Luận văn Nhóm con 𝝅 - Tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn

được gọi là một nhóm con Hall của G . 1.2.4. Định lý 12 Nếu H là nhóm con π −Hall tựa chuẩn tắc của G thì H G . Chứng minh. Do H là nhóm con π −Hall tựa chuẩn tắc củaG nên theo Định lý 1.1.11 thì H là nhóm con á chuẩn tắc của G . Do đó tồn tại dãy chuẩn tắc 0 1 ... nH H H H G= =   . H là nhóm con Hall của G nên , 1 G H H   =     . Do đó 1, 1HH H   =    nên theo Định lý 1.1.19 thì 1H char H .Mà 1 2H H nên theo Định lý 1.1.19 thì 2H H . Tương tự sau hữu hạn bước ta được H char G nên H G . Nhận xét: Nếu ,H K là các p − nhóm con của G , K G thì H K∩ là một p − nhóm nên H H K∩ là một p − nhóm. Vì HK H K H K≅ ∩ nên HK K là một p − nhóm, vì vậy HK là một p − nhóm. Do đó ta có định nghĩa sau: 1.2.5. Định nghĩa Nhóm con được sinh bởi tất cả các p − nhóm con chuẩn tắc của G là một p − nhóm. Nhận xét: Đây là p − nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G , kí hiệu là ( )pO G . 1.2.6. Định lý G là một nhóm, p là một số nguyên tố . Khi đó ( )pO G là giao của tất cả các p − nhóm con Sylow của G . Chứng minh: Đặt ( )pH O G= . iK P= , với iP là các p − nhóm con Sylow của G . Do H chuẩn tắc nên ,i iHP H P= là p − nhóm con của G chứa iP ( iP là p − nhóm con Sylow bất kì của G ). Vậy i iHP P= suy ra iH P i⊂ ∀ nên .H K⊆ Ngược lại, ta chứng minh K H⊂ bằng cách chỉ ra K cũng là một p − nhóm con chuẩn tắc của G . Thật vậy ( )xx xi iK P P= ⊂  ( do i iP P⊂ nên ( ) x x i iP P⊂ ). Ta chứng minh x iP K⊂ . Lấy 1yx P xi ix y P − ∈ ∀ ∈ , 1 1 1 1 1( yx) ( yx)( yx)...( yx) y x=1n np px x x x x− − − − −= = . Do đó 13 x iP là một p − nhóm vì vậy ,xi j jP P P⊂ là nhóm con Sylow nào đó của G . Từ đó ta được xiP K⊂ .Vậy . xK K x⊂ ∀ Do x tùy ý nên ta cũng có ( ) 1 11 1 1x xK K x Kx K K x Kx K − −− − −⊂ ⇒ ⊂ ⇒ ⊂ = . Từ đó ta được xK K x G= ∀ ∈ . Do đó K G .Vậy K H= . 1.2.7. Định lý ( Schur-Zassenhaus) ([8], 9.1.2, trang 253) Cho N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G . Giả sử , GN n mN= = ,trong đó ( , ) 1m n = . Khi đó G có chứa nhóm con cấp m và hai nhóm con có cấp m tùy ý được chứa trong G đều liên hợp với nhau. 1.2.8. Định lý Nếu H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G thì tồn tại một nhóm con K của G sao cho G KH ≅ . Chứng minh: Do H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G nên ( ), 1GH H = . Áp dụng Định lý 1.2.7 sẽ tồn tại nhóm con K củaG sao cho GGK H H = = nên K H G= . Mà ( ), 1H K = nên { }1H K∩ = . Từ đó ta có G HK= . Mà HK K H H K≅ ∩ nên G KH ≅ . 1.3. Nhóm con Frattini 1.3.1. Định nghĩa ChoG là một nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G được gọi là nhóm con Frattini của G . Kí hiệu ( )Gφ . Nhận xét. Do ta xét G là nhóm hữu hạn nên nhóm con Frattini luôn tồn tại trong G . 1.3.2. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Khi đó phần tử x G∈ được gọi là phần tử không sinh của G nếu ,G x Y= thì G Y= . 14 1.3.3. Định lý Cho G là một nhóm. Khi đó ( )Gφ chính là tập các phần tử không sinh của G Chứng minh. Lấy x là một phần tử không sinh của G . Giả sử tồn tại nhóm con tối đại M của G , mà x M∉ . Khi đó ,G x M M= = (mâu thuẫn). Ngược lại lấy ( )x Gφ∈ , ,G x Y= .Giả sử G Y≠ , gọi M là nhóm con tối đại của G chứa .Y Khi đó ,G x Y M= = (mâu thuẫn). 1.3.4. Định lý Cho G là một nhóm khi đó ( )G char Gφ nên ta cũng có ( )G Gφ  . Chứng minh. Lấy ( )( ), ( )f Aut G y f Gφ∈ ∈ . Khi đó tồn tại ( ) : ( )x G y f xφ∈ = . Ta có ( )G f G= . Nếu ,G x Y= thì ( )( ) , ( ), ( )G f G f x Y f x f Y= = = . Do ( )x Gφ∈ nên ( ) ( )G Y f Y f Y= = = . Do đó ( )( )y f x Gφ= ∈ . Vậy ( )( ) ( )f G Gφ φ⊆ . Theo 1.1.19 (i) ( )G char Gφ và theo 1.1.19(ii) thì ( ) .G Gφ  1.3.5. Định lý Nếu H G thì ( ) ( )H Gφ φ≤ . Chứng minh. Giả sử ( )Hφ không là nhóm con của ( )Gφ . Khi đó tồn tại một nhóm con tối đại M của G sao cho ( )H Mφ ⊄ . Do ( ) ,H char H H Gφ  theo 1.1.15 iv) ( )H Gφ  . Theo Định lý 1.1.6 ( )M H Gφ ≤ mà M tối đại, nên ( )M H Gφ = . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H H G H M H H H M H H M Hφ φ φ φ= ∩ = ∩ = ∩ = ∩ . Vậy H M H∩ ≤ . Nếu H M H∩ = thì ( )H H Mφ ≤ ≤ (mâu thuẫn). Do đó H M H∩ < . Khi đó tồn tại nhóm con tối đại 1H của 1,H H H M⊃ ∩ . Do đó ( )1H H Hφ= mà ( ) 1H Hφ ⊂ nên 1H H= (mâu thuẫn). 1.3.6. Định lý Nếu ( )G G Hφ= với H là một nhóm con của G thì G H= . 15 Chứng minh.Theo Định lý 1.3.4 ( )G Gφ  do đó ( ) ( ) ( ),G G H H G H Gφ φ φ= = = . Theo Định lý 1.3.3 ta được G H= mà H G≤ nên G H= . 1.3.7. Định lý (Burside Basis Theorem)([9]). Nếu G là một p − nhóm, với p là một số nguyên tố, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, , ,..., n n G Gp x G x G x GG G φ φ φφ φ= = thì 1 2, ,..., nG x x x= . 1.4. Nhóm lũy linh, nhóm -lũy linh 1.4.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, tâm củaG kí hiệu là { }( ) : ,Z G a G ag ga g G= ∈ = ∀ ∈ . 1.4.2. Định nghĩa G là một nhóm, dãy các nhóm con chuẩn tắc của G 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = thỏa 1 0, 1i i i G GZ i nG G +  ⊂ ∀ = −    được gọi là dãy tâm của G . Nhận xét: Nếu 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = là dãy tâm thì 0 1 11 ... ...n n n pG G G G G G+ += ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = cũng là một dãy tâm. 1.4.3. Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm. Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhómG . Nhận xét: -Nhóm có lớp lũy linh bằng 0 là nhóm { }1 . -Nhóm có lớp lũy linh lớn nhất bằng 1 là nhóm aben. -Nhóm lũy linh là nhóm giải được. p 16 1.4.4. Định lý Nếu G là một p − nhóm thì G là nhóm lũy linh. Chứng minh: Do G là p − nhóm nên nG p= . Ta chứng minh qui nạp theo n . Với n=1; ,G p p P= ∈ nên G là nhóm aben, do đó G là nhóm lũy linh. Giả sử G là nhóm lũy linh m n∀ < .Ta chứng minh G là nhóm lũy linh khi nG p= . Ta có ( ) [G:C(x )]iG Z G= +∑ nên ( )Z G p . Xét nhóm thương ( )G Z G theo định lý Larrange ( ) ( ) GG Z G Z G= nên ,( ) mG p m nZ G = < . Theo giả thiết qui nạp thì ( ) G Z G là nhóm lũy linh. Do đó tồn tại dãy tâm 0 11 ... ( )n GH H H Z G= ≤ ≤ ≤ = . Xét toàn cấu chiếu : ( ) . ( ) Gp G Z G g g Z G →  . Đặt 11 ( )i iG p H − + = . Do p là toàn cấu nên ,iG G i∀ . Xét dãy 0 1 11 ... n nG G G G G+= ≤ ≤ ≤ ≤ = . Ta chứng minh 1i i i G GZG G +  ⊂     . Lấy 1, ( ) , ( ) ( )i i Ga G b G p a H p b Z G+∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ . Để ý 1 1 ( )i i i G H Z G H H− − = . Khi đó 1 1 1 1 1 1 11 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i ip a b ab p a p b p a p b H a b ab p H G − − − − − − − − −= ∈ ⇒ ∈ = . Từ đó ta được điều cần phải chứng minh. 1.4.5. Định lý Cho G là nhóm lũy linh khi đó: i) Nếu N G≤ thì N là nhóm lũy linh. ii)Nếu N G thì G N là nhóm lũy linh. iii)Nếu A,B là nhóm lũy linh thì A B× là nhóm lũy linh. Chứng minh. 17 i)Do G là nhóm lũy linh nên tồn tại dãy tâm 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = Do ( ) ( ) ( )1 1 i i i i i i G G G N G G G G N G N N G + +  ∩ ≤ ⇒  ∩ ≤ ∩      Xét dãy 0 11 ... nG N G N G N N= ∩ ≤ ∩ ≤ ∩ = . Ta chứng minh 1i i i G N NZG N G N + ∩  ⊂  ∩ ∩  . Lấy 1 ,ia G N b N+∈ ∩ ∈ . Theo giả thiết 1i i i G GZG G +  ⊂     nên 1 1 ia b ab G − − ∈ . Mà 1 1a b ab N− − ∈ nên 1 1 ia b ab G N − −⇒ ∈ ∩ tức 1i i i G N NZG N G N + ∩  ⊂  ∩ ∩  . ii) Do G là nhóm lũy linh nên tồn tại dãy tâm 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = .Theo giả thiết 1, ,i i iN G G G G G +⊂  nên 1, ,i i i iG N G G N G N N G N+≤  . Do đó 1 ,i i iG N G N G N GN N N N +≤  . Xét dãy 0 11 ... nG N G NG N GN N N N= ≤ ≤ ≤ = Ta chứng minh 1i i i G N G N NZG N G N N N +    ⊂     . Lấy 1 ;ian G N b G+∈ ∈ , do 1i i i G GZG G +  ∈     nên 1 1 ia b ab G − − ∈ . Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) . [ ( ) ]( ) i i NG an b an b n a b anb n a b ab n n b nb G N− − − − − − − − − − ∈∈ = = ∈   . Như vậy 1i i i G GZG G +  ∈     nên 1i i i G N G N NZG N G N N N +    ⊂     iii)Do A,B là 2 nhóm lũy linh, theo nhận xét(*)ta có thể giả sử có 2 dãy tâm có cùng chiều dài Do 1 1, , ,i i i i i iA A B B A A B B+ +≤ ≤   nên 1 1,i i i i i iA B A B A B A B+ +× × × ≤ × Xét dãy 0 0 1 11 ... n nA B A B A B A B= × ≤ × ≤ ≤ × ≤ × 18 Ta chứng minh 1 1i i i i i i A B A BZA B A B + +×  ×⊂  × ×  Lấy ( ) ( )1 1', ' , ,i ia b A B a b A B+ +∈ × ∈ × . Theo giả thiết 1 1,i i i i i i A BA BZ ZA A B B + +   ⊂ ⊂        nên 1 1 1 1' ' , ' 'i ia a a a A b b b b B − − − −∈ ∈ Lại có 1 1 1 1 1 1( ', ') ( , ) ( ', ')( , ) ( ' ' , ' ' ) i ia b a b a b a b a a a a b b b b A B − − − − − −= ∈ × Nên 1 1i i i i i i A B A BZA B A B + +×  ×⊂  × ×  1.4.6. Định nghĩa Nhóm G được gọi là p − lũy linh ( với p là một số nguyên tố) nếu nó có một 'p −nhóm con Hall chuẩn tắc. 1.4.7. Định lý ([8],5.4, trang 434) Giả sử G là một nhóm không p − lũy linh nhưng mọi nhóm con thực sự của nó là p − lũy linh. Khi đó G là một nhóm không lũy linh nhưng mọi nhóm con thực sự của nó là lũy linh. 1.4.8. Định nghĩa G là một nhóm, số mũ của nhóm G là bội chung nhỏ nhất của tất cả các cấp của các phần tử trong G . 1.4.9. Định lý([13],5.2, trang 281) Giả sử G là một nhóm không lũy linh, nhưng mọi nhóm con thực sự của G là lũy linh thì: (i) G có một p − nhóm con Sylow chuẩn tắc P ( với p là một số nguyên tố) sao cho G QP ≅ , với Q là q −nhóm con cyclic không chuẩn tắc của G , q là số nguyên tố, q p≠ . (ii) ( ) P Pφ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của ( ) G Pφ . (iii) Nếu P không giao hoán và 2p ≠ thì số mũ của P là p . (iv) Nếu P không giao hoán và 2p = thì số mũ của P là 4. 19 (v) Nếu P là nhóm giao hoán thì P có số mũ là p . 1.4.10. Định lý Nếu G là một nhóm lũy linh, P là một p − nhóm con Sylow của G thì P là p − nhóm con Sylow duy nhất của G . Do đó, P G . Chứng minh. Trước hết chứng minh được: Nếu G là nhóm lũy linh thì G thỏa điều kiện chuẩn hóa tử, nghĩa là G thỏa điều kiện nếu H G< thì ( )GH N H< . Cho G là một nhóm hữu hạn, P là một p–nhóm con Sylow của G, với p là một số nguyên tố. Khi đó ( ( )) ( )G G GN N P N P= . Thật vậy, đặt ( )GH N P= . Do P là p–nhóm con Sylow của G và P H≤ nên P là nhóm con Sylow của H . Hơn nữa nếu tồn tại p − nhóm con Sylow 'P của H thì theo Định lý Sylow, P và 'P liên hợp trong H nên tồn tại x H∈ sao cho 'xP P= tức 'xP P x= , mà ( )Gx H N P∈ = nên xP Px= . Từ đó 'P x Px= suy ra 'P P≡ . Do đó P là p–nhóm con Sylow duy nhất của H. Vậy P H . Với ( )Gg N H∈ ta có g gP H H≤ = . Lấy gx P∈ khi đó tồn tại y P∈ với ny p= sao cho 1x g yg−= . Xét ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 ' ... 1 n n n p p p s g yg g yg g yg g yg g y g− − − − −= = =  . Do đó gP cũng là p − nhóm con của H . Mà gP P= Suy ra gP cũng là p–nhóm con Sylow của H, do đó gP P= , nên ( )Gg N P H∈ = .Suy ra ( )GN H H≤ và do đó ( )GN H H= (điều phải chứng minh). Chứng minh định lý: Đặt ( )GH N P= , theo trên ta có ( ) .GN H H= Do đó theo chứng minh trên ta phải có H G= (vì nếu H G< thì ( )GH N H< mâu thuẫn). Suy ra ( )GN P H G= = hay P G . 1.4.11. Định lý ([8],5.2.4, trang 130) G là nhóm hữu hạn thì các khẳng định sau là tương đương: i)G là nhóm lũy linh. 20 ii)Mọi nhóm con tối đại của G đều chuẩn tắc. iii)G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó. 1.4.12. Định lý ([14], Định lý 1.11, trang 16) Nếu G là nhóm lũy linh hữu hạn sinh thì G là nhóm siêu giải được. 1.5. Nhóm siêu giải được 1.5.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Dãy các nhóm con chuẩn tắc 0 1 21 ... nG G G G G= ≤ ≤ ≤ ≤ = với tất cả nhân tử là nhóm xyclic được gọi là dãy siêu giải được của G . G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được. 1.5.2. Định lý Cho G là một nhóm siêu giải được. H là nhóm con của G . Khi đó H siêu giải được. Chứng minh. Do G siêu giải được nên trong G tồn tại một dãy siêu giải được 0 1 21 ... nG G G G G= ≤ ≤ ≤ ≤ = . Do 1,i i iG G G G +  nên 1,i i iH G H H G H G +∩ ∩ ∩  . Do đó trong H có dãy các nhóm con chuẩn tắc như sau 0 1 21 ... nH G H G H G H G H= ∩ ∩ ∩ ∩ =    . Xét nhân tử ( ) ( )11 1 1 1 .i ii i i i i ii i H G GH G H G G H G G GH G G ++ + + + ∩∩ ∩= ≅ ≤∩ ∩ ∩ . Do 1i i G G + là nhóm cyclic nên 1i i H G H G +∩ ∩ nhóm cyclic. 1.5.3. Định lý Cho ,H K là 2 nhóm siêu giải được. Khi đó H K× là nhóm siêu giải được. Chứng minh. Do ,H K là 2 nhóm siêu giải được nên tồn tại 2 dãy siêu giải được 0 1 2 0 1 21 ... , 1 ...n nH H H H H K K K K K= = = =        .Ta có 0 1 01i i iH H K H K+× = × × , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i H H H H H H + + +× ≅ × ≅× , 1 1 1 1 i i i i i H K K KH H K H K K + + +× ≅ × ≅× nên ta có dãy siêu giải được trong H K× như sau: 21 0 1 2 0 1 21 1 1 1 ... 1 ...n nH H H H H K H K H K H K H K= × × × × = × × × × = ×        do đó H K× là nhóm siêu giải được. 1.5.4. Định lý Nếu ,G GH K là nhóm siêu giải được thì G H K∩ là nhóm siêu giải được. Chứng minh.Xét đồng cấu : ( , ) G GG H K a aH aK ϕ → ×  , { }: 0 0Ker a G aH aK H Kϕ = ∈ = ∧ = = ∩ . Do đó ImG G GH K H Kϕ≅ ⊂ ×∩ . Theo Định lý 1.3.3G GH K× siêu giải được, theo Định lý 1.3.2 Imϕ siêu giải được nên G H K∩ siêu giải được. 1.5.5. Nhận xét Cho N G ,G N siêu giải được, N siêu giải được khi đó chưa chắc G là nhóm siêu giải được. 1.5.6. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Nếu N G , N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc mà tất cả các số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm xyclic thì N được gọi là nhóm G − siêu giải được. 1.5.7. Mệnh đề Mọi nhóm con xyclic chuẩn tắc của nhóm G là nhóm G − siêu giải được. Chứng minh. Nếu H là nhóm cyclic chuẩn tắc của G thì dãy 1 H là dãy cần tìm. Do đó H là nhóm G − siêu giải được. 1.5.8. Định lý Nếu ,N G N là nhóm G − siêu giải được vàG N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được. Chứng minh. Do G N là nhóm siêu giải được nên tồn tại dãy siêu giải được 0 11 ... nG GG GN N N N= =   . Do iG G N N nên iG G . Theo Định lý 1.1.13 22 1 1 i i i i G GN G G N + +≅ nên 1i i G G + là nhóm cyclic. Lại có N là nhóm G − siêu giải được nên tồn tại dãy 0 11 ... mN N N N= =   với 1, ii i NN G N +  là nhóm cyclic. Do đó ta xây dựng được dãy siêu giải được 0 1 0 11 ... ...m nN N N N G G G G= = = =      . Vậy G là nhóm siêu giải được. 1.5.9. Mệnh đề ([8]) Nếu G là nhóm siêu giải được, M là nhóm con tối đại của G thì :G M là một số nguyên tố. 1.5.10. Mệnh đề ([8]) Nếu :G M là số nguyên tố với mọi nhóm con tối đại M thì G là nhóm siêu giải được. 1.5.11. Định lý G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi ( ) G Gφ là nhóm siêu giải được. Chứng minh. )⇒ Theo Định lý 1.3.4 ( )G Gφ  . Nếu G là nhóm siêu giải được thì ( ) G Gφ là nhóm siêu giải được. )⇐ Với mọi nhóm con tối đại M của G thì ( )G Mφ ⊂ . Mà ( )G Gφ  nên ( )G Mφ  . Do đó ( ) M Gφ là nhóm con tối đại của ( ) G Gφ . Theo Mệnh đề 1.5.10, ( ) ( ): G M G Gφ φ là số nguyên tố, nên :G M là số nguyên tố M∀ . Theo Mệnh đề 1.5.11 thì G là nhóm siêu giải được. 1.5.12. Định nghĩa Nhóm G gọi là có một tháp Sylow nếu nó có một dãy các nhóm con chuẩn tắc 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = sao cho với mỗi 1,2,..,i n= , 1 i i G G − đẳng cấu với một ip − nhóm con Sylow của G . 1.5.13. Mệnh Đề ([9],1.5, trang 13) 23 Nếu G là nhóm siêu giải được thì G có một dãy siêu giải được 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = với mỗi 1 i i G G − là số nguyên tố và 1 2 0 1 1 ... n n GG G G G G − ≥ ≥ ≥ . 1.5.14. Định lý Nếu G là nhóm siêu giải được thì i) G có một tháp Sylow. ii) G là nhóm rp − lũy linh, với rp là số nguyên tố bé nhất chia hết G . iii) G có một 1p −nhóm con Sylow chuẩn tắc, với 1p là số nguyên tố lớn nhất chia hết G . Chứng minh.i) Trước hết ta chứng minh G có một dãy các nhóm con 1 2, ,..., rG G G sao cho iG là ip − nhóm con Sylow của G 1,...,i r∀ = và 1 2... kG G G G với mỗi 1,2,...,k r= . Từ đó dễ thấy dãy 0 1 1 2 1 21 ... ... rG G G G G G G G= =    là tháp Sylow cần tìm. Ta chứng minh quy nạp trên số các ước nguyên tố của G . . nG p= . Hiển nhiên G là p − nhóm con Sylow của G và tháp sylow cần tìm là 01 G G=  . . G có các ước nguyên tố 1 2 ... mp p p p= > > > . Vì G là nhóm siêu giải được nên có một dãy siêu giải được mà các thương có cấp nguyên tố phải gồm một vài thương có cấp là p . Theo Mệnh đề 1.5.13 G có dãy siêu giải được, trong đó các thương có cấp p xuất hiện đầu tiên, 0 11 ... nG G G G= =   . Chọn r lớn nhất sao cho 1 r r G pG − = . Khi đó rG G và rrG p= . Lại có bất kỳ số nguyên tố nào là ước của r G G đều nhỏ hơn p (do cách chọn r ). Do đó rG là p − nhóm con Sylow chuẩn tắc 24 của G . Khi đó 2 i m i r i G pG α = =∏ . Theo giả thiết qui nạp thì r G G có các ip -nhóm con Sylow là i r T G sao cho 2 m i r ri T G G G =     ∏  . Do đó 2 2 3 2 3, ,..., ... rT T T T T T là các nhóm con chuẩn tắc của G . Gọi iP là ip − nhóm con Sylow của iT ( )2,i m∀ = . 1 rP G= là 1p − nhóm con Sylow của G . Ta có ii r r TT G G = nên i i rT p Gα= , với ip α là số mũ của ip trong phân tích của G . Do đó iP là nhóm con Sylow của G . Lại có 2 2 3 2 3 4 2 3 4, , , ,...rG G P T G P T T G P T T T G= = =    Do đó ta xây dựng được một dãy các nhóm con Sylow 1 2, ,..., mP P P thỏa mãn điều kiện ban đầu. Vậy trong G có một tháp Sylow. ii) Theo i) trong G có một tháp Sylow, với các nhóm Sylow 1 2, ,..., rG G G với 1 2. .... 1,2,...,kG G G G k r∀ = . Chọn 1 2 1, . ...r rP G Q G G G −= = . Ta có { }1 ,P Q PQ G∩ = = nên Q là phần bù của P trong G . Q G . Dễ thấy , 1GQ Q   =     nên Q là rp − nhóm con Hall chuẩn tắc của G . Do đó G là nhóm rp − lũy linh. iii)Theo i) 1G là 1p − nhóm Sylow chuẩn tắc cần tìm, với 1p là số nguyên tố lớn nhất chia hết G . 1.5.15. Định lý Nếu G là một nhóm siêu giải được thì [ ]' ,G G G= là một nhóm lũy linh. Chứng minh. Do G siêu giải được nên nó có một dãy siêu giải được, 11 ...o nG G G G= =   . Đặt 11 n i G ii GC C GG −=  =       . Theo Định lý 1.1.21 1 i i GAut G −      là nhóm giao hoán. Theo Định lý 1.22 1 1 p i ii G i GG Aut GGC G − −  →         . Mà 25 1 1 n p i i G i G G C GC G = − →×      . Do đó 1 1 n p i i i GG AutC G= −  →×     . Vậy G C là nhóm giao hoán hữu hạn. Ta có { } { } [ ]{ } 1 1 1 1 1 1 1 : . : . . : , i G i i i i i i i GC g G g aG aG g a GG g G g a g a G g G G g G − − − − − − −   = ∈ = ∀ ∈    = ∈ ∈ = ∈ ≤ Do đó, [ ] [ ] 1 1 , , , ii i i G i i GG C C G C G C GG −−   ∩ ≤ ≤ ≤     . Lại có [ ] [ ], , .iG C C C C C∩ ≤ ≤ Vì thế [ ] 1, 1,...,i iG C C G C i n−∩ ≤ ∩ ∀ = . Do 1i iG G−  nên 1i iG C G C− ∩ ∩ . Từ đó ta được 1 1 i i i G C CCG C G C− − ∩  ⊂  ∩ ∩  . Vậy các nhóm con iG C∩ cho ta một dãy tâm của nhóm C . Do đó C là nhóm lũy linh. Mà G C là nhóm giao hoán nên [ ]' ,G G G C= ≤ . Do đó 'G là nhóm lũy linh. 1.5.16. Định lý ([6], trang 203) Giả sử G là nhóm không siêu giải được nhưng mọi nhóm con thực sự của nó là siêu giải được khi đó i) G có một p − nhóm con Sylow chuẩn tắc P với p là một số nguyên tố. ii) ( ) P Pφ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của ( ) G Pφ . iii) Nếu 2p ≠ , thì mũ của P là p . iv) Nếu P không giao hoán và 2p = thì mũ của P là 4. v) Nếu P giao hoán thì mũ của P là p . 26 CHƯƠNG 2: NHÓM CON -TỰA CHUẨN TẮC 2.1. Định lý Cho H là p − nhóm con chuẩn tắc của G , G H là nhóm siêu giải được, mọi nhóm con có cấp p của H đều π − tựa chuẩn tắc trong G và thỏa một trong các điều kiện sau: i) H là nhóm giao hoán. ii) 2p ≠ . iii) 2p = và mọi nhóm con cyclic cấp 4 của H đều π − tựa chuẩn tắc trong G . Khi đóG là nhóm siêu giải được. Chứng minh. Giả sử Định lý trên sai. Khi đó tồn tại những nhóm thỏa mãn điều kiện định lý nhưng không siêu giải được. Chọn 1 phản ví dụ là nhóm G có cấp nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện của định lý nhưngG là nhóm không siêu giải được. Lấy K là nhóm con thực sự bất kì của G . Vì H G nên HK G≤ . Nếu HK G= thì G K H H K≅ ∩ nên K H K∩ là nhóm siêu giải được. Vì H G nên H K K∩  và H K∩ cũng thỏa mãn các điều kiện Định lý nên K là nhóm siêu giải được. Nếu HK là nhóm con thật sự của G . Khi đó H HK≤ thỏa mãn các điều kiện của Định lý nên HK là nhóm siêu giải được. Theo Định lý 1.5.2 K là nhóm siêu giải được. Vậy G là một nhóm không siêu giải được nhưng mọi nhóm con thật sự của nó là siêu giải được. Áp dụng Định lý 1.5.16G có một nhóm con Sylow chuẩn tắc P . Do đó P là một nhóm con chuẩn tắc Hall của G . Theo Định lý 1.2.8 tồn tại một nhóm con K của G sao cho G KP ≅ . K là nhóm con của G nên K là nhóm siêu giải được, do đó G P là nhóm siêu giải được. Nếu ( ), 1P H = thì { }1P H∩ = . Do đó G G GG P H P H≅= ⊂ ×∩ . Do G GP H× là nhóm siêu giải được nên G siêu giải được (mâu thuẫn). Vậy H P⊆ . Vì H G nên H P mà ( )P Pφ  do đó ( )H Pφ là nhóm con chuẩn tắc của P . Theo π 27 định lý 1.5.16 ii) ( ) P Pφ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của ( ) G Pφ nên ( ) ( ) ( ) H P P P P φ φ φ≤ . Vậy ( ) ( )H P Pφ φ= hoặc ( )H P Pφ = . Nếu ( ) ( )H P Pφ φ= thì ( )H Pφ≤ . Nên ( ) G G HPφ ≤ mà G H là nhóm siêu giải được nên ( ) G Pφ là nhóm siêu giải được. Theo định lý 1.5.9 G là nhóm siêu giải được (mâu thuẫn). Vậy ( )H P Pφ = theo Định lý 1.3.6 H P= . Do đó H chính là p − nhóm con Sylow chuẩn tắc của G . TH1. H là nhóm giao hoán. Gọi A là nhóm con của H có cấp p . Theo giả thiết A là nhóm π − tựa chuẩn tắc của G . Gọi Q là q −nhóm con Sylow bất kì của G ( q p≠ ), khi đó AQ là nhóm con của G . Do A là nhóm π − tựa chuẩn tắc củaG nên theo Định lý 1.1.9 A là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của AQ . Lại do . . A Q AQ A Q A Q = = ∩ do đó , 1 AQ A A   =     nên A là nhóm con π − tựa chuẩn tắc Hall của AQ . Theo Định lý 1.2.4 A AQ . Lấy x Q∈ tức x AQ∈ . Do A AQ nên 1x Ax A− ⊆ hay Ax xA⊆ . Ta cũng có 1x Q− ∈ nên ( ) 11 1x Ax A−− − ⊆ hay xA Ax⊆ . Vậy xA Ax= nên ( )Gx N A∈ từ đó ta được ( )GQ N A⊂ . Gọi ( )pO G là nhóm con của G sinh bởi các phần tử có cấp 'p − số, khi đó ( ) ( )p GO G N A⊂ . Mà ( )GH N A⊂ (do H là nhóm giao hoán) và ( ).pO G H G= nên ( )GG N A= . Vậy A G . Theo Định lý 1.5.16 iii,v) số mũ của H là p . Do đó H p= hoặc 2H p= vì nếu , 3nH p n= ≥ theo Định lý Sylow sẽ tồn tại nhóm con thật sự của H có cấp 2p (mâu thuẫn với mũ của H là p ). Nếu H p= thì ( ) 1Hφ = . Nếu 2H p= , A là một nhóm con cấp p chuẩn tắc của H nên A là nhóm con tối đại trong H . Mọi nhóm con của H có cấp p đều là nhóm con tối đại. Nếu mọi nhóm con cấp p của H đều trùng nhau thì H p= (mâu thuẫn). Vậy trong H luôn tồn tại 2 nhóm con cấp p khác nhau, tức luôn 28 tồn tại 2 nhóm con tối đại khác nhau, ta gọi là ,A B . Có A B H∩ ≤ nên |A B p∩ vậy 1A B∩ = . Do đó ( ) 1Hφ = . Theo Định lý 1.5.16ii) ( ) H Hφ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của ( ) G Hφ nên ( ) ( ) ( ) A H H H H φ φ φ≤ . Do đó ( ) ( )A H Hφ φ= (loại) hoặc ( )A H Hφ = . Theo Định lý 1.3.6 A H P= ≡ . Vậy H là nhóm có cấp nguyên tố nên H là nhóm G − siêu giải được, mà G H siêu giải được nên theo Định lý 1.5.8 G là nhóm siêu giải được (mâu thuẫn). TH2. H là nhóm không giao hoán. Do H là một p − nhóm, ( )Hφ là nhóm con của H nên ( )Hφ là một p − nhóm. Đặt ( ) nH pHφ = , ( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,..., n H x H x H x HH φ φ φφ = . Theo Định lý 1.3.7 1 2, ,..., nH x x x= . Theo Định lý 1.5.16 iii,iv) số mũ của H là p hoặc 4. Do đó ix p= hoặc 4 1,i n∀ = . Ta chứng minh ix là nhóm con không chuẩn tắc của G 1,i n∀ = . Thật vậy nếu tồn tại jx G với { }1,2,...,j n∈ thì ( )jx H Hφ  . Theo Định lý 1.5.14 ii) ( ) H Hφ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của ( ) G Hφ nên ( ) ( ) ( ) jx H H H H φ φ φ≤ . Do đó ( ) ( )jx H Hφ φ= (loại) hoặc ( )jx H Hφ = . Theo Định lý 1.3.6 jx H= . Mà jx p= hoặc 4 nên jx là nhóm giao hoán. Vậy H giao hoán (mâu thuẫn). Do đó ix là nhóm con không chuẩn tắc của G 1,i n∀ = . Lấy Q là q −nhóm con Sylow bất kì của G ( p q≠ ). Theo giả thiết ix Q là nhóm con của G . Áp dụng Định lý 1.1.9 và 1.2.4 ta được i ix x Q . Do đó ( )G iQ N x⊂ . Từ đó ta được ( ) ( )p G iO G N x⊂ . Mà ix là nhóm con không chuẩn tắc của G nên ( )G iN x là nhóm con thực sự của G . Lấy ( ) ,pa O G x G∈ ∈ . Khi đó ' 1pa = . Ta có ( ) '1 1 1 1 1 '. .... 1p px ax x ax x ax x ax x a x− − − − −= = = . Do 29 đó ( )pO G là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G . ( )p G O G là một p − nhóm hữu hạn nên nó là nhóm lũy linh hữu hạn sinh. Do đó ( )p G O G là nhóm siêu giải được, mà G H là nhóm siêu giải được nên theo Định lý 2. 6 ( )p G O G H∩ là nhóm siêu giải được. Lại có ( )pH O G H∩  nên ( ) ( ) ( ) pH O G H H Hφ φ ∩ ≤ . Do đó ( ) ( )pH O G Hφ∩ ≤ . Mà ( )H Gφ  nên ( ) ( )p G G H H O Gφ ≤ ∩ . Vậy ( ) G Hφ siêu giải được. Theo Định lý 1.5.9 G siêu giải được (mâu thuẫn). 2.2. Định lý Cho p là một số nguyên tố nhỏ nhất chia hết G . Giả sử mọi nhóm con có cấp p của G là nhóm con π − tựa chuẩn tắc trong G và thỏa mãn một