Luận văn Tính duy nhất của hàm M - Điều hòa dưới trong các lớp cegrell

địa phương. Khi đó 1 ( )   ( )  c j m n m c m n m i f dd u f dd ub b- -Ù Ù® . Hệ quả 1.2.10. (Nguyên lý so sánh). Giả sử ,   ( ) m loc u v SH L¥Î WÇ sao cho ( ) lim ( ) ( ) 0. z u z v z ® ¶W - ³ Khi đó { } { } ( )   ( ) . c m n m c m n m u v u v dd v dd ub b- - < < £Ù Ùò ò Hệ quả 1.2.11. Cho Wlà miền bị chặn trong nC và ,   ( ) m loc u v SH L¥Î WÇ sao cho u v£ trên ¶W và ( ) ( ) m m H Hu v³ . Khi đó u v£ trong W. xii 1.3. Các lớp Cegrell đối với hàm m - điều hòa dưới Định nghĩa 1.3.1. Một miền W bị chặn trong nC được gọi là m - siêu lồi nếu tồn tại một hàm vét cạn, m - điều hòa dưới liên tục âm r đối với W, tức là { }cr < WÐ với mọi 0c < . Từ bây giờ, nếu không có phát biểu khác, ta hiểu W là miền m - siêu lồi bị chặn trong nC . Định nghĩa 1.3.2. { }0 ( ) ( ) ( ) : lim ( ) 0 & ( )jj j- ¥ ® ¶W W W = Î W Ç W = < + ¥òEm mzm loc zL HSH . { 0( ) (( ()) : ),  jj jjW = Î $W WÎE E ]pm j mm jSH trên W và }  ,( ) 0( )j j W -ò p j m jj sup H p . Ngoài ra, nếu (  )j W < + ¥ò m jH thì theo định nghĩa ( ).j Î WF p m Định nghĩa 1.3.3. {  ( ) ( ) :j -ÎW = WEm mSH với mỗi 0  z Î W đều $ lân cận  Ì WU của 0z và 0( ( )) j$ Î WE j m , j j] j trong U và }(  )j W < + ¥òj m jsup H . { }0  (( ) ( ) : ( ), & ( ))   j j j j j- W Î $ Î < + ¥W = W W òF E ]m m j m j m jjsup HSH . Định lý 1.3.4. Lớp ( )WE m là lớp con lớn nhất của ( ) m SH - W thỏa mãn: )i Nếu   , ( ) ( )-Î W WΠ  E m m u v SH thì max( , ) ( .)WÎ E m u v )ii Nếu   ,     , , ( ) ( )j - ¥Î Î Ç ¯W W   E m j m loc j L uH uSu khi đó ( ) jm H u hội tụ yếu. Chứng minh. Dễ kiểm tra ( )WE m thỏa mãn điều kiện )i . Giả sử   ,    ( .( ) ,) - ¥Î ¯W WÎ Ç   E m j m loc j SHu u L u u Cố định hàm kiểm tra c với giá compact K WÐ và 0(   )Î W E m h . Với mỗi j ta lấy j n sao cho xiii . j j u n h³ trong một lân cận của K . Đặt 0 max( , . ( )) j = Î W E j j j m u n h , ta thấy ( ,)j ¯ Î WE j m u và ( )j m j H là hội tụ yếu đến ( ) m H u theo định nghĩa của ).(WE m Chú ý j j u j= gần K , kéo theo ( ) ( )c c W W ®ò òm j mH Hu u . Bây giờ, giả sử ( )-Ì WK m SH thử lại (i) và (ii). Lấy Î Ku . Ta cần chứng minh ( )  Î W   E m u . Lấy dãy 0( ) ( )WÎ Ç W E mj u C sao cho j u u¯ trên W. Điều này có thể thực hiện được nhờ áp dụng định lý chính quy hóa toàn cục. Xét tập compact tương đối  B WÐ và với mỗi j đặt ( ){ }sup  /      -Î W= £j m jh v SH v u trên B . Khi đó, 0 )  (WΠ E j m h và ( ) Ì m j su hppH B với j" . Hơn nữa j h u¯ trên B và sup ( ) sup ( ) W = < + ¥ò òm j m j Bj j H h H h vì ( ) jm H h hội tụ yếu theo (ii) W. Định nghĩa 1.3.5. -p năng lượng ( 0)>p của 0  ( )j WΠ E m được xác định bởi    ( )( ) ( )j j j W = -ò p p m e H . Bổ đề 1.3.6. Giả sử 0 1   , , , ( )¼ WÎ E m m u v v và    1p ³ . Khi đó ta có 1 1 1 1,     (( ) ( ) ( ) ( ))b - + + + W ¼ £- Ù Ù Ù ¼ò p p c c n m m p m p m p m j p p p p m u udd v dd v D v ve e e (1.1), ở đó ,1 1 j D = và với mỗi 1>p , ta có ( )( , )/ 1 ,1 a - = p p m p j D p , ở đó ( ) 2( , ) 2 (( 1) / ) 1a -= + + - -mp m p p p p . Chứng minh. Với 0 1 (, ), ,¼ WÎ E m m u v v , đặt 1 1 ( , , , ) ( ) .b - W - Ù Ù Ù¼ = ¼ò p c c n m m m F u v v dd v dd vu Theo Định lý 4.1 [11] chỉ cần chứng minh xiv 1 1 1 1 1 1 1 ( , , , ( ) ( , , , , , )) ) ( ,+ + - ¼ £ ¼ ¼ p p p m m m F u v v a p F u v v F u v v (1.2) trong đó ( ) 1 =a p nếu 1 p = và 1( )  -= p pa p p nếu 1.p > Đặt 1 1 . c c n m m T dd v dd v b - - Ù Ù¼Ù= Khi 1=p , (1.2) trở thành 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) W W W Ù £ Ù Ù- - -ò ò ò c c cdd v T dd u dd v TvTu u đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trong trường hợp 1p > , lặp lại phép chứng minh của Mệnh đề 1.2.6, ta nhận được 1( ) ( ) ( ) .- W W - - -Ù £ Ùò ò p c p cu udd v T p dd u Tv Theo bất đẳng thức Holder ta nhận được 1 1   ( ) (( ( .)) ( ) ) - W W W Ù - -£ Ù- Ùò ò ò p p c p c p cp pdd v T p dd u T dd u Tu u v (1.3) Bằng cách thay đổi u và v ta được 1 1   (( ) ( ) ) .() ( ) - W W W - - -Ù £ Ù Ùò ò ò p p c p c p cp pdd u T p dd v T dd v Tv u v (1.4) Kết hợp (1.3) và (1.4) ta có điều phải chứng minh. W Bổ đề 1.3.7. Cho 0  , ( ) m u v Î W  E và 0 1.p< < Nếu T là m - dòng dương đóng có dạng 1 c c n m m k T dd v dd v b - - Ù Ù Ù= ¼ , ở đó ( ) ¥WÎ Ç j m loc u SH L , thì 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c cp k p k p ku dd v u dd u v dd vT T T W W W £- Ù - -+Ù Ùò ò ò . Chứng minh. Đặt ( ) ( ) :pt tc - -= - - ®¡ ¡ và chú ý rằng (2 ) ( ), 0t t tc c¢ "¢£ < . Khi đó 0 ( ) ( )( ) ( )( ) c k c ku dd v T t dd v T u t dtc c W - ¥ ¢- Ù Ù= <ò òo xv 0 2 ( )( ) ( 2 ) .c kt dd v T u t dtc - ¥ ¢£ <Ùò Vì ( 2 ) ( ) ( ),u t u v t v t< Ì < + È < nên ta được 0    ( ) 2 ( )( ) ( 2( ) )c k c ku dd v T t dd v T u v t dtc c W - ¥ ¢- Ù £ < +Ù +ò òo 2 ( ) .( ) c kv dd v Tc W + - Ùò o Theo nguyên lý so sánh ta nhận được ( ) ( ) ( ) ( ).c k c kdd v T u v t dd u T u v t< + £ < +Ù Ù Từ đó và chú ý ( ) ( )u v t v t< + Ì < suy ra điều phải chứng minh. W Mệnh đề 1.3.8. Giả sử 0 1p< < . Khi đó tồn tại 0 p C > sao cho 10 0 0 max( ) ( ),.p c c n m m p jpj m T dd dd C ej jj j b - £ £W - ¼Ù Ù Ù Ù£ £ò với mọi 0 0 0 ( ), , m m j j³ ¼ Î WE . Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 1.3.7 với 0 1 ,  u vj j= = và 2   c c n m m T dd ddj j b -Ù Ù Ù= ¼ ta có đánh giá sau đây 0 1 0 0 1   2   2( ) ( ) ( 1)p c p c p cdd T dd d TT dj j j j j W W W - £ - +Ù Ù - Ùò ò ò (1.5) Tiếp theo, ta giả sử 0 1 j j= . Đặt 1 m i i u e j = = å , trong đó 0e > khá bé. Chú ý rằng 1 ( ) .c m n m m c c n m m dd du d ddb e j j b- -Ù Ù Ù Ù³ ¼ (1.6) Điều này là đủ để điều chỉnh ( ) ( ), 1p i m uH i mj W - £ £ò . Sử dụng Bổ đề 1.3.7 ta được 2( ) ( ) ( ) (2 ) i m p p p i H e eu uj j W - £ +ò , xvi trong đó ( )( ) ( ) p p m u ue u H W = -ò . Do tính chất dưới cộng tính và tính thuần nhất của pt t® , ta có 1 ( ) ( )( ) m p p p m j j ue u e Hj W = £ -òå từ đó 1 1 2   . 1 2 ( ) ( ) ( ) m m p i m p ip i i H e m uj j eW = = - £ - - òå å (1.7) Từ (1.5), (1.6) và (1.7) ta nhận được ( )0 1 1 4   max , 1 ( 2 )p c c n m m im p i m m dd dd e m c j j j b j e e - £ £W - ¼ £ é ù-ê úû Ù Ù ë Ùò từ đó suy ra kết quả cần chứng minh. W xvii CHƯƠNG 2 TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày việc tổng quát hóa Định lí 01 và Định lí 02 đối với lớp các hàm m - điều hòa dưới. Khó khăn ở đây là hạn chế của hàm m - điều hòa dưới trên các đa tạp phức không nhất thiết phải là điều hòa dưới trên đa tạp với số chiều thấp hơn. Để hoàn thành việc tổng quát hóa, chúng tôi sử dụng nguyên lý so sánh đối với hàm m - điều hòa dưới (Bổ đề 2.4.5). Công cụ này cho phép làm yếu giả thiết đã cho trong Định lí 0.2 về tính lồi chỉnh hình của K (xem Định lí 2.5.3) thành tính lồi phân hình. Tương tự, chúng tôi chứng minh Định lý 2.5.4 và phát biểu tương tự Định lí 0.1 đối với các hàm m - điều hòa dưới ,u v trùng nhau trong một lân cận của \ KW và compact K có thể giao nhau với biên ¶W. Cuối chương là hai ứng dụng của các định lý chính vào bài toán của miền hội tụ yếu đối với các dãy các hàm m - điều hòa dưới. 2.1. Tính chất của toán tử Hessian phức Trong phần này ta chứng minh toán tử Hessian phức ( ) m H u được xác định tốt với mọi 0 ( ) ( )p m m p u > Î W WE EU . Bổ đề 2.1.1. 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m C C C¥ W Ì WÇ W- WÇ WE E . Chứng minh. Cố định 0     ( )Cc ¥Î W và 00 ( ) m y> Î WE . Chọn 0A > đủ lớn sao cho 2| |A zc + là hàm đa điều hòa dưới. Lấy  , a b Î R sao cho 2 .(| |inf sup ) | |a A z bc c W < < + < Xét 2 1 max( | | , )A z b Bj c y= + - và 2 2 max( | | , )A z b Bj y= - , ở đó B đủ lớn sao cho y < -B a b trong suppc . xviii Dễ kiểm tra 0 1 2 , ( )j j Î WE m và 1 2 c j j= - . Suy ra điều phải chứng minh. Định lý 2.1.2. Giả sử 0( ),  1, ,p m u p mÎ W = ¼E và 0( ) ( )Ì WEp j j m g sao cho ,p p j g u p¯ " . Khi đó dãy các độ đo 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ hội tụ yếu đến độ đo Radon dương 1c c m n mdd u dd u b -Ù Ù¼Ù , giới hạn yếu này không phụ thuộc vào việc chọn dãy ( )p j g Chứng minh. Trước tiên, giả sử ( ) W < + ¥ò p j m j sup H g . Khi đó với mỗi 0( ), m h Î WE 1 2c c c m n m j j j hdd g dd g dd g b - W Ù Ù Ù Ù¼ò là dãy giảm. Hơn nữa ( )( ( ) .) W W W ³ > - ¥ò ò p p m j m j H g inf h sup H gh Do đó 1 2c c c m n m j j j hdd g dd g dd g b - W Ù Ù Ù Ù¼ò tồn tại với mọi 0( ) m h Î WE . Suy ra 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ là dãy hội tụ yếu. Bây giờ giả sử ( )p j j v là dãy khác cũng giảm tới ,  1, .pu p m= ¼ Ta có 1 2  b - W Ù Ù¼ Ù Ù =ò c c c m n m j j j hdd v dd v dd v 1 2  c c c m n m j j j v dd h dd v dd v b - W Ù Ù Ù= ¼Ùò 1 2  c c c m n m j j u dd h dd v dd v b - W Ù Ù Ù³ ¼Ùò 11 1 2  lim b - ® + ¥ W Ù= ¼Ù Ù Ùò c c c m n m s j js g dd h dd v dd v 11 2 1 .  li ..m b - ® + ¥ W Ù Ù Ù Ù ³= ¼ò c c c m n m j s js v dd h dd dd vg 1 21 2 1 2  lim lim lim b - ® + ¥ ® + ¥ ® + ¥ W Ù Ù³ Ù¼ Ù¼ ò m m c c c m n m j s s ss s s h dd g dd g dd g 1 2  lim .b - ® + ¥ W Ù Ù Ù Ù= ¼ò c c c m n m s s ss hdd g dd g dd g xix Từ điều này ta kết luận 1 2lim b - ® + ¥ W Ù Ù Ù Ù¼ò c c c m n m j j jj hdd v dd v dd v tồn tại và giới hạn này không bé hơn 1 2lim b - ® + ¥ W Ù Ù Ù¼ Ùò c c c m n m j j jj dd g dd g dd g . Bằng cách hoán vị p j g và p j v ta nhận được đẳng thức. Vấn đề còn lại là bỏ đi giả thiết ( )p j m j sup H g W < + ¥ò . Không mất tính tổng quát ta giả sử p j g liên tục. Cho K là tập con compact của W. Phủ K bởi W q , 1, ,= ¼q N và cố định ( ) ,  1, ,  ; 1, ,  pq j j h p m q N= ¼ = ¼ là dãy hội tụ tới pu trong q W như trong định nghĩa của ( ). m WE Đặt 1 .w = = å N p pq j j j h Ta có thể xắp xếp lại dãy pq j h sao cho p p j j w g£ trên .U q q W Dễ thấy 0( )p j m w Î WE và (sup ) W < + ¥ò p m j j H w . Đặt max )( , =p p p j j j v g w , ta được (sup ) W < + ¥ò p m j j H v và =p p j j v g gần K . W Hệ quả 2.1.3. Giả sử 1 , , ( ) m m u u¼ Î WF và 0 1 , , ( ) ( )j j m m u u Cμ WÇ WE giảm tới 1 , , m u u¼ tương ứng sao cho , ( )p j p m j sup H u W < + ¥ò . Khi đó với mỗi 0( ) ( ) m Cj Î W Ç WE ta có 1 1 lim .c j c j n m c c n m m mj dd u dd u dd u dd uj b j b- - ® + ¥ W W ¼ = ¼Ù Ù Ù Ù Ù Ùò ò Chứng minh: Ta có 1 sup c j c j n m m j dd u dd u b - W Ù Ù Ù¼ < + ¥ò (2.1). Cố định 0e > đủ bé và xét max( , ). e j j e= Hàm e j j- là liên tục với giá compact trong W. Từ Định lý 2.1.2 suy ra xx 1 1 ( (lim )  ) .c j c j n m c c n m m mj dd u dd u dd u dd u e e j j b j j b- - ® + ¥ W W Ù Ù Ù Ù Ù- = Ù¼ - ¼ò ò Chú ý rằng . e j e£ Sử dụng (2.1) ta được kết quả cần chứng minh. W Hệ quả 2.1.4. Giả sử 0( ) ( ) j m u Ì WE giảm tới u sao cho ( ) . j m j sup uH W < + ¥ò Khi đó với mỗi 0( ) m h Î WE ta có ) ).( ( m mj h hHu uH ® Chứng minh. Với mỗi hàm test c , hàm hc là nửa liên tục trên. Như vậy, ( ) ( ) (lim . ) ( ) m mjj h u hinf H uHc c ® + ¥ W W - ³ -ò ò Cho Q là điểm tụ tuỳ ý của dãy ( .)) ( m j H uh- Theo bất đẳng thức trên suy ra ( ) .( ) m h H uQ ³ - Hơn nữa, từ Hệ quả 2.1.3 suy ra dãy ( ) ( ) m j Hh u W -ò tăng tới (( )) . m uh H W -ò Điều này kéo theo khối lượng toàn phần của Q bé hơn hoặc bằng khối lượng toàn phần của ( )( ) m h H u- do đó các độ đo này bằng nhau. W Định lý 2.1.5. Cho 1, , ( ), 0m m pu u pμ W >E và 0( ) ( )i j j m g Ì WE sao cho , 1,...,i j j g u i m" =¯ và , ( .) ji j p igsup e < + ¥ Khi đó dãy độ đo 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ hội tụ yếu đến một độ đo Radon dương mà không phụ thuộc vào cách chọn dãy ( ).i j g Khi đó ta định nghĩa 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ là giới hạn yếu đó. Chứng minh. Cố định 0( ) m h Î WE . Khi đó 1 2   c c c m n m j j j hdd g dd g dd g b - W Ù Ù Ù Ù¼ò là giảm. Từ Bổ đề 1.3.6 và Mệnh đề 1.3.8 ta nhận được xxi 1 2( ) .c c c m n m j j j j sup h dd g dd g dd g b - W ¼- Ù ÙÙ Ù < + ¥ò Như vậy giới hạn 1 2c c c m n m j j j j lim hdd g dd g dd g b - W Ù ÙÙÙ¼ò tồn tại với mỗi 0( ) m h Î WE . Điều này kéo theo sự hội tụ của dãy 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ theo Bổ đề 2.1.1. Để chứng minh phần còn lại ta lặp lại phép chứng minh của Định lý 2.1.2. W 2.2. Tích phân từng phần Từ Định lý 2.1.2 và Hệ quả 2.1.3 ta chứng minh công thức tích phân từng phần của hàm trong các lớp ( ), 0p m pW >E và ( ). m WF Định lý 2.2.1.Giả sử 1 , , , p m u v j j¼ Î F và 1 1 .c c n m p T dd ddj j b - -¼Ù Ù Ù= Khi đó .c cudd v T vdd u T W W Ù = Ùò ò Chứng minh. Cho 1 1 , , ,j j j j m u v j j - ¼ là các dãy trong 0( ) ( ) m CWÇ WE giảm tới 1 1 , , , m u v j j - ¼ tương ứng sao cho khối lượng toàn phần bị chặn đều: , ,c c j j j j j j sup dd T sup dd Tu v W W Ù < + Ù¥ < + ¥ò ò trong đó 1 1 .c j c j n m j m T dd ddj j b - - = Ù¼ Ù Ù Từ Định lý 2.1.2 suy ra c c j j j dd u T dd u T® ÙÙ . Với mỗi    k Î ¥ cố định và j k> tuỳ ý ta có .c c c k k k k j j j j j v dd u T v dd u T v dd u T W W W Ù ³ ³Ù Ùò ò ò Khi đó dãy các số thực c j j v dd u T W Ùò giảm tới { }a Î È - ¥R nào đó. Cho j ® +¥ ta nhận được ,c k v dd u T a W Ù ³ò từ đó ta thu được .cvdd u T a W Ù ³ò Với mỗi k cố định ta cũng có xxii limc c c k k j jj vdd u T v dd u T v dd u T ® + ¥W W W Ù £ Ù = Ùò ò ò   c k k k v dd u T W £ Ùò Suy ra ,cu Tvdd a W Ù =ò ta có điều phải chứng minh. W Ta có kết quả sau đối với các lớp ( ), 0p m pW >E nhờ lập luận tương tự. Mệnh đề 2.2.2. Giả sử , ( ), 0p m u v pÎ W >E và T là m - dòng dương đóng có dạng 1 1 ,c c n m m T dd ddj j b - - ¼Ù Ù Ù= trong đó ( ), j m p jj Î W "E . Khi đó .c cudd v T vdd u T W W Ù = Ùò ò Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có kết quả sau: Mệnh đề 2.2.3 )a Nếu , ( ) m u v Î WF và ( ) m SHj -Î W sao cho u v£ thì ( ) ( ) c m n m c m n mdd u dd vj w j w- - W W Ù £ Ùò ò )b Nếu ( ) m u Î WF và { } ( )j mu Ì WF sao cho ju u] khi j ¥Z thì ( ) ( )lim m m c n m c n m jj dd u dd uj w j w- - ® ¥ W W Ù = Ùò ò với 0( ). m j Î WE )c Nếu { } ( )j mu Ì WF sao cho ju u] khi j ¥Z và ( )lim inf m c n m jj dd uj w - ® ¥ W Ù > - ¥ò với ( )mSHj -Î W nào đó, thì ( ). m u Î WE Hơn nữa, nếu sup 0j W < thì ( ) m u Î WF . Chứng minh. a) Trước tiên giả sử 0( ) m j Î WE . Ta có ( ) m c n mdd uj w - W Ùò ( ) 1m c c n mudd dd uj w - - W = Ù Ùò xxiii ( ) 1m c c n mvdd dd uj w - - W £ Ù Ùò ( ) 1m c c n mdd dd uj j w - - W = Ù Ùò ( ) 2m c c c n mudd dd v dd uj w - - W = Ù Ùò ( ) ( ) 2 2m c c n mdd v dd uj w - - W £ Ù Ùò ( )... . m c n mdd vj w - W £ £ Ùò Giả sử ( ) m u SH -Î W . Theo định lý xấp xỉ của Cegrell (Định lý 2.1 trong [5]) đối với hàm m - điều hòa dưới ta có thể chọn một dãy { } 0( )j mj Ì WE sao cho j j j] khi j ¥Z . Khi đó ta có ( ) ( )lim m m c n m c n m jj dd u dd uj w j w- - ® ¥ W W Ù = Ùò ò ( )limsup m c n m j j dd vj w - ® ¥ W £ Ùò ( ) . m c n mdd vj w - W = Ùò b) Đặt max( , ) j j v u j= - . Dễ thấy rằng ( ) ( ), j m j j v SH L u v- ¥Î W Ç W £ và j v u] khi j ¥Z . Theo Định lý 3.5 trong [6], ta có ( )c m n m j dd v w -Ù hội tụ yếu tới ( )c m n mdd u w -Ù . Hơn nữa, vì j nửa liên tục trên, nên theo (a) ta có ( ) ( )lim inf m m c n m c n m j j dd u dd uj w j w- - ® ¥W W Ù £ Ùò ò ( )lim sup m c n m j j dd uj w - ® ¥ W £ Ùò xxiv ( )lim sup m c n m j j dd vj w - ® ¥ W £ Ùò ( ) m c n mdd uj w - W £ Ùò . Từ đó suy ra ( ) ( )lim . m m c n m c n m jj dd u dd uj w j w- - ® ¥ W W Ù = Ùò ò c) Lấy U WÐ là tập mở và 0( ). m r Î WE Đặt { }( ) * sup ( ) : . j m j v trênSH u Uy y-= Î W £ và max( , ) j j v jw r= . Dễ thấy 0 j j j u v w£ £ < , và 0sup 0, ( ) U j m j w< Î WE và j v là hàm m - điều hòa dưới cực đại trong \ UW . Do đó ( ) j m v Î WF và ( ) 0c n n m j dd v w -Ù = trên \ UW . Vì j j v w£ nên theo (a) ta có ( ) ( )limsup limsup m m c n m c n m j j j j dd dd vw w w- - ® ¥ ® ¥ W W Ù £ Ùò ò ( )limsup m c n m j j U dd v w - ® ¥ = Ùò ( ) 1 limsup sup m c n m j j U U dd v w j - ® ¥ £ Ùò ( ) 1 lim inf sup m c n m jj U dd v w j - ® ¥ W £ Ùò ( ) 1 lim inf sup m c n m jj U dd u w j - ® ¥ W £ Ùò Do đó ta có: ( )sup m c n m j j dd w w - ® ¥ W Ù < ¥ò . xxv Vì j w w] khi j ® ¥ nên ( ) m w Î WF . Hơn nữa, vì uw = trên U , nên ( ) m u Î WE . Bây giờ giả sử sup 0j W < . Theo (a) ta có: ( )( ) ( )lim sup max , lim sup m m c n m c n m j j j j dd u j dd ur w w- - ® ¥ ® ¥ W W Ù £ Ùò ò ( ) 1 lim inf sup m c n m jj dd vj w j - ® ¥ W W £ Ù < ¥ò . Vì ( ) 0max , ( )j mu jr Î WE và ( )max ,ju j ur ] nên ( )mu Î WF . W 2.3. Nguyên lý so sánh trong các lớp ( ) m p WE Trong phần này trình bày nguyên lý so sánh trong lớp ( ), m p WE 0p > . Định lý 2.3.1. Giả sử , ( ), 0p m u v pÎ W >E sao cho u v£ trên W. Khi đó ( ) ( ). m m u vH H W W ³ò ò Chứng minh. Cho ( ),( ) j j u v là hai dãy trong 0( ) m WE giảm tới ,u v tương ứng, 0( ) ( ). m h CÎ WÇ WE Giả sử , . j j u v j£ " Tích phân từng phần ta được ( ) ( ) ( ) ( ). m j jm h v h uH H W W - £ -ò ò Khi đó theo Hệ quả 2.1.3 ta có ( ) (i ) ( ) ( )l m jm mj h v Hh vH ® + ¥ W W -=-ò ò và ( ) ( ) ( ) (li )m . jm mj h uH h H u ® + ¥ W W -=-ò ò Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ). m m h v H uH h W W £- -ò ò Cho 1h -] ta có điều phải chứng minh W xxvi Định lý 2.3.2. Nếu ( )p m u Î WE thì ( ) ( ) ( .)p p m e Hu u u W = - < + ¥ò Nếu ( ) i j j u 0( ), 0,..., ; m i mÌ W =E ( )i j p j m u u¯ Î WE thì 0 1 1( ) ( ) .c c m n m c c m n j m j j u udd u dd u dd u dd ub b- - W W - Ù Ù Ù - Ù¼Ù Ù¼ò òZ Chứng minh. Từ Định lý 2.1.5 suy ra 1 1c c m n m c c m n m j j j T dd u dd u T dd u dd ub b- -¼ == Ù Ù Ù Ù Ù Ù¼† Hơn nữa, vì 0 0 )( ( ) j u u-- Z và các hàm đều nửa liên tục dưới, nên ta có 0 0( ) .( ) jj j lim inf Tu u T W W -³-ò ò Như vậy, điều này là đủ để chứng minh rằng 0 0( ) ,( .) j j T ju u T W W £- - "ò ò Giả sử 0( ) ( ) m h CÎ WÇ WE : 0 .u h£ Tích phân từng phần và áp dụng Hệ quả 2.1.3 ta được ) ( )( j j h T W -ò Z   ( )Th W -ò , suy ra điều phải chứng minh. □ Định lý 2.3.3. Nếu 0p > và , ( )p m u v Î WE thì { } { } ( ) ( ). m m u v u v H vu H > > £ò ò Chứng minh. Cố định 0 ( ) ( )h CÎ WÇ WE . Độ đo ( ) m H v triệt tiêu trên các tập m - cực. Như trong chứng minh của Mệnh đề 3.12 [6] với mọi r , ta có { } ( ) .( ) 0 m v ru Hh v = - =ò Từ đó suy ra { } ( ) 0( ) m u v Hh v = - =ò . Từ Định lý 3.23 [6] ta nhận được { } { } ( )max( , )( )m mu v u vH H u vu> >= II và { } { } ( )( ) max( , )m mu v u vH H u vv< <=I I . Hơn nữa, như trong chứng minh của Định lý 2.3.1, ta có xxvii ( ) (max( , )) ( ) ( ). m m h H u v h H u W W - £ -ò ò Từ đó ta nhận được { } { } ( )( ) ( ) ma ( , )( ) xm m u v u v H H u vh u h > > -=-ò ò ( ) { }   max( , ) (max( ,( ))) m m u v H u v hH u vh W < £ +-ò ò { } { } ( ) ( ) ( ) ( )( ) m m m u v u v H hHh v hv vH W > > £ + = --ò ò ò Cho 1h ¯ - ta được điều phải chứng minh. W Định lý 2.3.4. Cho   , ( ) ( 0)p m u v pÎ W >E sao cho )( ) ( m m H Hu v³ . Khi đó u v£ trong W . Chứng minh. (Phản chứng) Giả sử tồn tại 0 z Î W sao cho 0 0 ( ) ).(v z u z< Lấy h là hàm vét cạn của W và chọn 0R > sao cho 0 , .z z R z- £ " Î W Cố định e đủ bé sao cho 2 0 ( ) .h z Re< - Hàm vét cạn { } 2 2 0 ( ) ( ), ( ) .P z max h z z z Re= - - là liên tục trong W và thoả mãn ( ) m n m PH e b³ gần 0 .z Lấy 0h > đủ nhỏ sao cho 0 0 0 ( ) ( ) ( ).v z u z P zh< + Độ đo Lebesgue của tập { } 0/ ( ) ( ) ( ) ( , )T z v z u z P z B zh d= Î W < + Ç là dương với mọi 0.d > Từ đó suy ra ) 0.( m T PH >ò Định lý 2.3.3 cho ta ( ) ( ).m m T T H u P H vh+ £ò ò Hơn nữa, ( ) ( ( .) )mm m m T T T uH u P H H Ph h+ ³ +ò ò ò Suy ra xxviii ( )( ) ( ) .m m m m TT T H v uH H Ph³ +ò òò Mâu thuẫn với giả thiết )( ) ( m m H Hu v³ . Vậy u v£ trong W W. Phiên bản dưới đây là nguyên lý so sánh đối với hàm m - điều hòa dưới. Nó được suy ra từ lập luận tương tự trong trường hợp m n= . Bổ đề 2.3.5. Giả sử 1 1 , , ... ( ) m m u w w - Î WF sao cho ( ) ( )v SH C-Î W Ç W .Đặt 1 1 c c n m m T dd ddw w w - - = Ù Ù thì { } { } c c u v u v dd u T dd v T < < Ù ³ Ùò ò Mệnh đề 2.3.6. Cho ( ) m u Î WE . Giả sử ( ) ( ) m v SH L¥Î WÇ W và { } ( ) j m u EÌ W Ç ( )L¥ W , j u u] khi j ¥Z . Khi đó ( ) ( )c m n m c m n m j v dd u v dd uw w- -Ù ® Ù yếu. Chứng minh. Vì bài toán là địa phương, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử , ( ) m u v Î WF . Theo Định lý 3.5 trong [6] ta có ( ) ( ) m m c n m c n m j dd u dd uw w- -Ù ® Ù yếu. Hơn nữa, do v là hàm nửa liên tục trên nên ta có 1limsup ( ) ( )c m n m c m n m j j v dd u v dd uw w- - - ® ¥ W W Ù < Ùò ò . Mặt khác, vì j u u³ nên ( ) j m u Î WF . Từ đó, áp dụng Định lí 2.2.1 ta được 1( ) ( )c m n m c m c n m j j j v dd u u dd u dd vw w- - - W W Ù = Ù Ùò ò 1( )c m c n m j u dd u dd v w- - W ³ Ù Ùò 2( )c m c c n m j j u dd u dd u dd v w- - W = Ù Ù Ùò xxix 2( )c m c c n m j u dd u dd u dd v w- - W ³ Ù Ù Ùò 1... ( )c m c n mu dd u dd v w- - W ³ ³ Ù Ùò ( ) . c m n mv dd u w - W = Ùò Vì ( ) ( )v SH L¥Î W Ç W nên lim inf ( ) ( ) . c m n m c m n m jj v dd u v dd uw w- - ® ¥ W W Ù ³ Ù > - ¥ò ò Từ đó ta được ( ) ( )c m n m c m n m j v dd u v dd uw w- -Ù ® Ù yếu. Ta hoàn tất phép chứng minh. Mệnh đề 2.3.7. Cho nWÌ C là miền 1- siêu lồi. Khi đó 1 ( ) ( )SH -W = WE . Chứng minh. Cho ( )u SH -Î W và U WÐ là một tập con mở tùy ý. Đặt ( ){ }( ) * sup ( ) : max , j trj ênUSH uw j j-= Î W £ - . Vì W là miền 1- siêu lồi, nên 0 1 ( ), j w Î WE 1j j u w w + £ £ trong W và j w là hàm điều hòa trong \ UW . Bằng cách ước lượng tiêu chuẩn sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thấy rằng độ đo Laplacian tổng cộng của j w là bị chặn đều. W Bổ đề 2.3.8. Cho nWÌ £ , ( ) ( )u SH L¥Î W Ç W và ( )v SHÎ W . Khi đó 1 1lim c n c n aa udd v udd vw w- - ® - ¥ Ù = Ù , trong đó ax( , ) a v m v a= . Chứng minh. Vì bài toán là địa phương, nên ta có thể giả sử W là hình cầu và , 0u v < trên W. Theo Mệnh đề 2.3.7 ta có 1 ( )v Î WE . Do đó, theo Mệnh đề 2.3.6 ta có 1 1lim c n c n aa udd v udd vw w- - ® - ¥ Ù = Ù .  xxx Ta cần kết quả sau, nói rằng một hàm m điều hòa dưới liên tục trên miền m siêu lồi W có thể điều chỉnh thành phần tử của 0( ) m WE . Bổ đề 2.3.9. Cho ( ) ( ) m u SH CÎ W Ç W . Khi đó với mỗi tập con mở G WÐ , tồn tại 0( ) G m y Î WE sao cho G u consty- = trên G . Chứng minh. Cho  là hàm vét cạn –m điều hòa dưới liên tục, âm, bị chặn đối với W. Chọn 1 2 0 d d< < sao cho { } { }2 2 1 1G G GÐ Ð 1 2 = 2 r d r d= < - = < - Đặt 2 inf G a u= và 1 inf G b u= . Khi đó hàm số { }2 2 1 : ax , 0 b a m ay r d d d - = + + - nhỏ hơn u trên 2 G và lớn hơn u trên 1 G¶ . Điều này suy ra, hàm ( )ax ,v m uy= trên 1G và bằng y trên 1\ GW là –m điều hòa dưới trên W. Ta có ( ) ( ), m v SH L v u¥Î W Ç W = trên G và 2 2 1 ( )b a v a d d d¶W - = + - . Đặt } * 2 2 1 ( ) sup ( ) : ê G m b a SH u a tr n G d y j j d d æ öì æ öï - ÷ç ÷ï ç ÷ç ÷= Î W £ - +çí ÷÷ç ç ÷÷ï çç - ÷è øè øïî . Vì G j là hàm m điều hòa dưới m cực đại trong \ GW nên theo [2] ta có \ ( ) 0c m n m G G dd y w - W Ù =ò . Do đó 0( ). G m Ey Î W Vì 2 2 1 ( ) G b a v a d y d d æ ö- ÷ç ÷- + £ç ÷ç ÷ç -è ø , nên 2 2 1 ( ) G b a u a d y d d æ ö- ÷ç ÷- = +ç ÷ç ÷ç -è ø trên G . W xxxi 2.4. Tính duy nhất của hàm m  điều hòa dưới trong các lớp Cegrell Định nghĩa 2.4.1. Cho W là một miền trong n£ và K là tập con compact của W. Khi đó K được gọi là: ( )a Lồi phân hình trong W nếu với mọi \z KÎ W đều tồn tại một hàm chỉnh hình f trên W sao cho ( ) ( )f z f KÏ . ( )b Lồi chỉnh hình trong W nếu với \z KÎ W , đều tồn tại một hàm chỉnh hình f trên W sao cho sup ( ) K f f z< Bổ đề 2.4.2. Cho W là miền bị chặn n£ và K Ì W là