Luận văn Rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

giáo án. + Phải thay đổi thói quen giảng dạy hiện nay. - Về khách quan: + Khối lượng kiến thức và số lượng bài tập cần cung cấp, giảng giải cho học sinh khá lớn mà thơì gian dành để thực hiện còn ít, chưa hợp lý. + Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay. Tuy nhiên, khá nhiều giáo viên đều nhất trí là phải nâng cao năng lực chuyên môn, phải phấn đấu thi đua đổi mới phương pháp dạy học. Đồng thời họ cũng mong cấp trên sẽ điều chỉnh sao cho phù hợp giữa số lượng kiến thức, yêu cầu đạt được và thời gian thực hiện (kể cả thời gian chữa bài tập cho học sinh). *) Đại đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được cho học sinh năng lực quy nạp, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu sâu và nhớ lâu những điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, phát hiện ra. *) Hầu hết giáo viên cũng cho rằng khi sử dụng phương pháp quy nạp trong giờ học nên tập trung vào những kiến thức trừu tượng, khó hình dung, những tiên đề định lí không chứng minh. *) Rất nhiều giáo viên cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, đặc biệt là tập cho họ khái quát, dự đoán và nêu giả thuyết. Chương 2 Một số biện pháp thực hiện Phương pháp quy nạp được tiến hành theo con đường từ thực tiễn , từ các ví dụ minh họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt,... cùng với hệ thống câu hỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút ra các khái niệm, các định lí, các kiến thức mới. Để rèn luyện năng lực quy nạp, khả năng sử dụng phương pháp suy luận cho học sinh, ta cần thực hiện một số biện pháp sau đây: 1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp 1.1. Phân tích và tổng hợp 1.1.1. Mô tả Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó. Ngược lại, tổng hợp là dùng trí óc để hợp lại các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những hay khía cạnh khác nhau đã được rút ra trong cái toàn thể. Đây là hai thao tác trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất. 1.1.2. Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán - Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẽ nằm trong một khái niệm, một định lí,... - Từ những thuộc tính riêng lẽ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm, một định lí,... - Đây là hai thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành các thao tác khác. 1.1.3. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khi dạy khái niệm “ hàm số f(x) liên tục tại điểm x0”. Giáo viên có thể tiến hành như sau: - Kiểm tra bài cũ bằng cách yêu cầu học sinh làm các bài tập sau: 1) Cho hàm số f(x) = Tính và f(1)? 2) Cho hàm số f(x) = Tính , (nếu có), và f(0) ? 3) Cho hàm số f(x) = Tính , ? Học sinh tính toán và đưa ra kết quả cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên. - Hàm số có tính chất như ở 1) được gọi là hàm số liên tục, từ đó học sinh tổng quát nêu định nghĩa: . - Ta tiến hành phân tích định nghĩa: tồn tại khi nào? ( tồn tại khi và chỉ khi tồn tại , và ). - Hàm số f(x) có tức là hàm số này xác định tại . Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm được phân tích thành: + tồn tại hay hàm số xác định tại . + . + . + a = b = . Tổng hợp lại ta có: một hàm số f(x) muốn liên tục tại điểm thì phải thỏa mãn cả 4 điều kiện trên. Như vậy hàm số ở 2) cũng là một hàm số liên tục nhưng hàm số ở 3) không phải là hàm số liên tục. Từ đó ta có thể yêu cầu học sinh rút ra hai dấu hiệu nhận biết một hàm số liên tục tại điểm . Giáo viên có thể sử dụng luôn hai bài tập 1) và 2) làm hai ví dụ minh họa. Ví dụ 2: Khi dạy định lí, phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt được sự giống và khác nhau giữa các định lí gần gủi nhau. Chẳng hạn định lí về hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Phân tích giả thiết kết luận: giả thiết: kết luận: . Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh: - Hiểu rõ giả thiết: và và . - Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầu của kết luận. Phân tích thành các trường hợp sau: *) hoặc suy ra định lí đã được chứng minh. *) và a// b và với . Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải hướng dẫn học sinh: - Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào, phân tích cái đã cho và cái phải tìm... - Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẻ nhau. Sau khi phân tích được một số ý thì tổng hợp lai để xem ta có thu được điều gì bổ ích không, còn thiếu yếu tố nào nữa? - Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dể hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả. Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau (Đề thi tuyển sinh ĐH 1987). “Chứng minh (2) cho biết (1)”. - Biến đổi kết luận: Nhận thây trong hai vế của kết luận đều có chứa cả a lẫn b nên đưa về một vế để đặt thành thừa số chung. (2) (3). - Làm cho giả thiết và kết luận gần nhau: Đưa 2 từ vế phải sang vế trái ở giả thiết và tách ra để gần gũi với (3). (1) (4). - Tiếp tục phân tích vế trái của giả thiết: Tổng của hai số mà không âm thì chỉ có 3 khả năng xảy ra: + . Lúc này (3) đương nhiên đúng. Bất đẳng thức đã chứng minh xong. + hay . Hai khả năng này là tương tự, ta chỉ cần xét một là đủ. . Từ điều kiện ta phân tích được thành các trường hợp: b = 0 hay b = 1 và thì (3) hiển nhiên đúng. b 0. Do đó (3) đúng. 0 0. Lúc đó (3) . Bất đẳng thức này đúng vì: nên a-1 > 1- b nên . Cách chứng minh trên đây tuy hơi dài dòng hơn đáp án đã có nhưng rõ ràng là ta đã rèn luyện được cho học sinh các thao tác trên một cách có hiệu quả. 1.2. So sánh 1.2.1. Mô tả So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng. Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống và khác nhau. 1.2.2. Tác dụng - Hiểu sâu và đúng các đối tượng quan sát. - Thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng. - Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này. 1.2.3 Ví dụ minh họa So sánh những sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẻ khác nhau nhưng thực chất là giống nhau, thậm chí có khi chỉ là một. Ví dụ 1: . và số 1: . góc và chỉ là một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. So sánh các sự vật, hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau. Có khi chúng khác nhau ở khía cạnh này nhưng lại giống nhau ở khía cạnh khác. Ví dụ 2: + Hai hàm số và là khác nhau, nhưng khi 0 1 thì chúng cùng đồng biến. + Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một phương pháp giải: và . So sánh các khái niệm, các định lí, quy tắc để thấy cái hay, cái mới, các trường hợp vận dụng. Ví dụ 3: So sánh hai dấu hiệu chứng tỏ hàm số y= f(x) liên tục tại điểm . f(x) xác định tại . + tồn tại Với + tồn tại và + 1.3. Thử nghiệm và nhận xét 1.3.1 Mô tả: Thử nghiệm là xét tính đúng sai của một dự đoán (một giả thuyết) vào một trường hợp đặc biệt để biết dự đoán đó là đúng hay sai. Nếu là đúng thì làm cho niềm tin được cũng cố, còn nếu là sai thì bác bỏ nó đi. Sử dụng các thao tác tư duy trước như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét các đối tượng cụ thể hay khái quát hóa các sự vật hiện tượng để rút ra các nhận xét, các mệnh đề,... 1.3.2 Tác dụng - Tập cho học sinh có cái nhìn về các sự vật, hiện tượng dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác nhau, rồi từ đó thử nghiệm, nêu lên các nhận xét về chúng. - Đây là một con đường của phát minh, sáng tạo. 1.3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Định lí lớn Fermat đã nêu ở trang 7, Việc thử với n = 3 của Euler và n = 4 của Fermat là các thử nghiệm để củng cố niềm tin: “Định lí” Fermat đúng là một định lí, được Andrew Wiles khẳng định là đúng vào năm 1994. Ví dụ 2: Từ bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức: khi và (Đại số và giải tích 11, Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000, tr.149) Với cách giải thông thường là thay số vào để tính, hoặc rút gọn rồi mới thay số đều phức tạp và dễ nhầm lẫn dẫn đến sai sót nhưng nếu sau khi rút gọn xong , ta quan sát, thử đánh giá ab. Dể thấy: nên ta có được ngay kết quả A = 1. 2. Tập cho học sinh nêu dự đoán 2.1. Mô tả Từ những gì quan sát được, qua nhận xét, phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự,... học sinh đưa ra các dự đoán, giả thuyết, các kiến thức mới. 2.2. Tác dụng - Góp phần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, khả năng suy luận, óc quan sát để tìm ra các dấu hiệu bản chất của sự vật, hiện tượng. - Hình thành và phát triển kĩ năng tìm tòi, phát hiện ra cái mới cho học sinh. - Nó là nguồn gốc của phát minh, sáng tạo. 2.3. Các trường hợp cụ thể. 2.3.1. Tập dự đoán qua khái quát hóa, trừu tượng hóa Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra các cái chung trong các đối tượng, hiện tượng, sự kiện, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu. Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra cái chung, nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng ta cúng có thể khái quát một tính chất, một phương pháp. Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho. Chúng có tác dụng giúp chúng ta có cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng lẽ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn. Đây là một con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết. Chú ý rằng các giả thuyết rút ra được từ khái quát hóa và đặc biệt hóa có thể đúng và cũng có thể sai. Vì vậy phải chứng minh. Ví dụ 1: Trong sách giáo khoa thường nêu ngay các bài tập, bài toán ở dạng có sẵn, học sinh chỉ việc bắt tay vào giải mà thôi. Nhưng bằng quy nạp ta có thể hướng dẫn, tập cho học sinh tạo ra các hệ thức, các bài toán để tự mình giải_điều này cũng có tác dụng giúp học sinh định hướng được lời giải của bài toán một cách dễ dàng hơn. Chẳng hạn: Từ bài toán cụ thể của Gauss: 1+2+3+...+100 = (100+1).50 ta có thể yêu cầu học sinh đặt bài toán tổng quát lên cho n số tự nhiên liên tiếp đầu tiên với cách giải hoàn toàn tương tự như sau: “Tính tổng: 1+2+3+...+n” hoặc dưới hình thức khác: “Chứng minh rằng: ” (Ví dụ 1, Đại số và giải tích 11, nhà xuất bản giáo dục 2000, tr.80). Từ việc xem xét mệnh đề chứa biến P(n) = “”, ta có thể giúp học sinh đặc biệt hóa, khái quát hóa để rút ra các dự đoán có thể có như sau: n = 0: (đúng). n = 1: (đúng). n = 2: (đúng). n = 3: (đúng). n = 4: (đúng). - Từ đây ta có thể nêu lên giả thuyết: “”. Điều này hoàn toàn đúng nhưng tầm thường. Tuy nhiên chúng ta cũng có thể nêu lên khẳng định thông qua các trường hợp cụ thể trên như sau: “”. Điều này lại sai lầm vì với n = 5 ta có . Và hơn thế nữa, với n = 6, 7, 8,...thì . - Đến đây, ta có kết luận dự đoán tiếp theo: “”. Sau đó nếu với phép thử, cho dù kết luận dự đoán này có nhận được kết quả đúng với n bằng bao nhiêu thì vẫn không thể coi là đã được chứng minh. Nhưng mệnh đề này là một mệnh đề đúng và sẽ được chứng minh bằng quy nạp toán học. Đây cũng là một ví dụ cho phép ta khẳng định, giải thích vì sao trong phép quy nạp toán học cần phải chứng tỏ mệnh đề đúng với n = 0 hay n = p. Như vậy trong các dự đoán, kết luận rút ra chỉ là giả thuyết khi nào nó chưa được chứng minh. Ví dụ 2: Trong hình học chúng ta cũng có thể thực hiện được điều này. Chẳng hạn ở phổ thông cơ sở, ta có bài toán tìm số giao điểm của các trường hợp: - hai đường thẳng cắt nhau, n = 2: có 1 giao điểm - ba đường thẳng đôi một cắt nhau mà không cùng đi qua một điểm, n = 3: có 3 giao điểm. - bốn đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào đồng quy, n=4 : có 6 giao điểm. - năm đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào đồng quy, n=5: có 10 giao điểm. Từ đó tổng quát lên cho bài toán n đường thẳng đôi một cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, hãy tìm xem có bao nhiêu giao điểm? Ví dụ 3: Từ bài toán tổng quát ta đưa về bài toán cụ thể rồi từ đó hoàn thành lời giải cho bài toán ban đầu. Chẳng hạn: - Có n đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba nào đồng quy. Hỏi n đường thẳng đó chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu miền? - Đặc biệt hóa: n = 1: A(1) = 2. n = 2: A(2) = 4 = 2+2 = 2+1+1 =A(1)+1+1. n = 3: A(3) = 7 = A(2)+2+1. .... - Khái quát hóa: A(k+1) = A(k)+k+1. - Chứng minh: Giả sử có k đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba nào đồng quy, k đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng thành A(k) miền. Đường thẳng thứ k+1 cắt k dường thẳng kia tại k điểm nên tạo ra k+1 nửa (đoạn thẳng), mỗi nửa đoạn tạo ra một miền mới. Do đó A(k+1) = A(k)+k+1+1. Ta có thể đi đến kết quả cuối cùng: n điểm khác nhau trên một đường thẳng chia đường thẳng đó ra làm n+1 phần, n đường thẳng, ở vị trí tổng quát, chia mặt phẳng ra phần. Ví dụ 4: Từ hai ví dụ cụ thể thuộc hai lĩnh vực khác nhau, giáo viên hướng dẫn học sinh khái quát định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. 1) Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động trên trục S’OS. Quãng đường s của chuyển động là một hàm số theo thời gian t: s = f(t). Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0? Giải: Trong khoảng thời gian từ t0 đến t chất điểm đi được quãng đường: s- s0= f(t)- f(t0). * Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số là một hằng số. Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm. * Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chất điểm chuyển động trong khoảng thời gian t- t0. Khi t càng gần t0 tức là | t-t0| càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chất điểm tại thời điểm t0. Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây: Giới hạn (nếu có) của được gọi là vận tốc tức thời của chất điểm chuyển động tại thời điểm t0. Đó là đại lượng cần tìm. 2) Bài toán tốc độ phản ứng hóa học tức thời: Trong một phản ứng hóa học có một chất xúc tác tham gia. Nồng độ của chất xúc tác là một hàm số của thời gian t: C = f(t). Tìm một đại lượng đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0. Giải: Trong khoảng thời gian t- t0, hiệu C- C0= f(t)- f(t0) biểu thị sự biến thiên của nồng độ chất xúc tác. Đại lượng cho biết sự biến thiên trung bình của nồng độ chất xúc tác trong khoảng thời gian t-t0. Người ta gọi tỉ số đó là tốc độ trung bình của phản ứng hóa học đang xét. Nếu | t-t0| càng nhỏ thì tỉ số trên biểu thị càng chính xác tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0. Từ đó người ta định nghĩa: Giới hạn ( nếu có) của được gọi là tốc độ tức thời của phản ứng hóa học tại thời điểm t0. Đại lượng đó đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0. Qua hai bài toán này giáo viên tập cho học sinh so sánh, phân tích để rút ra cấu trúc chung của bài toán tổng quát: ở đây biến số là (sách giáo khoa thí điểm) ta tổng quát lên thành . Ta khái quát từ thành để đưa đến bài toán tìm giới hạn của tỉ số của nhiều vấn đề toán học, vật lí, hóa học, sinh học,... Sau đó đưa ra khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm. Giáo viên phải làm cho học sinh hiểu rõ bản chất của là tỉ số của hai số gia và (giới hạn của tỉ số này nếu có, gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại một điểm x0 nào đó) để sau này học sinh biết rằng có một hàm số có thể không có đạo hàm tại điểm x0, mặc dù tại đó hàm số vẫn liên tục. Ví dụ 5: Trong hình học không gian 11, khi dạy bài mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ, ngoài định nghĩa và hai ví dụ đã giải, sách giáo khoa không hề nêu lên phương pháp chung để giải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hay lăng trụ. Nhưng nếu bằng quy nạp, nhờ khái quát hóa và đặc biệt hóa (Từ hai bài toán cụ thể nêu trên) giáo viên có thể giúp học sinh nêu ra phương pháp giải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp một cách thuận lợi hơn. 1) Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Giải: * Xác định tâm: Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. (S.ABC là hình chóp đều) nên SO chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của SA. Trong (SAO), đường trung trực SI của MA cắt SO tại I, ta có: Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là S(I;R). * Tính bán kính R: Gọi N là trung điểm của BC . . (Hoặc nhận xét tứ giác AMIO nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nên SM.SA=SI.SO). + Tính SO: . Tam giác SON có: , (1). + Tính SA: Tam giác SAO vuông tại O nên với . Vậy (2) Từ (1) và (2) ta có Kết luận: Mặt cầu cần tìm là: S (I; ). 2) Bài toán 2: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một và có độ dài lần lượt là a, b, c. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Giải: * Tìm tâm: Vì tam giác SAB vuông tại S nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là đường thẳng tại trung điểm M của cạnh huyền AB. Khi đó (cùng vuông góc với (SAB)). Gọi N là trung điểm SC. Trong (SC, Mx) dựng đường trung trực NO của SC cắt Mx tại O. Ta có: Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC. * Tính bán kính: Xét tam giác OMB vuông tại M có : (Vì SMON là hình chữ nhật) Kết luận: Mặt cầu cần tìm là Qua hai bài toán ta giúp học sinh nêu lên phương pháp giải. Xác định tâm : Tâm có thể là giao điểm của hai đường thẳng trong một mặt phẳng hoặc giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng. - Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, từ đó dựng d là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Có hai khả năng xảy ra + Nếu tồn tại một cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp d thì ta dựng đường trung trực của cạnh bên đó và xác định giao điểm của nó với d - giao điểm đó chính là tâm của mặt cầu cần tìm. + Nếu không tồn tại cạnh bên nào đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp d thì ta buộc phải dựng mặt phẳng trung trực của của một cạnh bên nào đó. Khi đó giao điểm của với d chính là điểm cần tìm. Tính bán kính: - Tính độ dài từ tâm đến một đỉnh bất kì của hình chóp (hoặc hình lăng trụ). Ngoài ra, nếu dựa vào hình học phẳng, đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta còn có thể tương tự lên để có thêm cách xác định tâm khác là: + Các điểm còn lại nhìn hai điểm dưới một góc vuông. + Tồn tại một mặt cầu đi qua (n-1) điểm và khoảng cách từ điểm còn lại đến tâm mặt cầu đó đúng bằng bán kính của mặt cầu. Ngoài ra, qua bước xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp, ta cũng có thể hướng dẫn, gợi ý học sinh rút ra nhận xét: Nếu đa giác đáy của hình chóp không có trục đường tròn ngoại tiếp thì hình chóp đó sẽ không có mặt cầu ngoại tiếp. Ta cũng có thể khái quát hóa chỉ từ một sự kiện, hiện tượng. Ví dụ 6: Từ bài toán: Cho bất phương trình -2x+3>0 a) Giải bất phương trình và biểu diễn hình học tập nghiệm của nó. b) Chỉ ra các khoảng trong đó f(x)= -2x+3 có giá trị: - Trái dấu với a. - Cùng dấu với a. Ta có thể khái quát lên thành định lí dấu nhị thức bậc nhất. Ví dụ 7: Trong bài tập phép dời hình (hình học 10), ở mục khái niệm về hai hình bằng nhau. Từ trường hợp hai tam giác bằng nhau, ta khái quát lên cho hai hình (H) bất kì bằng nhau. 2.3.2. Tập dự đoán qua tương tự Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối tượng được xem là tương tự với nhau khi chúng phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Có thể nói rằng: Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong một mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng. Bằng tương tự ta có thể tập luyện cho học sinh quan sát, so sánh, nhìn các sự vật hiện tượng dưới nhiều góc độ, nhiều quan điểm khác nhau. Đây là con đường dẫn tới sáng tạo, phát minh. Tuy nhiên cần lưu ý rằng, kết quả của tương tự chưa có gì chắc chắn, chỉ là những dự đoán, giả thuyết. Vì vậy cần phải chứng minh. Ví dụ 1: Tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian ở chổ chúng được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản (đường trong mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian). Từ đó ta xây dựng: + Trung tuyến của một tam giácđược định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kỳ của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. + Trung tuyến của một tứ diện hay còn gọi là trọng tuyến được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kì của tứ diện tới trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó. + Các đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác + Các đường trọng tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện. + Trọng tâm của tam giác chia các trung tuyến của nó theo tỷ lệ 2:1 + Trọng tâm của tứ diện chia các trọng tuyến của nó theo tỷ lệ nào? Có cùng tỷ lệ 2:1 hay không? (Kết quả là không. Nó chia các trọng tuyến theo tỷ lệ 3:1). + Từ các công thức độ dài trung tuyến ta rút ra được công thức: + Liệu có kết quả tương tự như thế trong không gian hay không? Và nếu có thì như thế nào? , với, i = 1,...,6 là độ dài các cạnh của tứ diện. Bằng cách giải và sử dụng định lí trung tuyến trong tam giác, sử dụng phương pháp tương tự cho bài toán trong không gian, đưa về xét các tam giác trong mặt phẳng có đủ yếu tố xác định ta có công thức: + Tam giác vuông trong mặt phẳng + Tứ diện vuông (Tứ diện có một góc tam diện là vuông) trong không gian + Trong tam giác vuông có định lí Pythagore: Bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương cạnh góc vuông. + Trong tứ diện vuông ta cũng có một “định lí” tương tự như sau: “Bình phương diện tích “mặt huyền” bằng tổng các bình phương diện tích các mặt vuông (mặt huyền là mặt đối diện với góc tam diện vuông, mặt vuông là các tam giác còn lại) + Cho tam giác ABC, gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ha, hb, hc lần lượt là các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c. Chứng minh: + Cho tứ diện ABCD, gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện, ha, hb, hc hd, lần lượt là các đường cao tương ứng hạ từ các đỉnh A, B, C, D của tứ diện. Chứng minh: + Trong tam giác vuông ABC có cạnh là a, b, c và đường cao h ta luôn có: + Trong tứ diện vuông OABC có cạnh OA= a, OB= b, OC= c và đường cao h hạo từ O xuống (ABC) ta có: + Từ định lí Thales trong mặt phẳng: “Cho ba đường thẳng a, b, c đôi một song song, đường thẳng d cắt a, b, c, lần lượt tại A, B, C; đường thẳng d’ cắt a, b, c, lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: ” + Định lý Thales trong không gian được phát biểu một cách tương tự như sau: “Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song, đường thẳng a cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C; đường thẳng a’ cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: ” ... Ví dụ 2: Sử dụng tương tự từ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng: ta có công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều: và không gian n_chiều 2.3.3. Tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo Ví dụ 1: Khi dạy về định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000 đưa trực tiếp định lí. Nhưng sách giáo khoa thí điểm lại không đưa định lí một cách trực tiếp mà dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai nhờ nhận xét trường hợp af(x) < 0 khi và có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giáo viên khi dạy định lí này có thể thiết kế bài giảng như sau: - Ra bài toán: Chứng tỏ phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Giáo viên hướng dẫn, gợi ý cho học sinh như sau: + Chúng ta có những cách nào để chứng minh một phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt? Đối với bài toán này có giải được bằng những phương pháp trên không? (P = ac<0 không dùng được, việc tính khá phức tạp). Chúng ta có thể dựa vào những kiến thức đã học nào để tìm cách giải bài toán trên? Dựa vào bảng tóm tắt về dấu tam thức bậc hai hãy cho biết af(x) < 0 khi nào ? Từ đó, giáo viên hướng dẫn học sinh lập mệnh đề đảo: Cho , nếu af(x) < 0 thì thu được kết quả gì? (nếu tồn tại sao cho af(x)<0 thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và x1< < x2). Ví dụ 2: Khi dạy bài hệ thức lượng trong đường tròn, khái niệm phương tích của một điểm đối với một đường tròn: Nếu qua điểm M có hai cát tuyến MAB và MCD với đường tròn (O,R) thì ta có (*). Vấn đề đặt ra là nếu có bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn (*) thì có tồn tại một đường tròn đi qua bốn điểm đó hay không ? Đây là một mệnh đề đảo đúng và có thể chứng minh. Tìm được mệnh đề này, học sinh đã bổ sung thêm cho mình một cách chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. Tuy nhiên, nhiều khi một định lí thuận không tồn tại định lí đảo nhưng việc tập cho học sinh lập mệnh đề đảo trong một số trường hợp có thể được cũng mang lại những ích lợi nhất định. Chẳng hạn rèn luyện được cho học sinh có tư duy thuận nghịch, làm cho học sinh hiểu sâu hơn định lí vừa học....Ví dụ: dãy (Un) có giới hạn thì bị chặn suy ra: Bị chặn thì chưa chắc có giới hạn nhưng không bị chặn thì không có giới hạn. Hay khi học định nghĩa hàm số f(x) liên tục tại điểm x0: f(x) liên tục tại điểm x0 . Vậy nếu y = f(x) không liên tục tại điểm x0 (gián đoạn tại điểm x0) thì . 3. Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập toán 3.1. Giải thích