Luận văn Xác định nguồn nhiệt bên trong của thanh bị chôn một phần

xφ λ . Do đó với toán tử 2 2 ( ) dL q x dx = − + , ( , ) ( , ') ( , ') ( , ) b b a a x L x dx x L x dxφ λ φ λ φ λ φ λ=∫ ∫ . Suy ra 4 Trường hợp sin 0α = xem [11] trang 10. (1.15) 16 ( ') ( , ) ( , ') 0 b a x x dxλ λ φ λ φ λ− =∫ . Nếu 'λ λ≠ thì ( , ) ( , ') 0 b a x x dxφ λ φ λ =∫ . Từ đây ta kiểm tra5 được tất cả các không điểm của ( )ω λ là các không điểm đơn và là số thực. Khi đó ( , )nxφ λ là hàm riêng và 0 1, ,...λ λ là các giá trị riêng của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13). Hơn nữa các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt là trực giao. Định lý 1.3.3 (Rouché). Cho hàm phức f và g giải tích trên và trong đường cong kín C đơn liên và không tự cắt, với g f< trên C. Thì f và f + g có số không điểm bằng nhau trong C, ở đây số không điểm được đếm theo số bội của nó. Gọi Cn là đường viền đóng trong λ – phẳng có phương trình 2sλ = , ta có nC đối xứng qua trục thực. Giả sử nửa trên của đường viền nC tương ứng với s itσ= + thuộc góc phần tư thứ nhất tạo bởi các đường 1 2 n b a π σ  +   = − nếu 1 20 n t b a π +   ≤ ≤ − , 1 2 n t b a π +   = − nếu 1 20 n b a π σ  +   ≤ ≤ − . Đặt { }( ) sin ( ) sin sinf x b aλ λ α β= − và ( )( ) ( )t b ag x o e −= . Khi đó ( ) ( )g fλ λ< trên Cn nếu n đủ lớn. Do đó ( )ω λ và sin{ ( )}b aλ λ − có số không điểm giống nhau trong Cn. Các không điểm của { }sin ( )b aλ λ − là 2 2 2 2 20; ;...; ;...( ) ( ) n b a b a π πλ = − − . Suy ra nếu 0 1, ,...λ λ và 2 n nsλ = là không điểm của ( )ω λ thì 5 Xem [11] trang 12 17 1 1 2 ( ) 2 ( )n n s n b a b a π π   − < < +   − −    với n đủ lớn. Đặt n n ns b a π δ= + − thay vào (1.14) ta được 1n o n  =     δ . Suy ra 1 n ns o b a n  = +  −   π . (1.17) Tiếp sau đây ta tìm hiểu vài tính chất của không điểm hàm riêng nhằm hiểu rõ hơn về phổ ở phần sau. Định lý 1.3.4 (Định lý so sánh). Giả sử ( )u x là nghiệm của phương trình '' ( ) 0u g x u+ = thỏa điều kiện đầu ( ) sinu a = α , '( ) osu a c= − α và ( )v x là nghiệm của phương trình '' ( ) 0v h x v+ = cùng thỏa điều kiện đầu. Trong đó ( ) ( )g x h x< trên [a,b]. Nếu ( )u x có m không điểm trong khoảng a x b< ≤ thì ( )xν có không ít hơn m không điểm trong cùng khoảng và không điểm thứ k của ( )xν nhỏ hơn không điểm thứ k của ( )u x . Giả sử ( , )xϕ λ là nghiệm của (1.11) – (1.12), (1.13). Các không điểm của phương trình ( , ) 0x =ϕ λ , a x b≤ ≤ là hàm liên tục theo biến λ . Bổ đề 1.3.5. Nếu 0x 0( )a x b đủ nhỏ thì tồn tại 0δ > sao cho với 0λ λ δ− < , hàm ( , )xϕ λ có chính xác một không điểm trong khoảng 0x x ε− < . Nhận xét. Các không điểm của ( , )xϕ λ di chuyển đều về bên trái khi λ tăng. Định lý 1.3.6 (Định lý dao động). Các giá trị riêng của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13) lập thành một dãy ( )nλ đếm được, tăng, thỏa ...0 1 2λ λ λ< < < và lim nn λ→∞ = ∞ . Hàm riêng tương ứng với giá trị riêng nλ có chính xác m không điểm trong khoảng a x b< < . 18 Dãy các hàm riêng tương ứng lập thành hệ trực giao đầy đủ trong không gian các hàm bình phương khả tích trên ( , )a b . Định lý 1.3.7 (Định lý khai triển). Nếu ( )f x có đạo hàm cấp hai liên tục và thỏa điều kiện biên (1.12) , (1.13) khi đó ( )f x có thể khai triển thành chuỗi Fourier hội tục tuyệt đối đều với các hàm riêng của bài toán biên đầu (1.11) – (1.12) , (1.13) 0 ( ) ( )n n n f x a xν ∞ = = ∑ trong đó ( ) ( ) , b n n a a f x x dxν= ∫ 1,2,...n = , 1( ) ( , ),n n n x xν φ λ α = 1,2,...n = , 2 2 ( , ) , b n n a x dxα φ λ= ∫ 1,2,...n = . Định lý 1.3.8 (Đẳng thức Parseval). Mỗi hàm ( )f x bình phương khả tích trên [ , ]a b ta có đẳng thức Parseval 2 2 00 ( ) b n n f x dx a ∞ = = ∑∫ . 1.3.2. Toán tử Sturm – Liouville suy biến Bài toán biên 2 2 ( ) d y q x y y dx λ− + = , 0 x≤ < ∞ (1.18) với ( )q x là hàm liên tục. Gọi u ivλ = + , giả sử ( ) ( , )x xϕ ϕ λ= và ( ) ( , )x xφ φ λ= là nghiệm của phương trình (1.11) thỏa điều kiện đầu (với α là số thực) (0) sin , '(0) cos , (0) cos , (0) sin . ϕ α ϕ α θ α θ α = = − = = − (1.19) Ta có 2 2 0{ , } sin cos 1W ϕ θ α α= + = . Nên nghiệm tổng quát của phương trình (1.18) có dạng ( ) ( )x l xφ ϕ+ . Giả sử nghiệm này thỏa tại b điều kiện { } { }( ) ( ) cos '( ) '( ) sin 0b l b b l bθ ϕ β θ ϕ β+ + + = , (1.20) 19 với b thực. Ta định nghĩa l từ điều kiện trên như sau ( )cot '( ) ( )cot '( ) b bl b b θ β θ ϕ β ϕ + = − + . (1.21) Đặt cotz β= thì ( ) '( )( , ) ( ) '( ) b z bl l z b z b θ θλ ϕ ϕ + = = − + . (1.22) Cố định b và cho z thay đổi từ −∞ tới +∞ thì l biểu diễn một đường tròn Cb trong mặt phẳng phức. Với 0 'b b< < ta có 'b bC C⊃ . Nên khi b →∞ đường tròn bC hội tụ tới một đường tròn giới hạn hoặc điểm giới hạn. Đặt ( )m m λ= là điểm giới hạn hoặc điểm tùy ý trên đường tròn giới hạn. Định lý 1.3.9. Nếu 2( )q x kx≥ − , trong đó k là hằng số dương, thì ( )m m λ= là điểm giới hạn. Định lý 1.3.10. Với mỗi giá trị λ không thực, phương trình (1.18) có một nghiệm ( , ) ( , ) ( ) ( , )x x m xψ λ θ λ λ ϕ λ= + thuộc 2 (0, )L ∞ . Với β cố định ( )l l λ= là hàm giải tích theo biến λ , thực ra là hàm phân hình, chính qui có cực điểm nằm trên trục thực. Hơn nữa cực điểm này là không điểm của ( b, )cos '( b, )sin+ϕ λ β ϕ λ β . Ở đây xét ( )m λ là hàm giải tích chỉ có cực điểm đơn 0 1 2, , ,...λ λ λ trên trục thực với residue 0 1 2, , ,...r r r Định lý 1.3.11. Với mỗi giá trị không thực λ , tồn tại dãy kb sao cho ( , ) ( , ) k k b x xψ λ ψ λ →∞→ , và 2 2 0 0 ( , ) ( , ) k b b k b x dx x dxψ λ ψ λ →∞→∫ ∫ . Giả sử nλ là giá trị riêng và n ivλ λ= + , 0→ν . Ta thấy ( , )nxϕ λ thuộc 2 (0, )L ∞ và 0 1( , ) ( , )n n x x dxψ λ ϕ λ λ λ ∞ = −∫ . (1.23) Nếu λ tiến tới mλ không là giá trị riêng, nhân (1.23) với m iv r , cho 0v → 0 ( , ) ( , ) 0m nx x dxϕ λ ϕ λ ∞ =∫ . 20 Nếu λ tiến tới nλ thì { }2 0 1( , )n n x dx r ϕ λ ∞ =∫ . Do đó họ hàm 1 2( ) ( , )n n nx r xψ ϕ λ= . là một hệ trực chuẩn. Định lý 1.3.126. i) Giải sử ( )f x là tích phân của hàm liên tục tuyệt đối và ( ) ( ) ( ) ''( )f x q x f x f x= − thuộc 2 (0, )L ∞ , (0)cos '(0)sin 0f f+ =α α và lim W{ ( , ), ( )} 0 x x f xψ λ →∞ = với mỗi λ không thực. Khi đó 0 ( ) ( )n n n f x c xψ ∞ = =∑ , 0 x≤ < ∞ chuỗi hội tụ tuyệt đối đều trong mỗi khoảng hữu hạn. ii) Giả sử ( )f x thuộc 2 (0, )L ∞ , khi đó 2 2 00 ( ) b n n f x dx c ∞ = = ∑∫ , với nc là hệ số Fourier của hàm ( )f x đối với hệ trực chuẩn các hàm riêng. 1.3.3. Đẳng thức Parseval trên nửa đường thẳng Xét phương trình (1.18) với 0 x≤ < ∞ thỏa điều kiện biên (1.12). Giả sử ( , )xαϕ λ là nghiệm của phương trình (1.18) thỏa điều kiện đầu (0, ) sinαϕ λ α= , ' (0, ) cosαϕ λ α= − (1.24) thì rõ ràng ( , )xαϕ λ thỏa điều kiện biên (1.12). Ký hiệu ,n bλ và , ,( ) ( , )n b n bx xαϕ ϕ λ= lần lượt là giá trị riêng và hàm riêng của bài toán (1.11) – (1.24), (1.13). Nếu 2( ) (0, )f x L b∈ và 2 2 , , 0 ( , ) b n b n bx dxαα ϕ λ= ∫ 6Xem [11] Theorem 2.7 trang 31. 21 thì đẳng thức Parseval 2 2 ,2 0 ,0 0 1( ) ( , ) ( ) b b n b n n b f x dx x f x dxαϕ λα ∞ =   =     ∑∫ ∫ . (1.25) Định nghĩa hàm bước không giảm ( )b tρ như sau , 2 0 , 1( ) n b b n bλ λ ρ λ α< ≤ = − ∑ , ( 0)λ ≤ , 2 0 , 1( ) n b b n bλ λ ρ λ α< ≤ = ∑ , ( 0)λ > tại những điểm không liên tục { }, , ,1( ) ( 0) ( 0)2b n b b n b b n br r rρ ρ ρ= − + + . Khi đó (1.25) được viết lại dưới dạng 2 2 0 ( ) ( ) ( ) b b bf x dx F dλ ρ λ ∞ −∞ =∫ ∫ (1.26) trong đó 0 ( ) ( ) ( , ) b bF f x x dxαλ ϕ λ= ∫ . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng phương trình Parseval của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13) trên [0, )∞ có thể được thiết lập từ (1.26) bằng cách cho b →∞ . Hơn nữa khai triển Fourier của hàm ( )f x với cơ sở trực chuẩn ,{ }n b nψ có thể biểu diễn dưới dạng ,2 0 , 1( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )b n n b b b n n b f x F x F x dα αλ ϕ λ λ ϕ λ ρ λα ∞∞ = −∞ = =∑ ∫ . Bổ đề 1.3.13. Hàm ( )bρ λ bị chặn trên mọi khoảng hữu hạn, độc lập với b. Nói cách khác với N nguyên dương bất kỳ thì tồn tại hằng số dương ( )A A N= , không phụ thuộc vào b, sao cho , 2 , 1 ( ) ( ) n bN N n b N N A λ ρ ρ α− < ≤ = − − <∑ . Từ định lý trên và lý thuyết chọn của Helly, nếu 0 uλ≤ ≤ , là khoảng hữu hạn bất kỳ, tồn tại hàm bị chặn không giảm ( )ρ λ sao cho ( ) ( )bρ λ ρ λ→ với 0 uλ≤ ≤ khi b →∞ . Hàm ( )ρ λ có thể được mở rộng trên toàn khoảng 0 λ≤ < ∞ bằng phương pháp đường chéo. 22 Bổ đề 1.3.14. Giả sử ( )nf x triệt tiêu bên ngoài khoảng 0 x n≤ ≤ , n b< và có đạo hàm cấp hai liên tục và thỏa điều kiện biên (1.12) . Ta có 2 2 0 ( ) ( ) ( )n nf x dx F dλ ρ λ ∞ ∞ −∞ =∫ ∫ với 0 ( ) ( ) ( , )n nF f x x dxαλ ϕ λ ∞ = ∫ . Chứng minh Áp dụng (1.26) ta có 2 2 2 , 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n b n n n b bf x dx f x dx F dλ ρ λ ∞ −∞ = =∫ ∫ ∫ (1.27) với , 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) b n n b n nF f x x dx f x x dxα αλ ϕ λ ϕ λ= =∫ ∫ . Vì cả ( )nf x và ( , )xαϕ λ thỏa mãn điều kiện biên (1.12) và ( )nf x triệt tiêu trong lân cận của b, suy ra '' '' , 0 0 1 1( ) ( ){ ( , ) ( ) ( , )} ( , ){ ( ) ( ) ( )} n b b n b n nF f x x q x x dx x f x q x f x dxα α αλ ϕ λ ϕ λ ϕ λλ λ = − − = − −∫ ∫ . Do đó với bất kỳ 0N > ta có 2 2 '' , 2 0 1( ) ( ) ( , ){ ( ) ( ) ( )} ( ) n b n b b n b N N F d x f x q x f x d N αλ λ λ ρ λ ϕ λ ρ λ > >   ≤ −    ∫ ∫ ∫ 2 '' 2 0 1 ( , ){ ( ) ( ) ( )} ( ) n b n bx f x q x f x dN α ϕ λ ρ λ ∞ −∞   < −    ∫ ∫ '' 2 2 0 1 { ( ) ( ) ( )} n b nf x q x f x dxN = −∫ '' 2 2 0 1 { ( ) ( ) ( )} n n nf x q x f x dxN = −∫ . Kết hợp với (1.26) suy ra 2 2 '' 2 , 2 0 0 1( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( )} n n N n n n b b n N f x dx F d f x q x f x dx N λ ρ λ − − < −∫ ∫ ∫ . Mặt khác áp dụng định lý Helly – Bray với N cố định 23 2 2 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N b n b b n b n N N N F d F d F dλ ρ λ λ ρ λ λ ρ λ→∞ − − − = →∫ ∫ ∫ . Suy ra 2 2 '' 2 2 0 0 1( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( )} n N n n n n N f x dx F d f x q x f x dx N λ ρ λ ∞ − − ≤ −∫ ∫ ∫ . Cho N →+∞ ta có 2 2 0 ( ) ( ) ( )n nf x dx F dλ ρ λ ∞ ∞ −∞ =∫ ∫ . Định lý 1.3.15. (Định lý Weyl) Giả sử 2 (0, )f L∈ ∞ , khi đó tồn tại hàm đơn điệu không giảm ( )ρ λ , không phụ thuộc vào f và hàm ( ) 0 ( ) lim ( ) ( , ) n n F f x x dx α αρ λ ϕ λ →∞ = ∫ thuộc 2 ( , )L dρ sao cho 2 2 0 ( ) ( ) ( )f x dx F dα λ ρ λ ∞ ∞ −∞ =∫ ∫ . Chứng minh Giả sử ( )f x thuộc 2 (0, )L ∞ . Khi đó tồn tại dãy hàm ( )nf x thỏa điều kiện bổ đề 1.3.14 (bằng không bên ngoài đoạn [0, ]n , thỏa điều kiện biên (1.12) và có đạo hàm cấp hai liên tục) sao cho { }2 0 lim ( ) ( ) 0nn f x f x dx ∞ →∞ − =∫ . Đặt 0 ( ) ( ) ( , )n nF f x x dxαλ ϕ λ ∞ = ∫ . Khi đó { } { }2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0m n m nF F d f x f x dxλ λ ρ λ ∞ ∞ −∞ − = − →∫ ∫ khi ,m n →∞ . Vì không gian các hàm bình phương khả tích là đầy đủ đối với độ đo Lebesgue nên trong 2 ( , )L dρ dãy hàm { }( )n nF λ hội tụ đến hàm 2 ( , )F L dρ∈  hay { }2lim ( ) ( ) ( ) 0nn F F dλ λ ρ λ ∞ →∞ −∞ − =∫ . Hơn nữa 24 { } { }22( ) ( ) ( )nF F dλ λ ρ λ ∞ −∞  − ∫ { } { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nF F F d F F F dλ λ λ ρ λ λ λ λ ρ λ ∞ ∞ −∞ −∞ = − + −∫ ∫ { } 1 222 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nF d F F dλ ρ λ λ λ ρ λ ∞ ∞ −∞ −∞   ≤ − +    ∫ ∫ { } { } 1 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nF d F F dλ ρ λ λ λ ρ λ ∞ ∞ −∞ −∞   + −    ∫ ∫ tiến tới 0 khi n →∞ . Suy ra 2 2 0 ( ) ( ) ( )f x dx F dλ ρ λ ∞ ∞ −∞ =∫ ∫ (1.28) đúng với mọi hàm ( )f x thuộc 2 (0, )L ∞ . Quan hệ (1.28) gọi là đẳng thức Parseval. Hàm ( )F λ gọi là chuyển đổi của hàm ( )f x . Nếu ( )g x là một hàm thuộc 2 (0, )L ∞ và ( )G λ là chuyển đổi của nó, ta có 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx F G dλ λ ρ λ ∞ ∞ −∞ =∫ ∫ . (1.29) Quan hệ (1.29) gọi là đẳng thức Parseval tổng quát. Đẳng thức này còn được viết dưới dạng tượng trưng ( , ) ( , ) ( ) ( )x y d x yα αϕ λ ϕ λ ρ λ δ +∞ −∞ = −∫ . (1.30) với ( )xδ là hàm Dirac delta7.  Ta có thể kiểm chứng định lý Weyl là trường hợp đặc biệt của định lý 1.2.11 với ( ) ( , ) ( )E f F x d λ λ λ ϕ λ ρ λ −∞ = ∫ , 0 ( ) ( ) ( , )F f t t dtλ ϕ λ ∞ = ∫ Định lý 1.3.16 i) Giả sử 2( ) (0, )f x L∈ ∞ và 0 ( ) ( ) ( , ) a aF f x x dxαλ ϕ λ= ∫ . Khi a →∞ thì 7 25 { }2( ) ( ) ( ) 0aF F dλ λ ρ λ ∞ −∞ − →∫ . ii) Giả sử 2( ) (0, )f x L∈ ∞ nếu ( ) 0 ( ) lim ( ) ( , ) n n F f x x dx α αρ λ ϕ λ →∞ = ∫ và ( ) ( ) ( , ) ( ) a a a f x F x dαλ ϕ λ ρ λ − = ∫ . Khi a →∞ { }2 0 ( ) ( ) 0af x f x dx ∞ − →∫ . Định lý 1.3.17. Giả sử f thuộc 2 (0, )L ∞ và chuyển đổi của nó ( )F λ thuộc 2 ( , )L d ρ thì ( ) ( ) ( , ) ( )f x F x dλ ϕ λ ρ λ ∞ −∞ = ∫ . Chứng minh Chúng ta đã chứng minh được rằng nếu f thuộc 2 (0, )L ∞ thì hàm chuyển đổi ( )F λ tồn tại và thuộc 2 ( , )L d ρ . Ta chỉ ra rằng ( )F λ có chuyển đổi ngược là f thuộc 2 (0, )L ∞ . Giả sử 2( ) (0, )g x L X∈ và ( ) 0g x = với x X> , và ( )G λ là chuyển đổi của nó. Khi đó { } 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X a b X a b b a f x f x g x dx F d g x dxλ ρ λ − −     − ≤ +        ∫ ∫ ∫ ∫ . Đặt ( ) ( ) ( )a bg x f x f x= − trong khoảng (0, )X . Khi đó { }2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) X a b a b b a f x f x dx F dλ ρ λ − −   − ≤ +    ∫ ∫ ∫ vì X bất kỳ nên { }2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b b a f x f x dx F dλ ρ λ ∞ − −   − ≤ +    ∫ ∫ ∫ . Do đó dãy ( )af x hội tụ trong 2 (0, )L ∞ tới hàm ( )h x . Cho 0a = , b →∞ ta có 2 2 0 ( ) ( ) ( )h x dx F dλ ρ λ ∞ ∞ −∞ ≤∫ ∫ . 26 Hàm ( )h x được gọi là chuyển đổi ngược của ( )F λ . Nếu chúng ta bắt đầu từ hàm 2( ) (0, )f x L∈ ∞ với chuyển đổi ( )F λ và ( )F λ có chuyển đổi ngược ( )h x , khi đó cả ( )f x và ( )h x đều là giới hạn của dãy ( )af x trong 2 (0, )L ∞ . Do đó ( ) ( )f x h x= hầu khắp nơi, hay ( ) ( ) ( , ) ( )f x F x dλ ϕ λ ρ λ ∞ −∞ = ∫ .  Trong trường hợp bài toán tương ứng bắt đầu từ hàm bất kỳ ( )F λ thuộc 2 ( , )L d ρ người ta cũng chứng minh được tồn tại hàm f thuộc 2 (0, )L ∞ , hay nói cách khác có một tương ứng 1 – 1 giữa không gian 2 (0, )L ∞ và 2 ( , )L d ρ 8. 1.3.4. Phổ của toán Sturm – Liouville với 2 0∈ ∞( , )q L Xét bài toán 2 2 ( ) d y q x y y dx λ− + = , (1.31) (0)cos '(0)sin 0y yα α+ = . (1.32) trên nửa đường thẳng [0, )∞ . Ta đã biết định lý Weyl là trường hợp đặc biệt của định lý 1.2.11 với ( ) ( , ) ( )E f F x d λ λ λ ϕ λ ρ λ −∞ = ∫ , 0 ( ) ( ) ( , )F f t t dtλ ϕ λ ∞ = ∫ Kết hợp với định lý 1.2.12 suy ra phổ của toán tử Sturm – Liouville trên nửa đường thẳng [0, )∞ là phần bù của tập các điểm sao cho trong lân cận của những điểm đó hàm phổ ( )ρ λ là hàm hằng. Phổ điểm là tập hợp những điểm không liên tục của hàm phổ ( )ρ λ . Phổ liên tục là tập tất cả các điểm liên tục của ( )ρ λ . Những điểm của phổ rời rạc thì được gọi là giá trị riêng và nghiệm của bài toán tương ứng gọi là hàm riêng. Bổ đề 1.3.18. Giả sử rằng hàm 1 2 1( ), ( ), ( )h x h x g x và 2 ( )g x không âm trên khoảng 0 x X≤ ≤ và giả sử 1( )h x , 2 ( )h x liên tục và 1( )g x , 2 ( )g x khả tích trên khoảng đó. Nếu 1 2 1 1 2 2 0 ( ), ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] , x h x h x C h t g t h t g t dt≤ + +∫ 0 x X≤ ≤ (1.33) trong đó C là một hằng số thì 27 1 2 1 1 0 ( ), ( ) ex [ ( ) ( )] , x h x h x C p g t g t dt   ≤ +    ∫ 0 x X≤ ≤ . (1.34) Giả sử ( , )xϕ λ là nghiệm của phương trình (1.31) thỏa điều kiện (0, ) sinϕ λ α= và '(0, ) cosϕ λ α= − , từ (1.14) suy ra 0 sin s 1( , ) cos sin cos sin{ ( )} ( ) ( , ) xxx sx s x t q t t dt s s ϕ λ α α ϕ λ= − + −∫ . (1.35) Giả sử , 0s iσ τ τ= + ≥ , đặt 1( , ) ( , ) xx x e τϕ λ ϕ λ −= từ (1.35) và bổ đề 1.3.18 suy ra 1 0 1 1( , ) 1 exp ( ) x x q t dt s s ϕ λ     ≤ +           ∫ . Vì giả thuyết ( ) (0, )q t L∈ ∞ nên hàm 1( , )xϕ λ bị chặn trên 0 x≤ với 0τ ≥ . Suy ra ( , ) ( )tx o eτϕ λ = . (1.36) Trường hợp 1. Xét s là số thực dương. Với s ρ≥ hàm 1( , )xϕ λ bị chặn. Do đó từ (1.34) cho x →∞ . 0 sin s 1( , ) cos sin cos sin{ ( )} ( ) ( , )xx sx s x t q t t dt s s ϕ λ α α ϕ λ ∞ = − + −∫ 1 sin{ ( )} ( ) ( , ) x s x t q t t dt s ϕ λ ∞ − −∫ ( )cos ( )sin (1)sx sx o= + +µ λ ν λ . (1.37) Trong đó 0 1( ) sin sin s . ( ) ( , ) ,t q t t dt s µ λ α ϕ λ ∞ = − ∫ (1.38) 0 cos 1( ) coss . ( ) ( , ) .t q t t dt s s αν λ ϕ λ ∞ = − + ∫ (1.39) Vì tích phân (1.38) và (1.39) hội tụ đều với 0s ρ≥ > , suy ra ( )µ λ và ( )ν λ là hàm liên tục với biến s. Tương tự, nếu ( , )xθ λ là nghiệm của (1.11) thỏa điều kiện (0, ) cosθ λ α= , '(0, ) sinθ λ α= − ta có 1 1( , ) ( )cos ( )sin s (1)x sx x oθ λ µ λ ν λ= + + . (1.40) Trong đó 8 Xem [11] trang 139 – 142. 28 1 0 1( ) sin sin s . ( ) ( , ) ,t q t t dt s µ λ α θ λ ∞ = − ∫ (1.41) 1 0 cos 1( ) coss . ( ) ( , ) .t q t t dt s s αν λ θ λ ∞ = − + ∫ (1.42) Do 0W { , } 1ϕ θ = . Suy ra 1 1{ ( ) ( ) ( ) ( )} (1) 1s o− + =µ λ ν λ µ λ ν λ . Khi tính toán vế trái không phụ thuộc vào x, nên 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )− =µ λ ν λ µ λ ν λ λ . (1.43) Suy ra hàm ( )µ λ và ( )ν λ không triệt tiêu tại cùng một giá trị λ . Trường hợp 2. Xét s là số phức. Trong (1.35) với τ dương cố định cho x →∞ is is is( ) 0 1 1( , ) sin cos ( ) ( ) ( , ) 2 2is 2 xx x x x tex e o e e q t t dt is − − − − −= + + − ∫τϕ λ α α ϕ λ ( ) 0 ( ) ( , ) x x to e q t t dt− −   +     ∫ τ ϕ λ Vì (1.36) nên isx( , ) { ( ) (1)}x t e M o−= +ϕ λ (1.44) trong đó is 0 1 1 1( ) sin cos ( ) ( , ) 2 2 2 tM e q t t dt is is λ α α ϕ λ ∞ = + − ∫ . (1.45) Tương tự isx 1( , ) { ( ) (1)}x t e M o −= +θ λ (1.46) trong đó is 1 0 1 1 1( ) cos sin ( ) ( , ) 2 2 2 tM e q t t dt is is λ α α θ λ ∞ = − − ∫ . (1.47) Định lý 1.3.19. Nếu ( ) (0, )q t L∈ ∞ thì phổ âm tương ứng của bài toán (1.31) – (1.32) là rời rạc và bị chặn dưới. Chứng minh 29 Giả sử 0b > , xét bài toán biên (1.11) – (1.12), (1.13) trên khoảng [0, ]b . Trong (1.45) ( )M λ là hàm giải tích theo biến s, chính qui với Ims 0> , các không điểm là điểm cô lập. Do đó với mỗi 0 0λ < số không điểm của phương trình ( , ) 0xϕ λ = nằm trong khoảng 0λ λ−∞ < ≤ là điểm cô lập. Do đó các điểm tăng của hàm ( )bρ λ trong khoảng 0λ λ−∞ < ≤ là cô lập. Vì vậy phổ rời rạc trên 0λ−∞ < < , hơn nữa bị chặn dưới. Thật vậy với s = it, khi t →∞ mà sin 0α ≠ thì ( ) sin 2M λ α→ , ngược lại sin 0α = thì ( ) 2M tλ → ± . Tiếp theo ta xét phần phổ dương. Theo kết quả (1.42) ta có ( )µ λ và ( )v λ không đồng thời bằng không , đặt ( ) 1 2 2 2 ( ) sin ( ) ( ) ( )v µ λ δ λ µ λ λ = + , ( ) 1 2 2 2 ( ) cos ( ) ( ) ( ) v v λ δ λ µ λ λ = + . Cho x →∞ ta viết (1.37) dưới dạng ( ) [ ] 1 2 2 2( , ) ( ) ( ) sin ( ) (1)x v sx oϕ λ µ λ λ δ λ= + + + . (1.48) Giả sử (1 ) ( ) (0, )x q x L+ ∈ ∞ , (1.49) đạo hàm (1.35) theo biến s, ta được ( ) [ ] 1 2 2 2' ( , ) ( ) ( ) sin ( ) (1)x x v sx os ϕ λ µ λ λ δ λ  ∂ = + + +  ∂   . (1.50) Giả sử b là số dương rất lớn, để đơn giản trong điều kiện biên (1.13) cho 0β = . Khi đó giá trị riêng dương của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13) xác định từ phương trình [ ]sin ( ) (1)sx oδ λ+ = . (1.51) Giả sử s1 là một nghiệm dương của phương trình (1.51). Lưu ý ( ) (1)oδ λ = thì 1 1( ) (1)s b m oδ λ π+ = + , 1 1( )s λ= . (1.52) Giả sử s2 là nghiệm tiếp theo 2 2( ) (1)s b m oδ λ π+ = + , 2 2( )s λ= , (1.53) hoặc 2 2( ) ( 1) (1)s b m oδ λ π+ = + + . (1.54) Nhưng (1.53) là không thể. Thật vậy, nếu (1.53) xãy ra thì theo định lý Rolle phương trình ' ( , ) 0x xϕ λ = có một nghiệm s3 nằm giữa hai nghiệm s1 và s2 thỏa điều kiện 3 3( ) (1)s b m oδ λ π+ = + mâu thuẫn với (1.49). Trừ (1.52) cho (1.53) và ( )δ λ là hàm liên tục, ta thu được công thức tiệm cận cho hai giá trị riêng 1λ và 2λ của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13) 30 2 1 1s s o b b π  − = +     , ( , 1,2)i is iλ= = . (1.55) Định lý 1.3.20. Nếu (0, )q L∈ ∞ , 0λ > và 0∆ > , thì 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) dλ λ λρ λ ρ λ π λ µ λ ν λ +∆ + ∆ − =  +  ∫ . (1.56) Tức là phổ của bài toán (1.31) – (1.32) liên tục trên khoảng (0, )∞ . Chứng minh Giả sử ký hiệu 1,bλ , 2,bλ là các giá trị riêng của bài toán (1.11) – (1.12), (1.13) và 1,( , )bxϕ λ , 2,( , )bxϕ λ là hàm riêng tương ứng. Giả sử q thỏa điều kiện (1.49). Khi đó theo định nghĩa của ( )bρ λ và công thức tiệm cận (1.55) ta có 2 , 0 1( ) ( ) ( , )n b b b n bx dx λ λ λ ρ λ ρ λ ϕ λ< ≤ +∆ + ∆ − = ∑ ∫ 1, , 2 1, , , 0 ( ) ( , )n n b n b b n b n b n b s s s s x dxλ λ λ ϕ λ + < ≤ +∆ + − = − ∑ ∫ 1, , 2 1, , , 0 1 1( ) ( , ) (1)n n b n b b n b n b n bs s x dx ob λ λ λ λ λ π ϕ λ + < ≤ +∆ + − = + + ∑ ∫ . Từ công thức (1.37) suy ra 2 2 2 , , , 0 1 1( , ) ( ) ( ) (1) 2 b n b n b n bx dx v ob ϕ λ µ λ λ = + + ∫ . Do đó 1, ,2 2 , , , 1 1( ) ( ) (1) ( ) ( ) ( )n b b n b n b n b n b n b o s vλ λ λ ρ λ ρ λ λ λ π µ λ λ +< ≤ +∆   + ∆ − = + × −   +    ∑ . Qua giới hạn khi b →∞ , định lý được chứng minh cho trường hợp ( )q x thỏa điều kiện (1.49). Giả sử ( )q x không thỏa điều kiện (1.42), đặt ( ), 0 , ( ) 0 , .n q x x n q x x n ≤ ≤ =  > Hàm số ( )nq x thỏa điều kiện (1.49). Do đó tồn tại các hàm ( )n xρ , ( )n xµ và ( )nv x tương ứng với ( )nq x sao cho 31 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n dλ λ λρ λ ρ λ π λ µ λ ν λ +∆ + ∆ − =  +  ∫ . Qua giới hạn n →∞ ta được (1.56). Định lý 1.3.219. Nếu sin 0α ≠ ta có xấp xỉ 2 3 2 cos( ) ( ) (1) sin sin o= + −∞ + +αρ λ λ ρ π α α . (1.57) Nếu sin 0α = , cho λ →∞ , ta có xấp xỉ 32( ) ( ) 3 o= +ρ λ λ λ π (1.58) 1.3.5. Lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan10 1.3.5.1. Bài toán ngược trên khoảng [0, )∞ Xét phương trình (1.11) với 0 x≤ < ∞ thỏa điều kiện biên (1.12). Giả sử ( , )xϕ λ là nghiệm của phương trình (1.11) thỏa điều kiện đầu (0, ) sinϕ λ α= , '(0, ) cosϕ λ α= − . Từ đẳng thức (1.30) ta có biểu diễn ( , ) ( , ) ( ) ( )x y d x yϕ λ ϕ λ ρ λ δ +∞ −∞ = −∫ (1.59) và 1/2 1/2 0cos cos ( ) ( )x yd x yλ λ ρ λ δ +∞ −∞ = −∫ . (1.60) với ( )xδ là hàm Dirac delta, ( )ρ λ là hàm phổ của bài toán '' ( ) , (0 ) (0) 1, '(0) . y q x y y x y y h λ− + = ≤ < ∞  = = (1.61) ( )q x là hàm thực liên tục, h là số thực, h ≠ ∞ , 0 2( )ρ λ λ π = , 0≥λ là hàm phổ của bài toán '' , (0) 1, '(0) 0. y y y y λ− =  = = (1.62) Chú ý ở đây ta có ( , )xϕ λ là nghiệm của bài toán (1.61) và cos xλ là nghiệm của bài toán (1.62). Khi đó ta có chuyển đổi11 9 Xem chứng minh trong [9] trang 308 – 311. 10 Các định lý ở mục này hầu hết không chứng minh, tham khảo [8] trang 1 – 58. 32 0 ( , ) cos ( , )cos x x x K x t tdtϕ λ λ λ= + ∫ . (1.63) và chuyển đổi ngược 0 cos ( , ) ( , ) ( , ) x x x H x t t tdtλ ϕ λ ϕ λ= + ∫ . (1.64) với ( , )K x t và ( , )H x t là hàm liên tục. Mặt khác với 0 x y< < , từ (1.30) và (1.64) suy ra ( , )cos ( ) 0x ydϕ λ λ ρ λ ∞ −∞ =∫ . (1.65) Thay (1.63) vào vế trái của phương trình (1.65) ta được 0 0 os os ( , ) os os ( ) x c xc y K x t c tc ydt dλ λ λ λ ρ λ ∞ −∞   = +    ∫ ∫ (1.66) Đặt 0( ) ( ), 0( ) ( ) , 0 ρ λ ρ λ λ σ λ ρ λ λ − ≥ =  < . (1.67) ( , ) os os ( )F x y c xc ydλ λ σ λ ∞ −∞ = ∫ . (1.68) Khi đó 0 0 0 os os ( ) os os ( )c xc yd c tc ydλ λ σ λ λ λ ρ λ ∞ ∞ −∞ = +∫ ∫ 0 ( , ) os os ( ) x K x t c tc yd dtλ λ σ λ ∞ −∞   +     ∫ ∫ 0 0 0 ( , ) os os ( ) x K x t c tc yd dtλ λ ρ λ ∞  +     ∫ ∫ 0 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )= + − + +∫ x F x y x y K x t F t y dt K x yδ 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= + + ∫ x F x y K x y K x t F t y dt . Suy ra hạch ( , )K x t của (1.63) thỏa phương trình tích phân 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0+ + =∫ x F x y K x y K x t F t y dt , (0 )y x< ≤ < ∞ , (1.69) trong đó ( , )F x y được xác định tốt. 11 Toán tử chuyển đổi [8] trang 1 – 10. 33 Định lý 1.3.22. Dãy hàm ( , ) os os ( ) N NF x y c xc ydλ λ σ λ −∞ = ∫ , với 0( ) ( ), 0( ) ( ) , 0 ρ λ ρ λ λ σ λ ρ λ λ − ≥ =  < hội tụ bị chặn về hàm ( , )F x y . Hơn nữa, nếu ( )q x có đạo hàm liên tục đến cấp n trên [0, )∞ thì ( , )F x y có đạo hàm riêng liên tục đến cấp n +1 trên miền 0x y≥ ≥ . Để tìm ( , )F x y , ta đặt ( ) cos ( ) N NT x xdλ σ λ −∞ = ∫ , ( ) lim ( )NNT x T x→∞= , (1.70) khi đó với 0x y≥ ≥ [ ]1( , ) ( ) ( ) 2 F x y T x y T x y= + + − , 1 1( , ) (2 ) (0) 2 2 F x x T x T= + . Định lý 1.3.23. Cho điểm cố định 0x > bất kỳ, phương trình tích phân (1.69) có ng