Luận văn Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes

( ) . R v x G x y y dyτ τ ϕ= ∫ Suy ra ( , ) ( , , , ) ( ) . (1.7) R u x t G x T t y T y dyϕ= −∫ Với ( , , , )G x T t y T− là hàm Green của bài toán \eqref{b3}.\\ Để thuận lợi cho việc trình bày đôi khi ta dùng ký hiệu hàm Green là ( , , , )G x t y T hay ( , , )G x t y . 1.4 Phép tính ngẫu nhiên 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên Một không gian xác suất là ( , , )PΩ  . Ω gọi là không gian mẫu. Mỗi phần tử ω∈Ω gọi là một biến cố sơ cấp. 17  là σ − đại số các biến cố, nghĩa là a. ,Ω∈ b. nếu A∈ thì cA AΩ = ∈  , c. nếu 1 2, ,...A A ∈ thì 1n nA ∞ =∪ ∈ . Mỗi tập A∈ gọi là một biến cố. P là độ đo xác suất xác định trên  , nghĩa là :P R→ thỏa các điều kiện sau a. ( ) 0P A ≥ với mọi ,A∈ b. ( ) 1P Ω = , c. nếu 1 2, ,...A A ∈ và ( )i jA A i j∩ =∅ ≠ thì 1 1 ( ) ( )n n n n P A P A ∞ ∞ = = ∪ =∑ . Biến ngẫu nhiên X là ánh xạ :X RΩ→ sao cho { } { ( ) } ,X x X xω ω< = ∈Ω < ∈∣ hoặc phát biểu một cách tương đương 1( ) { ( ) } ,X B X Bω ω− = ∈Ω ∈ ∈∣ với mọi tập $ B $ là các tập Borel của R .\\ Cho không gian xác suất ( , , )PΩ  . Giả sử T là tập vô hạn.\\ Xét hàm :X T RΩ× → ( , ) ( , ),t X tω ω→ sao cho ( , )X tω là biến ngẫu nhiên với mọi t T∈ . Cố định , ( , )X tω ω∈Ω là hàm của biến t. Khi đó ( , )X tω gọi là hàm ngẫu nhiên, thường được viết gọn lại ( )tX ω hay tX , và { , }tX t T= ∈X là quá trình ngẫu nhiên. Khi cố định ,ω∈Ω thì ( , ) (• ) , :X t X t T Rω = → là hàm số của t T∈ ta gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên { , }tX t T= ∈X ứng với ω . 18 1.4.2 Chuyển động Brownian hay quá trình Wiener Định nghĩa Cho quá trình ngẫu nhiên { , [0, )}.tW t= ∈ ∞W Ta nói W là một chuyển động Brownian nếu i. 0 0W = , ii. W là quá trình có gia số độc lập, iii. Với 0 , t ss t W W≤ < − là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng ( )t s− , iv. W là quá trình ngẫu nhiên liên tục, tức là hầu hết quỹ đạo của W là hàm liên tục. 1.4.3 Bộ lọc cho chuyển động Brownian Định nghĩa Cho ( , , )PΩ  là một không gian độ đo xác suất, ( ), 0W t t ≥ là một chuyển động Brownian. Một bộ lọc cho chuyển động Brownian là một họ các σ -đại số ( ), 0t t ≥ thỏa mãn các tính chất (i)(Tính tích lũy thông tin) ( ) ( ),0s t s t⊂ ≤ <  , (ii)](Thích nghi) Mỗi 0, ( )t W t≥ là ( )t - đo được. 1.4.4 Công thức Itô - Doeblin Định nghĩa Cho ( )f t là hàm số xác định trên với 0 t T≤ ≤ . Biến phân cấp hai của hàm $ f $ trên đoạn $ [0, T] $ là 1 2 1 00 [ , ]( ) lim [ ( ) ( ) ] , n j j j f f T f t f t − + =→ = −∑ ∏ trong đó 0 1{ , ,..., }nt t t=∏ là một phân hoạch với 0 10 ... .nt t t T= < < < = Định lý (Công thức Itô - Doeblin cho chuyển động Brownian0 Cho ( , )f t x là hàm có , ,t x xxf f f xác định và là những hàm liên tục và ( )W t là chuyển động Brownian. Với mọi 0,T ≥ ta có 19 0 ( , ( )) (0, (0)) ( , ( )) T tf T W T f W f t W t dt= + ∫ 0 0 1( , ( )) ( ) ( , ( )) . (1.8) 2 T T x xxf t W t dW t f t W t dt+ +∫ ∫ Chú ý Sử dụng khai triển Taylor đến hạng tử cấp 2 cho hàm ( , ( )))f t W t ta có 1( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) 2t x xx df t W t f t W t dt f t W t dW t f t W t dW t dW t= + + 1( , ( )) ( , ( )) . 2tx tt f t W t dtdW f t W t dtdt+ + Mà ( )· ( ) , · ( ) · 0dW t dW t dt dt dW t dt dt= = = , nên ta có dạng vi phân của công thức Itô - Doeblin như sau 1( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) . 2t x xx df t W t f t W t dt f t W t dW t f t W t dt= + + Định nghĩa (Quá trình Itô) Cho ( ), 0W t t ≥ là một chuyển động Brownian, ( ), 0t t ≥ là một bộ lọc tương ứng. Một quá trình Itô là quá trình có dạng: 0 0 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) t t X t X u dW u u du= + ∆ + Θ∫ ∫ trong đó (0)X không ngẫu nhiên và ( ), ( )u u∆ Θ là quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc cho ( ), 0W t t ≥ . khi đó theo [15,143] ta có kết quả. Bổ đề Biến phân cấp 2 của quá trình Itô ( )X t là 2 0 [ , ]( ) ( ) t X X t u du= ∆∫ . Định lý (Công thức Itô - Doeblin cho quá trình Itô)} Cho ( ), 0X t t ≥ , là quá trình Itô. ( , )f t x là hàm có , ,t x xxf f f xác định và là những hàm liên tục. Khi đó 0T∀ ≥ ta có 0 ( , ( )) (0, (0)) ( , ( )) T tf T X T f X f t X t dt= + ∫ 0 0 1( , ( )) ( ) ( , ( )) [ , ]( ) 2 T T x xxf t X t dX t f t X t d X X t+ +∫ ∫ 20 0 0 (0, (0)) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( ) (1.9) T T t xf X f t X t dt f t X t t dW t= + + ∆∫ ∫ 2 0 0 1( , ( )) ( ) ( ) ( , ( )) ( ) . 2 T T x xxf t X t t d t f t X t t dt+ Θ + ∆∫ ∫ Trong đó [ , ]( )X X t là biến phân cấp 2 của quá trình Itô ( )X t .( Xem [15, tr.146]) Chú ý Công thức (1.9) có thể viết dưới dạng vi phân 1( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) (( ) 2t x xx df t X t f t X t dt f t X t dX t f t X t dX t dX t= + + 21( , ( )) ( , ( )) ( ) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) ( , ( )) ( ) . (1.10) 2t x x xx f t X t dt f t X t t dW t f t X t t d t f t X t t dt= + ∆ + Θ + ∆ 21 Chương 2 Phương trình Black - Scholes 2.1 Sơ lược về thị trường quyền chọn Quyền chọn (option) là một loại chứng khoán phái sinh cho phép người sở hữu nó có quyền (nhưng không bắt buộc) được mua hay bán một tài sản (tài sản cơ sở) tại một mức giá xác định (strike price) vào một ngày xác định trong tương lai ngay tại thời điểm thỏa thuận hợp đồng . Có 2 loại quyền chọn là quyền chọn mua và quyền chọn bán. Quyền chọn mua (call option) cho phép người sở hữu nó được quyền mua một tài sản vào một ngày xác định và tại một mức giá xác định. Quyền chọn bán (put option) cho phép người sở hữu nó được quyền bán một tài sản vào một ngày xác định và tại một mức giá xác định. Quyền chọn, dù là quyền chọn mua hay quyền chọn bán, có hai kiểu quyền chọn: kiểu Châu Âu (European option - chỉ được thực hiện quyền vào ngày đáo hạn), hoặc quyền chọn kiểu Mỹ (American option - cho phép thực hiện quyền bất kỳ lúc nào trong kỳ hạn của quyền). Thời điểm xác định trong tương lại gọi là ngày đáo hạn (maturity/expiration day). Thị trường quyền chọn được chính thức giao dịch tập trung vào năm 1973, khi thị trường giao dịch hàng hóa Chicago (Chicago Board of Trade) thành lập một bộ phận giao dịch quyền chọn (Chicago Board Option Exchange). Năm 1975, Sở giao dịch cổ phiếu Hoa Kỳ (American Stock Exchange), và Sở giao dịch cổ 22 phiếu Philadelphia (Philadelphia Stock Exchange) bắt đầu giao dịch quyền chọn. Sở giao dịch Pacific (Pacific Exchange) cũng bắt đầu giao dịch quyền chọn vào năm 1976. Bước sang thập niên 1980, quyền chọn phát triển mạnh ở nhiều nước trên thế giới. Công cụ quyền chọn được mở rộng cho rất nhiều tài sản cơ sở [5]. Trước yêu cầu phát triển mạnh mẽ của quyền chọn, các nhà khoa học đã đưa ra nhiều phương pháp để định giá chứng khoán này. Năm 1973, F. Black và M. Scholes đưa ra trên cơ sở phép tính ngẫu nhiên (stochastic calculus)[9], sau đó R. C. Merton bổ sung và ứng dụng. Cũng vì vậy mà nhiều tài liệu gọi phương trình Black - Scholes là phương trình Black - Scholes - Merton. Ngoài việc định giá quyền chọn, các phái sinh tài chính như: hợp đồng kỳ hạn, hợp đồng giao sau, hoán đổi..., mô hình Black - Scholes còn có thể ứng dụng trong một số lĩnh vực tài chính khác như: ngân hàng, bảo hiểm rủi ro, định giá tài sản [9]ư. Nhờ sự áp dụng hiệu quả của mô hình Black - Schloes trong thị trường tài chính mà M. Scholes và R.C.Merton đã được trao giải Nobel kinh tế năm 1997 (khi đó F.Black đã mất) [15, tr.189]. 2.2 Xây dựng phương trình Black- Scholes Giả sử danh mục đầu tư có giá trị ban đầu là (0)X . Giả sử tại thời điểm t, có giá trị là ( )X t , chỉ đầu tư vào cổ phiếu ( )S t (tài sản cơ sở) và đầu tư vào thị trường tiền tệ để hưởng lãi suất cơ bản r (lãi suất phi rủi ro, lãi suất trái phiếu chính phủ). Giá tài sản cơ sở của nhà đầu tư, ( ),S t tuân theo chuyển động Brownian hình học ( ) ( ) ( ) ( ),dS t S t dt S t dW tα σ= + ,α σ lần lượt là hệ số kéo theo (drift) và hệ số biến động (volatility). .Giả sử tại thời điểm t này, nhà đầu tư có ( )t∆ cổ phiếu ( ( )t∆ thích nghi bộ lọc của chuyển động Brownian ( ), 0W t t ≥ ). Vi phân ( )dX t cho giá trị danh mục đầu tư tại thời điểm $ t $ có hai phần, phần thứ nhất là ( ) ( )t dS t∆ là giá cổ phiếu, phần thứ hai là ( ( ) ( ) ( ))r X t t S t−∆ là giá trị thu được từ lãi suất cơ bản. Do đó ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )) (dX t t dS t r X t t S t dt= ∆ + −∆ 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )t S t dt S t dW t r X t t S t dtα σ= ∆ + + −∆ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).rX t dt t r S t dt t S t dW tα σ= + ∆ − + ∆ Chiết khấu giá cổ phiếu là ( )rte S t− và chiết khấu giá trị danh mục đầu tư là ( )rte X t− . Áp dụng công thức Itô - Doeblin cho hàm ( , ) rtf t x e x−= ta có: ( ) , ( )( ) ( )rtd e S t df t S t− = 1( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) 2t x xx f t S t dt f t S t dS t f t S t dS t dS t= + + ( ) ( )rt rtre S t dt e dS t− −= − + ( ) ( ) ( ) ( ),rt rtr e S t dt e S t dW tα σ− −= − + và ( ) , ( )( ) ( )rtd e X t df t X t− = 1( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) (2.1) 2t x xx f t X t dt f t X t dX t f t X t dX t dX t= + + ( ) ( )rt rtre X t dt e dX t− −= − + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )rt rtt r e S t dt t e S t dW tα σ− −= ∆ − + ∆ ( ) ( ) .( )rtt d e S t−= ∆ Xét một quyền chọn kiểu Châu Âu có giá là ( ( ) )S T K +− tại thời điểm T , K là giá thực thi. Giá quyền chọn mua tại thời diểm t là ( , )v t x phụ thuộc vào giá tài sản cơ sở ( )S t ứng với ( )S t x= . Khi đó ( , ( ))v t S t là một quá trình ngẫu nhiên. Tại thời điểm đầu chúng ta không biết giá của cổ phiếu trong tương lai ( )S t và do đó không biết được giá của quyền chọn mua ( , ( ))v t S t trong tương lai. Chúng ta cần tìm mối liên hệ quyền chọn mua trong tương lai và giá của cổ phiếu trong tương lai.\\ Sử dụng công thức Itô - Doeblin cho ( , ( ))v t S t ta có 1( , ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) 2 ( ) t x xxd v t S t v t S t dt v t S t dS t v t S t dS t dS t= + + 24 2 21( , ( )) ( , ( )) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( ) 2 ( )t x xxv t S t dt v t S t S t dt S t dW t v t S t S t dtα σ σ= + + + 2 21( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) ( , ( )) ( ). 2 [ ]t x xx xv t S t v t S t S t v t S t S t dt S t v t S t dW tα σ σ= + + + Chiết khấu giá quyền chọn mua ( , ( ))v t S t là ( , ( ))rte v t S t− . Áp dụng công thức Itô - Doeblin cho hàm ( , ) rtf t x e x−= ta có: ( , ( ) , ( , ( ))( ) ( )rtd e v t S t df t v t S t− = ( , ( , ( )) , ( , ( )) ( , ( ))( ) ( )t xf t v t S t dt f t v t S t dv t S t= + 1 , ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))2 ( )xxf t v t S t dv t S t dv t S t+ ( , ( )) ( , ( )) (2.2)rt rtre v t S t dt e dv t S t− −= − + 2 21( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) 2 [ ]rt t x x xxe rv t S t v t S t S t v t S t v t S t S t dtα σ−= − + + ( ) ( , ( )) ( ).rt xe S t v t S t dW tσ −+ Để bảo hộ rủi ro, với khoản đầu tư ban đầu (0)X được đầu tư vào thị trường cổ phiếu và thị trường tiền tệ, khi thị trường cân bằng giá trị danh mục đầu tư ( )X t tại thời điểm t cân bằng với giá quyền chọn mua ( , ( ))v t S t . Điều này đúng khi và chỉ khi ( ) ( , ( )), [0, )rt rte X t e v t S t t T− −= ∀ ∈ do đó ta cần có điều kiện ( ) ( , ( )) , [0, ) và (0) (0, (0)).( ) ( )rt rtd e X t d e v t S t t T X v S− −= ∀ ∈ = So sánh (2.1) và (2.1) ta thấy (2.3) thỏa khi và chỉ khi ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )t r S t dt t S t dW tα σ∆ − + ∆ 2 21( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ( )) (2.4) 2 ( ) ( , ( )) ( ). [ ]t x xx x rv t S t v t S t S t v t S t S t v t S t dt S t v t S t dW t α σ σ = − + + + + Đồng nhất các hệ số của nhóm ( )dW t trong (2.4) ta được ( ) ( , ( )), [0, ). (2.5)xt v t S t t T∆ = ∀ ∈ Đẳng thức này gọi là quy tắc bảo hộ rủi ro Deltavà ( , ( ))xv t S t còn gọi là Delta của quyền chọn. Đồng nhất các hệ số của nhóm dt trong (2.4) ta được 2 21( )( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ( )) 2t x xx t r S t rv t S t v t S t S t v t S t S t v t S tα α σ∆ − = − + + + 25 .Sử dụng (2.5) ta có ( , ( ))( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ))x t xv t S t r S t rv t S t v t S t S t v t S tα α− = − + + 2 21 ( ) ( , ( )), [0, ). 2 xx S t v t S t t Tσ+ ∀ ∈ Hay 2 2 1( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ( )), [0, ). (2.6) 2t x xx rv t S t v t S t rS t v t S t S t v t S t t Tσ= + + ∀ ∈ Vì vậy để tìm được giá quyền chọn mua ta cần tìm một hàm liên tục $ v(t, x) $ là nghiệm của phương trình Black - Scholes 2 21( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ), [0, ), 0, (2.7) 2t x xx v t x rxv t x S t v t x rv t x t T xσ+ + = ∀ ∈ ≥ với điều kiện cuối ( , ) ( )v T x x K += − . Xét điều kiện biên tại 0x = là ( ,0) 0, [0, ]v t t T= ∀ ∈ ( giá tài sản 0x = thì giá quyền chọn ( ,0) 0v t = ). Điều kiện biên tại x = ∞ của quyền chọn mua kiểu Châu Âu là ( )lim{ ( , ) ( )} 0, [0, ].r T t x v t x x e K t T− − →∞ − − = ∀ ∈ (Giá quyền chọn cân bằng với sự chênh lệch giá cổ phiếu và chiết khấu giá thực thi khi .x →∞ ) Tóm lại, ta đã đưa ra cách xây dựng được phương trình Black - Scholes với các điều kiện cuối và điều kiện biên, giá của quyền chọn là nghiệm của bài toán: 2 2 ( ) 1( , )) ( , ) ( ) ( , ) ( , ), [0, ), 0, 2 ( , ) ( ) , ( ,0) 0, [0, ], lim{ ( , ) ( )} 0, [0, ] (2.8) . t x xx r T t x v t x rxv t x S t v t x rv t x t T x v T x x K v t t T v t x x e K t T σ + − − →∞  + + = ∀ ∈ ≥  = −  = ∀ ∈  − − = ∀ ∈ Trong chương sau ta sẽ tìm hàm Green cho bài toán mở rộng hơn (2.8) là bài toán tìm hàm Green cho phương trình (2.7) với điều kiện cuối tổng quát hơn. 26 2.3 Công thức Black- Scholes trong định giá quyền chọn Theo mô hình Black – Scholes nghiệm của bài toán \eqref{a14} là công thức dùng để tính giá quyền chọn cổ phiếu (trong phần sau chúng ta sẽ dùng hàm Green để giải nghiệm bài toán này). ( )( , ) ( , ) ( , ) ,0 , 0, (2.9)( ) ( )r T tv t x xN d T t x Ke N d T t x t T x− −+ −= − − − ≤ trong đó 21( , ) ( )( ) 2 [ ]xd T t x ln r T t KT t σ σ± − = + ± − − và N là hàm tích lũy của phân phối chuẩn 2 2 2 21 1( ) . 2 2 x xy y N y e dx e dx π π − +∞ − −∞ − = =∫ ∫ Trong đó T t− và x lần lượt là thời gian tính đến ngày đáo hạn và giá cổ phiếu tại thời điểm hiện tại. Các tham số K, r và σ lần lượt là giá thực thi (price strike), lãi suất cơ bản (interest rate) và hệ số biến động (volatility). 27 Chương 3 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes 3.1 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với các điều kiện biên bị chặn Trong chương này, để phù hợp với quy ước quen thuộc của lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, ta sẽ ký hiệu ( , )v S t thay cho ký hiệu ( , )v t S ở chương trước. Chúng ta sẽ xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes dạng 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, (3.1) 2 v S t S v S t v S trS rv S t t S S σ∂ ∂ ∂ + + − = ∂ ∂ ∂ với điều kiện cuối và điều kiện biên là ( , ) ( ) (3.2)v S T f S= | (0, ) | và | ( , ) | . (3.3)v t v t< ∞ ∞ < ∞ Trong đó S và t tương ứng là giá của tài sản cơ sở (cổ phiếu) tại thời điểm $ t $ và thỏa mãn điều kiện . 0 ;S T t > −∞ , ( , )v v S t= là giá của các sản phẩm phái sinh (quyền chọn), ( , )v v S t= là một hàm khả vi trơn theo S và t$. ( )f S là hàm biểu thị giá của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn T . σ và 0r > tương ứng là sự biến động của lợi tức tài sản cơ sở và lãi suất phi rủi ro. .Đặt 2 ln , = (T-t), u(x, )=v(S, t). (3.4) 2 x S στ τ= 28 Khi đó 2 21 ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ), , , , 2 2x x x v S t u x v S t u x t S e t S e x τ σ σ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − = = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) .x x v S t u x u x S e x e x τ τ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ Thay vào phương trình \eqref{e1} ta có 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) 1 ( , )( ) . ( , ) 0. 2 2 [ ] x x x x x u x e u x u x u xr e ru x e x e x e x τ σ σ τ τ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂ − + − + + − = ∂ ∂ ∂ ∂ Vậy 2 2 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . 2 2 [ ]u x u x u x u xr ru x x x x τ σ τ σ τ τ τ τ σ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2Hay ( 1) ( , ).u x u x u x r r u x x x τ τ τ τ τ σ σ ∂ ∂ ∂ = + − − ∂ ∂ ∂ Đặt 22 /c r σ= , ta có 2 2 ( , ) ( , ) ( , )( 1) ( , ). (3.5)u x u x u xc cu x x x τ τ τ τ τ ∂ ∂ ∂ = + − − ∂ ∂ ∂ Từ điều kiện $S,t$ thỏa mãn 0 ,S t T< < ∞ −∞ < < suy ra x và τ trong (3.5) thỏa mãn ,0x τ−∞ < < ∞ < < ∞ . Hơn nữa, với cách đặt x và τ trong (3.4), ta có khi 0t T τ= = , 0S → khi x →−∞ , S →∞ khi x →∞ . Do đó bài toán tìm hàm Green cho phương trình đạo hàm riêng (3.1), với điều kiện cuối (3.2) và điều kiện biên (3.3) trở thành bài toán tìm hàm Green cho phương trình (3.5) với điều kiện đầu và điều kiện biên là ( ,0) ( ), (3.6)xu x f e= | ( , ) | , | ( , ) | . (3.7)u uτ τ−∞ < ∞ ∞ < ∞ Xét phép biến đổi Laplace 29 0 ( ; ) { ( , )} ( , ) .sU x s L u x e u x dττ τ τ ∞ −= = ∫ (với mỗi x , ( , )u x τ là hàm gốc theo biến τ ) Áp dụng phép biến đổi Laplace này cho phương trình \eqref{e5} ta có 2 2 ( , ) ( , ) ( , ){ } { } {( 1) } { ( , )}.u x u x u xL L L c L cu x x x τ τ τ τ τ ∂ ∂ ∂ = + − − ∂ ∂ ∂ Vì ( , ){ } { ( , )} ( ,0)u xL sL u x u xτ τ τ ∂ = − ∂ nên 2 2 ( , ) ( , ){ ( , )} ( ,0) { } {( 1) } { ( , )},u x u xsL u x u x L L c L cu x x x τ ττ τ∂ ∂− = + − − ∂ ∂ Do đó 2 2 L{u(x, )} L{u(x, )}sL{u(x, )}-u(x,0)= +(c-1) -cL{u(x, )}. x x τ ττ τ∂ ∂ ∂ ∂ Thay ( ,0) ( )xu x f e= ta được phương trình 2 2 ( ; ) ( ; )( 1) ( ) ( ; ) ( ). (3.8)xd U x s dU x sc s c U x s f e dx dx + − − + = − Mặt khác từ (3.7), | ( , ) | ,u τ−∞ < ∞ suy ra lim | ( , ) | x u x τ →−∞ < ∞ nên 0 | ( ; ) | lim | ( , ) | .s x U s e u x dτ τ τ ∞ − →−∞ −∞ = < ∞∫ Cũng từ (3.7), | ( , ) | ,u τ∞ < ∞ suy ra lim | ( , ) | x u x τ →∞ < ∞ nên 0 | ( ; ) | lim | ( , ) | .s x U s e u x dτ τ τ ∞ − →∞ ∞ = < ∞∫ | ( ; ) | , | ( ; ) | . (3.9)U s U s−∞ < ∞ ∞ < ∞ Phương trình (3.8) là phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng, ta sẽ sử dụng phương pháp biến thiên hằng số để giải phương trình này. Xét phương trình đặc trưng 2 ( 1) ( ) 0.k c k s c+ − − + = Phương trình này có các nghiệm 30 1 1 2 22 2 1 2 1 1 1 1[( ) ] ; [( ) ] . 2 2 2 2 c c c ck s k s− + − += + + = − + Đặt 2 1/21 1, ( ) , ( ) , (3.10) 2 2 c c sα β ω β− += = = + khi đó 1 2, .k kα ω α ω= + = − Vì phương trình thuần nhất tương ứng của phương trình (3.8) có các nghiệm cơ bản ( ) ( )1 2( ; ) và ( ; ) x xU x s e U x s eα ω α ω+ −= = nên xét nghiệm phương trình (3.8) có dạng ( ) ( )( ; ) ( ; ) ( ; ) , (3.11)x xU x s A x s e B x s eα ω α ω+ −= + với ( , ), ( , )A x s B x s thỏa mãn hệ 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 0( ; ) . ( , ) ( , ) ( )( ; ) x U x s U x s A x s U x s U x s f eB x s ′ ′ ′ ′      =    −    Hay ( , ), ( , )A x s B x s thỏa mãn hệ ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ; ) . ( )( ) ( ) ( ; ) x x xx x e e A x s f ee e B x s α ω α ω α ω α ωα ω α ω + − ′ + − ′      =    −+ −     Định thức Wronski của hệ này là: 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , , ) ) ( U x s U x s W U U x U x s U x s′ ′ = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) x x x x e e e e α ω α ω α ω α ωα ω α ω + − + − = + − 22 .xe αω= − .Nên ( ) ( ) 2 2 1 2 ( ; )( ( )) ( ( ))( ; ) ( ), ( , )( ) 2 2 x x x x x x U x s f e e f e eA x s f e W U U x e α ω α ω αω ω − − + ′ − −= − = − = − − và ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ; )( ( )) ( ( ))( ; ) ( ). ( , )( ) 2 2 x x x x x x U x s f e e f e eB x s f e W U U x e α ω α ω αω ω + − − ′ − −= = = − 31 Suy ra ( )1( ; ) ( ) ( ), 2 x A x s e f e d M sα ω ξ ξ ξ ω − + −∞ = − +∫ ( )1( ; ) ( ) ( ), 2 x B x s e f e d N sα ω ξ ξ ξ ω − − −∞ = +∫ với ( ), ( )M s N s là các hằng số theo x . Thay ( , ), ( , )A x s B x s vào (3.11) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ; ) ( ) ( ) ( ) . (3.12) 2 [ ]x x x x x xU x s e e e f e d M s e N s eα ξ ω ξ ω ξ ξ α ω α ωξ ω − − − + − −∞ = − + +∫ Vì | ( ; ) | lim | ( ; ) | x U s U x s →−∞ −∞ = 0 lim | ( , ) |s x e u x dτ τ τ ∞ − →−∞ = ∫ ( ) ( )lim | ( ; ) ( ; ) |x x x A x s e B x s eα ω α ω+ − →−∞ = + ( ) ( )lim | ( ; ) | lim | ( ) |x x x x B x s e N s eα ω α ω− − →−∞ →−∞ = = < ∞ Nên từ (3.9) ta có | ( ; ) |U s−∞ < ∞ kéo theo N(s)=0 do ( )lim | | .x x e α ω− →−∞ = ∞ .Vì | ( ; ) | lim | ( ; ) | x U s U x s →∞ ∞ = ( ) ( )lim | ( ; ) ( ; ) |x x x A x s e B x s eα ω α ω+ − →∞ = + ( )lim | ( ; ) |x x A x s e α ω+ →∞ = ( ) ( )1lim | ( ) ( ) | 2 [ ]x x x e f e d M s eα ω ξ ξ α ωξ ω − + + −∞→∞ = − +∫ ( ) ( )1lim | ( ) ( ) | 2 [ ] x x e f e d M s eα ω ξ ξ α ωξ ω ∞ − + + −∞→∞ = − +∫ Nên từ (3.9) ta có ( ; ) |U s∞ < ∞ kéo theo ( ) ( )1( ) ( ) do lim | | . 2 x x M s e f e d eα ω ξ ξ α ωξ ω ∞ − + + −∞ →∞ = = ∞∫ 32 .Với ( )M s , ( )N s vừa tìm được thay vào (3.12) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ; ) ( ) ( ) . 2 2 [ ] x xx x x xe eU x s e e f e d e f e d α ξ α ξ ω ξ ω ξ ξ ω ξ ξξ ξ ω ω − −∞− − − −∞ −∞ = − +∫ ∫ Hay ( ) ( ) ( )( ; ) [ ] ( ) 2 xx x xeU x s e e f e d α ξ ω ξ ω ξ ξ ξ ω − − − −∞ = −∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 x xx x x x e ee f e d e f e d α ξ α ξ ω ξ ξ ω ξ ξξ ξ ω ω − −∞− − −∞ + +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 x xx x x x e ee f e d e f e d α ξ α ξ ω ξ ξ ω ξ ξξ ξ ω ω − −∞− − −∞ = +∫ ∫ ( ) ( ) | | | |( ) ( ) 2 2 x xx x x x e ee f e d e f e d α ξ α ξ ω ξ ξ ω ξ ξξ ξ ω ω − −∞− − − − −∞ = +∫ ∫ ( ) | | ( ) . 2 x xe e f e d α ξ ω ξ ξ ξ ω −∞ − − −∞ = ∫ Vậy ( ) | |( ; ) ( ) . (3.13) 2 x xeU x s e f e d α ξ ω ξ ξ ξ ω −∞ − − −∞ = ∫ Như vậy, để giải nghiệm ( , )u x τ của phương trình \(3.5) thỏa các điều kiện (3.6) và (3.7) ta cần sử dựng phép biến đổi Laplace ngược cho (3.13). (Trong công thức biến đổi sau đây ta thay 1/2( ) .sω β= + ) 1( , ) { ( ; )}u x L U x sτ −= ( ) 1 ( | |){ ( ) } 2 x xeL e f e d α ξ ω ξ ξ ξ ω −∞− − − −∞ = ∫ 1/2( ( ) | |) ( ) 1 1/2{ } ( ) .2( ) s x x ee L f e d s β ξ α ξ ξ ξ β − + −∞ − − −∞ = +∫ Áp dung một số tính chất của phép biến đổi Laplace ngược ở mục (1.2.7) và kết quả bổ đề ở mục (1.2.8) ta có 1/2 1/2( ( ) | |) | | 1 1 1/2 1/2{ } { }2( ) 2 s x s xe eL e L s s β ξ ξ βτ β − + − − − − − −= + 2( ) 4 1/2 .2( ) xe e ξβτ τ πτ −− − = 33 Vây 2( )( ) 4 1/2( , ) ( ) . (3.14)2( ) xxe eu x e f e d ξα ξ βτ ξττ ξ πτ −− − −∞ −∞ = ∫ Thay thế tương ứng các biến số x , τ và ξ bằng các biến số S, t và S .theo cách đặt ở (3.4) 2 ln , ( ), ln . 2 x S T t Sστ ξ= = − =  Khi đó: 1 .d dS S ξ =   Trong công thức \eqref{e15} khoảng lấy tích phân theo biến ξ là: ( , )−∞ ∞ , với cách đặt ln Sξ =  suy ra khoảng lấy tích phân theo biến S là khoảng: [0, )∞ . Kết hợp với (3.14) ta suy ra nghiệm ( , )v S t của phương trình (3.1) thỏa các điều kiện (3.2), (3.3) là 2 2 2 [ln( )] ln( ) ( ) 2 2 ( ) 1/20 1( , ) ( ) . (3.15) [2 ( )] S S ST t S T tv S t e f S dS S T t σα β σ σ π − − −∞ −= −∫      Vì vậy hàm Green cho phương trình 93.1) thỏa các điều kiện (3.2), (3.3) là 2 2 2 [ln( )] ln( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1/2 1( , ; ) . (3.16) [2 ( )] S S ST t S T tG S t S e S T t σα β σ πσ − − − −= −     Thay 2 2 2 2 2 / 2 / 2, ( )r rσ σα β σ σ − + = = vào công thức (3.16) ta có 2 2 2 2 2 2 2 [ln( )]/2 ( /2)ln( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1/2 1( , ; ) . (3.17) [2 ( )] S r S r ST t S T tG S t S e S T t σ σ σ σ σ πσ − + − − − −= −     Vì ( ( )) ( ). 1r T t r T te e− − − = nên công thức (3.17) viết lại là 2 2 2 2 2 2 2 [ln( )]/2 ( /2)( ( )) ln( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1/2( , ; ) [2 ( )] S r S r Sr T t r T t T t S T teG S t S e S T t σ σ σ σ σ πσ − +− − − + − − − − −= −     2 2 2 2 2 2 2 [ln( )]/2 ( /2)( ( )) ln( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1/2[2 ( )] S r S r Sr T t T t S T te e S T t σ σ σ σ σ πσ − −− − − − − − −= −    34 2 2 2 2 2 2 ln( ) 2( /2)( )ln( ) ( /2) ( ) ( ( )) 2 ( ) 2 1/2[2 ( )] S Sr T t r T t S Sr T t T te e S T t σ σ σ πσ + − − + − − − − − −= −    2 2 2 ln( ) ( /2)( ) ( ( )) 2 ( ) 2 1/2 .[2 ( )] [ ]S r T t Sr T t T te e S T t σ σ πσ + − − − − − −= −   Như vậy ta tìm được hàm Green cho phương trình Black- Scholes \eqref{e1} với các điều kiện (3.2), (3.3) là 2 2 2 ln( ) ( /2)( ) ( ) 2 ( ) 2 1/2( , ; ) .[2 ( )] [ ]S r T t Sr T t T teG S t S e S T t σ σ πσ + − − − − − −= −    Sử dụng hàm Green để giải nghiệm phương trình Black-Scholes Điều kiện cuối (3.2) ta lấy ( ) ( )f S S K += − , khi đó điều kiện cuối (3.2) là điều kiện trong bài toán (2.8) Theo cách biễu diễn nghiệm của hàm Green ở \eqref{b5} ta có: 0 ( , ) ( , ; ) ( )v S t G S t S f S ∞ = ∫   2 2 2 ln( ) ( /2)( ) ( ) 2 ( ) 2 1/20 ( ) [2 ( )] [ ]S r T t Sr T t T te e S K dS S T t σ σ πσ + − − − − −∞ +−= − −∫     2 2 2 ln( ) ( /2)( ) ( ) 2 ( ) 2 1/2 ( )[2 ( )] [ ]S r T t Sr T t T t K e e S K dS S T t σ σ