LỜI NÓI ĐẦU.3
CHưƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.5
1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHưƠNG TRÌNH CƠ BẢN .5
i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I.5
i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II .5
i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát .5
1.2 GIẢI PHưƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT.6
1.3 GIẢI MỘT SỐ PHưƠNG TRÌNH BẬC BỐN .7
i.1 Giải phương trình trùng phương ax bx c 4 2 0. .7
i.2 Giải phương trình có dạng x a x b x c x d ex2 .7
i.3 Giải phương trình có dạng x a x b x c x d m .7
i.4 Giải phương trình dạng x a x b c 4 4 .7
1.4 CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP.8
1.5 HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN .8
CHưƠNG 2. MỘT SỐ PHưƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ
PHưƠNG TRÌNH .10
2. 1 GIẢI HỆ PHưƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH HẰNG
ĐẲNG THỨC.10
Bài tập tự luyện.18
2. 2 GIẢI HỆ PHưƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CỘNG ĐẠI SỐ .19
Bài tập tự luyện.30
2. 3 GIẢI HỆ PHưƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI ĐưA VỀ PHưƠNG
TRÌNH BẬC HAI CÓ DENTA LÀ BÌNH PHưƠNG CỦA MỘT BIỂU THỨC .30
Bài tập tự luyện.40
2. 4 GIẢI HỆ PHưƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TẠO NHÂN TỬ
CHUNG .40
Bài tập tự luyện.52
2.5 GIẢI HỆ PHưƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP.53
Bài tập tự luyện.63
81 trang |
Chia sẻ: anan10 | Lượt xem: 526 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Sử dụng phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình hai ẩn, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHƯƠNG CỦA MỘT
BIỂU THỨC
Trong phần này tác giả sẽ trình bày cách sáng tác các bài tập đƣa về phƣơng trình bậc
hai có đen ta là số chính phƣơng, lƣu ý không nhất thiết là phƣơng trình đó phải có
bậc hai mới sử dụng đƣợc. Bản chất cơ bản của việc giải bằng cách sử dụng biệt thức
đenta cũng chính là việc xác định nhân tử chung nếu có. Trong trƣờng hợp biệt thức
đenta không phải là số chính phƣơng thì ta có cố gắng mấy thì cũng không thể phân
tích đƣợc nhân tử. Chính vì thế đây chính là phép thử rất tốt giúp ta dự đoán đƣợc
nhân tử chung ( nếu có). Giờ chúng ta hãy thử đi xét hai bài tập này trƣớc để hiểu sơ
31
qua phƣơng pháp và sau đó ta sẽ chuyển qua việc sáng tác các bài tập giải hệ phƣơng
trình dạng này.
Bài toán 1. Giải hệ phƣơng trình
2 22 3 1 2
2 2 9
.
2 93 2 3 4 5
x y x xy y
x yx y x
Giải.
Điều kiện
4
2 ; ;2 9 0
5
y x x x y .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
22 3 1 2 0x x xy y 2 23 2 2 3 0y x y x x .
Ta có
2
4x . Suy ra phƣơng trình có nghiệm là 1y x .
Thay 1y x vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
2 2 9
103 1 3 4 5 xx x
2 10 6 1 4 5 9 9 3 1 3 4 5 1 4 5x x x x x x x
1 4 5 3 9 1 9 4 5 4 41 0x x x x x
1 4 5 3x x 2 1 4 5 4 4x x x
1 0 1
1 4 5 2 1 0
0.4 5 2 1
x x
x x x
xx x
Với 0 1x y . Thử lại thấy thỏa mãn.
Với 1 2x y . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy phƣơng trình có nghiệm ; 0; 1 , 1; 2x y .
Bài toán 2. Giải hệ phƣơng trình
2
3 3 3 1 2 1
3 1 1 2 3 1 2 .
x xy x y x y y
x y y x x x
Giải.Điều kiện 1; 1; 3 3 0x y xy x y .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
32
3 3 1 1 2 1 1 0x x y y y
Coi phƣơng trình trên là một phƣơng trình bậc hai đối với biến 3x ta có
2
1 1 4 2 1 1 9 1 6 1 1y y y y y
2
3 1 1y .
Suy ra phƣơng trình có nghiệm là
1 1 3 1 1
3
2
1 1 3 1 1
3
2
y y
x
y y
x
3 1
3 2 1 1
x y
x y
3 1x y 2y x .
Thế 2y x vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
23 3 1 2 3 1 2x x x x x x
2
3
3 3 1 2 3
1 2
x
x x x x x
x
2
3
3 1 2 1 2 3 .
x
x x x x x
Với 3 5x y .
Xét phƣơng trình 23 1 2 1 2 3x x x x x
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2x x x x
.
Xét hàm số 22 2f t t t . Ta có ' 0f t với 0t . Suy ra hàm số luôn đồng
biến. Từ đó 1 1f x f x 1 1 3x x x .
Nghiệm này trùng với nghiệm trên.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm là ; 3;5x y .
Nhận xét : Qua hai bài toán trên cho thấy rằng không phải lúc nào bài toán đƣa về
phƣơng trình bậc hai phải là một phƣơng trình có bậc bằng hai, mà phƣơng trình đó
chỉ cần có bậc hai với biến mà ta lựa chọn. Ý tƣởng sáng tác bài toán dạng nhƣ này
33
không khó, ta sẽ thử đi sáng tác một bài dạng này.
Trƣớc tiên phƣơng trình cần lập là một phƣơng trình bậc hai đối với biến y , tiếp theo
ta cần chọn một biểu thức denta chính phƣơng trƣớc. Giả sử ta chọn biệt thức
2
2 1x x . Do biệt thức đenta với phƣơng trình bậc hai đƣợc tính bằng công
thức 2 4 .b a c nên ta sẽ phân tích biệt thức denta đã chọn dƣới dạng đó
2 2
2 2 31 1 4x x x x x x nên ta có thể chọn 2 1b x x , 1a ,
3c x x . Giờ ta đã có một phƣơng trình bậc hai với biến y có biệt thức denta đã
chọn ban đầu là 2 2 31 0y x x y x x . Khi đó giải ra ta sẽ đƣợc mối liên hệ giữa
hai biến là y x hoặc 21y x . Với hai mối liên hệ này ta sẽ chọn mối liên hệ y x
để sáng tác phƣơng trình thứ hai, khi đó ta phải chấp nhận mối liên hệ 21y x sẽ cho
nghiệm (nếu có) không đƣợc đẹp nhƣ ý muốn đƣợc.
Phƣơng trình thứ hai tác giả muốn lấy ý tƣởng cách giải dựa trên tính chất hàm số đặc
trƣng, ở đây tác giả chọn hàm đồng biến là 2 3 2f t t t và cho xuất hiện
phƣơng trình có dạng 2 1 3f x f x .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình này ta đc phƣơng trình thứ hai của hệ là
2 23 2 9 3 4 2 1 1 0.y x y x x
Từ đó ta có bài toán sau.
Bài toán 3. Giải hệ phƣơng trình
3 2
2 2
1
3 2 9 3 4 2 1 1 0.
xy x x y x y
y x y x x
Giải. Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
2 3 2x y xy x y x y 2 2 31 0y x x y x x .
Coi phƣơng trình trên là một phƣơng trình bậc hai với biến y ta có
2
21 x x .
34
Do đó phƣơng trình có hai nghiệm là
2 2
2 2
2
1 1
2
1 1
1 .
2
x x x x
y x
x x x x
y x
+ Với y x . Thay y x vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
2 23 2 9 3 4 2 1 1 0x x x x x
2 22 1 2 1 3 2 3 3 2 3x x x x
Xét 2 3 2f t t t . Ta có ' 0f t với t . Suy ra hàm số luôn đồng biến.
Vì 2 1 3f x f x . Nên
1
2 1 3
5
x x x
1
5
y
.
+ Với 21y x . Thay 21y x vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
2 2 2 23 1 2 9 3 4 6 1 1 0x x x x x . Phƣơng trình này vô nghiệm.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm
1 1
; ;
5 5
x y
.
Nhận xét : Việc chọn biến có phức tạp hay không để sáng tác phƣơng trình là yếu tố
then chốt quyết định xem bài toán có phức tạp hay không, nếu muốn bài toán nâng cao
độ khó ta chỉ cần xét với những biến phức tạp là đƣợc. Bên cạnh đó việc lựa chọn biệt
thức đenta cũng góp phần không nhỏ nâng cao độ khó bài toán, với những trƣờng hợp
mà biến số không thuận lợi với biệt thức denta trong việc rút thế tìm mối quan hệ với
biến sẽ là một bài toán không hề đơn giản. Chính vì vậy khi sáng tác thì ta cần phải
tránh trƣờng hợp này để làm cho bài toán không phải là bài đánh đố ngƣời giải.
Sau đây tác giả sẽ sáng tác một bài toán liên quan đến việc chọn biến là căn thức. Ta
chọn biến trong bài toán này là 2 1x và biệt thức
2
4 3y .
Khi đó ta biến đổi đƣợc thành
2
4 1 4.2. 2 1y y . Vậy ta sẽ chọn các số
2; 4 1; 2 1a b y c y . Ta có phƣơng trình đầu tiên nhƣ sau
2
2 22 1 4 1 1 2 1 0x y x y 2 24 1 1 2 2 1y x x y .
Khi chọn biến 2 1x và biệt thức
2
4 3y ta lựa chọn ngẫu nhiên nên khi giải ra
35
nghiệm ta sẽ thu đƣợc 2 4 1x y y nên khi sáng tác phƣơng trình thứ hai để không
đánh đố ngƣời giải ta sẽ sáng tác phƣơng trình sao cho sử dụng thuận lợi mối liên hệ
đó. Đó sẽ là một phƣơng trình chỉ chƣa bậc chẵn đối với biến x , chả hạn nhƣ
4 2 2 1.x x y y Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 4. Giải hệ phƣơng trình
2 2
4 2 2
4 1 1 2 2 1
1.
y x x y
x x y y
Giải. Đặt 2 1 1t x . Phƣơng trình thứ nhất của hệ đƣợc viết lại thành
22 4 1 2 1 0t y t y
2 2
1
2 1
4 4 .
y
t y
x y y
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
22 2 216 1 4 1 1 0y y y y y
2 2
1
1
1 16 1 4 1 0
y
y
y y y y y
.
Với 1 0y x . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm ; 0;1x y .
Để nâng dần bài khó lên nữa, ta sẽ làm theo hai bƣớc : một là, lựa chọn một biến
không đơn giản nhƣ , , ,...x y f x do ngƣời giải sẽ dễ nhận biết đƣợc biến ; hai là
chọn một biệt thức đenta cồng kềnh hơn. Ví dụ nhƣ ta chọn biến của phƣơng trình bậc
hai ở đây là 1y và biệt thức
2
4' 2 1x .Với cách chọn biến 1y thực sự sẽ
làm bài toán khó lên rất nhiều do khi phân tích ngƣời đọc sẽ ít để ý tới thêm hằng số
vào biến.Giờ ta có thể phân tích biệt thức
2 2
4 4 2 6 2' 2 1 1 3 6x x x x x . Ta
sẽ chọn 2a x , 4' 1b x , 6 23 6c x x . Khi đó ta có một phƣơng trình bậc hai thỏa
mãn các dữ kiện đã chọn là 22 4 6 21 2 1 1 3 6 0x y x y x x hay tƣơng đƣơng
với phƣơng trình 4 2 2 4 22 1 2 7 3 2y x y x y y x x . Nếu ta muốn làm cho ý
tƣởng tiếp tục bị che bớt khiến ngƣời giải phải suy nghĩ ta tiếp tục biến đổi tƣơng
đƣơng phƣơng trình thu đƣợc
36
2
2
3
1 2 7
2 3 2
y y y
xy x x
x x
.
Lƣu ý khi giải phƣơng trình trên ta sẽ thu đƣợc 23 1y x hoặc
4
2
2
1
x
y
x
. Vì
mối liên hệ này khá phức tạp nên ta có thể chọn nghiệm trƣớc rồi cân bằng giá trị cho
phù hợp là đƣợc.
Chọn 2 13x y .Khi đó cặp ; 2; 13x y là nghiệm của phƣơng trình
22 1 3 4 72.x x y x y
Từ đó ta có bài toán sau
Bài toán 5. Giải hệ phƣơng trình
2
2
3
2
1 2 7
2 3 2
2 1 3 4 72.
y y y
xy x x
x x
x x y x y
Giải. Điều kiện 1; 4x y .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
4 2 2 4 22 1 2 7 3 2y x y x y y x x
22 4 6 21 2 1 1 3 6 0x y x y x x .
Xét phƣơng trình là phƣơng trình bậc hai của biến 1y ta có
2 2
4 4 4 4' 1 3 2 2 1x x x x .
Suy ra phƣơng trình có nghiệm
4 4 4
2 2
4 4
2
2
1 2 1 2
1
1 2 1
1 3 .
x x x
y
x x
x x
y x
x
Với 21 3y x 23 1y x .
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
2 2 22 1 3 3 3 3 1 72x x x x x .
Xét hàm số 2 2 22 1 3 3 3 3 1 72f t t t t t t với 1t .
Ta có
2
3
2
1 9
' 12 2 0
1 3 3
t
f t t t
t t
với 1t . Suy ra hàm số luôn đồng biến.
37
Mà 2 0f . Nên phƣơng trình sẽ nhận nghiệm duy nhất là 2x .
Với 2 13x y .
+ Với
4
2
2
1
x
y
x
4
2
2
1
x
y
x
. Vì 1 2x y .
Mà theo điều kiện ta có 4y .Suy ra không tồn tại giá trị thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm ; 2; 13x y .
Nhận xét : Qua những bài sáng tác ở trên, tác giả hi vọng ngƣời đọc đã nắm đƣợc
phƣơng pháp sáng tác một bài tập dạng nhƣ này, do việc chọn biến và biệt thức đenta
nên ta hoàn toàn sáng tác đƣợc các lớp bài toán với độ khó tăng dần tùy để thỏa ý tác
giả. Giờ ta sẽ mang những ý tƣởng bên trên để tìm ý tƣởng của tác giả của các bài
toán sau
Bài toán 6. Giải hệ phƣơng trình
3 2 2 2
2
5 5 8 8 3
4 5 3 1 0.
y y y xy x xy x
x x x y
Phân tích : Trong hai phƣơng trình của hệ ta thấy phƣơng trình thứ hai có thể thế biến
dễ dàng là
24 5 3 1y x x x nhƣng khi thế vào phƣơng trình đầu của hệ thì lại quá
phức tạp nên ta không thể giải theo cách này đƣợc. Để ý kĩ thấy đây là một phƣơng
trình đa thức bậc ba với biến y và bậc hai với x . Vì lợi thế bậc nhỏ hơn nên việc
phân tích theo biến x gần nhƣ sẽ đơn giản hơn. Chính vì thế ta sẽ biến đổi tƣơng
đƣơng để đƣa về thành phƣơng trình bậc hai đối với biến x .
Ta có lời giải cho bài toán nhƣ sau.
Giải. Điều kiện
1
3
x
.Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
2 2 3 28 8 3 5 5 0x y y x y y y .
Ta có
2 2
2 3 2 28 3 4.8. 5 5 8 13y y y y y y y .
Suy ra phƣơng trình có nghiệm
5
8 5
8
y
x y x
.
Thay 8 5y x vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
224 3 1 13 5 0 2 3 3 1 4x x x x x x .
38
Đặt 3 1 2 3x t với
3
2
t . Phƣơng trình trên tƣơng đƣơng với hệ
2
2
2 3 2 1
2 2 5 0
2 3 3 1
x t x
x t x t
t x
2 5 2
.
t x
x t
Với
11 73
2 5 2 3 1 2 2
8
t x x x x
6 73y .
Với
15 97
3 1 3 2
8
x t x x x
10 97y .
Thử lại nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm
11 73 15 97
; ;6 73 , ;10 97
8 8
x y
.
Nhận xét : Nhờ việc đã dự đoán đƣợc ý tƣởng của tác giả bài toán từ trƣớc nên việc
giải bài toán trên đã làm bài toán dễ dàng đi rất nhiều. Còn việc giải phƣơng trình khi
thế mối quan hệ của hai biến vào là đòi hỏi phải có sự tinh tế trong quan sát và nắm
đƣợc một số phƣơng pháp cơ bản trong việc đặt ẩn phụ trong giải phƣơng trình. Ta sẽ
đi xét tiếp một bài toán nữa để kết thúc phần giải hệ phƣơng trình bằng cách đƣa về
phƣơng trình bậc hai tại đây.
Bài toán 7. Giải hệ phƣơng trình
2
2
2 23
2 3
3 4 1
7 27 12 2 8 .
y
y x x
x
y x x x y
Phân tích : Với cấu trúc trong bài toán này ta sẽ phải đi giải phƣơng trình thứ nhất của
hệ, vì phƣơng trình thứ hai có bậc của các biểu thức quá lộn xộn, không có điểm
chung. Xét phƣơng trình đầu tiên của hệ, ta thấy biểu thức trong căn có đại lƣợng
2 3y mà ở bên ngoài cũng có nên ta có thể dự đoán đƣợc sẽ đƣa về phƣơng trình bậc
hai với biến là một căn thức trong đó biến sẽ có thành phần là 2 3y . Điều ta để ý
thấy ở đây trong căn có
22 3y
x
nên ta nghĩ tới hai hƣớng xử lí phƣơng trình này,
một là phải khử mẫu đi bằng cách nhân x , hoặc hai là phải làm biểu thức 2 3y
39
xuất hiện dạng
2 3y
x
hay
2 3y
x
. Rõ ràng theo hƣớng thứ hai sẽ có lợi thế vì khi đó
2 3y
x
chính là một biểu thức bậc hai với
22 3y
x
. Vậy ta đã có ý tƣởng giải cho
bài toán này nhƣ sau.
Giải. Điều kiện 0x .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
2
2
2 3
3 4 1
y
y x x
x
2 23 3
2 12 0
2
y y
x
x x
2 2 23 3 3
6 0 2
2 2 2
y y y
x
x x x
2
23 4 8 3
2
y
y x
x
.
Thay 2 8 3y x vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc 3 24 12 6x x .
Đặt 33 24 24t x x t .
Phƣơng trình trở thành
3
3 3
3
24 00
36 6 4 24 4
3 24 3
xt
t t t x
t x
24
88
3.
x
x
x
Đối chiếu với điều kiện chỉ thấy 3x thỏa mãn.
Với 3 21x y .
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm ; 3; 21 ; 3; 21x y .
Nhận xét : Thông qua các việc phân tích tìm lời giải bài toán bên trên và đặc biệt là ý
tƣởng sáng tác một bài giải hệ phƣơng trình bằng cách đƣa về phƣơng trình bậc hai sẽ
làm cho ngƣời đọc có nhiều cách tiếp cận giải bài toán giải hệ phƣơng trình. Đây là
một phƣơng pháp khá cơ bản nhƣng lại mang tính áp dụng thực tế rất cao và là ý
tƣởng để xây dựng các bài toán khó hơn. Điểm lợi của phƣơng pháp này so với
phƣơng pháp thêm bớt tạo nhân tử chính là việc đòi hỏi không quá nhiều vào kĩ năng
quan sát, thêm bớt để nhóm tạo nhân tử chung. Thêm vào đó điểm lợi của bài toán này
còn thể hiện rõ qua hai bài toán7, 8 mà tác giả trình bày ở trên. Hi vọng ngƣời đọc
40
qua phần này có cái nhìn tổng quát hơn về các bài toán dạng này và có thể sáng tác
các kiểu bài toán dạng đƣa phƣơng trình về phƣơng trình có dạng bậc hai với độ khó
nâng dần.
Bài tập tự luyện
Bài tập 1.
2
2 2 2 2
4 4 2 2
5 2 6 5 36
5 6 2 6 .
x y xy x y
y x x xy y
Đáp án: ; 1;1 ; 1; 1x y
Bài toán 2.
2 2
2 7 5 3 2
8 3 56 44 8
x y y x
y x x y x y
Đáp án:
321 8 23 355 8 23
; 2;2 ; ;
338 338
x y
Bài toán 3.
3 3
2
2
2
8 1 3 2
16 2
20
2 3
x y x y x y x
y
x
y x
Đáp án: ; 4; 2 ; 2;4x y
Bài toán 4.
2 2 2 2
3 3
2 2 2 3
2 2 .
x y y x
x y y x
Đáp án: ; 1;1 ; 1; 1x y
Bài toán 5.
2 2
2
17 3 2
3 10 7 11.
x y xy x y
x y x y
Đáp án : ; 1;1 ; 6;6x y .
2. 4 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TẠO NHÂN
TỬCHUNG
Xét hệ phƣơng trình có dạng
; 0
; y 0
f x y
g x
với 1 2; ; .f ;f x y f x y x y .
Khi đó ta đƣa về việc giải các hệ đơn giản hơn
1 ; 0
; y 0
f x y
g x
và
2 ; 0
; y 0.
f x y
g x
Giải hệ phƣơng trình bằng cách tạo nhân tử chung thực chất là kỹ thuật có tính phát
41
triển nâng cao dựa trên nền tảng của kĩ thuật giải hệ bằng phƣơng pháp thế. Đối với hệ
có chứa những phƣơng trình đƣa đƣợc về phƣơng trình có dạng bậc hai thì ta có thể
dùng biệt thức đenta để giải. Nhƣng cách này không áp dụng đƣợc với những hệ có
bậc cao hơn hoặc không đƣa đƣợc về dạng phƣơng trình bậc hai với biến nào đó. Với
những bài toán này yêu cầu ngƣời giải cần có kỹ năng tách nhóm nhân tử một cách
thuần thục và kĩ năng giải các phƣơng trình từ cơ bản tới nâng cao một cách thành
thục. Sau đây chúng ta hãy giải sơ qua một số bài toán để có cái nhìn sơ qua về
phƣơng pháp này.
Bài toán 1. Giải hệ phƣơng trình
3 2 3 2
2
2
2 2 4 2
2 2 16 1
1 3 .
8 7 2
x xy x y x y y
y x y
y x
x y
Phân tích : Nhìn cấu trúc của hệ này ta dự đoán đƣợc là sẽ đi giải phƣơng trình đầu
tiên của hệ vì phƣơng trình thứ hai khá cồng kềnh. Phƣơng trình đầu tiên là một
phƣơng trình đa thức bậc ba, để ý kĩ thì chúng sẽ chia thành các cặp cùng bậc với
nhau và có cùng tỉ lệ 1: 2 do vậy ta có thể nhóm và phân tích, hi vọng sẽ nhóm đƣợc
nhân tử chung.
Giải. Điều kiện 1x .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
3 2 2 32 2 4 2 0x y x x y xy y 2 22 1 2 0x y x y
2x y
2
x
y .
Thay
2
x
y vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
2
2
2 2 16
12
1 3
4 7 2 2
x
x
x
x
x x
2
2
4 32
1 1 3
4 7
x x
x x
x x
2
8 4 1 8
4 7 1 3
x x x x
x x x
2
8
4 1
.
4 7 1 3
x
x x
x x x
+ Với 8 4x y .
42
+ Với
2
4 1
4 7 1 3
x x
x x x
24 1 3 1 4 7x x x x x
2 2
1 3 1 3 2 3 2 3x x x x
.
Xét hàm số 23 3f t t t với t R . Ta có 2' 3 1 0f t t . Nên hàm số luôn
đồng biến. Suy ra 5 131 2 1 2
2
f x f x x x x
.
Với
5 13 11 13
2 4
x y
.
Đổi chiếu với điều kiện thấy các nghiệm đều thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm
5 13 11 13
; 8;4 , ;
2 4
x y
.
Nhận xét : Rõ ràng việc xác định giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp tạo nhân tử
chung là bƣớc then chốt trong quá trình giải bài toán này, vậy từ đâu tác giả có thể dự
đoán đƣợc là giải bằng phƣơng pháp này ?
Qua kinh nghiệm giải toán thực tế, tác giả đã tổng hợp đƣợc các dấu hiệu nhận biết
một phƣơng trình giải đƣợc bằng cách tách nhân tử thƣơng sẽ là một hệ phƣơng trình
có dạng phƣơng trình bậc hai với biệt thức đenta là số chính phƣơng; một hệ phƣơng
trình dáng dấp đẳng cấp hoặc nhóm đƣợc thành các nhóm đẳng cấp ; hoặc phƣơng
trình có tính đối xứng giữa hai biến,..
Giờ ta sẽ xét thêm một bài tập để ngƣời đọc có cái nhìn rõ hơn về dấu hiệu của một
bài toán giải bằng phƣơng pháp tạo nhân tử sau đó nắm bắt ý tƣởng để tự ta sáng tác
đƣợc một bài toán giải bằng phƣơng pháp này.
Xét bài toán sau
Bài toán 2. Giải hệ phƣơng trình
2
3 2
2 1 5 2 8 2 6 0
2 1 5 10 4 1 .
x y x x x y
x xy y x y y y
Phân tích : Xét phƣơng trình thứ nhất của hệ, ta thấy nếu giải sẽ làm theo cách nhóm
hai căn lại để liên hợp sau đó hi vọng phƣơng trình bậc hai có nghiệm giống biểu thức
sau khi liên hợp. Nhƣng điều này không xảy ra. Tới đây ta có thể nghĩ thêm cách là
nhóm căn với số hạng phù hợp để có nhân tử chung, nhƣng quả thật điều này không
43
cho ta tới đƣợc kết quả gì.Xét phƣơng trình thứ hai của hệ, đây là một phƣơng trình
bậc ba với cả hai biến, và khi nhóm các biểu thức cùng bậc lại với nhau thì thấy rõ các
nhóm đó đều có tỉ lệ 1: 2 , vậy khả năng cao sẽ là tìm đƣợc nhân tử trong bài toán này.
Nên ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau
Giải.Điều kiện 2 1 0; 5.x y x
Biến đổi phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
2 22 2 2 2 5 0x y x xy y y
2 2
2 2 1 4 0x y x y y
2x y .Thay 2x y vào phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
22 1 5 2 7 6 0x x x x ( điều kiện
1
5
2
x
)
22 1 3 1 5 2 7 4 0x x x x
2 4 4
4 2 1 0
2 1 3 1 5
x x
x x
x x
2 1
4 2 1 0
2 1 3 1 5
x x
x x
4x vì
2 1
2 1 0
2 1 3 1 5
x
x x
với
1
5
2
x
.
Với 4 2x y . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm ; 4;2x y .
Nhận xét : Qua hai bài toán trên ta thấy kĩ thuật thêm bớt, nhóm nhân tử là một kĩ
thuật rất quan trọng trong phƣơng pháp này đòi hỏi ngƣời giải phải có khả năng phân
tích, dự đoán và kĩ năng giải phƣơng trình một cách nhuần nhuyễn. Ngoài ra, ngƣời
đọc có thể tham khảo thêm các thủ thuật sử dụng máy tính bỏ túi để dự đoán nghiệm
của hệ, khi đó công việc của ta chỉ là đi nhóm để tạo thành các nhân tử đó. Nhƣng
điều này tác giả không yêu thích vì đó là giải mẹo, lời giải không mang tính tổng quát,
và làm lƣời suy nghĩ tìm tòi lời giải bài toán, tác giả hi vọng đó chỉ là ngƣời hƣớng
dẫn với những ai còn chƣa quen lắm với dạng này. Bây giờ ta sẽ thử đi sáng tác các
bài tập dạng này.Trƣớc tiên ta sẽ đi chọn mối quan hệ giữa các biến ( đây chính là
biểu thức nhân tử chung). Ví dụ tác giả chọn mối liên hệ ở đây là 1x y và không
44
muốn có thêm một mối liên hệ nào nữa. Vậy ta cần chọn biểu thức bên trong vô
nghiệm, ta chọn tùy ý ví dụ 2 2x y x y , với điều kiện 0x y . Để thỏa mãn điều
kiện 0x y thì ta sẽ thƣờng cho x y nằm trong căn và thêm một biểu thức x y ở
dƣới mấu là đƣợc.
Khi đó ta có một phƣơng trình là 2 21 0x y x y x y . Biến đổi tƣơng đƣơng
phƣơng trình này ta đƣợc
2 1
1 2 1 0x y xy
x y
2 2 2 1
xy
x y
x y
.
Phƣơng trình thứ hai sẽ nhận phép thế 1y x nên khi ta lập phƣơng trình muốn hệ
này khó hay dễ chính là việc phƣơng trình thứ hai có thuận lợi khi thế vào hay không.
Tác giả sẽ chọn phép thế dễ trƣớc bằng cách trong phƣơng trình chỉ cho xuất hiện y
chứ không phải là bậc cao của y, ví dụ nhƣ 2 .x y x y Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 3. Giải hệ phƣơng trình
2 2
2
2
1
.
xy
x y
x y
x y x y
Giải. Điều kiện 20; 0.x y x y
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
2 1
1 2 1 0x y xy
x y
2 21 0x y x y x y
1 0 1 .x y y x Thay 1y x vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
2 21 1 2 0x x x x
1
2.
x
x
Với 1 0x y .
Với 2 3x y .
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm là ; 1;0 , 2;3x y .
Nhận xét : Điểm khó dễ của bài toán ta muốn thay đổi trong bài dạng nhƣ này ta có
hai cách : một là chọn biểu thức chứa nhân tử phức tạp, hai là lập phƣơng trình thứ hai
sao cho sử dụng đƣợc mối liên hệ của hai nghiệm không thuận lợi. Vì lí do đây là một
45
bài sáng tác hệ bằng cách tạo nhân tử chung nên tác giả sẽ ƣu tiên sử dụng cách thứ
nhất. Muốn sáng tác bài toán, trƣớc tiên xét một phƣơng trình đơn giản là
2 23 4 0u uv v 4 0u v u v . Giờ đặt , 1u x y v y , thay vào phƣơng
trình trên ta sẽ đƣợc một phƣơng trình 23 4 1 0x y xy x y y y . Biến đổi
tƣơng đƣơng để che đi ý tƣởng mà ta sử dụng, ta đƣợc 23 5 4x xy x y y y .
Khi giải phƣơng trình trên ta sẽ có hai nghiệm 1x y y và 4 1x y y .
Nếu ta cho thêm điều kiện của biến 1y thì ta sẽ loại đi đƣợc một nghiệm. Nhƣ vậy
việc khi lập ta sẽ chỉ quan tâm tới một mối liên hệ là 2 1x y , điều này ta dễ dàng
khống chế cho nghiệm đẹp hơn. Giả sử chọn nghiệm 2 5y x . Ta sẽ lập một
phƣơng trình có chứa hai nghiệm này và phải có điều kiện 1y . Ta có thể lấy
24 2 1 1y x y x làm phƣơng trình thứ hai. Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 4. Giải hệ phƣơng trình
2
2
3 5 4
4 2 1 1.
x xy x y y y
y x
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- 01050003287_2775_2006245.pdf