Ôn tập chủ đề: Giới hạn và đạo hàm

CHỦ ĐỀ 3: GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn hữu hạn Giả sử f(x) xác định trên khoảng K (hoặc K \ {x0}, x0 Î K. 2. Giới hạn ± ¥ Giả sử f(x) xác định trên khoảng K (hoặc K \ {x0}), x0 Î K. Giả sử f(x) xác định trên khoảng (a; + ¥) 3. Dạng vô định: Khi thì có dạng Khi thì có dạng Khi thì có dạng 0. ¥ Khi thì có dạng ¥ - ¥. B. HÀM SỐ LIÊN TỤC: 4. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b); x0 Î (a; b) f(x) liên tục tại x0 Î (a; b) Û f(x) liên tục trên (a; b) Û f(x) liên tục tại mọi x Î (a; b) f(x) liên tục trên [a; b] Û 5. Định lí: a. Các hàm số đa thức liên tục trên ¡. Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định. b. Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b) < 0 thì tồn tại điểm c Î (a; b) sao cho f(c)=0 (tứ là phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a; b)) . C. ĐẠO HÀM 6. Định nghĩa và ý nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn): Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và kí hiệu f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là f’(x0) = Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M(x0; f(x0)) là: y – y0 = f’(x0)(x – x0); y0 = f(x0). Vi phân của hàm số f(x) tại x (ứng với Dx) là dy = df(x) = f’(x)dx Công thức tính gần đúng: f(x0 + Dx) » f(x0) + f’(x0) Dx Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi x Î (a; b) thì hàm số x ® f’(x) được gọi là đạo hàm của f(x) trên (a; b). Nếu f’(x) có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của f(x). Kí hiệu: (f’(x))’ = f’’(x) Tương tự đối với f’’’(x) , …., f(n)(x), … 7. Công thức: (c)’ = 0 (c là hằng số) (xn)’ = n.xn – 1 (n Î ¥*, x Î ¡); (sinx)’ = cosx; (cosx)’ = - sinx (ku + lv)’ = ku’ + lv’ (k, l là hằng số) (uv)’ = u’v + uv’ y'x = y'u . u'x (y = y(u), u = u(x)) II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: Bài 1: Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau: a. ; b. c. d. Giải a. Dạng b. Dạng = c. Dạng 0. ¥ d. Dạng ¥ - ¥ Bài 2: Tìm các giới hạn sau: a. b. * Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên. Giải: a. Với x ® 1- thì x 0. Khi đó ta có Từ đó: nếu x £ - 4 nếu -4 < x £ 3 nếu x > 3 Bài 3: Cho hàm số f(x) = a. Tính b. Tìm các khoảng liên tục của f(x) * Sử dụng các định nghĩa và định lý về liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng Giải: a. b. Hàm số f(x) liên tục trên (- ¥; -4), (-4; 3), (3: + ¥) Vì nên f(x) liên tục trên (- ¥; -4] Vì nên f(x) không liên tục tại x= -4 Vì nên f(x) liên tục tại x=3 Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (- ¥; -4] và (-4; +¥) nếu x <2 nếu x³ 2 Bài 4: Tìm số thực m sao cho hàm số: liên tục tại x = 2 * f(x) liên tục tại x = 2 nếu Giải Ta có: Từ đó: Với m = thì f(x) liên tục tại x = 2. Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x3 – 2x2 + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. * Sử dụng định lí: Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại điểm x Î (a;b) sao cho f(c) = 0 Giải: Đặt f(x) = x3 – 2x2 + 1 Ta có f(x) liên tục trên ¡ và do đó liên tục trên [-1; 0] Mặt khác, vì f(0) = 1, f(-1) = -2 < 0 nên tồn tại số c Î (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Bài 6: Chứng minh rằng phương trình (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 = 0 luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m. Giải: f(x) = (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 là một đa thức nên liên tục trên ¡ và do đó liên tục trên [-1;0]. Hơn nữa f(0) = 1 > 0 F(-1) = -3m2 + 5 – 7 + 1 = -(3m2 + 1) < 0, "m Î ¡ Do đó tồn tại số c Î (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Vậy phương trình luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m Bài 7: a. Tìm giao điểm của đồ thị các hàm số y = (H) và y = x – 2(d) b. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại các giao điểm đó * Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) của hàm số y=f(x) tại M0(x0;y0) là y-y0=f’(x0)(x–x0) Giải: a. Hoành độ giao điểm của (H) và (d) là nghiệm của phương trình: Vậy có hai giao điểm của (H) và (d) là A(-1; -3), B(3; 1) b. có đạm hàm là . Từ đó: f’(-1) = -3, f’(3) = - Tiếp tuyến của (H) tại A(-1; -3) có phương trình: y + 3 = -3(x + 1) Û y = -3x – 6 Tiếp tuyến của (H) tại B(3; 1) có phương trình: y – 1 = - (x – 3) Û y = -x + 2 Bài 8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a. f(x) = ; b. g(x) = cos2x + cos2 c. h(x) = sin(cos2x).cos(sin2x) Sau khi tìm g’(x) có nhận xét gì về hàm g(x) Áp dụng công thức: y’x = y’u. u’x Giải: a. f’(x) = = b. Tương tự g’(x) = - 2cosxsinx – 2cos = - sin2x -sin = - sin2x + 2cossin(-2x) = -sin2x + sin2x = 0 c. h’(x) = -2cos(cos2x)cosxsinxcos(sin2x) – 2sin(cos2x)sin(sin2x)sinxcosx = -sin2xcos(cos2x)cos(sin2x) – sin2xsin(cos2x)sin(sin2x) = -sin2x [cos(cos2x)cos(sin2x) + sin(cos2x)sin(sin2x)] = -sin2xcos(cos2x – sin2x) = -sin2xcos(cos2x) Vì g’(x) = 0 nên g(x) là một hàm bằng. Bằng cách chọn x = 0, ta thấy g(0) = Vậy g(x) = với mọi x. Bài 9: Tìm a. d(tanx) ; b. dy với y = (x ¹ 1) * Áp dụng công thức: df(x) = f’(x)dx Giải: a. d(tanx) = (tanx)’dx = b. Với y = ta có: y’ = = Vậy dy = Bài 10: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính gần đúng sin290 * Áp dụng công thức f(x0 + Dx) » f(x0) + f’(x0)Dx Giải: Vì 290 = 300 – 10 = nên sin290 = sin» sin Bài 11: Tìm y(n) biết * Dùng phương pháp quy nạp toán học. Giải: Ta có: Ta dự đoán y(n) = (-1)n (*). Ta chứng minh (*) bằng quy nạp. Từ (1) suy ra (*)đúng khi n = 1 Giả sử (*)đúng với n = k, ta có Ta chứng minh (*)đúng với n = k+1 Lấy đạm hàm hai vế của (2) ta đượC: = Vậy với mọi n Î ¥*, ta có: III. BÀI TẬP: 1. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a. b. 2. Tính các giới hạn sau: a. b. c. d. 3. Tìm các giới hạn sau: a. và b. và 4. Cho hàm số f(x) = Với giá trị nào của m, hàm số f(x) có giới hạn khi x ® 0.Tìm giới hạn đó. 5. Tìm các khoảng liên tục của các hàm số sau: a. f(x) = ; nếu nếu nếu b. g(x) = nếu nếu nếu 6. Tìm số thực a sao cho hàm số f(x) = liên tục tại x = 7. Chứng minh rằng phương trình x3 – 10x2 – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương. 8. Chứng minh rằng phương trình (m2 + m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m 9. Cho hàm số y = (C) a. Hãy tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số tại x = 1 b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1; -2) 10. Chứng minh rằng hàm số f(x) = liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0 11. Tìm vi phân của các hàm số: a. y = b. y = 12. Tính gần đúng các số sau với sai số 0,001 a. cos610 b. tan 440 c. 13. Cho y = x2sinx. Tìm y(4). 14. Chứng minh rằng: (n Î ¥*) (n Î ¥*)