Luận văn Phân tích ổn định vỏ cầu nhẫn vật liệu cơ tính biến thiên

i dọc trục tuần hoàn khi đã bỏ qua biến dạng uốn trước khi mất ổn định [10] và dưới áp lực thay đổi chu kỳ có tính đến các biến dạng này [11] bằng việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và phương pháp sai phân hữu hạn. Cũng sử dụng phương pháp này ông đã phân tích ảnh hưởng của độ võng ban đầu đến ổn định nhiệt của vỏ nón cụt đẳng hướng [12]. Xu và đồng sự sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa để nghiên cứu dao động tự do của vỏ nón cụt dày bằng vật liệu composite lớp [14]. Paczos và Zielnica áp dụng phương pháp Ritz để nghiên cứu sự ổn định của panel vỏ nón có lớp kép đàn hồi dẻo dưới tác động của tải nén và áp suất [9]. Đào Huy Bích và đồng sự đã sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin giải bài toán theo chuyển vị và nghiên cứu ổn định của panel nón FGM dưới tác dụng của lực nén và áp suất đều [1]. Nath và Alwar [7] đã sử dụng phương pháp khai triển chuỗi Chebyshev để nghiên cứu và phân tích đáp ứng phi tuyến tĩnh và động của vỏ cầu được ngàm. Dumir đã tìm được đáp ứng cực đại tức thời trong dao động phi tuyến của chỏm cầu trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải phân bố đều song song với trục đối xứng [8]. Phân tích phi tuyến về ổn định của vỏ cầu thoải FGM chịu áp suất ngoài bằng phương pháp giải tích gần đúng được trình bày trong công trình của Đào Huy Bích [3]. Gần đây, Đ. H. Bích cùng Đ.V.Dũng và L.K Hòa tiến hành phân tích ổn định phi tuyến tính tĩnh và động của vỏ cầu FGM có tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ [4]. Trong bài viết đó, các tác giả đã sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển và phương pháp Bubnov – Galerkin để xác định lực tới hạn tác dụng lên vỏ trong trường hợp ổn định tĩnh và phương pháp số Runge – Kutta để nghiên cứu ổn định động của vỏ. Ngoài ra, Đ.H.Bích và H.V Tùng cũng đã công bố kết quả phân tích phi tuyến vỏ cầu đối xứng trục bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực phân bố đều đồng thời chịu ảnh hưởng của nhiệt độ [2]. Luận văn nghiên cứu sự ổn định của vỏ cầu nhẫn có cơ tính biên thiên dưới tác dụng của lực song song với trục đối xứng và áp suất ngoài. Phương pháp được sử dụng trong bài là phương pháp Bubnov – Galerkin và áp dụng tiêu chuẩn tĩnh về ổn định từ đó xác định lực tới hạn của vỏ cầu. Tác giả cũng đã sử dụng phần mềm Matlab để tính toán số nhằm khảo sát lực tới hạn khi các yếu tố về tính chất vật liệu, kích thước kết cấu thay đổi và đưa ra một vài nhận xét tương ứng. Chương 1: CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ Trong phần này trình bày mối quan hệ biến dạng, chuyển vị, mối quan hệ nội lực biến dạng, phương trình cân bằng của bài toán vỏ cầu nhẫn chịu lực phân bố đều song song trục đối xứng và áp suất ngoài. 1.1 Quan hệ biến dạng, chuyển vị của vỏ cầu Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy r0, r1, bán kính vỏ cầu là R. Vỏ cầu được làm từ hỗn hợp kim loại và gốm. Gắn hệ trục tọa độ φ, θ theo hướng kinh tuyến và vĩ tuyến tương ứng và z theo hướng bán kính của vỏ cầu như hình 1. Hình 1. Chất liệu của bề mặt ngoài và bề mặt trong của vỏ cầu tương ứng là gốm và kim loại. Cấu tạo gốm của vật liệu đã cải thiện được khả năng chịu nhiệt độ cao nhờ tính dẫn nhiệt thấp. Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bị đứt gẫy bởi ứng suất nhiệt gây ra do sự biến thiên nhiệt độ cao trong thời gian rất ngắn. Hỗn hợp này gồm các phân tố thể tích của vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo độ dày của vỏ. Theo Javaheri và Eslami, modul đàn hồi E và hệ số Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa. Gọi Vm và Vc tương ứng là các phân tố thể tích của kim loại và gốm. Chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức: Vm+Vc=1, trong đó : Vcz=2z+h2hk với k là số mũ đặc trưng tỉ phần khối lượng (k≥0). Modul đàn hồi Ez=EmVm+EcVc=Em+Ec-Em2z+h2hk, νz=αmVm+αcVc=αm+αc-αm2z+h2hk. Để đơn giản ta chọn ν= const vì sự khác biệt của hệ số Poison của các vật liệu không lớn. Trong bài toán với vỏ cầu thoải để tính toán thuận tiện ta đặt: r=Rsinφ với r là bán kính hình tròn song song với mặt đáy. Khi đó: dr=Rcosφdφ, do φ nhỏ nên cosφ≈1 , dr=Rdφ. Bằng cách này các điểm ở mặt giữa có thể được biểu diễn theo 2 tọa độ r và θ. Theo lý thuyết Kirchoff-Love mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển vị và biến dạng được biểu diễn bởi: εij=εij0-zχij, trong đó: εr0=∂v∂r-wR+12∂w∂r2 , εθ0=1r∂u∂θ+v-wR+12∂wr∂θ2 , γrθ0=r∂∂rur+1r∂v∂θ+∂wr∂θ ∂w∂r , (1.1) χr=∂2w∂r2 , χθ=1r2∂2w∂θ2+1r∂w ∂r , (1.2) χrθ=1r∂2w∂r∂θ-1r∂w∂r , với: u, v, w là chuyển vị của các điểm ở mặt giữa theo hướng các tọa độ φ, 𝜃 và z tương ứng. εr0; εθ0; γrθ0 là biến dạng ở mặt giữa. χr; χθ; χrθ tương ứng là sự thay đổi độ cong và độ xoắn. 1.2 Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng của vỏ cầu: σr=Ez1-ν2εr0+νεθ0-zEz1-ν2χr+νχθ, σθ=Ez1-ν2εθ0+νεr0-zEz1-ν2χθ+νχr , (1.3) σrθ=E(z)2(1+ν)γrθ0-zE(z)(1+ν)χrθ . Tích phân các phương trình sức căng và momen theo độ dày của vỏ cầu ta được biểu thức nội lực và momen tổng hợp. Nr=-h/2h/2σrdz=E11-ν2εr0+νεθ0-E21-ν2χr+νχθ, Nθ=-h/2h/2σθdz=E11-ν2εθ0+νεr0-E21-ν2χθ+νχr, 1.4 Nrθ=-h/2h/2σrθdz=E12(1+ν)γrθ0-E2(1+ν)χrθ . Mr=-h/2h/2σrzdz=E11-ν2εr0+νεθ0-E31-ν2χr+νχθ , Mθ=-h/2h/2σθzdz=E11-ν2εθ0+νεr0-E31-ν2χθ+νχr ,Mrθ=-h/2h/2σrθzdz=E12(1+ν)γrθ0-E3(1+ν)χrθ . (1.5) trong đó: E1=-h/2h/2Ezdz=Emh+Ec-Emhk+1=E1*h , E2=-h/2h/2Ezzdz=Ec-Emkh22k+1(k+2)=E2*h2, (1.6) E3=-h/2h/2Ezz2dz=Emh312+Ec-Emh31k+3-1k+2+14k+4=E3*h3. Với: E1*=Em+Ec-Emk+1 , E2*=Ec-Emk2k+1(k+2) , (1.7) E3*=Em12+Ec-Em1k+3-1k+2+14k+4. Từ (1.4) và (1.5) ta có : Mr=E2E1Nr-E1E3-E22E11-ν2χr+νχθ , Mθ=E2E1Nθ-E1E3-E22E11-ν2χθ+νχr ,Mrθ=E2E1Nrθ-E1E3-E22E11+νχrθ . (1.8) Ngược lại từ (1.4) ta có : εr0=Nr-νNθE1+E2E1χr , εθ0=Nθ-νNrE1+E2E1χθ , (1.9) γrθ0=21+νNrθE1+2E2E1χrθ. 1.3 Phương trình cân bằng Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy r0, r1, bán kính vỏ cầu là R chịu tác dụng của áp suất ngoài q và lực P song song với trục đối xứng. Phương trình cân bằng cho vỏ cầu mỏng theo lý thuyết Love có dạng : 1r∂∂rr.Nr+1r∂∂θ(Nrθ)-Nθr=0, (1.10) 1r∂∂rr.Nrθ+1r∂∂θ(Nθ)+Nrθr=0, (1.11) 1r∂2∂r2r.Mr+2∂2Mrθ∂r∂θ+1r∂Mθ∂θ+1r∂2Mθ∂θ2-∂Mθ∂r+1RNr+Nθ+ +1r∂∂rrNr∂w∂r+Nrθ∂w∂θ+1r∂∂θNrθ∂w∂r+1rNθ∂w∂θ+q=0, (1.12) Trong đó q là áp suất ngoài tác động lên vỏ. Sử dụng (1.10) và (1.11) phương trình (1.12) được viết lại dưới dạng : 1r∂2∂r2r.Mr+2∂2Mrθ∂r∂θ+1r∂Mθ∂θ+1r∂2Mθ∂θ2-∂Mθ∂r+1RNr+Nθ+ +Nr∂2w∂r2+2Nrθr∂2w∂r∂θ+Nθr2∂2w∂θ2+Nθr∂w∂r-2Nrθr2∂w∂θ+q=0 (1.13) Сhương 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CẦU Trong chương này nghiên cứu trạng thái màng trước khi vỏ cầu mất ổn định. Từ đó xây dựng phương trình ổn định, tiến hành giải bài toán bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tĩnh và phương pháp Bubnov – Galerkin. 2.1 Trạng thái màng trước khi mất ổn định. Trạng thái lực màng trước khi mất ổn định của vỏ cầu chịu lực phân bố P song song với trục đối xứng và áp suất phân bố đều q được xác định từ hệ phương trình sau: 2πrNr0sinφ+F=0, (2.1) Nθ0+Nr0+Rq=0, (2.2) Nrθ0=0 , trong đó tải trọng tác dụng lên toàn vòm cầu có dạng: F=02πφ0φqcosφ.rdθ.Rdφ+2πr0P==πqR2sin2φ-sin2φ0+2πPRsinφ0 Thay vào (2.1) ta được: 2πRsin2φNr0+πqR2sin2φ-sin2φ0+2πPRsinφ0=0, suy ra: Nr0=-qR21-sin2φ0sin2φ-Psinφ0sin2φ=-qR(r2-r02)2r2-PRr0r2 Thay Nr0 vào (2.2) ta xác định được Nθ0: Nθ0=-qR21+sin2φ0sin2φ+Psinφ0sin2φ=-qR(r2+r02)2r2+PRr0r2 , Nrθ0=0 . 2.2 Phương trình ổn định. Các phương trình ổn định tuyến tính có thể nhận được bằng cách sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh. Ký hiệu u0;v0;w0 là chuyển vị ở trạng thái cân bằng xuất phát, ứng với trạng thái cân bằng lân cận ta có chuyển vị u=u0+δu, v=v0+δv, w=w0+δw. (u;v;w) là chuyển vị ở trạng thái cân bằng lân cận tương ứng cùng dạng tải trọng như dạng cân bằng u0;v0;w0, δu; δv; δw là gia số chuyển vị nhỏ tùy ý. 𝛿Nr; δNθ; δNrθ; δMr; δMθ; δMrθ là gia số lực tổng hợp và momen tổng hợp ứng với δu; δv; δw Các lực tổng hợp và momen Ni; Mi; Ni+𝛿Ni và Mi+𝛿Mi đều thỏa mãn các phương trình (1.10); (1.11); (1.12), lấy hiệu hai phương trình nhận được tương ứng và tuyến tính hóa phương trình mới nhận này ta có: 1r ∂∂rr.δNr+1r ∂∂θδNrθ-δNθr=0, (2.4) 1r ∂∂rr.δNrθ+1r ∂∂θδNθ+δNrθr=0, (2.5) 1r∂2∂r2r.δMr+2∂2δMrθ∂r∂θ+1r∂δMθ∂θ+1r∂2δMθ∂θ2-∂δMθ∂r+ +1RδNr+δNθ+Nr0∂2δw∂r2+2Nrθ0r∂2δw∂r∂θ+ +Nθ0r2∂2δw∂θ2+Nθ0r∂δw∂r-2Nrθ0r2∂δw∂θ=0. (2.6) Thay (1.1) vào (1.4) và (1.5) ta được các lực tổng và momen theo chuyển vị ở hai trạng thái, qua đó xác định được gia số chuyển vị, gia số lực và momen, giữ lại các đại lượng tuyến tính đối với δu; δv và δw. Tiếp tục thay các đại lượng này vào (2.4); (2.5) và (2.6) ta thu được phương trình ổn định với các ẩn δu; δv và δw. Để đơn giản và không nhầm lẫn, từ đây ta ký hiệu δu=u1; δv=v1; δw=w1 l11u1+l12v1+l13w1=0, l21u1+l22v1+l23w1=0, l31u1+l32v1+l33w1+ql34w1+pl35w1=0. (2.7) trong đó: P=ph , l11u1=E1∂2u∂r2+1r∂u∂r-1r2u+1-ν2r2∂2u∂θ2 , l12v1=E11+ν2r∂2v∂r∂θ-3-ν2r2∂v∂θ , l13w1=-E2∂3w∂r3+1r∂2w∂r2+1+νRE1E2-1r2∂w∂r-1-νr2∂2w∂r∂θ+ +1r2∂3w∂r∂θ2-1+νr3∂2w∂θ2, l21u1=E11+ν2r∂2u∂r∂θ+3-ν2r2∂u∂θ, l22v1=E1-1-ν2r2v+1-ν2r∂v∂r+1-ν2∂2v∂r2+1r2∂2v∂θ2 , l23w1=-E21r3∂3w∂θ3+1+νRrE1E2∂w∂θ+1r∂3w∂r2∂θ+2-νr2∂2w∂r∂θ+ +E21-νr∂2w∂r2+E21-νr2∂w∂r , l31u1=E2∂3u∂r3+2r∂2u∂r2--1+νRE1E2+1r2∂u∂r+1r3+1+νRrE1E2u + +E21r2∂3w∂r∂θ2+1r3∂2u∂θ2, l32v1=E21r∂3v∂r2∂θ-1r2∂2v∂r∂θ+1r3+1+νRrE1E2∂v∂θ+1r3∂3v∂θ3 , l33w1=-E3∂4w∂r4+2r∂3w∂r3+2r2∂4w∂r2∂θ2-21-νr2∂3w∂r2∂θ-2νr3∂3w∂r∂θ2- -E321+νRE2E3-1r2∂2w∂r2+21+νRrE2E3+1r3∂w∂r+21+νR2E1E3w -E321+νr4+21+νRr2E2E3∂2w∂θ2+1r4∂4w∂θ4, l34w1=-1-ν2Rr2+r02r4∂2w∂θ2+r2+r02r3∂w∂r+r2-r02r2∂2w∂r2, l35w1=-1-ν2hr02r2∂2w∂r2-r02r4∂2w∂θ2-r02r3∂w∂r. (2.8) Điều kiện biên: Giả thiết cầu nhẫn tựa đơn tại r=r0, r=r1 ta có: w=0; ∂2w∂r2=0 với r=r0,r=r1 (2.9) 2.3. Phương pháp giải. Để giải quyết bài toán ta sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin, với điều kiện biên (2.9) được thỏa mãn nếu ta chọn: u1=Ucosmπr-r0r1-r0sinnθv1=Vsinmπr-r0r1-r0cosnθw1=Wsinmπr-r0r1-r0sinnθ (2.10) Thay (2.10) vào (2.7) ta được hệ phương trình tương ứng: R1≡c11r,θ+c12r,θ+c13r,θ=0 (2.11) R2≡c21r,θ+c22r,θ+c23r,θ=0 (2.12) R3≡c31r,θ+c32r,θ+c33r,θ+qc34r,θ+Pc35r,θ=0 (2.13) trong đó: c11r,θ=-E1Um2π2r1-r02cosmπr-r0r1-r0sinnθ++1r2cosmπr-r0r1-r0sinnθ+mπrr1-r0sinmπr-r0r1-r0sinnθ +1-νn22r2cosmπr-r0r1-r0sinnθ , c12r,θ=E1V-1+νn2rmπr1-r0cosmπr-r0r1-r0+3-νn2r2sinmπr-r0r1-r0sinnθ c13r,θ=-E2W-mπr1-r03cosmπr-r0r1-r0sinnθ+ +1+νn2r3sinmπr-r0r1-r0sinnθ-mπn2r2r1-r0cosmπr-r0r1-r0sinnθ +1+νRE1E2-1r2mπr1-r0cosmπr-r0r1-r0sinnθ- -mnπ1-νr2r1-r0cosmπr-r0r1-r0cosnθ-mπr1-r021rsinmπr-r0r1-r0sinnθ, c21r,θ=E1U-1+νn2rmπr1-r0sinmπr-r0r1-r0cosnθ+ +3-νn2r2cosmπr-r0r1-r0cosnθ, c22r,θ=E1V1-ν2rmπr1-r0cosmπr-r0r1-r0cosnθ- -1-ν2r2sinmπr-r0r1-r0cosnθ-1-ν2mπ2r1-r02sinmπr-r0r1-r0cosnθ -n2r2sinmπr-r0r1-r0cosnθ, c23r,θ=-E2W-n3r3sinmπr-r0r1-r0cosnθ+1+νE1nRrE2sin. .mπr-r0r1-r0cosnθ+1-νrmπ2r1-r02sinmπr-r0r1-r0sinnθ- -nmπ2rr1-r02sinmπr-r0r1-r0cosnθ+2-νmnπ2r2r1-r0cosmπr-r0r1-r0. .cosnθ-1-νr2mπr1-r0cosmπr-r0r1-r0sinnθ c31r,θ=E2Umπ3r1-r03sinmπr-r0r1-r0sinnθ+mπn2r2r1-r0. .sinmπr-r0r1-r0sinnθ-2rmπ2r1-r02cosmπr-r0r1-r0sinnθ -1r2-1+νRE1E2mπr1-r0sinmπr-r0r1-r0sinnθ+1r3+1+νRrE1E2. .cosmπr-r0r1-r0sinnθ-n2r3cosmπr-r0r1-r0sinnθ, c32r,θ=E2Vnrmπ2r1-r02sinmπr-r0r1-r0sinnθ+ +n3r3sinmπr-r0r1-r0sinnθ+nr2mπr1-r0cosmπr-r0r1-r0sinnθ- -1r3+1+νRrE1E2nsinmπr-r0r1-r0sinnθ, c33r,θ=E3W2mπ3rr1-r03cosmπr-r0r1-r0sinnθ -mπ4r1-r04. .sinmπr-r0r1-r0sinnθ-2nr2mπ2r1-r02sinmπr-r0r1-r0sinnθ- -21-νnr2mπ2r1-r02sinmπr-r0r1-r0cosnθ-2νn2r3mπr1-r0. .cosmπr-r0r1-r0sinnθ+21+νRE2E3-1r2mπ2r1-r02.sinmπr-r0r1-r0. .sinnθ-21+νRrE2E3+1r3mπr1-r0cosmπr-r0r1-r0sinnθ-21+νR2. .E1E3sinmπr-r0r1-r0sinnθ+21+νn21r4+1Rr2E2E3. .sinmπr-r0r1-r0sinnθ, c34r,θ=-1-ν2RWr2+r02r3mπr1-r0cosmπr-r0r1-r0sinnθ- -r2+r02r4n2sinmπr-r0r1-r0sinnθ-r2-r02r3mπ2r1-r02sinmπr-r0r1-r0. .sinnθ, c35r,θ=-1-ν2hWn2r02r4sinmπr-r0r1-r0sinnθ- -r02r2mπ2r1-r02sinmπr-r0r1-r0sinnθ-r02r3mπr1-r0cosmπr-r0r1-r0sinnθ. Vì r0≤r≤r1 nên r≠0, ta nhân cả hai vế của phương trình (2.11) và (2.12) với r2, phương trình (2.13) với r3 rồi lấy tích phân trên khoảng r0≤r≤r1, 0≤θ≤2π : r0r102πR1cosmπr-r0r1-r0sinnθ.r3drdθ=0, r0r102πR2sinmπr-r0r1-r0cosnθ.r3drdθ=0, r0r102πR3sinmπr-r0r1-r0sinnθ.r4drdθ=0, trong đó R1, R2, R3 lần lượt là vế trái của các phương trình (2.11), (2.12), (2.13). Từ đó ta được hệ phương trình: a11U+a12V+a13W=0 a21U+a22V+a23W=0 a31U+a32V+a33+qa34+pa35W=0 (2.14) Với: a11=-E1mπ28r12+r02+3+(1-ν)n28r12-r02 a12=-E11+νmnπr13-r0312r1-r0+n2mπr1-r02, a13=E2+3mπ3r12-r028r1-r0+14mnπ1+ν+nr1+r0+ +E2mπ3r14-r048r1-r03-1+ν8R.E1mπr14-r04r1-r0+3r1-r0r1-r02mπ, a21=E1-1+νmnπr13-r0312r1-r0+ν-1n4mπr1-r02, a22=E1ν-1-4n216r12-r02+ν-1mπ2r14-r0416r1-r02, a23=E22n3-nϑ4r1-r0+mπ2nr13-r036r1-r02 -1+νR.E1.nr13-r036-r1-r034mπ2, a31=E2mπ2r1-r02-E11+νRE2mπr1-r0r15-r0510+ +E11+νE24Rr1-r0mπr13-r03-3E11+ν8RE2r1-r03mπ3r1-r0+ +n2+16mπr1-r0r13-r03-r1-r022mπ, a32=nE2mπ2r1-r02-E11+νRr14-r048-3r1-r02r12-r028mπ2 +E2n3-2n4r12-r02, a33=E3mπr1-r04-2E21+νRE3mπr1-r02+2E11+νR2E3r15-r0510 -E21+ν2n2+34RE3r1-r03mπ2+3E11+ν2R2E3r1-r05mπ4 -3n2ν+1-n4+12r1-r0, a34=ν2-1R14-n26-16mπr0r1-r02r13-r03+2n2-38mπ2 r1-r03 -n2+12r02r1-r0-mπr1-r02r15-r0510, a35=ν2-1hr0212n2+1r1-r0-mπ2r13-r036r1-r02. (2.15) Hệ phương trình (2.14) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33+qa34+pa35 =0 (2.16) từ đó ta có: qa34+pa35=a31a12.a23-a13a22+a32a13a21-a11a23+a33a11a22-a12a21a12a21-a11a22 Các trường hợp riêng: Vỏ chỉ chịu tác dụng của lực p: p=a31a12.a23-a13a22+a32a13a21-a11a23a35a12a21-a11a22+ +a33a11a22-a12a21a35a12a21-a11a22 (2.7) Vỏ chỉ chịu tác dụng của áp suất q: q=a31a12.a23-a13a22+a32a13a21-a11a23a34a12a21-a11a22+ +a33a11a22-a12a21a34a12a21-a11a22 (2.8) Vỏ chịu tác dụng đồng thời của lực p và áp suất q: Đặt p=αq khi đó ta có: q=a31a12.a23-a13a22+a32a13a21-a11a23a34+αa35a12a21-a11a22+ +a33a11a22-a12a21a34+αa35a12a21-a11a22 (2.9) Trong các công thức (2.17) – (2.19) các giá trị p, q phụ thuộc vào các số sóng m, n có mặt trong các hệ số aij. Lực tới hạn được xác định bởi các giá trị nhỏ nhất p, q ứng với số sóng m, n tương ứng: pcr ,qcr=min(m,n)p, q. Đặt : λ=r0r1; ξ=r1R; δ=hr1; E1=E1h; E2=E2h; E3=E3h; p=Ph (2.20) Biểu diễn lại các hệ số ta được: a11=-mπ281+λ2+3+(1-ν)n281-λ2 , a12=-1+νmnπ1-λ3121-λ+nν2mπ1-λ2 , a13=E2E1δmπ31-λ481-λ3+3mπ1-λ281-λ+14mnπ1+ν+n1+λ -1+ν8.ξmπ1-λ41-λ+31-λ1-λ2mπ, a21=-1+νmnπ1-λ3121-λ+ν-1n4mπ1-λ2, a22=ν-1-4n2161-λ2+ν-1mπ21-λ4161-λ2 , a23=E2E1δ2n3+n1-ν41-λ+mπ2n1-λ361-λ2- -1+ν.ξn1-λ36-1-λ34mπ2, a31=E2E1mπ21-λ2-E11+ϑRE2mπ1-λ1-λ510+E11+ϑE24R1-λmπ1-λ3 -3E11+ϑ8RE21-λ3mπ31-λ+n2+16mπ1-λ1-λ3-1-λ22mπ, a32=nE2E1δmπ21-λ2-1+νξ1-λ48-31-λ21-λ28mπ2+ +E2E1ξn3-2n41-λ2, a33=E3δ2E1mπ41-λ5101-λ4+mnπ21-λ331-λ2-3n21+ν1-λ2+ +E3δ2E1n41-λ2+1+νE2δξE1n21-λ32mπ2+E3δ2E1mπ21-λ361-λ2- -1-λ2-1+νE2δξE1mπ21-λ551-λ2-1-λ32+31-λ34mπ2+n21-λ33 +1+νξ21-λ55-1-λ21-λ3mπ2+31-λ52mπ4 a34=ν2-12δξ14-n26-16mπr01-λ21-λ3+2n2-38mπ2 1-λ3- -n2+12r021-λ-mπ1-λ21-λ510 a35=ν2-1hλ212n2+11-λ-mπ21-λ361-λ2 (2.21) Chương 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ Mặc dù đã xác định được dạng hiển của lực tới hạn nhưng việc tìm giá trị nhỏ nhất gặp nhiều khó khăn về mặt toán học vì vậy để khắc phục chúng ta tiến khảo sát tính toán số bằng phần mềm Matlab trong từng trường hợp riêng: Khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p, chỉ chịu tác dụng của áp suất q và chịu tác dụng đồng thời của hai lực p, q. 3.1. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p Để nghiên cứu tính ổn định của vỏ cầu ta xét vỏ cầu bằng vật liệu là hỗn hợp của nhôm (kim loại) có modun đàn hồi Em=70 GPa và oxit nhôm (gốm) có modun đàn hồi Ec=380 GPa, để đơn giản ta lấy hệ số Poiison ν=0.3;cho kích thước vỏ h=0,005 (m); r0=1 m;r1=2m; R/h = 1000. Sử dụng phần mềm Matlab ta xây dựng chương trình tìm giá trị nhỏ nhất đối với lực p (xem phụ lục), từ đó tìm được lực p đạt giá trị nhỏ nhất tại (m, n) = (4, 1). Lực p ứng với n = 1 được biểu thị trong hình 2 và bảng 1. Hình 2. Đồ thị biểu diễn lực p theo m khi n=1 với R/h = 1000; r0/R=0.2; r1/R=0.4 Bảng 1. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn pcr. k p (m,n), GPa 0 1,0852 (2,1) 0,6580 (3,1) 0,6233 (4,1) 0,7378 (5,1) 0,9392 (6,1) 1 0,6358 (2,1) 0,3710 (3,1) 0,3350 (4,1) 0,3834 (5,1) 0,4790 (6,1) 2 0,4908 (2,1) 0,2871 (3,1) 0,2601 (4,1) 0,2983 (5,1) 0,3732 (6,1) 3 0,4200 (2,1) 0,2492 (3,1) 0,2298 (4,1) 0,2671 (5,1) 0,3366 (6,1) Nhận xét: Từ hình 2 và các giá trị trong bảng 1 cho thấy với n = 1 giá trị lực nhỏ nhất tương ứng với m = 4. Khi số mũ đặc trưng k tăng tức là tỉ phần thể tích của gốm giảm nên lực tới hạn p cũng giảm. Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số R/h đến lực tới hạn p thu được kết quả thể hiện trong bảng 2. Bảng 2. Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn pcr với r0/R=0.2; r1/R=0.4 p (m,n), GPa R/h k 800 1000 1200 1400 1500 0 0,7660 (4,1) 0,6233 (4,1) 0,5458 (4,1) 0,4991 (4,1) 0,4824 (4,1) 1 0,4197 (4,1) 0,3350 (4,1) 0,2890 (4,1) 0,2613 (4,1) 0,2514 (4,1) 2 0,3253 (4,1) 0,2601 (4,1) 0,2246 (4,1) 0,2032 (4,1) 0,1956 (4,1) 3 0,2854 (4,1) 0,2298 (4,1) 0,1997 (4,1) 0,1815 (4,1) 0,1750 (4,1) Nhận xét: Kết quả khảo sát trong bảng 2 cho thấy khi tỷ số R/h tăng thì lực tới hạn p giảm. Trên thực tế khi tỉ số này tăng tức là bán kính vỏ cầu tăng hoặc độ dày giảm thì vỏ cầu dễ bị biến dạng hơn. Điều này cũng phù hợp với tính chất của kết cấu. Tiếp tục khảo sát ảnh hưởng của các tỉ số r0/R; r1/R tới lực tới hạn p ta nhận được kết quả thể hiện trong bảng 3: Bảng 3. Ảnh hưởng của tỷ số r0/R; r1/R đến lực tới hạn pcr theo m, n với R/h=1000. p (m,n), GPa r1/R r0/R 0,3 0,4 0,5 0,1 0,7083 (4,1) 1,2307 (6,1) 1,9021 (2,22) 0,15 0,4126 (4,1) 0,5949 (4,1) 0,8763 (6,1) 0,2 0,2105 (2,1) 0,3350 (4,1) 0,4993 (6,1) 0,3 0,1772 (2,1) 0,2467 (4,1) Nhận xét: Qua khảo sát ta thấy cùng tỉ số r1/R mà tỉ số r0/R tăng có nghĩa là bề rộng của cầu nhẫn hẹp lại dẫn đến lực tới hạn p giảm. 3.2. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q Khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q, với R/h = 1000; r0/R=0.2; r1/R=0.4. Trong đó R = 5m; h = 0.005m, sử dụng chương trình Matlab tìm giá trị nhỏ nhất ta tìm được lực q đạt nhỏ nhất tại m = 2, n = 18 (với k = 1 hoặc k = 2) và n = 17 (với k = 0 hoặc k = 3). Kết quả khảo sát được thể hiện cụ thể trên hình 3 và bảng 4. Hình 3. Đồ thị biểu diễn lực tới hạn q theo n khi m=2 với R/h = 1000; r0/R=0.2; r1/R=0.4. Bảng 4. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn qcr theo n với m = 2; R/h = 1000; r0/R=0.2; r1/R=0.4. k q (m,n), 105 0 4,0403 (2,16) 4,0221 (2,17) 4,0394 (2,18) 4,0882 (2,19) 4,1652 (2,20) 1 2,2063 (2,16) 2,1812 (2,17) 2,1760 (2,18) 2,1882 (2,19) 2,2161 (2,20) 2 1,7127 (2,16) 1,6945 (2,17) 1,6916 (2,18) 1,7023 (2,19) 1,7250 (2,20) 3 1,5066 (2,16) 1,4951 (2,17) 1,4968 (2,18) 1,5102 (2,19) 1,5342 (2,20) Nhận xét: Do tính chất của vật liệu có thể thấy rằng khi chỉ số k giảm thì giá trị lực tới hạn q tăng lên. Tương tự như khi khảo sát lực p, ta cũng kiểm tra ảnh hưởng của các đại lượng R/h; r0/R; r1/R và thu được các kết quả trong bảng 5 và bảng 6. Bảng 5. Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn qcr theo m, n; r0/R=0.2; r1/R=0.4. q (m,n), 105 R/h k 800 1000 1200 1400 1500 0 6,1301 (2,19) 4,0251 (2,17) 2,8718 (2,15) 2,1673 (2,14) 1,9160 (2,13) 1 3,3278 (2,20) 2,1776 (2,18) 1,5471 (2,16) 1,1647 (2,15) 1,0263 (2,14) 2 2,5871 (2,20) 1,6929 (2,18) 1,2023 (2,16) 0,9053 (2,15) 0,7974 (2,14) 3 2,2848 (2,20) 1,4961 (2,17) 1,0641 (2,16) 0,8.010 (2,14) 0,7066 (2,14) Từ các kết quả đạt được ở trên ta thấy giá trị lực tới hạn giảm khi tăng tỉ số R/h và tăng chỉ số k. Trong trường hợp k = 0, vỏ cầu là vật liệu đồng chất bằng oxit nhôm (gốm) có modun đàn hồi cao. Đây là nguyên nhân làm cho giá trị lực tới hạn có giá trị cao hơn. Bảng 6. Ảnh hưởng của tỷ số r0/R; r1/R đến lực tới hạn qcr với R/h=1000; k=1 q (m,n), 105 r1/R r0/R 0,3 0,4 0,5 0,1 2,4942 (2,12) 2,6911 (4,13) 2,6874 (8,3) 0,15 2,3904 (2,13) 2,3831 (2,17) 2,6255 (2,21) 0,2 3,2905 (2,15) 2,1760 (2,18) 2,3023 (2,22) 0,3 3,2942 (2,23) 2,0201 (2,24) Từ bảng 6 ta thấy khi thay đổi các tỉ số r0/R và r1/R lực tới hạn qcr không thay đổi theo quy luật xác định. 3.3. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của lực p và q Bằng cách đặt P=ph và p=αq khi đó, tiếp tục khảo sát ổn định của vỏ cầu theo q ta thu được các kết quả trong bảng 7 khi α và k thay đổi. Bảng 7. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn pcr;qcr theo m, n khi α thay đổi với R/h=1000; r0/R=0.2; r1/R=0.4. p,q (m,n), 105, 𝜆=1/2 α k 0 1 2 ∞ 0 (0;4,0221) (2,17) (4,0236;4,0236) (2,17) (8,0502;4,0251) (2,18) (0,6233;0) (4,1) 1 (0;2,1760) (2,18) (2,1768;2,1768) (2,18) (4,3552;2,1776) (2,18) (0,3350;0) (4,1) 2 (0;1,6916) (2,18) (1,6923;1,6923) (2,18) (3,3858;1,6929) (2,18) (0,2601;0) (4,1) 3 (0;1,4951) (2,17) (1,4956;1,4956) (2,17) (2,9922;1,4961) (2,17) (0,2298;0) (4,1) Bảng 8 cho kết quả của lực tới hạn qcr khi vỏ chịu tác dụng đồng thời của tỉ số R/h với α=1,5 khi thay đổi. Bảng 8. Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn qcr với r0/R=0.2; r1/R=0.4 q (m,n), 105, α=1,5 R/h k 800 1000 1200 1400 1500 0 6,1286 (2,19) 4,0243 (2,17) 2,8715 (2,15) 2,1671 (2,14) 1,9158 (2,13) 1 3,3270 (2,20) 2,1772 (2,18) 1,5469 (2,16) 1,1646 (2,15) 1,0262 (2,14) 2 2,5864 (2,20) 1,6926 (2,18) 1,2021 (2,16) 0,9052 (2,15) 0,7973 (2,14) 3 2,2842 (2,20) 1,4959 (2,17) 1,0639 (2,16) 0,8009 (2,14) 0,7065 (2,14) Rõ ràng trong trường hợp này quy luật thay đổi của lực tới hạn cũng tương tự như ở các trường hợp tác dụng đơn lực, có nghĩa là các lực này giảm khi chỉ số k tăng và tỉ số R/h tăng. Bảng 9. Ảnh hưởng của tỷ số r0/R; r1/R đến lực tới hạn qcr với R/h=1000; k=1 q (m,n), 105, α=1,5 r1/R r0/R 0,3 0,4 0,5 0,1 2,4950 (2,12) 2,6912 (4,13) 2,6868 (8,3) 0,15 2,3912 (2,13) 2,3842 (2,17) 2,6266 (2,21) 0,2 3,2902 (2,15) 2,1772 (2,18) 2,3037 (2,22) 0,3 3,2945 (2,23) 2,0215 (2,24) Bảng 9 biểu diễn ảnh hưởng của các tỉ số r0/R; r1/R đến lực tới hạn q với α=1,5. So sánh với trường hợp vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực q, trong trường hợp này lực tới hạn có giá trị nhỏ hơn. Điều này hoàn toàn phù hợp vì khi vỏ chịu tác dụng của cả lực p và áp suất q thì vỏ dễ bị biến dạng hơn. NHẬN XÉT CHUNG: Bài toán ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu có cơ tính biến thiên chịu tác dụng của lực phân bố song song với trục đối xứng và áp suất ngoài dần đến bài toán tìm nghiệm khác không của hệ phương trình (2.14). Phương pháp chung để giải bài toán là ta đi chọn nghiệm u, v, w thỏa mãn các điều kiện biên, sau đó thay vào phương trình ổn định của vỏ cầu và từ điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường suy ra phương trình xác định lực tới hạn. Giá trị nhỏ nhất của nó chính là lực tới hạn cần tìm.Trong bài toán này đã sử dụng tiêu chuẩn tĩnh về ổn định ( tiêu chuẩn tồn tại các dạng cân bằng lân cận ) để nghiên cứu và phần mềm Matlab để tính toán số. KẾT LUẬN: Trong bài luận văn này đã đạt được những kết quả như sau: - Sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh và trình bày chi tiết hệ phương trình ổn định tuyến tính của vỏ cầu nhẫn bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực phân bố song song với trục đối xứng và áp suất ngoài. Sử dụng phương pháp Bubnov – Garlerkin dẫn đến hệ thức hiển xác định lực tới hạn của vỏ cầu nhẫn. - Tính toán số lực tới hạn trong trường hợp vỏ cầu chỉ chịu tác dụng lực p, chỉ chịu tác dụng của áp suất q và trong trường hợp có đồng thời cả hai lực tác dụng. Tương ứng với mỗi trường hợp riêng khảo sát ảnh hưởng khi các tỉ số thay đổi. - Từ các kết quả nhận được đưa ra các nhận xét phù hợp về ảnh hưởng của các yếu tố như chỉ số k vật liệu, các tỉ số về kích thước hình học của vỏ, tìm giá trị của lực tới hạn trong trường hợp tác dụng đơn lực và tác dụng đồng thời của hai lực. - Đã trình bày một báo cáo khoa học tại Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX, Hà Nội 12/2012. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bich D.H, Tung H.V, Phuong N.T. Buckling of functionally graded conical panels under mechanical loads. Composite Structure 94 (2012); 1379 - 1384. 2. Bich D.H, Tung H.V. Nonlinear axisymmetric response of functionally graded shallow spherical shells under uniform external pressure including temperature effects. Int J Nonlinear Mech (2011); 46: 1195 – 1204. 3. Bich D.H, Non – linear buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 31, No. 1 (2009), pp. 17 – 31. 4. Bich D.H, Dung D.V, Hoa L.K. Nonlinear static and dynamic buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells including temperature effects. Composite Structures 94 (2012) 2952 – 2960. 5. E. Feldman, J. Aboudi, Buckling analysis of FGM plates subjected to uniaxial loading, Composite Structures 38 (1997) 29 – 36. 6. J. N. Reddy et al., Axisymmetric bending of FGM circular and annular plates, European J. of Mech. 18 (1999) 185 – 199. 7. N. Nath, R.S. Alwar, Non-linear static and dynamic response of spherical shells, Int. J. Non-linear Mech. 13(1978) 157-170. 8. P.C. Dumir, Non-linear axisymmetric response of orthotropic thin spherical caps on elastic foundations, Int. J. Mech. Sci. 27(1985) 751-760. 9. Paczos P. Zielnica J. Stability of ortrotropic elastic – plastic open conical shells. Thin – Wall Struct (