cách đều hai điểm C,D” - Với trình bày của SGK ở trên, chúng tôi cho rằng: học sinh sẽ khó vận dụng kiến thức HHTH để chỉ ra rằng: mặt phẳng cần viết chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD hoặc chứa đường thẳng AB và đi qua trung điểm CD. Tức là học sinh không có ý thức vận dụng kiến thức HHTH khi giải toán HHGT liên quan tới phương trình mặt phẳng. - Ngoài ra chúng tôi còn nhận thấy: khi đề cập tới phương trình mặt phẳng thì các điều kiện xác định mặt phẳng này chỉ được đề cập ngầm ẩn. Liệu học sinh có quan tâm tới sự tồn tại của mặt phẳng cần viết? Trong trường hợp mặt phẳng đó không tồn tại thì học sinh có nhận ra? Hay học sinh sẽ máy móc viết phương trình mặt phẳng đó một cách sai lầm, hoặc cho tới khi vất vả tìm cách viết phương trình mặt phẳng mà không thành công, các em mới nhận ra mặt phẳng đó hoàn toàn không tồn tại? trang 29 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích 2.3 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình đường thẳng - Đường thẳng trong hình học tổng hợp là một khái niệm cơ bản, và sách giáo khoa toán 6 đưa vào khái niệm đường thẳng theo quan điểm này: không định nghĩa, chỉ mô tả bằng hình ảnh trực quan: “sợi chỉ căng thẳng, mép bảngcho ta hình ảnh của đường thẳng. Đường thẳng không bị giới hạn về hai phía.” (SGK toán 6 tập 1, trang 103). - Ngoài ra, có tính chất đáng lưu ý của hai đường thẳng song song như sau: “Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó” (tính chất hai đường thẳng song song, SGK hình học 11 nâng cao, trang 53) - Thừa kế hình ảnh trực quan của một đường thẳng và tính chất của hai đường thẳng song song, qua trung gian là hình vẽ, SGK hình học 12 đưa vào khái niệm phương trình của đường thẳng như sau: “Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và có vectơ chỉ phương ( ; ; )u a b c  (hình vẽ). Vì 0u ≠   nên ta phải có 2 2 2 0a b c+ + > . Ta biết rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm trên đường thẳng d là vectơ 0M M  cùng phương với vectơ u  , tức là có số t∈ sao cho 0M M tu=   . Điều kiện trên tương đương với : 0 0 0 (1) x x ta y y tb t z z tc = +  = + ∈  = +  Hệ phương trình trên được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d với tham số t. Với mỗi t∈ , hệ phương trình trên cho ta tọa độ (x;y;z) của một điểm nằm trên d” ([8], trang 91) - Sau đó, để chỉ rõ tương ứng ngược lại giữa một phương trình tham số với một đường thẳng, SGK đưa ra nhận xét: x y z u  M0 d M o trang 30 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích “ngược lại, mỗi hệ phương trình dạng (1) với 2 2 2 0a b c+ + > đều là phương trình tham số của một đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0( ; ; )x y z và có vectơ chỉ phương là ( ; ; )u a b c  ” ( [8], trang 91) - Như vậy quan điểm trình bày của SGK rất rõ ràng: một đường thẳng trong hệ trục tọa có thể xác định phương trình của nó, ngược lại mỗi phương trình cũng xác định một đường thẳng. Điều này tạo điều kiện cho việc thay thế đường thẳng bởi phương trình của nó trong việc giải quyết các bài toán liên quan: xét vị trí tương đối, tính góc, khoảng cách, mà ở đó, những quan hệ hình học liên quan tới đường thẳng có thể thay thế hoàn toàn bằng các quan hệ đại số. Từ đây, chúng tôi cho rằng: những tính chất hình học của đường thẳng không còn được học sinh quan tâm, và học sinh không có ý thức vận dụng các tính chất hình học của đường thẳng khi giải toán HHGT liên quan tới đường thẳng. - Ngoài ra, SGK đã ngầm ẩn sử dụng tính chất về sự xác định duy nhất của đường thẳng khi viết phương trình của nó. Điều này theo chúng tôi, sẽ làm cho học sinh khó nhận ra sự xác định của đường thẳng cần viết. Từ đây, chúng tôi cho rằng học sinh sẽ không quan tâm tới sự tồn tại của đường thẳng khi đứng trước yêu cầu viết phương trình đường thẳng. 2.4 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu - Không như điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm cơ bản, mặt cầu là một khái niệm được định nghĩa. Trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông, mặt cầu được định nghĩa như sau: “Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O và bán kính bằng R” ([8], trang 38) - Bằng cách xây dựng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trước đó và việc sử dụng định nghĩa mặt cầu trong hình học tổng hợp, SGK đã đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu như sau: “Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu S(I;R) có tâm I(x0;y0;z0) và bán kính R. Điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu đó khi và chỉ khi IM=R hay 2 2IM R= , nghĩa trang 31 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích là 2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R− + − + − = . Phương trình trên được gọi là phương trình của mặt cầu S(I;R). ([8], trang 79) - Sau đó, bằng việc khai triển và thu gọn phương trình mặt cầu nói trên, SGK chỉ ra rằng, phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng: 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + = - Ngoài ra, SGK còn đặt vấn đề: liệu mỗi phương trình dạng 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + = có là phương trình của một mặt cầu nào đó? Vấn đề đó được giải quyết trọn vẹn trong kết luận: “Phương trình 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + = là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi 2 2 2A B C D+ + > . Khi đó tâm mặt cầu là điểm I(-A;-B;-C) và bán kính mặt cầu là 2 2 2R A B C D= + + − ” ([8], trang 80) - Như vậy, bằng cách xây dựng từ định nghĩa của mặt cầu, SGK đã chỉ rõ sự tương ứng 1-1 giữa một mặt cầu và phương trình của nó. Sự tương ứng này tạo điều kiện cho việc thay thế mặt cầu bởi phương trình của nó trong việc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu, xác định mặt cầu 2.5 Tình huống đưa vào khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Do giới hạn thời gian nghiên cứu và vì tính tương tự của cách đưa vào các công thức khoảng cách, nên ở đây chúng tôi chỉ phân tích cách đưa vào công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được giới thiệu trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông như sau: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung6 của hai đường thẳng đó.” (SGK hình học nâng cao 11, trang 115) 6 Khái niệm đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau được giới thiệu ngay trước đó. trang 32 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích - Như vậy, với định nghĩa này, để tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, trước hết phải xác định đoạn vuông góc chung IJ của hai đường thẳng chéo nhau, sau đó tính độ dài đoạn thẳng IJ. - Ngoài ra, SGK hình học 11 nâng cao còn nêu ra hai nhận xét làm cơ sở cho việc tính toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần xác định đoạn vuông góc chung: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó” (SGK hình học nâng cao 11, trang 115) - Tuy nhiên, SGK hình học nâng cao 12 đưa vào công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng một bài toán như sau: “Bài toán 2: tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết d1 qua M1 và có vectơ chỉ phương 1u  ; d2 qua M2 và có vectơ chỉ phương 2u  ” ([8], trang 101). - Để giải quyết bài toán này, SGK dựng một hình hộp có một cạnh là M1M2, độ dài các cạnh còn lại là 1 2,u u   . Sử dụng công thức tính thể tích khối hộp, diện tích tam giác đã xây dựng trước đó và nhận xét khoảng cách giữa d1 và d2 là chiều cao hình hộp, SGK chứng minh được công thức: 1 2 1 2 1 2 1 2 [ , ]. ( , ) [ , ] u u M M d d d u u =      b a J I x y z d1 d2 M1 M2 U1 U2 1u  2u  trang 33 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích - Mặc dù công thức này được xây dựng dưới dạng một bài toán, tuy nhiên SGK sử dụng nó như một công thức chính thức. Điều này thể hiện qua lời giải của những bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong SGK, SBT và trong lí thuyết của phần ôn tập chương 3. - Như vậy trong việc xây dựng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta thấy SGK có vận dụng ít nhất hai tính chất của HHTH: thứ nhất là tính chất “chiều cao hình hộp là khoảng cách từ một đỉnh của đáy tới mặt phẳng chứa đáy còn lại” và tính chất “khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó”. Tuy nhiên những tính chất này chỉ được sử dụng ngầm ẩn. Điều này dẫn đến việc: mối liên hệ giữa định nghĩa và cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong HHTH và công thức tính toán đại lượng này trong HHGT gần như không còn được nhận ra. Đến đây chúng tôi tự hỏi: liệu công thức đại số để tính toán này có che mất định nghĩa của khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau? Liệu học sinh có biết công thức này dùng để tính đại lượng nào trên hình vẽ? Liệu học sinh sẽ ứng xử như thế nào trước tình huống: yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình học giải tích mà việc vận dụng định nghĩa và các tính chất của hai đường thẳng chéo nhau sẽ nhanh chóng có được kết quả? Với cách trình bày của SGK, chúng tôi cho rằng học sinh sẽ không vận dụng được các tính chất của HHTH vào việc tính khoảng cách mà sẽ ưu tiên sử dụng công thức khoảng cách đã biết. 2.6 Tình huống đưa vào quan hệ đồng phẳng của bốn điểm - Khái niệm các điểm đồng phẳng trong hình học được chương trình hình học tổng hợp phổ thông giới thiệu như sau: “Nếu có nhiều điểm thuộc một mặt phẳng thì ta nói rằng các điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng” (SGK hình học nâng cao lớp 11, trang 43) trang 34 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích - Như vậy, với định nghĩa này, để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta phải chỉ ra một mặt phẳng chứa tất cả các điểm đó; và ngược lại, để chứng minh bốn điểm không đồng phẳng, ta phải chứng minh một điểm không nằm trên mặt phẳng chứa ba điểm kia. - Tuy nhiên, việc chứng minh sự đồng phẳng của bốn điểm trong chương “phương pháp tọa độ trong không gian” dựa vào sự đồng phẳng của các vectơ. Để làm được điều này, đầu tiên SGK đưa ra khái niệm tích có hướng của hai vectơ (hoàn toàn bằng công thức tọa độ): “tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ ( ; ; )u a b c  và ( '; '; ')v a b c  là một vectơ kí hiệu [ , ]u v   (hoặc u v∧   ), được xác định bằng tọa độ như sau: ( )[ , ] ; ; ' '; ' '; ' ' ' ' ' ' ' ' b c c a a b u v bc cb ca ac ab ba b c c a a b   = = − − −      ” ([8], trang 75) - Sau đó, dựa vào biểu thức tọa độ tích có hướng của hai vectơ, SGK chứng minh các tính chất của tích có hướng hai vec tơ, trong đó có tính chất đáng chú ý: “vec tơ [ , ]u v   vuông góc với cả hai vec tơ àu v v   ”. - Dựa vào tính chất này, SGK nêu ra một ứng dụng của tích có hướng như sau: “ , ,u v w    đồng phẳng khi và chỉ khi [ , ]. 0u v w =    ” ([8], trang 77). - Ngay dưới ứng dụng này là một ví dụ chứng tỏ bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng, và cách giải của SGK là chứng minh [ , ]. 0BA BC BD ≠    và không có một giải thích nào khác. Lời giải này phù hợp với yêu cầu của SGV: “làm cho học sinh hiểu và nhớ công thức biểu thị mối quan hệ giữa các điểm như thẳng hàng, đồng phẳng” ([9], trang 68). - Như vậy việc xây dựng công thức đại số cho phép xét tính đồng phẳng của bốn điểm trong HHGT hầu như tách biệt với định nghĩa sự đồng phẳng trong HHTH. Điều này, theo chúng tôi, làm cho học sinh không thấy mối liên hệ giữa định nghĩa hình học và công thức đại số để chứng minh các điểm đồng phẳng; từ đó có thể ngăn cản học sinh vận dụng kiến thức HHTH để giải toán HHGT. trang 35 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích 2.7 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai mặt phẳng - Chúng ta vẫn biết, trong không gian ba chiều, hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối: song song, cắt nhau, trùng nhau. Do tính tương tự khi xem xét mối liên hệ giữa HHTH và HHGT đối với ba vị trí tương đối này, nên ở đây chúng tôi chỉ xem xét trường hợp hai mặt phẳng song song. Trong chương trình HHTH phổ thông, khái niệm hai mặt phẳng song song được trình bày như sau: “Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q), có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau đây: a) (P) và (Q) có điểm chung. Khi đó ta biết rằng (P) và (Q) cắt nhau theo một đường thẳng. b) (P) và (Q) không có điểm chung. Trong trường hợp này ta nói chúng song song với nhau và kí hiệu (P)//(Q), hay (Q)//(P)” (SGK hình học nâng cao 11, trang 60). - Ngoài ra, SGK còn minh họa hai mặt phẳng song song bằng hình vẽ: - Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, SGK còn nêu điều kiện để hai mặt phẳng song song thông qua định lí: “Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).” (SGK hình học nâng cao 11, trang 61). - Như vậy, với các định nghĩa và tính chất đã nêu, để chứng minh hai mặt phẳng song song ta phải chứng minh chúng không có điểm chung, hoặc chứng minh trong một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng còn lại. - Trong chương “phương pháp tọa độ trong không gian”, để xét sự song song của hai mặt phẳng, SGK trình bày như sau: - Đầu tiên, SGK nêu khái niệm hai bộ số tỉ lệ, sau đó SGK xét hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cho trước và đặt vấn đề qua câu hỏi: P Q trang 36 Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích “ nếu A:B:C ≠ A’:B’:C’ thì ta có thể nói gì về hai vectơ ( ; ; )n A B C  và '( '; '; ')n A B C  và do đó nói gì về vị trí tương đối của hai mặt phẳng (α) và (α’)?” ([8], trang 86) - Mục tiêu của câu hỏi này (theo sách giáo viên) là giúp học sinh kết luận được: hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến cùng phương (hay hai bộ số tương ứng tỉ lệ). Do đó hai vectơ không cùng phương thì hai mặt phẳng phải cắt nhau. Ở đây chúng ta nhận thấy, thể chế đã ngầm ẩn sử dụng tính chất “hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau”. Tuy nhiên sự vận dụng này vì ngầm ẩn nên sau đó trở thành mờ nhạt trước một vỏ bọc đại số đơn giản của phương pháp mới. - Từ đây, SGK mới yêu cầu học sinh giải quyết tiếp thông qua hoạt động 4: “Hãy xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng (α) và (α’) trong mỗi trường hợp sau: ) ) ' ' ' ' ' ' ' ' A B C D A B C Da b A B C D A B C D = = ≠ = = = ” ([8], trang 86) - Mục đích của hoạt động này (theo sách giáo viên) là giúp học sinh vận dụng sự khác biệt giữa hai trường hợp: hai mặt phẳng song song (không có điểm chung) và hai mặt phẳng trùng nhau (có điểm chung) để giải quyết. Từ đó, SGK tổng kết lại: “ Cho hai mặt phẳng (α) và (α’) lần lượt có phương trình: ( ): 0 ( ') : ' ' ' ' 0 Ax By Cz D A x B y C z D α α + + + = + + + = Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi ' ' ' ' A B C D A B C D = = ≠ ” ([8], trang 86). - Như vậy, việc xây dựng điều ki