Luận văn Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học một số chủ đề giải tích ở trường trung học phổ thông

niệm mà A. L. Cauchy đã đưa ra theo ngôn ngữ "". Như vậy, B. Bolzano, A. L. Cauchy và K. Weierstrass đã định nghĩa một cách chính xác khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số góp phần giải thích các nghịch lí của Zéno và làm cho hai phép toán vi phân và tích phân có cơ sở chặt chẽ. 2.2. Tiềm năng của một số chủ đề Giải tích trong việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên hệ với thực tiễn 2.2.1. Về sự phản ánh thực tiễn của bộ môn Giải tích 2.2.1.1. Vấn đề Dãy số và Giới hạn Hình 2.3 Hình 2.2 a) Vết đạn ở trường bắn. Ta tưởng tượng mỗi vết đạn trên mục tiêu ở trường bắn như một điểm và được đánh dấu bởi số thứ tự của nó. Những hình tròn của mục tiêu và cuộc thi bắn được xem như kéo dài vô hạn. Ta gọi những phần tử được đánh số của tập hợp các vết đạn là các số hạng của một dãy. Như vậy dãy là một tập hợp vô hạn các phần tử được đánh số. Nếu tiếp tục theo dõi cuộc thi bắn thì sẽ tìm ra những hình ảnh "rất đắt" để nói về dãy và về giới hạn: - Với xạ thủ giỏi, dù lấy hình tròn nhỏ bao nhiêu, bắt đầu từ một lần bắn nào đó trở đi các vết đạn tiếp sau đều rơi vào hình tròn đó. Theo cách nói Toán học có nghĩa là dãy các vết đạn hướng tới tâm bia, tâm bia là giới hạn của dãy các vết đạn. - Còn với xạ thủ còn non kinh nghiệm thì dù có chọn trước một hình tròn bán kính nào đó xung quanh tâm bia và chọn một số thứ tự nào đó, bao giờ cũng có một viên đạn có số thứ tự lớn hơn nằm ngoài giới hạn của hình tròn đã chọn. Theo cách nói Toán học thì dãy các vết đạn không dần tới tâm hình tròn. b) Sự chính xác hóa dần các hằng số của thế giới. Vận tốc ánh sáng là một trong những đại lượng Vật lí mà khoa học gọi tên là hằng số của thế giới. Năm 1675 lần đầu tiên trong lịch sử khoa học, nhà thiên văn học Đan Mạch Rême đã tính toán được vận tốc ánh sáng là 226.000km/s. Năm 1849, Fiđô đã cho các tia sáng đi qua các bánh răng của một bánh xe răng quay nhanh và đã đo được con số chính xác hơn về vận tốc ánh sáng là 313.274,304km/s. Một phần tư thế kỉ sau, cũng bằng phương pháp trên, Kornuy đã đạt được con số mới 298.400 1.000km/s. Các nhà nghiên cứu tiếp sau đều cố gắng làm cho sai số ngày càng nhỏ thậm chí có thể đến vài mét trên một giây. Sự kiện Vật lí trên nếu được mô tả theo Toán học thì có thể nói rằng, với một sai số nhỏ bất kì mà nhà nghiên cứu đạt được thì bắt đầu từ đó, những kết quả tiếp sau sẽ sai khác với giá trị thực của vận tốc ánh sáng không quá sai số đã cho. Nếu việc nghiên cứu được tiếp tục, độ chính xác của phép đo tăng lên, thì được một dãy kết quả và ta nói dãy các kết quả dần tới vận tốc ánh sáng. c) Nên chia kẹo cho các cậu bé như thế nào? Tất nhiên phải là: Cậu một nửa - mình một nửa. Người có kẹo phải chia nó làm hai phần bằng nhau để cho bạn. Phần thu được cũng phải chia làm đôi để phân cho bạn của mình. Cứ như vậy có thể chia cái kẹo thành một số phần tuỳ ý, độ lớn của các phần chia liên tiếp giảm dần tới không: Một cái kẹo, nửa cái kẹo, phần tư cái kẹo, phần tám, phần mười sáu… và cái kẹo ban đầu cứ thế nhỏ dần. Dù cho trước một độ lớn nào, bắt đầu từ một phần chia nào đó tất cả các phần chia tiếp sau sẽ nhỏ hơn độ lớn cho trước. Hình 2.4 Sự kiện này được diễn đạt một cách chặt chẽ theo Toán học như sau: Sự dần tiến tới không có nghĩa là với một lân cận nhỏ tuỳ ý của 0 (Độ dài thường được biểu thị bằng "epsilon") bao giờ cũng tìm được một số thứ tự mà mọi số hạng có số thứ tự lớn hơn của dãy phải nằm trong lân cận đó. d) Giới hạn về năng lực thể thao của con người. Trong [38, tr. 154] có trình bày (không chứng minh) định lí: "Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn". Bây giờ ta hãy liên hệ định lí này vào lĩnh vực thể thao. Cách đây không lâu thì thành tích mà các vận động viên chạy 100m cần cố gắng là 9s và bây giờ đã đạt được. Có thể khẳng định một nhà quán quân tương lai nào đó sẽ rút ngắn thời gian thêm 1 đến 2 giây. Ta xem kỉ lục về chạy cự li 100m như là các số hạng của một dãy nào đó. Nhà Toán học gọi nó là dãy đơn điệu giảm. Nếu khẳng định được rằng không ai có thể chạy 100m ít hơn 2s thì ta nói rằng các số hạng của dãy số của chúng ta bị chặn ở dưới. Theo định lí trên thì trên bậc thang kết quả chạy 100m có một mốc mà dãy các kỉ lục sẽ dần tới. Dù chọn một lân cận nhỏ tuỳ ý của mốc, mọi số hạng của dãy bắt đầu từ một số hạng nào đó sẽ nằm trong lân cận. Dãy các kỉ lục có thể dần tới giới hạn mà không đạt tới giới hạn đó. Kỉ lục hôm nay khác với giới hạn một phần mười giây thì kỉ lục tiếp sau sẽ có thể khác năm phần trăm, kỉ lục tiếp theo khác một phần trăm, tiếp theo nữa là một phần nghìn… và mỗi kết quả đứng sau sẽ là một kỉ lục vì nó nhỏ hơn kết quả đứng trước. Ta nói rằng dãy các kỉ lục chạy 100m của con người là có giới hạn. e) Chiều cao của con người. Hình 2.5 Cứ mỗi lần sinh nhật con người cha lại đánh dấu chiều cao và cẩn thận ghi chiều cao vào bên cạnh. Qua năm tháng, cậu bé lớn dần lên đã tạo nên một bậc thang toàn bộ các vạch dấu trên khung cửa. Đó là dãy các độ tăng chiều cao từ năm này qua năm khác. Các vạch dấu trên dầm cửa xích lại gần nhau và đến một thời gian nào đó chúng ngừng tăng. Nói theo Toán học thì dãy các chiều cao ghi trên dầm cửa có giới hạn và dãy các độ tăng chiều cao của con người từ năm này qua năm khác giảm dần đến không. f) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Trong một tam giác cân có một vòng tròn nội tiếp. ở phía trên nó có một hình tròn thứ 2 tiếp xúc với hình tròn thứ nhất và tiếp xúc với các cạnh bên của tam giác. Phía trên hình tròn thứ 2 là hình tròn thứ 3. Cứ như thế, toàn bộ góc ở đỉnh của tam giác được lấp đầy bởi một dãy hình tròn bán kính ngày càng nhỏ. Số lượng của chúng là vô hạn (Hình 2.5). Lúc này đường kính của các hình tròn tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn (vì tỉ số của đường kính hình tròn thứ 2 với hình tròn thứ nhất, giữa hình tròn thứ 3 với hình tròn thứ 2, … là một số không đổi và nhỏ hơn 1). Hình 2.6 Vấn đề đặt ra là nếu cộng liên tiếp đường kính các hình tròn thì sao? Không cần dùng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Chỉ cần xoay tất cả các hình tròn lại sao cho đường kính của chúng thẳng đứng (Hình 2.6). Như vậy tổng vô hạn sẽ hoàn toàn bằng một đại lượng hữu hạn - chiều cao của tam giác. g) Người bán hàng trẻ tuổi còn thiếu kinh nghiệm cân hàng. Sau 2 lần xúc và đưa gói đường lên cân nhưng đường nhiều quá phải xúc bớt ra. Xúc một nửa muôi ra và gói đường lại được đặt lên cân. Lần này thì số đường lại ít hơn. Lại xúc vào. Lại thừa và lại xúc ra… Khối lượng đường trước mỗi lần cô bán hàng thêm vào hoặc bớt ra lập thành một dãy. Các số hạng của dãy này khi thì "dương" (lúc cô bán hàng bớt đường ra), khi thì "âm" (lúc thêm vào). Theo cách nói của Toán học, dãy này tiến dần tới giới hạn do người mua hàng định trước. 2.2.1.2. Về định nghĩa Hàm số: Hình 2.7 - Theo [36, tr.36], "Các hàm số là chân dung Toán học của tính qui luật của tự nhiên". Ta hãy để ý đến các hiện tượng của thế giới xung quanh mà con người gọi chúng là các "qui luật tự nhiên": "Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm"; "Chớp đông nhay nháy, gà gáy thì mưa";…. Các "qui luật" này diễn tả một sự tương ứng của một hiện tượng thứ nhất với một hiên tượng thứ hai. - Trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lượng ánh sáng tác động vào phim ảnh cho tương ứng với độ đen của nó. Trong Toán học mọi quy tắc xác định sự tương ứng được gọi là một hàm số. Trong ví dụ thứ 2, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàm số của lượng ánh sáng. 2.2.1.3. Tính chất của các hàm a) Tính đơn điệu. Để liên hệ với thực tiễn các tính chất đặc trưng của các hàm ta hãy để ý đến các câu thành ngữ, châm ngôn. Chúng phản ánh những qui luật bền vững rút ra từ kinh nghiệm lâu đời của con người. "Đi một đoạn đàng, học một sàng khôn ". "Ngọc càng mài càng sáng, vàng càng luyện càng trong". Những thành ngữ trên phản ánh sự phụ thuộc của hiện tượng này (thứ hai) vào một hiện tượng khác (thứ nhất) sao cho hiện tượng thứ nhất tăng (về số lượng hay chất lượng) thì hiện tương thứ hai cũng tăng (về số lượng hay chất lượng). Những liên hệ phụ thuộc như vậy khá phổ biến trong thực tiễn. Kiến thức giải tích phản ánh sự liên hệ như vậy là các hàm số đơn điệu tăng. Câu châm ngôn (Nga): "Cháo nấu với bơ thì không thiu" cũng thể hiện một tính chất tương tự. Chất lượng cháo có thể xem như một hàm của khối lượng bơ trong nó. Theo châm ngôn thì hàm này không giảm nếu thêm bơ vào. Nó có thể tăng lên hoặc có thể giữ nguyên như cũ. Một loại hàm tương tự như vậy được gọi là hàm đơn điệu không giảm. Hình 2.8 Như vậy, tăng - có nghĩa là vượt hơn lên. Không giảm - có nghĩa là hoặc vượt hơn lên hoặc không hơn lên, không kém đi. Tăng là trương hợp đặc biệt của không giảm. Thí dụ hàm hằng thuộc vào số các hàm số không giảm mặc dù nó không tăng lên ở bất kì bộ phận nào của miền xác định cả. Những liên hệ phụ thuộc theo chiều hướng ngược lại như: "Càng xa cha đỡ đầu, càng ít tội lỗi". Hàm này chỉ ra cách biên thiên của độ đo tội lỗi theo độ xa người cha đỡ đầu. Đây là một hàm đơn điệu giảm. b) Cực đại - Cực tiểu. Hình 2.9 Nhà nông thường nói: "Cấy dày không tốt bằng cấy thưa". Kinh nghiệm này chứng tỏ: Mùa màng chỉ tăng theo mật độ cấy đến một lúc nào đó, nếu quá đi thì nó sẽ giảm xuống vì khi mọc dày quá thì cây lúa sẽ lấn át nhau. Mức thu hoạch là cực đại khi ruộng được cấy vừa phải. Nó như là đỉnh núi, từ đó mọi con đường đều đi xuống thấp, bất kể bước về hướng nào. Tuy nhiên, nếu bước đi xa hơn thì ở đâu đó sự đi xuống sẽ thay đổi và đi lên. Ta nói, cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số trong những điểm lân cận nào đó hay cực đại có tính chất địa phương. Trái ngược với cực đại có cực tiểu. Cực tiểu - xem như là đáy của thung lũng, từ đó mọi con đường đều đi lên cao, bất kể bước về hướng nào. Tuy nhiên, nếu bước đi xa hơn thì ở đâu đó sự tăng lên có thể sẽ thay đổi và đi xuống. Khi đó ta nói rằng cực tiểu có tính chất địa phương. Cực đại và cực tiểu được đặc trưng bởi tên gọi khái quát là "cực trị". Cũng như từ "trẻ em" có thể hiểu là em trai hoặc em gái. c) Tính lồi, lõm. * Viên đạn bắn ra từ nòng súng nghiêng một góc nào đó với mặt nằm ngang sau khi đạt độ cao cực đại, nó bắt đầu rơi xuống. Quĩ đạo bay của nó là một parabol lồi. * Độ tăng chiều cao của con người giảm đi theo thời gian, khi đến tuổi trưởng thành chiều cao con người không tăng nữa và khi về già chiều cao lại giảm xuống. Trái lại dân số trên Trái Đất tăng càng nhanh theo thời gian. Nếu biểu thị 2 sự kiện này lên đồ thị thì trong trường hợp thứ nhất ta được một đồ thị lồi, còn trường hợp thứ 2 là một đồ thị lõm. d) Chu kì của hàm tuần hoàn. * Câu nói: "Chu kì hoạt động tích cực của mặt trời" được khẳng định theo ngôn ngữ thông thường. Tuy nhiên chỉ có thể nói về sự xen kẽ của các hoạt động, nhưng không thể nói về tính tuần hoàn theo ý nghĩa chặt chẽ được. Vì nếu như mọi hiện tượng trên Mặt Trời được qui định bởi tính tuần hoàn chặt chẽ thì các cơ quan nghiên cứu Mặt Trời ở trên khắp thế giới này sẽ trở nên không cần thiết. * Còn câu nói "Tờ báo thường kì" có ý nghĩa chặt chẽ hơn các tờ báo ra hằng ngày, còn nếu cứ thứ 2 mới ra một số thì có thể nói về chu kì một tuần. Các tạp chí thì được phát hành 1 số/1 tháng. Tuy nhiên ở đây khái niệm về chu kì cũng chưa có ý nghĩa chặt chẽ tuyệt đối vì các bài báo không trùng nhau hoặc thời gian phát hành chưa hẳn đã chính xác tuyệt đối. e) Tính liên tục và gián đoạn của hàm số. Sự liên tục và gián đoạn là một trong những khái niệm quan trọng của Giải tích. Trước hết ta thấy rằng, hàm liên tục là hàm mà ta không phải nhấc bút lên khi vẽ đồ thị của nó. Còn hàm gián đoạn thì không vẽ được như vậy. * Trong thực tế, khi đi xem phim ở rạp chiếu bóng, người phụ trách ánh sáng quay từ từ cái cần biến trở, ánh sáng tờ mờ liên tục tắt dần rồi tắt hẳn. Nhưng khi ở nhà, lúc tắt bóng đèn thì trước một thời điểm nào đó độ sáng vẫn không giảm và đột nhiên tắt hẳn. Sự chuyển từ sáng tới tối như thế được mô tả bằng một hàm gián đoạn. * Thời gian có thuộc tính liên tục, nhưng khi phân chia thành giây, phút, giờ…thì lại là gián đoạn. * Đường thẳng là trường hợp điển hình cho sự liên tục. Nhưng các con số tự nhiên kết hợp với điểm trên đường thẳng là là gián đoan. * Chiếc xe chạy từ Vinh ra Hà Nội thì quảng đường đi được tăng liên tục theo thời gian. Bây giờ ta xét một ví dụ tổng quát: Khi ta đi trên đường dốc hoặc trông thấy những ngọn núi chẳng hạn ta có suy nghĩ gì về độ dốc của một mặt hay một đường cong? ở đây ta chỉ xét các đường, trên một đường cong trơn bất kì ta đánh dấu một điểm và tự hỏi: Độ dốc của đường cong tại điểm này là gì? Hình 2.10 Tại điểm đó ta dựng 2 đường thẳng: Tiếp tuyến và đường thẳng nằm ngang. Bây giờ đã có thể nói đến độ dốc dựa vào góc của 2 đường thẳng này. Nhưng cũng không cần phải biết số đo của góc mà ta sẽ dùng hệ số góc của tiếp tuyến - tức là đạo hàm. Và ta nói: độ dốc của đường cong tại điểm A bằng +2, tại điểm B là thì với một nhà toán học, không cần hình vẽ cũng hình dung được rằng là sự xuống dốc thoai thoải, còn +2 là sự lên dốc dựng đứng của đường cong nếu xét từ trái qua phải. Dấu dương của đạo hàm trong một khoảng là điều chứng tỏ sự tăng của hàm trong khoảng đó. Dấu âm chứng tỏ sự giảm. Đạo hàm đổi dấu tại điểm nào đó có nghĩa là tại điểm đó các phần tăng và giảm kề nhau. Đó là điểm cực trị - cực đại hoặc cực tiểu. Nếu giảm được thay thế bởi tăng - cực tiểu. Còn tăng được thay thế bởi giảm - cực đại. Nhưng tăng có thể từ đang tăng nhanh rồi chậm đi và đến một lúc nào đó được thay thế bởi giảm. Hoặc ngược lại, giảm cũng có thể từ giảm mạnh rồi chậm đi và đến một lúc nào đó được thay thế bởi tăng. Toán học đặc trưng những đặc điểm như vậy bằng các từ "lồi" và "lõm". Với đường cong lồi, từ trái sang phải ta thấy độ dốc của đường cong giảm, tức là đạo hàm giảm, mà sự giảm là đạo hàm âm. Nên sự giảm của đạo hàm là đạo hàm của đạo hàm âm, tức là đạo hàm bậc 2 âm. Điều này đã phản ánh một định lí trong [26, tr. 67]. Những điểm tại đó lồi được thay bằng lõm hoặc ngược lại là những điểm uốn. Tiếp tuyến tại đó sẽ cắt đường cong. Điểm cực đại đó là đỉnh của đường cong lồi, tính lồi lại ứng với dấu âm của đạo hàm bậc 2. Điều này chứng tỏ đạo hàm bậc 2 âm là tiêu chuẩn cho cực đại. Cũng như vậy, đạo hàm bậc nhất bằng 0 kết hợp với giá trị dương của đạo hàm bậc 2 là tiêu chuẩn cho cực tiểu. Điều này đã phản ánh một định lí trong [26, tr. 58]. 2.2.1.4. Chủ đề Vi phân và Tích phân - Phép vi phân liên quan đến vấn đề đặt ra về vận tốc biến thiên của một hàm bất kì khi đối thay đổi, lúc đó vận tốc này là biến thiên và việc xác định nó đòi hỏi chính xác với mọi giá trị bất kì của đối. Tuy nhiên nó không chỉ có ích trong việc xác định vận tốc tức thời của chuyển động: * Điện tích của bộ nguồn mắc vào một mạch điện giảm đi theo thời gian. Vận tốc giảm là dòng điện. Dòng này có thể khác nhau ở những thời điểm khác nhau và vì thế phải được tính như là đạo hàm của điện tích theo thời gian. * Nhiệt lượng trong một vật đang nung nóng tăng lên khi nhiệt độ tăng. Cường độ tăng là nhiệt dung - nó là riêng cho mỗi nhiệt độ. ở đây không thể tính toán nếu không có phép vi phân - nhiệt dung là đạo hàm của nhiệt lượng theo nhiệt độ. * Cũng không được quên rằng phép tính vi phân là phương tiện để vẽ tiếp tuyến với một đường cong. Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm mà đồ thị là đường cong; đạo hàm được lấy với giá trị của đối ứng với tiếp điểm. Nắm được điều này, khi dạy công thức (sinx)' = cosx có thể phát biểu bằng ngôn ngữ đồ thị: hệ số góc của tiếp tuyến với đường sin tại mỗi điểm sẽ bằng chiều cao của đường cosin tại điểm ấy. - Phép tính tích phân là phép toán ngược với phép vi phân và liên quan đến vấn đề tính quảng đường đã đi theo một đồ thị khi biết sự phụ thuộc giữa vận tốc và thời gian mà vận tốc lại có sự thay đổi khá lớn trong thời gian chuyển động: đường đi của vật từ một thời điểm cho trước đến một thời điểm khác là tích phân xác định của vận tốc theo thời gian lấy từ thời điểm ban đầu (được gọi là cận dưới của tích phân) đến thời điểm cuối (cận trên của tích phân). Ngoài ra: * Phép tích phân cho phép xác định sự phụ thuộc của điện tích vào thời gian nếu đã biết giá trị của dòng tại mỗi thời điểm. * Xác định độ tăng nhiệt lượng của một vật theo nhiệt độ khi biết nhiệt dung của nó tại mỗi nhiệt độ. Nói gọn hơn, phép tính tích phân cho phép tính tổng của một biến thiên biến đổi. Ta không quên rằng, tích phân còn là phương tiện để tính diện tích: Diện tích phần ở dưới đường cong là tích phân xác định của hàm mà đồ thị là đường cong trong khoảng mà hàm đã được cho. - Công thức Newton - Leibniz. Khi đi xe máy trên đường, đồng hồ báo cây số có thể là một dòng số tuỳ ý và đường đi không phụ thuộc vào số này. Muốn xác định quảng đường đi, phải lấy số chỉ ở máy đếm lúc đến đích trừ đi số lúc khởi hành. Hoặc khi đến của hàng mua một vật gì đó, người bán hàng sẽ xác định trọng lượng bằng cách lấy hiệu của trọng lượng toàn bộ và vật đựng nó. Còn trong vật lí ta gặp "hiệu điện thế". Dòng trong mạch điện được xác định bởi nó chứ tuyệt nhiên không phải là giá trị tuyệt đối của điện thế ở đầu này hay đầu kia của mạch. Mọi việc sẽ xảy ra y như vậy khi tính toán đường đi theo vận tốc. Đường đi là nguyên hàm của vận tốc. Nó có thể được tính từ một điểm gốc bất kì. Nhưng số gia của đường đi từ một thời điểm này đến một thời điểm khác bao giờ cũng bằng cùng một số là tích phân xác định của vận tốc lấy từ một trong các thời điểm đã chọn cho đến thời điểm kia. Và đây là một nguyên tắc chung: Tích phân xác định của một hàm nào đó với các cận đã cho là hiệu giữa các giá trị của một nguyên hàm tại cận trên và cận dưới. Vấn đề này bao hàm một công thức quan trọng để tính tích phân xác định - công thức Newton - Leipnit. Tóm lại: Các lí thuyết Toán học nói chung và Giải tích nói riêng ra đời và phát triển xuất phát từ nhu cầu thực tiễn. Do vậy, chúng sẽ phản ánh lại thực tiễn, giải thích và phục vụ thực tiễn. Bảng phản ánh thực tiễn của một số khái niệm trong Giải tích Khái niệm trong môn Giải tích Sự phản ánh trong thực tiễn Dãy số - Dãy các vết đạn trên bia ở trường bắn. Giới hạn - Xe mô tô chạy trong thành phố với vân tốc giới hạn là 40km/h. - Chiều cao của con người là có giới hạn. - Độ nóng của nước có giới hạn (1000C) dù thời gian nấu có lâu bao nhiêu đi nữa. Hàm số gián đoạn và liên tục - Thời gian có thuộc tính liên tục, nhưng khi phân chia thành giây, phút, giờ…thì lại là gián đoạn. - Đường thẳng là trường hợp điển hình cho sự liên tục. Nhưng các con số tự nhiên kết hợp với điểm trên đường thẳng lại là gián đoan. - Chiếc xe chạy từ Vinh ra Hà Nội thì quảng đường đi được tăng liên tục theo thời gian. Đạo hàm - Bài toán tìm vận tốc tức thời của chuyển động thẳng không đều. - Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm. Tích phân - Bài toán tìm diện tích của một hình thang cong. 2.2.2. Vấn đề ứng dụng của Giải tích vào thực tiễn Việc ứng dụng Toán học đã và đang được nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm. Theo PGS. TS. Ngô Hữu Dũng: ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh [9, tr. 13 - 16]. Trong [27, tr. 54], một trong 5 yếu tố dạy học hiệu quả môn Giải tích được đưa ra là: "Quan tâm đúng mức tới tính thực tiễn của môn Giải tích. Đặc biệt chú ý đến tính ứng dụng của môn Giải tích: ứng dụng vào giải quyết các bài toán trong thực tế và trong các môn học khác". 2.2.2.1. Vấn đề ứng dụng Giải tích trong nội bộ môn Toán "Bản thân môn Toán không phải là tập hợp các dữ kiện tách rời nhau, hay là một thế giới "trừu tượng" tách biệt với đời sống và các khoa học khác mà trái lại, nó có tính liên hệ nội tại cao; có nguồn gốc từ thực tiễn" [27, tr. 59]. Tăng cường hơn nữa các ứng dụng của Giải tích trong nội bộ môn Toán nhằm giúp học sinh nắm vững các tri thức, kĩ năng, phương pháp và tạo tiền đề cho các ứng dụng ngoài Toán học. Đồng thời làm rõ tính nhiều tầng của mối liên hệ. Nhờ đó học sinh nắm được mạch tri thức Toán, "tránh tình trạng thấy cây mà không thấy rừng" [19, tr. 52]. Muốn vậy, trong dạy học giáo viên nên chú ý đến các ứng dụng của Giải tích trong các phân môn khác của Toán học. Rất nhiều bài toán được giải quyết hiệu quả hơn nhờ công cụ Giải tích. Chẳng hạn, việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình ta quy về nghiên cứu hàm số: Bài toán tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x) cắt đồ thị (C') của hàm số y = g(x) tại n điểm có hoành độ thỏa mãn tính chất được ứng dụng để giải quyết bài toán tìm m sao cho phương trình f(x) = g(x) có n nghiệm thỏa mãn điều kiện ; tính liên tục được ứng dụng để chứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh bất đẳng thức; tính đơn điệu của hàm số (đạo hàm) được ứng dụng để giải phương trình, bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức; bài toán tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn tính chất cũng được giải quyết dễ dàng nhờ hàm số… 1) Chủ đề Giới hạn. Các kiến thức về giới hạn là rất trừu tượng và khó hiểu đối với học sinh nhưng lại là cơ sở đối với kiến thức về hai phép tính cơ bản của Giải tích: phép tính Đạo hàm và phép tính Tích phân. Vì vậy để nâng cao hiệu quả dạy học, theo chúng tôi giáo viên cần quan tâm làm rõ các ứng dụng của giới hạn trong môn Toán. 1.1) Sử dụng Giới hạn để chứng minh phương trình có nghiệm. Vấn đề này đã đề cập trong SGK, tuy nhiên số lượng bài tập đang rất hạn chế. Giáo viên có thể đưa vào các ví dụ sau: Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình: a) có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt. b) có nghiệm với a, b, c tùy ý. Phương pháp giải: a) Xét hàm số là hàm số liên tục trên . Ta có: , Do đó tìm được d < 0 với khá lớn sao cho . Vì hàm số liên tục trên nên liên tục trên . Hơn nữa nên sao cho , nghĩa là phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trên khoảng . Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được phương trình đã cho có nhất 1 nghiêm trên . Vậy phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm phân biệt. b) Xét hàm số: Ta có: là hàm số liên tục trên . . Suy ra = = Nếu = 0 thì một trong bốn số 0, a, b, c là nghiệm của phương trình. Nếu < 0 thì ít nhất có một cặp số trái dấu, do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm thực. Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình tanx = x có vô số nghiệm. Phương pháp giải: Xét hàm số trên khoảng . Hiển nhiên trên khoảng này f(x) là hàm liên tục. Ta có: , . Suy ra, sao cho f() < 0 và sao cho và . Do đó, tồn tại xn để f(xn) = 0 hay tanxn = xn. Vì vậy, trên mỗi khoảng , phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm. Cho k thay đổi trên , phương trình đã cho có vô số nghiệm. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a) Một đa thức bậc lẻ thì có ít nhất một nghiệm thực. b) Một đa thức bậc chẵn có ít nhất 2 nghiệm thực, nếu nó nhận ít nhất một giá trị trái dấu với hệ số của số hạng cao nhất của đa thức. Phương pháp giải: a) Giả sử: , là một đa thức bậc lẻ nào đó. Ta có: Suy ra, để và , để . Nên sao cho . Vậy đa thức có ít nhất một nghiệm thực. b) Giả sử ,, là một đa thức bậc chẵn nào đó và . Ta có: Suy ra, để và để . Do đó để và để hay đa thức có ít nhất hai nghiệm thực. 1.2) ứng dụng giới hạn để tìm đạo hàm: mặc dù Đạo hàm được định nghĩa thông qua giới hạn nhưng có một thực trạng là học sinh chỉ biết tìm đạo hàm bằng công thức, thậm chí tính rất nhanh nhưng lại không tìm được đạo hàm của một hàm số bằng định nghĩa. Do đó, theo chúng tôi giáo viên phải thực sự quan tâm đến ứng dụng này. Một mặt vừa rèn luyện được một kĩ năng giải toán, mặt khác nhằm củng cố, khắc sâu định nghĩa Đạo hàm và phương pháp tìm giới hạn. Vấn đề này theo [26], để tính đạo hàm y'(x0) cần thực hiện 3 bước sau: Bước 1: Cho x0 số gia và tính =f(x0 + ) - f(x0) Bước 2: Lập tỉ số Bước 3: Tìm giới hạn Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau tại x = 0 (Đề thi tuyển sinh vào ĐHQG Hà Nội, Khối A, 1999) Phương pháp giải: Cho số gia đối số tại x = 0. Số gia hàm số là: = = . Nên: . Do đó: Vậy 1.3) Giải quyết một số bài toán về bất đẳng thức. Ví du 1: Chứng minh bất đẳng thức sau và hãy chứng tỏ rằng không thể thay hằng số ở vế phải bằng một số nhỏ hơn. , (1) Phương pháp giải: Ta có: , Đặt . Gọi là một số lớn hơn sao cho: un > (*). Vì , nên với số tìm được số n0 sao cho ta đều có: (mâu thuẫn với (*)). Vậy, trong bất đẳng thức (1) không thể thay số bằng bất kì số nào lớn hơn . Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong mọi ABC không phải là tam giác tù ta đều có: (Đề thi tuyển sinh vào ĐHSP Hà Nội 2, Khối A, 1999) Hãy chứng tỏ không thể thay hằng số ở vế phải bằng bất kì số nào lớn hơn. Phương pháp giải: Trường hợp ABC là tam giác nhọn bất kì. Khi đó: 0 < sinA < 1, 0 < sinB < 1, 0 < sinC < 1 nên ta có: = = = 2 + cosC = 2 + 2cosA.cosB.cosC > 2 (vì cosA > 0, cosB > 0, cosC > 0). Trường hợp ABC là tam giác vuông. Giả sử ABC vuông tại A, ta có sinA = 1. Nên: > 1 + sin2B + cos2B = 2 Tam giác ABC vuông tại B hoặc C chứng minh tương tự. Vậy: Trở lại trường hợp ABC vuông tại A ta có: = Vì vậy, bất đẳng thức trên không thể thay số 2 bởi bất kì số nào lớn hơn 2. Ví du 3: Tìm số k lớn nhất để trong mọi ta đều có: sin2A + sin2B > ksin2C Phương pháp giải: Giả sử ABC là tam giác bất kì và a, b, c là các cạnh của nó. Ta có: c < a + b sinC < sinA + sinB (the