Luận văn Phương trình Pell

Với k = 1: là nghiệm bé nhất của phương trình (*). Với k = 2: là nghiệm thứ hai của phương trình (*). Với k = 3: là nghiệm thứ ba của phương trình (*). Vậy (3, 1); (117, 37) và (4443, 1405) là ba nghiệm đầu tiên của phương trình (*). II.2.2.8. Định lý 8 Nếu (a, b) là nghiệm của phương trình Nếu (u, v) là nghiệm của phương trình Khi đó: (au + dbv, av + bu) là nghiệm của phương trình Chứng minh Áp dụng hệ quả II.2.1.8, ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 10 Ta có: (99, 70) là nghiệm của phương trình Ta có: (7, 5) là nghiệm của phương trình Khi đó: ( 99.7 + 2.70.5, 99.5 + 70.7) = (1393, 985) là nghiệm của phương trình . II.2.3. Dạng 3 Ở đây d là số nguyên và không phải là số chính phương, còn n là số nguyên. II.2.3.1. Định lý 1 Xét phương trình Pell với tham số n:(1) Phương trình (1) hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Chứng minh Ta đi chứng minh rằng (1) có nghiệm thì sẽ là vô số nghiệm. Giả sử là một nghiệm của (1). Xét phương trình Pell loại 1: (2) tương ứng. Gọi (a, b) là một nghiệm của (2), tức là: . Khi đó ta có: Nhân từng vế hai đẳng thức trên, ta có: (3) Đặt: Khi đó thay vào (3), ta có: Từ đó ta có (x’,y’) là nghiệm của (1). Rõ ràng . Do đó giả sử có nghiệm khởi đầu . Xét hệ thức: Hệ thức này theo chứng minh trên cho ta lớp nghiệm của phương trình (1).£ II.2.3.2. Định lý 2 Xét phương trình Pell với tham số n: (1) Giả sử (1) có nghiệm và gọi là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của nó. Khi đó ta có: Ở đây (a, b) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trìnhPell loại 1 tương ứng: (2). Chứng minh Đặt , khi đó: Giả thuyết phản chứng, kết luận của bài toán không đúng, tức là: Từ đó: Ta sẽ chứng minh rằng u > 0, v > 0. Thật vậy: (*) hiển nhiên đúng nên v > 0. Tương tự: Theo (4) thì (**) đúng nên u > 0. Như vậy, ta có u > 0 và v > 0 mà nên (u, v) là nghiệm của (1). Từ hệ: với ẩn là là nghiệm của hệ. từ đó ta có . Như thế ta đã xây dựng được nghiệm (u, v) của phương trình Pell với tham số n, mà nghiệm này còn nhỏ hơn . Điều này vô lý vì là nghiệm bé nhất của (1). Vậy giả thuyết phản chứng sai, nên . £ II.2.3.3. Định lý 3 Xét phương trình Pell với tham số n: (1) Giả sử (1) có nghiệm và là tất cả các nghiệm của (1) thỏa mãn bất đẳng thức: Xét m dãy sau đây. Dãy thứ i: được xác định như sau: Ở đây (a, b) là nghiệm dương bé nhất của phương trình Pell loại 1 tương ứng với (1): (2) Khi đó các dãy sẽ vét cạn hết nghiệm của phương trình (1). Chứng minh Thuận Theo chứng minh trong định lý 1, các số hạng của các dãy trên đều là nghiệm của phương trình Pell (1). Đảo Giả sử là một nghiệm dương bất kì của (1).Ta phải chứng minh sự tồn tại i, k sao cho: Chỉ có hai khả năng sau xảy ra: 1) Nếu . Theo giả thuyết tồn tại Ta chỉ chọn k = 0. 2) Nếu . Đặt: . Lập luận tương tự trong phần chứng minh định lý 2 , ta dễ dàng thấy rằng: (3) Ngoài ra, do , nên lập luận tương tự như cách chứng minh trong định lý 2 ta có: . Từ đó kết hợp với (3) suy ra là nghiệm của (1). Từ hệ: Rút ra: Vì lẽ đó suy ra: Nếu: tức là nếu , thì bằng lập luận trên ta lại xây dựng được nghiệm của (1) với . Quá trình ấy cứ tiếp tục và phải kết thúc ở bước thứ k mà sau khi có nghiệm của (1), thì: Khi đó theo phần 1) thì tồn tại Vì ở đây ta dùng phép: Nên ta có: Vậy định lý đã được chứng minh.£ Ví dụ 11 Giải phương trình: (1) Xét phương trình Pell loại 1 liên kết với nó có dạng: (2) Phương trình (2) có nghiệm dương nhỏ nhất là (a, b) = (9, 4). Khi đó: Số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn . Xét phương trình (1): . Nếu y = 1 thì x = 1 Nếu y = 2 thì x = 4 Nếu y = 3, 4, 7, 8 thì x không là số nguyên. Nếu y = 5 thì x = 11. Như vậy bằng cách thử trực tiếp như thế, ta thấy (1) có ba nghiệm (1, 1); (4, 2) và (11,5) mà thỏa điều kiện: Theo định lý, phương trình (1) có 3 dãy nghiệm sau: Ba dãy này đã vét hết nghiệm của phương trình (1). II.2.3.4. Định lý 4 Nếu (u, v) là nghiệm nguyên dương của phương trình: (1) Và nếu (a, b) là nghiệm của phương trình Pell liên kết với phương trình (1): (2) Khi đó (ua + dbv, ub + va) là nghiệm của phương trình (1). Các nghiệm của phương trình (1) khác biệt nhau với sự khác biệt của (u, v) và (a, b) Chứng minh Áp dụng định lý 7 II.2.1.7, ta có được điều cần phải chứng minh. Ví dụ 12 Tìm ba nghiệm khác của phương trình (*) ngoài nghiệm (5, 2). Thật vậy: Ta có (8, 3) là nghiệm của phương trình Khi đó: ( 5.8 + 7.2.3, 5.3 + 2.8) = (82, 31) là nghiệm của phương trình (*). (82.8 + 7.31.3, 82.3 + 31.8) = (1307, 494) là nghiệm của phương trình (*). (1307.8 + 7.494.3, 1307.3 + 494.8) = (20830, 7873) là nghiệm của phương trình (*). Chương III. Bài Tập Bài 1. Tìm những nghiệm dương của phương trình sau với y < 150: Bài giải Ta có: , với n = 2 là chiều dài chu kì liên phân số của . Ta có bảng các liên phân số sau: 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 5 7 19 26 71 97 256 353 971 0 1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 Ta có:là các giản phân của liên phân số của . Mà n = 2 chẵn nên nghiệm của phương trình có dạng: Với k = 1: (2, 1) là nghiệm của phương trình. Với k = 2: (7, 4) là nghiệm của phương trình. Với k = 3: (26, 15) là nghiệm của phương trình. Với k = 4: (97, 56) là nghiệm của phương trình. Với k = 5: (353, 209) là nghiệm của phương trình, nhưng chỉ nhận nghiệm y nhỏ hơn 150 nên loại trường hợp k = 5. Vậy (2, 1); (7, 4); (26,15) và (97, 56) là các nghiệm cần tìm. Bài 2. Chỉ ra 3 nghiệm của phương trình sau: Bài giải Bằng cách nhẩm nghiệm trực tiếp, thế lần lượt y = 1, 2, 3,…vào 33 y2 + 1. Với y = 1: x2 = 33.1 + 1 = 34 loại. Với y = 2: x2 = 33.4 + 1 = 133 loại. Với y = 3: x2 = 33.9 + 1 = 298 loại. Với y = 4: x2 = 33.16 + 1 = 529 nên x = 23. Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là (23, 4). Ta có dãy nghiệm của phương trình như sau: Từ đó ta có: Với là nghiệm của phương trình. Với là nghiệm của phương trình. Vậy (23, 4); (1057, 184) và (48599, 8460) là các nghiệm cần tìm. Bài 3. Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình sau: Bài giải Ta có: với n = 5 là chiều dài chu kì liên phân số của . Ta có bảng các giản phân sau: 8 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 8 9 17 26 43 714 757 1471 2228 3699 0 1 1 2 3 5 83 88 171 259 430 Ta có: là các giản phân của liên phân số của . Vì n = 5 lẻ nên nghiệm của phương trình có dạng: Với k = 1 thì: Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là (3699, 430). Bài 4. là nghiệm cơ bản của phương trình và Chứng minh rằng: được xác định như sau: Bài giải Thật vậy, trước tiên ta cần chứng minh rằng: (*) Bằng phương pháp quy nạp: * Với n = 2, (*)luôn đúng vì: * Giả sử với n = k thì (*) đúng, nghĩa là: Với Thì * Chứng minh với n = k + 1, thì (*) đúng. Thật vậy, ta có: Từ đó ta xét thấy: Bài 5. Từ vấn đề đã nêu ở bài trên, kiểm tra bằng quy nạp một trong hai vấn đề sau: (1) hoặc là: (2) Bài giải (1). * Với n = 2: (1) đúng. Với n = 3: (1) đúng. * Giả sử với n = k thì (1) đúng, nghĩa là: * Chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Thật vậy: Vậy (1) đã được chứng minh. (2). * Với n = 2: Trong đó: . * Giả sử n = k, thì (2) đúng, nghĩa là: * Chứng minh (2) đúng với n = k + 1, thật vậy: Vậy (2) đã được chứng minh. Bài 6. Cho phương trình với (15, 2) là nghiệm cơ bản. Tìm hai nghiệm tiếp theo của phương trình. Bài giải Áp dụng bài trên ta thấy: Vậy (449, 60) và (13455, 1798) là hai nghiệm tiếp theo của phương trình. Bài 7. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương chẵn n với tính chất là n + 1 và là các số chính phương. Bài giải Vì n là số chẵn nên Ta thấy, theo đề bài n thỏa: (*) Khi đó: Ta có hệ (1)-(2) vô số nghiệm vì (1) là phương trình Pell loại 1 với d = 2. Nên phương trình (2) có vô số nghiệm k ứng với vô số nghiệm y của (1). Vậy có vô số k sao cho n = 2k thỏa (*). Bài toán đã được chứng minh. Bài 8. Tìm tất cả các số nguyên dương x > 2, sao cho tam giác có độ dài ba cạnh là: x - 1, x, x + 1 và có diện tích là số nguyên. Bài giải Áp dụng công thức Hêrông, nếu gọi S là diện tích tam giác, thì ta có: , ở đây p là chu vi, còn a, b, c là ba cạnh của tam giác. Áp dụng trong trường hợp này, ta có: Do vậy: Theo đề bài ta có phương trình: (1) Theo yêu cầu đề bài S là số nguyên, nên vế trái của (1) là số chẵn. Mặt khác, có cùng tính chẵn, lẻ. Do đó từ (1) suy ra x phải là số chẵn. Đặt x = 2y, khi ấy từ (1), ta có: (2) Lại do S là số nguyên nên từ (2) suy ra: (3) Do thay vào (3) ta được: (4) Như vậy ta đi đến (4) là phương trình Pell loại 1. Ngược lại, nếu là nghiệm dương của phương trình (4), thì thỏa mãn các yêu cầu sau: 1) Các sốlà các số nguyên dương do . 2) Biểu thức S là số nguyên do phép biến đổi ngược. 3) Để thỏa mãn yêu cầu bất đẳng thức với các cạnh, ta chỉ cần: . Vậy trong số các nghiệm dương (y, z) của phương trình Pell (4), ta chỉ cần xét các nghiệm nào có y > 1, thì ta chọn x = 2y, và lúc này x - 1, x, x + 1 thỏa yêu cầu đề bài. Vì thế ta quy bài toán trên về bài toán giải phương trình (4) phương trình Pell loại 1, xét các nghiệm (y, z) với y > 1. Bằng phép thử trực tiếp, ta thấy phương trình (4) có (2, 1) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình này. Áp dụng định lý 5 đối với phương trình Pell loại 1, ta có dãy tất cả các nghiệm của phương trình (4): Từ đó ta có là các nghiệm của bài toán. Nhưng để thỏa điều kiện bất đẳng thức về các cạnh trong tam giác thì y > 1 nên x > 2 vậy các tam giác thỏa điều kiện đề bài cho dưới dạng bảng sau: x 4 14 52 … Tam giác 3,4,5 13,14,15 51,52,53 … Bài 9. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn những bộ ba số nguyên liên tiếp mà mỗi số trong đó đều là tổng của hai số chính phương. Bài giải Bằng phép thử trực tiếp, ta thấy bộ ba số nguyên liên tiếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là 8, 9, 10 vì . Điều này gợi ý đến việc xét bộ ba số liên tiếp sau . Vì . Do vậy nếu như thỏa mãn với vô hạn cặp số nguyên (x, y, z) thì ta có câu trả lời khẳng định. Trên cơ sở ấy ta hãy xét trường hợp đặc biệt khi z = y. Cụ thể xét phương trình sau và tìm nghiệm nguyên của nó: (1) (1) là phương trình Pell loại 1 với d = 2. Rõ ràng phương trình này tồn tại vô hạn nghiệm nguyên dương. Ta dễ thấy (3, 2) là nghiệm nguyên dương bé nhất của phương trình (1), theo định lý 6 phương trình Pell loại 1, ta có dãy nghiệm sau: Vậy tồn tại ít nhất bộ ba số vô hạn sau đây: các bộ ba đầu tiên được cho bởi bảng sau: i 1 2 3 … Bộ ba 8, 9, 10 288, 289, 290 9800, 9801, 9802 … Tóm lại, tồn tại vô hạn những bộ ba ba số nguyên liên tiếp thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương t, sao cho số tam giác là một số chính phương? Bài giải Số nguyên dương t cần tìm có dạng: Đặt x = 2t + 1 thì (x, y) là nghiệm của phương trình: (1) Ở đây (1) là phương trình Pell loại 1, với d = 8. Ngược lại, nếu (x, y) là nghiệm của (1) thì , thì dễ dàng thấy x lẻ nên x - 1 chẵn, vậy đặt , khi đó thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài toán quy về phương trình Pell loại 1. (1) Bằng phép thử trực tiếp ta thấy (3, 1) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (1). Theo định lý 5 về phương trình Pell loại 1, ta có: dãy các nghiệm nguyên của phương trình (1) như sau: Từ đó dãy các số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài với là: Mà t là số nguyên dương nên các số t thỏa yêu cầu đề bài là Các số đầu tiên của dãy , n = 0, 1, 2,…được cho trong bảng sau: n 1 2 3 4 … 1 8 49 288 … Bài 11. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell loại 1: , thỏa mãn điều kiện 80 < x < 120. Bài giải Xét phương trình Pell loại 1: . (1) Ta có: Với n = 1 (lẻ) là chiều dài chu kì liên phân số của . Ta có bảng các giản phân của nó như sau: 1 2 2 2 2 2 2 2 ….. 1 1 3 7 17 41 99 239 577 ….. 0 1 2 5 12 29 70 169 408 ….. Ta có: nghiệm của phương trình (1) có dạng: Với k = 1, thì = (3, 2) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1). Với k = 2, thì = (17, 12) là nghiệm thứ hai của phương trình (1). Với k = 3, thì = (99, 70) là nghiệm thứ ba của phương trình (1). Với k = 4, thì = (577, 408) là nghiệm thứ tư của phương trình (1). Ta có: Từ đó suy ra (99, 70) là nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình (1) với điều kiện 80 < x < 120. Bài 12. Xét phương trình Pell: Chứng minh rằng thay cho việc tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x, y) của phương trình Pell, ta chỉ việc tìm tất cả các phần tử của tập hợp: Bài giải Thuận: Giả sử là một nghiệm dương của phương trình Pell, tức là: Vì D không phải là số chính phương nên là số vô tỉ. Gọi là số vô tỉ liên hợp của . Đảo: là số vô tỉ dạng , trong đó là các số nguyên dương nào đó sao cho Dễ thấy chính là một nghiệm nguyên dương của phương trình Pell. Vậy phép tương ứng là phép tương ứng 1-1. Điều đó có nghĩa là: thay cho việc tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x, y) của phương trình Pell, ta chỉ việc tìm tất cả các phần tử của tập hợp: . Bài 13. Giữ nguyên kí hiệu trong bài tập trước, hãy chứng minh rằng: Nếu Khi đó Nếu Chứng minh rằng phương trình Pell có vô số nghiệm nguyên dương. Bài giải 1) Từ giả thiết suy ra: Từ đó ta có: (1) Nếu x = u, thì từ (1) ta có: Đảo lại, nếu: Vìlà số vô tỉ và x, y, u, v nguyên dương nêncũng là số vô tỉ dương, suy ra . Do đó ta có: 2) Ta có: (2) Ở đây xu + Dyv và xv + yu là các số nguyên dương. Mặt khác, nếu gọi là liên hợp của thì từ (2) ta có: Từ (3) suy ra: (4) Bây giờ từ (2) và (4) đi đến . 3) Theo trên phương trình Pell có ít nhất một nghiệm không tầm thường, nên Vì thế P chứa ít nhất một phần tử , ở đây x, y nguyên dương. Từ đó suy ra . Khi đó Mặt khác, từ (2) suy ra . Vậy P có vô hạn phần tử. Theo bài trên thì điều đó có nghĩa là phương trình Pell có vô hạn nghiệm nguyên dương. Bài 14. Giữ nguyên kí hiệu trong các bài trước. Giả sử: Khi đó các mệnh đề sau là tương đương : 1) 2) 3) Từ đó hãy suy ra: a) Tập hợp P có số nhỏ nhất. b) Mọi số đều là lũy thừa nào đó của số nhỏ nhất Bài giải Từ 1) suy ra 2): Giả sử x < u. Từ Do x, y nguyên dương nên ta có y < v, suy ra Từ 2) suy ra 3): Bây giờ giả sử Do , nên (1) Rõ ràng là những số nguyên dương. Thật vậy, do Tương tự ta có: Còn ux - vyD là số nguyên là điều hiển nhiên. Vậy ux - vyD là số nguyên dương. Gọi là liên hợp của , thì từ (1) ta có: Do đó: Vì Theo giả thiết trái lại , thế thì từ biểu thức của Đó là điều vô lý. Từ đó ta có , và dĩ nhiên nó là một số nguyên dương. Từ các kết luận: ux - vyD và vx - uy là các số nguyên dương và Từ 3) suy ra 1): Giả sử Ta có: Từ đó ta có u = xp + Dyq. Do x, p, y, q, D đều là các số nguyên dương, nên đi đến u > x. Vậy ba mệnh đề 1); 2) và 3) tương đương. a) Ta có: Vì thế để so sánh hai số ta chỉ cần so sánh các số nguyên dương x và u. Ta sẽ gọi x, u là phần đầu của các số . Xem các phần đầu của tất cả các số thuộc P: ta được một tập hợp những số nguyên dương. Tập hợp này có số nhỏ nhất . Khi đó số tương ứng với là số nhỏ nhất của P. b) Khi ấy ta có là nghiệm của phương trình Pell và là nghiệm nhỏ nhất. Vì nên dãy là dãy tăng vô hạn. Bởi vậy, nếu là số tùy ý của P, thì tồn tại số nguyên dương n sao cho: Nếu nên , điều này mâu thuẫn với giả thiết là số nhỏ nhất của P. Vì thế ta phải có . Bài 15. Tìm tất cả các số nguyên dương n, sao cho trung bình cộng của n số chính phương đầu tiên lại là một số chính phương. Bài giải Áp dụng công thức quen thuộc: Theo bài ra ta phải tìm n, y nguyên dương sao cho: Hay theo (1) sẽ có: Đặt x = 4n + 3, ta có: . (2) Phương trình (2) là phương trình Pell loại 1 với d = 48. Bằng phép thử trực tiếp ta thấy (x, y) = (7, 1) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (2). Theo định lý 6, thì (2) có dãy nghiệm sau: Ta nhận thấy: khi k chẵn; khi k lẻ. Điều này có thể chứng minh bằng quy nạp như sau: Rõ ràng nhận xét trên đúng khi k = 0, 1. Giả sử điều đó đúng đến n = k . Xét khi n = k + 1. a) Nếu k chẵn thì k + 1 lẻ và k - 1 lẻ. Ta có: Theo giả thiết quy nạp, thì: b) Nếu k lẻ thì k + 1 chẵn và k - 1 chẵn. Lại theo giả thiết quy nạp, thì: Vậy kết luận trên cũng đúng khi n = k + 1. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. Mặt khác, do x = 4n + 3, nên ta chỉ xét các n tương ứng với các hay theo trên đó là các với k lẻ. Vì thế dãy : là dãy cần tìm. Theo công thức truy hồi của dãy, ta có: Áp dụng công thức , thay vào (*), ta có: Hay với k = 1,2,… ta có: Vậy các giá trị phải tìm của n được cho bởi công thức truy hồi sau: Bài 16. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho cả 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương. Bài giải Vì (2n + 1, 3n + 1) = 1, nên cả 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương khi và chỉ khi: Từ đó ta có: Đặt x = 12n + 5, thì từ (1) dẫn đến phương trình Pell loại 1: (2) ở đây d = 24. Dễ thấy (x, y) = (5, 1) là nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình (2). Vì thế (2) có dãy nghiệm nguyên là: Từ trên dễ dàng suy ra: là số lẻ là số chẵn. Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp: * Nếu k = 0, 1, 2, 3 thì , đẳng thức đúng. * Giả sử điều đó đúng đến n = k . * Chứng minh điều đó đúng với n = k + 1. Nếu k chẵn thì k + 1 và k - 1 lẻ, ta có: Theo giả thuyết quy nạp, thì: Vậy: là số lẻ. Từ đó: . Theo trên thì: Từ đó dẫn tới: Ta có: Vậy ta có công thức truy hồi để tìm tất cả các số n thỏa mãn yêu cầu đề bài là: Bài 17. Nếu n là số tự nhiên mà 2n + 1, 3n + 1 đều là số chính phương, thì Bài giải Dựa vào bài 16 đã chứng minh, để 2n + 1, 3n + 1 đều là số chính phương, thì: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp sau: * Với k = 0, * Với k = 1, . * Giả sử đúng đến k: với k = 1, 2, 3,.. * Ta có: Theo giả thiết quy nạp thì Bài 18. Chứng minh rằng phương trình có vô hạn nghiệm nguyên dương. Bài giải Sử dụng công thức quen biết: Ta sẽ có đẳng thức sau: Nên ta chứng minh được nhận xét sau đây: Nhận xét. Tồn tại vô hạn những số nguyên dương n, k sao cho: thì chỉ việc đặt Do tính vô hạn của bộ (n, k), từ đó suy ra điều phải chứng minh. Vậy bài toán quy về: Hãy chứng minh nhận xét nói trên. Xét phương trình ẩn n, k nguyên dương: Đặt u = 2n + 1 và v = 2k, thì từ (1) dẫn đến phương trình Pell loại 1: Như ta đã biết phương trình Pell loại 1 có vô số nghiệm với (u, v) = (3, 2) là nghiệm dương bé nhất, dãy nghiệm của nó là: Dễ thấy . Do vậy ứng với giá trị (u, v) là nghiệm của (1) sẽ thỏa mãn yêu cầu đặt ra. Tóm lại, tồn tại vô hạn bộ (n, k) thỏa mãn hệ thức: Nhận xét được chứng minh, và bài toán được giải. Bài 19. Chứng minh rằng: (1) có một nghiệm dương duy nhất là a = b = 1. Bài giải Với a = b = 1, thì khi đó 51 - 31 = 2 ( đúng ). Với a, b >1, ta có: * lẻ. Vì Ta có: khi b lẻ. (2) * khi a lẻ Vì hiển nhiên. Ta có: lẻ. (3) Từ (2) và (3), ta thấy rằng để (1) có nghiệm thì a, b phải là số lẻ nên a - 1, b – 1 là số chẵn và chia hết cho 2. Ta có: (*) Đặt (4), thì: (*) trở thành: (**) Đây là phương trình Pell loại 1với d = 15. Ứng với vô số nghiệm (x, y) của phương trình Pell ta nhận được vô số giá trị của a, b thỏa (4) hay không? Ta dễ dàng nhận thấy (x, y) = (4, 1) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (**). Khi đó ta có dãy các nghiệm của nó là: Ta nhận thấy: Để chứng minh điều trên bằng phương pháp quy nạp: * Với l = 1, thì , luôn đúng. * Giử sử đúng đến l = n nghĩa là: * Chứng minh đúng với l = n + 1. Thật vậy: . Từ đó ta có: với k = 3l, mà và (3,5,7) = 1, nên không tồn tại a, b > 1 thỏa. Vậy không tồn tại a, b >1 để cho . Bằng các phương pháp đưa ra một số nghiệm cơ bản ta có thể tham khảo sau: D X Y D X Y 2 3 2 3 2 1 5 9 4 6 5 2 7 8 3 8 3 1 10 19 6 11 10 3 12 7 2 13 649 180 14 15 4 15 4 1 17 33 8 18 17 4 19 170 39 20 9 2 21 55 12 22 197 42 23 24 5 24 5 1 26 51 10 27 26 5 28 127 24 29 9801 1820 30 11 2 31 1520 273 32 17 3 33 23 4 34 35 6 35 6 1 37 73 12 38 37 6 39 25 4 40 19 3 41 2049 320 42 13 2 43 3482 531 44 199 30 45 161 24 46 24335 3588 47 48 7 18 7 1 50 99 14 51 50 7 52 649 90 53 66249 9100 54 485 66 55 89 12 56 15 2 57 151 50 58 19603 2574 59 530 69 60 31 4 61 1766319049 226153980 62 63 8 63 8 1 65 129 16 66 65 8 67 48842 5967 68 33 4 69 7775 936 70 251 30 71 3480 413 72 17 2 73 2281249 267000 74 3699 430 75 26 3 76 57799 6630 77 351 40 78 53 6 79 80 9 80 9 1 82 163 18 83 82 9 84 55 6 85 285769 30996 86 10405 1122 87 28 3 88 197 21 89 500001 53000 90 19 2 91 1574 165 92 1151 120 93 12151 1260 94 2143295 221064 95 39 4 96 49 5 97 62809633 6377352 98 99 10 99 10 1 101 201 20 102 101 10 Bài 20. Chỉ ra ba nghiệm của phương trình: (1) Bài giải Phương trình Pell liên kết với phương trình (1) là: (3) Dễ thấy (a, b) = (33, 8) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (3). Khi đó ta có hệ phương trình sau: Ta có nghiệm dương duy nhất của hệ trên là: (u, v) = (4, 1). Khi đó ta có dãy nghiệm của phương trình (1) như sau: Từ đó ta thấy: Với n = 0, thì (x, y) = (4, 1) là nghiệm bé nhất của phương trình (1). Với n = 1, thì (x, y) = (268, 65) là nghiệm thứ hai của phương trình (1). Với n = 2, thì (x, y) = (17684, 4289) là nghiệm thứ ba của phương trình (1). Vậy (4, 1); (268, 65) và (17684, 4289) là ba nghiệm cần tìm. Bài 21 . Chỉ ra hai nghiệm của phương trình sau: . Bài giải Cách 1: Ta có: với n = 3 là chiều dài chu kì liên phân số của . Ta có bảng liên phân số của : 6 2 2 12 2 2 12 2 2 1 6 13 32 397 826 2049 25414 52877 131168 0 1 2 5 62 129 320 3969 8258 20485 Ta có: là các giản phân của liên phân số của Do n = 3 lẻ nên nghiệm của phương trình (2) có dạng sau: Từ đó ta có: Với k = 1, là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2). Với k = 2, là nghiệm thứ hai của phương trình (2). Vậy (32, 5) và (131168, 20485) là hai nghiệm cần tìm của phương trình (2). Cách 2: Bằng cách thử trực tiếp ta có thể kiểm tra và tìm ra nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2) là (x, y) = (32, 5). Ta có phương trình Pell liên kết với phương trình (2) là: Có nghiệm nhỏ nhất là (x, y) = (2049, 320). Vậy nghiệm thứ hai của phương trình (2) là: (2049.32 + 41.320.5, 2049.5 + 320.32) = (13168, 20485). Bài 22. Giải phương trình sau: Bài giải Cách 1: Ta có: với n = 1 là chiều dài chu kì liên phân số của . Ta có bảng các liên phân số của như sau: 3 6 6 6 6 6 6 6 1 3 19 117 721 4443 27397 168717 1039699 0 1 6 37 228 1405 8658 53353 328776 Ta có: là các giản phân của liên phân số của . Do n = 1 (lẻ) là chiều dài chu kì của nó nên nghiệm của phương trình có dạng: Từ đó ta có: Với k = 1, là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2). Với k = 2, là nghiệm thứ hai của phương trình (2). Với k = 3, là nghiệm thứ ba của phương trình (2). Với k = 4, là nghiệm thứ tư của phương trình (2). ………….. Cứ thế tiếp tục ta có thể tìm được vô số nghiệm của phương trình (1). Cách 2: Phương trình Pell liên kết với phương trình (1) là: (3) Dễ thấy (a, b) = (19, 6) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (3). Khi đó ta có hệ phương trình sau: Ta có nghiệm dương duy nhất của hệ trên là: (u, v) = (3, 1). Khi đó ta có dãy nghiệm của phương trình (1) như sau: Từ đó ta thấy: Với n = 0, thì (x, y) = (3, 1) là nghiệm bé nhất của phương trình (1). Với n = 1, thì (x, y) = (117, 37) là nghiệm thứ hai của phương trình (1). Với n = 2, thì (x, y) = (4443, 1405) là nghiệm thứ ba của phương trình (1). Với n = 3, thì (x, y) = (168717, 53353) là nghiệm thứ tư của phương trình (1). …………….. Bài 23. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên. Bài giải Với phương trình Pell loại 2 (1) Ta xét phương trình Pell loại 1 liên kết với nó: (2) Dễ thấy (2) có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là (35, 6). Xét hệ phương trình sau: Chỉ quan tâm đến nghiệm nguyên dương, nên ta có: Vì thế từ (3) đi đến u = v = 1. Thay vào (4) thì vô lý nên hệ không có nghiệm nguyên dương. Vậy phương trình (1) vô nghiệm. Bài 24 . Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất là số chính phương. Bài giải Giả sử n là số nguyên dương phải tìm. Khi đó ta có: Dặt x = 2n + 1. Khi đó từ (1) dẫn đến phương trình Pell loại 2: (1) Phương trình liên kết với (1) là: (2) Phương trình (2) có nghiệm dương bé nhất là (3, 2). Xét hệ phương trình sau: Dễ thấy (u, v) = (1, 1) là nghiệm dương bé nhất của nó. Phương trình (1) có dãy các nghiệm là: Dễ thấy , bằng phương pháp quy nạp: Với k = 0, 1 thì điều đó hoàn toàn đúng. Giả sử khẳng định trên đúng đến k = l với mọi . Chứng minh với k = l + 1 thì khẳng định trên vẫn đúng. Thật vậy, . Từ đó suy ra dãy nghiệm Các số nguyên dương cần tìm được cho theo công thức: Vì: Ba số đầu tiên phải tìm là: n = 3; n = 20; n = 119. Bài 25. Tìm tất cả các số nguyên dương k, m sao cho: k < m và Bài giải Giả sử k, m (k < m) là hai số nguyên dương thỏa mãn hệ thức: (*) Ta có: Đặt x = 2m + 1; y = 2k + 1, khi đó dẫn đến phương trình Pell loại 2: (1) Phương trình liên kết với (1) là: (2) Phương trình Pell loại 1 (2) có nghiệm dương bé nhất là: (3, 2). Xét hệ phương trình sau: Dễ thấy (u, v) = (1, 1) là nghiệm dương bé nhất của hệ phương trình. Phương trình (1) có dãy các nghiệm là: Dễ thấy Từ đó suy ra dãy nghiệm: Các số nguyên dương phải tìm được cho bởi công