Luận văn Quá trình phân rã siêu hạt

ủa trường Higgs): 2* 2* 1* 'IJ I J 'IJ I J 'IJ I Jl i j d i j u i jA H L R + A H Q D + A H Q U H.c. (1.16) 1.3 Phổ vật lý của MSSM Để thu được phổ vật lý của các hạt trong MSSM ta cần thực hiện quy trình tiêu chuẩn của việc phá vỡ đối xứng chuẩn thông qua các giá trị trung bình chân không (vacuum expectation value-VEV) của các trường Higgs trung hòa và tìm các trạng thái riêng của các ma trận khối lượng cho tất cả các trường. VEV của trường Higgs thỏa mãn phương trình (θ để chỉ góc Weinberg, Ws = sinθ , Wc = cosθ , 2 W 1 We = g s = g c ):             11 2 2 v 01 1 H = H = v02 2 (1.17)          1 2 22 2 2 2 1 2 H 1 12 22 2 W W e v v + m + μ v = m v 8s c (1.18)   2 2 1         2 22 2 2 2 1 2 H 122 2 W W e v v + m + μ v = m v 8s c (1.19) Các tham số của phương trình trên bị ràng buộc bởi điều kiện là 1v và 2v phải dẫn đến các giá trị thích hợp của khối lượng các boson chuẩn. Các trường vật lý của MSSM có thể được xác định như sau: 12 1. Các boson chuẩn. Tám gluon aμg và photon μF không khối lượng, còn các boson ±μW và μZ có khối lượng:   1 22 2 Z 1 2 W W e M = v +v 2s c (1.20)   1 22 2 W 1 2 W e M = v +v 2s (1.21) 2. Các Higgs vô hướng tích điện. Có bốn Higgs vô hướng tích điện tồn tại, trong đó có hai hạt có khối lượng còn hai hạt không có khối lượng. ± 1 21 22 2 2 2 W H HH M = M + m + m +2 μ (1.22) Khi có trường chuẩn, các hạt ±2H ( ±G ) bị ăn bởi các W boson và biến mất khỏi Lagrangian. Các trường +1H và 2 +H liên hệ với các trường Higgs ban đầu bởi ma trận quay HZ :                1* + 2 1 H2 + 1 2 H H = Z H H (1.23)        1 - 2 12 2 2 H 1 2 1 2 v -v Z = v +v v v (1.24) 3. Các Higgs vô hướng trung hòa. Để thuận tiện, ta chia các Higgs trung hòa ra hai lớp: i) Các hạt vô hướng 0iH với i = 1,2, được định nghĩa: i ij 0i R j i2 H = Z H +vR (không lấy tổng theo i) (1.25) 13 Ma trận ZR và các khối lượng của 0 iH có thể thu được bằng cách chéo hóa mà trận 2RM                     0 1 0 2 2 2 2 2 22 1 1 2 212 122 2 2 2 H1 W W W WT R R 22 2 2 2 21 2 1 2 H 12 122 2 2 2 W W 2 W W v e v e v v -m + m - M 0v 4s c 4s c Z Z = 0 Me v v v e v m - -m + 4s c v 4s c (1.26) ii) Các hạt giả vô hướng 0iA , i=1,2: T i ij 0i H j2 H = Z A (1.27) 0 0 1A ( A ) có khối lượng 1 1 22 2 2 A H HM = m + m + 2 μ , 0 0 2A ( ) G là hạt boson Goldstone không khối lượng và sẽ biến mất khi dùng chuẩn unitary. Ma trận ZH tương tự trường hợp boson Higgs tích điện. 4. Các fermion vật chất (quark và lepton) có khối lượng (chú ý rằng I Il dY , Y được định nghĩa là âm): I I I 1 l ν e I I I I1 d 2 u d u v Y m = 0 m = - 2 v Y v Y m = - m = 2 2 (1.28) 5. Các chargino. Bốn spinor hai thành phần   2 1 1 2 1 2 A A H Hλ , λ , ψ , ψ kết hợp thành hai fermion Dirac bốn thành phần 1 2χ , χ tương ứng với hai chargino vật lý. Các ma trận pha trộn chargino Z+ và Z- được định nghĩa bằng điều kiện:                    1 2 2 2 χT W - + 1 χ W ev M M 02s Z Z = ev 0 M μ 2s (1.29) 14 Các ma trận Z+ và Z- không được xác định một cách duy nhất. Vì vậy ta có thể lựa chon để iχ M xác định dương và 2 1χ χ M > M . Các trường i được liên hệ với các spinor ban đầu như sau:         1 2 2 2i + H + i + i1 2i - H - i i - i 1 2 ± 1i ±A A A ± i ψ = Z κ κ ψ = Z κ χ = κ λ iλ λ = iZ κ 2  (1.30) 6. Neutralino. Bốn spinor hai thành phần  3B 1 2A H1 H2λ , λ , ψ , ψ kết hợp thành bốn fermion Mojorana 0i , i = 1,,4, gọi là neutralino. Công thức cho các ma trận pha trộn và khối lượng được cho:                                  0 1 0 4 1 2 1 W W 1 2 χ2 W WT N N 1 1 χ W W 2 2 W W -ev ev M 0 2c 2c ev -ev M 00 M 2s 2s Z Z = -ev ev 0 -μ 0 M 2c 2s ev -ev -μ 0 2c 2s  (1.31)        1 2 1i 0 B N i 3 2i 0 A N i 0 i1 3i 0 0 H N i i 0 i 2 4i 0 H N i λ = iZ κ λ = iZ κ κ ψ = Z κ χ = κ ψ = Z κ (1.32) 7. Các gaugino SU(3) không pha trộn. Khi sử dụng kí hiệu spinor bốn thành phần ta có tám gluino ag với khối lượng 3M . 15        a Ga a G -iλ g = iλ  (1.33) 8. Ba trường phức vô hướng I1L tạo thành ba sneutrino với khối lượng có được bằng cách chéo hóa ma trận 2νM :   ˆ           1 3 I IJ J 1 ν 2 ν † 2 ν ν ν 2 ν 2 2 2 1 22 2 ν L2 2 W W L = Z ν M 0 Z M Z = 0 M e v - v M = 1+ m 8s c   (1.34) Sneutrino là các vô hướng phức trung hòa. 9. Các trường I2L và R I pha trộn tạo thành sáu slectron tích điện Li, i=1,,6:   I+3 iI Ii* - I + 2 L i L iL = Z L R = Z L (1.35)                        1 6 2 2 2 L L LLL LR† L L†2 2 2 L LLR RR L M 0 M M Z Z = M M 0 M  (1.36)                ˆ ˆ     2 2 2 2 2 2 T1 2 W2 21 l L L2 2LL W W 2 2 2 2 2 1 22 21 l L R2RR W 2 * L 2 l l 1 lLR e v - v 1- 2c v Y M = 1+ + m 8s c 2 e v - v v Y M = - 1+ + m 4c 2 1 M = v Y μ - A +v A 2 (1.37) 10. Các trường I1Q và U I trở thành sáu squark up Ui: 16   I+3 i*I Ii + I - 1 U i U iQ = Z U U = Z U (1.38)                        1 6 2 2 2 U U ULL LRT * U U†2 2 2 U ULR RR U M 0 M M Z Z = M M 0 M  (1.39)                ˆ ˆ     2 2 2 2 2 2 T1 2 W2 2 †2 u U Q2 2LL W W 2 2 2 2 2 1 22 22 u U U2RR W 2 * U 1 u u 2 uLR e v - v 1- 4c v Y M = - 1+ + Km K 24s c 2 e v - v v Y M = 1+ + m 6c 2 1 M = - v Y μ + A +v A 2 (1.40) 11. Cuối cùng ta có sáu squark down Di từ các trường I 2Q và D I:   I+3 iI Ii* - I + 2 D i D iQ = Z D D = Z D (1.41)                        1 6 2 2 2 D D DLL LR† D D†2 2 2 D DLR RR D M 0 M M Z Z = M M 0 M  (1.42)                ˆ ˆ     2 2 2 2 2 2 T1 2 W2 21 d D Q2 2LL W W 2 2 2 2 2 1 22 21 d D D2RR W 2 * D 2 d d 1 dLR e v - v 1+ 2c v Y M = - 1+ + m 24s c 2 e v - v v Y M = - 1+ + m 12c 2 1 M = v Y μ - A +v A 2 (1.43) Bây giờ ta có thể định nghĩa tất cả các trường vật lý có trong MSSM: Photon μA 17 Gauge boson 0 ± μ μZ , W Gluon a μg a=18 Gluino ag a=18 (spinor Majorana) Chargino iχ i=1,2 (spinor Dirac) Neutralino 0 iχ i=14 (spinor Majorana) Neutrino Iν I=13 (spinor Dirac) Electron eI I=13 (spinor Dirac) Quark uI, dI I=13 (spinor Dirac) Sneutrino Iν I=13 Selectron ± iL i=16 Squark ± ± i iU , D i=16 Các hạt Higgs tích điện  ± ±1H H vô hướng trung hòa  0 01 2H , H H, h giả vô hướng trung hòa  0 01A A Trong chương ba ta sẽ tính đến một số quá trình rã mà sản phẩm là các siêu hạt. Để làm việc đó ta cần viết Lagrangian theo các trường thành phần và từ đó suy ra Lagrangian tương tác giữa chúng. Tuy nhiên, do khi tính toán, ta chỉ dùng một số trong số đó, cho nên, để kết thúc chương này, ta sẽ dẫn ra một số Lagrangian tương 18 tác trong chuẩn ’t Hooft-Feynman. Trong chuẩn ’t Hooft-Feynman, trường ma sẽ có Lagrangian rất đơn giản và dễ sử lý. Tuy nhiên, trường không vật lý là trường Goldstone lại không bị khử hoàn toàn ở cơ chế Higgs như trong chuẩn unitary. Do khi tính bổ chính bậc cao, việc sử lý số hạng liên quan đến trường Goldstone dễ hơn việc sử lý trường ma cho nên, ta sẽ dùng chuẩn ’t Hooft-Feynman thay cho chuẩn unitary quen thuộc.              2 2 2 0 4 W 2 2 22 0 2 4 W 2 2 1 1 1 1 W W 2 2 2 W W 1 2 a GF Z Z L G Z A m H Z im H H m H m H H                                                 (1.44) trong đó, trường chuẩn của tương tác điện - yếu là: 3 3 cos sin W sin cos A B W Z B W                (1.45) Dòng thứ nhất của (1.44) là chuẩn ’t Hooft-Feynman quen thuộc trong SM, dòng thứ hai sẽ khử những yếu tố ngoài đường chéo của điỉnh tương tác gauge- Higgs sau khi đã vận hành cơ chế Higgs, dòng cuối cùng sẽ tạo khối cho hạt Goldstone. 19 CHƯƠNG 2: QUÁ TRÌNH PHÂN Rà TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 2.1 Biểu diễn tương tác Khi xây dựng các lý thuyết hiện đại để mô tả bản chất vật lý của các hiện tượng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các phương trình, xử lý toán học các biểu thức Để chuyển những khó khăn này sang các mảng khác trong trường hợp cụ thể, ta dùng các lý thuyết biểu diễn và đỏi hỏi tất cả các lý thuyết biểu diễn chỉ là phương pháp mà không được phép làm thay đổi một số đại lượng vật lý quan sát đo đạc được như: trị riêng của toán tử, phần chéo hóa của yếu tố ma trận Có ba bức tranh diễn tả cơ học lượng tử nói riêng và lý thuyết lượng tử nói chung mà ta quen gọi là ba biểu diễn [6]: biểu diễn Schroedinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tương tác. Trong lý thuyết trường lượng tử, khi xét hệ gồm các hạt tương tác thì lựa chọn thuận tiện nhất là sử dụng biểu diễn tương tác. Khi đó ta có thể giảm bớt sự phức tạp của Hamintonian phần tương tác sang cả hàm sóng và toán tử. Hamintonian trong biểu diễn tương tác được chia làm 2 phần: H=H0 + H’ (2.1) Trong đó: H0 là phần mô tả các hạt tự do. H’ là phần mô tả tương tác giữa các hạt. Tương ứng với toán tử Aˆ không phụ thuộc thời gian trong biểu diễn Schroedinger, ta định nghĩa toán tử trong biểu diễn tương tác: ˆ ˆˆ ˆ0 0iH t -iH t IA (t)= e Ae (2.2) 20 Từ đây ta có phương trình cho toán tử: ˆ ˆ ˆ    I I 0 dA (t) = -i A (t),H dt (2.3) Trong biểu diễn Heisenberg, toán tử trường liên hợp chính tắc của ˆ(x,t) là: ˆˆ π(x,t)= (x,t)  (2.4) Và ta chấp nhận biểu thức giao hoán tử tại cùng thời điểm: ˆ ˆ   3(x,t), π(y,t) = iδ (x - y) (2.5) Với biểu thức khai triển của ˆ(x,t) và πˆ(x,t) theo toán tử sinh hủy: ˆ ˆ ˆ       3 -ikx † ikx 3- d k (x)= a(k)e + a (k)e (2π) 2ω (2.6) ˆ ˆˆ      3 -ikx † ikx 3- d k π(x)= (-iω) a(k)e - a (k)e (2π) 2ω (2.7) Ở đây kx = ωt kx  và 2 2ω = k + m  . Từ (2.5), (2.6), (2.7) ta thu được biểu thức giao hoán tử của toán tử sinh hủy: ˆ ˆ     † 3 3a(k), a (k ) = (2π) δ (k - k ) (2.8) Tương tự, trong biểu diễn tương tác ta cũng có: I I ˆ ˆ   3(x,t), π (y,t) = iδ (x - y) (2.9) Tức là trong biểu diễn tương tác, các trường Iˆ (x,t) và Iπˆ (y,t) tuân theo biểu thức giao hoán tử như các trường tự do. Vì vậy, các trường trong biểu diễn tương tác tuân theo các phương trình động và các biểu thức giao hoán như của các toán tử 21 trường tự do. Do đó, biểu thức khai triển (2.6) và giao hoán tử (2.8) cũng có thể dùng cho các toán tử trong biểu diễn tương tác. Bây giờ ta xem xét véc tơ trạng thái trong biểu diễn tương tác. Sử dụng véc tơ trạng thái trong biểu diễn Schroedinger ψ(t) ta định nghĩa: ˆ 0iH t I ψ(t) = e ψ(t) (2.10) Từ đó ta có phương trình động cho I ψ(t) :   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ          0 0 0 0 0 iH t 0I iH t 0 0 iH t iH t -iH t I d d i ψ(t) = e -H ψ(t) +i ψ(t) dt dt = e -H ψ(t) +(H + H ) ψ(t) = e H ψ(t) = e H e ψ(t) (2.11) Hay: ˆ II I d i ψ(t) = H (t) ψ(t) dt (2.12) Với: ˆ ˆ I ˆ ˆ 0 0iH t -iH tH = e H e (2.13) Là Hamiltonian tương tác trong biểu diễn tương tác. 2.2 S ma trận và khai triển Dyson Giả sử các trạng thái đầu và trạng thái cuối của hệ tại các thời điểm t   và t   lần lượt được diễn tả bởi các véc tơ trạng thái I ( ) i   và I ( ) f   . Và tại các thời điểm này I ˆ 0 H . Khi đó ta định nghĩa toán tử Sˆ : I I ˆ ˆ( ) S ( ) S      i (2.14) 22 Một phần tử nào đó của ma trận S chính là biên độ xác suất để tìm thấy hạt với trạng thái cuối là f nào đó trong I ( )  : fiI ˆf ( ) f S i S    (2.15) Vì vậy ta có thể viết: fiI I f f ( ) f f ( ) S f       (2.16) Ta cần tính được các các phần tử Sfi của S-ma trận và từ đó có xác suất chuyển dời 2 fiS . Tuy nhiên, trước hết ta lưu ý một tính chất quan trọng của Sˆ . Giả sử I ( )  và i đều được chuẩn hóa, ta có: †I I1 ( ) ( ) i S S i i i       (2.17) Từ đó suy ra Sˆ là toán tử unitary: †ˆ ˆ ˆS S I , hay: *kf ki fi k S S   (2.18) Thay i = f trong (2.18) ta có 2 kik S 1 , điều này cho thấy các hệ số trong khai triển (2.16) tuân theo điều kiện tổng tất cả xác suất bằng 1. Bây giờ ta sử dụng phương pháp của lý thuyết nhiễu loạn để tính Sˆ . Lấy tích phân (2.12) với thời điểm ban đầu là t   ta được: ˆ      t II I- ψ(t) = i - i H (t ) ψ(t ) dt (2.19) Nghiệm của phương trình tích phân (2.19) có thể viết dưới dạng dãy số theo ˆ  IH dạng: 23 (0) (1) (2) I I I ...    I ψ(t) ψ(t) ψ(t) ψ(t) (2.20) Với các gần đúng: (0) I ψ(t) = i (2.21) ˆ   t(1) I 1 1I - ψ(t) = (-iH (t ))dt i (2.22) ˆ ˆ      1t t(2) 1 2 I 1 I 2I - - ψ(t) = dt dt (-iH (t ))(-iH (t )) i (2.23) Cho t  ta có chuỗi nhiễu loạn của toán tử Sˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ           1t I 1 1 1 2 I 1 I 2 - - - S = 1+ (-iH (t ))dt dt dt (-iH (t ))(-iH (t ))+ ... (2.24) ˆ ˆ ˆ ˆ             1t n-1n 1 2 n I 1 I 2 I n n=0 S = (-i) dt dt ... dt H (t )H (t ) ... H (t ) (2.25) Ta biết rằng: I ˆ ˆ  3 IH (t)= (x,t)d xH (2.26) Vì vậy ta có thể viết lại số hạng thứ hai của (2.25): I I 2ˆ ˆ  1 2 4 4 1 2 1t >t d x d x (-i (x ))(-i (x ))H H (2.27) Sử dụng T-tích ta có thể viết lại (2.27): 1 I I 22 ˆ ˆ    4 4 1 2 1d x d x T (-i (x ))(-i (x ))H H (2.28) Trong đó: 24 I I 2 I I 2 1 2 I 2 I 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ          1 1T ( (x ))( (x )) (x ) (x ) khi t t = (x ) (x ) khi t < t H H H H H H (2.29) Một cách tương tự với số hạng tổng quát của (2.25) ta có khai triển Dyson cho toán tử Sˆ : n I I 2 I n ˆ ˆ ˆ ˆ          n 4 4 4 1 2 1 n=0 (-i) S = ... d x d x ... d x T (x ) (x ) ... (x ) n! H H H (2.30) 2.3 Áp dụng cho quá trình phân rã  C A B Xét hệ gồm có ba loại hạt vô hướng A, B và C với khối lượng là mA, mB, mC. Số hạng tương tác đơn giản nhất có dạng A B C ˆ ˆ ˆ  g . Hamintonian của hệ có dạng: ˆ ˆ ˆ 0H = H + H (2.31) Với: 2 2 2 2 30 i i i i i , 1 ˆ ˆˆ ˆH ( ) m d x 2           A B, C (2.32) Và 3 3A B C ˆ ˆ ˆˆ ˆH g d d      x xH (2.33) Mỗi trường iˆ , (i = A, B, C) có dạng (2.6), và các toán tử sinh hủy tuân theo quy tắc giao hoán: ˆ ˆ     † 3 3 i j ija (k), a (k ) = (2π) δ (k - k )δ i, j = A, B, C (2.34) Tương tự, ta cũng có ˆ ˆ ˆ ˆ      † † i j i ja , a = a , a = 0 . Bây giờ, sử dụng (2.30) ta sẽ tính tốc độ phân rã cho phân rã C A B  với bậc thấp nhất của g. Ta giả sử rằng trạng thái ban đầu i có hạt C với xung lượng bốn chiều pC, và trạng thái cuối có hai hạt gồm một hạt A và một hạt B với các xung lượng bốn chiều lần lượt là pA và pB. Ta muốn tính yếu tố ma trận: 25 ˆfi A B CS = p , p S p (2.35) Với bậc thấp nhất của g (Chú ý là số hạng ‘1’ trong (2.4) không đóng góp vào đây vì các trạng thái đầu và trạng thái cuối là trực giao). Tức là ta cần tìm giá trị của biên độ xác suất: (1) 4fi A B C ˆ ˆ ˆd x (x) (x) (x)   A B C-ig p , p pA (2.36) Để tiếp tục, ta cần chuẩn hóa các trạng thái ip . Ta định nghĩa: ˆ†i i i ip = 2E a (p ) 0 (i = A, B, C) (2.37) Với 2 2i i iE = m + p  . Sử dụng (2.34) ta được:  3 3i i i i ip p = 2E (2π) δ (p - p )   (2.38) Đại lượng 3i i iE δ (p - p )   là bất biến Lorentz. Chú ý rằng điều kiện đủ cho các trạng thái này là: 3 3 i i i i d p 1 p p = 1 (2π) 2E  (2.39) Bây giờ ta xem xét phần C C ˆ (x) p của (2.36): ˆ ˆ   3 -ikx † ikx † C C C C C3 k d k 1 a (k)e + a (k)e 2E a (p ) 0 (2π) 2E  (2.40) Với kk = (E , k)  và 2 2k CE = k + m  . Số hạng chứa hai ˆ†Ca sẽ bằng không khi kết hợp với trạng thái cuối không chứa các hạt của C. Ta sử dụng (2.34) kết hợp với ˆ Ca (k) 0 = 0 để viết lại (2.40): 26  - C 3 -ip x3 3 -ikx C C3 k d k 1 (2π) δ (p k) 2E e 0 = e 0 (2π) 2E   (2.41) Với ( 2 2C C C Cp p +m , p )   . Một cách tương tự, ta cũng có: A B ˆ ˆ(x) (x)   A BiP x iP xA Bp , p 0 e e (2.42) Vì vậy, biểu thức (2.36) có thể viết lại: (1)fi   A B C i(p +p - p )x4 4 4 A B C-ig d xe = -ig(2π) δ (p + p - p )A (2.43) Hàm δ trên chỉ khác không khi pC = pA + pB. Rõ ràng sự chuyển dời C A B  chỉ xảy ra khi mC > mA + mB (trong hệ quy chiếu mà C đứng yên, ta cần 2 2 2 2 C A Bm = m + p + m + p   ). Giả sử điều kiện trên thỏa mãn, ta sẽ tính toán tốc độ phân rã C A B  . Vấn đề đầu tiên là xác suất chuyển dời 2(1) fiA xuất hiện bình phương của hàm δ bốn chiều δ(x - a)δ(x - a)= δ(x - a)δ(0) và δ(0) tiến tới vô cùng. Trong trường hợp này ta có bốn lần vô cùng. Đây là do ta đã dùng các nghiệm là các sóng phẳng trong phương trình sóng. Một giải pháp cho vấn đề này là ta chấp nhận “chuẩn hóa hình hộp”, trong đó ta hình dung không gian có thể tích hữu hạn V và tương tác chỉ xảy ra trong khoảng thời gian T. Khi đó, “ 4 4(2π) δ (0)” thực ra là “VT”. Vì vậy, tốc độ chuyển dời trong một đơn vị thể tích là: 2 2(1) 4 4 fi fi A B C fiP = A / VT = (2π) δ (p + p - p ) M  (2.44) Với (từ (2.43)) (1)fi fi 4 4 A B C= (2π) δ (p + p - p )iA M (2.45) Vì vậy, biên độ bất biến fiiM trong trường hợp này chính là –ig. Phương trình (2.44) chính là xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian tới một trạng thái cuối cụ thể f . Tuy nhiên, trong trường hợp ta đang xét, các 27 trạng thái cuối A + B có dạng liên tục, và để có được tốc độ phân rã toàn phần  ta cần lấy tích phân fiP  cho toàn miền liên tục của các trạng thái cuối thỏa mãn tính bảo toàn năng – xung lượng. Tốc độ phân rã vi phân d được định nghĩa: fi fdΓ = P dN  , với fdN là số các trạng thái cuối cho mỗi hạt trong thể tích không gian xung lượng 3 3A Ad p d p   . Với chuẩn (2.37) ta có: 3 3 A B f 3 3 A B d p d p dN = (2π) 2E (2π) 2E   (2.46) Cuối cùng, để thu được một đại lượng không phụ thuộc vào chuẩn, ta cần chia cho số các hạt phân rã trong một đơn vị thể tích chính là 2EC. Vì vậy ta có công thức cuối cùng của tốc độ phân rã: 2 fi  3 3 4 4 A B A B C 3 3 C A B 1 d p d p Γ = dΓ = (2π) δ (p + p - p ) 2E (2π) 2E (2π) 2E   M (2.47) Bây giờ ta sẽ tính tốc độ phân rã toàn phần  với hệ quy chiếu C đứng yên. Khi đó, phần xung lượng ba chiều của 4δ dẫn đến A Bp + p = 0   , hay A Bp = p = -p    , và phần năng lượng trở thành Cδ(E - m ) với: 2 2 2 2A B A BE = m + p + m + p = E + E   (2.48) Vì vậy ta có tốc độ phân rã toàn phần:  2 3 C2 C A B 1 g d p Γ = δ(E - m ) 2m (2π) 4E E  (2.49) Lấy vi phân (2.48) ta có:      A B A B p p p E dE = + d p = d p E E E E      (2.50) Nên ta có thể viết: 28 23 A BE Ed p = 4π p d p = 4π p dE E     (2.51) Thay vào (2.49) ta được: 2 2 C pg Γ = 8π m  (2.52) Đại lượng p  được xác định từ (2.48) với E = mC:     1/ 24 4 4 2 2 2 2 2 2 A B C A B B C C A Cp m + m + m - 2m m - 2m m - 2m m / 2m  (2.53) Nếu đặt Cg = gm ta có: 2g Γ = p 8π   (2.54) Với g không thứ nguyên. Phương trình (2.54) cho thấy  tỉ lệ với năng lượng giải phóng của phân rã được xác định bởi p  . Nếu mC = mA + mB thì p  = 0 và do đó  =0. Nếu mA và mB không đáng kể so với mC, thì ta có: 2 C g Γ = m 16π  (2.55) Phương trình (2.55) cho thấy kể cả khi 2g / 16π (chẳng hạn như ~1/137) là nhỏ thì  vẫn có thể lớn nếu như mC là lớn, ví dụ như quá trình  - - eW e +ν . 29 CHƯƠNG 3: TỐC ĐỘ PHÂN Rà SIÊU HẠT Bây giờ, ta sẽ áp dụng các kết quả ở chương 1 và 2 để tính toán tốc độ phân rã của siêu hạt photino thành quark và squark trong một vài sơ đồ cây. 3.1 Sự phân rã của gluino  Lg uu  u m1,k1,s1,c1 g m3,k3,s3,c3 m2,k2,c2 Lu Hình 3.1 Giản đồ bậc thấp nhất cho phân rã  Lg uu  Trước hết ta xem xét phân rã của g có khối lượng 3 gm ( m )  , xung lượng bốn thành phần k3, spin s3 và chỉ số màu c3, tạo thành một quark u có khối lượng m1 (=mu), xung lượng bốn thành phần k1, spin s1, chỉ số màu c1 và một phản squark Lu có khối lượng L 2 u m ( m )  , xung lượng bốn thành phần k2 và chỉ số màu c2. Ta giả sử sự phân rã này được cho phép về mặt động học. Sự pha trộn của squark có thể bỏ qua cho trạng thái cuối của thế hệ thứ nhất này, ta sẽ tính đến nó cho quá trình g t t  . Các trường gluino, quark và squark lần lượt được kí hiệu bởi các spinor trái ug,  và trường phức vô hướng Lu . Lagrangian tương tác cụ thể là: 30   a† † a s u β Lβ 1 - 2g g χ (λ )u 2   (3.1) Với a = 1...8 là các chỉ số màu, α,β = 1...3 . Ta chú ý là cường độ tương tác được xác định bởi hằng số tương tác gs trong QCD. Đầu tiên ta biến đổi (3.1) thành dạng spinor Dirac bốn thành phần ( ) cho trường quark và Majorana M( ) cho gluino (sử dụng các công thức trong phụ lục A). Ta có:             u u χa† † † a† ga u u M R M †χ ga L M 0 M † ga L u 0 M ga u R M g χ = χ g =Ψ P Ψ = P Ψ γ Ψ = P Ψ γ Ψ =Ψ P Ψ       (3.2) Để tính cả khả năng tham số khối lượng M3 của gluino là âm, ta thay g M  bởi g g 5 M(i )     . Khi đó, (3.2) trở thành:  gθ ga u R M(i) Ψ P Ψ   (3.3) Sử dụng R 5 RP γ = P . Sự chính xác hóa này chỉ thích hợp khi ta tính đến sự pha trộn của squark. Với bậc thấp nhất của gs, biên độ phân rã là:   gθ 4 ga a s 1 1 1 L 2 2 u R M β Lβ 3 3 3 1 -i 2g (i) u, k , s , c ; u , k , c d xΨ (x)P Ψ (x) λ u (x) g, k , s , c 2     (3.4) Phần tử của ma trận có thể được xác định bằng cách rút gọn các trạng thái đầu và trạng thái cuối của các hạt. Sử dụng tính chất phản giao hoán của toán tử sinh hủy fermion: 31       1 2 1 2 1 2 1 2 † 3 3 λ 1 λ 2 1 2 λ λ † † λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 c (k ),c (k ) = (2π) δ (k - k )δ c (k ),c (k ) = c (k ),c (k ) = 0 (3.5) Ta có:                  1 1 1 3 † * ik x 1 1 1 uα u,s ,c 1 k u,s ,c α3 s ck * -ik x u,s ,c α d k u, k , s , c Ψ (x)= 0 c (k ) 2E [c (k )u(k ,s )ω (c )e (2π) 2E + d (k )v(k ,s )ω (c )e ]          1 1 1 3 † * ik x k u,s ,c 1 u,s ,c α3 s ck d k = 0 2E c (k )c (k )u(k ,s )ω (c )e (2π) 2E              1 1 1 1 1 3 3 3 † * ik x k 1 s s c c u,s ,c u,s ,c 1 α3 s ck d k = 0 2E (2π) δ (k - k )δ δ - c (k )c (k ) u(k ,s )ω (c )e (2π) 2E        1 3 3 * ik x k 1 α k d k 0 2E δ (k - k )u(k ,s )ω (c )e 2E 1ik x*1 1 α 1= 0 u(k ,s )ω (c )e (3.6) Ở đây ta sử dụng 0    † u,s ,c0 c (k ) , số hạng chứa   1 1u,s ,c 1 u,s ,cc (k )d (k ) sẽ bằng không khi kết hợp với trạng thái đầu không chứa các hạt u. Còn ω(c) là hàm sóng màu ba thành phần cho một tam tuyến màu với chỉ số màu là ‘c’. Tương tự ta có:  3-ik xgaR M 3 3 3 R 3 3 a 3P Ψ (x) g, k , s , c P u(k ,s )Ω (c )e   (3.7)   2ik xa a L 2 2 β Lβ 2 1 1 u , k , c λ u (x) λ ω(c )e 2 2   (3.8) 32 a 3Ω (c ) (a = 1,2,...,8) là hàm sóng màu cho gluino Khi đó, (3.4) được rút gọn thành: 40 d x 0 g 31 2 θ -ik xik x ik x* a s 1 1 α 1 2 R 3 3 a 3 1 -i 2g (i) u(k ,s )ω (c )e λ ω(c )e P u(k ,s )Ω (c )e 2  2 340 d x 0        g 1 θ i(k +k -k )x* a s 1 1 R 3 3 a 3 α 1 2 1 -i 2g (i) u(k ,s )P u(k ,s )Ω (c ) ω (c ) λ ω(c ) e 2        gθ † a 4 4 s 1 1 R 3 3 a 3 1 2 1 2 3 1 = -i 2g (i) u(k ,s )P u(k ,s )Ω (c ) ω (c ) λ ω(c ) (2π) δ (k + k - k ) 2   4 4 1 2 3(2π) δ (k + k - k )iM (3.9) Với         gθ † a s 1 1 R 3 3 a 3 1 2 1 2g (i) u(k ,s )P u(k ,s )Ω (c ) ω (c ) λ ω(c ) 2 M (3.10) Là biên độ bất biến cho quá trình trên. Tốc độ phân rã được cho bởi:  1 2 3 3 24 4 1 2 1 2 3 3 3 3 k k 1 d k d k Γ = (2π) δ (k + k - k ) 2E (2π) 2E (2π) 2E   M (3.11) Với 2 M là kết quả của việc lấy tổng trung bình theo chỉ số spin và màu của trạng thái đầu và trạng thái cuối: 1 2 3 1 3 2 c ,c ,c s ,s 1 1 8 2    2 M M (3.12) Thừa số màu được xác định trong phần phụ lục B, và bằng 1/2. Phần spinor là: 33 I   1 3 * * * 1 1 R 3 3 1 1 R 3 3 s ,s 1 u(k ,s )P u(k ,s )u (k ,s )P u (k ,s ) 2 T 0 0 0                 1 3 *5 5 1 1 3 3 1 1 3 3 s ,s 1+ γ 1+ γ1 u(k ,s ) u(k ,s )u (k ,s ) u (k ,s ) 2 2 2 T T               1 3 5 5 1 1 3 3 1 1 3 3 s ,s 1+ γ 1- γ1 u(k ,s ) u(k ,s )u (k ,s ) u (k ,s ) 2 2 2               1 3 5 5 1 1 3 3 3 3 1 1 s ,s 1+ γ 1- γ1 u(k ,s ) u(k ,s )u(k ,s ) u(k ,s ) 2 2 2                  1 3 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 s ,s 1+ γ 1- γ1