Luận văn Tính Hyperbolic đầy của miền Hartogs

vôn Kham bay PHAVISAY 2 Chữỡng 1 Kián thực chuân bà 1.1. nh xÔ ch¿nh hẳnh [1] GiÊ sỷ X l  mởt têp mð trong Cn v  f : X → C l  mởt h m số. H m f ữủc gồi l  khÊ vi phực tÔi x0 ∈ X náu tỗn tÔi Ănh xÔ tuyán tẵnh λ : Cn → C sao cho lim|h|→0 |f(x0 + h)− f(x0)− λ(h)| |h| = 0, trong õ h = (h1, ..., hn) ∈ Cn v  |h| = ( ∑n i=1 |hi|2) 1 2 . H m f ữủc gồi l  ch¿nh hẳnh tÔi x0 ∈ X náu f khÊ vi phực trong mởt lƠn cên n o õ cừa x0 v  ữủc gồi l  ch¿nh hẳnh trản X náu f ch¿nh hẳnh tÔi mồi iºm thuởc X. Mởt Ănh xÔ f : X → Cm cõ thº viát dữợi dÔng f = (f1, ..., fm), trong õ fi = pii ◦ f : X → C, i = 1, ...,m l  cĂc h m tồa ở. Khi õ f ữủc gồi l  ch¿nh hẳnh trản X náu fi ch¿nh hẳnh trản X vợi mồi i = 1, ...,m. nh xÔ f : X → f(X) ⊂ Cn ữủc gồi l  song ch¿nh hẳnh náu f l  song Ănh, ch¿nh hẳnh v  f−1 cụng l  Ănh xÔ ch¿nh hẳnh. 3 1.2. ffia tÔp phực [1] a) ffiành nghắa GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian tổpổ Hausdorff. + C°p (U,ϕ) ữủc gồi l  mởt bÊn ỗ àa phữỡng cừa X, trong õ U l  têp mð trong X v  ϕ : U → Cn l  Ănh xÔ, náu cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn: i) ϕ(U) l  têp mð trong Cn. ii) ϕ : U → ϕ(U) l  mởt ỗng phổi. + Hồ A = {(Ui, ϕi)}i∈I cĂc bÊn ỗ àa phữỡng cừa X ữủc gồi l  mởt têp bÊn ỗ giÊi tẵch (atlas) cừa X náu cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn i) {Ui}i∈I l  mởt phừ mð cừa X. ii) Vợi mồi Ui, Uj m  Ui ∩ Uj 6= ∅, Ănh xÔ ϕj ◦ ϕi−1 : ϕi(Ui ∩ Uj)→ ϕj(Ui ∩ Uj) l  Ănh xÔ ch¿nh hẳnh. X²t hồ cĂc atlas trản X. Hai atlas A1,A2 ữủc gồi l  tữỡng ữỡng náu hủp A1∪A2 l  mởt atlas. ffiƠy l  mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản têp cĂc atlas. Mội lợp tữỡng ữỡng xĂc ành mởt cĐu trúc khÊ vi phực trản X, v  X cũng vợi cĐu trúc khÊ vi phực trản nõ ữủc gồi l  mởt a tÔp phực n chiãu. b) nh xÔ ch¿nh hẳnh giỳa cĂc a tÔp phực GiÊ sỷ M,N l  cĂc a tÔp phực. nh xÔ liản tửc f : M → N ữủc gồi l  ch¿nh hẳnh trản M náu vợi mồi bÊn ỗ àa phữỡng (U,ϕ) cừa M v  mởt bÊn ỗ àa phữỡng (V, ψ) cừa N sao cho f(U) ⊂ V thẳ Ănh xÔ ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U)→ ψ(V ) l  Ănh xÔ ch¿nh hẳnh. 4 Hay tữỡng ữỡng, või mồi x ∈ M, y ∈ N, tỗn tÔi hai bÊn ỗ àa phữỡng (U,ϕ) v  (V, ψ) tÔi x v  y tữỡng ựng sao cho ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U)→ ψ(V ) l  Ănh xÔ ch¿nh hẳnh. GiÊ sỷ f : M → N l  song Ănh giỳa cĂc a tÔp phực. Náu f v  f−1 l  cĂc Ănh xÔ ch¿nh hẳnh thẳ f ữủc gồi l  Ănh xÔ song ch¿nh hẳnh giỳa M v  N . 1.3. Khổng gian phực [1] ffiành nghắa 1.3.1. GiÊ sỷ Z l  a tÔp phực. Mởt khổng gian phực õng X l  mởt têp con õng cừa Z m  vã m°t àa phữỡng ữủc xĂc ành bði hỳu hÔn cĂc phữỡng trẳnh giÊi tẵch. Tực l , vợi x0 ∈ X tỗn tÔi lƠn cên mð V cừa x trong Z v  hỳu hÔn cĂc h m ch¿nh hẳnh ϕ1, ..., ϕm trản V sao cho X ∩ V = {x ∈ V |ϕi(x) = 0, i = 1, ...,m}. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian con phực trong a tÔp phực Z. H m f : X → C ữủc gồi ch¿nh hẳnh náu vợi mội iºm x ∈ X tỗn tÔi mởt lƠn cên U(x) ⊂ Z v  mởt h m ch¿nh hẳnh fˆ trản U sao cho fˆ |U∩X ⇒ f |U∩X . GiÊ sỷ f : X → Y l  Ănh xÔ giỳa cĂc khổng gian phực X v  Y . f ữủc gồi l  ch¿nh hẳnh náu vợi mội h m ch¿nh hẳnh g trản mởt têp con mð V cừa Y , h m hủp g ◦ f l  h m ch¿nh hẳnh trản f−1(V ). 1.4. GiÊ khoÊng cĂch Kobayashi trản khổng gian phực [1] ffi°t Hol(X, Y ) l  khổng gian cĂc Ănh xÔ ch¿nh hẳnh tứ mởt khổng gian phực X tợi mởt khổng gian phực Y ữủc trang bà tổpổ compact 5 mð. Vợi 0 < r <∞, ta °t Dr = {z ∈ C : |z| < r}; D1 = D. Trản ắa ỡn và mð D, ta x²t khoÊng cĂch Bergman - Poincar² cho bði ρD(0, a) = `n 1 + |a| 1− |a| ; ∀ a ∈ D ρD(z1, z2) = `n 1 + | z1 − z2 1− z1z2 | 1− ||z1 − z2| 1− z1z2 | , ∀ z1, z2 ∈ D. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian phực, p, q l  hai iºm tũy ỵ cừa X. X²t dÂy iºm p0 = p, p1, ..., pk = q cừa X, dÂy iºm a1, a2, ..., ak cừa D v  dÂy cĂc Ănh xÔ f1, ..., fk trong Hol(D,X) thọa mÂn fi(0) = pi−1, fi(ai) = pi, ∀i = 1, ..., k. Ta gồi têp hủp α = {p0, ..., pk, a1, ..., ak, f1, ..., fk} l  mởt dƠy chuyãn ch¿nh hẳnh nối p v  q trong X. Vợi mội dƠy chuyãn nhữ vêy, ta lêp tờng ∑k i=1 pD(0, ai). ffi°t dX(p, q) = infα {∑k i=1 pD(0, ai), α ∈ Ωp,q } , trong õ Ωp,q l  têp hủp tĐt cÊ cĂc dƠy chuyãn ch¿nh hẳnh nối p v  q trong X. Dạ thĐy dX : X ì X −→ R l  mởt giÊ khoÊng cĂch v  gồi l  giÊ khoÊng cĂch Kobayashi trản khổng gian phực X. Ta cõ thº dạ d ng chựng minh ữủc cĂc tẵnh chĐt sau Ơy cừa dX : i) dX l  h m liản tửc. ii) Náu f : X → Y l  Ănh xÔ ch¿nh hẳnh giỳa hai khổng gian phực thẳ f l m giÊm khoÊng cĂch ối vợi giÊ khoÊng cĂch Kobayashi, nghắa l  dX(p, q) > dY (f(p), f(q)), ∀ p, q ∈ X. 6 iii) dD = ρD. 1.5. Khổng gian phực hyperbolic v  khổng gian phực hyperbolic Ưy [1] 1.5.1. Khổng gian phực hyperbolic Khổng gian phực X ữủc gồi l  khổng gian phực hyperbolic náu giÊ khoÊng cĂch Kobayashi dX l  khoÊng cĂch trản X, tực l  dX(p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀ p, q ∈ X. Nôm 1972, T. Barth [3]  chựng tọ rơng náu khổng gian phực X l  khổng gian phực hyperbolic thẳ tổpổ sinh bði dX trũng vợi tổpổ ban Ưu cừa X. Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian phực hyperbolic. i) Khổng gian con cừa mởt khổng gian phực hyperbolic l  khổng gian phực hyperbolic. ii) (ffiành lỵ Eastwood) GiÊ sỷ pi : X → Y l  Ănh xÔ ch¿nh hẳnh giỳa cĂc khổng gian phực. GiÊ sỷ Y l  hyperbolic v  vợi mội iºm y ∈ Y cõ lƠn cên U cừa y sao cho pi−1(U) l  hyperbolic. Khi õ X l  hyperbolic. 1.5.2. Khổng gian phực hyperbolic Ưy GiÊ sỷ X l  khổng gian phực vợi khoÊng cĂch d. DÂy {xn} ⊂ X ữủc gồi l  dÂy cỡ bÊn (hay dÂy Cổsi) ối vợi khoÊng cĂch d náu vợi mội ε > 0, tỗn tÔi n0 ∈ N sao cho vợi mồi m,n > n0, ta cõ d(xn, xm) < ε. Khổng gian phực X ữủc gồi l  khổng gian phực hyperbolic Ưy náu giÊ khoÊng cĂch Kobayashi dX l  khoÊng cĂch Ưy trản X theo nghắa mội dÂy cỡ bÊn ối vợi dX ãu hởi tử trong X. Ta cõ mởt số tẵnh chĐt sau cừa khổng gian phực hyperbolic Ưy 7 i) Khổng gian phực hyperbolic X l  Ưy khi v  ch¿ khi mồi hẳnh cƯu õng trong X ãu compact. ii) Náu X l  hyperbolic v  compact, thẳ X l  hyperbolic Ưy. iii) Mởt khổng gian con phực õng cừa khổng gian phực hyper- bolic Ưy l  khổng gian phực hyperbolic Ưy. iv) GiÊ sỷ pi : X → Y l  Ănh xÔ ch¿nh hẳnh giỳa cĂc khổng gian phực. GiÊ sỷ Y l  hyperbolic Ưy v  vợi mội y ∈ Y, tỗn tÔi lƠn cên U sao cho pi−1(U) l  hyperbolic Ưy. Khi õ X l  hyperbolic Ưy. 1.6. Khổng gian phực taut [1] GiÊ sỷ X, Y l  cĂc khổng gian phực a) DÂy {fi}∞i=1 ⊂ Hol(Y,X) ữủc gồi l  phƠn ký compact náu vợi mội têp compact K cừa Y , mội têp con compact K ′ cừa X, tỗn tÔi j0 ∈ N sao cho fj(K) ∩K ′ = φ vợi mồi j > j0. b) Hồ Hol(Y,X) ữủc gồi l  chuân tưc náu mội dÂy {fi}∞i=1 trong Hol(Y,X) chựa mởt dÂy con ho°c l  hởi tử ãu trản mội têp con compact cừa Y ho°c l  phƠn ký compact. c) Khổng gian phực X ữủc gồi l  taut náu hồ Hol(Y,X) l  chuân tưc vợi mội khổng gian phực Y. T. Barth [3]  chựng minh ữủc : Khổng gian phực X l  taut khi v  ch¿ khi hồ Hol(D,X) l  chuân tưc. ffiº ch¿ ra mối liản hằ giỳa tẵnh taut v  tẵnh hyperbolic cừa mởt khổng gian phực, P. Kiernam [6]  chựng tọ rơng náu khổng gian phực X l  taut thẳ X l  hyperbolic v  náu X l  hyperbolic Ưy thẳ X l  taut. CĂc kh¯ng ành ngữủc lÔi ãu khổng úng. 8 1.7. H m iãu hỏa dữợi [7] a) Cho G l  têp con mð trong Cm, u : G → R l  mởt h m lợp C2. H m u ữủc gồi l  iãu hỏa trong G náu ∆u := ∑m j,k=1 ∂2u ∂zj∂z¯k = 0 trản G. b) H m u : G → [−∞,∞) ữủc gồi l  iãu hỏa dữợi trong miãn G náu u thọa mÂn hai iãu kiằn sau: i) u l  nỷa liản tửc trản trong G, tực l  têp {z ∈ G | u(z) < s} l  têp mð vợi mội số thỹc s. ii) Vợi mội têp con mð compact tữỡng ối Ω cừa G v  mồi h m h : Ω → R l  iãu hỏa trong Ω v  liản tửc trong Ω¯, ta cõ náu u ≤ h trản ∂G thẳ u ≤ h trản Ω. Ta cõ tiảu chuân iãu hỏa dữợi sau: ffiº h m u nỷa liản tửc trản trong miãn G l  iãu hỏa dữợi trong G, cƯn v  ừ l  vợi mồi iºm z ∈ D, ∃r0(z) > 0 sao cho u(z) ≤ 1 2pi 2pi∫ 0 u(z + reit)dt, vợi mồi r < r0. 1.8. H m a iãu hỏa dữợi [7] H m ϕ : G → [−∞,∞) ữủc gồi l  a iãu hỏa dữợi trong miãn G ⊂ Cn náu i) ϕ l  h m nỷa liản tửc trản trản G sao cho ϕ 6= −∞ trản mội th nh phƯn liản thổng cừa G. ii) Vợi mội iºm a ∈ G, vợi mồi b ∈ C, h m λ 7→ ϕ(a + λb) l  iãu hỏa dữợi ho°c ỗng nhĐt bơng −∞ trản mội th nh phƯn liản thổng cừa têp {λ ∈ C : a+ λb ∈ G}. ffiối vợi khổng gian phực , ta cõ ành nghắa sau: 9 GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian phực. Mởt h m a iãu hỏa dữợi trản X l  h m ϕ : X → [−∞,∞) thọa mÂn vợi mồi x ∈ X, tỗn tÔi lƠn cên U cừa x sao cho cõ Ănh xÔ song ch¿nh hẳnh h : U → V, vợi V l  mởt khổng gian con phực õng cừa mởt miãn G n o õ trong Cn, v  tỗn tÔi mởt h m iãu hỏa dữợi ϕ˜ : G→ [−∞,∞) sao cho ϕ|U = ϕ˜0 h (xem [9]). Chú ỵ: i) ffiành nghắa trản khổng phử thuởc v o viằc chồn bÊn ỗ àa phữỡng . ii) Fornaess v  Narasimhan  chựng minh ữủc kát quÊ sau (Xem [5]): H m nỷa liản tửc trản ϕ : X → [−∞,∞) trản khổng gian phực X l  a iãu hỏa dữợi trản X náu v  ch¿ náu ϕ◦ f l  iãu hỏa dữợi ho°c ỗng nhĐt bơng −∞ trản D vợi mồi f ∈ Hol(D,X). 10 Chữỡng 2 Tẵnh hyperbolic Ưy cừa miãn Hartogs. Mửc ẵch cừa chữỡng n y l  nghiản cựu tẵnh hyperbolic Ưy cừa miãn Hartogs Ωϕ(X) = { (z, w) ∈ XìC : |w| < e−ϕ(z) } , cử thº l  ch¿ ra mởt lợp cĂc h m a iãu hỏa dữợi ϕ m  nhớ õ cõ thº ữa ra cĂc iãu kiằn cƯn v  ừ ối vợi tẵnh hyperbolic Ưy cừa miãn Ωϕ(X). Trữợc tiản, ta ch¿ ra mởt iãu kiằn cƯn v  ừ cho tẵnh hyperbolic cừa miãn Hartogs Ωϕ(X). Ta cõ mằnh ã sau: Mằnh ã 2.1.[11]. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian phực, ϕ : X → [−∞,∞) l  h m nỷa liản tửc trản trản X. Khi õ Ωϕ(X) l  hyperbolic náu v  ch¿ náu X l  hyperbolic v  ϕ l  bà ch°n àa phữỡng trản X. Chựng minh. ffiiãu kiằn cƯn: GiÊ sỷ Ωϕ(X) l  hyperbolic. Vẳ X ¯ng cĐu vợi khổng gian con phực õng {(x, 0);x ∈ X} cừa Ωϕ(X) nản X l  hyper- bolic. Ta s³ chựng minh ϕ l  bà ch°n àa phữỡng trản X. GiÊ sỷ ngữủc lÔi, ϕ khổng bà ch°n àa phữỡng trản X, thá thẳ tỗn tÔi z0 ∈ X v  mởt dÂy {zk} hởi tử tợi z0 sao cho ϕ(zk) → −∞. Cố ành mởt iºm (z0, w0) ∈ Ωϕ(X), w0 6= 0. Khổng mĐt tờng quĂt, ta cõ thº giÊ thiát rơng |w0| 1. 11 Khi õ ta cõ: dΩϕ(X)((z0, 0)(z0, w0)) ≤ dΩϕ(X)((z0, 0)(zk, 0))+ dΩϕ(X)((zk, 0)(zk, w0)) + dΩϕ(X)((zk, w0)(zo, w0)) ≤ dX(z0, zk) + dDk(0, w0) + dΩϕ(X)((zk, wo), (z0, w0)), ∀ k > 1, trong õ Dk = {z ∈ C : |z| < e−ϕ(zk)}. Cho k dƯn tợi ∞, ta cõ dΩϕ(X)((z0, 0)(z0, w0)) = 0. ffiiãu n y mƠu thuăn vợi tẵnh hyperbolic cừa Ωϕ(X). Vêy ϕ l  bà ch°n àa phữỡng trản X. ffiiãu kiằn ừ: Ta x²t ph²p chiáu pi : Ωϕ(X) → X xĂc ành bði pi(z, w) = z. LĐy U l  mởt lƠn cên hyperbolic cừa z0 trong X sao cho R = infz∈U ϕ(z) > −∞. Ta dạ thĐy rơng pi−1(U) = Ωϕ(U) ⊂ U ì {w : |w| < e−R}, cụng l  hyperbolic. Theo ành lỵ Eastwood ([7], p.46), ta cõ iãu phÊi chựng minh. GiÊ sỷ X l  khổng gian phực, ϕ : X → [−∞,∞) l  h m a iãu hỏa dữợi trản X. Ta cõ mằnh ã sau: Mằnh ã 2.2.[10]. Náu Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy thẳ X l  hyperbolic Ưy, ϕ liản tửc v  ϕ(x) 6= −∞ vợi mồi x. Chựng minh GiÊ sỷ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy . Vẳ X ¯ng cĐu vợi khổng gian con phực õng {(x; 0);x ∈ X} cừa Ωϕ(X) nản X l  hyperbolic Ưy . GiÊ sỷ tỗn tÔi x0 ∈ X sao cho ϕ(x0) = −∞. Dạ thĐy {x0} ì C ⊂ Ωϕ(X), tực l  Ωϕ(X) chựa ữớng th¯ng phực. Do vêy mƠu thuăn vợi tẵnh hyperbolic cừa Ωϕ(X). Vêy ϕ(X) 6= −∞ vợi mồi x. GiÊ sỷ ϕ khổng liản tửc tÔi iºm x0 ∈ X. Do ϕ l  h m nỷa liản tửc trản nản ta tẳm ữủc dÂy {zj} ⊂ X v  số thỹc r sao cho {zj} → z0 v  e−ϕ(z0) < r < e−ϕ(zJ), ∀j ≥ 1 (1) 12 Vợi mội j ≥ 1, ta ành nghắa Ănh xÔ ch¿nh hẳnh fj : D → Ωϕ(X) xĂc ành bði fj = (zj, rw), vợi mội w ∈ ∆. Vẳ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy nản Ωϕ(X) l  taut. Tứ {fj(0)} → (z0, 0) ∈ Ωϕ(X) v  tứ tẵnh taut cừa Ωϕ(X), khổng mĐt tờng quĂt ta cõ thº giÊ thiát dÂy {fj} hởi tử ãu tợi Ănh xÔ ch¿nh hẳnh f trong Hol(D;Ωϕ(X)), trong õ f ∈ Hol(D;Ωϕ(X)) ữủc xĂc ành bði f(w) = (z0, rw), ∀w ∈ D Tứ õ ta cõ r.|w| < e−ϕ(z0), ∀w ∈ D. Do vêy r ≤ e−ϕ(z0). ffiiãu n y mƠu thuăn vợi (1). Vêy ϕ l  h m liản tửc trản X. Mằnh ã ữủc chựng minh. Trong trữớng hủp ϕ : X → [−∞,∞) l  mởt h m nỷa liản tửc trản trản X , ta cõ iãu kiằn cƯn cho tẵnh hyperbolic Ưy cừa miãn Hartogs Ωϕ(X) nhữ sau: ffiành lỵ 2.3.[11]. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian phực, ϕ : X → [−∞,∞) l  h m nỷa liản tửc trản xĂc ành trản X. Náu Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy, thẳ X l  hyperbolic Ưy v  ϕ l  mởt h m giĂ trà thỹc, a iãu hỏa dữợi liản tửc trản X. Chựng minh. Vẳ X l  ¯ng cĐu vợi mởt khổng gian con phực õng cừa Ωϕ(X) nản X l  hyperbolic Ưy . Theo Mằnh ã 2.1 ta cõ ϕ l  h m giĂ trà thỹc. Tiáp theo ta chựng minh ϕ l  liản tửc trản X. GiÊ sỷ ϕ khổng liản tửc trản X thẳ tỗn tÔi z0 ∈ X, mởt dÂy {zj}j>1 ⊂ X v  mởt hơng số r > 0 thọa mÂn: {zj} → z0, e−ϕ(z0) < e−ϕ(zj),∀ j ≥ 1. (2) Vợi mội j ≥ 1, ta xĂc ành Ănh xÔ ch¿nh hẳnh fj : D → Ωϕ(X) xĂc ành bði fj(w) = (zj, rw). Ró r ng {fj(0)} → (z0, 0) ∈ Ωϕ(X). Vẳ X l  13 hyperbolic Ưy nản X l  taut, bơng cĂch lĐy dÂy con ta cõ thº giÊ thiát rơng dÂy {fj} hởi tử ãu àa phữỡng trản D tợi mởt Ănh xÔ ch¿nh hẳnh f ∈ Hol(D,Ωϕ(X)). Dạ thĐy f(w) = (z0, rw). ffiiãu n y cho ta r|w| < e−ϕ(z0),∀w ∈ D, v  do õ r ≤ e−ϕ(z0). ffiiãu n y mƠu thuăn vợi (2). Vêy ϕ l  liản tửc trản X. Cuối cũng ta chựng minh ϕ l  h m a iãu hỏa dữợi trản X. Theo ành lỵ cừa Fornaess v  Narasimhan ữủc nõi ð trản ta ch¿ cƯn chựng minh rơng ϕ ◦ g l  iãu hỏa dữợi vợi mồi g ∈ Hol(D,X) ∩ (D¯,X). Ta x²t miãn Hartogs nhữ sau: Ωϕ◦g(D) = { (z, w) : z ∈ D, |w| < e−(ϕ◦g) } . Ta s³ chựng minh rơng Ωϕ◦g(D) l  giÊ lỗi. GiÊ sỷ ngữủc lÔi, s³ tỗn tÔi mởt dÂy {ϕj} trong Hol(D,Ωϕ◦g(D)) ∩ C(D¯, Ωϕ◦g(D)) thọa mÂn : i) ϕn(D¯) ⊂ Ωϕ◦g(D),∀n ≥ 1. ii) {ϕn} hởi tử ãu trản D¯ án ϕ∗ sao cho ϕ∗(∂D) ⊂ Ωϕ◦g(D). iii) ϕ∗(D) 6⊂ Ωϕ◦g(D). ffi°t ψ(λ,w) = (g(λ), w),∀(λ,w) ∈ D ì C. X²t dÂy cĂc Ănh xÔ {ϕ˜n} xĂc ành bði ϕ˜n = ψ ◦ ϕn. Tứ (i) v  (ii) ta cõ⋃ n≥1 ϕ˜n(∂D) ∪ (ψ ◦ ϕ∗)(∂D) ⊂⊂ Ωϕ(X). Vẳ vêy, ta cõ thº tẳm ữủc mởt têp con mð compact tữỡng ối Ucừa Ωϕ(X) chựa ⋃ n≥1 ϕ˜n(∂D)∪ (ψ ◦ϕ∗)(∂D). Do õ tỗn tÔi n0 ừ lợn v  z0 ∈ D ừ gƯn ∂D sao cho ϕ˜n(z0) ∈ U vợi mồi n ≥ n0. Ta °t: F = {f ∈ Hol(D,Ωϕ(X)) : f(z0) ∈ U}. 14 Vẳ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy nản Ωϕ(X) l  taut. Do vêy F l  chuân tưc. Vẳ khổng cõ dÂy con trong F cõ thº l  phƠn ký compact v  ϕ˜n ∈ F , vợi mồi n ≥ n0 nản ta cõ Ănh xÔ giợi hÔn ψ ◦ϕ∗ thuởc F . ffi°c biằt ψ ◦ϕ∗ Ănh xÔ D v o Ωϕ(X), iãu n y mƠu thuăn vợi (iii). Vẳ vêy Ωϕ◦g(D) l  giÊ lỗi. Suy ra ϕ ◦ g l  a iãu hỏa dữợi. ffiành lỵ ữủc chựng minh. ffiº chựng minh kát quÊ tiáp theo, ta nhưc lÔi Mằnh ã sau: Mằnh ã 2.4.([7], p55). Cho X l  mởt khổng gian phực, a ∈ X v  cĂc số dữỡng ρ, ε . Khi õ tỗn tÔi hơng số c > 1 sao cho vợi mội δ > 0, mồi c°p iºm (p, q) thuởc hẳnh cƯu mð U(a, ρ) = {b ∈ X : dX(a, b) < ρ} cõ thº ữủc nối bði mởt dƠy chuyãn β cĂc ắa ch¿nh hẳnh cõ ở d i l(β) < C(dX(p, q) + δ) nơm trong U(a; 3ρ+ ε). ffi°t biằt dU(a;3ρ+ε)(p, q) ≤ C.dX(p, q), ∀ p, q ∈ U(a; ρ). Chựng minh. LĐy 0 < r < 1 l  số dữỡng xĂc ành bði dD(0, r) = ε, vẳ vêy ắa Dr = {z ∈ C, |z| < r} bêc kẵnh r cõ bĂn kẵnh ε ựng vợi khoÊng cĂch Poincar² dD . Ta chồn C thọa mÂn dDr(0, x) ≤ C.dD(0, x) vợi x ∈ D r2 . ffiº chựng minh C thọa mÂn yảu cƯu , ta nối p, q ∈ U(a, ρ) bði mởt dƠy chuyãn α cĂc ắa ch¿nh hẳnh trong X cõ ở d i l(α) < dX(p, q)+δ < 2ρ vợi δ ừ nhọ. Vẳ ở d i cừa liản kát |α| b² hỡn 2ρ nản |α| bà ch°n trong U(a, 3ρ). LĐy fi : D → X l  ắa ch¿nh hẳnh thự i cừa dƠy chuyãn α bián ai, bi ∈ D th nh pi−1, pi ∈ X . Khổng mĐt tờng quĂt , ta cõ thº giÊ thiát ai = 0 v  |bi| < r2 . Vẳ pi−1 ∈ U(a, 3ρ) nản fi(Dr) ⊂ U(a, 3ρ + ε), vẳ vêy náu z ∈ Dr, thẳ dD(0, z) < ε v  dX(pi−1, fi(z)) = dX(fi(0), fi(z)) < ε. Bơng cĂch thu hàp ắa ch¿nh hẳnh fi : D → X trản Dr, ta cõ dƠy chuyãn β l  dƠy chuyãn nối p v  q nơm trong U(a, 3ρ + ε) v  l(β) ≤ C.l(α) < C.(dX(p, q) + δ). 15 Vẳ δ tũy ỵ nản ta cõ iãu phÊi chựng minh. Hằ quÊ 2.5.[2]. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian phực , a ∈ X, ρ > 0. Khi õ tỗn tÔi hơng số C > 0 sao cho vợi p, q ∈ U(a, ρ) = {b ∈ X : dX(a, b) < ρ} ta cõ dU(a,4ρ)(p, q) ≤ C.dX(p, q). ffiành lỵ 2.6.[11]. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian phực hyperbolic, ϕ l  mởt h m a iãu hỏa dữợi liản tửc, giĂ trà thỹc trản X thọa mÂn tẵnh chĐt sau: Vợi mội iºm biản (z0, w0) cừa Ωϕ(X) vợi z0 ∈ X, tỗn tÔi mởt lƠn cên V cừa z0 trong X v  mởt Ănh xÔ ch¿nh hẳnh f tứ Ωϕ(X) v o khổng gian hyperbolic Ưy Y sao cho dÂy f(zn, wn) khổng l  compact tữỡng ối trong Y vợi bĐt ký dÂy {(zn, wn)} hởi tử tợi (z, w). Khi õ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy. Chựng minh: Theo Mằnh ã 2.1, Ωϕ(X) l  hyperbolic. Chúng ta phÊi chựng minh rơng Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy. Ta giÊ thiát rơng tỗn tÔi mởt dÂy Cauchy {pk}k≥1 = {(zk, wk)}k≥1 trong Ωϕ(X) sao cho {pk} khổng hởi tử tợi bĐt ký iºm n o trong Ωϕ(X). Theo tẵnh chĐt giÊm khoÊng cĂch, {zk} l  mởt dÂy Cauchy trong X. Vẳ X l  hyperbolic Ưy nản dÂy n y hởi tử tợi z0 ∈ X. GiÊ sỷ U l  mởt lƠn cên compact tữỡng ối cừa z0 ∈ X. Bơng cĂch lĐy mởt dÂy con náu cƯn thiát , ta cõ thº giÊ thiát rơng {zk}k≥1 ⊂ U . Tứ õ suy ra {(zk, wk)}k≥1 ⊂ U ì∆ ⊂ U ì C, trong õ ∆ l  ắa {w : |w| < e− infz∈U ϕ(z)}. Bơng cĂch lĐy mởt dÂy con náu cƯn thiát, ta cõ thº giÊ sỷ rơng dÂy {pk}k≥1 hởi tử tợi iºm trong ∂(Ωϕ(X)). Tứ giÊ thiát, ta cõ thº lĐy mởt lƠn cên V cừa z0 trong X, mởt h m ch¿nh hẳnh f trong pi−1(V ) v  mởt khổng gian hyperbolic Ưy Y thọa mÂn cĂc iãu kiằn  cho. LĐy 0 < ρ < 15 inf{dX(z0, x) :∈ X\V }, v  N 16 ừ lợn sao cho pn ∈ U(pN ,ρ) vợi mồi n ≥ N . Bơng cĂch sỷ dửng tẵnh chĐt giÊm khoÊng cĂch ta cõ dX(z0, zn) ≤ ρ,∀n ≥ N. Ta s³ chựng minh U(pN , 4ρ) ⊂ pi−1(V ). Thêt vêy, náu dΩϕ(X)(pN , p) < 4ρ thẳ dX(pi(p), z0) ≤ dX(pi(p), zN) + dX(zN , z0) ≤ dΩϕ(X)(p, pN) + ρ < 5ρ ≤ dX(z0, X\V ). Do vêy pi(p) ∈ V , ta ữủc iãu cƯn chựng minh. Theo Hằ quÊ 2.5 ta cõ C1, C2 > 0 thọa mÂn: dpi−1(V )(pn, pN) ≥ dU(pN ,4ρ)(pn, pN) ≤ C1dΩϕ(X)(pn, pN) N . M°t khĂc, ta cõ dpi−1(V )(pn, pN) ≥ dY (f(pn), f(pN)),∀n > N. Vẳ Y l  hyperbolic Ưy v  dÂy {f(pn)} khổng phÊi l  compact tữỡng ối trong Y, ta cõ mƠu thuăn. Vêy ành lỵ ữủc chựng minh. Tứ ành lỵ trản, ta cõ ngay kát quÊ sau: ffiành lỵ 2.7.[11]. Cho X l  mởt khổng gian phực hyperbolic, ϕ l  mởt h m a iãu hỏa dữợi liản tửc, giĂ trà thỹc trản X thọa mÂn tẵnh chĐt: Vợi mồi iºm biản (z0, w0) cừa Ωϕ(X) m  z0 ∈ X, tỗn tÔi mởt lƠn cên V cừa z0 trong X, mởt h m ch¿nh hẳnh f trản Ωϕ(V ) sao cho: |f(z, w)| < 1, ∀ (z, w) ∈ Ωϕ(V ) lim(z,w)→(z0,w0) |f(z, w)| = 1. Khi õ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy. 17 ffiành nghắa 2.8.[11]. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian phực, ϕ l  h m nỷa liản tửc trản trản X. Ta nõi rơng ϕ cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mởt iºm a ∈ X náu tỗn tÔi mởt lƠn cên Ua cừa a trong X v  mởt h m ch¿nh hẳnh fa trản Ua thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: (i) ϕ(z) ≥ log |fa(z)|, ∀ z ∈ Ua, (ii) ϕ(a) = log |fa(a)|. Nhên x²t. GiÊ sỷ ϕ l  trản h m nỷa ữủc liản tửc trản X. GiÊ thiát rơng ϕ cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mồi iºm cừa X, khi õ dạ kiºm tra ϕ phÊi l  a iãu hỏa dữợi trản X. ffiiãu ngữủc lÔi khổng úng. Bờ ã 2.9.[11]. GiÊ sỷ X l  hyperbolic Ưy, ϕ l  mởt h m a iãu hỏa dữợi liản tửc, giĂ trà thỹc trản X. GiÊ thiát rơng ϕ cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mồi iºm cừa X. Khi õ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy. Chựng minh. LĐy mởt iºm tũy ỵ (z0, w0) ∈ ∂(Ωϕ(X)) vợi z0 ∈ X. Vẳ ϕ cõ tẵnh chĐt (S) tÔi z0 nản ta cõ thº lĐy mởt lƠn cên b² U cừa z0 v  mởt h m ch¿nh hẳnh fz0 thọa mÂn cĂc iãu kiằn (i) v  (ii) trong ành nghắa 2.8. ffi°t: f(z, w) = wfz0(z), ∀(z, w) ∈ pi−1(U). Ró r ng f l  ch¿nh hẳnh trản pi−1(U). Ta cõ: |f(z, w)| = |wfz0(z)| ≤ |weϕ(z)| < 1, ∀(z, w) ∈ pi−1(U). Do |f(z0, w0)| = 1, theo ffiành lỵ 2.7 ta cõ iãu phÊi chựng minh. ffiành nghắa 2.10.[11]. Cho X l  mởt khổng gian phực. Mởt h m ϕ : X → [−∞,∞) gồi l  a iãu hỏa dữợi ng°t trản X náu vợi mồi Ănh xÔ nhúng àa phữỡng j : X ↪→ Ω ⊂ Cn, ϕ l  hÔn chá àa phữỡng cừa mởt h m a iãu hỏa dữợi ng°t ϕ˜ trản Ω. ffiành lỵ sau Ơy trẳnh b y iãu kiằn ừ cho tẵnh hyperbolic Ưy cừa miãn Hartogs Ωϕ(X). 18 ffiành lỵ 2.11.[11]. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian hyperbolic Ưy. GiÊ thiát rơng ϕ l  mởt h m a iãu hỏa dữợi ng°t trản X. Khi õ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy. Chựng minh. Ta ch¿ cƯn chựng minh tÔi mội iºm a ∈ X, h m ϕ cõ tẵnh chĐt (S). Vẳ b i toĂn l  àa phữỡng, ta cõ thº giÊ thiát rơng quanh iºm a,X l  mởt têp con giÊi tẵch cừa mởt têp mð Y trong Cn. Do ϕ l  h m a iãu hỏa dữợi ng°t trản X nản tỗn tÔi mởt h m a iãu hỏa dữợi ng°t ϕ˜ trản Y sao cho ϕ˜|X = ϕ. Ta ành nghắa pa(z) = 1 2ϕ˜(a) + ∑n j=1 ∂ϕ˜ ∂zj (a)(zj − aj)+ 1 2 ∑n j,k=1 ∂2ϕ˜ ∂zj∂zk (a)(zj − aj)(zk − ak). Tứ õ ta cõ ϕ˜(a) = Re(2pa(a)). Ta x²t khai triºn Taylor cừa ϕ˜ tÔi a ϕ˜(z) = ϕ˜(a) + 2Re {∑n j=1 ∂ϕ˜ ∂zj (a)(zj − aj) +12 ∑n j,k=1 ∂2ϕ˜ ∂zj, ∂zj (a)(zj − aj)(zk − ak) } + ∑n j,k=1 ∂2ϕ˜ ∂zj∂z¯k (a)(zj − aj)(zk − ak) + o(|z − a|2) = 2Re(pa(z)) + ∑n j,k=1 ∂2ϕ˜ ∂zj∂z¯k (a)(zj − aj)(zk − ak) + o(|z − a|2). Vẳ ϕ l  a iãu hỏa dữợi ng°t trản Y , nản tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa a sao cho ϕ˜(z) ≥ Re(2pa(z)) = log |e2pa(z)|, ∀z ∈ U . Tứ õ suy ra ϕ cõ tẵnh chĐt (S) tÔi a. Theo Bờ º 2.9 ta cõ iãu cƯn chựng minh. 19 Hằ quÊ 2.12.[11]. GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian hyperbolic Ưy, ϕ l  mởt h m liản tửc cõ giĂ trà thỹc trản X. GiÊ thiát rơng vợi mồi iºm z0 ∈ X, tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa z0 sao cho ϕ(z) = supj≥1{cj log |fj(z)|}, ∀ z ∈ U, (3) trong õ {fj}j≥1 thọa mÂn log |fj| > 0 trản U vợi mồi j l  mởt dÂy cĂc h m ch¿nh hẳnh trản U v  {cj}j≥1 l  mởt dÂy cĂc số dữỡng thọa mÂn 0 < a < cj < b <∞, ∀ j. Khi õ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy. Chựng minh. Ta chồn mởt dÂy con {nj}j≥1 sao cho ϕ(z0) = limj→∞ cnj log |fnj(z0)|. Vẳ ϕ l  bà ch°n trản U sau khi thu nhọ U , tứ (3) ta cõ a.(supj≥1 ||fnj ||U) ≤ supU ϕ <∞. Vẳ vêy, bơng cĂch lĐy dÂy con v  thu nhọ U lƯn thự hai, cõ thº ta giÊ thiát rơng dÂy {fnj}j≥1 hởi tử iãu àa phữỡng trản U tợi mởt h m ch¿nh hẳnh f . Do õ cj → c ≥ a > 0. Ta ành nghắa ϕ∗(z) = c log |f(z)|,∀z ∈ U. Dạ kiºm tra ữủc ϕ∗(z0) = ϕ(z0) v  ϕ∗(z) ≤ ϕ(z),∀z ∈ U . Vẳ vêy ϕ cõ tẵnh chĐt (S) tÔi iºm z0. Theo Bờ ã 2.9, ta ữủc iãu cƯn chựng minh. Ta cõ thº ch¿ ra cõ h m a iãu hỏa dữợi m  khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mởt iºm. 20 Nhên x²t [11] GiÊ sỷ X l  mởt khổng gian phực, ϕ l  h m a iãu hỏa dữợi trản X. GiÊ sỷ rơng ϕ cõ tẵnh chĐt (S) tÔi iºm z0 ∈ X,v  ϕ(z0) 6= −∞, ta s³ chựng tọ rơng miãn X∗ = { (z, w) ∈ X ì C : Re w + ϕ(z) < 0} thọa mÂn: tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa z0, mởt h m ch¿nh hẳnh ψ trản U m  X∗ ∩ {(z, ψ(z))|z ∈ U} = ∅, trong õ ψ(z0) = −ϕ(z0). Thêt vêy, lĐy mởt lƠn cên U cừa z0 trong X ừ b² sao cho U l  co rút ữủc X. Vẳ ϕ(z0) 6= −∞ nản ta cõ fz0(z0) 6= 0, suy ra tỗn tÔi mởt h m ch¿nh hẳnh ψ trản U thọa mÂn: |fz0(z)eψ(z)| = 1 ψ(z0) = −ϕ(z0),∀z ∈ U. Ta chú ỵ rơng ϕ(z) ≥ log |fz0(z)| = log |e−ψ(z)| = −Re ψ(z), ∀ z ∈ U, v  ψ(z0) = −ϕ(z0). Vẳ vêy ta ữủc iãu cƯn chựng minh Theo vẵ dử cừa Konn v  Nirenberg ([12]) v  tứ nhên x²t trản, ta suy ra tỗn tÔi mởt h m iãu hỏa dữợi ; giĂ trà thỹc trản C2 sao cho ϕ khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi 0. Mằnh ã sau Ơy chựng tọ rơng tỗn tÔi mởt h m ϕ sao cho Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy những ϕ khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mởt iºm. Mằnh ã 2.13.[11]. GiÊ sỷ X l  mởt miãn hyperbolic Ưy trong C chựa 0, lĐy t > 0 sao cho cos(5pi/7) < −1/t < −5/9. XĂc ành h m ϕ bði ϕ(z) = |z|6 + t|z|2Re(z4). Khi õ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy những ϕ khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi 0. 21 Mằnh ã n y ữủc suy trỹc tiáp tứ hai Bờ ã sau : Bờ ã 2.14.[11]. GiÊ sỷ X l  mởt miãn hyperbolic Ưy trong C, ϕ l  mởt h m iãu hỏa dữợi trản X. GiÊ thiát rơng tÔi mồi iºm z0 ∈ X, tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản n ≥ 4, mởt lƠn cên U cừa z0 sao cho ϕ l  h m thuởc lợp Cn trản U , v  hỡn nỳa tỗn tÔi i, l sao cho 1 ≤ i ≤ l − 1 ≤ n− 1 v  ∂l ϕ ∂zl−i ∂ z¯ i (z0) 6= 0 (4) Khi õ ta cõ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy. Chựng minh LĐy (z0, w0) ∈ ∂Ωϕ(X) sao cho z0 ∈ X v  |w0eϕ(z0)| = 1. (5) Vợi r > 0 ừ b², ta xĂc ành Wz0, r = {(z, w) ∈ X ì C : |z − z0| < r, |w| < e−ϕ(z)} ⊂ Ωϕ(X). X²t khai triºn Taylor cừa ϕ trong mởt lƠn cên ừ b² cừa z0 ϕ(z) = ∑n j=0 Pj(z−z0)+o(|z−z0|n), trong õ Pj l  a thực thuƯn nhĐt cừa z, z¯ v  cõ bêc j. Ta s³ chựng minh Pl khổng phÊi l  h m iãu hỏa. Ta viát Pl(z) = ∑l m=0 ∂lϕ ∂zl−m∂z¯ m (z0)z l−mz¯ m. Ta cõ ∆Pl(z) = ∑l−1 m=1m(l −m) ∂lϕ ∂zl−m∂z¯ m (z0)z l−m−1z¯ m−1. Tứ biºu thực n y cừa ∆Pl v  iãu kiằn (4) suy ra Pl khổng thº l  h m iãu hỏa. Vẳ vêy, ta cõ thº viát lÔi ϕ dữợi dÔng sau: ϕ(z) = ψ(z) + Pk(z − z0) + o(|z − z0|k), (6) trong õ ψ l  h m iãu hỏa v  k ∈ [1, n] l  số nguyản b² nhĐt sao cho Pk khổng l  h m iãu hỏa. 22 LĐy ψ˜ l  mởt h m ch¿nh hẳnh trản mởt lƠn cên cừa z0 thọa mÂn: Re(ψ˜(z)) = ψ(z). Ta viát |w2e2ϕ(z)| = |weψ(z)|2e2(ϕ(z)−ψ(z)) = |weψ˜(z)|2e2(ϕ(z)−ψ(z)). Dũng ph²p ối tồa ở { z′ = z − z0 w′ = weψ˜(z) − w0eψ˜(z0) Khi õ Wz0,r s³ ữủc bián ối th nh W ′r = {(z′, w′) : |z′| < r, |w′ + w0eψ˜(z0)|2 |e2(ϕ(z′+z0)−ψ(z′+z0))| < 1} = {(z′, w′) : |z′| < r, |w′ + w0eψ˜(z0)|2 e2RePk(z′)+o(|z′|k) < 1} = { (z′, w′) : |z′| < r, (1 + |w′|2 + 2Re(w′w¯0 e−ψ˜(z0))(1 + 2RePk(z′) + o(|z′|k))< 1} = { (z′, w′) : |z′| < r, 1 +