Luận văn Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông
Mở đầu 3
1 Kiến thức cơ bản về phương pháp quy nạp toán học 6
1.1 Nguồn gốc của phương pháp quy nạp toán học . . . . . . 6
1.2 Quy nạp và quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . 12
1.3.1 Nguyên lí quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Một số hình thức của phương pháp quy nạp toán học . . 22
1.4.1 Hình thức quy nạp chuẩn tắc . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Hình thức quy nạp nhảy bước . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Hình thức quy nạp kép . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học trong giải toán 35
2.1 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học,
đại số, giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Một số bài toán chia hết và chia có dư. . . . . . . 35
2.1.2 Một số bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.3 Một số bài toán về tính tổng và chứng minh đẳng
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.4 Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức . . . . 61
2.2 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán hình học 70
2.2.1 Tính toán bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.2 Chứng minh bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . 76
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1) c£ hai
·u câ têng S2 = j2 1j+ j1 2j = 2:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû khi n = k vîi k 2 N, k 2 ta câ Sk
2 (k 1). Khi â, vîi n = k + 1 ta câ
k+1P
i=1
jai+1 aij =
kP
i=2
jai+1 aij+ ja2 a1j+ ja1 ak+1j
=
kP
i=2
jai+1 aij+ ak+1 + a2 2
= ja3 a2j+ ja4 a3j+ :::+ jak+1 akj+ ja2 ak+1j
+ak+1 + a2 ja2 ak+1j 2.
Ta th§y (a2 1; a3 1; :::; ak+1 1) l mët ho¡n và cõa (1; 2; :::; k).
Do â theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ
ja3 a2j+ ja4 a3j+ :::+ jak+1 akj+ ja2 ak+1j
+ak+1 + a2 ja2 ak+1j 2
= j(a3 1) (a2 1)j+ :::+ j(a2 1) (ak+1 1)j
+(ak+1 + a2 ja2 ak+1j 2)
2 (k 1) + 2min fak+1; a2g 2
2 (k 1) + 4 2 = 2k:
Theo nguy¶n lþ quy n¤p ta câ Sn 2 (n 1) vîi måi sè tü nhi¶n
n 2.
Ho¡n và (1; 2; :::; n) câ Sn = 1 + 1 + :::+ 1| {z }
n 1 sè
+ j1 nj = 2 (n 1).
p döng b i to¡n tr¶n vîi n = 2007, ta câ gi¡ trà nhä nh§t cõa S2007
l 4012.
B i to¡n 9. ([2]) Cho d¢y sè u1; u2; : : : ; un; : : : l c¡c sè thüc thäa m¢n(
u1 = 0
u2 = 1
uk = (k 1) (uk 1 + uk 2) ;8k = 3; 4; :::; n:::
Chùng minh r¬ng, vîi måi sè nguy¶n d÷ìng b§t ký, th¼
C0nun + C
1
nun 1 + C
2
nun 2 + :::+ C
n 1
n u1 = n! 1: (2.2)
Líi gi£i. Ta chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo n:
42
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1 ta câ C01u1 = 0 = 1! 1 n¶n b i to¡n
óng vîi n = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû b i to¡n óng tîi n, ta chùng minh b i to¡n
óng vîi n+ 1. Gåi v¸ tr¡i cõa (2.2) l Sn. Tø cæng thùc
Ck+1n+1 = C
k
n + C
k+1
n , ta câ
Sn+1 = C
0
n+1un+1 +
C1n + C
0
n
un + :::+
Cnn + C
n 1
n
u1
= C0n+1un+1 +
C0nun + C
1
nun 1 + :::+ C
n 1
n u1
+C1nun + C
2
nun 1 + :::+ C
n
nu1
= Sn+nC
0
nun+
n+ C1n(n 1)
un 1+
C1n(n 1) + C2n(n 2)
un 2
+:::+
Cn 3n :3 + C
n 2
n :2
u2 + C
n 1
n u2 + C
n
nu1
= Sn + n
C0nun + C
1
nun 1 + :::+ C
n 2
n u2 + C
n 1
n u1
+ Cn 1n u2:
Do â,
Sn+1 = Sn + nSn + n = Sn + n (Sn + 1) = n! 1 + n:n! =
(n+ 1)! 1:
Vªy b i to¡n óng vîi n+ 1:
Theo nguy¶n lþ quy n¤p ta câ i·u ph£i chùng minh.
B i to¡n 10. ([2]) D¢y sè u0; u1; u2; : : : ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:
C¡c sè u0; u1 l nhúng sè tü nhi¶n nhä hìn 1000, cán vîi n 2, th¼ un =
jun 1 un 2j. Chùng minh r¬ng, ½t nh§t mët trong c¡c sè u1; u2; : : : ; u1500
ph£i b¬ng 0:
Líi gi£i. Ta chùng minh b¬ng quy n¤p theo n, "n¸u trong d¢y ¢ cho
u0; u1 l c¡c sè tü nhi¶n ·u nhä hìn 2n (n l sè nguy¶n d÷ìng), th¼ mët
trong c¡c sè u1; u2; : : : ; u3n ph£i b¬ng 0"
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1, theo · b i th¼ u0; u1 ·u nhä hìn 2
n¶n u0 = u1 = 1 (v¼ u0; u1 l c¡c sè tü nhi¶n). Khi â, u2 = 0.
Vªy kh¯ng ành óng vîi n = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû vîi måi sè nguy¶n d÷ìng k nhä hìn n,
kh¯ng ành óng, ngh¾a l : Vîi u0; u1 nhä hìn 2k th¼ trong c¡c
sè u1; u2; : : : ; u3k câ ½t nh§t mët sè b¬ng 0:
43
Ta c¦n chùng minh kh¯ng ành óng vîi nguy¶n d÷ìng n, ngh¾a l
ta ph£i chùng minh r¬ng: N¸u trong d¢y sè ¢ cho u0; u1 ·u nhä
hìn 2n, th¼ mët trong c¡c sè u1; u2; : : : ; u3n ph£i b¬ng 0:
Ta câ u2 = ju1 u0j, n¶n u2 0. N¸u u2 = 0, th¼ kh¯ng ành óng.
Ta x²t tr÷íng hñp u2 1.
V¼ u2 1, m u1 2n 1 (do u1 < 2n) n¶n
u3 = ju2 u1j j2n 1 1j = 2n 2
u4 = ju3 u2j j2n 2 1j = 2n 3
a) N¸u u3 < 2n 2 = 2(n 1) v u4 < 2n 2 = 2(n 1) th¼ theo
gi£ thi¸t quy n¤p, kh¯ng ành óng.
b) N¸u u3 = 2n 2, th¼ câ thº x£y ra hai tr÷íng hñp:
TH1. u2 = 1; u1 = 2n 1: Khi â u0 = 2n 2, u3 = 2n 2;
u4 = 2n 3; u5 = 1; u6 = 2n 4; u7 = 2n 5; u8 = 1; : : : ;
u3k = 2n 2k; : : : ; u3n = 2n 2n = 0:
Nh÷ vªy, kh¯ng ành óng trong tr÷íng hñp n y.
TH2. u1 = 1; u2 = 2n 1. Khi â u0 = 2n. Ta th§y tr÷íng hñp
n y khæng x£y ra v¼ u0 < 2n theo gi£ thi¸t quy n¤p.
Vªy, kh¯ng ành óng vîi n.
Theo nguy¶n lþ quy n¤p kh¯ng ành óng vîi måi gi¡ trà cõa n nguy¶n
d֓ng.
Vªn döng k¸t luªn n y vîi n = 500, ta câ i·u ph£i chùng minh.
B i to¡n 11. ([2]) D¢y sè u0; u1; : : : ; un; : : : ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:
u0; u1; u2 = ju1 u0j ; u3 = ju2 u1j ; :::; trong â u0; u1 l c¡c sè tü
nhi¶n. Bi¸t r¬ng tçn t¤i sè tü nhi¶n N , sao cho uN = 0 v méi sè h¤ng
cõa d¢y sè ·u khæng lîn hìn 1978. Häi sè c¡c sè lîn nh§t câ thº cõa
d¢y sè l bao nhi¶u?
Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta th§y r¬ng, vîi k 2 th¼ uk < max [uk 1; uk 2],
n¶n sè lîn nh§t trong d¢y sè ¢ cho ch¿ câ thº l u0 ho°c u1. Hìn núa
trong d¢y sè câ sè c¡c sè h¤ng lîn nh§t th¼ u1 l sè lîn nh§t v¼ khi â
câ thº chån u0 = u1 u2 v ta câ d¢y sè mîi
u0 = u1 u2; u1; u2 = ju1 u0j ; : : : m u1 > u0 thäa m¢n i·u ki»n cõa
44
b i to¡n.
N¸u u1 = 1 th¼ d¢y sè câ khæng qu¡ 2 sè.
N¸u u1 = 2 th¼ c¡c sè chùa trong d¢y khæng qu¡ 3 sè.
N¸u u1 = 3 th¼ c¡c sè chùa trong d¢y khæng qu¡ 5 sè.
Nh÷ vªy, n¸u d¢y sè câ chùa c¡c sè lîn nh§t, th¼ u1 = n; u2 = 1.
Khi â d¢y sè câ d¤ng sau
n; 1; n 1; n 2; 1; : : : (*)
Ta k½ hi»u sè c¡c sè trong d¢y (*) l kn, th¼ câ cæng thùc t½nh sè ph¦n
tû cõa d¢y (*) sau ¥y:
kn = 3 + kn 2: (**)
B¬ng ph²p quy n¤p ta câ
kn =
3n+ 1
2
: (***)
Nh÷ vªy, ta cán ph£i chùng minh: N¸u d¢y sè thäa m¢n i·u ki»n cõa
b i to¡n, u1 = n (sè lîn nh§t), th¼ sè c¡c sè trong d¢y n y s³ khæng v÷ñt
qu¡ kn. Kh¯ng ành n y s³ ÷ñc chùng minh b¬ng quy n¤p theo n:
(1)Cì sð quy n¤p.
Vîi n = 1 khi â d¢y câ hai sè l 1; 1 v k1 =
3:1 + 1
2
= 2.
Vîi n = 2 khi â d¢y câ ba sè l 2; 1; 1 v k2 =
3:2 + 1
2
= 3.
Vîi n = 3 khi â d¢y câ ba sè l 3; 12; 1; 1 v k3 =
3:3 + 1
2
= 5.
Vªy kh¯ng ành óng vîi n = 1; 2; 3:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû kh¯ng ành óng vîi måi sè tü nhi¶n nhä
hìn n, ta chùng minh kh¯ng ành óng vîi n. Thªy vªy, gi£ sû câ
d¢y
n;m; : : :
trong â m n, ta câ c¡c tr÷íng hñp:
45
1. N¸u m = n th¼ d¢y ch¿ gçm 2 sè h¤ng kh¡c nhau.
2. N¸u m =
n
2
(v¼ m l sè nguy¶n, n¶n n ph£i ch®n), th¼ d¢y ch¿
gçm 3 sè h¤ng kh¡c nhau.
Do n l mët sè ch®n d÷ìng, n¶n kn k2 =
2:3+1
2
= 3. Kh¯ng
ành l óng trong tr÷íng hñp n y.
3. N¸u n > m >
n
2
, th¼ khi bä bît i sè n ta câ d¢y sèm;n m; : : : .
D¢y n y câ sè h¤ng lîn nh§t l m n¶n sè c¡c sè trong d¢y,
theo gi£ thi¸t quy n¤p s³ khæng v÷ñt qu¡ km =
3m+ 1
2
, m
m n 1, n¶n
1 +
3m+ 1
2
1 +
3(n 1) + 1
2
=
3n
2
3n+ 1
2
= kn:
4. N¸u m <
n
2
th¼ d¢y sè câ d¤ng n;m; n m; : : : .
N¸u n 2m m (hay m n
3
), th¼ khi x²t d¢y sè bt ¦u
tø n 2m ta câ sè c¡c sè trong â s³ khæng v÷ñt qu¡ kn 2m
(theo gi£ thi¸t quy n¤p)
kn 2m =
3(n 2m) + 1
2
=
3n+ 1
2
3m
3n+ 1
2
= kn:
Do â sè c¡c sè cõa d¢y ban ¦u khæng v÷ñt qu¡ kn
N¸u n 2m < m th¼ sè h¤ng thù s¡u l m (n 2m) < m,
n¶n bt ¦u tø sè h¤ng thù n«m, sè c¡c sè câ trong d¢y sè
khæng v÷ñt qu¡ km =
3m+ 1
2
2643:
n
2
+ 1
2
375 = 3n+ 2
4
(do m <
n
2
), n¶n sè c¡c sè trong d¢y khæng v÷ñt qu¡
km + 4 <
3n+ 2
4
+ 4
3n+ 1
2
= kn:
Vªy trong måi tr÷íng hñp sè c¡c sè cõa d¢y ·u khæng v÷ñt qu¡ kn:
X²t b i to¡n n y vîi n = 1978, th¼ d¢y chùa khæng qu¡
1 + k1977 = 1 +
3:1977 + 1
2
= 2967
46
Vªy sè c¡c sè lîn nh§t câ thº chùa trong d¢y l 2967.
B i to¡n 12. Cho d¢y sè un x¡c ành nh÷ sau:
u1 = 1;u2 = 3
un+2 = 2un+1 un + 1;n = 1; 2; 3; :::
Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n, sè An = 4unun+2 + 1
l sè ch½nh ph÷ìng.
Líi gi£i.
Ta s³ chùng minh un =
n(n+ 1)
2
vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n b¬ng
ph÷ìng ph¡p quy n¤p.
(1)Cì sð quy n¤p.
Vîi n = 1, u1 = 1 =
1(1 + 1)
2
kh¯ng ành tr¶n óng.
Vîi n = 2, ta câ u2 = 3 =
2(2 + 1)
2
n¶n kh¯ng ành tr¶n óng.
(2)B÷îc quy n¤p.
Gi£ sû kh¯ng ành óng vîi n = k 1, n = k (k 2 Z; k > 1). Ta
chùng minh b i to¡n công óng khi n = k + 1.
Thªt vªy, theo cæng thùc x¡c ành uk+1, ta câ
uk+1 = 2uk uk 1 + 1
= 2
k(k + 1)
2
(k 1)k
2
+ 1
=
2k2 + 2k k2 + k + 2
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
Do â, kh¯ng ành tr¶n óng vîi n = k + 1:
Theo nguy¶n lþ quy n¤p th¼ kh¯ng ành tr¶n óng vîi måi sè nguy¶n
47
d÷ìng n. Nh÷ vªy,
An = 4:
n(n+ 1)
2
:
(n+ 2)(n+ 3)
2
+ 1
= n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) + 1
= (n2 + 3n+ 1)2:
Vªy An l sè ch½nh ph÷ìng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n.
B i to¡n 13. Cho d¢y sè un x¡c ành nh÷ sau:8<:
u1 = u2 = 1
un =
u2n 1
un 2
+ 2; n = 3; 4; 5:::
Chùng minh r¬ng måi sè h¤ng cõa d¢y ·u l sè nguy¶n.
Líi gi£i.
Ta s³ chùng minh un = 4un 1 un 2;8n = 3; 4; ::: b¬ng ph÷ìng ph¡p
quy n¤p theo n.
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 3, ta câ u3 =
u22 + 2
u1
=
12 + 2
1
= 3:
M°t kh¡c 4u2 u1 = 4:1 1 = 3. Vªy u3 = 4u2 u1 hay kh¯ng ành
óng khi n = 3.
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû kh¯ng ành óng vîi n = k(k 3), tùc l
uk = 4uk 1 uk 2 Ta chùng minh kh¯ng ành óng vîi n = k + 1,
tùc l uk+1 = 4uk uk 1:
48
Thªt vªy,
uk+1 = 4uk uk 1
,u
2
k + 2
uk 1
= 4uk uk 1
,u2k + 2 = 4ukuk 1 u2k 1
,(4uk 1 uk 2)2 + 2 = 4uk 1(4uk 1 uk 2) u2k 1
,u2k 2 4uk 1uk 2 + 2 = u2k 1
,u2k 1 + 2 = uk 2(4uk 1 uk 2)
,u
2
k 1 + 2
uk 2
= 4uk 1 uk 2
,uk = 4uk 1 uk 2:
¯ng thùc cuèi n y óng theo gi£ thi¸t quy n¤p. Do â ta câ
uk+1 = 4uk uk 1:
Kh¯ng ành tr¶n ÷ñc chùng minh.
M°t kh¡c câ u1 = u2 = 1 ·u l sè nguy¶n n¶n sû döng ph÷ìng
ph¡p quy n¤p mët l¦n núa k¸t hñp vîi kh¯ng ành tr¶n ta i ¸n
k¸t luªn måi sè h¤ng cõa d¢y ·u l sè nguy¶n.
B i to¡n 14. ([7]) Cho d¢y sè (xn) thäa m¢n i·u ki»n
x0 = 4; x1 = 34
xn+2:xn = x
2
n+1 + 18:10
n+1;8n 2 Z+ (1)
°t Sn =
26P
k=0
xn+k;8n 2 Z+. Chùng minh r¬ng vîi måi sè tü nhi¶n l´ n,
ta luæn câ Sn
...66:
Líi gi£i. Ta s³ chùng minh
xn =
10n+1 + 2
3
; vîi n l sè nguy¶n khæng ¥m (2)
b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo n:
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 0 th¼ x0 = 4, n = 1 th¼ x1 = 34 n¶n (2)
óng.
49
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû (2) óng vîi vîi n v n + 1, ta s³ chùng
minh (2) óng vîi n+ 2: Ta câ,
xn+2:xn = x
2
n+1 + 18:10
n+1 =
10n+2 + 2
3
2
+ 18:10n+1
,xn+2:10
n+1 + 2
3
=
102n+4 + 4:10n+2 + 4 + 162:10n+1
9
,xn+2:10
n+1 + 2
3
=
102n+4 + 202:10n+1 + 4
9
,xn+2:10
n+1 + 2
3
=
10n+1 + 2
3
:
10n+3 + 2
3
,xn+2 = 10
n+3 + 2
3
Nh÷ vªy (2) óng vîi n+ 2:
Theo nguy¶n lþ quy n¤p, (2) óng vîi måi n nguy¶n khæng ¥m. Khi â
Sn =
10n+1(1 + 10 + 102 + :::+ 1026) + 2:27
3
=
T
3
:
Ta luæn câ
10k 1(mod9); 10k ( 1)k(mod11);8k 2 N:
Do â
T 1:27 + 2:27 0(mod9),
T 1:1 + 2:27 = 55 0(mod11) (v¼ n l´).
Suy ra T
...9; T
...11, m T
...2 v 2; 9; 11 l ba sè nguy¶n tè còng nhau tøng
æi mët, n¶n T
...2:9:11. Do Sn =
T
3
...2:3:11; n¶n Sn
...66. Ta câ i·u ph£i
chùng minh.
2.1.3 Mët sè b i to¡n v· t½nh têng v chùng minh ¯ng thùc
Vªn döng ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n håc v o t½nh têng v chùng minh
¯ng thùc ÷ñc sû döng kh¡ phê bi¸n trong c¡c b i to¡n phê thæng.
B i to¡n 15. ([4]) T½nh A(n) =
1
1:2:3
+
1
2:3:4
+
1
3:4:5
+ + 1
n(n+ 1)(n+ 2)
vîi n 2 Z+:
50
Líi gi£i. Ta câ
A(1) =
1
1:2:3
=
1(1 + 3)
4(1 + 1)(1 + 2)
A(2) =
1
1:2:3
+
1
2:3:4
=
2(2 + 3)
4(2 + 1)(2 + 2)
A(3) =
1
1:2:3
+
1
2:3:4
+
1
3:4:5
=
3(3 + 3)
4(3 + 1)(3 + 2)
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Ta dü o¡n
A(n) =
n(n+ 3)
4(n+ 1)(n+ 2)
; 8n 2 Z+: (2.3)
Ta chùng minh (2.3) b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo n:
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1 th¼ A(1) =
1
1:2:3
=
1(1 + 3)
4(1 + 1)(1 + 2)
,
n¶n (2.3) óng vîi n = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû (2.3) óng vîi n = k(k 2 Z+), ngh¾a l
A(k) =
kX
i=1
1
i(i+ 1)(i+ 2)
=
k(k + 3)
4(k + 1)(k + 2)
Ta chùng minh (2.3) óng vîi n = k + 1: Thªt vªy,
A(k + 1) =
k+1P
i=1
1
i(i+ 1)(i+ 2)
=
kP
i=1
1
i(i+ 1)(i+ 2)
+
1
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
k(k + 3)
4(k + 1)(k + 2)
+
1
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
k(k + 3)2 + 4
4(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
k3 + 6k2 + 9k + 4
4(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
(k + 1)2(k + 4)
4(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
(k + 1)(k + 4)
4(k + 2)(k + 3)
:
Nh÷ vªy, (2.3) óng vîi n = k + 1:
51
Theo nguy¶n lþ quy n¤p th¼ (2.3) l óng.
Vªy A(n) =
n(n+ 3)
4(n+ 1)(n+ 2)
;8n 2 Z+:
B i to¡n 16. ( · thi væ àch CHLB ùc 1982)
Gåi S(n) l têng t§t c£ c¡c ÷îc sè l´ lîn nh§t cõa c¡c sè tü nhi¶n tø 1
¸n 2n. Chùng minh r¬ng 3S(n) = 4n + 2.
Líi gi£i. C¡c sè tü nhi¶n tø 1 ¸n 2n bao gçm c¡c sè l´ tø 1 ¸n 2n, c¡c
sè cán l¤i nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch g§p æi c¡c sè tü nhi¶n tø 1 ¸n 2n 1.
Do â
S(n) = S(n 1) + 1 + 3 + 5 + + (2n 1);
¡p döng cæng thùc (1.9) trong v½ dö 9 ta câ,
S(n) = S(n 1) + 4n 1: (2.4)
Ta chùng minh b i to¡n b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo n.
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1, 3S(1) = 3(1 + 1) = 41 + 2, do â b i
to¡n óng vîi n = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû b i to¡n óng vîi n = k; k 2 Z+, ngh¾a l
3S(k) = 4k + 2, ta chùng minh b i to¡n óng vîi n = k + 1. Tø
(2.4) ta câ S(k+1) = S(k)+4k, ¡p döng gi£ thi¸t quy n¤p ta ÷ñc
S(k + 1) =
4k + 2
3
+ 4k
=
4k+1 + 2
3
, 3S(k + 1) = 4k+1 + 2:
Do â b i to¡n óng vîi n = k + 1:
Theo nguy¶n lþ quy n¤p ta câ i·u ph£i chùng minh.
52
B i to¡n 17. Cho d¢y sè Fibonaxi x¡c ành nh÷ sau:
F0 = 0
F1 = 1
F2 = 0 + 1
:::
Fn+1 = Fn + Fn 1;n 1
Chùng minh
a)Fm+n = Fm 1Fn + Fn+1Fm; vîi m 1; n 1 (2.5)
b)F1F2 + F2F3 + + F2nF2n+1 = F 22n+1 1;8n 2 Z+: (2.6)
Líi gi£i.
a) Vîi m b§t k¼, m 1 ta chùng minh (2.5) b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p
k²p theo n.
(1)Cì sð quy n¤p.
Khi n = 1, ¯ng thùc trð th nh Fm+1 = Fm + Fm 1 (v¼
F1 = F2 = 1) n¶n ¯ng thùc óng vîi n = 1:
Khi n = 2, ¯ng thùc trð th nh
Fm+2 = Fm+1 + Fm
= Fm + Fm 1 + Fm
= 2Fm + Fm 1 thäa m¢n (2.5) (v¼ F2 = 1; F3 = 2).
Do â, (2.5) óng vîi n = 2.
(2)B÷îc quy n¤p.
Gi£ sû ¯ng thùc óng vîi n = k 1;n = k(k 1), tùc l ta
câ
Fm+k 1 = Fm 1:Fk 1 + Fk:Fm
Fm+k = Fm 1:Fk + Fk+1:Fm:
53
Ta chùng minh ¯ng thùc óng vîi n = k + 1, tùc l
Fm+k+1 = Fm 1:Fk+1 + Fk+2:Fm
Thªt vªy, theo c¡ch cho d¢y sè v gi£ thi¸t quy n¤p ta câ
Fm+k+1 = Fm+k + Fm+k 1
= Fm 1:Fk + Fk+1:Fm + Fm 1:Fk 1 + Fk:Fm
= Fm 1:(Fk + Fk 1) + Fm(Fk+1 + Fk)
= Fm 1Fk+1 + Fk+2Fm:
Do â, (2.5) óng vîi n = k + 1.
Vªy, theo nguy¶n lþ quy n¤p ta câ i·u ph£i chùng minh.
b) Ta chùng minh (2.6) b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n håc.
(1)Cì sð quy n¤p.
Vîi n = 1 th¼ F1F2 + F2F3 = 1:1 + 1:2 = 2
2 1 = F 23 1. Vªy
(2.6) óng vîi n = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû (2.6) óng vîi n = k(k 2 Z+). Khi â
F1F2 + F2F3 + :::+ F2kF2k+1 = F
2
2k+1 1:
Ta chùng minh, (2.6) óng vîi n = k + 1.
Ta câ,
F1F2 + F2F3 + + F2kF2k+1 + F2k+1F2k+2 + F2k+2F2k+3
= F 22k+1 1+F2k+1F2k+2+F2k+2F2k+3 (theo gi£ thi¸t quy n¤p)
= F2k+1 (F2k+1 + F2k+2) + F2k+2F2k+3 1
= F2k+1F2k+3 + F2k+2F2k+3 1
= F2k+3 (F2k+1 + F2k+2) 1
= F 22k+3 1:
Vªy, (2.6) óng vîi n = k + 1.
Theo nguy¶n lþ quy n¤p ta câ i·u ph£i chùng minh.
54
B i to¡n 18. (Cæng thùc nhà thùc Newton)
Chùng minh r¬ng (a+ b)n =
nP
k=0
Ckna
n kbk, vîi n l sè nguy¶n d÷ìng.
Líi gi£i.
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1, ta câ a + b = C01ab
0 + C11a
0b l hiºn
nhi¶n.
Vªy cæng thùc óng vîi n = 1.
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû cæng thùc óng vîi sè nguy¶n d÷ìng n, tùc
l ta câ
(a+ b)n =
nX
k=0
Ckna
n kbk:
Ta chùng minh cæng thùc óng vîi n+ 1. Thªt vªy, ta câ
(a+ b)n+1 = (a+ b)n:(a+ b)
= [C0n:a
n:b0 + C1n:a
n 1:b+ :::+ Ckn:a
n k:bk + :::+ Cnna
0bn](a+ b)
= an+1 + C1n:a
n:b+ :::+ Ckn:a
n+1 k:bk + :::+
+ a:bn + an:b+ C1na
n 1:b2 + :::+ Ckn:a
n k:bk+1 + :::+ bn+1
= an+1 + (C1n):a
n:b+ (C1n + C
2
n):a
n 1:b2 + :::+
+ (Ck 1n + C
k
n):a
n+1 k:bk + :::+ bn+1
= an+1 + C1n+1:a
n:b+ C2n+1:a
n 1:b2 + :::+
+ Ckn+1:a
n+1 k:bk + :::+ bn+1
=
n+1X
k=0
Ckn+1a
n+1 kbk:
Nh÷ vªy, cæng thùc óng vîi n = k + 1:
Ta câ i·u ph£i chùng minh.
B i to¡n 19. (Olympic 1983) T¼m t§t c£ c¡c h m f : R+ ! R+ thäa
m¢n hai i·u ki»n sau:
(i) f(xf(y)) = yf(x), 8x; y 2 R+
55
(ii) f(x)! 0 khi x! +1
Líi gi£i. Vîi x 2 R+, tø (i) ta câ f(xf(x)) = xf(x):
Do â f(f(xf(x))) = f(xf(x)) = xf(x):
Cho x = 1 ta ֖c
f(f(f(1))) = f(1) (2.7)
°t w = f(1) th¼ f(f(w)) = f(1f(w)) = wf(1) = f(1)f(1):
M°t kh¡c f(f(w)) = f(f(f(1))), n¶n
f(f(f(1))) = f(1)f(1): (2.8)
Tø (2.7) v (2.8) suy ra f(1) = 1 (lo¤i f(1) = 0 v¼ f(x) > 0;8x 2 R+).
Gi£ sû z 2 R+ thäa m¢n f(z) = z: Khi â,
zf
1
z
= f
1
z
f(z)
= f(1) = 1:
Do â f
1
z
=
1
z
:
Ta s³ chùng minh vîi z 2 R+ thäa m¢n f(z) = z, th¼
f(zn) = zn; n l sè nguy¶n d÷ìng: (2.9)
Ta dòng ph÷ìng ph¡p quy n¤p º chùng minh (2.9).
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1 th¼ f(z) = z. Vªy (2.9) óng vîi n = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû (2.9) óng vîi n = k (k 2 Z+), ngh¾a l
f(zk) = zk: Ta c¦n chùng minh (2.9) óng vîi n = k + 1:
Thªt vªy,
f(zk+1) = f(zk:z)
= f(zkf(z))
= zf(zk)
= z:zk = zk+1.
Do â, (2.9) óng vîi n = k + 1:
Theo nguy¶n lþ quy n¤p th¼ (2.9) óng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n:
V¼
1
z
l iºm b§t ëng, theo (2.9) ta câ f
1
zn
=
1
zn
vîi n nguy¶n
56
d֓ng.
N¸u z > 1, th¼ f(zn) = zn ! +1, ho°c 0 < z < 1 th¼ f
1
zn
=
1
zn
!
+1 ( i·u n y khæng thäa m¢n i·u ki»n (ii)). Do â câ duy nh§t iºm
b§t ëng cõa f l 1:
Tuy nhi¶n, ta câ f(xf(x)) = xf(x) vîi x 2 R+ n¶n suy ra xf(x) = 1:
Do â, h m duy nh§t thäa m¢n (i) v (ii) l f(x) =
1
x
:
Vªy h m thäa m¢n b i to¡n l f(x) =
1
x
:
B i to¡n 20. (Væ àch To¡n Matxcova 1945). Mët v i sè trong c¡c sè
a1; a2; :::; an b¬ng 1, c¡c sè cán l¤i b¬ng -1. Chùng minh r¬ng
2 sin
h
(a1 +
a1a2
2
+
a1a2a3
22
+ :::+
a1a2a3:::an
2n 1
)
4
i
= a1
q
2 + a2
p
2 + :::+ an
p
2:
Líi gi£i.
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1, ta th§y cæng thùc 2 sin a1
4
= a1
p
2
óng c£ khi a1 = 1 hay a1 = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû cæng thùc óng vîi n = k (k nguy¶n d÷ìng),
tùc l ta câ
2 sin
h
(a1 +
a1a2
2
+
a1a2a3
22
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k 1
)
4
i
= a1
q
2 + a2
p
2 + :::+ ak
p
2:
Ta chùng minh cæng thùc óng vîi n = k+1. Thªt vªy, tø gi£ thi¸t
quy n¤p ta câ
2 + a1
r
2 + a2
q
2 + :::+ ak
p
2
= 2 + 2 sin
h
(a1 +
a1a2
2
+
a1a2a3
22
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k 1
)
4
i
= 2 2 cos
h
2
+ (a1 +
a1a2
2
+
a1a2a3
22
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k 1
)
4
i
= 2
h
1 cos 2(1 + a1
2
+
a1a2
4
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k
)
4
i
= 4 sin2
h
(1 +
a1
2
+
a1a2
4
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k
)
4
i
:
57
M°t kh¡c c¡c sè a1; a2; :::; ak l 1 ho°c -1 m
1
2
+
1
4
+ :::+
1
2k
+ ::: =
1
2
1 1
2
= 1
n¶n ta câ 1 < a1
2
+
a1a2
4
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k
< 1:
Do â 0 < 1 +
a1
2
+
a1a2
4
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k
< 2.
Hay 0 < (1 +
a1
2
+
a1a2
4
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k
)
4
<
2
v sin(1 +
a1
2
+
a1a2
4
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k
)
4
> 0.
Vªy tø ¯ng thùc tr¶n suy rar
2 + a1
q
2 + a2
p
2 + :::+ ak
p
2
= 2 sin
h
(1 +
a1
2
+
a1a2
4
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k
)
4
i
:
Vîi ak+1 = 1, ta nh¥n v o hai v¸ cõa ¯ng thùc tr¶n
ak+1
s
2 + a1
r
2 + a2
q
2 + :::+ ak
p
2
= ak+12 sin
h
(1 +
a1
2
+
a1a2
4
+ :::+
a1a2a3:::ak
2k
)
4
i
= 2 sin
h
(ak+1 +
a1ak+1
2
+
a1a2ak+1
4
+ + a1a2 : : : akak+1
2k
)
4
i
(do h m sin l h m l´).
Vªy ¯ng thùc óng vîi n = k + 1.
Theo nguy¶n lþ quy n¤p, ta câ i·u ph£i chùng minh.
B i to¡n 21. Cho f1; f2; :::; fn(n 2) l c¡c h m kh£ vi. Chùng minh
r¬ng
(f1f2 : : : fn)
0 = f 01f2f3 : : : fn + f1f
0
2f3 : : : fn + + f1f2f3 : : : f 0n: (2.10)
Líi gi£i.
58
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 2 th¼ (f1f2)
0 = f 01f2+f1f
0
2 (theo cæng thùc
t½nh ¤o h m mët t½ch), n¶n (2.10) óng vîi n = 2:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû (2.10) óng vîi n = k(k 2 N; k 2), ngh¾a
l
(f1f2 : : : fk)
0 = f 01f2f3 : : : fk + f1f
0
2f3 : : : fk + + f1f2f3 : : : f 0k:
Ta ph£i chùng minh (2.10) óng vîi n = k + 1: Thªt vªy,
(f1f2 : : : fkfk+1)
0 = (f1f2 : : : fk)0fk+1 + (f1f2 : : : fk)f 0k+1
= (f 01f2f3 : : : fk+f1f
0
2f3 : : : fk+ +f1f2f3 : : : f 0k)fk+1
+f1f2 : : : fkf
0
k+1
= f 01f2f3 : : : fkfk+1 + f1f
0
2f3 : : : fkfk+1 + : : :
+f1f2f3 : : : f
0
kfk+1 + f1f2 : : : fkf
0
k+1.
Nh÷ vªy, (2.10) óng vîi n = k + 1:
Theo nguy¶n lþ quy n¤p, ta câ i·u ph£i chùng minh.
B i to¡n 22. Cho n nguy¶n d÷ìng, chùng minh r¬ng
1Z
1
1 x2ndx = 22n+1(n!)2
(2n+ 1)!
(2.11)
Líi gi£i. Tr÷îc h¸t, ta chùng minh
1Z
1
1 x2ndx = 2n
2n+ 1
1Z
1
1 x2n 1dx (2.12)
Ta °t I =
1R
1
1 x2ndx
°t
u = (1 x2)n
dv = dx
khi â
du = n( 2x)(1 x2)n 1dx
v = x
I = x(1 x2)n 1 1 + n 1R 1 2x2 1 x2n 1dx
= 0 + 2n
1R
1
x2
1 x2n 1dx
59
= 2n
1R
1
h
1 x2 1 x2n 1 1 x2n 1i dx
= 2n
1R
1
1 x2ndx+ 2n 1R
1
1 x2n 1dx
= 2nI + 2n
1R
1
1 x2n 1dx
suy ra
(2n+ 1) I = 2n
1Z
1
1 x2n 1dx
, I = 2n
2n+ 1
1Z
1
1 x2n 1dx:
Ta chùng minh (2.11) b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p.
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1 ta câ
1Z
1
1 x2 dx = x x3
3
1
1
=
4
3
=
23
3!
:
Vªy (2.11) óng vîi n = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû (2.11) óng vîi n = k; k 2 Z+, ta câ
1Z
1
1 x2kdx = 22k+1(k!)2
(2k + 1)!
Ta c¦n chùng minh (2.11) óng vîi n = k + 1.
Thªt vªy,
60
1Z
1
1 x2k+1dx = 2(k + 1)
2(k + 1) + 1
1Z
1
1 x2kdx (theo (2.12))
=
2k + 2
2k + 3
:
22k+1(k!)2
(2k + 1)!
=
(2k + 2)(2k + 2)
(2k + 2)(2k + 3)
:
22k+1(k!)2
(2k + 1)!
=
22(k + 1)2:22k+1(k!)2
(2k + 1)!(2k + 2)(2k + 3)
=
22k+3[(k + 1)!]2
(2k + 3)!
:
Vªy (2.11) óng vîi n = k + 1.
Theo nguy¶n lþ quy n¤p ta câ i·u ph£i chùng minh.
2.1.4 Mët sè b i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc
èi vîi håc sinh, b§t ¯ng thùc v¨n ÷ñc coi l d¤ng to¡n khâ v vi»c
vªn döng ph÷ìng ph¡p quy n¤p º chùng minh b§t ¯ng thùc l hi¸m
g°p trong c¡c b i to¡n phê thæng. D÷îi ¥y, t¡c gi£ xin tr¼nh b y mët
sè v½ dö v· sû döng ph÷ìng ph¡p quy n¤p º chùng minh b§t ¯ng thùc.
B i to¡n 23. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n, a l sè thüc
khæng ¥m, th¼ r
a+ 1 +
q
a+ 2 + :::+
p
a+ n < a+ 3:
Líi gi£i.
(1) Cì sð quy n¤p. Vîi n = 1 th¼
p
a+ 1 < a + 3 luæn óng 8a 0.
Thªt vªy, p
a+ 1 < a+ 3
, a+ 1 < (a+ 3)2
, a2 + 5a+ 8 =
a+
5
2
2
+
7
4
> 0 luæn óng 8a 0.
61
(2) B÷îc quy n¤p. Gi£ sû b i to¡n óng vîi n = k (k 2 Z+).
Khi â, r
a+ 1 +
q
a+ 2 + :::+
p
a+ k < a+ 3 (2.13)
Ta c¦n chùng minh b i to¡n óng vîi n = k + 1 , ngh¾a l vîi b l
sè thüc khæng ¥m, k nguy¶n d÷ìng, th¼s
b+ 1 +
r
b+ 2 + +
q
b+ k +
p
b+ k + 1 < b+ 3 (2.14)
º chùng minh (2.14), ta °t a = b+ 1.
Khi âs
b+ 1 +
r
b+ 2 + :::+
q
b+ k +
p
b+ k + 1
=
s
b+ 1 +
r
a+ 1 + :::+
q
a+ k 1 +pa+ k
<
p
b+ 1 + a+ 3 =
p
2b+ 5: (2.15)
M°t kh¡c,
p
2b+ 5 < b+ 3
,2b+ 5 < (b+ 3)2 = b2 + 6b+ 9
,0 < b2 + 4b+ 4 = (b+ 2)2 (hiºn nhi¶n óng vîi b 0)
Vªy b§t ¯ng thùc (2.15) óng vîi måi sè thüc b khæng ¥m. Do vai
trá cõa a v b nh÷ nhau n¶ns
a+ 1 +
r
a+ 2 + :::+
q
a+ k +
p
a+ k + 1 < a+ 3:
Nh÷ vªy b i to¡n óng vîi n = k+1, n¶n theo nguy¶n lþ quy n¤p ta câ
i·u ph£i chùng minh.
B i to¡n 24. (Væ àch To¡n Matxcova 1984) Cho x1; x2; :::; xn l n sè
khæng ¥m (n 2 Z; n 4), têng cõa chóng b¬ng 1. Chùng minh r¬ng
x1x2 + x2x3 + :::+ xnx1 1
4
.
62
Líi gi£i.
Ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc sau b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo
n.
(x1 + x2 + :::+ xn)
2 4(x1x2 + x2x3 + :::+ xnx1)
vîi xi 0; i = 1; n v n 4.
(1)Cì sð quy n¤p. Vîi n = 4, ta câ
(x1 + x2 + x3 + x4)
2 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1)
, (x1 x2 + x3 x4)2 0 n¶n b§t ¯ng thùc óng vîi n = 4:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû b§t ¯ng thùc óng vîi sè tü nhi¶n n = k
(k 4), tùc l ta câ
(x1 + x2 + :::+ xk)
2 4(x1x2 + x2x3 + :::+ xkx1)
Ta chùng minh b§t ¯ng thùc óng vîi n = k + 1, tùc ta công câ
(x1+ x2+ :::+ xk + xk+1)
2 4(x1x2+ x2x3+ :::+ xkxk+1+ xk+1x1):
V¼ têng hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc n y l váng trán theo ch¿ sè, n¶n
ta câ thº gi£ thi¸t xk+1 xi; i = 1; k:
Khi â, tø gi£ thi¸t quy n¤p ta câ,
(x1 + x2 + :::+ xk + xk+1)
2 = (x1 + x2 + :::+ (xk + xk+1))
2
4[x1x2 + x2x3 + :::+ xk 1(xk + xk+1) + (xk + xk+1)x1];
m
[x1x2 + x2x3 + :::+ xk 1(xk + xk+1) + (xk + xk+1)x1] =
(x1x2 + x2x3 + :::+ xkxk+1 + xk+1x1) + xk 1xk+1 + xk(x1 xk+1)
V¼ xi 0 v x1 xk+1 0, n¶n ta câ:
[x1x2 + x2x3 + :::+ xk 1(xk + xk+1) + (xk + xk+1)x1]
(x1x2 + x2x3 + :::+ xk 1xk + xkxk+1 + xk+1x1):
63
Vªy
(x1 + x2 + :::+ xk + xk+1)
2 4(x1x2 + x2x3 + :::+ xkxk+1 + xk+1x1)
n¶n ta câ i·u ph£i chùng minh!
B i to¡n 25. Chùng minh r¬ng n¸u t½ch n sè thüc d÷ìng b¬ng 1, th¼ têng
cõa chóng khæng nhä hìn n. Nâi c¡ch kh¡c, cho x1; x2; : : : ; xn l nhúng sè
thüc d÷ìng, chùng minh r¬ng n¸u x1x2 : : : xn = 1 th¼ x1+x2+ +xn n
vîi måi n = 1; 2 : : :
Líi gi£i.
(1)Cì sð quy n¤p. Ta chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo
n.
Vîi n = 1, ta th§y b i to¡n thäa m¢n.
Vîi n = 2, ta ph£i chùng minh: N¸u x1x2 = 1 th¼ x1 + x2 2 trong
â x1; x2 l nhúng sè thüc d÷ìng.
Thªt vªy, ta luæn câ
(x1 1)2 0, x21 + 1 2x1 , x1 +
1
x1
2 v¼ (x1 > 0)
, x1 + x2 2 (do x2 = 1
x1
:)
¯ng thùc x£y ra khi x1 = x2 = 1:
(2)B÷îc quy n¤p. Gi£ sû b i to¡n óng vîi sè tü nhi¶n n, ta s³ chùng
minh b i to¡n óng vîi n+ 1
Các file đính kèm theo tài liệu này:
luan_van_phuong_phap_quy_nap_voi_cac_bai_toan_pho_thong.pdf
