Luận văn Tiết diện tán xạ độc lập với phân kỳ hồng ngoại

p và nhiệm vụ của Luận văn cần thực hiện. Trong Chương I chúng tôi xem xét bài toán tán xạ electron ở trường điện từ ngoài. Lagrangian tương tác điện từ , trong đó là trường spinơ-electron-positron, còn là trường điện từ. Mục $1.1 chúng tôi nghiên cứu giản đồ Feynman của quá trình tán xạ đàn tính của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, và tính tiết diện tán xạ vi phân tương ứng với giản đồ này. Trong mục $1.2 chúng tôi nghiên cứu đóng góp của các bổ chính photon ảo gần đúng bậc nhât. Trong quá trình tính toán các giản đồ Feynman chúng tôi sử dụng phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên. Chương II: Bổ chính các photon thực cho quá trình tán xạ electron ở trường điện từ ngoài. Trong mục $2.1 chúng tôi xem xét đóng góp của các photon thực cho quá trình tán xạ kể trên. Việc tính toán đóng góp bằng phương pháp được trình bày ở mục $2.2. Mục $ 2.3 dành cho việc lấy tổng các đóng góp của các photon thực và photon ảo, kết quả cuối cùng là tiết diện tán xạ độc lập với phần kỳ hồng ngoại. Phần kết luận tóm tắt kết quả nhận được trong luận văn, và thảo luận vai trò, triển vọng của phương pháp khử phân kỳ đối với việc nghiên cứu các lý thuyết trường hiện đại ngày nay. Trong Phụ lục A chúng tôi nêu vắn tắt những luận điểm cơ bản của phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên, dẫn các công thức tích phân cần thiết cho tính toán các hiệu ứng vật lý sau này. Ở đây ta xét mô hình trường vô hướng tự tương tác ( là trường vô hướng) ở mục 1.1, và tiến hành phép chia tách các phần hữu hạn, các phần phân kỳ tử ngoại cho giản đồ năng lượng riêng của hạt thực vô hướng ở mục 1.2. Mô hình tương tác đơn giản cho phép chúng ta thực hiện các tính toán cụ thể và chi tiết, và dễ hiểu được bản chất của vấn đề. Để nghiên cứu các quá trình tương tác điện từ thực trong QED chúng tôi phải dẫn thêm sự tổng quát hoá một số công thức thông dụng bao gồm các ma trận Dirac cho các hạt có spin. Phụ lục B xem xét bài toán tổng quát khử phân kỳ hồng ngoại theo lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán tán xạ hạt ở trường ngoài. Các kỳ dị hồng ngoại ở đây xuất hiện cho cả các photon ảo và photon thực, sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả tiết diện tán xạ vi phân là hữu hạn và độc lập với các kỳ dị đó. Trong Luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử và metric Pauli Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4. CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG ĐIỆN TỪ NGOÀI Điện động lực học lượng tử ngày nay là một trong số các lý thuyết đầu tiên khá hoàn chỉnh của lý thuyết trường lượng tử /9/. Chỉ dựa vào các quy luật của nó người ta mới giải thích được nhiều hiện tượng khó hiểu trước đây, ví dụ như sự dịch chuyển bổ chính các mức năng lượng nguyên tử, mômen từ dị thường của electron ở trường ngoài và một loạt các kết quả quan trọng về những tính chất của chất và trường. Những thành tựu rực rỡ này đã chứng minh sự tồn tại một dạng mới của vật chất mà ta vẫn chưa biết: đó là chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-positron. Chân không trong lý thuyết trường lượng tử là trạng thái có mức năng lượng cơ bản thấp nhất của trường hay hệ các trường, mà trong đó không tồn tại hạt thực. Trong trạng thái chân không của trường điện từ không có các photon thực, nhưng vẫn tồn tại những dao động không của chân không mà chúng thể hiện trong một loạt các hiệu ứng vật lý. Sự tồn tại các dao động không cũng đặc trưng với chân không của trường electron-positron, mà trong đó không tồn tại các hạt thực là electron và positron. Tất cả các hiện tượng trên đã chứng minh rằng chân không đã có những tính chất vật lý phức tạp, chứ không thể coi nó như không gian “trống rỗng” nguyên thuỷ. Khái niệm chân không vật lý là một đặc trưng vô cùng quan trọng trong giai đoạn phát triển hiện đại về lý thuyết trường lượng tử. Nhờ có khái niệm chân không vật lý mà sự tương tác giữa các hạt trong lý thuyết trường lượng tử được coi là kết quả của việc trao đổi các lượng tử của các trường tương ứng. Tương tác điện từ là kết quả của việc trao đổi photon ảo; tương tác mạnh –các pimeson ảo. Sự tồn tại chân không và sự tương tác của nó với các trường khác đã dẫn đến những khó khăn đặc biệt nghiêm trọng trong điện động lực học lượng tử và sự xuất hiện một loạt các phân kỳ gắn liền với việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn, một công cụ chủ yếu của điện động lực học lượng tử khi nghiên cứu các hiệu ứng kể trên ở bậc cao. Để vượt qua những khó khăn về phân kỳ này người ta phải đưa vào ý tưởng bổ sung về sự tái chuẩn hoá lại các hằng số (khối lượng, điện tích v.v), mà chúng không có trong các cách phát biểu trong lý thuyết ban đầu. Trong chương này chúng ta xem xét việc khử phân kỳ hồng ngoại cũng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên. Cụ thể ta xem xét bài toán tán xạ của electron ở trường điện từ ngoài. Trong gần đúng bậc nhất theo điện tích, chúng ta xét hạt tán xạ trên thế tĩnh Coulomb. Tính các bổ chính tiếp theo cho tán xạ này chúng ta gặp phải sự phân kỳ hồng ngoại. Để giải quyết bài toán này chúng ta xét các photon ảo và thực “mềm” được bức xạ hay hấp thụ, và tiết diện tán xạ vi phân toàn phần gồm: tiết diện tán xạ đàn tính và tiết diện tán xạ hãm tổng lại với nhau sẽ độc lập với phân kỳ hồng ngoại. 1.1. Tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất. Chúng ta xét quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường điện từ ngoài. Theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, các quá trình tán xạ được mô tả bằng S-ma trận: (1.1) trong đó T là T-tích, N là N-tích. Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến có thể viết : ; (1.2) trong đó : là thế điện từ; : xung lượng của electron ở trạng thái đầu và cuối ; : hình chiếu spin của electron ở trạng thái đầu và cuối lên phương của xung lượng; Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và tương ứng với công thức (1.2) . Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này (xem Hình 1.1). Hình 1.1: Giản đồ Feynman diễn tả quá trình tán xạ electron trong trường điện từ ngoài. đường electron trường điện từ ngoài đường photon Giải thích hình vẽ 1.1: Giản đồ (1.1a) electron có xung lượng p bay vào vùng có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p’ ở gần đúng bậc thấp nhất . Giản đồ(1.1b) là giản đồ diễn tả quá trình electron tương tác với trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc bậc 3 (bổ chính bậc 3). Electron xung lượng p bay vào vùng có trường điện từ bức xạ một photon ảo xung lượng k lệch hướng bay, hấp thụ photon đã bức xạ trước đó rồi bay ra khỏi trường điện từ với xung lượng p’. Các giản đồ(1.1a,1.1b,1.1c,1.1d..) là các “giản đồ thang” và trong luận văn này chúng ta chỉ nghiên cứu các giản đồ loại này. Các giản đồ (1.1e,1.1f,1.1g,1.1h,1.1m) mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với trường điện từ ngoài . Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản đồ (1.1a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau: . (1.3) Vì là hàm số nên ta có thể bỏ ra ngoài , đồng thời khai triển các toán tử và thành các toán tử sinh hủy hạt. , với: :toán tử hủy ; :toán tử hủy ; :toán tử sinh ; :toán tử sinh . Vì nên Xét yếu tố ma trận: (1.4) Khi chuyển các toán tử sinh electron từ phải sang trái và chuyển các toán tử hủy electron từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tư của (1.4) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận. (1.5) Thay (1.5) vào (1.3) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn : , (1.6) trong đó: : spinơ của electron ở trạng thái đầu ; ; Chú ý có thể viết yếu tố ma trận (1.6) dưới dạng tương tự: (1.7) trong đó được xác định bằng công thức: , (1.8) và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron. Giữa và xác xuất của phép dời chuyển từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối do tương tác có mối liên hệ như sau: trong đó và là xung lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối. Vì hạt ở trong trường ngoài không đổi, nên xung lượng của hạt không bảo toàn, mà chỉ có năng lượng bảo toàn nên công thức (1.7) khác công thức ở thừa số vì. Vậy dạng của yếu tố ma trận hạt tán xạ trên trường ngoài (1.7) có thể được coi như là tổng quát. Trong trường hợp tán xạ của electron trên thế Coulomb, thì có dạng: . (1.9) Thay (1.9) vào công thức tổng quát cho tiết diện tán xạ vi phân hạt trên trường ngoài , đồng thời chú ý ta có: (1.10) Lưu ý là thực khi và là ảo khi , đồng thời (k=1,2,3) phản giao hoán với nên: , trong đó (1.11) Song vậy: . (1.12) Chú ý hệ thức /9/ , (1.13) . (1.14) Theo định luật bảo toàn năng lượng suy ra , trong toạ độ cầu, chúng ta tính tích phân: , (1.15) trong phép biến đổi trên, chú ý rằng: Chú ý từ công thức (1.15) thì tiết diện vi phân của quá trình tán xạ có thể được viết dưới dạng: . (1.16) Bây giờ ta tính vết ở công thức (1.16) . (1.17) Trong công thức (1.17) ta đã bỏ qua số hạng chứa im vì vết của một số lẻ các ma trận Dirac thì bằng không. Sử dụng các công thức tính vết thông thường: , , (1.18) ta thu được kết quả: . (1.19) Thay các công thức (1.19) vào (1.16) ta có: , (1.20) trong đó là xung lượng truyền và và ta có thể biểu diễn nó qua góc tán xạ và độ lớn của xung lượng : (1.21) Thay (1.21) vào (1.20) và rút gọn ta được: . (1.22) Trong phép gần đúng phi tương đối tính và động năng được ký hiệu ta có: . (1.23) Công thức (1.23) khác công thức Rutherford bởi bổ chính , nó được giải thích như là sự đóng góp do sự tồn tại spin của electron. Vậy ta thu được kết quả cho tán xạ của electron trên trường Coulomb chính xác hơn kết quả thu được của Rutherford. 1.2. Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất. Chúng ta nghiên cứu đóng góp của các bổ chính cho bài toán tán xạ trong gần đúng bậc nhất đã xem xét ở trên. Bổ chính ở đây có hai loại: Loại thứ nhất liên quan đến các photon ảo và loại thứ hai liên quan đến photon thực. Giản đồ Feynman cho bổ chính photon ảo được đưa ra trong hình 1.2. Trong vùng hồng ngoại chúng ta chỉ cần tính đối với giản đồ (1.2b) bởi vì tất cả các giản đồ còn lại đều hội tụ /3/, không chứa phân kỳ. Hình vẽ 1.2: Giản đồ Feynman cho bổ chính cho tán xạ đàn tính của electron trong trường điện từ ngoài Giải thích hình 1.2: Giản đồ (1.2a) diễn tả quá trình tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài gần đúng bậc nhất. Electron xung lượng p bay vào vùng có trường điện từ và lệch hướng bay ra có xung lượng p’. Giản đồ (1.2b) electron khi bay vào vùng có trường điện từ đã bức xạ ra một photon và lệch hướng bay đồng thời hấp thụ photon đã bức xạ trước rồi ra khỏi vùng có trường điện từ. Giản đồ (1.2c) diễn tả quá trình electron tương tác với trường điện từ ngoài, sau quá tình tạo cặp và huỷ cặp electron và positron thành hai photon . Giản đồ này giúp chúng ta tái chuẩn hoá điện tích của electron trong quá trình tán xạ. Giản đồ (1.2d, 1.2e) trong quá trình tương tác với trường điện từ ngoài electron bức xạ và hấp thụ các photon, quá trình này xảy ra có thể trước hoặc sau tương tác với trường ngoài. Giản đồ (1.2f, 1.2h) xuất hiện do việc kể thêm các phản thành phần có chứa thừa số trong Lagrangian tương tác để tái chuẩn hoá khối lượng electron trong quá trình tán xạ. Theo quy tắc Feynman ta có bổ chính cho giản đồ đỉnh (1.2b): , (1.24) trong đó p và p’ là xung lượng của electron vào và ra. Ở đây chúng ta lấy tích phân n chiều và sử dụng các công thức đối với ma trận : ; ; (1.25) ; khi đó ta xét các biểu thức dưới dấu tích phân (1.24) có dạng: (1.26) - Xét giá trị mẫu thức của (1.26). Sử dụng các công thức tham số hoá theo Feynman: , (1.27) ta đặt: ; ; thì biểu thức ở mẫu số (1.27) có thể viết lại: (1.28) - Giá trị của (1.26) có thể viết lại: Tính A: . (1.29) Tính B . (1.30) Tính C: . (1.31) Vậy ta có: (1.32) Tính các tích phân (1.26) với A, B, C được xác định bởi các công thức tương ứng (1.29), (1.30), (1.31) dựa và các tích phân (A.3) và (A.9) ở phần phụ lục ta có: . (1.33) . (1.34) . (1.35) Sử dụng các biểu thức và tích phân ta có: (1.36) (1.37) (1.38) Thay vào (1.26) ta được: . (1.39) Trong đó, m là khối lượng của electron ; là xung lượng truyền , Ta nhận thấy B hội tụ trong vùng hồng ngoại khi n=4. Lấy tích phân theo dy của biểu thức ta có: . (1.40) Từ công thức (1.40) ta nhận thấy, trong trường hợp này phân kỳ hồng ngoại chỉ xuất hiện khi n=4 và n=3 . Giá trị thặng dư của được tính như sau: . (1.41) CHƯƠNG 2 TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI 2.1. Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất. Bây giờ chúng ta xem xét đóng góp của các photon thực cho quá trình tán xạ đàn tính kể trên. Các giản đồ Feynman kể các đóng góp của các photon thực “mềm” mô tả ở hình 2.1: Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ trong trường điện từ ngoài bức xạ photon thực “mềm” Giải thích hình vẽ 2.1: Hình (2.1a) electron xung lượng p bay vào điện từ trường ngoài bị tán xạ, bức xạ ra một photon xung lượng k làm giảm năng lượng của electron bay ra chỉ còn là p’. Hình (2.1b) electron xung lượng p bức xạ một photon k giảm xung lượng rồi sau đó bay vào điện từ trường ngoài, tán xạ và bay ra với xung lượng p’. Theo công thức tính tiết diện tán xạ vi phân ta có: (2.1) (vì ta không chú ý tới sự định hướng spin của electron trong trạng thái cuối cùng như chùm electron trong trạng thái đầu là chùm không phân cực thì ta phải tiến hành lấy tổng theo các giá trị hình chiếu spin của electron ở trạng thái cuối và lấy trung bình theo các giá trị hình chiếu spin của electron ở trạng thái đầu) (2.2) Theo quy tắc Feynman ta có các hàm truyền: (2.3) (2.4) Thay (2.3) và (2.4) vào (2.2) ta được: , (2.5) khi đó ta có biểu thức: , (2.6) thế (2.6) vào (2.1) ta có: , (2.7) ở đây, là giá trị nhỏ nhất của tiết diện tán xạ đàn tính đã thu được từ giản đồ Feynman (1a) và được xác định bởi công thức (1.22). Tích phân trên được lấy theo biến k trong vùng ; là năng lượng phân giải mà thực nghiệm cho phép /10/. Trong đó tiết diện tán xạ : , (2.8) Biểu thức tổng quát của có dạng: . (2.9) Tích phân này chỉ phụ thuộc vào n-4 thành phần của k trong argument của hàm . Trong biểu thức của ta có phép biến đổi sau: , ở đây đặt: suy ra: (2.10) Trong đó ta đặt: ; Để tính tích phân (2.9) ta cần chuyển tích phân theo k và thành tích phân theo và , với là độ dài vectơ (n-4) chiều của không gian con (n-4) chiều. (2.11) Trong biểu thức (2.9) thì chính là giá trị , viết lại biểu thức dạng: (2.12) Tích phân (2.12) trong hệ toạ độ cực sử dụng công thức: (2.13) Kết quả ta thu được: (2.14) (2.15) Tích phân theo và với sự trợ giúp của công thức [9] (2.16) ; ; Bằng phương pháp này ta tìm được tiết diện tán xạ của bức xạ hãm như sau: (2.17) Trong (2.17) ta đặt: đại lượng là vận tốc của electron và là góc tán xạ. 2.2. Phương pháp Trong lý thuyết trường (trong QED) ta hay gặp các phân kỳ hồng ngoại (khi đó các tích phân sẽ phân kỳ ở vùng năng xung lượng thấp). Muốn cho các tích phân hội tụ ta phải quy cho photon một khối lượng bổ trợ nào đó, trong biểu thức dưới dấu tích phân ta sẽ thay tạm thời hàm truyền của photon bằng hàm truyền , trong đó , và m là khối lượng của các hạt lepton. Điều này tương đương với việc cắt tích phân ở giới hạn dưới nào đấy khi và trong kết quả cuối cùng ta cho . Từ (2.8) ta dẫn lại công thức tính tiết diện tán xạ: . (2.18) Chính tích phân này chứa phân kỳ hồng ngoại mà ta cần xem xét. Bây giờ, để tiện cho việc tính toán, ta thay thế ; và . Khi đó ta có ; . Chú ý điều kiện , ở đây là giới hạn để tích phân (2.18) là phân kỳ hồng ngoại. Khi đó ta có thể viết lại tích phân trên: , (2.19) ở đây là yếu tố góc đặc chứa xung lượng photon k. Bây giờ ta sử dụng đồng nhất thức: (2.20) với (2.21) . (2.22) Bây giờ, ta có thể chứng minh rằng: ; (2.23) Thật vậy, trong toạ độ cầu ta thay , , (2.24) đặt: , , (2.25) thay (2.25) vào (2.24) ta được: . Vậy công thức (2.23) đã được chứng minh. Áp dụng (2.23) cho (2.22) ta thu được: . (2.26) Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng: ; (2.27) Thật vậy, , (2.28) trong đó: , (2.29) đặt: ; ; (2.30) thay (2.30) vào (2.29) tha thu được: . (2.31) Tiếp theo, ta tính tích phân thứ hai: , (2.32) đặt: suy ra: , (2.33) tiếp tục đặt: ; ; thay vào (2.33) ta thu được: , (2.35) mà: (2.36) thay (2.36) vào (2.35) ta được : , (2.37) thay kết quả thu được của tích phân ở (2.31), và tích phân ở (2.37), vậy công thức (2.27) đã được chứng minh. Sử dụng (2.27) vào (2.26), suy ra : . (2.38) Trong hệ nghỉ ta có: , ta đặt , khi đó thay vào (2.38) : , , . Suy ra : , mặt khác : , với ; thật vậy, =2. Dễ dàng thấy , tiếp tục đặt , (2.39) trong đó: Cuối cùng ta thu được: . (2.40) Để tiện cho việc so sánh với kết quả tính toán bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ở trên, ta đặt và , chú ý rằng , và là năng xung lượng của hạt electron. Từ (2.40) ta suy ra: , (2.41) biểu thức này phân kỳ khi , trong đó: ; ; ở đây: là hàm số Spence. Cuối cùng, chúng ta lập bảng so sánh kết quả tách phân kỳ nhận được bằng hai phương pháp khác nhau : phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp : Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Phương pháp So sánh hai kết quả ta thấy phân kỳ bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên tồn tại khi , còn bằng phương pháp là khi . 2.3. Tiết diện tán xạ vi phân. Giá trị thặng dư của (2.17) khi n=1 ta nhận được: . (2.42) Từ (1.41) và (2.42) tiết diện tán xạ vi phân trong vùng hồng ngoại được cho bởi công thức: . (2.43) Ta thấy rằng khi n=4 thì (2.43) có giá trị: . (2.44) Kết quả (2.44) chứng tỏ rằng các phân kỳ hồng ngoại của các bổ chính cho bài toán tán xạ ở gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn bị triệt tiêu lẫn nhau. Chúng ta tính giá trị biểu thức trong giới hạn tương đối tính, . (2.45) Tương tự, trong giới hạn tương đối tính, ta có: , (246) ở đây là hàm phụ thuộc góc tán xạ /10/. Tóm lại: Tiết diện tán xạ vi phân của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất theo lý thuyết nhiễu loạn có thể biểu diễn dưới dạng: . (2.61) KẾT LUẬN Trong QED nói riêng cũng như trong lý thuyết trường lượng tử nói chung luôn luôn tồn tại hai loại phân kỳ: phân kỳ tử ngoại và phân kỳ hồng ngoại. Việc loại bỏ chúng có cơ sở vật lý khác nhau và bằng các phương pháp điều chỉnh khác nhau. Nếu phân kỳ tử ngoại ta loại bỏ bằng cách chia tách các phần chứa phân kỳ để tái chuẩn hoá các đại lượng vật lý như điện tích và khối lượng của electron trong QED, còn phân kỳ hồng ngoại lại có cơ sở vật lý khác hẳn. Ở đây liên quan đến việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn trong các trường mà lượng tử của nó có khối lượng nghỉ bằng không. Các kỳ dị hồng ngoại ở đây xuất hiện cho cả các photon ảo và photon thực, sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả tiết diện tán xạ vi phân là hữu hạn và độc lập với các kỳ dị đó. Các hồng ngoại đã bị triệt tiêu lẫn nhau đối với bất cứ bậc nào của lý thuyết nhiễu loạn. Trên cơ sở bài toán tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, chúng tôi đã chỉ ra rằng : 1. Các phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử cũng có thể bị loại bỏ được nhờ việc sử dụng phương pháp khử bằng điều chỉnh thứ nguyên, mà nó được sử dụng rộng rãi để khử phân kỳ tử ngoại ; 2. Tiết diện tán xạ vi phân vật lý bằng tiết diện tán xạ đàn tính, các phân kỳ hồng ngoại bị triệt tiêu lẫn nhau, ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn cho đóng góp hầu như không đáng kể. Trong phương pháp này, coi thứ nguyên của không thời gian n như một tham số đưa thêm vào trong lý thuyết, và có thể áp dụng để khử được cả phân kỳ tử ngoại và phân kỳ hồng ngoại mà không cần đưa thêm một khối lượng chuẩn hoá lớn hoặc nhỏ vào. Quá trình này bảo toàn được hình thức luận của lý thuyết bất biến và tính unita trong tất cả các bước tính toán mà chúng tôi tiến hành. Việc mở rộng phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên có ý nghĩa quan trọng trong vật lý hiện đại vì khả năng khử cả hai loại phân kỳ bằng cùng một phương pháp. Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp này trong thời gian tới để nghiên cứu loại bỏ các phân kỳ tử ngoại, hồng ngoại trong sắc động lực học lượng tử, trong lý thuyết trường hấp dẫn lượng tử.cho các quá trình vật lý cụ thể cũng như các lý thuyết trường thống nhất sau này. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội. Tiếng Anh [2]. Akhiezer, A.I. and Berestetskii, V.B. (1965), Quantum Electrodynamics, New York. [3]. Bogoliubov, N.N. and Shirkov, D.V. (1984), Introduction to the Theory of Quantized Fields, Edition, John Wiley&Sons, New York. [4]. Bjorken, J.D. and Drell, S.D. (1964), Relativistic Quantum Mechanics, New York. [5]. Gastmans, R. and Meuldermans, R. (1973), “Dimensional regularization of infrared divergences problem”, Nucl.Phys.B63. pp. 277-284. [6]. Hoof, G.’t and Velman, M. (1972), “Regularization and Renormalization of Gauge fields”, Nucl.Phys. B44. pp. 189-213. [7]. Jauch, J.M. and Rohrlich, F. (1955) Theory of photons and electrons, Addison-Wesley, Readind, MA. [8]. Marciano, W.J. and Sirlin, A. (1975) “Dimensional regularization of infrared divergences”, Nucl.Phys.B88, pp. 86-98. [9]. Wu, T-Y. and Pauchy Hwang, W-Y. (1990) Relativistic Quantum Mechanics and Quantum Fields, World Scientific. [10]. Yennie, D.R, Frautschi, S.C and Suura, H. (1961) “The infrared divergence phenomena and high-energy processes”, Ann. Of Phys. 13. pp. 397 and references therein. PHỤ LỤC A KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN Trong tất cả các mô hình tương tác của các hạt sơ cấp trong lý thuyết trường lượng tử, xét về mặt toán học, đều có thể dẫn về hai mô hình tương tác cơ bản: mô hình tương tác của các hạt vô hướng tự tương tác và mô hình . Mô hình tương tác đơn giản cho phép ta thực hiện các tính toán cụ thể và chi tiết, đồng thời tạo điều kiện thử nghiệm các phương pháp toán học hữu hạn và dễ hiểu. Theo quy tắc đối ứng của Feynman, tích phân đơn giản: . (A.1) Tương ứng với giản đồ một vòng Feynman cùng với hai đường vô hướng trong. Biểu thức (A.1) chính là giản đồ năng lượng riêng của hạt vô hướng. p p p-k k Tích phân (A.1) là ảnh Fourrier của tích phân hàm truyền với các biến số chập nhau: (A.2) Các tích phân (A.2) chứa các hàm kỳ dị suy rộng dạng , (trong đó ). Vì vậy, công thức (A.2) không phải là đại lượng xác định. Xét về mặt toán học, chúng ta phải tiến hành định nghĩa lại đại lượng (A.2). Ở đây có hai cách giải quyết vấn đề: Cách thứ nhất tìm một hàm khác đã được điều chỉnh và gần đúng với hàm nhân quả, có nghĩa, chúng ta phải thay các hàm nhân quả kỳ dị bằng hàm đã được điều chỉnh: . Với góc độ thô sơ hàm chính quy hoá là hàm liên tục trên hình nón ánh sáng. Sự điều chỉnh hàm nhân quả như vậy đã được Pauli-Villars sử dụng để khử phân kỳ trong các giản đồ Feynman. Phương pháp điều chỉnh như vậy được gọi là phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars. Cách thứ hai không đặt vấn đề thay đổi hàm Green nhân quả bao gồm việc khử phân kỳ bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên hoặc phương pháp cắt xung lượng ảo ở vùng xung lượng lớn. Cách khử phân kỳ của phương pháp điều chỉnh thứ nguyên bao gồm các bước sau: 1/. Tích phân đa tạp 4-chiều của các xung lượng ảo được thay bằng các tích phân ký hiệu tương ứng với việc lấy tích phân trong không gian chiều. Trong đó là đại lượng dương xác định, n là số không nguyên 2/. Trong phép lấy giới hạn, ta ngầm định , () . Trong không gian Euclide việc đưa phép khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên có nghĩa: , (A.3) thêm vào đó, thể tích là hình cầu đơn vị trong không gian n chiều được ngoại suy nhờ hàm Gamma Eiler: (A.4) sự phụ thuộc vào tham số ( có thứ nguyên như thứ nguyên của khối lượng) được đưa vào ở đây là do suy luận từ sự bảo toàn thứ nguyên chung. 3/. Ngoài ra chúng ta còn có thể ngoại suy một số công thức tích phân khác đã được sử dụng trong các cách khử phân kỳ thông thường trước đây. Công thức Gauss cơ bản có dạng: . (A.5) Tích phân cơ bản trong việc thông số hoá Feynman có thể tính bằng cách tổ hợp các công thức đã sử dụng: . (A.6) Tích phân (A.1) bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên nhờ chuyển tới -biểu diễn /2/, ta tìm được: . (A.7) Sử dụng các công thức: ; (A.8) ; (A.9) ta được: . (A.10) Mặt khác: , (A.11) , (A.12) Đặt biến: ; ; ; ; , (A.13) Đặt , (A.14) Đưa vào biến mới: ; (A.15) Sử dụng định nghĩa hàm Gamma: , (A.16) Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân: Với , ; hằng số Euler-Mascheroni , (A.17) Bây giờ, cần phải lấy giới hạn công thức (A.17), có nghĩa cho , chúng ta nhận được kết quả: , (A.18) Trong đó: . (A.19) Như vậy, trong phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên, phần kỳ dị của tích phân (A.1) có cực đã được