Luận văn Một số hình ảnh cụ thể của các vành noether không giao hoán

1) aR ≠ 0: Đặt ρ = aR ta có Mρ là môđun con của M. Suy ra Mρ = 0 hoặc Mρ = M (do M là môđun đơn).  Nếu Mρ = 0 thì ρ = 0 do M ≠ 0 (mâu thuẫn).  Nếu Mρ = M, ta có: Mb = (Mρ)b = M(aR)b = M(aRb) = M.0 = 0. Suy ra b = 0 (do M ≠ 0). (1) 2) aR = 0: 18 Đặt ζ = { r ∈ R : rR = 0 }. Ta có: 0 ≠ a ∈ ζ nên ζ ≠ 0 , và b ∈ R nên ζb = 0. Mζ là môđun con của M suy ra Mζ = 0 hoặc Mζ = M.  Nếu Mζ = 0 thì ζ = 0 do M ≠ 0 (mâu thuẫn).  Nếu Mζ = M, ta có: Mb = (Mζ)b = M(ζb) = 0 suy ra b = 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra aRb = 0, nghĩa là a = 0 hoặc b = 0. Vậy R là vành nguyên tố. 1.3.3 Định nghĩa:  Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên thủy nếu R/A là vành nguyên thủy.  Iđêan tối đại là iđêan nguyên thủy và iđêan nguyên thủy là iđêan nguyên tố. Chứng minh:  Giả sử A là iđêan tối đại. Khi đó R/A là trường và R/A có duy nhất hai iđêan là 0 và R/A. Suy ra R/A là vành đơn hay R/A là vành nguyên thủy (do bổ đề 1.3.2). Vậy A là iđêan nguyên thủy.  Giả sử A là iđêan nguyên thủy. Khi đó R/A là vành nguyên thủy. Suy ra R/A là vành nguyên tố (do bổ đề 1.3.2). Vậy A là iđêan nguyên tố. 1.3.4 Định nghĩa:  Cho E = End(DV) là vành các phép biến đổi D - tuyến tính của V và cho R là vành con của E. R là trù mật trên E nếu: ∀α ∈ E , ∃r ∈ R : W(α - r) = 0 ⇒ r ≡ α. với W là không gian con hữu hạn chiều của V.  Nếu V hữu hạn chiều thì R = E. 1.3.5 Định lý trù mật: Cho R là vành nguyên thủy, MR là môđun đơn trung thành và D = EndMR. Khi đó M là không gian D – vectơ trái và R là trù mật trên E = EndDM. Chứng minh: 19  Chứng minh bổ đề: Với V là không gian con hữu hạn chiều của M trên D và m ∈ M\V thì ∃r ∈ R : Vr = 0 và mr ≠ 0. Chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của V.  dimV = 0: hiển nhiên. Giả sử đúng với dimV = n. Ta chứng minh đúng với dimV = n + 1. Đặt V = Vo + WD với dimVo = n và W ∉ Vo. Do dimVo = n nên y ∉ Vo . Khi đó ∃r ∈ R : Vor = 0 và yr ≠ 0 hay y ∉ Vo . Suy ra ∃r ∈ A(Vo) : yr ≠ 0 với A(Vo) = {x ∈ R / Vox = 0}. Nghĩa là mA(Vo) = 0 thì m ∈ Vo. Với W ∉ Vo ta có WA(Vo) ≠ 0, trong đó WA(Vo) là R – môđun con của M và M là môđun đơn. Ta được WA(Vo) = M. Với m ∈ M và m ∉ M, ta chứng minh: ∃r ∈ R, Vr = (0) và mr ≠ 0. Giả sử ∀r ∈ R: Vr = 0. Ta được mr = 0.Xét quy tắc τ : M → M x  ma (Trong đó, x ∈ M = WA(Vo) = { wa / a ∈ A(Vo) }⇒ x = wa. Ta đặt xτ = ma).  Ta chứng minh τ là ánh xạ. Giả sử x = wa1 = wa2, với a1, a2 ∈ A(Vo) Ta được w(a1 – a2) = 0, suy ra (a1 – a2) linh hóa Vo và W. Vì vậy (a1 – a2) linh hóa V. Do đó a1 – a2 ∈ A(V) hay m(a1 – a2) = 0 nên ma1 = ma2.  τ là đồng cấu.  τ ∈ ∆, tức là ∀r ∈ R, Tr  τ = τ  Tr. Thật vậy: ∀x ∈ M, ∀r ∈ R, ta có x ∈ M = WA(Vo) ⇒ x = wa , a ∈ A(Vo), xTr  τ = (war)τ = mar = (ma)r = (xτ)Tr. Khi đó: ∀a ∈ A(Vo), ma = (wa)τ = (wτ)a. Suy ra (m - wτ)a = 0,∀a∈A(Vo) hay m - wτ ∈ Vo. Do đó m ∈ wτ + Vo ∈ W∆ +Vo = V (trái với m ∉ V). Vậy nếu m ∈ M\V thì ∃r ∈ R : Vr = 0 và mr ≠ 0.  Trở lại với định lý trù mật. 20 ∀n, v1, , vn ∈ M, độc lập tuyến tính trên ∆ và w1, , wn ∈ M là các phần tử bất kỳ. Gọi Vi là không gian con của M sinh bởi các phần tử vj , j = 1,n , j ≠ i. Khi đó vi ∉ Vi nên ∃ti ∈ R : vi.ti = 0 và vi.ti = wi. Do đó nếu đặt t = t1 + t2 + + tn thì ta có vi.t = wi , ∀i = 1, n . Vậy R là dày đặc trên M. 1.3.6 Hệ quả: Nếu R là vành nguyên thủy và D = EndMR với MR là môđun đơn trung thành thì R ≅ Mn(D), hoặc với mỗi số tự nhiên t, tồn tại vành con Rt của R và toàn cấu vành Rt → Mt(D). Chứng minh: Do R là vành nguyên thủy nên tồn tại M là môđun đơn trung thành. Xét đồng cấu: : R r R EndM r T ψ →  với : . r r T M M m mT mr → = Theo bổ đề Schur thì D = EndMR là vành chia. Khi đó M là không gian vectơ trên D. Theo định lý trù mật thì R là trù mật trong ( ),DHom M M chính là không gian các D - ánh xạ tuyến tính từ M vào M. TH1: Nếu M là D - không gian vectơ hữu hạn chiều thì theo định lý trù mật ta có: ( ) ( ),D nR Hom M M M D≅ = . TH2: M không là D - không gian vectơ hữu hạn chiều. Gọi v1,v2,,vt, là tập vô hạn độc lập tuyến tính trong M. Đặt 1 2 1 2, ,..., ...t t tM v v v v D v D v D= = + + + . Khi đó: ( ) ( ),D tHom M M M D= . Đặt { }/t t tR x R M x M= ∈ ⊂ thì Rt là vành con của R. Xét: 21 ( ): : t t t t R M D x x M M v vx ϕ ϕ → →  Khi đó ϕ là đồng cấu vành và ϕ là toàn cấu. 1.3.7 Định nghĩa: Căn Jacobson của R được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan trái (hoặc phải) nguyên thủy. 1.3.8 Định lý: Các điều kiện sau trên iđêan A của R là tương đương: i) A = J(R). ii) A là giao của các iđêan phải tối đại của R. iii) A là iđêan lớn nhất sao cho 1 – a là khả nghịch trong A, ∀a ∈ A. 1.3.9 Định nghĩa:  Nếu J(R) = 0 thì R là vành nửa nguyên thủy.  Iđêan A của R là iđêan nửa nguyên thủy nếu R/A là vành nửa nguyên thủy. 1.3.10 Bổ đề Nakayama: Nếu MR là R - môđun phải hữu hạn sinh và MR ≠ 0 thì M ≠ MJ(R). Chứng minh: Ta có MR là R - môđun phải hữu hạn sinh và MR ≠ 0. Giả sử M = MJ(R). Với J(R) = ∩ρ trong đó ρ là các iđêan tối đại của R. Ta được M ⊂ Mρ. Cho a1,,an là tập hợp nhỏ nhất các phần tử sinh của M. Ta có an ∈ M suy ra an ∈ Mρ . Do đó 1 1 ...n n na a aρ ρ= + + với ρi ∈ ρ . Nên ( ) 1 1 1 11 ...n n n na a aρ ρ ρ− −− = + + . Do ( )n J Rρ ∈ nên 1 nρ− khả nghịch trong R. Suy ra an là môđun con của M sinh bởi a1,,an-1 , mâu thuẫn. Vậy M ≠ MJ(R). 22 Chương 2: MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN    Lớp các vành Noether giao hoán là lớp các vành rất quen thuộc mà chúng ta đã được làm quen trong chương trình đại số giao hoán. Trong đó, ta có định lý cơ bản của Hilbert: “ Nếu A là vành Noether thì vành đa thức A[x] là Noether ”, đã giúp xây dựng nên các hình ảnh và ví dụ về vành Noether giao hoán. Nhưng đối với vành Noether không giao hoán thì những hình ảnh và ví dụ cụ thể không được phong phú. Mục đích của chương này là đi tìm những hình ảnh cụ thể, những ví dụ cụ thể về lớp các vành Noether không giao hoán. Vật liệu chính dùng để xây dựng nên lớp các vành Noether không giao hoán là: ma trận, đa thức một biến và nhiều biến không giao hoán, vành nhóm. Sau đây chúng ta sẽ đi và xây dựng lớp các vành Noether không giao hoán bằng vật liệu thứ nhất là ma trận. 23 2.1. MA TRẬN 2.1.1  Trong đại số tuyến tính, nếu R là vành có đơn vị 1 và ( ){ }1 2, ,..., /n n iR a a a a R= ∈ với hai phép toán cộng và nhân trên Rn như sau: Với ( ) ( )1 1,..., , ,..., nn na a b b Rα β= = ∈ , ta có: ( ) ( ) 1 1 1 ,..., . ,..., , . n n n a b a b k a k a k k R α β α + = + + = ∀ ∈ Khi đó Rn là R – môđun phải tự do cấp n.  Ta có phép nhúng: ( ) ( ) n ij R M R r a →  với: , 0 , ii ij a r i a i j = ∀  = ≠  Nếu r I R thì ( ) ( )n nrM I M R . Chứng minh: Phép nhúng: ( ) 0 0 nI M I a a a →                 ( ), nM Iα β∀ ∈ , ta có: 0 0 , 0 0 a b a b α β        = =                     Khi đó ( ) 0 . 0 n a b M I a b α β +   + = ∈   +       Do ,a b I∈ và r I R nên a b I+ ∈ .  ( ), nr R M Iα∀ ∈ ∀ ∈ , khi đó: 24 ( ) 0 . 0 . . . 0 0 . n a a r r r M I a a r α        = = ∈                     Do ,a I r R∈ ∈ và r I R nên .a r I∈ . Vậy ( ) ( )n nrM I M R . 2.1.2 Mệnh đề: Mn(R) là Noether phải nếu và chỉ nếu R là Noether phải. Chứng minh: (⇒) Ta có 2( ) nnM R R≅ và Mn(R) là Noether phải nên 2nR là Noether phải. Vậy R là Noether phải. (⇐) Giả sử R là Noether phải. Nếu { Ij / j = 1,2, } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của R thì {Mn(Ij) / j = 1,2, } cũng là dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của Mn(R). Vậy Mn(R) là Noether phải. 2.1.3 Bổ đề: Nếu R là vành con của S, với SR hữu hạn sinh và R là Noether phải thì S là Noether phải (S là vành R – môđun). Chứng minh:  Ta có R ⊂ S và SR là hữu hạn sinh nên R là hữu hạn sinh. Do R là Noether phải nên{ Ij / j = 1,2, } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của R.  Do R ⊂ S nên ta có phép nhúng ϕ: R → S suy ra nếu r I R thì ( ) ( ) r I R Sϕ ϕ ⊆ . Ta được {ϕ( Ij )/ j = 1,2, } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của S. Vậy S là Noether phải. 2.1.4 Ví dụ: Vành các ma trận n×n trên R là Mn(R) có vành con là vành: Tn(R) = { (aij) / aij ∈ R, aij = 0 với i > j }. Tn(R) là vành của tất cả các ma trận tam giác trên. 2.1.5 Hệ quả: 25 Nếu R ⊆ S ⊆ Mn(R) là các vành thì S là Noether phải nếu và chỉ nếu R là Noether phải. Chứng minh: (⇒) Giả sử S là Noether phải. Do S ⊆ Mn(R) nên Mn(R) là Noether phải (bổ đề 2.1.3). Suy ra R là Noether phải (do mệnh đề 2.1.2). (⇐) Giả sử R là Noether phải. Ta được Mn(R) là Noether phải (mệnh đề 2.1.2). Suy ra S là hữu hạn sinh (do mệnh đề 1.1.5) và R là vành con của S. Vậy S là Noether phải (do bổ đề 2.1.3). 2.1.6 Ví dụ:  R là vành và M là R – môđun phải. Nếu đặt: M* = Hom(M,R) là tập các đồng cấu từ M đến R, và S = EndMR là tập các tự đồng cấu của MR. Khi đó SMR và RM*S là các song môđun.  ∀m ∈ M và α ∈ M*, ta có:  Ánh xạ: ( ) :M R m m α α →  Do đó α.m = α.(m) ∈ R nên M*M ⊆ R.  m.α là ánh xạ n mα(n), ∀n ∈ M. Do α(n) ∈ R và M là R – môđun phải nên mα(n) ∈ M. Ta có: ( ) :m M M m m n α α →  Suy ra mα ∈ S = EndMR hay MM* ⊆ S.  Ma trận: T = * */ , , , rR M r R s S m M M m sM S α α      = ∈ ∈ ∈ ∈          là vành với các phép toán của ma trận 2×2. 2.1.7 Định nghĩa: Giả sử R, S là các vành; RVS, SWR là các song môđun và các đồng cấu song môđun: 26 : S V W Rθ ⊗ → : R W V Sψ ⊗ → . Ma trận: R V T W S   =     với các phép toán của ma trận 2×2. Nếu θ và ψ thỏa điều kiện kết hợp để T là vành thì tập hợp (R,S,V,W,θ,ψ) được gọi là Morita context, và T là vành Morita context. Trở lại ví dụ 2.1.6 ta có:  R, S là vành.  SMR và RM*S là các song môđun.  *:M M Rθ → và *:MM Sϕ → là các đồng cấu song môđun.  θ và ψ thỏa điều kiện kết hợp để T là vành Suy ra (R,S,M*,M,θ,ψ) là Morita context và *R M T M S   =     là vành Morita context. 2.1.8 Mệnh đề: Vành T là vành Noether phải nếu và chỉ nếu RR, SS, VS và WR là các vành Noether phải. Chứng minh: (⇐) Ta có: 0 0 0 0 R V R V T A B W S W S       = = ⊕ = ⊕            TT là Noether phải nếu và chỉ nếu AT và BT là Noether phải. 0 0 0 0 0 0 0 0 R V R V A      = = ⊕            Hay A là R⊕S – môđun. Suy ra T – môđun con của A cũng là R⊕S – môđun con. Ký hiệu L là tập các môđun con, ta có phép nhúng: 27 L(AT) → L(AR⊕S) Nếu RR và VS là Noether thì L(AR⊕S) là Noether phải. Suy ra L(AT) là Noether phải (mệnh đề 2.1.2). Vậy AT là Noether phải. Tương tự, nếu SS và WR là Noether phải thì BT cũng là Noether phải. Vậy nếu RR, SS, VS, WR là Noether phải thì T là Noether phải. (⇒) Ta có các phép nhúng với , 'R SI R V V  : L(RR) → L(AT) 0 0 I IV I       L(VS) → L(AT) ' '' 0 0 V W V V       T là Noether phải nên AT là Noether phải. Suy ra L(AT) là Noether phải. Do đó L(RR) và L(VS) là Noether phải. Vậy RR, VS là Noether phải. Tương tự ta có với , 'R SJ W S S  : L(WR) → L(BT) 0 0J J JS        L(SS) → L(BT) 0 0' ' ' S S W S        T là Noether phải nên BT là Noether phải. Suy ra L(BT) là Noether phải. Vậy SS, WR là Noether phải. Vậy nếu T là Noether phải thì RR, SS, VS và WR là Noether phải. 2.1.9 Chú ý:  Trường hợp đặc biệt là W = 0. Khi đó 0 S V W⊗ = và 0 R W V⊗ = . Suy ra θ = 0 và ψ = 0. Khi đó θ, ψ không có tính kết hợp, ta có vành: 0 R V T S   =     28 T thường được sử dụng cho các phản ví dụ.  Ta có iđêan: I = 0 0 0 V      Do I 2 = I.I = 0 nên I là lũy linh bậc 2. 2.1.10 Ví dụ: Nếu R = Z và V = S = Q thì ta được: 0 Z Q T Q   =     với song môđun ZQQ.  Do ZZ và QQ là các Noether phải nên T là Noether phải (do mệnh đề 2.1.8)  Ta có ZZ là Noether trái, nhưng ZQ không là Noether trái, do ZQ không là hữu hạn sinh nên T không là Noether trái.  Căn lũy linh của T là tập tất cả các phần tử lũy linh của T (hay còn gọi là căn nguyên tố). Ta có: ( ) 0 0 0 Q N T  ∈    và không là Noether trái do Q không là Z – môđun trái. Vì vậy N(T) không là Noether. 2.1.11 Ví dụ: Vành: 0 Q R R       là Artin phải nhưng không là Artin trái do QR không là Artin trái. 2.1.12 Định nghĩa:  Với A là iđêan phải của vành R, ta có: T = ( )II A A R R       cùng với các phép toán của ma trận 2×2 và II(A) = { r ∈ R / rA ⊆ A} là vành Morita context. 29  Vành II(A) được gọi là iđêan hóa của A và là vành con lớn nhất của R chứa A. A là iđêan hai chiều của II(A).  Vành II(A)/A được gọi là vành riêng của A.  Với phép nhân trái trên môđun R/A, ta có: ( ) / ( / )II A A End R A≅ Chứng minh: Xét ánh xạ: ( ) ( ) : ( ) / a II A End R A a a T φ φ → = Với: ( ) ( ) : / / ( )a a T R A R A a R r A T r A a r A ar A → ∈ + + = + = + (do A là iđêan của R)  Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) :a b II A a b a b ab a b φ φ φ φ φ φ ∀ ∈ + = + = Vậy φ là đồng cấu vành.  Ta chứng minh Kerφ = A(M). ∀a ∈ A ta có φ(a) = Ta với ( ) 0aT r A ar A+ = + = (do ar A A+ ∈ ). Suy ra 0aT = và a ∈ Kerφ. ∀a ∈ Kerφ , ta có φ(a) = Ta = 0. Do đó 0ar A ar A+ = ⇒ ∈ với r ∈ R hay a ∈ A(M). Vậy Kerφ = A(M).  Ta chứng minh Imφ = End(R/A). ( ) ( ) ( ) / , ( ) : / r r T End R A r II A T r A r r A rr rA R A ∀ ∈ ∃ ∈ + = + = + ∈ Trong đó Tr là một đồng cấu, do đó Imφ = End(R/A). 30 Vậy ( ) / ( / )II A A End R A≅ . 2.1.13 Định lý: Nếu A là một iđêan phải tối đại của R thì: i) R là II(A) – môđun phải hữu hạn sinh. ii) R/A là II(A) – môđun phải, có chuỗi hợp thành độ dài 1 nếu RA = A, và có chuỗi hợp thành độ dài 2 nếu RA ≠ A. iii) II(A) là Noether phải nếu và chỉ nếu R là Noether phải. iv) II(A) là Artin phải nếu và chỉ nếu R là Artin phải. Chứng minh:  Nếu RA = A thì (i) – (iv) đều thỏa mãn.  Nếu RA ≠ A thì RA = R (do A là iđêan phải tối đại của R). i) Do RA = R nên 1 ∈ RA. Ta được 1 1 n i i i ra = =∑ , ∀ri ∈ R, ai ∈ A. Suy ra ( ) 1 : , , n i i i i i r R r rr a r R a A = ∀ ∈ = ∀ ∈ ∈∑ .Vì A ⊆ II(A) nên ( ) 1 n i i R r II A = =∑ với 1,... nr r R∈ . Vậy R là II(A) – môđun phải hữu hạn sinh. ii) Cho B/A là II(A) – môđun con của R/A. Ta được (BA + A)/A ⊆ B/A và là R – môđun con của R/A. Do A là một iđêan phải tối đại của R nên R/A là trường. Suy ra (BA + A)/A = 0 (do (BA + A)/A ≠ R/A) hay BA ⊆ A . Vì vậy B ⊆ II(A) (do định nghĩa II(A)) ⇒ B/A ⊆ II(A)/A Mặc khác ( ) / ( / )II A A End R A≅ với R/A là II(A) – môđun phải nên II(A)/A là đơn (do định lý 1.1.11). Nên B/A = II(A)/A hoặc B/A = 0. iii) (⇒) Giả sử II(A) là vành Noether phải. Suy ra R là II(A) – môđun Noether phải (do(i)). Do đó R là R – môđun Noether phải hay R là vành Noether phải. (⇐) Giả sử R là vành Noether phải, B là iđêan phải bất kỳ của II(A). Ta có: BA ⊆ B ⊆ BR. Do R là vành Noether phải và BA, BR là các iđêan phải của R nên BR và BA là hữu hạn sinh. Ta được BR và BA đều là II(A) – môđun phải. Suy ra BR/BA có chuỗi hợp thành hữu hạn trên II(A) (do (ii)). 31 Do đó B/BA cũng có chuỗi hợp thành hữu hạn trên II(A) và B là hữu hạn sinh Vậy II(A) là Noether phải (do hệ quả 1.1.7). (iv) (⇒) Giả sử II(A) là vành Artin phải, ta có R là II(A) – môđun Artin phải (do(i)). Suy ra R là R – môđun Artin phải hay R là vành Artin phải. (⇐) Giả sử R là vành Artin phải, ta có R là vành Noether phải (hệ quả 1.1.16). Suy ra II(A) là vành Artin phải (do (iii)). 2.1.14 Chú ý:  Nếu A là iđêan phải tối đại của vành Noether phải R, ta có: ( )II A A T R R   =     Trong đó II(A)II(A), RR, AR là các vành Noether phải. Do R là Noether phải nên II(A) là Noether phải (do 1.1.13(iii)). Vậy T là Noether phải (do 2.1.7).  T là iđêan hóa của iđêan phải tối đại: A A R R       của M2(R). 32 2.2. VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG 2.2.1 Định nghĩa:  Cho R là vành không giao hoán. Đa thức f(x) của ẩn x trên vành R có sự biểu diễn duy nhất dưới dạng: ( ) 1 1 1 0 0 ...n nn n n i i i i f x x a x a xa a x a a R − − = = + + + + = ∀ ∈∑ Vành R[x] gọi là vành đa thức trên R.  Nếu an ≠ 0 thì bậc của f(x) được định nghĩa là n, ký hiệu: ( )deg f x . Khi đó an được gọi là hệ tử cao nhất của đa thức f (x). Quy ước: đa thức không có bậc - ∞ và hệ tử cao nhất là 0.  ( ) ( ) [ ],f x g x R x∀ ∈ , ta có: 1) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }deg max deg ,degf x g x f x g x+ ≤ Đẳng thức xảy ra nếu ( ) ( )deg degf x g x≠ . 2) ( ) ( )( ) ( ) ( )deg deg degf x g x f x g x≤ +  Nếu ( ) ,f x ax a R= ∀ ∈ thì: ( ) 1 0f x ax xa a= = + , với 0 1,a a R∈ duy nhất ax xR R⇒ ∈ + Đặt ( ) ( )1 0,a a a aσ δ= = ta được: ax = xσ (a) + δ (a) Khi đó σ, δ là các tự đồng cấu của nhóm cộng R+ của R.  Ta có: (ab)x = xσ (ab) + δ (ab) = xσ (a)σ (b) + δ (ab) (do σ là tự đồng cấu vành của R) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a bx a x b b ax b a b x a a b a b x a b a b a b σ δ σ δ σ δ σ δ σ σ δ σ δ = + = + = + +       = + + Do ( ) ( )ab x a bx= nên: 33 δ (ab) = δ (a)σ (b) + aδ (b) Đây là định nghĩa tính chất σ - đạo hàm.  Chú ý: σ (1) = 1 và δ (1) = 0. 2.2.2 Ví dụ: Cho K là trường, R = K[x] là vành đa thức giao hoán của ẩn x và σ là tự đồng cấu vành của R. Khi đó σ là ánh xạ đồng nhất trên K. ∀f ∈ R, σ - đạo hàm δ định nghĩa: δ (x) = f. 2.2.3 Định nghĩa:  Cho vành R, tự đồng cấu σ và σ - đạo hàm δ , ta xây dựng được vành đa thức. Xét vành E các tự đồng cấu nhóm Abel của RN. Với RN là tập hợp các dãy số: ( ) ( )0 1, ,..., ,... ,i n ir r r r r R= ∀ ∈ Khi đó RN gọi là lũy thừa đềcác. Ta có phép nhúng: r R E r T →  với ( ) ( ) ( ) : . N N r i i r i T R R r r T r x → = Với x ∈ E , ta định nghĩa: (ri)x = (σ (ri-1) + δ (ri)) , với r– 1 = 0.  S là vành con của E sinh bởi R và x. Với a ∈ R, ta có: ax = xσ (a) + δ (a) Mọi phần tử của S có thể được viết dưới dạng: ∑ x iai Vì: ( ) ( )1,0,0,... . i i ix a a=∑ là duy nhất với ( )1,0,0,... là phần tử đơn vị của RN. 34 Vành S được gọi là vành đa thức không đối xứng. Ký hiệu: S = R[ x;σ,δ ]. Nếu δ = 0 thì S = R[ x ;σ ]. Nếu σ = 1 thì S = R[ x ;δ ]. 2.2.4 Chú ý:  Vành T tự do trên R, sinh bởi phần tử x với hệ thức: ax = xσ (a) + δ (a) , ∀a ∈ R. Khi đó mọi phần tử của T có thể được viết dưới dạng: ∑ x iai .  Ta có toàn ánh: T → R[ x;σ,δ ] với xi là R - độc lập trong R[x;σ,δ]. Suy ra xi là R - độc lập trong T. Vậy T ≅ R[ x;σ,δ ]. Đây là cách mô tả khác của vành R[ x;σ,δ ]. 2.2.5 Tính chất: Nếu ψ : R → S là đồng cấu vành và y ∈ S có tính chất: ψ (a) y = yψ (σ(a)) + ψ (δ (a)) , ∀ a ∈ R. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành: χ : R[ x;σ,δ ] → S x  χ (x) = y và sơ đồ sau giao hoán: R R[ x;σ,δ ] ψ χ S 2.2.6 Chú ý:  Vành đa thức không đối xứng với các phần tử được viết dưới dạng: ∑ ai xi , ∀ai ∈ R Hệ thức khi đó là: xa = σ(a)x + δ(a) , ∀a ∈ R.  Trong trường hợp σ là tự đẳng cấu, ta thu được vành R[x;σ -1,-δ σ-1]. 35 2.2.7 Ví dụ:  Do R[ x;σ,δ ] là tự do nên ta có: R[ x;σ,δ ] / xR[ x;σ,δ ] ≅ R. Khi đó R[ x;σ,δ ] / xR[ x;σ,δ ] là vành R – môđun phải. R[ x;σ,δ ] có sự biểu diễn trong EndR+ với các phần tử của R tác động bởi phép nhân phải và hệ thức: ax = xσ (a) + δ (a) ≡ δ (a) (do xσ (a) ∈ xR[ x;σ,δ ]). Nên x tác động bởi δ.  Tương tự, ta có: R[ x;σ,δ ] / (x – 1)R[ x;σ,δ ] ≅ R Khi đó R[ x;σ,δ ] / (x – 1)R[ x;σ,δ ] là vành R – môđun phải. R[ x;σ,δ ] có sự biểu diễn trong EndR+ với các phần tử của R tác động bởi phép nhân phải và hệ thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) 1 1 1 1 ; , . ax x a a x a a a x a a a do x a x R x σ δ σ σ δ σ σ δ σ δ σ σ δ = + = − + + = − + + ≡ + − ∈ − Nên x tác động bởi σ + δ. 2.2.8 Chú ý:  Với a ∈ R, ta có: ( ) ( ) ( )1 1 0... ,n n nn n iax x a x a a EndRα α α α− +−= + + + ∀ ∈ . Nếu αn (a) ≠ 0 thì axn có bậc n và hệ tử cao nhất là αn(a).  Với R[ x;σ ] ta có: αn = σ n và αi = 0 với i ≠ n. Với R[ x;δ ] ta có: n ii n i α δ −   =     . 2.2.9 Định lý: Cho S = R[ x;σ,δ ], ta có: i) Nếu σ là đơn ánh và R là miền nguyên thì S là miền nguyên. ii) Nếu σ là đơn ánh và R là vành chia thì S là miền iđêan chính bên phải. iii) Nếu σ là tự đẳng cấu và R là vành nguyên tố thì S là vành nguyên tố. 36 iv) Nếu σ là tự đẳng cấu và R là vành Noether phải (hay trái) thì S là vành Noether phải (hay trái). Chứng minh: (i) ∀ f , g ∈ S = R[x;σ,δ] và f, g ≠ 0. Ta có: 0 n i i i f x a = =∑ có bậc n , với an ≠ 0, ai ∈ R. 0 m j j j g x b = =∑ có bậc m , với bm ≠0, bi ∈ R. Suy ra ( )0 0 0 0... ... ...k n mk k n mfg a b a b a b x a b x += + + + + + + có bậc m + n và hệ tử cao nhất là anbm. Do an ≠ 0 và bm ≠0 nên anbm ≠ 0 (R là miền nguyên). Suy ra fg ≠ 0 ∀f, g ∈ S và f, g ≠ 0. Vậy S là miền nguyên. (ii) Giả sử I là iđêan phải của S, I ≠ 0. Khi đó ∃f ∈ I và f ≠ 0 với degf = n. Suy ra I chứa đa thức lõi bậc n. (Ví dụ: nếu f = 0 n i i i x b = ∑ thì f là đa thức lõi khi bn = 1). Với thuật toán chia chứng tỏ I được sinh bởi phần tử lõi có bậc nhỏ nhất thuộc I. Do đó I là iđêan chính ,∀I ∈ S. Vậy S là miền iđêan chính bên phải. (iii) Với f , g ∈ S = R[ x;σ,δ ], ta có: 0 n i i i f x a = =∑ , 0 m j j j g x b = =∑ , an, bm ≠ 0. Do σ là đơn ánh nên σm(an) ≠ 0. Suy ra σm(an)Rbm ≠0 (do R là vành nguyên tố). Do σ là toàn ánh nên mỗi phần tử của σm(an)Rbm là hệ tử cao nhất của các đa thức trong fRg. Suy ra fRg ≠ 0 hay fSg ≠ 0. Vậy S là vành nguyên tố. (iv) Giả sử R là Noether phải. Do σ là tự đẳng cấu nên mỗi phần tử của S có thể viết dưới dạng 0 , n i i i i b x b R = ∈∑ .  Nếu r I S , cho In là tập hợp các hệ tử cao nhất và các phần tử trong I có bậc ≤ n. Ta có: In là iđêan phải của R, In gọi là iđêan phải cao nhất thứ n của I. Do R là vành Noether phải nên In ⊆ In+1. 37  Nếu ' r I S với I ⊆ I’ và In = I’n , ∀n ≥ 0. Ta chứng minh: I = I’. Giả sử I ≠ I’, khi đó ∃m ∈ I’\I và m có bậc nhỏ nhất. Suy ra Im ≠ I’m (vô lý).  Giả sử Lo ⊆ L1 ⊆ là dãy tăng các iđêan phải của S. Ký hiệu Lin là iđêan phải lớn nhất thứ n của Li. Xét dãy { Lin / i,n ≥ 0 }. Ta có: Lij ⊆ Lkm , ∀i ≤ k và j ≤ m. Dãy tăng { Lii / i ≥ 0} các iđêan phải của R là dừng. Giả sử dãy dừng tại Ljj, ta có: ∀n : 0 ≤ n ≤ j – 1, dãy { Lin / i ≥ 0 } dừng tại kn. Chọn m = max { j , ko , k1 , , kj-1 } ta được ∀i ≥ m và n ≥ 0 ta có Lin = Lmn. Suy ra Li = Lm . Vậy S là Noether phải. Kết luận: Vậy nếu σ là tự đẳng cấu và R là Noether phải (hay trái) thì S là Noether phải (hay trái). 2.2.10 Định lý: R là vành Noether phải, S là vành sinh bởi R và phần tử x sao cho: Rx + R = xR + R Khi đó S là vành Noether phải. Chứng minh: Do Rx + R = xR + R nên σ là tự đẳng cấu và R là vành Noether phải. Suy ra S là vành Noether phải (do định lý 2.2.9(iv)). 2.2.11 Ví dụ: 1/ Cho K là trường, R = K[y] và σ (f (y)) = f (0).  Với x ≠ 0 và y ≠ 0, ta có: yx = xσ (y) = x.0 = 0. Suy ra vành S = R[ x;σ ] không là miền nguyên.  Với x, y ≠ 0, ta có: ySx ⊆ yxS = 0, (Sxy)2 = SxySxy = 0. Suy ra S không là vành nguyên tố, và cũng không là vành nửa nguyên tố.  Các tổng ∑Sxyi và ∑xiyS là các tổng trực tiếp, suy ra S không là Noether phải và trái. 2/ Cho K là trường, R = K(y) là trường đa thức hữu tỷ, và hệ thức: 38 σ (f (y)/g (y)) = f (y2)/g (y2), với f, g ∈ K[y].  Do σ là đơn ánh và K(y) là vành chia nên S = R[ x;σ ] là miền iđêan phải chính (do 2.2.9(ii)).  Cho deg(f/g) = degf – degg. Khi đó, mỗi phần tử của Sx, được viết dưới dạng 0 n i i i x a = ∑ và hệ tử ai luôn có bậc. Suy ra Sxy ∩ Sx = 0. Vậy tổng 0 i i Sxyx ∞ = ∑ là trực tiếp. Thật vậy, giả sử ngược lại, ta có: ∃m < n và si ∈ S: ... 0m nm ns xyx s xyx+ + = với sm,sn ≠ 0. Suy ra ( )1 ... 0n mm m ns xy s xyx s xyx Sxy Sx−+= − + + ∈ ∩ = ⇒ 0ms xy Sxy Sx∈ ∩ = (mâu thuẫn). Vậy S không là Noether trái. 3/ Cho K là trường, R = K(y) và σ (f (y)) = f (y2). Ta có S = R[ x;σ ] là vành con của ví dụ 2. Chứng minh trên cho thấy ∑Sxyxi là tổng trực tiếp. Cho 0 n i n i A x yS = =∑ và 1n nx y A+ ∉ ta được dãy các iđêan phải {An} là tăng nghiêm ngặt. Vậy S không là Noether phải và trái. 2.2.12 Chú ý: Nếu 2.2.9(iv) thỏa mãn với σ là toàn ánh thì σ là tự đẳng cấu. Thật vậy: Nếu Kerσ ≠ 0 thì ta có dãy vô hạn 20 ...Ker Kerσ σ⊂ ⊂ ⊂ mâu thuẫn với R là Noether phải hoặc trái. 2.3. ĐẠI SỐ WEYL 2.3.1 Định nghĩa:  K là trường, K - đại số với 2n phần tử sinh x1,,xn,y1,,yn và các hệ thức: xiyj – yjxi = δij (delta kronecker), xixj – xjxi = yiyj – yjyi = 0, được gọi là đ