Một số vấn đề về ước và bội

Ước và bội là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học. Tuy nhiên sự cơ bản luôn luôn có sự thú vị riêng của nó. Những người học số học luôn cần phải năm vững vấn đề này, không chỉ vì sự ứng dụng rộng rãi của nó mà nó còn là nền tảng xây dựng nên những vấn đề phức tạp và đa dạng hơn. Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số khái niệm cơ bản. A. Một số khái niệm cơ bản. i) Ước số. Một số nguyên d được gọi là ước số của một số nguyên a khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên b sao cho a bd= . ii)Ước số chung. Một số nguyên dương d được gọi là ước số chung của hai số nguyên dương a và b khi và chỉ khi d là ước số của a và d cũng là ước số của b. Tương tự ta cũng có định nghĩa uớc số chung của n số nguyên dương 1 2, ,..., na a a iii)Ước chung lớn nhất. Một tính chất cơ bản của ước mà các bạn cũng có thể nhận ra là: nếu d là ước của a thì d a£ , do đó tập hợp các ước số của một số là hữu hạn. Trong một tập hữu hạn thì luôn tồn tại phần tử bé nhất, nhỏ nhất. Do đó khái niệm về ước chung lớn nhất được hình thành( ước chung nhỏ nhất là đối của ước chung lớn nhất , dó đó ta chỉ cần xét ước chung lớn nhất là đủ). Số nguyên dương d được gọi là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a và b nếu d là ước số chung của a và b và với mọi số nguyên dương 'd là ước chung của a và b thì 'd d³ . Kí hiệu: ( , ).d a b= Tương tự ta cũng có định nghĩa uớc số chung lớn nhất của n số nguyên dương 1 2, ,..., na a a , kí hiệu ( )1 2, ,..., na a a iv)Nguyên tố cùng nhau. Hai số nguyên ,a b được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ( ), 1.a b = Tương tự ta định nghĩa các số 1 2, ,..., na a a được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ( )1 2, ,..., 1.na a a = v)Bội số. Một số nguyên k được gọi là bội số của một số nguyên a khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên b sao cho .k ab= vi)Bội số chung Một số nguyên dương k được gọi là bội chung của hai số nguyên dương a và b nếu k là bội số của a và k cũng là bội số của b. Tương tự ta cũng có định nghĩa bội số chung của n số nguyên dương 1 2, ,..., na a a vii)Bội chung nhỏ nhất. Số nguyên k được gọi là bội chung lớn nhất của hai số nguyên a và b nếu k là bội số chung của a và b và với mọi số nguyên 'k là bội số chung của a và b thì 'k k£ . Kí hiệu: [ ], .q a b= Tương tự ta cũng có định nghĩa bội số chung nhỏ nhất của n số nguyên dương 1 2, ,..., na a a , kí hiệu [ ]1 2, ,..., na a a B. Một số tính chất của ước và bội. Cho , , ,a b c d là các số nguyên dương,khi đó. i) ( , ) ( , )ac bc c a b= . ii)Cho c là ước chung dương của a và b . Khi đó: ( , ), .a b a b c c c æ ö =ç ÷ è ø Từ đây suy ra ( , ) , 1.a bd a b d d æ ö= Û =ç ÷ è ø iii)Tồn tại các số nguyên ,x y sao cho ( ), .a b ax by= + iv) ( , ) 1a b = và ac b thì .c b v) ( , ) 1a b = , ( , ) 1a c = thì ( , ) 1.a bc = vi) ( , , ) (( , ), ) ( , ( , )) (( , ), )a b c a b c a b c a c b= = = vii) [ ] ( ) , , aba b a b = . viii)Cho k là bội số chung của a và b. [ ], , 1.k kk a b a b æ ö= Û =ç ÷ è ø ix) [ ] [ ], ,ca cb c a b= x) [ ] [ ], , , ,a b c a b cé ù= ë û C. Phép chia Euclid. Trong các phần trên , chúng t Ta đã thông qua các khái niệm và uớc chung và và một số tính chất về ước số. Thế nhưng chúng ta vẫn chưa biết cách làm để tìm được ước số chung của ước số. Qua phần này chúng ta sẽ trả lời câu hỏi thông qua việc tìm hiểu phép chia Euclid. Để đơn giản chúng ta chỉ đi tìm ước chung của các số nguyên dương, việc các số nguyên âm là hòan tòan tương tự.Trước hết chúng ta sẽ xem xét ý tưởng của phương pháp này. Euclid đã bắt đầu với nhận xét sau: ( , ) ( , ) ( , ) , (*).a b b a b b a b d a b= - = - = ¹ . Chứng minh nhận xét này không khó,xin được dành cho bạn đọc. Giả sử a b³ ,khi đó từ đẳng thức ( , ) ( , )a b a b b= - ta đã đi về bài toán tìm ước số chung của hai số nguyên dương nhỏ hơn là ,a b b- . Tiếp tục là bài tóan với hai số nguyên dương nhỏ hơn nữa là 2 ,a b b- (trong trường hợp a b b- > ) hay là ( , 2 )a b b a- - ( trong trường hợp a b b- < ) . Nếu ta tiếp tục làm như vậy thì các số nguyên dương cần tìm ước số chung sẽ nhỏ đi dần dần, điều này có thể kéo dài vô tận và các số nguyên dương sẽ nhỏ dần vô hạn chăng ? Câu trả lời là không vì ít ra các số nguyên dương cũng bị chặn dưới bởi 1. Như vậy tại sao quá trình này lại không thể kéo dài vô hạn được, chỉ có thể là do (*) không đúng nữa, tức là đến một lúc nào đó ta thu được hai số nguyên dương bằng nhau. Nghía là ta sẽ có: ( , ) ( , ) .a b c c d= = Như vậy c d= . Từ đây ta có thuật tóan sau để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b . Cho 0.a b> > Nếu a bq= thì ( ), .a b b= Nếu ( 0)a bq r r= + ¹ thì ( , ) ( , )a b b r= . Phép chia Euclid trong trường hợp này được thực hiện như sau: 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 1 1 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ............. ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n n n n n n a bq r a b b r b r q r b r r r r r q r r r r r r r q r r r r r r q r r r - - - - - - - - = + Þ = = + Þ = = + Þ = = Þ = = Þ = Từ đây suy ra ( )1 1 2 2 3 2 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .... , ( , )n n n n na b b r r r r r r r r r r- - -= = = = = = = . Hay nói cách khác ( , )a b là số dư cuối cùng khác 0 trong phép chia Euclid. Từ phép chia Euclid, ta suy ra được tính iii), một tính chất đẹp và quan trọng trong lý thuyết số. Ta có thể dễ dàng chứng minh tính chất trên bằng phương pháp quy nạp lùi theo n trong phép chia Euclid. Thật vậy, nếu a bq= thì tính chất iii) là hiển nhiên. Nếu a b/ thì ta đã có đẳng thức sau: 10. 1.n n nr r r-= + . Giả sử ta đã có: , 1 1( ) .n k k k kr r r xr yr+ += = + Khi đó: 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) k k k k k k k k k k k k n k k r r q r yr yq x r xr yr yr yq x r r r r - + - + - - = + Þ = - + + Þ - - = = Như vậy theo nguyên lý qui nạp lùi, đối với các số ( , )a b cũng tồn tại các số nguyên ,x y sao cho ( ),nxa yb r a b+ = = . Sau khi đã tìm được ước chung lớn nhất thì việc tìm bội chung nhỏ nhất là đơn giản, ta có thể dung công thức vii) [ ] ( ) , , aba b a b = Ta hãy xét qua một số ví dụ nhé: Bài toán: a)Hãy tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của 34 và 56 b)Hãy tìm các ước chung lớn nhất có thể có của 2 1k - và 9 4k + ( )k NÎ Câu a) chỉ là câu áp dụng phép chia Euclid, ta hãy giải quyết nhanh nào: (34,56) (22,34) (12, 22) (10,12) (2,10) 2.= = = = = Suy ra [ ] 34.56 190434,56 952. (34,56) 2 = = = Câu b) cũng áp dụng phép chia Euclid, tuy nhiên hơi phức tạp một chút vì có chứa ẩn số k . Các bạn cũng thực hiện phép chia một cách bình thường, giống như là chia đa thức vậy: (2 1,9 4) (9 4 4(2 1),2 1) ( 8,2 1) (2 1 2( 8), 8) 1( 17 8) ( 8, 17) ( 8,17) 17( 17 8) k k k k k k k k k k k m k k k m - + = + - - - = + - = - - + + ¹ -é = + - = + = ê = -ë . Vậy (2 1,9 4) 17k k- + = khi 17 8.k m= - Và (2 1,9 4) 1k k- + = khi 17 8.k m¹ - Trong bài tóan trên ta còn có thể giải theo cách khác. Đặt (2 1,9 4)d k k= - + .Ta có: 2(9 4) 9(2 1) 1 17 17 k k d d d d + - - =é Þ Þ ê =ë   Lời giải trên thật ngắn gọn.tuy nhiên nếu làm như vậy thì ta sẽ xác định cụ thể các trường hợp mà ở đó 1d = và 17d = như thế nào. Trong trường hợp này, bạn phải giải phương trình nghiệm nguyên sau. Tìm k sao cho: 2 1 17 , ,k l k l Z- = Î (dạng 2 1 0(mod17)k - º ) ( Xem thêm trong phần phương trình nghiệm nguyên) và sẽ đi được kết quả tương tự như đã nói trong cách 1. Ta rút ra bài tóan tổng quát sau. Cho ac bd p- = là một số nguyên tố. Tìm tất cả các giá trị có thể có của: ( , )ak c bk d+ + . Bằng một ý tưởng cách 2. Ta đặt ( , )m ak c bk d= + + . Ta có: 1 ( ) ( ) m a bk d b ak c ad bc p m m p =é + - + = - = Þ ê =ë  . Cả hai trường hợp đều có thể xảy ra bởi lẽ phương trình 0(mod )ak c p+ º cho ta nghiệm duy nhất theo mod p . Trong trường hợp này ( , )ak c bk d p+ + = , trong các trường hợp còn lại ta đều thu được: ( , ) 1.ak c bk d+ + = Sau đây sẽ là phần bài tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài 1: Tìm tất cả các giá trị có thể của: (6 5,8 3), .k k k N+ + Î Bài 2: Cho ( 1)2 1, 2 n nA n B += + = . Tìm ( , )A B D.Ước chung của (am-1,an-1) Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu về ước chung lớn nhất của 1ma - và 1na - trong đó 2 *, ( 1) 0, ,a Z a a m n NÎ - ¹ Î . Đặt ( , )m n d= ,ta dễ dàng nhận ra rằng: 1 1, 1 1m d n da a a a- - - -  Thực vậy, đặt m dk= ta có: ( )1 1 ( ) 1 1 1m kd d k d da a a a A a- = - = - = - - trong đó: 1 2 ... 1, .k k dA b b b b a- -= + + + + = Hòan tòan tương tự cho 1na - . Như vậy ( )1, 1m na a A- - = có dạng ( )1dB a - . Việc còn lại là tìm B . Ta hãy thử tìm B trong các trường hợp cụ thể xem sao: a 2 3 4 m 2 3 4 n 4 5 6 A 3 2 15 B 1 1 1 Như vậy ta có thể dự đoán, ta mạnh dạn đưa ra giả thuyết ( ) ( , )1, 1 1.m n m na a A a- - = = - Ta sẽ cần chứng minh ( ), 1m na A-  và từ đó suy ra ( )m,na 1 A- = do A đã chia hết cho ( )m,na 1.- Ta hãy tạo sự liên kết ( , )m n với ,m n bằng kết quả tồn tại các số nguyên x,y sao cho ( , )xm yn m n+ = , hay phát biểu ở một dạng khác, tồn tại các số nguyên không âm ,x y sao cho ( , )xm yn m n- = hay ( , )xm yn m n- + = . Ta chỉ xét trường hợp ( , )xm yn m n- = , trường hợp kia là hòan tòan tương tự. ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 yn xm yn xm yn xm yn m n a a a a a a a C a D A - - = - = - - - = - - -  Mà ( ) ( )yna , 1 1 , 1.n yna a A- = Þ = Do đó theo tính chất iv) ta suy ra ( , )1 1xm yn m na a A- - = -  . Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh. Tóm lại ta thu được kết luận sau: ( ) ( ),1, 1 1m nm na a a- - = - . Đây là một kết quả quan trọng, các bạn cũng có thể thấy “dáng vẻ” của nó khá giống với định lý Fertmat, Euler phải không nào. J Sau đây là phần bài tập dành cho bạn đọc: Bài 1: Cho 1 ; , .m n m n N£ < Î a) Chứng minh rằng: 2 2(2 1,2 1) 1. n m + + = b) Tìm ( )2 1, 2 1m n- - Bài 2: Cho ( , , )a m n là các số tự nhiên lẻ.Chứng minh rằng: ( ) ( ),1, 1 1m nm na a a+ + = + . Bài 3: Cho là ( ),a b các số nguyên dương thỏa ( )2 1, 2 1 1.a b+ + = Tìm các giá trị có thể của: ( )2 1 1 2 1 12 2 1, 2 2 1a a b b+ + + ++ + + + . Kết thúc bài viết sẽ là phần bài tập tổng hợp, một số bài toán là các kết quả đáng nhớ mà các bạn nên lưu tâm. E. Bài tập tổng hợp. Bài 1:Chứng minh rằng: 1, 1 ( , 1) 1 ma a m a a æ ö- - = -ç ÷-è ø trong đó , 1.a m > Bài 2:Nếu ,a b là các số nguyên dương và a b> thì: 1, ( ( , ) , ) n n na b a b n a b a b a b -æ ö- - = -ç ÷-è ø Bài 3: Chứng minh rằng: [ ] [ ]1,2,3,..., 2 1, 2,..., 2n n n n= + + Bài 4: Cho p là một số nguyên tố. Tìm ( )22 2, 2 1n n- - Bài 5:Chứng minh rằng dãy số a) ( 1) , 2n n nA n N+= Î chứa những dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau. b) 2 1nnM = - chứa dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau. Dãy nM được gọi là dãy số ecxen.M Mục chuyên đề về ước số và bội số xin được kết thúc ở đây. Chúc các bạn luôn đạt được kết quả tốt nhất trong học tập. J Tài liệu tham khảo · 351 Bài toán số học chọn lọc Nguyễn Đức Tấn Đặng Anh Tuấn-Trần Chí Hiếu. · Bài giảng số học Đặng Hùng Thắng.