Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán

4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 ⎩⎨ ⎧ > = 0S 0P 2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ > =Δ < 02/S 0 0P ⎩⎨ ⎧ = =Δ ⎩⎨ ⎧ < = 02/S 0 0S 0P VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > ≥Δ 0S 0P 0 0 0 P S ⎧⎪ >⎨⎪ <⎩ 4 nghiệm CSC ⇔ ⎩⎨ ⎧ = << 12 21 t3t tt0 Giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 12 t.tP ttS t9t b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : 2t ≥ c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R. d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : 2 baxt ++= , t ∈ R. TRANG 7 10. Hệ phương trình bậc 1 : ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 'cy'bx'a cbyax . Tính : D = 'b b 'a a , Dx = 'b b 'c c , Dy = 'c c 'a a D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 13. Hệ phương trình đẳng cấp : ⎩⎨ ⎧ =++ =++ 'dy'cxy'bx'a dcybxyax 22 22 Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của ., , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a, b ≥ 0 : ab 2 ba ≥+ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a, b, c ≥ 0 : 3 abc 3 cba ≥++ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : TRANG 8 Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 2π 0 2− π 1. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. 2− π 2π0 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của 6 π ( 3 1 cung phần tư) và 4 π ( 2 1 cung phần tư) α 0A x+k2π M x = α + n k2 π : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. 2. Hàm số lượng giác : 3. Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). cotg chiếu xuyên tâm tg Mcos chiếu ⊥ sin M * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 2 π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. f. Đưa về 2 atgt = : đưa lượng giác về đại số. g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. TRANG 9 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, sinα = 1 ⇔ α = 2 π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – 2 π + k2π, cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = 2 π + kπ, cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho 22 ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 2 utgt = ) 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. Đặt : t = sinu + cosu = 2t 12 sin u , 2 t 2,sin u.cos u 4 2 π −⎛ ⎞+ − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu : Đặt : 2 12 0 2 4 2 tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= + = + ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : π −⎛ ⎞= − = − − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 21 tt sin u cos u 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u 4 2 10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu : Đặt : 212 0 2 4 2 tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= − = − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng TRANG 10 * t = tg 2 x : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 14. Phương trình đặc biệt : * ⎩⎨ ⎧ = =⇔=+ 0v 0u 0vu 22 * ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ ≤ = Cv Cu Cv Cu vu * ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ ≤ ≤ Bv Au BAvu Bv Au * sinu.cosv = 1 ⇔ ⎩⎨ ⎧ −= −=∨⎩⎨ ⎧ = = 1vcos 1usin 1vcos 1usin * sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −=∨⎩⎨ ⎧ −= = 1vcos 1usin 1vcos 1usin Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a. Dạng 1 : ⎩⎨ ⎧ =± =± )2(nyx )1(m)y(F)x(F . Dùng công thức đổi + thành nhân, thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : ⎩⎨ ⎧ =− =+ byx ayx b. Dạng 2 : ⎩⎨ ⎧ =± = nyx m)y(F).x(F . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. c. Dạng 3 : ⎩⎨ ⎧ =± = nyx m)y(F/)x(F . Dùng tỉ lệ thức : db ca db ca d c b a − −=+ +⇔= biến đổi phương trình (1) rồi dùng công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán Δ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : TRANG 11 a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA * pr R4 abcCsinab 2 1ah 2 1S a ==== )cp)(bp)(ap(p −−−= * Trung tuyến : 222a ac2b22 1m −+= * Phân giác : ℓa = cb 2 Acosbc2 + IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : = F(x) + C (C ∈ R) ∫ dx)x(f * α+ α= + = +α +∫ ∫ 1udu u C ; u du C 1 , α ≠ – 1 u udu ln u C; e du e C; u = + = +∫ ∫ ∫ += Caln/adua uu ; sinudu cosu C= − +∫ ∫ += Cusinuducos ∫ ; +−= Cgucotusin/du 2 ∫ += Ctguucos/du 2 * = = −∫b ba a f(x)dx F(x) F(b) F(a) * ∫ ∫ ∫∫∫ +=−== ba ca ba cbabaa ,;0 ∫ ∫ ∫∫∫∫ =+=+ b a b a b a b a b a fkkf;gf)gf( 2. Tích phân từng phần : udv uv vdu= −∫ ∫ Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. a. ∫ ∫ ∫ = nnnxn xu:xcosx;xsinx,ex b. ∫ = xlnu:xlnxn c. ∫ ∫ == dxedvhayeu:xcose,xsine xxxx từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : TRANG 12 a. : u = sinx. ∫ + xcos.xsin 1n2m : u = cosx. ∫ + xsin.xcos 1n2m : hạ bậc về bậc 1 ∫ xcos.xsin n2m2 b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ xcos/xtg n2m2 : u = cotgx (n ≥ 0) ∫ xsin/xgcot n2m2 c. chứa a∫ 2 – u2 : u = asint chứa u∫ 2 – a2 : u = a/cost chứa a∫ 2 + u2 : u = atgt d. , R : hàm hữu tỷ ∫ )xcos,x(sinR R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx R đơn giản : 2 xtgu = ∫ π −π= 2/ 0 x 2 uđặtthử: ∫ π −π= 0 xuđặtthử: e. ∫ +=∈++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x f. ∫ +=∈+++ nnqq/pnm bxaxu:Zqpn 1m,)bxa(x g. u 1khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++++∫ h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++= i. chứa (a + bx∫ k)m/n : thử đặt un = a + bxk. 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : : bậc P < bậc Q ∫ )x(Q/)x(P * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : n n 2 21n )ax( A... )ax( A ax A)ax(, ax Aax ++++++→++→+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =+=<Δ+++++++ +→<Δ++ ∫ ∫ atgtuđặt:)au/(du)0(cbxax dxcbxax Bcbxax )bax2(A)0(cbxax 222222 TRANG 13 5. Tính diện tích hình phẳng : a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : ∫= b a D dx)x(fS f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : ∫ −= b a D dx)x(g)x(fS Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 α / b D a S f(x) g(x) dx= −∫ x=b x=a f(x) g(x) β / b D a S f(y) g(y) dy= −∫ y=a f(y) y=b g(y) Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay − ( )trái:...x,phải:...x,dưới:...y,trên:...y −=+=−=+= 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : a b f(x)a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : [ ]∫π= b a 2 dx)x(fV a b f(y) b. [ ]∫π= b a 2 dy)y(fV b f(x) g(x a TRANG 14 c. ∫ −π= b a 22 dx)]x(g)x(f[V f(y) a g(y) b d. ∫ −π= b a 22 dy)]y(g)y(f[V a b c f(x) -g(x)f(x) g(x a be. ∫∫ π+π= b c 2 c a 2 dx)x(gdx)x(fV f. ∫∫ π+π= b c 2 c a 2 dy)y(fdy)y(gV Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tìm lim dạng 0 0 , dạng 1 ∞ : a. Phân thức hữu tỷ : 1 1 ax1 1 axax Q Plim )x(Q)ax( )x(P)ax(lim)0/0dạng( )x(Q )x(Plim →→→ =− −= b. Hàm lg : 1 u usinlimthứccôngdùng),0/0dạng( )x(g )x(flim 0uax =→→ c. Hàm chứa căn : )0/0dạng( )x(g )x(flim ax→ , dùng lượng liên hiệp : a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức e)u1(lim u/1 0u =+→ 2. Đạo hàm : a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : o o oxx 0 xx )x(f)x(flim)x('f − −= → Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : Nếu thì f có đạo hàm tại x.lim)x(f,lim)x(f oxx o / oxx o / −→−+→+ == )x(f)x(f o/o/ −+ = o. b c f(y) -g(y)a b. Ý nghĩa hình học : M α f(x) TRANG 15 k = tgα = f/(xM) c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f// + : f lõm , f// – : f lồi d. f đạt CĐ tại M ⇔ ⎩⎨ ⎧ < = 0)x(f 0)x(f M // M / f đạt CT tại M ⇔ ⎩⎨ ⎧ > = 0)x(f 0)x(f M // M / M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x , ( )a 1log x x ln a′ = , (ex)/ = ex (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... f. Vi phân : du = u/dx 3. Tiệm cận : ∞=→ ylimax ⇒ x = a : tcđ x a y ∞ ∞ x −∞ +∞ bylim x =∞→ ⇒ y = b : tcn y b b x −∞ +∞ 0)]bax(y[lim x =+−∞→ ⇒ y = ax + b : tcx y ∞ ∞ * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. * Xét )x(Q )x(Py = TRANG 16 • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : )x(Q )x(Pbax)x(f 1++= , tcx là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : cy ax b dx e = + + + ( d ≠ 0 ) • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax3 + bx2 + c + d a> 0 : a < 0 : d/ y = ax4 + bx2 + c a > 0 a < 0 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) ad - bc > 0 ad - bc < 0 f/ y = edx cbxax2 + ++ (ad ≠ 0) ad > 0 a > 0 a < 0 a = 0 a 0 y′Δ > 0 y′Δ = 0 y′Δ < 0 ab > 0 ab < 0 y′Δ > 0 y′Δ = 0 y′Δ < 0 TRANG 17 ad < 0 5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : x a a x = a y < b y > b b y = b g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox). (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy). 6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, ∀m (hay Am2 + Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ). Giải hệ, được M. ⎩⎨ ⎧ = = 0B 0A ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 0C 0B 0A b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠ f(xo,m), ∀m ⇔ yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) ⇔ (hay ). Giải hệ , được M. ⎩⎨ ⎧ ≠ = 0B 0A ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎩⎨ ⎧ <Δ ≠∨ ≠ = = 0 0A 0C 0B 0A Chú ý : C B A = VN ⇔ B = 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ = ≠ VNBCA 0B c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. ⎩⎨ ⎧ = = /C / C / /CC yy yy b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). TRANG 18 * // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. * ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y = a 1− x + m. Tìm m nhờ đk tx. c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : ⎩⎨ ⎧ = = ky yy C / dC (1). Thế k vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập Δ, xét dấu Δ, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần. * f đạt cực đại tại xo ⇔ ⎩⎨ ⎧ < = 0)x(f 0)x(f o // o / f đạt cực tiểu tại xo ⇔ ⎩⎨ ⎧ > = 0)x(f 0)x(f o // o / * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ /fΔ > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2. • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α . • 1 bên (Ox) ⇔ 0 0 /f CD CTy .y Δ >⎧⎪⎨ >⎪⎩ • 2 bên (Ox) ⇔ 0 0 /f CD CTy .y Δ >⎧⎪⎨ <⎪⎩ * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT 0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). TRANG 19 * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. • Hàm bậc 2/ bậc 1 : v uy = yCĐ.yCT = )x(v).x(v )x(u).x(u CT / CĐ / CT / CĐ / , dùng Viète với pt y/ = 0. * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc 3 : y = Cx + D • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x1) + hàm số tăng trên (x2, +∞) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x1) + hàm số giảm trên (x2, +∞) + hàm số tăng trên (x1, x2) b. Biện luận sự biến thiên của y = 1bậc 2bậc i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2 x x p 2 m + =− . iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2 x x p 2 m + =− . c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : TRANG 20 a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, ., , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn : M N M N M M N N x x 2x y y 2y y f(x ) y f(x ) + =⎧⎪ + =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩ I I d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là (d') : y = – a 1 x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. B 14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + edx c + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈ +++= Zy,x edx cbaxy MM M MM ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∈+ +++= Z edx c,x edx cbaxy M M M MM ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+∈ +++= ccủasốướcedx,Zx edx cbaxy MM M MM 15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max. TRANG 21 16. Giải bất phương trình bằng đồ thị : a b f g f g ⇔ ⎢⎣ ⎡ < < xb ax f ≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔ ⎢⎣ ⎡ ≥ ≤ bx ax VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1. Tọa độ , vectơ : * (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/) k(a, b) = (ka, kb) (a, b) = (a/, b/) ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = / / bb aa (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ 22 ba)b,a( += / / / v .vcos( v ,v ) v . v = r rr r r r ABAB),yy,xx(AB ABAB =−−= M chia AB theo tỉ số k ⇔ MBkMA = ⇔ k1 kyyy, k1 kxxx BAMBAM − −=− −= (k ≠ 1) M : trung điểm AB ⇔ 2 yyy, 2 xxx BAMBAM +=+= M : trọng tâm ΔABC ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= ++= 3 yyyy 3 xxxx CBA M CBA M (tương tự cho vectơ 3 chiều). * Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : )'c,'b,'a(v),c,b,a(v / == [ ] ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= /////// b b a a , a a c c , c c b b v,v rr / / /v ,v ] v . v .sin( v ,v )=r r r r r r[ [ // v,v]v,v rrrr ⊥ r * vr ⊥ ⇔ /v /v.v rr = 0 ; = 0 ; / /v // v [ v ,v ]⇔r r r r /// v,v,v rrr đồng phẳng ⇔ [ 0v].v,v r /// =rr TRANG 22 [ ]AC,AB 2 1S ABC =Δ [ ]AS.AC,AB 6 1V ABC.S = / 'D'C'B'A.ABCD AA].AD,AB[V = A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // ACuuur uuur * Δ trong mp : H là trực tâm ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = 0AC.BH 0BC.AH H là chân đường cao ha ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = BC//BH 0BC.AH M là chân phân giác trong ⇔ ∧A MC AC ABMB −= M là chân phân giác ngòai ⇔ ∧A MC AC ABMB += I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA