Luận văn Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

u ta có Vậy Thí dụ 1.4.2. Giải hệ . Giải. Hệ đã cho tương đương với . Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng . Từ đó : . Mặt khác Vậy Thí dụ 1.4.3. Giải hệ . Giải : Hệ đã cho tương đương với Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng Từ đó . Vậy 1.4.2. Giải phương trình phân thức , trong đó p, q, r, s là các hằng số, a cho trước. Giả sử và là nghiệm của hệ phương trình sai phân Khi đó là nghiệm của phương trình đã cho. Thậy vậy, (đúng) (đúng). Thí dụ 1.4.4. Giải phương trình Giải . Xét hệ . . Phương trình cấp hai trên có phương trình đặc trưng . Vậy Thí dụ 1.4.5. Giải phương trình sai phân Giải. Xét hệ Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng . . Vậy 1.5. Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous 1.5.1. Các khái niệm về ổn định Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (xem [11]) Đặt . Khi đó bài toán Cauchy của hệ được viết dưới dạng : (1.12) trong đó u và f là các vectơ thành phần và , . Giả sử với mọi để hệ có nghiệm tầm thường Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định theo Lyapunov, nếu với sao cho từ bất đẳng thức suy ra với mọi . Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov, nếu nó ổn định theo Lyapunov và sao cho mọi nghiệm u(n) của hệ thoả mãn điều kiện thì . Định nghĩa 1.8. Nghiệm tầm thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong định nghĩa tương ứng, số được chọn không phụ thuộc vào a. Định nghĩa 1.9. Nghiệm tầm thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định mũ nếu đối với mỗi nghiệm của hệ thoả mãn bất đẳng thức: trong đó N và là hai hằng số dương. 1.5.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous Xét bài toán Cauchy: (xem [11]) (1.13) giả sử và với trong lân cận của gốc sao cho (1.13) có nghiệm tầm thường . Cho là một tập mở trong và chứa gốc. Giả sử V(u) là một hàm liên tục vô hướng xác định trên , và . Định nghĩa 1.10. V(u) được gọi là xác định dương trên nếu và chỉ nếu với , . Định nghĩa 1.11. V(u) được gọi là nửa xác định dương trên nếu , với mọi , (dấu bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác định) Định nghĩa 1.12. V(u) được gọi là xác định âm ( nửa xác định âm) trên nếu và chỉ nếu là xác định dương ( nửa xác định dương) trên . Định nghĩa 1.13. Hàm được gọi là thuộc vào lớp K nếu và tăng chặt theo r. Vì liên tục, với r đủ nhỏ, ta có (1.14) trong đó . Trong (1.14) bên phải là hàm đơn điệu của r và ta có thể ước lượng hàm này thuộc vào lớp K. Do đó tồn tại hai hàm sao cho : . (1.15) Từ đó có thể định nghĩa cho hàm xác định dương V(u) như sau : Định nghĩa 1.14. V(u) được gọi là xác định dương trên nếu và chỉ nếu và tồn tại một hàm sao cho . Đặt là tập và là một nghiệm bất kỳ của (1.13) sao cho . Dọc theo nghiệm của (1.13) xét sai phân của hàm V(u) được xác định bởi . Hàm V(u) được gọi là hàm Lyapunov. Định lý 1.2. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương sao cho với nghiệm bất kỳ của (1.13) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định. Chứng minh. Do V(u) là xác định dương, tồn tại một hàm sao cho với mọi . Với cho trước, vì V(u) liên tục và , ta có thể chọn được một số sao cho thì . Nếu nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định, khi đó tồn tại nghiệm của (1.13) sao cho thoả mãn với . Tuy nhiên do khi , ta có và do đó , dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu thì . Nên nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định . Định lý 1.3. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương sao cho trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.13) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.2) được thoả mãn nên nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định. Do đó với cho trước, giả sử tồn tại và một nghiệm = của (1.13) thoả mãn : . (1.16) Do nghiệm này thoả mãn nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho . Vậy ta có . Điều này kéo theo và với n đủ lớn vế phải trở thành âm, mâu thuẫn với V(u) xác định dương. Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V(u(n)) xác định dương và là hàm giảm theo n nên . Suy ra . Vậy nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận. Định lý 1.4. Giả sử tồn tại hàm vô hướng sao cho với và nghiệm bất kỳ = của (1.13) thoả mãn và nếu trong mọi lân cận H của gốc tồn tại một điểm u0 sao cho . Khì đó nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định. Chứng minh. Lấy đủ nhỏ sao cho tập . Đặt , M xác định vì V liên tục. Gọi là số thoả mãn theo giả thiết tồn tại một điểm sao cho và . Dọc theo nghiệm và do đó là hàm tăng, .Do đó nghiệm u(n) này không đi về gốc. Nên , suy ra . Nhưng vế phải của bất đẳng thức này có thể lớn hơn M khi n đủ lớn, khi đó sẽ vượt ra ngoài tập nên nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định. Ví dụ : Xét hệ phương trình sai phân (1.17) trong đó c là hằng số, chọn hàm xác định dương trên . Khi đó . Do đó nếu thì nên nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là ổn định. Tuy nhiên nếu thì nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là không ổn định. 1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không autonomous Xét bài toán Cauchy: (xem [11]) (1.18) trong đó u và f là các véctơ thành phần và . Giả sử với mọi để hệ (1.18) có nghiệm tầm thường. Ta thấy hàm Lyapunov cho hệ này phụ thuộc vào n và u. Định nghĩa 1.15. Hàm vô hướng V(n,u) xác định trên được gọi là xác định dương nếu và chỉ nếu với mọi , và tồn tại một hàm sao cho , và là xác định âm nếu Định nghĩa 1.16. Hàm vô hướng xác định trên được gọi là giảm dần (decrescent) nếu và chỉ nếu với mọi , và tồn tại một hàm sao cho . Đặt là nghiệm bất kỳ của (1.18) sao cho với mọi . Dọc theo nghiệm này ta xét số gia của hàm : Tương tự như các kết quả trong trường hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.18). Định lý 1.5. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương sao cho với nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định. Chứng minh. Do là xác định dương nên tồn tại một hàm sao cho với mọi . Với cho trước, vì liên tục và , nên ta có thể chọn được một số sao cho khi thì . Nếu nghiệm tầm thường của (1.18) là không ổn định, thì tồn tại nghiệm của (1.18) sao cho thoả mãn , . Tuy nhiên do khi , ta có = và do đó , dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu thì . Nên nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định. Định lý 1.6. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương sao cho trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.5) được thoả mãn nên nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định. Do đó với cho trước, giả sử tồn tại và một nghiệm = của (1.18) thoả mãn: . Do nghiệm này thoả mãn nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho . Nên ta có . Điều này kéo theo với n đủ lớn vế phải trở thành âm, mâu thuẫn với V(n,u) xác định dương. Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa xác định dương và là hàm giảm theo n nên . Suy ra . Vậy nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định tiệm cận. Định lý 1.7. Giả sử các điệu kiện của định lý (1.5) được thoả mãn đối với hàm V(n,u) , đồng thời V(n,u) là giảm dần. Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều. Chứng minh. Do V(n,u) là hàm xác định dương và giảm dần, tồn tại hàm , sao cho với mọi . Với mỗi , , ta chọn được sao cho . Ta chứng minh rằng nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều. Thật vậy nếu và thì với mọi . Vì nếu giả sử điều này không đúng thì tồn tại sao cho và mà . Tuy nhiên do nên với mọi , do đó ta có . Mâu thuẫn này dẫn tới điều phải chứng minh. Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của hệ sai phân (1.18) là không ổn định. Định lý 1.8. Giả sử tồn tại hàm vô hướng sao cho: i, với mọi , trong đó ; ii, Với mọi , tồn tại với sao cho ; iii, trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn , Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là không ổn định. Chứng minh. Giả sử ngược lại nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định. Khi đó với mọi thoả mãn , tồn tại một số sao cho , ta có . Từ giả thiết (i) ta có , Từ giả thiết (i) ta có là hàm giảm Do đó với mọi ta có . Điều này kéo theo . Từ giả thiết (i) ta có . Lại theo giả thiết (iii) ta có Lấy tổng từ a đến (k – 1) theo bất đẳng thức này ta được Tuy nhiên từ suy ra Do đó ta có Điều này dẫn tới , mâu thuẫn với . Vậy nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là không ổn định. CHƯƠNG 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến tính 2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11]) Đặt . Khi đó hệ trên có thể viết dưới dạng: , (2.1) ở đây và ta luôn giả thiết là ma trận không suy biến. Xét bài toán Cauchy : Bằng phương pháp truy hồi chúng ta thấy rằng bài toán Cauchy luôn có nghiệm và nghiệm của bài toán Cauchy được cho bởi với mọi . * Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến Định nghĩa 1.5. Với mỗi ký hiệu Khi đó được gọi là họ các ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến , được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cauchy ) hoặc còn được gọi là hàm Green Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ các trận tiến hoá ta thấy với mỗi thì: * * với mọi . * với mọi . Nghiệm của bài toán Cauchy có thể viết dưới dạng: Khi là ma trận hằng ta thấy với mọi . 2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Xét bài toán Cauchy (xem [11]) (2.2) trong đó và , Định lý 2.1. Nghiệm của hệ (2.2) xác định bởi công thức (2.3) Chứng minh. Ta tìm nghiệm của (2.2) dưới dạng (*) sao cho bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng. Vì Từ đó ta có (2.4) Mà (2.5) Kết hợp (2.4) và (2.5) ta được suy ra hay . Do đó : . Ta tìm được . (2.6) Vì nên thay (2.6) vào (*) ta nhận được (2.3). Hệ quả 2.1. Nếu là ma trận hằng ta được với mọi (2.7) 2.2. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số hằng Xét hệ phương trình sai phân: , . (2.8) Xét bài toán Cauchy: (2.9) Bằng phương pháp truy hồi ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy có dạng: , Ký hiệu Khi đó là họ nửa nhóm các ma trận sinh bởi ma trận A. Nửa nhóm có các tính chất sau: Nếu chọn . Hệ .(2.8) có thể viết dưới dạng (2.10) Bài toán Cauchy (2.9) sẽ tương ứng với bài toán Cauchy (2.11) Nghiệm của (2.11) là: Chúng ta nhắc lại định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (2.1) . Định nghĩa 2.2. Nghiệm tầm thường của (2.10) được gọi là ổn định theo Lyapunov nếu >, , sao cho từ bất đẳng thức suy ra với mọi . Chú ý : Sự ổn định của nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định đều Trước tiên ta chứng minh định lý về sự ổn định của nghiệm tầm thường của (2.10). Định lý 2.2. Nghiệm tầm thường của hệ (2.10) là ổn định khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương sao cho với mọi ta có . (2.12) Chứng minh : Điều kiện đủ: Với bất kỳ ta chọn . Khi đó nếu ta có: Do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.10) là ổn định theo định nghĩa. Điều kiện cần: Giả sử nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định ta sẽ chứng minh điều kiện (2.12) được thỏa mãn. Thật vậy do nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định nên với tồn tại sao cho nếu thì , Do đó . Nếu theo định nghĩa chuẩn của ma trận suy ra (2.12). Nếu ta chứng minh tồn tại số sao cho: . Thật vậy giả sử thỏa mãn điều kiện , xét phần tử . Suy ra Khi đó: Do nên: , Chọn ta có: Theo định nghĩa của chuẩn ma trận ta có: , Nhận xét: Từ định lý (2.2) ta thấy nếu nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định thì tất cả các nghiệm của hệ là giới nội và ngược lại Định nghĩa 2.3. Nghiệm tầm thường của hệ (2.10) được gọi là ổn định tiệm cận nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn. a. Nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định. b. Tồn tại sao cho với mọi nghiệm u(n) của hệ thỏa mãn điều kiện thì . Định lý 2.3. Nghiệm tầm thường của hệ phương trình sai phân (2.10) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại số thực và sao cho: , (2.13) Chứng minh : Điều kiện đủ: Do nên từ (2.13) ta có Theo định lý 2.2 ta suy ra nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định. Mặt khác từ bất đẳng thức nếu thì . Vậy nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định tiệm cận. Điều kiện cần: Do nghiệm tầm thường của hệ (2.10) là ổn định tiệm cận nên nó ổn định và do đó điều kiện (2.12) là thỏa mãn, tức là tồn tại sao cho . Mặt khác từ điều kiện (b) của định nghĩa 2.3 ta suy ra: Tồn tại sao cho với mọi ta có: . Bằng cách chứng minh tương tự như ở định lý 2.1 (điều kiện cần ) ta sẽ chứng minh được rằng với mọi thì , ( không mất tổng quát ta có thể giả thiết ). Giả sử là một số tự nhiên bất kỳ, ta có trong đó là một số tự nhiên và . Theo tính chất của nửa nhóm ta có: Từ đó . Ký hiệu và đặt Ta có: . Ký hiệu ta có: với . Định lý được chứng minh . 2.3. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với ma trận hệ số hằng Xét hệ phương trình sai phân: (2.14) trong đó thỏa mãn điều kiện Bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy (2.15) có dạng: Giả sử thỏa mãn điều kiện: , (2.16) trong đó thỏa mãn điều kiện Bổ đề 1. (Gronwall- Bellman) Giả sử với mọi bất đẳng thức sau thỏa mãn . (2.17) Khi đó với mọi ta có: (2.18) Chứng minh : Ký hiệu , Đối với hàm này ta có: , . (2.19) Từ (2.17) ta có: . Từ (2.18) và (2.19) ta suy ra , hay . Do nên nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với ta có : . Bất đẳng thức trên có thể viết lại dưới dạng . Lấy tổng của các bất đẳng thức trên từ đến và chú ý rằng ta có: . Từ đó . Do (2.18) ta suy ra . Sử dụng công thức (xem [11] ) . ta nhận được : . Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2 : (Gronwall- Bellman mở rộng ) (xem [11]) Giả sử với mọi bất đẳng thức sau thỏa mãn . Khi đó với mọi ta có: . Chứng minh: Xét hàm xác định trên như sau: . Với hàm ta có: , . Từ giả thiết của bổ đề 2 ta có: (do đó ). Do đó từ đẳng thức . Nhân cả hai vế với ta được , hay . Lấy tổng của các bất đẳng thức trên từ đến và sử dụng giả thiết ta có: . Từ đó ta có: . Sử dụng bất đẳng thức , ta có: . Nhận xét: Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được kết quả sau đây: (Xem trang 36 [11] ). Giả sử là một dãy xác định với Khi đó: . Định lý 2.4. Giả sử điều kiện (2.17) được thỏa mãn, khi đó nếu nghiệm tầm thường của hệ (2.11) ổn định thì nghiệm tầm thường của hệ (2.14) cũng ổn định. Chứng minh: Giả sử là nghiệm bất kỳ của bài toán Cauchy (2.15) Khi đó: . Do đó . Do và do điều kiện (2.17) ta có: . Áp dụng bổ đề Gronwall- Bellman ta có: . Do nên với mọi ta có . Do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.14) thỏa mãn định nghĩa về tính ổn định. Định lý 2.5. Giả sử điều kiện (2.17) được thỏa mãn. Khi đó nếu nghiệm tầm thường của hệ (2.10) ổn định tiệm cận thì nghiệm tầm thường của hệ (2.14) cũng ổn định tiệm cận. Chứng minh: Từ giả thiết ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (2.2), theo định lý 2.3 ta suy ra tồn tại và , sao cho: , Giả sử là nghiệm của bài toán Cauchy (2.15). Khi đó . Do điều kiện (2.16) ta có: . Do đó . Nhân cả hai vế với ta có . Bất đẳng thức này có thể viết dưới dạng: . Từ giả thiết của định lý ta suy ra . Ký hiệu: . Ta có : . Nếu chọn và thực hiện quá trình lập luận tương tự ta có : , Từ đó các điều kiện của định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường được thỏa mãn và định lý được chứng minh. 2.4. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính với ma trận hệ số biến thiên Xét hệ phương trình sai phân: , , (2.20) Xét bài toán Cauchy: (2.21) Bằng phương pháp truy hồi ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy có dạng: với mọi . Nghiệm của bài toán Cauchy (2.21) có thể viết dưới dạng: , . Định nghĩa 2.4. : Nghiệm tầm thường của (2.20) được gọi là ổn định theo Lyapunov nếu >, sao cho từ bất đẳng thức suy ra với mọi . Trước tiên ta chứng minh định lý về sự ổn định của nghiệm tầm thường của (2.20) Định lý 2.6. Nghiệm tầm thường của hệ (2.20) là ổn định khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương sao cho với mọi ta có: . (2.22) Chứng minh: Điều kiện đủ: Với bất kỳ chọn Khi đó nếu ta có: . Do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.20) là ổn định theo định nghĩa Điều kiện cần: Giả sử nghiệm tầm thường của (2.20) hoặc (2.21) là ổn định ta chứng minh điều kiện (2.22) được thỏa mãn. Thật vậy do nghiệm tầm thường của (2.20) là ổn định nên với , tồn tại sao cho nếu thì ; Do đó . Nếu theo định nghĩa chuẩn của ma trận suy ra (2.22) Nếu ta chứng minh tồn tại số sao cho: . Thật vậy giả sử thỏa mãn điều kiện , xét phần tử , ta có . Khi đó: . Do nên: , Chọn ta có: Theo định nghĩa chuẩn của ma trận ta có: , Định lý được chứng minh. Nhận xét: Trong trường hợp thay = s, trong đó s là một số nguyên tùy ý thì nghiệm tầm thường của hệ (2.11) là ổn định tiệm cận đều. Ta có định lý sau đây Định lý 2.7. Nghiệm tầm thường của hệ (2.20) là ổn định đều khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương sao với mọi ta có Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất : (2.24) Xét bài toán Cauchy : (2.25) Bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng ta thấy nghiệm của (2.25) có dạng : . Giả sử thỏa mãn điều kiện: , (2.26) trong đó thỏa mãn điều kiện Định lý 2.8. Giả sử điều kiện (2.26) được thỏa mãn, khi đó nếu nghiệm tầm thường của hệ (2.20) ổn định thì nghiệm tầm thường của hệ (2.24) cũng ổn định. Chứng minh : Giả sử là nghiệm bất kỳ của bài toán Cauchy (2.25), khi đó . Do đó . Do và do điều kiện (2.26) ta có: . Áp dụng bổ đề Gronwall- Bellman, ta có: . Do nên với mọi ta có . Do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.24) thỏa mãn định nghĩa về tính ổn định. 2.5. Sự tương đương tiệm cận của các hệ phương trình sai phân Trong không gian Rn xét hai phương trình sai phân , (2.27) , (2.28) trong đó . Ký hiệu là họ nửa nhóm các ma trận sinh bởi ma trận A. Khi đó là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc của phương trình sai phân (2.27). Ký hiệu là các ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc của (2.28), sử dụng phương pháp biên thiên hằng số Lagrăng ta có . Ký hiệu . Ta có là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến . Để xác lập định lý ( kiểu Levinson ) chúng tôi xin trình bày định nghĩa và bổ đề sau Định nghĩa 2.5. Hai phương trình sai phân (2. 27) và (2.28) được gọi là tương đương tiệm cận nếu với mọi nghiệm của phương trình (2.27) luôn tồn tại nghiệm y(n) của phương trình (2.28) thoả mãn: , (2.29) và ngược lại với mọi nghiệm của phương trình (2.28) luôn tồn tại nghiệm x(n) của phương trình (2.27) thoả mãn tính chất trên. Bổ đề 3. Giả sử tồn tại phép chiếu sao cho các điều kiện sau thoả mãn i. với , ii. với , iii. với , trong đó , Khi đó với bất kỳ luôn tồn tại sao cho . Định lý 2.9. Giả sử tồn tại các số dương a, c, và phép chiếu sao cho các điều kiện sau thoả mãn: i. ii. và với . Khi đó các phương trình (2.27) và (2.28) là tương đương tiệm cận. Chứng minh. Đặt , . Ta được . Do đó . (2.30) Giả sử là nghiệm của phương trình sai phân (2.28) , tương ứng đủ lớn ta có . Đặt . Mặt khác nghiệm các phương trình (2.27) và (2.28) có thể viết dưới dạng và . Nên . Suy ra . Giả sử tồn tại K sao cho , không mất tổng quát giả sử n là số chẵn, khi đó ta có . Trong trường hợp n là số lẻ ta chọn số chia tổng là . Vì , cho bé tuỳ ý, với đủ lớn ta có với với . với . Vậy với ta có : . Từ đó suy ra . Định lý được chứng minh. Hê quả: Nếu tất cả các giá tri riêng của ma trân A đều nằm trong hình tròn đơn vi , đồng thời các giá trị riêng nằm trên đường tròn đơn vị đều là đơn, thì tất cả các nghiệm của hệ (2.9 ) đều giới nội và các hệ (2.27) và (2.28 ) là tương đương tiệm cận 2.6. Một số ví dụ về ứng dụng của phương trình sai phân 2.6.1. Mô hình biến động giá cả thị trường a. Mô hình tổng quát Khi phân tích sự biến động của thị trường hàng hoá người ta thường quan tâm đến các yếu tố sau: lượng hàm cung, lượng hàm cầu và sự thay đổi giá cả của hàng hoá đó. Để có thể thấy rõ mối quan hệ giữa các yếu tố này và sự biến động của chúng, chúng ta xây dựng mô hình sau đây Ký hiệu: , là lượng hàng cung của loại hàng hóa thứ , , là lượng hàng cầu của loại hàng hóa thứ i, , , là giá cả của hàng hóa thứ tại thời điểm quan sát (giả thiết t là biến thời gian rời rạc ) Giả sử: , . Sử dụng phương pháp biểu diễn ma trận ta có thể viết lại các biểu thức trên ở dạng: trong đó: Chú ý rằng sự biến động của thị trường có xu hướng cân bằng giữa cung và cầu, tức là: , hay , Tuy nhiên trong thực tế giá của hàm cầu thường được ấn định theo mức giá của hàm cung ở thời điểm trước đó, nên từ phương trình trên ta có mô hình biến động thị trường sau: . Hoặc ta có hệ phương trình sai phân dạng , trong đó là các hàm số được các nhà kinh tế xây dựng tùy theo loại hàng hóa và thị trường mà chúng ta đang quan sát . b. Mô hình thị trường một loại hàng hóa Khi phân tích hoạt động của thị trường hàng hoá, các nhà kinh tế học sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu đạt sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá hàng hoá ( với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi ). Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu như sau: Hàm cung: Hàm cầu: trong đó là lượng cung, tức là lượng hàng hoá mà người bán bằng lòng bán; là lượng cầu, tức là lượng hàng hoá mà người mua bằng lòng mua; p là giá hàng hoá; , , , là các hằng số dương. Mô hình cân bằng thị trường có dạng: Giải phương trình này ta tìm được Giá cân bằng: Lượng cân bằng: Chú ý rằng giá cả hàng hoá là một đại lượng phụ thuộc vào thời gian t, , Tuy nhiên trong thực tế giá của hàm cầu thường được ấn định theo mức giá của hàm cung ở thời điểm trước đó, nên từ phương trình trên ta có mô hình biến động thị trường sau: , t = 0 ,1,2 (2.31) Hay ta có hệ phương trình sai phân: , , (2.32) trong đó : , . Sử dụng ký hiệu thông dụng ta viết phương trình sai phân nhận được dưới dạng (2.33) . Giả sử rằng giá cả tại thời điểm ban đầu t = 0 đã được xác định là p0, khi đó ta có: Vì Nên Nhận xét: Nếu thì hội tụ đến giá trị cân bằng . Nếu thì . Với n chẵn thì = . Với n lẻ thì Nếu thì tăng vô hạn. Từ đó ta thấy tỷ số quyết định sự thay đổi của giá cả thị trường theo các khả năng sau: . Giá cả biến động và sau một thời gian thì dần đến một giá trị cân bằng; . Giá cả luôn dao động ở hai mức khác nhau; . Giá cả biến động liên tục và tăng vô hạn theo thời gian. 2.6.2. Hiện tượng “mạng nhện” trong kinh tế nông nghiệp (xem [2]) Trong thực tế sản xuất nông nghiệp của người nông dân ở một số nước trên thế giới thường xảy ra tình huống sau. Việc quyết định diện tích gieo trồng một loại nông sản nào đó của người nông dân thường dựa trên cơ sở giá cả của loại hàng nông sản này được bán ra trong năm. Vì họ dự kiến rằng giá nông sản nào sẽ duy trì ở mức ổn định nên nếu giá bán của loại hàng nông sản nào đó cao, người nông dân sẽ quyết định trồng nhiều loại nông sản đó hơn. Năm tiếp theo khi vụ mùa được thu hoạch và đem nông sản ra ngoài thị trường bán, lượng cung sẽ vượt quá lượng cầu, giá giảm nên người nông dân bèn cắt giảm bớt diện tích gieo trồng loại nông sản này. Khi vụ mùa của năm thứ ba được thu hoạch, lượng cung của loại hàng nông sản nói trên có thể thấp hơn lượng cầu dẫn tới giá nông sản loại này lại tăng, do đó người nông dân lại tiếp tục điều chỉnh diện tích gieo trồng và quá trình này có thể lặp đi lặp lại trong một thời gian dài. Về mặt phân tích toán học, chúng ta có thể mô hình hoá hiện tượng này dưới dạng các phương trình sai phân cấp một và xây dựng đồ thị các đường cong biểu diễn sự dao động của giá cả thị trường tương ứng với lượng hàng hoá cung và cầu thay đổi theo từng năm. Bức tranh nhận được từ các đường cong biểu diễn sự thay đổi của giá cả trồng giống như một mạng nhện, nên người ta thường gọi là hiện tượng mạng nhện hoặc chu trình mạng nhện (Cobweb cycles). Sau đây chúng ta sẽ song song nghiên cứu ba hàm số phụ thuộc vào thời gian t, tại các điểm rời rạc t = 0, 1, 2, St là số đơn vị hàng hoá có khả năng cung cấp ở thời điểm t, gọi là hàng hoá cung. Dt là số đơn vị hàng hoá mà thị trường có yêu cầu đòi hỏi ở thời điểm t, gọi là hàng hoá cầu. p(t) là giá hàng hoá trên một đơn vị hàng hoá nói trên tại thời điểm t. Dựa vào quan sát thực nghiệm chúng ta sẽ đưa ra một số giả định như sau: Số lượng hàng cầu luôn luôn phụ thuộc vào giá bán hàng hoá này tại thời điểm đó, tức là tồn tại hàm f sao cho: Dt = f(p(t)). Số lượng hàng cung phụ thuộc vào giá cả của loại hàng hoá này ở thời kỳ trước đó, tức là tồn tại một hàm g sao cho: St + 1 = g(p(t)). Giá cả thị trường của một loại hàng hoá được xác định bởi lượng hàng hoá cung hiện có và các giao dịch mua bán diễn ra tại mức giá mà ở đó lượng cung và lượng cầu bằng nhau, vì vậy pt là nghiệm của phương trình St = Dt. Giả sử f và g là những hàm cho trước, nếu chúng ta biết giá trị p0 (tức là giá cả của mặt hàng tại thời điểm đầu tiên t = 0) thì ta có thể tính được lượng hàng cung S1 tạo thời điểm t = 1 bằng cách dựa vào giả định (b): S1 = g(p0). Theo giả định