Luận văn Tích phân của hàm với giá trị trong không gian Banach có thứ tự

( ) [ ] (do , ; \ ) ξ ξ ξ θ ξ ∈ = ⋅ = ∀ ∈∑ i i i i i Z u I u a b Z ( ) 11 (do ) ξ ξ ∞ ∞ == ∈ = ⋅ = ∪∑ ∑ i n i i nnn Z u I Z Z ( ) 1 (do , ) ξ ξ ξ ∞ = ∈ ≤ ⋅ < ∀ ∈∑ ∑ i n i i i n n Z n I u n Z ( ) 1 1 ξξ µ ∞ ∞ ∈= ∈ = = ⋅ = ⋅ ∪∑ ∑ ∑ i n i n i iZn Z n n I n I (do { } 1= n i i I gồm các khoảng không chồng lên nhau và độ đo Lebesgue của tập đếm được bằng 0) ( ) 1 µ ∞ = ≤ ⋅∑ n n n G (do ( )( ) ( )( ), , ,ξ ξ δ ξ ξ δ ξ∀ ∈ ⊂ = ⊂i n i i i i n i nZ I B B G nên ( )ξ ∈∪ ⊂i n i nZ I G ) ( ) ( ),  f t g t 29 Như vậy tồn tại hàm cộng tính : →F E thỏa 0ε∀ > , ∃ cái đo [ ] ( ): ; 0;δ → +∞a b sao cho ∀ −K phân hoạch cỡ δ của [ ];a b ( ){ } 1,ξ == n i i i D I ( *∈n ) thì: ( ) ( ) 1 ξ ε = ⋅ − ≤∑ n i i i i u I F I Vậy u là HL – khả tích và ( ) ( ) θ= =∫K I u s ds F I , ∀ ∈I   1.4.5 Tính chất Cho [ ], : ; →f g a b E là HL – khả tích và ∈c . Khi đó , + ⋅f g c f cũng là HL – khả tích. Chứng minh: Nếu 0=c thì ⋅ =c f  (kí hiệu  chỉ ánh xạ không) là HL – khả tích. Ta chứng minh tính chất cho trường hợp 0≠c . Thật vậy: • Do f là HL – khả tích nên tồn tại hàm : →F E có tính cộng tính trên những khoảng con đóng không chồng lên nhau và thỏa: 0ε∀ > , ∃ cái đo [ ] ( ): ; 0;δ → +∞a b sao cho ∀ −K phân hoạch cỡ δ của [ ];a b ( ){ } 1,ξ == n i i i D I với *∈n thì ( ) ( ) 1 ξ ε = ⋅ − <∑ n i i i i f I F I • Do g là HL – khả tích nên tồn tại hàm : →G E có tính cộng tính trên những khoảng con đóng không chồng lên nhau và thỏa: 0ε∀ > , ∃ cái đo [ ] ( )' : ; 0;δ → +∞a b sao cho ∀ −K phân hoạch cỡ 'δ của [ ];a b ( ){ } 1,ξ == n i i i D I với *∈n thì ( ) ( ) 1 ξ ε = ⋅ − <∑ n i i i i g I G I 30 • Với hàm , : →F G E như trên thì :+ →F G E và :⋅ →c F E cộng tính trên những khoảng con đóng không chồng lên nhau. Thật vậy, ,∀ ∈A B  thỏa int int φ∩ =A B và ∪ ∈A B  , ta có: i. ( )( ) ( ) ( )+ ∪ = ∪ + ∪F G A B F A B G A B (định nghĩa hàm +F G ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +F A F B G A G B (do F và G có tính cộng tính trên những khoảng con đóng không chồng lên nhau) ( )( ) ( )( )= + + +F G A F G B ii. ( )( ) ( )⋅ ∪ = ⋅ ∪c F A B c F A B (định nghĩa hàm ⋅c F ) ( ) ( )= ⋅ +  c F A F B (do tính cộng tính của F ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅c F A c F B c F A c F B • 0ε∀ > , cố định lại, Do f là HL – khả tích nên ∃ cái đo [ ] ( ): ; 0;δ → +∞a b sao cho ∀ −K phân hoạch cỡ δ của [ ];a b ( ){ } 1,ξ == n i i i D I ( *∈n ) thì: ( ) ( ) 1 εξ = ⋅ − <∑ n i i i i f I F I c ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ξ ξ ξ ε = = = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − < ∑ ∑ ∑ n n i i i i i i i i n i i i i c f I c F I c f I c F I c f I F I Như vậy, hàm [ ]: ;⋅ →c f a b E thỏa tồn tại hàm :⋅ →c F E có tính cộng tính trên những khoảng con đóng không chồng lên nhau và 0ε∀ > , ∃ cái đo δ của [ ];a b : ∀ −K phân hoạch cỡ δ của [ ];a b ( ){ } 1,ξ == n i i i D I ( *∈n ) thì ( )( ) ( )( ) 1 ξ ε = ⋅ ⋅ − ⋅ <∑ n i i i i c f I c F I Vậy ⋅c f là HL – khả tích. • 0ε∀ > , cố định lại, 31 Do f là HL – khả tích nên ∃ cái đo [ ] ( )1 : ; 0;δ → +∞a b sao cho ∀ −K phân hoạch cỡ 1δ của [ ];a b ( ){ } 1, = n i i i x A ( *∈n ) thì ( ) ( ) 1 2 ε = ⋅ − <∑ n i i i i f x A F A Do g là HL – khả tích nên ∃ cái đo [ ] ( )2 : ; 0;δ → +∞a b sao cho ∀ −K phân hoạch cỡ 2δ của [ ];a b ( ){ } 1, = m i i i y B ( *∈m ) thì ( ) ( ) 1 2 ε = ⋅ − <∑ m i i i i g y B G B Chọn cái đo [ ] ( )0 : ; 0;δ → +∞a b định bởi ( ) ( ) ( ){ } [ ]0 1 2min , , ;δ δ δ= ∀ ∈x x x x a b . Xét tùy ý −K phân hoạch cỡ 0δ của [ ];a b ( ){ } 1,ξ == n i i i D I ( *∈n ). Khi đó D là −K phân hoạch cỡ 1δ của [ ];a b và là −K phân hoạch cỡ 2δ của [ ];a b ( ) ( ) 1 2 εξ = ⇒ ⋅ − <∑ n i i i i f I F I và ( ) ( ) 1 2 εξ = ⋅ − <∑ n i i i i g I G I ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ξ ξ ξ = = ⇒ + ⋅ − + = ⋅ + ⋅ − −∑ ∑ n n i i i i i i i i i i i f g I F G I f I g I F I G I ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 ε εξ ξ ε = = ≤ ⋅ − + ⋅ − < + =∑ ∑ n n i i i i i i i i f I F I g I G I Như vậy hàm [ ]: ;+ →f g a b E thỏa tồn tại hàm :+ →F G E cộng tính trên những khoảng con đóng không chồng lên nhau và 0ε∀ > , ∃ cái đo 0δ của [ ];a b : ∀ −K phân hoạch cỡ 0δ của [ ];a b ( ){ } 1,ξ == n i i i D I ( *∈n ) thì: ( )( ) ( )( ) 1 ξ ε = + ⋅ − + <∑ n i i i i f g I F G I Vậy +f g là HL – khả tích.  Bổ đề 1.4.1 a) Mọi hàm HL – khả tích thì đo được mạnh. b) Nếu hàm [ ]: ; →u a b E là khả tích theo Bochner thì u là HL – khả tích và 32 ( ) ( )=∫ ∫K I I u s ds u s ds với I là khoảng con đóng tùy ý của [ ];a b . Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Saks – Henstock) Nếu [ ]: ; →u a b E là HL – khả tích thì 0ε∀ > , tồn tại một cái đo [ ] ( ): ; 0;δ → +∞a b sao cho với mọi ( ){ } 1,ξ == n i i i D I với *∈n là −K phân hoạch cỡ δ hay −K phân hoạch riêng cỡ δ của [ ];a b thì: ( ) ( ) 1 ξ ε = ⋅ − ≤∑ ∫ i n K i i i I u I u s ds Mệnh đề 1.4.3 Nếu hàm : →v I E là HL – khả tích và :ϕ → I là hàm có biến phân bị chặn thì ϕ ⋅v là HL – khả tích. Mệnh đề 1.4.4 Cho ( ), .E là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón +E và các hàm [ ], : ; →f g a b E là HL – khả tích thỏa ( ) ( )≤f s g s h.k.n trên [ ];a b , I là khoảng con đóng của [ ];a b . Khi đó: ( ) ( )≤∫ ∫K K I I f s ds g s ds Chứng minh: • Nhận xét: Do ,f g là HL – khả tích trên [ ];a b nên ,f g là HL – khả tích trên I . Ngoài ra, ( ) ( )≤f s g s h.k.n trên [ ];a b nên ( ) ( )≤f s g s h.k.n trên I . Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề cho trường hợp [ ];=I a b . Khi đó nếu [ ];=I c d là khoảng con đóng thực sự của [ ];a b thì ta thay [ ];a b trong chứng minh thành [ ];c d sẽ được điều phải chứng minh. • Xét [ ];=I a b và không mất tính tổng quát, giả sử ( ) ( )≤f s g s , [ ];∀ ∈s a b . 33 Đặt = −u g f thì ( )u s +∈E , [ ];∀ ∈s a b và u là HL – khả tích trên [ ];a b . Do đó tồn tại hàm F như trong định nghĩa hàm HL – khả tích. Như vậy, với mỗi *∈n , tồn tại cái đo δn của [ ];a b sao cho lấy một −K phân hoạch cỡ δn của [ ];a b ( ){ } 1 ,ξ = = nkn n n i i i D I với *∈nk thì: ( ) ( ) 1 1ξ = ⋅ − <∑ nk n n n i i i i u I F I n . Đặt ( ) 1 ξ = = ⋅∑ nk n n n i i i y u I , *∀ ∈n . Khi đó +∈ny E (do ( ) , 0ξ +∈ ≥n ni iu E I , 1,∀ = ni k và +E là nón) và [ ]( ) ( ) ( ) 1 1 ; ξ = = − = ⋅ −∑ ∑ n nk k n n n n i i i i i y F a b u I F I (do tính cộng tính của F ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1ξ ξ = =  = ⋅ − ≤ ⋅ − < ∑ ∑ n nk k n n n n n n i i i i i i i i u I F I u I F I n , *∀ ∈n . Cho →∞n trong bất đẳng thức trên, ta được [ ]( )lim ; 0 →∞ − =nn y F a b hay [ ]( )lim ; →∞ =nn y F a b , mà { } +⊂n ny E và +E đóng nên [ ]( ); +∈F a b E Vậy [ ]( ) ( ) ( ) ( );θ ≤ = = −∫ ∫ ∫ b b b K K K a a a F a b u s ds g s ds f s ds . Ta có đpcm.  1.5 Tích phân của đạo hàm các hàm có giá trị vectơ 1.5.1 Hàm có biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối Định nghĩa Cho ( ), .E là không gian Banach và [ ]; , a<b⊂ a b . a) Hàm [ ]: ; →u a b E được gọi là có biến phân bị chặn (kí hiệu là ∈u BV ) trên [ ];a b nếu đại lượng sau hữu hạn [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ); , ; , ; ,+ + ++ ⊂HL a b E HL a b E HL a b E ( ) ( ) { }1 :−− =∑ i i i P u t u t P t là một phân hoạch của [ ];a b }< +∞ 34 b) Hàm [ ]: ; →u a b E được gọi là liên tục tuyệt đối (kí hiệu là ∈u AC ) nếu với 0ε > cho trước, tồn tại 0δ > thỏa với mọi họ ( ){ }, : 1,=i ia b i n các khoảng con đôi một không giao nhau của [ ];a b thỏa ( ) 1 δ = − <∑ n i i i b a thì ( ) ( ) 1 ε = − <∑ n i i i u b u a . Tính chất 1) Nếu ∈u AC thì ∈u BV . 2) Nếu hàm [ ]: ; →u a b E thỏa ∈u BV thì u bị chặn theo chuẩn. 3) Cho hàm [ ]: ; →f a b E thỏa ( ) 0=f t x , t (hàm hằng) thì ∈f AC . 4) Cho [ ], : ; →f g a b E liên tục tuyệt đối và ∈c . Khi đó: i. ⋅ ∈c f AC ii. + ∈f g AC 5) Nếu hàm [ ]: ; →f a b E thỏa ∈f AC thì hàm [ ]: ; → g a b định bởi ( ) ( )=g t f t , [ ];∀ ∈t a b cũng liên tục tuyệt đối. Định nghĩa a) Hàm [ ]: ; →u a b E được gọi là thỏa điều kiện Lusin mạnh nếu với mọi tập có độ đo không [ ];⊂Z a b và 0ε > tùy ý, tồn tại cái đo [ ] ( ): ; 0,δ → +∞a b sao cho với mọi −K phân hoạch riêng cỡ δ [ ]( ){ }2 1 2, ,ξ −= i i i iD t t thỏa { }ξ ⊂i i Z thì ( ) ( )2 2 1 ε−− <∑ i i i u t u t b) • Hàm [ ]: ; →u a b E được gọi là khả vi tại ( ),∈t a b nếu tồn tại ∈z E sao cho: 35 ( ) ( )lim 0 → − − = −s t u s u t z s t hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 ε λ − − − ≤       +∫ ∫ m b K a B g s f s ds g s f s ds (1.10) Khi đó z được gọi là đạo hàm của u tại t . Kí hiệu ( )'=z u t . • Nếu [ ),∈t a b và (1.10) thỏa khi +→s t thì ta nói z là đạo hàm phải của u tại t . Kí hiệu ( )'+=z u t Nếu ( ],∈t a b và (1.10) thỏa khi −→s t thì ta nói z là đạo hàm trái của u tại t . Kí hiệu ( )'−=z u t . • Hàm u được gọi là khả vi trên [ ];a b nếu u khả vi tại mọi ( ),∈t a b và ( ) ( )' , '+ −u a u b tồn tại. • Hàm [ ]: ; →u a b E được gọi là khả vi h.k.n nếu đạo hàm ( ) ( ) ( ) 0 ' lim ∆ → + ∆ − = ∆t u t t u t u t t tồn tại h.k.n trên [ ];a b . Bổ đề 1.5.1 a) Nếu [ ]: ; → u a b thỏa ∈u AC thì u khả vi h.k.n và 'u khả tích theo Lebesgue, ( ) ( ) ( ) 0 0' = −∫ t t u s ds u t u t , [ ]0, ;∀ ∈t t a b . b) Cho [ ]: ; → v a b khả tích theo Lebesgue, [ ]0 ;∈t a b và đặt ( ) ( ) 0 := ∫ t t u t v s ds , [ ];∀ ∈t a b . Khi đó ∈u AC và ( ) ( )' =u t v t h.k.n trên [ ];a b . Định lý 1.5.2 Cho [ ], : ; →u v a b E , [ ]0 ;∈t a b và 0 ∈x E . Khi đó các khẳng định sau tương đương: a) ( ) ( ), '∈ =u AC u t v t h.k.n trên [ ];a b và ( )0 0=x u t . 36 b) v khả tích theo Bochner và ( ) ( ) 0 0= + ∫ t t u t x v s ds , [ ];∀ ∈t a b . Chứng minh: Chiều thuận ( ⇒a b ): Giả sử ( ) ( ), '∈ =u AC u t v t , [ ); \∀ ∈t a b Z trong đó Z là tập có độ đo không của [ ];a b và ( )0 0=u t x . i. Chứng minh: v khả tích theo Bochner • *∀ ∈n , đặt 2 − =n n b ah và = + ⋅kn nt a k h với 0;1;2;...;2= nk thì <k ln nt t nếu <k l , 0 =nt a và 2 = n nt b . • Xét dãy hàm bậc thang { } 1 ∞ =n n f định bởi: ξ ∈i nZ trong đó 1;2;...;2= nk và *∈n . Khi đó [ ]: ; →nf a b E (do ) [ ) 2 1 1 , ;− = ∪ = n k k n nk t t a b ) và ){ }21 1 ,− =  n k k n n k t t gồm những tập đôi một không giao nhau, *∀ ∈n . • Lấy tùy ý [ ); \∈t a b Z thì ( ) ( ) ' =u t v t . Với mỗi *∈n , do [ ) ) 2 1 1 ; ,− = ∈ = ∪  n k k n nk t a b t t nên tồn tại 1;2∈ nnk sao cho 1− ≤ <n nk kn nt t t , và do sự tồn tại của ( )'u t nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 ' '− − −  = + ⋅ − + − ⋅  = + ⋅ − + − ⋅ n n n n n n k k k n n n n k k k n n n n u t u t u t t t t t u u t u t u t t t t t v với { } { }, ⊂n nn nu v E thỏa lim lim 0→∞ →∞= =n nn nu v ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1'− − −⇒ − = ⋅ − + − ⋅ − − ⋅n n n n n nk k k k k kn n n n n n n nu t u t u t t t t t u t t v ( ) 1 * ' , −= ⋅ + − ⋅ − − ⋅ ∀ ∈n nk kn n n n nu t h t t u t t v n 37 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 ' −− − −− ⇒ − = − = ⋅ − ⋅ n nn n k kk k n nn n n n n n n n t t t tu t u t f t v t u t u v h h h 1 * , −− − ≤ ⋅ + ⋅ ≤ + ∀ ∈ n nk k n n n n n n n n t t t t u v u v n h h (có ( ) ( )2 2 1 2ε−− <∑ i i i u t u t do )1,−∈  n nk kn nt t t ) Như vậy, ta đã chứng minh được: ( ) ( )− ≤ +n n nf t v t u v , *∀ ∈n , [ ); \∀ ∈t a b Z mà ( )lim 0 →∞ + =n nn u v nên ( ) ( )lim→∞ =nn f t v t h.k.n trên [ ];a b Vậy v là hàm µ − đo được. • Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 1 1 1 − − = = − = ⋅ = − ≤ ∨∑ ∑∫ n nk kb b n n k k n n n n ak ka n u t u t f t dt h u t u t u h , *∀ ∈n (do ∈u AC nên ∈u BV và { }2 0= n k n k t là một phân hoạch của [ ];a b , *∀ ∈n ) ⇒ dãy hàm { }n nf bị chặn theo 1. trong không gian  các hàm khả tích theo Bochner trên [ ];a b (Trong  , ( )1 = ∫ b a f f t dt , ∀ ∈f  ) mà ( )1, . đầy đủ nên có dãy con { }kn kf của dãy { }n nf hội tụ theo 1. , do đó ( )lim→∞ ∫ k b nk a f t dt tồn tại. Ta có ( ) ( )lim →∞ =nn f t v t h.k.n trên [ ];a b ( ) ( )lim →∞ ⇒ = knk f t v t h.k.n trên [ ];a b ( ) ( )lim →∞ ⇒ =∫ ∫ k b b nk a a v t dt f t dt Vậy v khả tích theo Bochner trên [ ];a b . ii. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 0 0= + ∫ t t u t u t v s ds , [ ];∀ ∈t a b 38 Bước 1: Chứng minh ( ) ( ) 0 =∫ t t d v s ds v t dt h.k.n trên [ ];a b . • Do v khả tích theo Bochner nên hàm ( )t v t khả tích theo Lebesgue. Theo bổ đề 1.5.1, hàm [ ]: ; → g a b định bởi ( ) ( ) [ ] 0 , ;= ∀ ∈∫ t t g t v s ds t a b liên tục tuyệt đối. Ta sẽ chứng minh hàm [ ]: ; →h a b E định bởi ( ) ( ) [ ] 0 , ;= ∀ ∈∫ t t h t v s ds t a b liên tục tuyệt đối. Thật vậy, 0ε∀ > , do ∈g AC nên 0δ∃ > sao cho với mọi họ ( ){ } ( )*1, = ∈ n i i i a b n các khoảng con đôi một không giao nhau của [ ];a b thỏa ( ) 1 δ = − <∑ n i i i b a thì ( ) ( ) 1 ε = − <∑ n i i i g b g a hay ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 ε = = − = <∑ ∑∫ ∫ ∫ i i i i b a bn n i it t a v s ds v s ds v s ds . Lấy tùy ý họ ( ){ } ( )*1, = ∈ n i i i a b n các khoảng con đôi một không giao nhau của [ ];a b thỏa ( ) 1 δ = − <∑ n i i i b a , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 ε = = = = − = − = ≤ <∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i b a b bn n n n i i i i i it t a a h b h a v s ds v s ds v s ds v s ds Vậy ∈h AC . • Điều phải chứng minh có thể viết lại là ( ) ( )' =h t v t h.k.n trên [ ];a b ( ) ( ) ( ) 0 lim 0 ∆ → + ∆ − ⇔ − = ∆t h t t h t v t t h.k.n trên [ ];a b . Ta có: 39 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 khi , ; , 0 +∆ +∆ +∆+ ∆ −   − = ⋅ − = ⋅ −    ∆ ∆ ∆  + ∆ ∈ ∆ ≠ ∫ ∫ ∫ t t t t t t t t t h t t h t v t v s ds v t ds v s v t ds t t t t t t a b t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 khi , ; , 0 +∆+ ∆ − ⇒ − ≤ ⋅ − + ∆ ∈ ∆ ≠ ∆ ∆ ∫ t t t h t t h t v t v s v t ds t t t a b t t t Như vậy, ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ) 0 1lim 0 +∆ ∆ → ⋅ − = ∆ ∫ t t t t v s v t ds t h.k.n trên [ ];a b . Thật vậy: Ở câu i) ta có ( ) ( )lim →∞ =nn f t v t , [ ); \∀ ∈t a b Z với { }n nf là dãy hàm bậc thang. Đặt [ ]( ) 1 ; ∞ = = ∪ nnV f a b thì V là tập đếm được do [ ]( );nf a b là tập hữu hạn. Ta có thể viết { } 1 ∞ = = ⊂k kV x E . Với mỗi *∈k , cố định lại, do hàm v và hàm hằng kx khả tích theo Bochner trên [ ];a b nên hàm ( ) − kt v t x khả tích theo Bochner trên [ ];a b , suy ra ( ) − kt v t x khả tích theo Lebesgue trên [ ];a b . Do đó theo bổ đề 1.5.1, hàm [ ]: ; → kl a b định bởi ( ) ( ) 0 = −∫ t k k t l t v s x ds thỏa ( ) ( )' = −k kl t v t x , [ ]; \∀ ∈ kt a b Z trong đó kZ là tập có độ đo không nào đó. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1lim lim +∆ ∆ → ∆ → + ∆ −   ⇒ − = = ⋅ − ∆ ∆  ∫ t t k k k kt t t l t t l t v t x v s x ds t t , [ ]; \∀ ∈ kt a b Z Đặt { }0 1 , ∞ = = ∪ ∪ ∪kkZ Z Z a b thì 0Z là tập có độ đo không. Với ( ) ( )lim →∞ =nn u t u t cho trước, với mỗi [ ] 0; \∈t a b Z , Do ( ) ( )lim →∞ =nn f t v t nên * 0 0:∃ ∈ ∀ ≥n n n thì ( ) ( ) 3 ε − <nf t v t . Do đó ( )* : 3 ε ∃ ∈ − < kk x v t . 40 Do ( ) ( ) 0 1lim +∆ ∆ →   ⋅ − = − ∆  ∫ t t k kt t v s x ds v t x t nên ( ) { }0 : 0, \ 0δ δ∃ > ∀∆ ∈t B , thì ( ) ( )1 3 ε+∆ ⋅ − − − < ∆ ∫ t t k k t v s x ds v t x t ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 3 3 ε ε ε+∆ +∆ ⇒ ⋅ − ≤ ⋅ − − − + − < + = ∆ ∆∫ ∫ t t t t k k k k t t v s x ds v s x ds v t x v t x t t , với mọi ( ) { }0, \ 0δ∆ ∈t B ( ) ( ) ( ) ( )1 1 +∆ +∆  ⇒ ⋅ − ≤ ⋅ − + − ∆ ∆∫ ∫ t t t t k k t t v s v t ds v s x x v t ds t t ( ) ( )1 +∆ = ⋅ − + − ∆ ∫ t t k k t v s x ds x v t t ( ) ( )1 +∆ ≤ ⋅ − + − ∆ ∫ t t k k t v s x ds x v t t ( ) { }2 , 0, \ 0 3 3 ε ε ε δ< + = ∀∆ ∈t B Vậy 0ε∀ > , ( ) { }0 : 0, \ 0δ δ∃ > ∀∆ ∈t B thì ( ) ( )1 ε +∆ ⋅ − < ∆ ∫ t t t v s v t ds t Do đó ( ) ( ) 0 1lim 0 +∆ ∆ → ⋅ − = ∆ ∫ t t t t v s v t ds t . Điều này đúng [ ] 0; \∀ ∈t a b Z . Bước 2: Chứng minh ( ) ( ) ( ) 0 0= + ∫ t t u t u t v s ds , [ ];∀ ∈t a b . Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0 0 , ;= − − = − − ∀ ∈∫ t t f t u t u t v s ds u t x h t t a b . Khi đó, do , ∈u h AC nên ∈f AC . Do đó hàm [ ]: ; → l a b định bởi ( ) ( ) [ ], ;= ∀ ∈l t f t t a b cũng liên tục tuyệt đối. Theo bổ đề 1.5.1, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0 0 0 0' , ;= − = − = − − ∀ ∈∫ ∫ t t t t l s ds l t l t f t f t u t u t v s ds t a b (1.11) 41 (do ( )0 θ=f t ). Mặt khác, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' θ= − = − =f t u t h t u t v t h.k.n trên [ ];a b ( ) ( ) 0 lim θ ∆ → + ∆ − ⇒ = ∆t f t t f t t h.k.n trên [ ];a b , mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ∆ −+ ∆ − + ∆ −= ≤ ∆ ∆ ∆ f t t f tl t t l t f t t f t t t t , với mọi [ ], ;∆ ∈t t a b thỏa [ ]; , 0+ ∆ ∈ ∆ ≠t t a b t ( ) ( ) 0 lim 0 ∆ → + ∆ − ⇒ = ∆t l t t l t t h.k.n trên [ ];a b ( )' 0⇒ =l t h.k.n trên [ ];a b (1.12) (1.11), (1.12) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 00 , ;⇒ = − − ∀ ∈∫ t t u t u t v s ds t a b ( ) ( ) ( ) 0 0⇒ = + ∫ t t u t u t v s ds , [ ];∀ ∈t a b Chiều ngược ( )⇒b a : Giả sử v khả tích theo Bochner và ( ) ( ) 0 0= + ∫ t t u t x v s ds , [ ];∀ ∈t a b . Theo chứng minh ở chiều thuận, ta được hàm ( ) ( ) [ ] 0 , ;= ∀ ∈∫ t t h t v s ds t a b liên tục tuyệt đối và ( ) ( ) 0 =∫ t t d v s ds v t dt h.k.n trên [ ];a b (phần chứng minh này chỉ sử dụng tính khả tích theo Bochner của v . Chú ý rằng v khả tích theo Bochner nên v là µ - đo được, do đó tồn tại dãy hàm bậc thang { }n nf sao cho ( ) ( )lim→∞ =nn f t v t h.k.n trên [ ];a b ). Do ( ) ( )0= +u t x h t và ∈h AC nên ∈u AC và ( ) ( ) ( )' '= =u t h t v t h.k.n trên [ ];a b . 42 Hơn nữa ( ) ( ) 0 0 0 0 0= + =∫ t t u t x v s ds x .  Nhận xét Từ chứng minh định lý 1.5.2, ta rút ra kết quả sau: Cho hàm [ ]: ; →u a b E khả tích theo Bochner và [ ]0 ;∈t a b . Khi đó hàm [ ]: ; →v a b E định bởi ( ) ( ) [ ] 0 , ,= ∀ ∈∫ t t v t u s ds t a b liên tục tuyệt đối và ( ) ( )' =v t u t h.k.n trên [ ];a b . Hệ quả 1 Cho ( ), .E là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón +E . Hàm [ ]: ; →u a b E thỏa ∈u AC và ( )' +∈u t E h.k.n trên [ ];a b . Khi đó u là hàm không giảm. Chứng minh: Lấy tùy ý [ ], ;∈c d a b sao cho ≤c d . Ta chứng minh: ( ) ( )≤u c u d . Do ∈u AC và u khả vi h.k.n trên [ ];a b nên theo định lý 1.5.2, ( )'u t khả tích theo Bochner và ( ) ( ) ( )' = −∫ d c u t dt u d u c Do ( )' θ≥u t h.k.n trên [ ];a b nên ( )' θ≥u t h.k.n trên [ ];c d , do đó theo hệ quả 1.3.3, ta được ( )' θ θ≥ =∫ ∫ d d c c u t dt dt ( ) ( ) ( ) ( )θ⇒ − ≥ ⇒ ≤u d u c u c u d Vậy u là hàm không giảm.  Hệ quả 2 Cho ( ), .E là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón +E . Các hàm [ ], : ; →u v a b E khả tích theo Bochner và thỏa ( ) ( )≤u t v t h.k.n trên [ ];a b . Khi đó: 43 ( ) ( ) ( ) ( )θ ≤ − ≤ −∫ ∫ ∫ ∫ t t b b a a a a v s ds u s ds v s ds u s ds , [ ];∀ ∈t a b Chứng minh: Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = −  ∫ ∫ ∫ t t t a a a f t v s ds u s ds v s u s ds , [ ];∀ ∈t a b . Do ,u v khả tích theo Bochner nên −v u khả tích theo Bochner. Do nhận xét, ta có ∈f AC và ( ) ( ) ( )' = −f t v t u t h.k.n trên [ ];a b Mà ( ) ( )≤u t v t h.k.n trên [ ];a b nên ( )' +∈f t E h.k.n trên [ ];a b . Theo hệ quả 1, ta được f là hàm không giảm. ( ) ( ) ( )⇒ ≤ ≤f a f t f b , [ ];∀ ∈t a b ( ) ( ) ( ) ( )θ⇒ ≤ − ≤ −∫ ∫ ∫ ∫ t t b b a a a a v s ds u s ds v s ds u s ds , [ ];∀ ∈t a b  Hệ quả 3 Cho hàm [ ]: ; →u a b E khả vi h.k.n. Khi đó, các khẳng định sau tương đương: a) ∈u AC b) 'u khả tích theo Bochner và ( ) ( ) ( ) 0 0 '− = ∫ t t u t u t u s ds , [ ]0, ;∀ ∈t t a b . Chứng minh: được suy ra từ định lý 1.5.2.  Hệ quả 4 Cho [ ]: ; → u a b thỏa ∈u AC , hàm [ ]: ; →v a b E khả vi h.k.n và ∈v AC . Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' '⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅  ∫ t t u t v t u t v t u s v s u s v s ds , [ ]0, ;∀ ∈t t a b Chứng minh: Đặt [ ]: ; →f a b E định bởi ( ) ( ) ( )= ⋅f t u t v t , [ ];∀ ∈t a b . i. Chứng minh f khả vi h.k.n trên [ ];a b và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' '= ⋅ + ⋅f t u t v t u t v t h.k.n trên [ ];a b . 44 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ − + ⋅ + − ⋅ = f t h f t u t h v t h u t v t h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ⋅ + − + + − ⋅      = u t h v t h v t u t h u t v t h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ − + −= + ⋅ + ⋅v t h v t u t h u tu t h v t h h , [ ], ;∀ ∈t h a b thỏa [ ];+ ∈t h a b và 0≠h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim ' ' → + − ⇒ = ⋅ + ⋅ h f t h f t u t v t u t v t h h.k.n trên [ ];a b (do [ ]: ; → u a b thỏa ∈u AC nên theo bổ đề 1.5.1, u khả vi h.k.n trên [ ];a b , ngoài ra v khả vi h.k.n trên [ ];a b ) ⇒ f khả vi h.k.n trên [ ];a b và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' '= ⋅ + ⋅f t u t v t u t v t h.k.n trên [ ];a b . ii. Chứng minh ∈f AC : Do , ∈u v AC nên , ∈u v BV , do đó ,u v là các hàm bị chặn. Đặt ( ) [ ]{ }sup : ; 1= ∈ +m u t t a b và ( ) [ ]{ }sup : ; 1= ∈ +M v t t a b thì , ∈m M và , 0>m M . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − + − ⋅      f s f t u s v s u t v t u s v s v t u s u t v t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ ⋅ − + − ⋅u s v s v t u s u t v t ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , , ;≤ ⋅ − + ⋅ − ∀ ∈m v s v t M u s u t s t a b Với 0ε > cho trước, • Do ∈u AC nên tồn tại 1 0δ > sao cho với mọi họ ( ){ } 1, = n i i i a b ( *∈n ) các khoảng con đôi một không giao nhau của [ ];a b thỏa ( ) 1 1 δ = − <∑ n i i i b a thì ( ) ( ) 1 2 ε = − <∑ n i i i u b u a M . 45 • Do ∈v AC nên tồn tại 2 0δ > sao cho với mọi họ ( ){ } 1, = n i i i a b ( *∈n ) các khoảng con đôi một không giao nhau của [ ];a b thỏa ( ) 2 1 δ = − <∑ n i i i b a thì ( ) ( ) 1 2 ε = − <∑ n i i i v b v a m Chọn { }1 2min ,δ δ δ= thì 0δ > . Lấy tùy ý họ ( ){ } 1, = n i i i a b ( *∈n ) các khoảng con đôi một không giao nhau của [ ];a b thỏa ( ) 1 δ = − <∑ n i i i b a thì ( ) 1 1 δ = − <∑ n i i i b a và ( ) 2 1 δ = − <∑ n i i i b a . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1= =  − ≤ ⋅ − + ⋅ − ∑ ∑ n n i i i i i i i i f b f a m v b v a M u b u a ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 ε ε ε = = = ⋅ − + ⋅ − < ⋅ + ⋅ =∑ ∑ n n i i i i i i m v b v a M u b u a m M m M Vậy ∈f AC . Từ i), ii) và hệ quả 3 suy ra ( ) ( ) ( ) 0 0' = −∫ t t f s ds f t f t , [ ]0, ;∀ ∈t t a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0' '⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅  ∫ t t u s v s u s v s ds u t v t u t v t , [ ]0, ;∀ ∈t t a b . Ta được điều phải chứng minh.  1.5.2 Nguyên hàm Cho [ ]: ; →u a b E là HL – khả tích và ∈c E . Khi đó ( ) ( ) [ ], ;= + ∀ ∈∫ t K a f t c u s ds t a b xác định một hàm [ ]( ); ,∈f C a b E và được gọi là nguyên hàm của u . Ta nhắc lại kết quả sau, bỏ qua chứng minh. 46 Định lý 1.5.3 Cho [ ]: ; →f a b E là HL – khả tích và F là nguyên hàm của f . Khi đó, F khả vi h.k.n và ( ) ( )' =F t f t h.k.n trên [ ];a b . Định lý 1.5.4 Cho các hàm [ ], : ; →u v a b E và [ ]0 ;∈t a b , 0 ∈x E . Khi đó các khẳng định sau tương đương: a) u thỏa điều kiện Lusin mạnh, ( ) ( )' =u t v t h.k.n trên [ ];a b và ( )0 0=u t x . b) v là HL – khả tích và ( ) ( ) 0 0= + ∫ t K t u t x v s ds , [ ];∀ ∈t a b . Chứng minh: Chiều thuận: ( ⇒a b ) Giả sử u thỏa điều kiện Lusin mạnh và ( ) ( )' =u t v t h.k.n trên [ ];a b , ( )0 0=u t x . Đặt [ ] ( ){ ; : '= ∈Z t a b u t không tồn tại hoặc ( ) ( )}' ≠u t v t thì Z là tập có độ đo không và ( ) ( )' =u t v t , [ ]; \∀ ∈t a b Z . Với 0ε > cho trước, cố định lại, • Lấy tùy ý [ ]; \ξ ∈ a b Z , do ( )' ξu tồn tại tức ( ) ( ) ( )lim ' 0 ξ ξ ξ ξ→ − − = −s u s u u s nên ( ) ( )( ) { }1 10 : , \δ ξ ξ δ ξ ξ∃ > ∀ ∈s B thì ( ) ( ) ( )'ξ ξ ε ξ − − < − u s u u s ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) { }1' , , \ξ ξ ξ ε ξ ξ δ ξ ξ⇒ − − ⋅ − < ⋅ − ∀ ∈u s u u s s s B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1' , ,ξ ξ ξ ε ξ ξ δ ξ⇒ − − ⋅ − ≤ ⋅ − ∀ ∈u s u u s s s B Xét [ ], ;∈t t a b thỏa ( ) ( )1 1ξ δ ξ ξ ξ δ ξ− < ≤ ≤ < +t t Ta có: ( ) ( ) ( )( )' ξ− − −u t u t u t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' 'ξ ξ ξ ξ ξ ξ= − + − − − + −u t u u u t u t u t 47 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' 'ξ ξ ξ ξ ξ ξ≤ − − − + − − −u t u u t u t u u t ( ) ( ) ( )ε ξ ε ξ ε ξ ε ξ ε≤ ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − + ⋅ − = ⋅ −t t t t t t Như vậy, [ ]; \ξ∀ ∈ a b Z , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 0 : 'δ ξ ξ ε∃ > − − − ≤ ⋅ −u t u t u t t t t khi ( ) ( )1 1ξ δ ξ ξ ξ δ ξ− < ≤ ≤ < +t t . (1.13) • Do u thỏa điều kiện Lusin mạnh và Z là tập có độ đo không nên tồn tại cái đo [ ] ( )2 : ; 0;δ → +∞a b sao cho với mọi −K phân hoạch riêng cỡ 2δ [ ]( ){ }2 1 2 1, ,ξ − == n i i i i D s s thỏa { } 1ξ = ⊂ n i i Z thì ( ) ( )2 2 1 1 ε− = − <∑ n i i i u s u s (1.14) • Đặt [ ] ( ): ; 0;δ → +∞a b định bởi ( ) ( ) ( )