Luận văn Một số lớp ánh xạ đa trị với giá trị không lồi

X× → định bởi ( ) ( ),H x t tF x= và 0G ≡ . Áp dụng định lí 1.5 ta có điều phải chứng minh. 25 CHƯƠNG 2. ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 2.1. Liểm bất động của ánh xạ tăng đa trị Định lí điểm bất động của toán tử đơn trị tăng ( có thể không liên tục ) trong không gian Banach sắp thứ tự đã được nghiên cứu rất rộng rãi và có nhiều áp dụng vào phương trình vi phân. Một cách tự nhiên, chúng ta mở rộng một kết quả tương tự cho toán tử đa trị và ứng dụng của nó. Trong chương này chúng tôi phát biểu định lí điểm bất động của toán tử đa trị. Trong chứng minh định lí điểm bất động, bài báo áp dụng nguyên lí Entropy của Brezis-Browder. Nguyên lí này được phát biểu như sau : 2.1.1. Nguyên lí Entropy : cho ( ),M ≤ là tập được sắp thứ tự và : [ , )S M → −∞ +∞ là hàm số thỏa mãn : (i) Mọi dãy đơn điệu tăng trong M đều có cận trên. (ii) S là toán tử tăng và bị chặn trên. Khi đó tồn tại phần tử 0u M∈ sao cho ( ) ( )0 0,v M v u S v S u∈ ≥ ⇒ = . Chứng minh Nếu ( ) ,S v v M= −∞ ∀ ∈ thì ta có điều phải chứng minh. Giả sử tồn tại 1u M∈ sao cho ( )1S u ≠ −∞ , ta xây dựng các phần tử 1 2 ...u u≤ ≤ như sau. Giả sử có phần tử nu , ta đặt { } ( ){ }: , sup ,n n n nA u M u u S u u Aα= ∈ ≥ = ∈ . Nếu ( )n nS uα = thì nu là phần tử cần tìm. Nếu ( )n nS uα > , ta tìm được 1nu + thỏa ( ) ( ) 1 1 1 2 n n n n n n u A S u S uα α + + ∈    > − −   26 Nếu quá trình trên là vô hạn thì ta có dãy tăng { }nu thỏa : ( ) ( )12 ,n n nS u S u n Nα+ − > ∀ ∈ . Gọi 0u là cận trên của dãy { }nu . Với 0u u≥ , ta có ,nu M n N∈ ∀ ∈ ⇒ ( ) ( ) ( )12n n nS u S u S uα +≤ ≤ − ⇒ ( ) ( )lim nnS u S u→∞≤ ( giới hạn tồn tại vì ( ){ }nS u là dãy tăng , bị chăn trên và ( )1S u ≠ −∞ ). Suy ra ( ) ( )0S u S u≤ . Do đó ( ) ( )0S u S u= . 2.1.2. Một số khái niệm 1, Tập con K trong không gian Banach thực X được gọi là nón nếu K là tập lồi đóng thỏa mãn tK K⊂ với mọi 0t ≥ , ( ) { }K K θ∩ − = . 2, Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi : x y y x K≤ ⇔ − ∈ { }[ , ) :u x X x u+∞ = ∈ ≥ . 3, Theo Nishnianidze , ta có quan hệ " "< cho cặp tập con ,A B của X như sau , :A B a A b B a b< ⇔∀ ∈ ∃ ∈ ≤ . Quan hệ này có tính bắc cầu. 4, Toán tử đa trị ( ):F M X N X⊂ → được gọi là tăng nếu ,x y M∈ , x y≤ thì ( ) ( )F x F y< . ĐỊNH LÍ 2.1.1 [2] Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K . 0 ,X M lần lượt là không gian con và tập con đóng của X . ( ):F M N M→ là ánh xạ đa trị tăng thỏa mãn (1) ( )F x đóng với mọi x M∈ . 27 (2) { } ( )0 0 0,x M x F x∃ ∈ < . (3) ( ) 0 ,F x X x M∩ ≠∅ ∀ ∈ , hơn nữa ( ) ( )1 2 0 1 2, , : ,y y F x y F x X y y y y∀ ∈ ∃ ∈ ∩ ≤ ≤ . (4) Nếu { } { },n nx y là dãy tăng thỏa mãn ( ) 0n ny F x X∈ ∩ thì { }ny hội tụ. Khi đó F có điểm bất động tối đại trong M . Hơn nữa, nếu { } ( ){ }0 :M x M x F x= ∈ < là tập hướng lên thì F có điểm bất động lớn nhất trong M . Chứng minh Bước 1 : không mất tính tổng quát ta giả sử F có tính chất với mọi 0x M∈ thì ( ) 0F x M⊂ và ( ),x y y F x≤ ∀ ∈ (*). Thật vậy , ta định nghĩa ( ) ( ) ( )0: , [ , )G M N M G x F x x→ = ∩ +∞ . ( do { } ( )x F x< nên tồn tại ( ) :y F x x y∈ ≤ suy ra ( ) ( ) [ , )G x F x x= ∩ +∞ ≠∅ ). Do định nghĩa nên ta có ( ),x y y G x≤ ∀ ∈ . Với mọi ( )y G x∈ , do giả thiết (3) nên có ( ) 0' : 'y F x X y y∈ ∩ ≤ suy ra { } ( )y F x< . Do F tăng nên ta có ( ) ( )F x F y< suy ra { } ( )y F y< . Do đó ( ) 0G x M⊂ . Ta kiểm tra G thỏa các tính chất của F . (1) ( )G x đóng với mọi 0x M∈ ( ( )F x đóng với mọi x M∈ ) . (2) Ta có { } ( ) ( ) { } ( )0 0 0 0 0 0 0, :x M x F x y F x x y x G x∈ < ⇒∃ ∈ ≤ ⇒ < . (3) Với mọi 0x M∈ { } ( ) ( )1 1:x F x y F x x y⇒ < ⇒∃ ∈ ≤ , do giả thiết (3) nên có ( ) 0 1' : 'y F x X y y∈ ∩ ≤ . Suy ra ( ) ( )0 0'y G x X G x X∈ ∩ ⇒ ∩ ≠∅ . 28 Với mọi ( )1 2,y y G x∈ ( )1 2,y y F x⇒ ∈ ( ) 0 1 2' : ', 'y F x X y y y y⇒∃ ∈ ∩ ≤ ≤ ( )0 '' : ''x M y F x x y∈ ⇒∃ ∈ ≤ . Do giả thiết (3) nên có ( ) 0y F x X∈ ∩ sao cho ' , ''y y y y≤ ≤ . Suy ra 1 2, ,y y y y x y≤ ≤ ≤ . Vậy tồn tại ( ) 0 1 2: ,y G x X y y y y∈ ∩ ≤ ≤ . (4) Giả sử { } { },n nx y là dãy tăng thỏa mãn ( ) 0n ny G x X∈ ∩ . Suy ra ( ) 0n ny F x X∈ ∩ . Theo giả thiết (4) thì { }ny hội tụ. Dễ thấy điểm bất động của G cũng là điểm bất động của F . Do đó ta có thể thay F bằng G để được tính chất (*). Bước 2: Lấy dãy { } 0nx M⊂ là dãy tăng. Ta chứng minh { }nx bi chặn trên. Ta có ( ) ( ) { } ( )1 0 1 1 0 1 1F x X y F x X y F x∩ ≠∅⇒∃ ∈ ∩ ⇒ < , ( ) ( )1 2 1 2x x F x F x≤ ⇒ < { } ( ) ( )1 2 2 1,y F x w F x y w⇒ < ⇒∃ ∈ ≤ . ( ) ( )2 0 2 0F x X v F x X∩ ≠∅⇒∃ ∈ ∩ . Do giả thiết (3) nên có ( )2 2 0y F x X∈ ∩ sao cho 2 2,w y v y≤ ≤ . Suy ra 1 2y y≤ . Giả sử có ( )1 1 0n ny F x X− −∈ ∩ thỏa mãn 2 1n ny y− −≤ . Ta có ( ) ( )1 1n n n nx x F x F x− −≤ ⇒ < ( ) 1,n nw F x y w−⇒ ∃ ∈ ≤ . ( ) ( )0 0n nF x X v F x X∩ ≠∅⇒∃ ∈ ∩ . Do giả thiết (3) nên có ( ) 0n ny F x X∈ ∩ sao cho ,n nw y v y≤ ≤ . Suy ra 1n ny y− ≤ . Vậy ta đã xây dựng được dãy tăng { }ny thỏa mãn ( ) 0 ,n ny F x X n N∈ ∩ ∀ ∈ . Do giả thiết (4) nên { }ny hội tụ. Đặt lim nny y→∞= . M là tập đóng nên .y M∈ Khi đó ,ny y n N≤ ∀ ∈ ( do { }ny tăng ). Ta chứng minh 0y M∈ 29 Ta có ( ) ( )n ny F x F y∈ < ( do F tăng ). Theo giả thiết (3) ta có ( ) 0nz F y X∈ ∩ sao cho n ny z≤ ( do ( ) 0n ny F x M∈ ⊂ ). Do giả thiết (3) ta có ( )1 0nz F y X+ ∈ ∩ sao cho 1n nz z +≤ . Vậy ta có dãy tăng { }nz thỏa ( ) 0 ,nz F y X n N∈ ∩ ∀ ∈ . Theo giả thiết (4) ta có { }nz hội tụ. Đặt lim nnz z→∞= . Suy ra ( )z F y∈ ( do ( )F y đóng ), suy ra y z≤ ( do tính chất (*) ). Vậy 0y M∈ . Như vậy { }nx bi chặn trên. Bước 3 : F có điểm bất động tối đại trong M . Với mỗi 0x M∈ ,đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 20 0 0, : , , , , ,xM u v M X u F y v F z y z M x y z u v= ∈ ∩ ∈ ∈ ∈ ≤ ≤ ≤ . Ta định nghĩa hàm [ ] ( ) ( ){ }0: 0, , sup , , xS M S x u v u v M→ +∞ = − ∈ . Khi đó xM ≠∅ ( vì ( ) ( ) ( )0 0' ', ' xF x X x F x X x x M∩ ≠∅⇒∃ ∈ ∩ ⇒ ∈ ) và y xM M⊂ nếu x y≤ . Do đó S là được định nghĩa tốt và S là hàm giảm ( ( ) ( )y xx y M M S y S x≤ ⇒ ⊂ ⇒ ≤ ) Như vậy tập 0M và hàm ( )S− có các tính chất (iii) Mọi dãy đơn điệu tăng trong 0M đều có cận trên. (iv) ( )S− là toán tử tăng và bị chăn trên bởi 0. Áp dụng nguyên lí Entropy cho tập 0M và hàm ( )S− , ta tìm được 0a M∈ thỏa mãn với mọi ( ) ( )0 ,x M x a S x S a∈ ≥ ⇒ = . 30 Ta chứng minh ( ) 0S a = . Giả sử trái lại ( ) 0S a α> > . Khi đó tồn tại ( ) ( ) ( )221 2 0 1 2 0 0, , ,x x M y y M X∈ ∈ ∩ thỏa ( ) ( )1 2 1 2 1 1 0 2 2 0 1 2, , , ,y y y y y F x X y F x X a x xα− > ≤ ∈ ∩ ∈ ∩ ≤ ≤ Vì 2a y≤ ( do ( )2 2y F x∈ và tính chất (*) ) nên ( )2S y α> . Tồn tại 3 4 3 4, , ,x x y y thỏa ( ) ( )3 4 3 4 3 3 0 4 4 0 2 3 4, , ,y y y y y F x X y F x X y x xα− > ≤ ∈ ∩ ∈ ∩ ≤ ≤ . Do tính chất (*) nên 2 3 2 3,x x y y≤ ≤ . Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được dãy { } { },n nx y thỏa mãn ( ) 0 2 1 2,n n n ny F x X y y α−∈ ∩ − > với mọi n N∈ . Suy ra { }ny không hội tụ ( mâu thuẫn (4) ). Ta chứng minh mọi ( ) 0b F a X∈ ∩ là điểm bất động cực đại của F trong M . Lấy ( ) 0c F b X∈ ∩ , do tính chất (*) nên ,a b b c≤ ≤ suy ra ( ), ab c M∈ nên b c= ( do ( ) 0S a = ). Vậy ( )b F b∈ . Nếu có ,x M x b∈ ≥ là điểm bất động của F , do giả thiết (3) nên có ( ) 0y F x X∈ ∩ . Dễ thấy ( ), ab y M∈ nên b x= . Bước 4 : , nếu { } ( ){ }0 :M x M x F x= ∈ < là tập hướng lên. Ta chứng minh F có điểm bất động lớn nhất trong M . . Lấy *x là điểm bất động của F . Do 0M là tập định hướng nên có 0 0y M∈ sao cho 0 0* ,x y b y≤ ≤ . Áp dụng lập luận như trên với tập 0 0[ , )M y∩ +∞ . Cụ thể như sau : Đặt 0 0' [ , )M M y= ∩ +∞ , { } ( ){ }0 ' ' :M x M x F x= ∈ < . Ta chứng minh mọi dãy tăng { } 0 'nx M⊂ đều bi chặn trên. Ta có { } 0 0, ,n nx M y x n N⊂ ≤ ∀ ∈ . Theo bước 2 ta có { }nx bị chăn trên bởi 0y M∈ . Suy ra 0 'y M∈ . 31 Với 0 'x M∈ , đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 20 0 0' , ' : , , , ' ,xM u v M X u F y v F z y z M x y z u v= ∈ ∩ ∈ ∈ ∈ ≤ ≤ ≤ . Ta có ( ) ( )0 0'F x X x F x X∩ ≠∅⇒∃ ∈ ∩ 0 'y x x⇒ ≤ ≤ 0 0' 'x M X⇒ ∈ ∩ . Suy ra ( )', ' 'xx x M∈ . Vậy 'xM ≠∅ . Do đó ta có thể định nghĩa hàm S lập luận như trong bước 3. Ta tìm được điểm bất động 1 0b y≥ . Suy ra 1b b≥ , suy ra 1b b= . Vây *b x≥ . Vậy F có điểm bất động lớn nhất trong M . 2.2. Lát cắt của ánh xa tăng đa trị Các kết quả được trích từ tài liệu [3] 2.2.1. Các khái niệm liên quan 1. Tập sắp thứ tự bộ phận P ( poset ) là tập hợp khác rỗng và trên đó có quan hệ thứ tự bộ phận. 2. Với ,a b P∈ , ta định nghĩa các tập hợp { } { }[ ) : ,( ] :a x P a x a x P x b= ∈ ≤ = ∈ ≤ . 3. Ta nói b P∈ là một cận trên của A P⊂ nếu ( ]A b⊂ . Cận trên nhỏ nhất của A được gọi là cận trên đúng của A . Kí hiệu supb A= . 4. Ta nói a P∈ là một cận trên của A P⊂ nếu [ )A a⊂ . Cận trên nhỏ nhất của A được gọi là cận trên đúng của A . Kí hiệu infa A= . 5. Một poset P được gọi là dàn nếu { } { }sup , ,inf ,x y x y tồn tại với mọi ,x y P∈ . 6. Một tập con C P⊂ được gọi là xích nếu C là tập sắp thứ tự toàn phần. 32 7. Một poset X được gọi là Zorn- bị chặn trên / dưới nếu mọi xích Y X⊂ khác rỗng đều bị chặn trên / dưới. 8. Một poset X được gọi là đầy đủ theo xích hướng lên / xuống nếu sup / infY Y với mọi xích Y X⊂ khác rỗng. . X được gọi là đầy đủ theo xích nếu X vừa đầy dủ theo xích hướng lên, vừa đầy đủ theo xích hướng xuống. 9. Cho poset X và : ( )R T N X→ . Với mọi t T∈ , ta kí hiệu ( ) ( ) /R t x R t+ = ∈ ∃ ( ){ } ( ) ( ) , / y R t y x R t x R t− ∈ > = ∈ ∃ ( ){ },y R t y x∈ < 10. Cho poset X , với ( ),Y Z N X∈ ta định nghĩa các quan hệ sau : [ ], , ' : '& 'InfY Z y Y z Z z Z y z z z≥ ⇔∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ ≥ ≥ [ ], , ' : ' & 'SupY Z y Y z Z y Y y y y z≥ ⇔∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ ≥ ≥ { }( )^ , inf ,Y Z y Y z Z y z Z≥ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ { }( ), sup ,Y Z y Y z Z y z Y∨≥ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ ^ &VtY Z Y Z Y Z∨ ≥ ⇔ ≥ ≥  { } { }( ), sup , inf ,wVY Z y Y z Z y z Y hoac y z Z≥ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ ∈ Nhận xét 2.2.1.1 ^ InfY Z Y Z≥ ⇒ ≥ , SupY Z Y Z∨≥ ⇒ ≥ . Gọi *≥ là một trong những quan hệ được định nghĩa như trên. ĐỊNH NGHĨA 2.2.2.1 [3] Cho ,T X là hai tập sắp thứ tự bộ phận, ( ):R T N X→ được gọi là tăng đối với *≥ nếu ( ) ( )*' 'R t R t khi t t≥ > . 33 2.2.2. Một số định lí về sự tồn tại lát cắt đơn điệu của ánh xạ đa trị tăng ĐỊNH LÍ 2.2.2.1 [3]: Một ánh xạ đa trị R từ poset T vào poset X có lát cắt đơn điệu nếu R là tăng đối với , ( )Inf R t−≥ ≠ ∅ với mọi t T∈ . Chứng minh Với mỗi t T∈ , do ( )R t− ≠ ∅ nên có ( )tx R t−∈ . Xây dựng :r T X→ tt x Với t t′ > , do R là tăng đối với Inf≥ nên ( ) ( )InfR t R t′ ≥ Khi đó ( ) ( ), ( ) ( )r t R T r t R t′ ′∈ ∈ nên tồn tại ( ): ( ) & ( )x R t x r t x r t′ ′∈ ≤ ≤ Do { }( ) ( ) ( ) / ( ) :r t R t x R t y R t y x−∈ = ∈ ∃ ∈ < nên ( )x r t< với mọi ( )x R t∈ . Suy ra ( ) ( ) ( )x r t r t r t′= ⇒ ≤ Vậy r là lát cắt đơn điệu có từ R . Nhận xét 2.2.2.2[3] Do điều kiện ( )R t là Zorn-bị chặn dưới mạnh hơn điều kiện ( )R t− ≠ ∅ nên ta có hệ quả sau. Hệ quả2.2. 2.1 [3] Một ánh xạ đa trị R từ poset T vào poset X có lát cắt đơn điệu nếu R là tăng đối với Inf≥ và ( )R t là Zorn-bị chặn dưới với mọi t T∈ Chứng minh Ta chứng minh nếu ( )R t là Zorn-bị chặn dưới thì ( )R t− ≠ ∅ . Thật vậy, do bổ đề Zorn thì ( )R t có phần tử tối tiểu. Hiển nhiên 0 ( )z R t∈ . Áp dụng định lý 2.2 ta có điều phải chứng minh. 34 ĐỊNH LÍ 2.2.2.2 [3] Một ánh xạ đa trị R từ poset T vào poset X có lát cắt đơn điệu nếu R là tăng đối với Sup≥ và ( ) 0R t+ ≠ , t T∀ ∈ . Chứng minh Với t T∈ , do ( ) 0R t+ ≠ nên có ( )tx R t+∈ . Xây dựng :r T X→ tt x Với t t′ > , do R là tăng đối với Sup≥ nên có ( )y R t′∈ sao cho ( ) & ( )y r t y r t′≥ ≥ . Do ( ) ( )r t R t+′ ′∈ nên ( )y r t′= .Suy ra ( ) ( )r t r t′ ≥ Vậy r là lát cắt đơn điệu của R . Nhận xét 2.2.2.2 : hai điều kiện của R trong định lý 2.2 và định lý 2.3 chỉ là điều kiện đủ để có lát cắt đơn điệu. Ta sẽ thấy rõ điều này qua các ví dụ sau. Ví dụ 2.1: Cho [0;1]X = ( ):R X N X→ định bởi: ( ) 1 [0;1) 1 0 1 x x R x x + ∈=   = Ta có: 1 [0;1) ( ) 2 0 1 x x R x x − + ∈=   = Vậy ( )R x x X− ≠ ∅ ∀ ∈ R không có lát cắt đơn điệu. Thật vậy, giả sử R có lát cắt đơn điệu r , khi đó 1 [0;1) ( ) 2 1 x x r x a x + ∈=   = 35 Do [0;1)a∈ nên 2 1 1a − < , do đó tồn tại 0 [0;1)x ∈ thỏa mãn 02 1 1a x− < < suy ra 0( ) (1)r x a r> = (mâu thuẩn vì r tăng). R không tăng đối với Inf≥ Ta dễ thấy ( ) (0).InfR t R≥ Ví dụ 2.2.2.1 Cho [0;1]X = ( ):R X N X→ định bởi (0;1) 0 ( ) 1 (0;1] 2 x R x x x = =  − ∈ R là tăng đối với Inf≥ .Thật vậy, xét x x′ > : Nếu , (0;1]x x′∈ thì ta có ( ) ( )InfR x R x′ ≥ . Nếu (0;1],x 0x′∈ = thì ta có 1( ) 1 2 2 xR x′ = − ≥ nên ta có ( ) ( )InfR x R x′ ≥ . 0 ( ) 1 (0;1] 2 x R x x x − ∅ = =  − ∈ R không có lát cắt đơn điệu. Ví dụ 2.2.2.2: [0;1]X = , ( ):R X N X→ định bởi 0 [0;1)( ) (0;1) 1 x R x x ∈ =  = Dễ thấy R là tăng đối với Inf≥ , 0 [0;1) ( ) 1 x R x x − ∈= ∅ = 36 Nhưng R vẫn có lát cắt đơn điệu là 0 [0;1) ( ) 1 1 2 x r x x ∈ =  = ĐỊNH LÍ 2.2.2.3 [3] Cho X là dàn,T là poset, ( ):R T N X→ là tăng đối với Inf≥ và thỏa mãn với mọi , ( )t T R t∈ là đầy đủ theo xích hướng xuống và ( )R t− ≠ ∅ . Khi đó R có lát cắt đơn điệu. Chứng minh Ta định nghĩa M là tập hợp các ánh xạ ( ):F T N X→ thỏa mãn: ( ): ( ) ( )t T R t F t R t−∀ ∈ ⊆ ⊆ (IIa) , x, y R(t) : (y x& y ( ) ( ))t F t x F t∀ ∈∀ ∈ > ∈ ⇒ ∈ (IIb) : ( )t T R t∀ ∈ là đầy đủ theo xích hướng xuống trong ( )R t (IIc) F là tăng đối với wV≥ Rõ ràng R∈M ≠∅ . Ta định nghĩa: ( ):F T N X→ như sau : ( ) ( ) F R F t F t ∈ =  (II) Định nghĩa (II) là hợp lí do ( )R t t T− ≠ ∅∀ ∈ và điều kiên (IIa) nên ta có ( )F t t T≠∅∀ ∈ . Bổ đề 1 F∈M 37 +) F thỏa (IIa) Thật vậy: với t T∈ , ta có ( ) ( ) ( )R t F t R t F M− ⊆ ⊆ ∀ ∈ Suy ra ( ) ( ) ( ) F M R t F t R t− ∈ ⊆ ⊆  nên R ( ) ( ) ( )t F t R t−⇒ ⊆ ⊆ . +) F thỏa (IIb). Thật vậy: với ; , ( );y x& y ( )t T x y R t F t∈ ∈ > ∈ .Ta chứng minh ( )x F t∈ Ta có ( )y F t∈ nên ( )y F t F M∈ ∀ ∈ Do F thỏa (IIb) nên có ( )x F t F M∈ ∀ ∈ . Vậy ( )x F t∈ +) F thỏa (IIc). Với t T∈ , ta chứng minh ( )F t là đầy đủ theo xích hướng xuống trong ( )R t . Thật vậy : Lấy xích ( )( )Y N F t∈ . Suy ra ( )( )Y N F t F M∈ ∀ ∈ . Do đó ( )SupY F t F M∈ ∀ ∈ . Vậy ( )SupY F t∈ +) F thỏa (IId). Lấy t t′ > , ta chứng minh ( ) ( )wVF t F t′ ≥ Với ( ), ( )y F t x F t′∈ ∈ , thì ( ), ( )y F t x F t F M′∈ ∈ ∀ ∈ Nếu ,x y có thể so sánh được thì ta có điều phải chứng minh. Do F là tăng w.r.t wV≥ nên ( ) ( )wVF t F t′ ≥ .Do đó ( )y x F t∧ ∈ hoặc ( )y x F t′∨ ∈ +)Nếu có 0 0: ( )F y x F t∨ ∈ thì 0 ( ) R(t)y x F t∧ ∈ ⊂ 38 Khi đó ( ), ( ),y x R t x R t x y x∧ ∈ ∈ > ∧ và ( )x F t∈ Do (IIb) ta có ( )y x F t F M∧ ∈ ∀ ∈ . Suy ra ( )y x F t∧ ∈ +)Nếu ( )y x F t F M′∨ ∈ ∀ ∈ . Suy ra ( )y x F t′∨ ∈ Vây F là tăng đối với wV≥ . Bổ đề 2 Nếu , ( ) ( )t t y F t x R t+ −′ ′> ∈ ∈ thì y x≥ . Giả sử y x≥ , ta có: y x y∨ > và y x x∧ < Do ( )y F t+ ′∈ nên ( )y x F t′∨ ∈ ( )x R t−∈ nên ( )y x R t∧ ∈ , do đó ( )y x F t∧ ∈ Mâu thuẫn vì F là tăng đối với wV≥ . Với mỗi F M∈ , ta định nghĩa : ( ):TF T N X→ như sau { }( )( ) : ( ) / t t, ( ),TF t x F t y F t y x+′ ′= ∈ ∀ > ∀ ∈ ≥ Định nghĩa như trên là hợp lý, do bổ đề 3.2 ta có ( )TF t t T≠∅∀ ∈ Bổ đề 3 TF M∈ +) TF thỏa (IIa) Ta chứng minh ( ) ( )TR t F t− ⊆ Lấy ( )x R t−∈ thì ( )Tx F t∈ ( do ( ) ( )TR t F t− ⊆ ) Với ( ), ( )t t y F t+′ ′> ∈ . Theo bổ đề 3.2 ta có y x≥ . Suy ra ( )Tx F t∈ . 39 ( ) ( )TF t R t⊆ đúng do ( ) ( ) ( )TF t F t R t⊂ ⊆ +) TF thỏa (IIb) Với , , ( ), & ( )Tt x y R t y x y F t∈ ∀ ∈ > ∈ . Ta chứng minh ( )Tx F t∈ Ta có ( )Ty F t∈ nên ( )y F t∈ . Với , ( )t t k F t+′ ′> ∀ ∈ . Ta có k y≥ Mà y x> nên k x≥ do đó ( )Tx F t∈ . +) TF thỏa (IIc) Cố định t T∈ , ta xét xích ( )TZ F t⊆ , ta cần chứng minh ( )TSupZ F t⊆ Giả sử ( )Tx SupZ F t= ∈ . Nghĩa là có , ( )t t y F t+′ ′> ∈ thỏa y x≥ . Khi đó x y x> ∧ (*) Mặt khác ( ) ( )y x F t R t∧ ∈ ⊆ ( do (t ) ( )wVF F t′ ≥ và ( )y F t+ ′∈ ) Với mọi z Z∈ ta có x z≥ (1) Do ( ), ( )Tz F t y F t+ ′∈ ∈ nên y z≥ (2) (1),(2) y x z⇒ ∧ ≥ (**) Từ (*),(**) ta có: x SupZ≠ ( Mâu thuẩn) +) TF thỏa (7d) Với , ( ) & ( )T Tt t y F t x F t′ ′> ∈ ∈ ( ) & ( )y F t x F t′⇒ ∈ ∈ 40 Do F là tăng w.r.t wV≥ nên ( ) ( )wVF t F t′ ≥ . suy ra ( )y x F t′∨ ∈ hoặc ( )y x F t∧ ∈ . Nếu ( )y x F t∧ ∈ thì theo (IIb) ta có , ( ), & ( )Ty x x R t x y x x F t∧ ∈ > ∧ ∈ ( )Ty x F t⇒ ∧ ∈ Giả sử ( )y x F t′∨ ∈ , Với mỗi & ( )t t z F t+′′ ′ ′′> ∈ ta có ( ) , ( )T Tx F t z x y F t z y′∈ ⇒ ≥ ∈ ⇒ ≥ . Suy ra z x y≥ ∨ . Do đó ( )Tx y F t′∨ ∈ Vậy TF là tăng đối với wV≥ . Bổ đề 4 T F F= Xét t T∈ Theo định nghĩa T F ta có ( ) ( ) T F t F t⊆ . Ta chứng minh ( ) ( ) T F t F t⊆ . Theo bổ đề 3.3 và 3.1, ta có T F M∈ . Mà ( ) ( ) ( ) T F M F t F t F t ∈ = ⊆  Vậy ( ) ( ) T F t F t= ( )F t t T+ ≠ ∅∀ ∈ do ( )F t + là đầy đủ theo xích hướng dưới. Gọi r là lát cắt bất kì của F + . Ta chứng minh r là đơn điệu Với t t′ ≥ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T r t F t r t F t r t F t + ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ . Do đó với t t′ ≥ và ( ) ( )r t F t + ′ ′∈ thì ta có ( ) ( )r t r t′ ≥ ( do định nghĩa T F ). 41 Ta có điều phải chứng minh. Nhận xét: Tính đầy đủ theo xích hướng dưới của ( )R t không thể thay thế bằng tính Zorn-bị chặn trên. Ví dụ 2.2.2.3 Cho [ 1;1]X = − và ( ):R X N X→ Định bởi (0) X\{0}, R(x) , \ {0} 2 xR x X = = ∈    Ta có : R tăng w.r.t wV≥ Với x x′ > , ta chứng minh ( ) ( )wVR x R x′ ≥ +)Nếu , \ { }x x X′∈ ∅ thì dể thấy ( ) ( )wVR x R x′ ≥ +)Nếu 0x = , ta có (0) X\{0}, R(x ) 2 xR ′ ′= =     Với (0),z R(x )y R ′∈ ∈ . Ta có { } { }; ;y z y z y z∧ ∨ = . Do đó ta có ( ) ( )wVR x R x′ ≥ Suy ra ( )R x có tính Zorn-bị chặn trên x X∀ ∈ . Nhưng R không có lát cắt đơn điệu. ĐỊNH LÍ 2.2.2.4 [3] Cho X là một dàn , T là một tập poset hữu hạn, ( ):R T N X→ là tăng đối với wV≥ . Khi đó R có một lát cắt đơn điệu. Chứng minh: Ta định nghĩa { }/ t T : t tT t T+ ′ ′= ∈ ∃ ∈ > Với mỗi t T∈ , ta định nghĩa { }( ) : / ',T t t T t t↓ ′= ∈ . 42 Với mỗi t T∈ , ta đặt: { }* *( , ) : ( ) /R t x x R t x x↓ = ∈ ≤ . Bổ đề Với mỗi *t T +∈ , tồn tại * *( )x R t∈ thỏa mãn * *( , ) t T ( )R t x t↓ ↓≠ ∅∀ ∈ Với mỗi *( )x R t∈ ta kí hiệu: { }* *( ) ( ) / ( , )Z x t T t R t x↓ ↓= ∈ ≠∅ , ( ) ( ) \ ( )Z x T x Z x− ↓ += Chọn 0 *( )x R t∈ và xây dựng theo quy nạp như sau. Giải sử có *( )kx R t∈ đã được định nghĩa Nếu *( ) ( ) (1)kZ x T t+ ↓= , Đặt * kx x= Với mỗi *t t< , ta có { }* *( , ) ( ) /R t x x R t x x↓ = ∈ ≤ ≠∅ ( do (1)) Nếu kx không thỏa (1) thì ta chọn ( )kt Z x−∈ bất kì. * *( ) ( )wVt t R t R t< ⇒ ≥ ( do R là tăng w.r.t wV≥ ) Lấy *( ), ( )kx R t y x R t∈ = ∈ . Ta có *( )y x R t∨ ∈ hoặc ( )y x R t∧ ∈ Nếu ( )kx x R t∧ ∈ , thì do k kx x x∧ < . Ta có ( , )k kx x R t x↓∧ ∈ ( Mâu thuẩn). Do đó *( )y x R t∨ ∈ và ta định nghĩa 1 :k k kx x x x+ = ∨ > Ta có 1( ) ( )k kZ x Z x+ + +⊂ với *( ) ( ) ( , ) k k t T t t Z x R t x ↓ + ↓  ∈∈ ⇒  ≠∅ ( , ) ( ),k ky R t x y R t y x↓⇒ ∃ ∈ ⇒ ∈ < 1( ), k ky R t y x x x +⇒ ∈ < ∨ = . Do đó ( )1kt Z x+ +∈ . 43 Do T hữu hạn nên dãy này phải có điểm dừng, tức là tìm được kx thỏa mãn *( ) ( )kZ x T t+ ↓= Ta chứng minh định lý Cố định *t T +∈ , chọn *x như bổ đề 3.5. Ta định nghĩa { } { }*: \ 2 \XR T t → ∅ Bởi : *( , ) ( *) ( ) ( ) ( *) R t x t T t R t R t t T t ↓ ↓ ↓  ∈=  ∈ Dễ thấy R là tăng đối với wV≥ . Do định lý đã đúng cho *\T t nên R có lát cắt đơn điệu r. Đặt * *( )r t x= , ta có một lát cắt đơn điệu của R trên T. ĐỊNH LÍ 2.2.2.5 [3] Cho X là dàn con của tập tích Cartesian của hữu hạn các xích. T là tập poset và ( ):R T N X→ là tập tăng đối với Vt≥ . Khi đó R có một lát cắt đơn điệu. Chứng minh: Giả sử m m M X c ∈ ⊆ ∏ , trong đó mc là xích. Ta có thể coi { }0;1;.............;nM = . Theo định lý Zemerlo, mỗi mc điều có thể sắp thứ tự tốt với m> Với y x≠ . Ta định nghĩa : { }(y;x) : / ym mD m M x= ∈ ≠ , min ( ; )d D y x= , d d dy x y x>> ⇔ > Bổ đề 1 X là một tập sắp thứ tự tốt với thứ tự >>. Rõ ràng >> là một quan hệ thứ tự. Với mỗi ( )Y N X∈ , ta định nghĩa : { }1 1: min /c y y Y= ∈ 44 { }2 2 1 1: min / &c y y Y y c= ∈ = .. Đối với thứ tự 1 2, ......> > thì ( )1 2, ,.........,cmc c là min của Y. Bổ đề 2 Giả sử , &x y X y x∈ ≥ . Khi đó x y x y x y>> ∧ ⇔ ∨ >> . Đặt { }/ m mD m M y x− = ∈ < . Ta thấy ( , ) ( , y x)D D y y x D x− = ∨ = ∧ Đặt mind D−= . Nếu d d dx y> thì &x y x y x y>> ∧ ∨ >> Nếu d d dy x> thì &y y x y x x>> ∨ ∧ >> Đặt ( ) min (t)r t R= ( với quan hệ>>). Khi đó r là lát cắt của R theo định nghĩa. Ta chứng minh r tăng. Giả sử , ( ), ( )t t y r t x r t′ ′> = = Vì R là tăng w.r.t Vt≥ nên ta có (t), y x R(t )y x R ′∧ ∈ ∨ ∈ Nếu y x≥ thì &x y x y y x≠ ∧ ≠ ∨ . Do đó &y x x y x y∧ >> ∨ >> (do định nghĩa r).( Mâu thuẫn với bổ đề 2.7) Ta có điều phải chứng minh. 45 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ PHÂN TÍCH ĐƯỢC Các kết quả được trích dẫn từ tài liệu [4] Tập phân tích được được đưa ra bởi T.R.Rockafellar vào năm 1968, sau đó nó trở thành đối tượng cơ bản trong giải tích phi tuyến cũng như trong lý thuyết ánh xạ đa trị. Tính chất của tập phân tích được giống như điều kiện lồi nên nó có thể thay thế tính chất lồi trong bài toán liên quan đến điều khiển tối ưu, bao hàm thức vi phân Trong phần này chúng ta xét trên không gian Banach X với *X khả li và ( ), ,T ζ µ là không gian độ đo định nghĩa trên không gian metric khả li với σ − đại số ζ là các tập đo được Lebesgue cho bởi độ đo Radon hữu hạn µ . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử µ là độ đo xác suất nghĩa là ( ) 1Tµ = . 3.1. Một số khái niệm liên quan 1. Khái niệm độ đo vecto [4] Một ánh xạ :m XΣ→ được gọi là độ đo vecto nếu thỏa mãn tính chất : với mọi dãy { } 1n nA ∞ = ⊂ Σ , ,i jA A i j∩ =∅ ∀ ≠ thì ( ) 11 n n mn m A m A ∞ ∞ ==   =    ∑ Trong đó chuỗi trong vế phải là 2. Khái niệm đo đo Radon[ Wikipedia ]: cho m là độ đo trên σ − đại số các tập Borel của không gian topo Hausdorff X . +) độ đo m được gọi là hữu hạn địa phương nếu tại mọi điểm của X có lân cận U thỏa mãn ( )m U hữu hạn. +) Độ đo m được gọi là inner regular nếu mọi tập Borel B ta có ( ) ( ){ }sup : ,m B m K K B K compact= ⊂ . 46 +) độ đo Radon là độ đo trên σ − đại số các tập Borel của không gian topo Hausdorff X mà hữu hạn địa phương và inner regular. 3. Khái niệm sup, iness ess f [ Wikipedia ]: cho ( ), ,T ζ µ là không gian độ đo, hàm :f X R→ , ta định nghĩa ( ){ }( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }( ){ } inf : : 0 : : 0 sup : : 0 a R x f x a khi a R x f x a ess f khi a R x f x a µ µ µ  ∈ > = ∈ > = ≠∅=  +∞ ∈ > = =∅ ( ){ }( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }( ){ } sup : : 0 : : 0 in : : 0 b R x f x a khi b R x f x b ess f f khi b R x f x b µ µ µ  ∈ < = ∈ < = ≠∅=  −∞ ∈ < = =∅ 4. [4] Tập con ( ),K M T X⊂ được gọi là bị chặn p-khả tích nếu có ( ),pa L T X∈ thỏa mãn với mọi u K∈ thì ( ) ( )u t a t≤ h.k.n trong T . 5. [4] Ánh xạ đa trị ( ):P T N X→ được gọi là +) nửa liên tục trên tại 0t T∈ nếu và chỉ nếu 0t là điểm trong của ( ) ( ){ }:P V t T P t V+ = ∈ ⊂ với mọi tập mở V thỏa mãn ( )0t P V+∈ . +) nửa liên tục trên tại 0t T∈ nếu và chỉ nếu 0t là điểm trong của ( ) ( ){ }:P V t T P t V− = ∈ ∩ ≠∅ với mọi tập mở V thỏa mãn ( )0t P V−∈ . +) liên tục tại 0t T∈ nếu vừa liên tục trên tại 0t T∈ vừa liên tục dưới tại 0t T∈ 3.2. Tập phân tích được, tính chất ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 [4] Một tập con K của ( , )M T X hay ( , )pL T X thỏa mãn tính chất (1 )A Au v Kχ χ+ − ∈ với mọi ,u v K∈ và A ζ∈ được gọi là tập phân tích được. Ta gọi, ( ),dec T X : tập hợp các tập con phân tích được khác rỗng của ( , )M T X . 47 ( ),dcl T X : tập hợp các tập con phân tích đóng của ( , )M T X . ( ),pdec T X : tập hợp các tập con phân tích được khác rỗngcủa ( , )pL T X . ( ),pdcl T X : tập hợp các tập con phân tích được đóng của ( , )pL T X . Ví dụ 3.2.1 : Giả sử : X Rϕ → là hàm liên tục,µ : [0, )X → +∞ . Khi đó ( ) ( ){ }: / . .K u X R u t t h k n trong Xϕ= → = là tập phân tích được. Thật vậy, Với u K∈ thì u liên tục hầu khắp nơi nên u đo được. Suy ra ( ),K M X R⊂ . Với ,u v K∈ , giả sử ,U V ∈ℑ có ( ) ( ) 0U Vµ µ= = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) \ \t t X U t t X V u t v t f t t U g t t V ϕ ϕ∈ ∈  = =  ∈ ∈   A∈ℑbất kì, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 \ \ \ \ \ A A u t t A u t u t v t t X A t t A U X A V f t t A U g t t X A V χ χ ϕ ∈+ − =  ∈ ∈ ∪  = ∈ ∩  ∈ ∩ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(