Luận văn Tìm nhiệt độ từ lỗ khoan thăm dò trong trường hợp nhiệt độ phụ thuộc tuyến tính vào nguồn nhiệt

+ thì  ( ) 12 , 0kf e kζζ pi ζ −= − > . (1.5) 4 1.2. Bài toán chỉnh, không chỉnh Bài toán chỉnh theo nghĩa của Hadamard là bài toán thỏa mãn các tính chất sau:
Tồn tại nghiệm (tính tồn tại),
Có nhiều nhất một nghiệm (tính duy nhất),
Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu (tính ổn định). Như vậy, cho X và Y là những không gian định chuẩn và ánh xạ :K X Y→ (tuyến tính hoặc không tuyến tính). Phương trình Kx y= được gọi là chỉnh nếu thỏa mãn:
Tính tồn tại: với mỗi y Y∈ có ít nhất một x X∈ sao cho Kx y= ,
Tính duy nhất: với mọi y Y∈ có nhiều nhất một x X∈ với Kx y= ,
Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y , nghĩa là với mọi dãy ( )nx X⊂ thỏa ( )nKx Kx n→ → ∞ thì ( )nx x n→ → ∞ . Phương trình không thỏa ít nhất một trong các tính chất trên được gọi là không chỉnh. 1.3. Định lý divergence (định lý Gauss – Ostrogradski) Cho ( ), ,F f g h= là một trường vectơ thuộc lớp 1C xác định trên một miền bị chặn 3Ω ⊂
và D là một miền con của Ω là hội của một số hữu hạn các miền đơn giản rời nhau. Nếu D có biên S là một mặt khả vi trong Ω thì với pháp vectơ đơn vị ngoài n  của S đối với D , ta có D S f g h dxdydz fdydz gdxdz hdxdy x y z  ∂ ∂ ∂ + + = + + ∂ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫ (1.6) hay . D S Fdxdydz F ndσ∇ =∫∫∫ ∫∫    . (1.7) 5 1.4. Phương trình Laplace 1.4.1. Định nghĩa Ta kí hiệu 1 i i n x x i u u = ∆ =∑ . Phương trình Laplace là phương trình có dạng 0u∆ = (1.8) và phương trình Poisson là phương trình có dạng u f−∆ = . (1.9) Trong cả hai phương trình (1.8) và (1.9) ,x U∈ :u U →
là hàm chưa biết,U là một tập mở trong n
. Ở phương trình (1.9) :f U →
là hàm vế phải đã biết. 1.4.2. Nghiệm cơ bản Hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 ln 2 2 1 1 3 2 n x n x n n n n x pi α −  − = Γ =   ≥ − (1.10) với , 0nx x∈ ≠
và ( )nα là thể tích của hình cầu đơn vị trong n
được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, trong đó ( )12 2 2 21 2 nx x x x= + + . 1.4.3. Nghiệm của phương trình Poisson Giả sử ( )2 ncf C∈
, tức là hàm f có đạo hàm cấp hai liên tục và có giá compact. Khi đó phương trình Poisson có nghiệm ( ) ( ) ( ) n u x x f dξ ξ ξ= Γ −∫
. (1.11) 6 1.4.4. Hàm Green Ta gọi hàm số sau đây là hàm Green đối với miền U ( ) ( ) ( ), xG x xξ ξ κ ξ= Γ − − ( ), ,x U xξ ξ∈ ≠ , (1.12) trong đó ( ) 0, , x x x U x x U κ κ ξ ∆ = ∀ ∈  = Γ − ∀ ∈∂ . Giả sử 2u C∈ là hàm số bất kỳ. Cố định x U∈ , chọn 0ε > đủ nhỏ sao cho ( ),B x Uε ⊂ , ta có đẳng thức Green ( ) ( ) ( ) ( ) V u G x G x u dx ε ξ ξ ξ ξ ∆ − − − ∆  ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V G u u x G x dS n n ε ξ ξ ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂  = − − − ∂ ∂ ∫ , (1.13) trong đó ( )\ ,V U B xε ε= và n là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài đối với Vε∂ . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U u G u x G x u x dS G x u d n n ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂  = − − − − − ∆ ∂ ∂ ∫ ∫ . (1.14) 1.5. Một số bất đẳng thức Với mọi giá trị 0t > , ta luôn có bất đẳng thức 1 t te e t − ≤ . (1.15) Với 30 eε −< < , ta luôn có 5 / 3 2 1 1ln ε ε < . (1.16) 7 Chương 2 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 2.1. Giới thiệu bài toán Đây là bài toán Cauchy cho phương trình elliptic: yêu cầu tìm hàm số u thỏa 0, ,0 1u x y∆ = ∈ < <
(2.1) khi biết ( ) ( ),1u x xϕ= , (2.2) ( ) ( ),1yu x xψ= , (2.3) trong đó ( ) ( ) ( ),0 , , , ,x yu x u x y u x y thuộc ( )1L
. (2.4) 2.2. Phương trình tích phân Bằng cách dùng phương pháp hàm Green, ta sẽ đưa bài toán về phương trình tích phân. Đặt ( ) ( ) ( )( )2 21, , , ln4x y x yξ η ξ ηpiΓ = − − + − (2.5) và ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,G x y x y x yξ η ξ η ξ η= Γ − Γ − . (2.6) Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 1 , , , 2 x x y x y ξ ξξ η pi ξ η −Γ = − + − , ( ) ( ) ( )2 2 1 , , , 2 y x y x y η ηξ η pi ξ η −Γ = − + − , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , , , 2 x y x y x y ξξ ξ ηξ η pi ξ η − − − Γ =   − + −   , 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , , , 2 x y x y x y ηη ξ ηξ η pi ξ η − − + − Γ =   − + −   , ( ) ( ) ( )( )2 21, , , ln4x y x yξ η ξ ηpiΓ − = − − + + , ( ) ( ) ( )2 2 1 , , , 2 x x y x y ξ ξξ η pi ξ η −Γ − = − + + , ( ) ( ) ( )2 2 1 , , , 2 y x y x y η ηξ η pi ξ η − −Γ − = − + + , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , , , 2 x y x y x y ξξ ξ ηξ η pi ξ η − − + Γ − =   − + +   , và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , , , 2 x y x y x y ηη ξ ηξ η pi ξ η − − + + Γ − =   − + +   . (2.7) Từ (2.7), ta có kết quả: ( ) ( )uG Gu uG Guξ ξ η ηξ η ∂ ∂ − + + − + ∂ ∂ u G uG G u Gu u G uG G u Guξ ξ ξξ ξ ξ ξξ η η ηη η η ηη= − − + + − − + + ( ) ( )u G G G u uξξ ηη ξξ ηη= − + + + 0= (2.8) Lấy tích phân đẳng thức (2.8) trên miền ( ) ( ) ( )( ), 0,1 \ , ,n n B x y εΩ = − × với ( )( ), ,B x y ε là quả cầu tâm ( ),x y bán kính 0ε > , ta có: x y O 1 -n n (x,y) Hình 2.1 9 ( ) ( ) ( ) ( )0 ,0 , , ,0 , , ,0 ,0 n n u G x y G x y u dη ηξ ξ ξ ξ ξ −  = − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ), , ,1 ,1 ,1 , , ,1 n n G x y u u G x y dη ηξ ξ ξ ξ ξ −  + − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 , , , , , , , ,G x y n u n u n G x y n dξ ξη η η η η + − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 , , , , , , , ,u n G x y n G x y n u n dξ ξη η η η η + − − − − − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , S x y xG x y u u G x y dSξ ξ ε ξξ η ξ η ξ η ξ η ε −  + − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , S x y yG x y u u G x y dSη η ε ηξ η ξ η ξ η ξ η ε −  + − ∫ . Cho n → ∞ và 0ε → , sử dụng định lý hội tụ bị chặn, ta lần lượt tính giới hạn của các tích phân trên. Ta có ( ) ( )1 ,0 , , ,0 n n I u G x y dηξ ξ ξ − = ∫ ( ) ( ) [ ] ( )2 ,2 1 ,0 n n y u d x y ξ χ ξ ξ pi ξ +∞ − −∞ = − + ∫ . Lại có ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )2 2,2 2,0 ,0n n y y u u x y x y ξ χ ξ ξξ ξ− ≤− + − + khả tích trên
(do ( ),0u ξ bị chặn) và ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )2 2,2 2lim ,0 ,0n nn y y u u x y x y ξ χ ξ ξξ ξ−→∞ =− + − + . 10 Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có kết quả ( ) ( )1 2 2 1lim ,0 n yI u d x y ξ ξ pi ξ +∞ →∞ −∞ = − + ∫ ( ) ( ),0 , , ,0u G x y dηξ ξ ξ +∞ −∞ = ∫ . Ta có ( ) ( )2 , , ,0 ,0 n n I G x y u dηξ ξ ξ − = ∫ ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 ,0 ln 0 4 n n x y u d x yη ξξ ξ pi ξ − − + = − = − + ∫ . Ta có ( ) ( )3 , , ,1 ,1 n n I G x y u dηξ ξ ξ − = ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 11 ,1 ln 4 1 n n x y u d x yη ξξ ξ pi ξ − − + − = − − + + ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 , 11 ,1 ln 4 1 n n x y u d x yη ξξ χ ξ ξ pi ξ +∞ − −∞ − + − = − − + + ∫ . Lại có ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2, 1 1 ,1 ln ln 1 1n n x y x y u x y x y η ξ ξξ χ ξ ψ ξξ ξ− − + − − + − < = − + + − + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 ln 1 x y x y ξψ ξ ξ − + + = = − + − ( ) ( ) ( )2 2 4ln 1 1 y x y ψ ξ ξ   = +    − + −  . Khi ξ → ±∞ thì ( ) ( )2 2 4 0 1 y x yξ →− + − . 11 Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4ln 1 1 lim 14 1 y x y y x y ξ ξ ξ →±∞   +    − + −  = − + − . Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2, 1 4 ,1 ln ln 1 1 1n n x y y u x y x y η ξξ χ ξ ψ ξξ ξ−   − + − < +    − + + − + −  khả tích trên
. Ta lại có ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2, 1 1 lim ,1 ln ln 1 1n nn x y x y u x y x yη ξ ξξ χ ξ ψ ξξ ξ−→∞ − + − − + − = − + + − + + . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có kết quả ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 2 2 11lim ln 4 1n x y I d x y ξψ ξ ξ pi ξ +∞ →∞ −∞ − + − = − − + + ∫ ( ) ( ), , ,1G x y dξ ψ ξ ξ +∞ −∞ = ∫ . Ta có ( ) ( )4 ,1 , , ,1 n n I u G x y dηξ ξ ξ − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 ,1 2 1 1 n n y y u d x y x y ξ ξ pi ξ ξ −   − + = +  − + − − + +   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 2 , 1 1 1 ,1 2 1 1 n n y y u d x y x y ξ χ ξ ξ pi ξ ξ +∞ − −∞   − + = +  − + − − + +   ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 2 , 1 1 ,1 1 1 n n y y u x y x y ξ χ ξξ ξ −   − + +  − + − − + +   12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 ,1 1 1 y y u x y x y ξ ξ ξ   − + < +  − + − − + +   khả tích trên
và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 2 , 1 1lim ,1 1 1 n nn y y u x y x y ξ χ ξξ ξ −→∞   − + +  − + − − + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 y y x y x y ϕ ξ ξ ξ   − + = +  − + − − + +   . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có kết quả ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 2 1 1 1lim 2 1 1n y yI d x y x y ϕ ξ ξ pi ξ ξ +∞ →∞ −∞   − + = +  − + − − + +   ∫ ( ) ( ), , ,1x G x y dηϕ ξ ξ +∞ −∞ = ∫ . Ta có ( ) ( ) 1 5 0 , , , ,I G x y n u n dξη η η= ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 2 2 0 1 ln , 4 x n y u n d x n y ξ η η η pi η − + − = − − + + ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 52 2 2 2ln , ln x n y x n y u n M x n y x n y ξ η ηη η η − + − − + + < = − + + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 2 5 2 2 4ln 1 4 yM x n y yM x n y η η η η   = +    − + −  < − + − ( )5 2 4 1 yM y η η < + − khả tích trên ( )0,1 13 và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2lim ln , 0 n x n y u n x n y ξ η η η→∞ − + − = − + + . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có 5lim 0 n I →∞ = . Ta có ( ) ( ) 1 6 0 , , , ,I u n G x y n dξη η η= ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 1 , 2 x n x n u n d x n y x n y η η pi η η   − − = −  − + − − + +   ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , x n x n u n x n y x n y x n x n u n u n x n y x n y η η η η η η η   − − −  − + − − + +   − − < + − + − − + + 6M< khi n đủ lớn và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2lim , 0n x n x n u n x n y x n y η η η→∞   − − − =  − + − − + +   . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có 6lim 0 n I →∞ = . Ta có ( ) ( ) 1 7 0 , , , ,I u n G x y n dξη η η= − −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 1 , 2 x n x n u n d x n y x n y η η pi η η  + + = − −  + + − + + +   ∫ . 14 Chứng minh tương tự với trường hợp 6I , ta có 7lim 0 n I →∞ = . Ta có ( ) ( ) 1 8 0 , , , ,I G x y n u n dξη η η= − −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 2 2 0 1 ln , 4 x n y u n d x n y ξ η η η pi η + + − = − − + + + ∫ . Chứng minh tương tự với trường hợp 5I , ta có 8lim 0 n I →∞ = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) 9 , , , , , , S x y xI G x y u dSξ ε ξξ η ξ η ε − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 , , 1 ln , 4 S x y x y x u dS x y ξ ε ξ η ξξ η pi εξ η − + − − = − − + + ∫ . Đặt cos sin x y ξ ε α η ε α = +  = + với 0 2α pi≤ ≤ và dS dε α= . Khi đó ( ) ( ) 2 2 9 2 0 1 ln cos , sin cos 4 4 sin I u x y d y y pi ξ ε ε α ε α ε α α pi ε ε α = + + + +∫ . Ta có ( ) ( ) ( )22 92 2 4 sin ln cos , sin . ln 4 sin y y u x y M y y ξ ε ε αε ε ε α ε α ε ε ε α ε + + + + = + + 9 9 2. ln NM ε ε < 9K< . 15 Lại có ( ) ( ) 2 20 lim ln cos , sin cos 0 4 sin u x y y y ξε ε ε ε α ε α α ε ε α→ + + = + + . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có 90 lim 0I ε → = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) 10 , , , , , , S x y xI u G x y dSξ ε ξξ η ξ η ε − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2, , 1 , 2 S x y x x x u dS x y x yε ξ ξ ξξ η pi εξ η ξ η   − − − = −  − + − − + +   ∫ Đặt cos sin x y ξ ε α η ε α = +  = + với 0 2α pi≤ ≤ và dS dε α= . Khi đó ( )( ) ( ) ( ) 2 10 2 2 0 1 1 1 cos , sin cos cos 2 4 sin I u x y d y y pi ε α ε α ε α α ε α pi ε ε ε α   = + + − − −  + +  ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 cos , sin cos 1 2 4 sin u x y d y y pi ε ε α ε α α α pi ε ε α   = + + −  + +  ∫ . Vì ( ) 2 21 24 siny y ε ε ε α − < + + nên ( ) ( ) 2 2 102cos , sin cos 1 4 sin u x y M y y ε ε α ε α α ε ε α   + + − <  + +  khả tích trên [ ]0,2pi . 16 Lại có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 20 lim cos , sin cos 1 , cos 4 sin u x y u x y y yε ε ε α ε α α α ε ε α→   + + − =  + +  nên ( ) 2 2 100 0 1lim , cos 2 I u x y d pi ε α α pi→ = ∫ ( ) 2 2 0 , cos 2 u x y d pi α α pi = ∫ ( ), 2 u x y = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) 11 , , , , , , S x y yI G x y u dSη ε ηξ η ξ η ε − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 , , 2 2 2 0 1 ln , 4 1 ln cos , sin sin 4 4 sin S x y x y y u dS x y u x y d y y η ε pi η ξ η ηξ η pi εξ η ε ε α ε α α ε α pi ε ε α − + − − = − − + + = − + + − + + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 0 1 ln cos , sin sin 4 4 sin u x y d y y pi η ε ε α ε α α α pi ε ε α = + + + +∫ . Chứng minh tương tự với 9I , ta có 110 lim 0I ε → = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) 12 , , , , , , S x y yI u G x y dSη ε ηξ η ξ η ε − = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2, , 1 , 2 S x y y y y u dS x y x yε η η ηξ η pi εξ η ξ η   − + − = +  − + − − + +   ∫ 17 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 1 sin 2 sin cos , sin sin 2 4 sin y u x y d y y pi ε α ε α ε α ε α α α pi ε ε α  + = + + −  + +  ∫ . Chứng minh tượng tự với 10I , ta có ( ) 2 2 120 0 1lim , sin 2 I u x y d pi ε α α pi→ = ∫ ( ), 2 u x y = . Như vậy, ta có phương trình tích phân ( ) ( ) ( ) ( )0 ,0 , , ,0 , , ,1u G x y d G x y dηξ ξ ξ ξ ψ ξ ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = +∫ ∫ ( ) ( ) ( ), , ,1 ,x G x y d u x yηϕ ξ ξ +∞ −∞ − −∫ , (2.9) hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,0 , , ,0 , , ,1u x y u G x y d G x y dηξ ξ ξ ξ ψ ξ ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = +∫ ∫ ( ) ( ), , ,1x G x y dηϕ ξ ξ +∞ −∞ − ∫ . (2.10) Cho 1y → , ta tính giới hạn của vế phải đẳng thức (2.10). Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 ,0 , , ,0 ,0 yu G x y d u d x yη ξ ξ ξ ξ ξ pi ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = − + ∫ ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 ,0 ,0yu u x y x ξ ξξ ξ<− + − khả tích trên
và ( ) ( ) ( ) ( )2 221 1lim ,0 ,0 y y u u x y x ξ ξξ ξ→ =− + − . 18 Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1lim ,0 , , ,0 ,0 1y u G x y d u d x ηξ ξ ξ ξ ξpi ξ +∞ +∞ → −∞ −∞ = − + ∫ ∫ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 11 , , ,1 ln 4 1 x y G x y d d x y ξξ ψ ξ ξ ψ ξ ξ pi ξ +∞ +∞ −∞ −∞ − + − = − − + + ∫ ∫ . Lại có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ln ln 1 1 x y x y x y x y ξ ξψ ξ ψ ξξ ξ − + − − + + = − + + − + − ( ) ( ) ( )2 2 4ln 1 1 y x y ψ ξ ξ   = +    − + −  . Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 4ln 1 ln 1 1 y x y x ψ ξ ψ ξξ ξ     + < +        − + − −    nên ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4ln ln 1 1 x y x y x ξψ ξ ψ ξξ ξ   − + − < +    − + + −  khả tích trên
. Hơn nữa, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 21 1 lim ln ln 1 4y x y x x y x ξ ξψ ξ ψ ξξ ξ→ − + − − = − + + − + . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 lim , , ,1 ,1, ,1 y G x y d G x dξ ψ ξ ξ ξ ψ ξ ξ +∞ +∞ → −∞ −∞ =∫ ∫ . 19 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 , , ,1 2 1 1 y y x G x y d d x y x y ηϕ ξ ξ ϕ ξ ξpi ξ ξ +∞ +∞ −∞ −∞   − + = +  − + − − + +   ∫ ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 4 y y x y x y x x ϕ ξ ϕ ξξ ξ ξ ξ     − + + < +    − + − − + + − − +       khả tích trên
, và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 2lim 1 1 4y y y x y x y x ϕ ξ ϕ ξξ ξ ξ→   − + + =  − + − − + + − +   . Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 lim , , ,1 ,1, ,1 y x G x y d x G x dη ηϕ ξ ξ ϕ ξ ξ +∞ +∞ → −∞ −∞ =∫ ∫ . Vậy, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0 ,1, ,0 ,1, ,1 ,1, ,1x u G x d G x d G x dη ηϕ ξ ξ ξ ξ ψ ξ ξ ϕ ξ ξ ξ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ = + −∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 ,0 ,1, ,1 1 u d G x d x ξ ξ ξ ψ ξ ξ pi ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = + − + ∫ ∫ ( ) ( ),1, ,1G x dηϕ ξ ξ ξ +∞ −∞ − ∫ . (2.11) Từ đẳng thức (2.11), ta biến đổi đẳng thức về dạng tích chập; từ đó, đưa đẳng thức về dạng biến đổi Fourier. Đặt ( ) ( ) ( ), ,yu x u x y= ( ) ( ) 2 2 ,y yF x x y= + 20 ( ) ( ) ( ) ( )2 2,1 2 2 1 1 , 1 1y y yM x x y x y − + = − + − + + và ( ) ( ) ( )( ) 22 2, 2 lny x y L x x yη η η + − = + + Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 ,0 ,1, ,0 ,0 1 u G x d u d x ηξ ξ ξ ξ ξpi ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = − + ∫ ∫ ( ) ( ) ( )1 02 F u xpi= ∗ , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 ,1, ,1 ln 4 1 1 x G x d d x ξξ ψ ξ ξ ψ ξ ξ pi ξ +∞ +∞ −∞ −∞ − + − = − − + + ∫ ∫ ( ) ( )1,112 2 L xψpi= − ∗ và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 1 ,1, ,1 2 1 1 G x d d x y x y ηϕ ξ ξ ξ ϕ ξ ξpi ξ ξ +∞ +∞ −∞ −∞   − + − = − +  − + − − + +   ∫ ∫ ( ) ( )1,112 M xϕpi= ∗ . Đẳng thức (2.11) được đưa về dạng tích chập như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1,1 1,12 1 1* * *2 2 2x F u x L x M xϕ ψ ϕpi pi pi= − + . (2.12) Lấy Fourier 2 vế của đẳng thức (2.12), ta có:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( )1 0 1,1 1,12 1 12 2 2F u L Mϕ ζ ζ ζ ζ ψ ζ ζ ϕ ζpi pi pi= − + . (2.13) 21 Theo (1.4) và (1.5) ta có ( )  ( ) 2 y yF e ζpiζ −= , ( )  ( ) ,1yM ζ ( ) ( )1 12 y y e e ζ ζpi − − + = −  và ( )  ( ) , yL η ζ ( )12 y ye eη ζ η ζpi ζ − + − − = −  . (2.14) Thay (2.14) vào đẳng thức (2.13) ta có  ( ) ( ) ( )  ( )202 1 12 12 2 2e u e ζ ζpiϕ ζ ζ pi ψ ζζpi pi − − = − −   ( )21 1 2 2 e ζpi ϕ ζ pi − + −  ( )  ( )  ( )  ( )2 20 1 1 1. 1 12 2e u e e ζ ζ ζζ ψ ζ ϕ ζζ − − −   = − − + −    . (2.15) Từ đó suy ra ( )  ( )  ( )  ( )2 20 1 11 12 2 e u e e e ζ ζ ζ ζζ ψ ζ ϕ ζζ − −   = − + −    . (2.16) Đưa đẳng thức (2.10) về dạng tích chập, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0 , , ,0 , , ,1yu x u G x y d G x y dηξ ξ ξ ξ ψ ξ ξ +∞ +∞ −∞ −∞ = +∫ ∫ ( ) ( ), , ,1x G x y dηϕ ξ ξ +∞ −∞ − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 11 1 ,0 ln 4 1 x yy u d d x y x y ξξ ξ ψ ξ ξ pi piξ ξ +∞ +∞ −∞ −∞ − + − = − − + − + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 y y d x y x y ϕ ξ ξ pi ξ ξ +∞ −∞   − + − +  − + − − + +   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ,1 ,12 1 1* * *2 2 2y y yF u x L x M xψ ϕpi pi pi= − + . (2.17) 22 Lấy Fourier đẳng thức (2.17) và sử dụng kết quả (2.16) ta thu được kết quả sau ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( )0 ,1 ,12 1 1. . .2 2 2y y y yu F u L Mζ ζ ζ ζ ψ ζ ζ ϕ ζpi pi pi= − +  ( )  ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) 2 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 . 1 . . 1 2 22 2 1 1 12 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 y y y y yy y y y y y y y y e e e e e e e e e e e e e e e e e e ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ pi piψ ζ ϕ ζζpi pi pi pi ψ ζ ϕ ζζpi pi ψ ζ ψ ζζ ζ ϕ ζ ϕ ζ − − − − − + − − +− − − + − − + − − − + − − +    = − + +        − − + −       = − − −       + + + −    ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( )1 1 1 11 1 1 , 2 2 y y y y e e e e yζ ζ ζ ζψ ζ ϕ ζ θ ζζ − − − −   = − + + =    (2.18) Như vậy, từ phương trình tích phân, ta đưa phương trình về dạng biến đổi Fourier để chuẩn bị cho bước chỉnh hóa bài toán và đưa ra sai số. 2.3. Chứng minh bài toán không chỉnh Các bài toán Cauchy cho phương trình elliptic là không chỉnh. Dưới đây, ta sẽ chứng minh bài toán không chỉnh vì vi phạm tính ổn định. Cụ thể, ta sẽ chứng minh khi sai số dữ liệu tiến đến 0 thì sai số nghiệm tiến đến số khác 0. Chọn  ( ) ( ) ( ) 3/ 21 1 1 , 0 , y y n n n e e n ζ ζ ζζϕ ζ ζ − −  ≥ +=   < (2.19) và  ( ) 0nψ ζ = . (2.20) 23 Ta có  ( ) ( ) ( )2 2 22 31 1 1 n y yL n n d e e ζ ζϕ ζζ +∞ − − = +∫
. (2.21) Vì 0 1y< < nên 1 0y − < . Suy ra ( ) ( ) ( )1 1 10 y y ye e eζ ζ ζ− − −< ≤ + . Bình phương hai vế ta có ( ) ( ) ( ) 22 1 1 1y y y e e e ζ ζ ζ− − − ≤ +  . Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 y y y e e e ζ ζ ζ− − −≥ + . Thế vào biểu thức (2.21) ta có  ( ) ( ) 2 22 2 1 3 y n L n n e dζϕ ζζ +∞ −≤ ∫
( ) 22 1 3 y n n e d n ζ ζ +∞ −≤ ∫ ( )2 11 y n e d n ζ ζ +∞ −≤ ∫ 1 0,n n ≤ → → ∞ . (2.22) Từ biểu thức (2.18) và với cách chọn ,n nϕ ψ , ta có ( )  ( )2 22 3 1 2y L n n u dζζ +∞ = ∫
24 2 3 2 3 2 2 1 2 1 . 2 n n n n d n d n ζζ ζ ζ ζ +∞ +∞ − +∞ − = = = − ∫ ∫ 1 2 = . (2.23) Như vậy khi bài toán vi phạm tính ổn định. 2.4. Chỉnh hóa nghiệm Định lý 2.4.1 Cho ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2,L L L Lϕ ψ∈ ∩ ∈ ∩



. Giả sử  ( ) ( )2e Lζϕ ζ ∈
,  ( ) ( )2e Lζψ ζ ∈
. Khi đó, bài toán (2.1) – (2.4) có nghiệm duy nhất ( )( )2 0,1u L∈ ×
. Chứng minh Theo (2.18) ta có ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( )1 1 1 11 1 1 , 2 2 y y y y yu e e e e y ζ ζ ζ ζζ ψ ζ ϕ ζ θ ζζ − − − −   = − + + =    . Do 0 1y< < nên ( ) ( ) 1 1 y y e e e e ζ ζ ζ ζ − −  <  < . Suy ra ( ) ( )1 11 2 y y e e e ζ ζ ζ− − + ≤  . Suy ra  ( ) ( ) ( )  ( )1 11 2 y y e e e ζ ζ ζϕ ζ ϕ ζ− − + ≤  . (2.24) 25 Ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 2 2 2 y y y y e e e e ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − − − − − − = − . Vì ( )1 y e e ζ ζ− < Nên ( )1 1 1ye eζ ζ− − < − . Suy ra ( )1 1 1 2 2 y e e ζ ζ ζ ζ − − − < . (2.25) Áp dụng bất đẳng thức (1.15) với t ζ= ta có 1 2 2 e e ζ ζ ζ − ≤ . (2.26) Từ (2.25) và (2.26) ta có ( )1 1 2 2 y e e ζ ζ ζ − − < . (2.27) Tương tự (2.25) ta có ( )1 1 1 2 2 2 y e e e ζ ζ ζ ζ ζ − − − < ≤ . (2.28) Từ (2.27) và (2.28) ta có ( ) ( )1 11 1 2 y y e e e ζ ζ ζ ζ − −  − <  . Suy ra  ( ) ( ) ( )  ( )1 11 2 y y e e e ζ ζ ζψ ζ ψ ζζ − −  − ≤  . (2.29) 26 Từ (2.24) và (2.29) ta có ( )  ( )  ( ) ( )2, y e e Lζ ζθ ζ ϕ ζ ψ ζ≤ + ∈
với mọi 0 1y< < . Suy ra bài toán (2.1) – (2.4) luôn có nghiệm ( )( )2 0,1u L∈ ×
và nghiệm này là nghiệm duy nhất. Định lý đã được chứng minh.
Định lý 2.4.2 Cho hàm số u thỏa 0, ,0 1u x y∆ = ∈ < <
khi biết ( ) ( ),1u x xϕ= , ( ) ( ),1yu x xψ= , trong đó ( ) ( ) ( ),0 , , , ,x yu x u x y u x y thuộc ( )1L
. Với mỗi ε thỏa 30 eε −< < , cho ( )2, Lε εϕ ψ ∈
lần lượt là dữ liệu đo đạc sao cho ( )2Lεϕ ϕ ε− <
và ( )2Lεψ ψ ε− <
. Giả sử  ( ) ( )2e Lζζ ϕ ζ ∈
và  ( ) ( )2e Lζζ ψ ζ ∈
. Khi đó, từ εϕ và εψ , ta xây dựng được nghiệm chỉnh hóa uε sao cho 2 1 . 1ln u u Dε ε − < , trong đó 2. là chuẩn trong ( )( )2 0,1L ×
và D là một hằng số dương. Chứng minh Đặt  ( ) 1 1ln 6 1 1ln 6 1 2 i xe d ε ζ ε ε ε ϕ ϕ ζ ζ pi − = ∫ . 27 Ta có  ( )  ( ) 1 1, ln 6 1 10 , ln 6 ε ε ϕ ζ ζ εϕ ζ ζ ε  < =   ≥  . (2.30) Từ đó ta có  ( )  ( )( ) ( )  ( )  ( )2 2 2 2 L e e dζ ζε εϕ ζ ϕ ζ ϕ ζ ϕ ζ ζ +∞ −∞ − = −∫
 ( )  ( )  ( ) 1 1ln 6 2 22 2 1 1 1 1ln ln 6 6 e d e d ε ζ ζ ε ζ ε ε ϕ ζ ϕ ζ ζ ϕ ζ ζ − ≥ = − +∫ ∫  ( ) ( )2 1 1 2ln 23 2 1 . 1 1ln 36 L e e ζε ε ζ ϕ ζ ε ≤ +
 ( ) ( )2 25 / 3 2 36 1ln L e ζε ζ ϕ ζ ε ≤ +
. (2.31) Với 30 eε −< < , ta luôn có 5 / 3 2 1 1ln ε ε < . Vậy  ( )  ( )( ) ( )  ( ) ( )22 2 2 2 1 36 11ln LL e e ζ ζ εϕ ζ ϕ ζ ζ ϕ ζ ε   − ≤ +   

, hay  ( )  ( )( ) ( )2 111lnLe Cζεϕ ζ ϕ ζ ε − ≤
, (2.32) trong đó  ( ) ( )2 2 1 36 1LC e ζζ ϕ ζ= +
. 28 Đặt  ( ) 1 1ln 6 1 1ln 6 1 2 i xe d ε ζ ε ε ε ψ ψ ζ ζ pi − = ∫ . Ta có  ( )  ( ) 1 1, ln 6 1 10 , ln 6 ε ε ψ ζ ζ εψ ζ ζ ε  < =   ≥  . (2.33) Tương tự như trên ta có  ( )  ( )( ) ( )  ( )  ( )2 2 2 2 L e e dζ ζε εψ ζ ψ ζ ψ ζ ψ ζ ζ +∞ −∞ − = −∫
 ( )  ( )  ( ) 1 1ln 6 2 22 2 1 1 1 1ln ln 6 6 e d e d ε ζ ζ ε ζ ε ε ψ ζ ψ ζ ζ ψ ζ ζ − ≥ = − +∫ ∫  ( ) ( )2 1 1 2ln 23 2 36 . 1ln L e e ζε ε ζψ ζ ε ≤ +
 ( ) ( )2 2 5 / 3 2 36 1ln L e ζε ζψ ζ ε ≤ +
 ( ) ( )2 2 2 1 36 11ln L e ζζψ ζ ε  ≤ +   
. Vậy  ( )  ( )( ) ( )2 211lnLe Cζεψ ζ ψ ζ ε − ≤
, (2.34) trong đó  ( ) ( )2 2 2 36 1 L C e ζζψ ζ= +
. 29 Đặt ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( )1 1 1 11 1 1, 2 2 y y y yy e e e eζ ζ ζ ζε ε εθ ζ ψ ζ ϕ ζζ − − − −   = − + +    và ( ) ( )1, , 2 i x u x y y e dζε εθ ζ ζ pi +∞ −∞ = ∫ . (2.35) Lúc này uε εθ= . Từ (2.32) và (2.34) ta được 2 2u uε εθ θ− = −  ( )  ( )( ) ( ) ( )  ( )  ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 2 1