Luận văn Về sự tồn tại hạng của module tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán

và a.c.c). 13 Định lý 1.2.19 (Định lý Jordan – Holder) Nếu R - môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n . Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các mô đun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành. Chứng minh Giả sử R - môđun M có dãy hợp thành, khi đó ta kí hiệu ( )L M là độ dài của một dãy hợp thành có độ dài nhỏ nhất của M . Ta cần đến bổ đề sau đây: Bổ đề 1.2.20 Giả sử R - môđun M có dãy hợp thành và N là một môđun con của M . Khi đó ta có các khẳng định sau đây: ( )1 N có dãy hợp thành với ( ) ( )N L ML ≤ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi N M= . ( )2 Môđun thương M N cũng có dãy hợp thành với ( ) ( )L M N L M≤ . Chứng minh Định lý Jordan – Holder Giả sử { }0 1 ... 0mM M M M= ⊃ ⊃ ⊃ = là một dãy hợp thành của M có độ dài m . Theo bổ đề 1.2.20, ta có ( ) ( ) ( )1 ... 0mLL M M L M> > > = . Từ đó dễ dàng suy ra ( )m L M≤ . Mặt khác, theo định nghĩa của ( )L M thì ( )L M m≤ . Ta nhận được ( )L M m= . Vậy mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài là ( )L M . Bây giờ giả sử trong M có một dãy thực sự tăng hoặc giảm các môđun con. Ta suy ra dãy phải có độ dài hữu hạn và độ dài đó không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành. Bằng việc bổ sung M và { }0 vào dãy đã cho (nếu M và { }0 chưa có trong dãy), ta luôn coi dãy có dạng { }0 1 ... 0dM M M M= ⊃ ⊃ ⊃ = . Theo bổ đề 1.2.20, môđun thương ( )1 1i iM M i d− ≤ ≤ có dãy hợp thành, chẳng hạn 14 { }1 0 1 ... 0i i i i t iM M F M F M F M− = ⊃ ⊃ ⊃ = . Từ đó ta có dãy 1 0 1 ...i t iM F F F M− = ⊃ ⊃ ⊃ = trong đó ( ) ( )1 1k k k i k iF F F M F M− −≅ là một môđun đơn với mọi 1, k t= . Tiếp theo thay mỗi dãy ngắn 1i iM M− ⊃ bởi dãy 1 0 1 ...i t iM F F F M− = ⊃ ⊃ ⊃ = như trên, ta sẽ nhận được một dãy hợp thành mở rộng từ { }0 1 ... 0dM M M M= ⊃ ⊃ ⊃ = . Định nghĩa 1.2.21 Nếu R - môđun M có một dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp thành của M có cùng một độ dài. Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là ( )Rl M . Nếu R - môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài ( )Rl M = ∞ và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn. Định nghĩa 1.2.22 Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu : B Cσ → , mỗi đồng cấu : f P C→ tồn tại một đồng cấu : P Bϕ → sao cho f σϕ= . Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 1 Định lý 1.2.23 Mỗi môđun tự do M đều là môđun xạ ảnh. Mệnh đề 1.2.24 Cho S là R - môđun. Khi đó k kRR S S⊗ ≅ với số nguyên k khác 0. 1.3. Radical của vành Định nghĩa 1.3.1 Radical Jacobson (căn Jacobson) của vành R , kí hiệu là rad R hoặc ( )J R là tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa được tất cả các R - môđun bất khả quy. P C B f ϕ∃ σ 15 Nếu R không có R - môđun bất khả quy thì rad R R= . Định nghĩa 1.3.2 Vành R là vành đơn nếu 2 0R ≠ và R có đúng hai iđêan là ( )0 và R . Định nghĩa 1.3.3 Vành R là vành nửa đơn nếu xem R là môđun trên chính nó thì nó là môđun nửa đơn nghĩa là R là tổng trực tiếp hữu hạn của các iđêan phải tối tiểu của nó. Định nghĩa 1.3.4 Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R rad R là vành Artin trái hay R rad R là vành nửa đơn. Nhận xét : Nếu R là vành nửa địa phương thì R có một số hữu hạn các iđêan trái tối đại. Định nghĩa 1.3.5 Phần tử 0e R≠ ∈ được gọi là lũy đẳng nếu 2e e= . Định nghĩa 1.3.6 • Phần tử a R∈ được gọi là lũy linh nếu 0ma = , với m là số tự nhiên khác 0 nào đó. • α là nil - iđêan phải (trái, 2 phía) nếu mỗi phần tử trong α là lũy linh. • α là iđêan lũy linh phải (trái, 2 phía) nếu có một số nguyên dương m sao cho 1 2... 0ma a a = với mọi 1 2, ,..., ma a a α∈ . Định lý 1.3.7 (Định lý Hopkins - Levitzki) Cho R là vành mà rad R là lũy linh và R R rad R= là nửa đơn (vành R gọi là nửa nguyên sơ). Khi đó, với bất kì R - môđun M các phát biểu sau là tương đương: ( )1 M là Noether. ( )2 M là Artin. ( )3 M có một dãy hợp thành. 16 Đặc biệt : (A) Một vành là Artin trái nếu và chỉ nếu nó là Noether và nửa nguyên sơ. (B) Bất kì môđun trái hữu hạn sinh trên vành Artin trái có một dãy hợp thành. Chứng minh ( ) ( )31 ⇒ Ta có: M là môđun Noether nên tồn tại một môđun con cực đại 1M của M , rồi tồn tại môđun con cực đại 2M của 1M Kết quả ta được một dãy thực sự giảm của các môđun con của M 0 1 ... dM M M M= ⊃ ⊃ ⊃ Nhưng R là vành nửa nguyên sơ nên ta thu được một dãy có độ dài hữu hạn { }0 1 ... 0nM M M M= ⊃ ⊃ ⊃ = (*) trong đó iM là một môđun cực đại của 1iM − tức 1i iM M− là môđun đơn 1,i n∀ = . Vậy M có một dãy hợp thành. ( ) ( )3 2⇒ M có một dãy hợp thành nên M là môđun Artin. ( ) ( )2 1⇒ Ta có: M là môđun Artin nên mọi iđêan nguyên tố trong vành Artin đều là iđêan cực đại mà vành Artin chỉ có hữu hạn các iđêan cực đại. Mặt khác, trong vành Artin thì linh căn là iđêan lũy linh nên tồn tại các iđêan cực đại không nhất thiết khác nhau 1,..., nm m để 1 0 n i i m = =∏ . Đặt 1 k k i i J m = = ∏ với 1,k n= và 0J M= . Khi đó ta có dãy { }0 1 ... 0nM J J J= ⊃ ⊃ ⊃ = . Vì 1k kJ J− là một kM m - không gian vectơ Artin nên ( ) ( )1 1kM k k M m k kl J J l J J− −= < ∞ với 1,k n= . Suy ra M là R - môđun có độ dài hữu hạn. Do đó M có một dãy hợp thành. Vậy M là môđun Noether. Định nghĩa 1.3.8 Vành R được gọi là Dedekind - hữu hạn nếu 1ab = kéo theo 1ba = , với , a b R∈ bất kì. 17 Định nghĩa 1.3.9 Môđun RM được gọi là Hopfian nếu mọi toàn cấu : f M M→ là một đẳng cấu. Định nghĩa 1.3.10 Vành E được gọi là có miền ổn định trái 1 nếu ( ), Ea Eb E a b E+ = ∈ thì tồn tại e E∈ sao cho ( )a eb U E+ ∈ với ( )U E là tập các phần tử khả nghịch trong E . Chú ý: Nếu 0b = thì vành E là Dedekind - hữu hạn. Định nghĩa 1.3.11 Môđun hữu hạn sinh P trên vành R được gọi là ổn định tự do nếu tồn tại hai số nguyên m và n sao cho m nP R R⊕ ≅ . Định lý 1.3.12 (Định lý giản ước) Cho R là vành, , , A B C là các R - môđun phải. Giả sử ( )RE End A= có miền ổn định trái 1 (ví dụ: E là vành nửa địa phương) thì A B A C⊕ ≅ ⊕ suy ra B C≅ . Chứng minh Từ A B A C⊕ ≅ ⊕ tồn tại một toàn cấu chẻ ( ), g :f A B A⊕ → với ( )ker , g Cf ≅ . Cho : f A A B g       ′ → ⊕ ′ chẻ ra thì ( )1 , g .A f f ff gg g       ′ ′ ′= = + ′ . Vì thế . .E f E gg E′ ′+ = . Khi đó, E có miền ổn định trái 1 nên tồn tại e E∈ sao cho ( ) ( ).f e gg u U E′ ′+ = ∈ . Ta có ( ) ( )1, eg . . f f e gg u g       ′ ′ ′= + = ′ . Do u khả nghịch, nên ( ) ( )1 11, eg . , g .Au f f f g g −    = =        ′ ′ ′ ′ , nên ( ) ( )er 1, eg er , gk k f≅ (vì mỗi hạt nhân này thì đẳng cấu với f A B im g       ′ ⊕ ′ ). Hơn nữa, ta dễ dàng thấy rằng ( )er 1, egk B≅ (vì 1 là đồng cấu đồng nhất của A, nên dễ thấy rằng, với mọi b B∈ , tồn tại duy nhất 18 ( )b A B b ϕ  ∈ ⊕    , sao cho ( ) ( )1, . 0beg b ϕ  =    . Và ( )b b B B b ϕ   ∈ ≅       ), mà theo cách đặt, ( )er , gk f C≅ . Vậy B C≅ . Định lý 1.3.13 Cho R là vành có miền ổn định trái 1 (ví dụ: R là vành nửa địa phương). ( )1 Cho , , A B C là các môđun phải, trong đó A là hữu hạn sinh và xạ ảnh thì A B A C⊕ ≅ ⊕ suy ra B C≅ . ( )2 R có tính chất cơ sở bất biến nghĩa là với các số tự nhiên n và m , n mR R≅ thì suy ra n m= (ngoại trừ 0R = ). ( )3 Bất kì R - môđun phải P (hữu hạn sinh) ổn định tự do là tự do. ( )4 ( )nM R là Dedekind - hữu hạn với bất kì số nguyên 1n ≥ . Chứng minh ( )1 Chọn một R - môđun A′ sao cho nA A R′⊕ ≅ với mọi số nguyên n . Khi đó A B A C⊕ ≅ ⊕ suy ra rằng n nR B R C⊕ ≅ ⊕ . Cùng một lúc ta giản ước một bản sao của R . Vì thế ta có thể khẳng định rằng A R= . Do đó, tự đồng cấu vành ( ) ( )R REnd A End R R= ≅ có miền ổn định trái 1. Theo định lý giản ước ta suy ra B C≅ . ( )2 Giả sử n mR R≅ với n m> , giản ước mR ta được 0n mR − = suy ra 0R = . ( )3 Giả sử rằng r sP R R⊕ ≅ , nếu s r< ta có thể giản ước sR ta nhận được 0R = và 0P = . Do đó, ta có thể giả sử s r≥ , giản ước rR ta nhận được s rP R −≅ . ( )4 Cho ( ), Mn Rα β ∈ thỏa . Iα β = thì α xác định một toàn ánh của R - môđun : n nR Rα → mà chẻ ra bởi : n nR Rβ → . Do đó, ta có một đẳng cấu 19 ( )kern nR R α≅ ⊕ . Giản ước nR ta được ( ) 0ker α = vì thế : n nR Rα → là một đẳng cấu. Vậy α khả nghịch trong ( )Mn R nên . Iβ α = . Định nghĩa 1.3.14 Cho k là vành tùy ý và { }:ix i I∈ là hệ độc lập, không giao hoán các biến trên k thì ta có thể xây dựng R là k - vành tự do sinh ra bởi { }:ix i I∈ và kí hiệu :iR k x i I= ∈ . Các phần tử của R là các đa thức không giao hoán các biến { }ix với hệ số thuộc k . Hệ quả 1.3.15 Mọi k - vành tự do :iR k x i I= ∈ đều có thể nhúng vào một vành chia. 20 Chương 2 - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, ta nghiên cứu về sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán, đưa ra được ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán có hai cơ sở khác nhau nhưng số phần tử khác nhau tức là không có khái niệm hạng, các điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán và đưa ra được biểu đồ tóm tắt mối tương quan chính giữa các điều kiện. 2.1. Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán Bổ đề sinh 2.1.1 Cho { }:ie i I∈ là một hệ sinh cực tiểu của R - môđun M , trong đó lực lượng I là vô hạn thì M không thể được sinh ra bởi ít hơn I phần tử. Chứng minh Xét bất kì tập { }:jA a j J M= ∈ ⊆ trong đó J I< . Mỗi ja được biểu thị qua một số hữu hạn các ie . Đầu tiên, ta giả thiết J là vô hạn thì tồn tại một tập con 0I I⊆ với 0I J≤ . ℵ0 J= (trong đó ℵ0 là lực lượng của tập vô hạn đếm được) sao cho mỗi ja được biểu thị qua { }0:ie i I∈ . Khi đó 0I J I≤ < . Suy ra môđun con sinh ra bởi A con của môđun con sinh ra bởi { }0:ie i I M∈  . 21 Nếu J là hữu hạn thì môđun con sinh ra bởi A nằm trong môđun con sinh ra bởi một số hữu hạn các phần tử ie . Nhưng bản thân I là vô hạn nên môđun con sinh ra bởi A không thể bằng M . Vậy M không thể được sinh ra bởi ít hơn I phần tử. Chú ý: Như ta đã thấy, chứng minh trên đã làm việc với giả thiết yếu I là vô hạn và không có tập hợp con { }0:ie i I∈ của { }:ie i I∈ với 0I I< có thể sinh ra M . Từ bổ đề này, ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng " môđun tự do hữu hạn sinh" là có thể xem như " "nR , với số nguyên n không âm. Từ bổ đề trên có hệ quả sau. Hệ quả 2.1.2 Nếu ( ) ( )I JR R≅ như những R - môđun phải, trong đó ( )0R ≠ và I vô hạn thì I J= . Vậy hạng của ( )IR là I . Nếu , I J là các tập hữu hạn thì hệ quả này có thể không còn đúng, ta sẽ thấy nó ở ví dụ sau này. 2.2. Điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán Định nghĩa 2.2.1 Vành R được gọi là có hạng (sau này ta cũng gọi là có IBN) nếu với bất kì số tự nhiên , , n mn m R R≅ thì n m= . Điều này có nghĩa là bất kì hai cơ sở trên một R - môđun M tự do hữu hạn sinh có cùng số phần tử. Số chung này được định nghĩa là hạng của M . Ta biết rằng, bất kì đồng cấu : m nf R R→ có thể được biểu thị bởi một ma trận cấp n m× qua các cơ sở tự nhiên trên mR và nR . Do đó, ta có thể sắp xếp lại định nghĩa 2.2.1 trên các số hạng ma trận như sau: với bất kì số tự nhiên , , n mn m R R≅ nếu tồn tại các ma trận , A B trên R có cấp lần lượt là m n× và n m× sao cho mAB I= và 22 nBA I= thì n m= . Vì vậy, vành R không có IBN nếu và chỉ nếu tồn tại các số tự nhiên n m≠ và ma trận , A B trên R có cấp lần lượt là m n× và n m× sao cho mAB I= và nBA I= . Định lý 2.2.2 Giả sử vành R giao hoán. Khi đó các cơ sở của cùng một R - môđun tự do hữu hạn sinh M có cùng số phần tử. Chứng minh Ta biết rằng mỗi cơ sở của một môđun tự do là một hệ sinh cực tiểu của nó. Vì thế các cơ sở của R - môđun tự do hữu hạn sinh M đều có hữu hạn phần tử. Giả sử { }1 1 2, ,..., nX e e e= , { }2 1 2, ,..., mX f f f= là hai cơ sở hữu hạn khác nhau bất kì của M . Ta chứng minh n m= . Thật vậy, giả sử 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... m m n n nm b b b b b b B b b b               = là ma trận chuyển từ cơ sở 1X sang cơ sở 2X và 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn c c c c c c C c c c               = là ma trận chuyển từ cơ sở 2X sang cơ sở 1X Do BC là ma trận chuyển từ cơ sở 1X sang chính nó nên ta có nBC I= với nI là ma trận đơn vị cấp n . Tương tự ta cũng có mCB I= . Ta sẽ loại trừ cả 2 trường hợp n m> và m n> . Giả sử n m> , bây giờ ta bổ sung ( )n m− cột cuối gồm toàn phần tử không vào ma trận B để được ma trận vuông *B cấp n . 23 11 12 1 21 22 2* 1 2 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 m m n n nm b b b b b b B b b b               = Ta cũng có thể bổ sung ( )n m− hàng cuối gồm toàn phần tử không vào ma trận C để được ma trận *C cấp n . 11 12 1 21 22 2 * 1 2 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 0 n n m m mn c c c c c c C c c c                         = Ta thấy *B và *C là những ma trận vuông cấp n và do nBC I= nên * * nB C I= . Từ đó suy ra ( )* *det det 1nB C I= = . Mặt khác, do vành R giao hoán nên ta có ( ) ( ) ( )* * * *det det det 0.0 0B C B C= = = (mâu thuẫn). Tương tự: m n> cũng dẫn đến mâu thuẫn. Vậy n m= . Đối với vành không giao hoán thì định lý trên không còn đúng và ta sẽ thấy điều này qua ví dụ sau. Ví dụ 2.2.3 (Về một vành R không có IBN) Cho V là một môđun phải tự do có hạng vô hạn trên vành ( )0k ≠ . Đặt ( )kR End V= . Khi đó, để chứng minh n mR R≅ , trong đó , n m là các số tự nhiên bất kì, ta chỉ cần chứng minh 2R R≅ là đủ. 24 Thật vậy, cố định một k - đẳng cấu : V V Vε → ⊕ . Tác động hàm tử ( ),kHom V − vào đẳng cấu trên thì ta được một đẳng cấu ( ) ( ): , ,k kR Hom V V Hom V V Vγ = → ⊕ . Dễ thấy rằng tập ( ),kHom V V V⊕ với phép cộng đồng cấu và phép nhân ngoài các phần tử của R lập thành một R - môđun. Hơn nữa, ta có đẳng cấu nhóm abel ( ): ,R Hom V V V R Rλ → ⊕ ≅ ⊕ . Ta chứng tỏ rằng λ là đồng cấu R - môđun. Để chứng minh điều này, ta lưu ý rằng ( ) ( ) ( )1 2, f f f f Rλ π ε π ε= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈ trong đó 1 2, π π : V V V⊕ → là các phép chiếu. • ,f g R∀ ∈ ta có ( ) ( ) ( )( )1 2 , f g f g f gλ π ε π ε+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ( )1 1 2 2 , f g f gπ ε π ε π ε π ε= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , f f g g f gπ ε π ε π ε π ε λ λ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + . • , f R g R∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , fg fg fg f f g f gλ π ε π ε π ε π ε λ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . Suy ra λ là đồng cấu R - môđun. * Từ sự phân tích trên, ta có thể xây dựng được { }1 2,f f là cơ sở của R . Với 1 2 ...V e k e k= ⊕ ⊕ , 1n ≥ , ta định nghĩa 1 2 1 2, , , f f g g R∈ bởi ( )1 2n nf e e= , ( )2 2 1n nf e e −= , ( ) ( )1 2 1 1 20, gn n ng e e e− = = , ( ) ( )2 2 1 2 2, g 0n n ng e e e− = = . 25 Dễ dàng chứng tỏ được rằng: 1 1 2 2 1 2 2 11 ; 0g f g f g f g f= = = = ; 1 1 2 2 1f g f g R+ = ∈ . Thật vậy, ta có • ( ) ( )1 1 1 2n n ng f e g e e= = mà 0ne ≠ nên 1 1 1g f = . • ( ) ( )2 2 2 2 1n n ng f e g e e−= = mà 0ne ≠ nên 2 2 1g f = . • ( ) ( )1 2 1 2 1 0n ng f e g e −= = . • ( ) ( )2 1 2 2 0n ng f e g e= = . • ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 20n n n n nf g f g e f g e f g e f e e+ = + = + = mà 2 0ne ≠ . Suy ra 1 1 2 2 1f g f g+ = . Vậy { }1 2,f f là hệ sinh của R . * Ta chứng tỏ rằng { }1 2,f f độc lập tuyến tính trong R . Giả sử 1 1 2 2 0f h f h+ = trong đó 1 2,h h R∈ . Đặt 1 1 2 2h f h f h= = − Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0h f g f g h f g h f g h f g f h f g f h= + = + = − + = . Khi đó do 1 2, ff là các đơn cấu nên 1 2 0h h= = suy ra { }1 2,f f là cơ sở của R . Từ điều này ta có phương trình ma trận ( ) ( )1 11 2 1 2 2 2 1 0 1 ; 0 1 g g f f f f g g = =                  . Vậy R không có IBN. Như vậy, tồn tại môđun tự do với hai cơ sở có số phần tử khác nhau. Đây là ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán có hai cơ sở khác nhau nhưng số phần tử khác nhau tức là không có khái niệm hạng. Vậy với điều kiện nào của vành không giao hoán thì tồn tại khái niệm hạng của lớp các môđun tự do hữu hạn sinh và luận văn sẽ đi sâu vào nghiên cứu và trả lời một phần câu hỏi đó. 26 Chú ý 2.2.4 Cho :f R S→ là một đồng cấu vành (bao gồm giả thiết ( )1 1f = ). Nếu S có IBN thì Rcó IBN. Chứng minh Giả sử R không có IBN suy ra tồn tại , , n m N n m∈ ≠ và các ma trận , A B trên R có cấp lần lượt là m n× và n m× sao cho =I ; m nAB I BA= . Do f là đồng cấu vành nên ( ) ( ) ( ) ( )m mf A f B f AB f I I= = = . ( ) ( ) ( ) ( ) n nf B f A f BA f I I= = = . Suy ra S không có IBN (mâu thuẫn). Vậy R có IBN. Ví dụ 2.2.5 (Một số ví dụ về lớp các vành có IBN) Ta đã chứng tỏ mọi vành giao hoán có IBN, ta sẽ đưa ra một số ví dụ về một số vành khác có IBN như sau: )a Vành chia R có IBN. Giả sử R không có IBN suy ra tồn tại , , n m N n m∈ ≠ và các ma trận , A B trên R có cấp lần lượt là m n× và n m× sao cho ;m nAB I BA I= = . Mà R là vành chia suy ra ; m nBA I AB I= = do đó m nI I= nên m n= (vô lý). Vậy R có IBN. )b Vành địa phương ( ), R m có IBN. Thật vậy, ta có toàn ánh tự nhiên :f R R m→ . Do m là iđêan phải tối đại duy nhất của vành R nên R m là vành chia. Do đó, R m có IBN. Suy ra vành R có IBN theo 2.2.4. )c Bất kì vành R với một đồng cấu vào một vành giao hoán 0k ≠ có IBN. 27 Ví dụ: Ta lấy R là vành nhóm kG trên một nhóm G bất kì. Hoặc ta cũng có thể lấy R là một k - đại số bất kỳ sinh bởi { }:ix i I∈ với quan hệ ( ){ }j xλ trong đó ( )j xλ là đa thức với biến ix với số hạng tự do là 0. )d Vành Artin phải R khác 0 có IBN. Thật vậy, với bất kì R - môđun phải hữu hạn sinh có một dãy hợp thành. Giả sử R có chiều dài l , nếu n mR R≅ với , n m N∈ , so sánh độ dài hợp thành ta có nl ml= thì n m= . Để nghiên cứu một cách sâu sắc và kỹ hơn về điều kiện nào đó của vành R để các môđun tự do hữu hạn sinh trên R có IBN và ta sẽ chỉ ra những tiêu chuẩn cụ thể hay những điều kiện đủ để một vành có IBN. Để thực hiện việc này ta sẽ nghiên cứu một số lớp vành có IBN. Lớp thứ nhất ta gọi là lớp các vành ổn định hữu hạn. Định nghĩa 2.2.6 Vành R là ổn định hữu hạn nếu vành ma trận ( )nM R là Dedekind - hữu hạn với mọi số tự nhiên n tức là với bất kì ma trận ( ), , n nA B M R AB I∈ = thì nBA I= . Mệnh đề 2.2.7 Cho vành R . Các tính chất sau là tương đương: ( )1 R là ổn định hữu hạn. ( )2 Cho n bất kì, n nR R N≅ ⊕ thì 0N = . ( )3 Cho n tùy ý, bất kì toàn cấu : n nf R R→ là đẳng cấu (nói khác đi nR là môđun Hopfian). Chứng minh ( ) ( )1 2⇒ Với n bất kì, n nR R N≅ ⊕ do R là ổn định hữu hạn nên ta giản ước nR suy ra 0N = . ( ) ( )2 3⇒ Hiển nhiên. 28 ( ) ( )3 1⇒ Cho ( ), nM Rα β ∈ sao cho Iαβ = thì α xác định một toàn ánh của R - môđun : n nR Rα → mà chẻ ra bởi : n nR Rβ → . Mà : n nR Rα → là đẳng cấu nên suy ra α khả nghịch trong ( )nM R do đó Iβα = . Vậy R là ổn định hữu hạn. Ta sẽ chứng tỏ rằng lớp các vành ổn định hữu hạn là một lớp con thực sự của lớp các vành có IBN. Mệnh đề 2.2.8 (Mối quan hệ giữa ổn định hữu hạn và IBN) Cho vành 0R ≠ bất kì, vành R ổn định hữu hạn suy ra vành R có IBN nhưng điều ngược lại không đúng. Chứng minh * Vành R ổn định hữu hạn suy ra vành R có IBN. Với số tự nhiên , , n mn m R R≅ . Giả sử n m> thì suy ra m m n mR R R −≅ ⊕ . Mà R là ổn định hữu hạn nên theo 2.2.7 ta suy ra 0n mR − = do đó 0R = (mâu thuẫn). Tương tự: n m< ta cũng có điều mâu thuẫn. Suy ra n m= . Vậy R có IBN. * Điều ngược lại không đúng. Thật vậy, xét R đại số sinh ra trên vành giao hoán 0k ≠ bởi ,x y với quan hệ 1xy = . Cho V là k - không gian vectơ 1 2 ...ke ke⊕ ⊕ với cơ sở vô hạn đếm được { }: 1ie i ≥ trên trường k và cho ( )kR End V= là k - đại số của tất cả các tự đồng cấu không gian vectơ của V . Nếu ,x y R∈ được định nghĩa như sau ( ) 1 , 1i iy e e i+= ∀ ≥ ; ( ) ( )1 10 , , 2i ix e x e e i−= = ∀ ≥ . Khi đó ( ) ( )1 2 1xy e x e e= = suy ra 1xy = . ( ) ( )1 0 0yx e y= = suy ra 0yx = . 29 Suy ra xy yx≠ . Do đó, R không là Dedekind - hữu hạn. Vậy R không là ổn định hữu hạn. Mặt khác, ta có đồng cấu :f R k→ xác định bởi ( ) ( ) 1 ,f x f y x y R= = ∀ ∈ thì R có IBN theo 2.2.5.c. Vậy điều ngược lại không đúng. Mệnh đề 2.2.9 Cho :g R S→ là một phép nhúng của vành R vào vành S , không nhất thiết biến đơn vị e của R thành đơn vị 1 của S . Nếu S là ổn định hữu hạn thì R cũng ổn định hữu hạn. Chứng minh Ta đồng nhất R với ( )g R , đơn vị e của R là một lũy đẳng trong S với lũy đẳng bù 1f e= − thỏa 0Rf fR= = . Cho , A B là các ma trận vuông cấp n n× trên R thỏa nAB eI= thì ( )( ) 2 n n n n nA fI B fI AB AfI BfI f I+ + = + + + nAB fI= + (do f lũy đẳng nên 2f f= ) ( ) n ne f I I= + = . Nếu S là ổn định hữu hạn thì ta có ( )( )n n n nI B fI A fI BA fI= + + = + . Suy ra ( )1 nf I BA− = . Do đó, nBA eI= . Vậy R là ổn định hữu hạn. Hệ quả 2.2.10 Vành tích trực tiếp i i I S R ∈ = ∏ là ổn định hữu hạn nếu và chỉ nếu mỗi vành thành phần iR là ổn định hữu hạn. Hệ quả 2.2.11 Cho k là một vành chia bất kì thì vành k tự do :iR k x i I= ∈ là ổn định hữu hạn. 30 Thật vậy, ta biết rằng vành R có thể được nhúng vào trong một vành chia S . Mà vành chia S là ổn định hữu hạn suy ra vành R là ổn định hữu hạn. Mệnh đề 2.2.12 Vành giao hoán R bất kì thì ổn định hữu hạn. Chứng minh Cho ( ), nC D M R∈ thỏa nCD I= suy ra ( )( )det det 1C D = nên det C khả nghịch trong R . Vậy C khả nghịch với nghịch đảo ( ) ( )1det .C adj C− , trong đó ( )adj C là kí hiệu liên hợp cổ điển của C. Đặc biệt, ( ) ( )1det .D C adj C−= và nDC I= . Vậy R là ổn định hữu hạn. Mệnh đề 2.2.13 Vành Noether phải R bất kì thì ổn định hữu hạn. Chứng minh Để chứng minh điều này, đầu tiên ta chứng minh trên môđun Noether. Mệnh đề 2.2.14 Mọi R - môđun Noether phải M đều là môđun Hopfian. Chứng minh Giả sử tồn tại 0 erx k ϕ≠ ∈ suy ra ( ) 0xϕ = . Xét bất kì số nguyên 1n ≥ và chọn y M∈ thỏa ( )nx yϕ= . Khi đó, ( ) ( )1 0n y xϕ ϕ+ = = suy ra 1er ny k ϕ +∈ . Mà ( ) 0n y xϕ = ≠ vì thế er ny k ϕ∉ . Do đó ta có một dãy tăng nghiêm ngặt của các môđun con 2er er ... er ...nk k kϕ ϕ ϕ    (điều này mâu thuẫn với M là môđun Noether). Vậy er 0k ϕ = suy ra ϕ là đơn cấu. Vì vậy, toàn cấu ϕ là đẳng cấu. Theo mệnh đề 2.2.14 thì với vành Noether phải R , bất kì môđun M hữu hạn sinh là Hopfian. Áp dụng điều này với môđun tự do nR ( nR là môđun tự do hữu hạn sinh trên vành Noether phải R ) suy ra nR là môđun Hopfian. Do đó, toàn cấu 31 : n nR Rϕ → là đẳng cấu. Theo 2.2.7 thì R là ổn định hữu hạn. Vậy vành Noether R là ổn định hữu hạn. Bắt đầu từ vành R tùy ý, ta xây dựng vành R R u= ổn định hữu hạn như sau. Cho u là iđêan của R được sinh bởi các phần tử của ma trận có dạng I YX− trong đó , X Y là các ma trận vuông có cấp bất kì trên R thỏa XY I= . Khi đó R R u= là vành ta cần xây dựng. Một khi XY I= trên R thì Y X I= vì thế R tiến gần đến sự ổn định hữu hạn. Tuy nhiên, quan hệ ma trận vuông X Y I′ ′ = trên R không thể nâng lên tới R vì thế ta không thể kết luận rằng R là ổn định hữu hạn. Để có một vành ổn định hữu hạn, dường như ta cần phải lặp lại sự xây dựng. May mắn là, kết quả theo sau của P.Malcolmson tiết kiệm thời gian cho chúng ta. Định lý 2.2.15 Cho vành R bất kì, vành R R u= được xây dựng như trên thì luôn ổn định hữu hạn. Hơn thế nữa, mọi đồng cấu f từ R tới vành ổn định hữu hạn 1R đều tồn tại duy nhất một đồng cấu 1: f R R′ → sao cho f f p′=  ( p là phép chiếu tự nhiên của R lên R ). Hình 2.1: Sơ đồ giao hoán 2 Chứng minh * Vành R R u= là ổn định hữu hạn. Cho ( ), nA B M R∈ thỏa AB I= thì ij ijI AB c E− = ∑ trong đó ijc u∈ , ijE : là các ma trận đơn vị. Sử dụng định nghĩa của u trên mỗi ijc ta có thể tìm một phương 1R R R R u= p f f ′ 32 trình ( ) 1 r k k k k k I AB U I Y X V = − = −∑ trong đó ( ), kk k m X Y M R∈ thỏa k kX Y I= và , k kU V có cấp tương ứng kn m× và km n× . Cho ( ) ( )1 1,..., ; ,...,r rX diag X X Y diag Y Y= = . ( ) ( )1 1,..., ; V ,..., t r rU U U V V= = . trong đó V là ma trận với các cột 1,..., rV V , ta không chuyển vị iV . Khi đó, ta có XY I= và ( )I AB U I YX V− = − . Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng 1: ... rm m m n= + + ≥ . Sau đó cộng các hàng 0 vào U và cột 0 vào V . Ta có thể giả thiết xa hơn rằng ( ), mU V M R∈ với ( )mI A B U I YX V′ ′− = − , trong đó ( ) ( ), ; , m n m nA diag A I B diag B I− −′ ′= = . Bây giờ cho ( )C A X U I YX′= + − , ( )D YB I YX V′= + − . trong đó tất cả các ma trận có