Luận văn Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng

đến ( )k X (với topo Hausdorff được định nghĩa trong ch.2). Định lý 3.2. Với những giả thiết của định nghĩa 1, Γ đo được tương đương với tất cả các tính chất sau đây. a) U∀ mở trong X , ( ) { ( ) }U t T t U−Γ = ∈ Γ ∩ ≠ ∅ ∈ b) F∀ đóng trong X , ( ) { ( ) }F t T t F−Γ = ∈ Γ ∩ ≠ ∅ ∈ Chứng minh. Ta sẽ áp dụng định lý 2.10. 1) Chú ý 1( ) ({ ( ) })kU K X K U − −Γ = Γ ∈ ∩ ≠ ∅ . Bởi định lý 2.10 { }K K U∩ ≠ ∅ là một tập borel (và là mở bởi định lý 2.6). Do đó Γ đo được thì a) đúng. Đảo lại là đúng bởi định lý 2.10: tập { }K K U∩ ≠ ∅ sinh ra nhóm Borel của ( )k X . 2) Để chứng minh Γ đo được ⇔ b, ta chú ý rằng 1 ({ })( ) C K K X FTF −Γ ⊂ −−Γ = và áp dụng định lý 2.10. Hệ quả 3.3. Nếu T là không gian topo, và Γ là hàm đa trị từ T đến ( )k X , nếu Γ n.l.t.t. (hoặc n.l.t.d.) thì Γ là đo được (đối với nhóm Borel ( )T ). Chứng minh. 35 Nếu Γ n.l.t.t. thì với mọi tập đóng F , { / ( ) }t t X FΓ ⊂ − là mở, do đó ( )F−Γ thuộc ( )T . Nếu Γ n.l.t.d. thì với mọi tập mở U , { / ( ) }t t UΓ ∩ ≠ ∅ là mở, do đó nó thuộc ( )T . Chú ý. Nếu T là không gian topo Hausdorff và µ là độ đo Radon dương trên T , và nếu Γ thỏa định nghĩa 1, thì với mỗi tập khả tích oT T⊂ , và 0ε > , tồn tại tập compact 1 oT T⊂ sao cho 1( )oT Tµ ε− < và Γ liên tục trên 1T . Đó là tính chất Lusin. Mệnh đề 3.4. Nếu 1Γ và 2Γ là hai hàm đa trị đo được nhận giá trị compact thì hàm đa trị 1 2( ) ( )t t tΓ Γ  là đo được. Nếu ( )nΓ là dãy hàm đa trị đo được có giá trị compact thì ( )nt tΓ là đo được, và nếu ( )n tΓ compact thì ( )nt tΓ là đo được. Chứng minh. 1) Ta sẽ chứng minh ánh xạ 1 2 1 2( , )K K K K∩ từ 2( ( ))k X đến ( )k X là Borel. Cho U là tập mở trong X . Ta sẽ chứng minh 1 2 1 2{( , ) }K K K K U∩ ⊂ mở. Thật vậy nếu 1 2 o oK K U∩ ⊂ thì 1 oK U− và 2 oK U− rời nhau. Khi đó tồn tại hai tập mở 1U và 2U sao cho ( 1, 2) o i iK U U i− ⊂ = và 1 2U U∩ = ∅ . Bởi định lý 2.6 1 2 1 1 2 2{( , ) , }K K K U U K U U⊂ ∪ ⊂ ∪ là lân cận của 1 2( , ) o oK K . Cho 1 2( , )K K ta có 1 2 1 2( ) ( )K K U U U U U∩ ⊂ ∪ ∩ ∪ = . Vì vậy, do định lý 2.10, 1 2 1 2( , )K K K K∩ là Borel. Do đó 1 2( ) ( )t t tΓ Γ  là đo được. 2) Áp dụng phần 1, ta có ...n o n′Γ = Γ ∩ ∩ Γ là đo được. Nhưng ( )n t′Γ hội tụ đến ( )n tΓ đối với khoảng cách Hausdorff (dễ thấy ( ( ), ( )) 0n ne t t′Γ Γ → ). Do đó ( )nt tΓ là đo được. 3) Cho U là tập mở trong X . Khi đó 36 { / ( ) }nt t UΓ ∩ ≠ ∅ { / ( ) }nt t U= Γ ∩ ≠ ∅ { / ( ) }n n t t U= Γ ∩ ≠ ∅ thuộc  . Do đó, bởi định lý 2, (.)nΓ đo được. 3.2. Định lý hàm chọn. Hàm đa trị đo được với giá trị là tập con đầy đủ của một không gian metric khả li Định nghĩa. Cho : ( )T XΓ →  . Hàm :T Xσ → được gọi là hàm chọn của Γ nếu ( ) ( )t t t Tσ ∈Γ ∀ ∈ . Một vấn đề quan trọng là chứng tỏ sự tồn tại của hàm chọn đo được khi Γ có giá trị là tập không rỗng và vài tính chất của tính đo được. Định lý cơ bản là định lý 3.6, bên dưới, và vài hệ quả của nó, các định lý 3.7 và 8. Nhưng định lý tổng quát và hữu ích hơn hết là định lý 3.22. Định lý 3.6. Giả sử X là không gian metric khả li, ( , )T  là không gian đo được, Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng đầy đủ của X . Nếu với mỗi tập mở U trong X , ( )U−Γ thuộc  thì Γ nhận được một hàm chọn đo được. Chứng minh. Giả sử { }nx là tập đếm được trù mật trong X . Ta xác định một dãy những hàm đo được với giả thiết chỉ nhận một số đếm được giá trị, ( )pσ bởi phép truy toán, có những tính chất ( ( ), ( )) 2 ppd t tσ −Γ < , 11( ( ), ( )) 2 p p pd t tσ σ − + + ≤ . Thứ nhất đặt ( )o nt xσ = nếu n là số nhỏ nhất sao cho 0( ) ( , 2 )nt B xΓ ∩ ≠ ∅ . Vậy oσ đo được: 1 0 0( ) ( ( , 2 )) ( ( , 2 ))o n n m m n x B x B xσ − − − < = Γ − Γ . Giả sử đã có pσ . Cho 1( )i p iT xσ −= . Khi đó nếu it T∈ thì ( ) ( , 2 ) p it B x −Γ ≠ ∅ . Đặt, trong iT , 1( )p nt xσ + = nếu n là số nhỏ nhất sao cho: 37 ( 1)( ) ( , 2 ) ( , 2 )p pi nt B x B x − − +Γ ≠ ∅  . Do đó 1pσ + đo được và ( 1) 1( ( ), ( )) 2 p pd t tσ − + + Γ < , ( 1) 1 1( ( ), ( )) 2 2 2 p p p p pd t tσ σ − − + − + + ≤ + ≤ . Từ bất đẳng cuối, suy ra dãy ( ( ))p tσ là một dãy Cauchy. Nhưng ( )tΓ đầy đủ và ( ( ), ( )) 0pd t tσ Γ → , do đó giới hạn của ( ( ))p tσ thuộc ( )tΓ . Giới hạn ( )tσ này xác định một hàm chọn đo được của Γ . Định lý 3.7. Với những giả thiết như trong định lý 6, tồn tại một dãy ( )nσ những hàm chọn đo được của Γ sao cho , ( ) { ( ) / }nt t t nσ∀ Γ = ∈ . Chứng minh. Cho { }nx là tập trù mật trong X . Cho 2( , )n i ∈ ( ) ( , 2 ), khi ( ( , 2 )) ( ) ( ) , khi ( ( , 2 )) i i n n ni i n t B x t B x t t t B x − − − − − Γ ∈ΓΓ =  Γ ∉Γ  Hàm đa trị ( )nit tΓ có giá trị đầy đủ không rỗng. Với mọi tập mở U , ( ( ,2 ) ( ) { / ( ) } { / ( ) } ( ( ,2 ) ) [ ]C i n ni ni B x Ui n T t t U t t U B x U − − −Γ Γ− − Γ ∩ ≠ ∅ = Γ ∩ ≠ ∅ = Γ ∈   Do đó, bởi định lý 6, niΓ có một hàm chọn đo được niσ . Bây giờ ta chứng minh ( ) { ( )}nit tσΓ = . Cho ( ), 0x t ε∈Γ > . Chọn i sao cho 2 2 i ε− ≤ , và chọn n sao cho ( , ) 2 ind x x −< . Suy ra ( ( , 2 ))int B x − −∈Γ và ( , 2 )ini nB xσ −∈ . Do đó ( ( ), ) ( ( ), ) ( , )ni ni n nd t x d t x d x xσ σ ε≤ + ≤ . Định lý 3.8. 1) Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian Polish, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con đóng khác rỗng của X . Nếu với mọi tập mở U trong 38 X , ( ) U−Γ ∈ , thì Γ nhận được một dãy hàm chọn đo được ( )nσ sao cho ( ) { ( )}nt tσΓ = . 2) Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric khả li, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con compact khác rỗng của X . Nếu Γ đo được (xem định nghĩa 1) thì Γ nhận được một dãy hàm chọn đo được ( )nσ sao cho ( ) { ( )}nt tσΓ = . Chứng minh. Nó là một hệ quả của định lý 7. Định lý 3.9. Giả sử ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric khả li, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con đầy đủ khác rỗng của X . Khi đó những tính chất sau đây là tương đương a) ( ) U−Γ ∈ với mọi tập mở U , b) ( , (.))d x Γ là đo được với mọi x X∈ c) Γ nhận được dãy hàm chọn đo được ( )nσ sao cho ( ) { ( )}nt tσΓ = . Chứng minh. a⇒ c định lý 7. c⇒ b bởi vì ( , ( )) inf{ ( , ( )) / }nd x t d x t nσΓ = ∈ . b⇒ a Để ý rằng { / ( , ( )) } ( ( , ))t d x t r B x r−Γ < = Γ . Nhưng mọi tập mở U là hợp của dãy các quả cầu ( , )n nB x r . Do đó ( ) ( ( , ))n n n U B x r− −Γ = Γ là đo được nếu b đúng. Chú ý. Dễ dàng chứng minh a⇒ b và c⇒ a: a⇒ b bởi vì công thức { / ( , ( )) } ( ( , ))t d x t r B x r−Γ < = Γ c⇒ a bởi vì công thức 1( ) ( )nU Uσ − −Γ =  . Định nghĩa. Nếu ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con đầy đủ của X , thì Γ được nói là đo được nếu { / ( ) }oT t t= Γ = ∅ thuộc  và nếu trên oT T− thì Γ có những tính chất của định lý 9. 39 Chú ý. Do định lý 8.2) nên định nghĩa 1 và 10 tương đương. Có hai tính chất khác của tính đo được mà người ta có thể dùng làm như định nghĩa của tính đo được. Đó là: “ ( ) F−Γ ∈ với mọi tập đóng F ” và “đồ thị của Γ ( {( , ) / ( )}G t x T X x tΓ = ∈ × ∈Γ ) nằm trong ( )X⊗  ”. Ta xem xét những tính chất đó trong ba mệnh đề dưới đây. Đối với một σ -trường  , tất cả năm tính chất là tương đương (xem định lý 30 bên dưới). Mệnh đề 3.11. Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric, và Γ là ánh xạ từ T đến ( ) X . Khi đó nếu ( ) F−Γ ∈ với mọi tập đóng F , thì ( ) U−Γ ∈ với mọi tập mở U . Chứng minh. Với mọi tập mở U : nó đủ để đặt 1{ / ( , ) } ( 1)n nF x X d x X U n= ∈ − ≥ ≥ . Khi đó nU F=  , và ( ) ( )nU F − −Γ = Γ . Mệnh đề 3.12. 4) Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian Polish compact địa phương, và Γ là ánh xạ từ T đến ( )f X . Nếu ( ) U −Γ ∈ với mọi tập mở U , thì ( ) F−Γ ∈ với mọi tập đóng F . 5) Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric hóa được, và Γ là ánh xạ từ T đến ( )k X . Nếu ( ) U −Γ ∈ với mọi tập mở U , thì ( ) F−Γ ∈ với mọi tập đóng F . Chứng minh. 1) Nếu F đóng, thì F là hợp của một dãy các tập compact nK . Khi đó ( ) ( )nF K − −Γ = Γ . Giả sử K compact và ta sẽ chứng minh ( ) K−Γ ∈ . Alexandroff compactified Xˆ của X là metric hóa được (điều đó là tương đương cho không gian compact địa phương để nói nó là Polish). Giả sử d là metric trên Xˆ . Khi đó với n đủ lớn ( )on n≥ 1ˆ{ / ( , ) }n nK x X d x K= ∈ ≤ chứa trong X , và compact. 40 Cho ( )nσ là dãy hàm chọn của Γ như trong định lý 7. Khi đó 1( ) ( ) o m n n n m K Kσ− − ≥ Γ =   . Thật vậy nếu ( )t K−∈Γ thì ( )t KΓ ∩ ≠ ∅ kéo theo với mọi on n≥ , ( ) o nt KΓ ∩ ≠ ∅ và do đó tồn tại m sao cho ( )m nt Kσ ∈ . Đảo lại, nếu 1( )m n n m t Kσ −∈ thì ( ) nt K nΓ ∩ ≠ ∅ ∀ . Giả sử ( )n nx t K∈Γ ∩ . Dãy ( ) on n n x ≥ chứa trong onK . Cho x là điểm tụ của ( )nx . Khi đó nx K K∈ = và ( )x t∈Γ . 2) Nếu F đóng, đặt 1{ / ( , ) }n nU x d x F= < . Khi đó ( ) ( )nF U − −Γ = Γ bởi vì nếu ( )nt U −∈ Γ thì tồn tại ( )n nx t U∈Γ ∩ . Nhưng ( )tΓ compact do đó dãy ( )nx có một điểm tụ x , ( )x t F∈Γ ∩ . (Nó tương tự như chứng minh phần 2 của định lý 2.10). Mệnh đề 3.13. Nếu ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric khả li, và nếu Γ từ T đến những tập con đầy đủ của X là đo được (xem đn. 10), thì đồ thị của Γ (đó là {( , ) / ( )}t x T X x t∈ × ∈Γ ) thuộc ( )X⊗  . Chứng minh. Giả sử ( )tΓ khác rỗng với mọi t . Đồ thị của Γ là {( , ) / ( )}G t x T X x t= ∈ × ∈Γ . Nhưng hàm ( , (.))d x Γ đo được (sử dụng tính chất của tính đo được của Γ . Tính đầy đủ của Γ là không cần thiết !) , vì vậy, bởi bổ đề dưới đây ( , ) ( , ( ))t x d x tΓ đo được, và ( )G X∈ ⊗  . Bổ đề 3.14. Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric hóa được khả li, U là không gian metric hóa được và :T X Uϕ × → . Giả sử ϕ là đo được (tương ứng ( , ( ))U  đo được) theo t và liên tục theo x . Khi đó ϕ là đo được (tương ứng ( ( ), ( ))X U⊗   đo được). Chứng minh. Cho { }nx là dãy trù mật trong X . Cho 1p ≥ đặt ( , ) ( , )p nt x t xϕ ϕ= với n là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho 1( , )n px B x∈ . Dễ thấy ( , ) ( , )p t x t xϕ ϕ→ khi p → ∞ . Và pϕ đo được (tương ứng ( ( ), ( ))X U⊗   đo được) bởi vì trên tập 41 1 1[ ( , ) ( , )]n mp p m n T B x B x < × −  , pϕ bằng hàm ( , ) ( , )nt x t xϕ . 3.3. Hàm đa trị đo được lồi compact Định lý 3.15. Cho ( , )T  là không gian đo được, E là không gian vector khả li metric hóa được lồi địa phương, và Γ là ánh xạ từ T đến ( )ck E (không gian của các tập lồi compact của E ). Khi đó Γ đo được nếu và chỉ nếu những hàm tựa * *( (.))xδ Γ là đo được. Chứng minh. Nếu Γ đo được thì { / ( ) }oT t t= Γ = ∅ ∈ . Nếu * *( (.))xδ Γ đo được thì *{ / (0 ( )) }oT t tδ= Γ = −∞ ∈ . Do đó ta có thể giả sử ( )tΓ khác rỗng. Nếu Γ đo được thì, do định lý 7, tồn tại dãy hàm chọn đo được ( )nσ sao cho ( ) { ( )}nt tσΓ = . Vì vậy * * *( ( )) sup , ( )nx t x tδ σΓ = là hàm đo được theo t . Ngược lại, giả sử * *( (.))xδ Γ đo được. Tồn tại dãy tăng các nửa chuẩn ( )np , np được xác định bởi topo của E . Giả sử nh là nửa khoảng cách Hausdorff liên kết với np . Do định lý 2.12 khoảng cách trong ( )ck E , ( , )( , ) 2 1 ( , ) n n n h A BH A B h A B −= +∑ xác định cấu trúc đều của ( )ck E . Ta sẽ chứng minh điều sau đây: Với mọi ( )ckA E∈ , ( , ( ))t H A tΓ đo được. Điều đó, bởi bổ đề 16 bên dưới (áp dụng Γ trong vị trí của f và ( )ck E trong vị trí của Z (xem đl.2.8)), đưa đến định lý. Ta chứng minh tính đo được của ( , (.))nh A Γ là đủ. Nhưng do định lý 2.18, * * * * *( , ) sup{ ( ) ( ) / }on nh A B x A x B x Vδ δ= − ∈ ( { / ( ) 1})n nV x p x= ≤ . Tập o nV là đồng liên tục, do đó compact đối với topo hội tụ đều trong các tập con compact của E . Giả sử { }nx′ là tập đếm được trù mật trong onV . Nhưng *(. )Aδ và *(. ( ))tδ Γ liên tục đối với topo ở trên, ta có * * * *( , ( )) sup ( ) ( ( ))n n n n h A t x A x tδ δΓ = − Γ . 42 Vì vậy nó là đo được theo t . Chú ý. Khi E là không gian định chuẩn, chỉ cần chứng tỏ rằng x E∀ ∈ , ( , (.))d x Γ đo được (nhờ có đl.9) Bổ đề 3.16. Cho ( , )T  là không gian đo được, Z không gian metric khả li và :f T Z→ sao cho với mọi z Z∈ , ( , (.))d z f đo được. Khi đó f đo được. Chứng minh. Hàm đa trị { ( )}t f t có hàm chọn đo được bởi định lý 9. 3.4. Định lý chiếu. Định lý hàm chọn Von Neumann - Aumann Định nghĩa. Không gian Suslin là một không gian topo Hausdorff sao cho có một không gian Polish P và một ánh xạ liên tục từ P lên S . Ta kí hiệu ánh xạ chiếu từ T U× lên T bởi Tpr . Định lý 3.18. Cho T là không gian Suslin, X là không gian topo, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con khác rỗng của X , đồ thị G của Γ là Suslin. Kí hiệu s là σ -trường trên T sinh bởi những tập con Suslin của T . Khi đó tồn tại một dãy ( )nσ những hàm chọn ( , ( ))s X  đo được của Γ , sao cho với mọi t T∈ ,{ ( )}n tσ trù mật trong ( )tΓ . Hơn thế nữa, nếu P là không gian Polish và :h P G→ là liên tục và lên thì có thể chọn được nσ sao cho n X npr h pσ =   trong đó :np T P→ là s đo được. Vì vậy mỗi nσ là giới hạn của một dãy những hàm s đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và nếu thêm µ là độ đo Radon trong T thì nσ là µ -đo được Lusin. Chứng minh. Giả sử P là Polish và :h P G→ liên tục và lên. Giả sử : G Tπ → là ánh xạ ( , )t x t . Hàm đa trị 1( )hπ −∑ =  có đồ thị H đóng trong T P× . Vì vậy, nếu U là tập mở trong P thì ( ) ( )TU pr H T U −∑ = ∩ × là Suslin. Do định lý 8 dẫn đến tồn tại dãy ( )np các hàm chọn đo được của ∑ , sao cho với t , { ( )}np t trù mật trong ( )t∑ . Từ 1( ) ( ) ( )np t h tπ −∈  suy ra ( )nt h p tπ=   , do đó ( ) { } ( )nh p t t t∈ × Γ . Đặt ( ) ( , ( ))n nh p t t tσ= . Khi đó nσ là hàm chọn 43 của Γ và công thức n X npr h pσ =   chứng tỏ những tính chất của tính đo được. Sau cùng, ánh xạ : ( ) { } ( )h t t t∑ → × Γ là liên tục và lên, do đó ( )nh p t trù mật trong { } ( )t t× Γ và ( )n tσ trù mật trong ( )tΓ . Định lý 3.19. Giả sử 1 2 và S S là các không gian Suslin và 1 2: S Sϕ → là ánh xạ liên tục lên 2S . Khi đó tồn tại ánh xạ 2 1: S Sσ → sao cho ( )s sϕ σ = với mọi 2s S∈ , và σ đo được đối với σ -trường 2( )s S sinh bởi những tập con Suslin của 2S và Borel σ -trường trong 1S . Hơn thế nữa, σ là giới hạn của một dãy hàm 2( )s S đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và nếu thêm vào giả thiết µ là độ đo Radon trên 2S thì σ là µ -đo được Lusin. Chứng minh. Điều này suy ra từ định lý 18 với 2 1,T S X S= = và 1ϕ −Γ = . Thật vậy đồ thị của 1ϕ − là đóng (bời vì ϕ liên tục) trong 1 2S S× , do đó Suslin. Bổ đề 3.20. Cho X là không gian topo và Y X⊂ . Khi đó ( ) ( )Y X Y= ∩  (ở đây ta kí hiệu ( ) { / ( )}X Y B Y B X∩ = ∩ ∈  ). Chứng minh. Ánh xạ nhúng :i Y X→ là liên tục, do đó Borel đo được, và nếu ( )B X∈ thì 1( ) ( )i B B Y Y− = ∩ ∈ . Điều đó chứng tỏ ( ) ( )X Y Y∩ ⊂  . Ngược lại, ( )Y sinh bởi những tập mở của Y . Nhưng với mọi tập mở U trong Y là giao của Y với một tập mở của X , suy ra ( )U X Y∈ ∩ . Định nghĩa 3.21. Giả sử ( , )T  là không gian đo được. Nếu µ là một độ đo dương trên ( , )T  , kí hiệu µ là µ -đầy đủ của  . Và kí hiệu  µ=   với tất cả các độ đo dương bị chặn µ . Những tập thuộc  được gọi là đo được phổ dụng. Chú ý rằng nếu µ là độ đo σ -hữu hạn thì tồn tại một độ đo bị chặn. Cũng chú ý rằng nếu nếu µ là độ đo σ -hữu hạn trong ( , )T  thì µ µ=  . 44 Định lý 3.22. Cho ( , )T  là không gian đo được và S là không gian Suslin. Giả sử Γ là hàm đa trị từ T đến các tập con khác rỗng của S , đồ thị G của Γ chứa trong ( )S⊗  . Khi đó tồn tại dãy ( )nσ những hàm chọn của Γ sao cho { ( )}n tσ trù mật trong ( )tΓ với mọi t , và nσ đo được đối với ˆ và ( )S . Hơn thế nữa, ta có thể chọn nσ sao cho: nσ là giới hạn của một dãy hàm ˆ đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và nếu thêm vào giả thiết µ là độ đo Radon trong T (nếu T là không gian topo Hausdorff) thì nσ là µ - đo được Lusin. Ta sẽ chứng minh định lý 22 và 23 cùng một lúc và trong hai giai đoạn (và ta sẽ có một chứng minh khác của định lý 23 trong mục 29 và chứng minh khác của định lý 22 khi Γ nhận giá trị đóng). Ứng dụng vào hàm (xem thêm định lí 36) Giả sử ( , )T  là không gian đo được, S là không gian Suslin và :u T S→ là hàm. Xem xét những tính chất dưới đây: i) đồ thị của u chứa trong ( )S⊗  , ii) u là ( , ( ))S  đo được, iii) u là giới hạn của một dãy hàm  đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, iv) (chỉ được xem xét nếu T là không gian topo Hausdorff, và µ là độ đo Radon trên T ) u là µ -đo được Lusin. Khi đó i⇒ ii, i⇒ iii, i⇒ iv và ii⇒ i. Hơn nữa nếu S là không gian hoàn toàn chính quy thì iii⇒ i và iv⇒ i. Chứng minh. i⇒ ii, i⇒ iii, và i⇒ iv suy ra từ định lý 22. Kí hiệu ( )G u là đồ thị của u , S∆ là đưởng chéo của 2S , 1S là ánh xạ đồng nhất trên S , và 1Su × là ánh xạ ( , ) ( ( ), )t x u t x . Khi đó ii ⇒ 1Su × là ( )S⊗  , ( ) ( )S S⊗  đo được, và 2( ) ( ) ( )S S S S∆ ∈ = ⊗   , và công thức 1( ) ( 1 ) ( )S SG u u −= × ∆ chứng tỏ ii⇒ i. 45 Cuối cùng nếu S là hoàn toàn chính quy, do định lý 31 bên dưới tồn, thì tồn tại một dãy ( )nf những hàm số thực liên tục trên S tách rời những điểm của S . Công thức ( ) {( , ) / ( ) ( )}n n n G u t x T S f x f u t= ∈ × =  cố định. Nhưng một của những giả thiết iii) và iv) kéo theo nf u là  đo được. Do đó iii⇒ i và iv⇒ i. Định lý 3.23. (Định lý chiếu) Cho ( , )T  là không gian đo được và S là không gian Suslin. Nếu G thuộc ( )S⊗  thì hình chiếu ( )Tpr G của nó chứa trong  . Định nghĩa. Một không gian đo được ( , )T  được gọi là tách nếu tồn tại một dãy ( )nA trong  sinh ra  và nếu những hàm nAχ tách những điểm của T . Bổ đề 3.24. Cho ( , )T  là không gian đo được. Nếu  sinh bởi họ ( )i i IA ∈ thì với mọi t { / ( ) ( )} i iA Ai T tθ χ θ χ∈ = { / ( ) ( )} { / , }.A A A T t A t A Aθ χ θ χ ∈ = ∈ = = ∈ ∈    Vì vậy, nếu  tách những điểm của T thì họ ( )i i IA ∈ tách những điểm của T . Chứng minh. Bất đẳng thức cuối là hiển nhiên. Ta sẽ chứng minh đẳng thức thứ nhất. Sự bao hàm ⊃ là rõ ràng. Chiều ngược lại, nếu ( ) ( ) i iA A t iχ θ χ= ∀ , ta xét tập  , tập hợp những tập con B của T sao cho ( ) ( )B B tχ θ χ= . Khi đó  là σ -trường { ( ) / { , } { , } }B T t B t T Bθ θ= ∈ ⊂ ∨ ⊂ −  , và chứa tất cả iA . Vì vậy  chứa  . Mệnh đề 3.25. Nếu ( , )T  thỏa định nghĩa 24 thì ánh xạ : ( ( )) nA n h t tχ ∈ từ T đến {0,1} là một đẳng cấu của không gian đo được giữa T và ( )h T . Chứng minh. Thứ nhất h là ánh xạ 1-1. Mà ( ) nA t tχ là  -đo được, do đó h là  -đo được. Cần chứng minh nếu A∈ thì ( )h A thuộc ( ( ))h T . Tập { ( ) / ( ) ( ( ))}A T h A h T∈ ∈  là một σ -trường. Nó chứa nA bởi vì 46 ( ) {( ) {0,1} / 1} ( )n i nh A h Tξ ξ= ∈ =   . Bổ đề 3.26. 1 1( , )Ω  và 2 2( , )Ω  là các không gian đo được, và 1 2:ϕ Ω → Ω là ánh xạ đo được. Khi đó nếu µ là độ đo dương bị chặn trên 1Ω , ϕ là 1 2 ( )( , )µ ϕ µ  đo được. Do đó ϕ là  1 2( , )  đo được. nếu 2Ω là không gian Suslin và  là σ -trường trên 2Ω sinh bởi những tập con Suslin , thì ϕ là  1( , )  đo được. Chứng minh. 1) Giả sử 2 ( )B ϕ µ∈ . Khi đó oB B N= ∪ với 2oB ∈ và N là tập ( )ϕ µ không đáng kể. Khi đó 1 1 1( ) ( ) ( )oB B Nϕ ϕ ϕ − − −=  . Nhưng 1( )Nϕ − chứa trong một tập con µ -không đáng kể của 1 bởi vì N được chứa trong một tập con ( )ϕ µ - không đáng kể của 2 . Vì vậy 1 1( )B µϕ − ∈ . 2) Với mọi µ , 1 12 2 ( ) 1( ) ( )ϕ µ µϕ ϕ − −⊂ ⊂   . Do đó  1 2 1 1( ) µϕ − ⊂ =   . 3) Nếu 2Ω là không gian Suslin thì  chứa trong 2 , bởi vì mọi độ đo dương bị chặn ν trong 2Ω là Radon, và với mọi tập con Suslin là ν -đo được. Chứng minh của định lý 22 và 23 khi ( , )T  là tách. Bởi mệnh đề 25 ta có thể giả sử T là không gian con của {0,1}E =  . Kí hiệu :i T E→ là ánh xạ nhúng. Nhờ bổ đề 20 ta dễ thấy ( ) ( ( ) ) ( ) [ ( ) ( )] [ ]. S E T S E S T S ⊗ = ∩ ⊗ = ⊗ ×        Vì vậy [ ]G G T S′= ∩ × với ( ) ( )G E S′∈ ⊗  . Mà E là không gian metric hóa được compact, nên G′ là tập con Suslin của E S× . 1) Ta chứng minh định lý 23. Ta có 1( ) ( )T E Epr G pr G T i pr G −′ ′= ∩ = . 47 Kết quả được suy ra từ phần cuối của bổ đề 26, bởi vì Epr G′ là Suslin. 2) Ta chứng minh định lý 22. Tập G′ là đồ thị của hàm đa trị ′Γ từ Epr G′ đến những tập con khác rỗng của S , sao cho ( ) ( )t t t′Γ = Γ ∀ . Định lý 18 áp dụng vào ′Γ (với , ,ET pr G X S′ ′= = Γ = Γ ). Giả sử nσ ′ là hàm chọn thu được. Kí hiệu : Ej T pr G′→ là ánh xạ nhúng. Đặt n n jσ σ ′=  . Do bổ đề 26 j là ( , )  đo được (ta kí hiệu  là σ -trường sinh bởi những tập con Suslin của Epr G′ ). Cho nên nσ là ˆ( , ( ))S  đo được và là giới hạn của một dãy những hàm  -đo được nhận một số hữu hạn giá trị. Ta sẽ chứng minh tính đo được Lusin trong mục tiếp theo. Chứng minh cho trường hợp tổng quát. Thứ nhất tồn tại một σ -trường con đếm được sinh của  , o , sao cho ( )oG S∈ ⊗  (thật vậy, xét tập ℘ tất cả σ -trường con đếm được sinh của  . Khi đó { ( ) / }S⊗ ∈℘    là σ -trường, do đó nó bằng ( )S⊗  ). Xác định một quan hệ tương đương  trong T như sau: , ( ) ( )o A At s A t sχ χ⇔ ∀ ∈ =  . Cho 1 /T T=  và 1:T Tϕ → là ánh xạ chính tắc. Với mọi oA∈ là hội của các lớp tương đương, vì vậy nếu A B≠ thì ( ) ( )A Bϕ ϕ≠ và nếu A B∩ = ∅ thì ( ) ( )A Bϕ ϕ = ∅ . Bởi vậy 1 ( )oϕ=  là một nhóm trên 1T (bởi vì 1∅ ∈, hợp của một dãy các phần tử của 1 là chứa trong 1, và 1( ) ( )T A T Aϕ ϕ− = − do ( )T Aϕ − và ( )Aϕ là hai tập rời phủ 1T ). Vì vậy 1( )oA Aϕ∈ → ∈  là ánh xạ đơn ánh và lên, 1 là đếm được sinh. Và 1 tách điểm của 1T : thật vậy nếu ( ) ( )t sϕ ϕ≠ thì tồn tại oA∈ sao cho ,t A s A∈ ∉ , và khi đó ( ) ( )t Aϕ ϕ∈ và 1( ) ( ) ( )s T A T Aϕ ϕ ϕ∈ − = − . Vì vậy, nhờ có bổ đề 24, 1 1( , )T  là tách. Bây giờ xét ( )oH S∈ ⊗  . Nó là đồ thị của một hàm đa trị ∑ . Ta sẽ chứng minh t s kéo theo ( ) ( )t s∑ = ∑ . Thứ nhất nếu H A B= × thì điều cần chứng minh đúng bởi vì t và s cùng nằm trong hoặc không cùng nằm trong 48 A . Khi đó tập tất cả ( )H T S∈ × có tính chất ( ) ( )t s t s⇒ ∑ = ∑ là σ - trường. Do đó nó chứa ( )S⊗ . Ta sẽ xét hàm đa trị 1Γ từ 1T đến các tập con của S , xác định bởi 1( ( )) ( )t tϕΓ = Γ . Ta sẽ chứng tỏ rằng đồ thị 1G của 1Γ chứa trong 1 ( )S⊗  . Mọi hàm chọn ψ của hàm đa trị 1ϕ − là 1( , )o  đo được, bởi vì nếu oA∈  thì 1( ) ( )A Aψ ϕ− = . Mà 1 1 1( ) ( ( ))t tψΓ = Γ ta có 1 1 1 1 1 1 {( , ) / ( )} {( , ) / ( ( ), ) } G t x x t t x t x Gψ = ∈Γ = ∈ 1( 1 ) ( )S Gψ −= × chứa trong 1 ( )S⊗  . Chứng minh định lý 23. Ta có 1 1 1( ) ( ( ))T Tpr G pr Gϕ −= . Bởi mục 27 1 1 ( )Tpr G chứa trong 1 . Do đó ( )Tpr G ∈ do bổ đề 26. Chứng minh định lý 22. Áp dụng mục 27 cho 1Γ . Giả sử 1 nσ là hàm chọn đã thu được. Đặt 1 n nσ σ ϕ=  . Khi đó nσ là hàm chọn của Γ , và với mọi t , { ( )}n tσ trù mật trong ( )tΓ . Và theo bổ đề 26, nσ ( , ( ))S  đo được và là giới hạn của một dãy những hàm  đo được nhận hữu hạn giá trị. Phần còn lại phải chứng minh: nếu T là không gian topo Hausdorff và µ là một độ đo Radon thì nσ đã chọn được là µ -đo được Lusin. Giả sử P là không gian Polish và :h P S→ liên tục và lên. Kí hiệu 1 :T h T P T S× × → × định bởi ( , ) ( , ( ))t p t h p . Đặt 1( ) ( ( ))t h t−∑ = Γ . Khi đó ( )t∑ không rỗng, và đồ thị của ∑ là 1(1 ) ( )TH h G −= × và chứa trong ( )P⊗ . Do đó, bởi những kết quả trước đó, ∑ là dãy của những hàm chọn đo được nθ sao cho { ( )}n tθ trù mật trong ( )t∑ . nθ (với giá trị trong P ) là µ -đo được Lusin. Vì vậy n nhσ θ=  cũng là µ -đo được Lusin. 49 Định lý 3.30. Giả sử ( , , )T µ là không gian đo được với µ là độ đo dương σ -hữu hạn  đẩy đủ, X là không gian metric khả li đầy đủ, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con đóng khác rỗng của X . Khi đó những tính chất dưới đây là tương đương a. ( )U−Γ ∈ với mọi tập mở U b. ( , (.))d x Γ là đo được với mọi x X∈ c. Γ nhận một dãy những hàm chọn đo được ( )nσ sao cho ( ) { ( )}nt tσΓ = d. Đồ thị của Γ , G , chứa trong ( )X⊗ e. ( )B−Γ ∈ với mọi tập Borel B f. ( )F−Γ ∈ với mọi tập đóng F . Chứng minh. Do định lý 9 a ⇔ b ⇔ c. Do bổ đề 11 f⇒ a, và do bổ đề 13 b ⇒ d. Mà e⇒ f là hiển nhiên, nên ta cần chứng minh d⇒ e. Chú ý rằng µ tương đương với độ đo bị chặn nên áp dụng định nghĩa 21 ta thu được  µ⊂ ⊂ =    . Do đó =  . Nhưng ( ) ( [ ])TB pr G T B −Γ = ∩ × và [ ]G T B∩ × chứa trong ( )X⊗ . Vì vậy theo định lý 23 thì d⇒ e. 3.5. Tính đo được trong không gian Suslin lồi địa phương Bổ đề 3.31. Cho E là không gian topo Suslin và ( )i i If ∈ là họ những hàm thực liên