Ôn thi tốt nghiệp môn Toán theo từng chủ đề

aùp giaûi: Thöôøng ñöa tích phaân ñaõ cho veà tích phaân cuûa toång vaø hieäu sau ñoù vaän duïng baûng nguyeân haøm thöôøng duøng keát quaû. Baøi soá 1: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: (Duøng ñònh nghóa vaø tính chaát) 1./ 2./ 3./ 4/ 5/ 6./ 7./ 8/ 9/ 10./ 11/ 12/ 13/ 14/ 1./ = . 2./ . 3./ Ta có: 4/ 24 5/ . 6/=+=+ =(x– = 5 . 7/ . 8/. 9/ . 10./ = 8 11./ 12/. 13/ . 14/ 25 . Daïng 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán. Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët t = (x) dt = b2: Ñoåi caän: x = a t =(a) ; x = b t = (b) b3: Vieát tích phaân ñaõ cho theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân tìm ñöôïc . Baøi soá 2 : Tính tích phaân sau : a/ c/ e/ h/ b/ d/ g/ k/ a/Ñaët t = x2 + x +1 Khi : x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3. Vaäy I= b/ Ñaët t = t2= x2+ 3 tdt = xdx Khi : x = 0 t = ; x = 1 t = 2. J = c/Ñaët t = x2 + 3 Khi : x = 0 t = 3 ; x = 1 t = 4. d./ Ñaët : t = . Khi : x = 0 t =2 ; x = 1 t = e +1. L = e./ Ñaët : t = lnx . Khi : x = 1 t = 0 ; x = e t = 1. M= g./ Đặt t = sinx Khi x = 0 t = 0; x = t = 1. . h/ Ñaët :. Khi : x = 0 t = –1 ; x = 1 t = 0. 26 k/ Ñaët :. Khi : x = 0 t = 1 ; x = 1 t = 0. Daïng 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn: Coâng thöùc töøng phaàn : Phöông phaùp giaûi: B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu tích phaân baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v. B2: Khai trieån tích phaân ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn. B3: Tích phaân suy ra keát quaû. Chuù yù: Khi gaëp tích phaân daïng : ¨ Neáu P(x) laø moät ña thöùc , Q(x) laø moät trong caùc haøm soá eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta ñaët u = P(x) ; dv= Q(x).dx Neáu baäc cuûa P(x) laø 2,3,4 thì ta tính tích phaân töøng phaàn 2,3,4 laàn theo caùch ñaët treân. ¨ Neáu P(x) laø ña thöùc, Q(x) laø haøm soá ln(ax+b) thì ta ñaët u = Q(x) ; dv = P(x).dx Baøi soá 3 : Tính caùc tích phaân sau: a/ b/ c/ d/ e/ g/ h/ i/ k/ l/ 27 a./Ñaët :. Ta coù : b./Ñaët : Ta coù : . c./Ñaët : d./Ñaët : e/ Ñaët: g/ Ñaët :.Ta coù: 28 . h/ Ñaët :. Q= i/ Ñaët :. Ta coù: R = – = = –1 k/ Ñaët :. Ta coù: l/ Ñaët :Þ, I1 = . Ñaët :. Khi x = 0 Þ u =1; Þ. Þ. 29 Daïng 4: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm höõu tæ thöôøng gaëp: a/ Daïng baäc cuûa töû lôùn hôn hay baèng baäc cuûa maãu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia töû cho maãu taùch thaønh toång cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính. Baøi soá 4: Tính caùc tích phaân sau: a/ I = b/ J = c/ K = d/ L = e/ M = a/ I = = . b/ J = c/ K= . d/ L= . e/ M = b/ Daïng baäc 1 treân baäc 2: Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính. Tröôøng hôïp maãu soá coù 2 nghieäm phaân bieät: Baøi soá 5: Tính caùc tích phaân: 1/ 2/ J = 1/ Ñaët: . 30 I =. 2/ J =. Tröôøng hôïp maãu soá coù nghieäm keùp: Baøi soá 6: Tính caùc tích phaân : 1/ 2/ J = 1/ Ñaët = 2./ J = Daïng 5: Tính tích phaân haøm voâ tæ: Daïng1: Ñaët t= Daïng 2: Ñaët t= 31 Baøi soá 7: Tính tích phaân 1/ I = 2/ 1/ Ñaët t = t3= 1–x x= 1–t3 dx= –3t2dt. Khi x=0 t=1; x=1 t=0. Vaäy I= 2/ Ñaët t = t2= 2–x x = 2–t2 dx= –2tdt. Khi x=–2 t=2; x=1 t=1. Vaäy . Daïng 6: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm löôïng giaùc thöôøng gaëp ¨Daïng: Phöông phaùp giaûi: Duøng coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång ñeå taùch thaønh toång hoaëc hieäu caùc tích phaân roài giaûi. ¨Daïng: Phöông phaùp giaûi: n chaün duøng coâng thöùc haï baäc, n leû duøng coâng thöùc ñoåi bieán. ¨Daïng: Ñaëc bieät: ; Ñaët t =sinx ¨Daïng: Ñaëc bieät: ; Ñaët t =cosx ¨ Caùc tröôøng hôïp coøn laïi ñaët x=tgt Baøi soá 8 : Tính caùc tích phaân sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 1/ = 32 2/ 3/I== Ñaët u=sinx du = cosx dx. Khi x=0 u=0 ; x= u=1 Vaäy: I= 4/J==. Ñaët u=sinx du = cosx dx. Khi x=0 u=0 ; x= u=1. J=. 5/ . 6/ . Ñaët u=sinx du = cosxdx. Khi x=0 u=0 ; x= u=1 . 7/ 33 8/.Ñaët u=cosx du =–sinxdx. Khi x=u=;x=Þu=0 . 9/ Ñaët u=cosx du =–sinxdx. Khi x=0 u=1 ; x= u=0. . III/ Dieän tích hình phaúng: 1/ Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 1 ñöôøng cong vaø 3 ñöôøng thaúng. Coâng thöùc: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] ; dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) :y=f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b; y= 0 laø : 2/ Daïng toaùn 2 : Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng cong & 2 ñöôøng thaúng Coâng thöùc: Cho haøm soá y=f(x) coù ñoà thò (C) vaø y=g(x) coù ñoà thò (C’) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C), (C’) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b laø : Phöông phaùp giaûi toaùn: B1: Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa (C) vaø (C’) B2: Tính dieän tích hình phaúng caàn tìm: 34 TH1: Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm voâ nghieäm trong (a;b). Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: TH2: Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù 1 nghieäm laø x1(a;b). Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: TH3: Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù caùc nghieäm laø x1; x2(a;b). Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: Chuù yù: * Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù nhieàu hôn 2 nghieäm laøm töông töï tröôøng hôïp 3. * Daïng toaùn 1 laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa daïng toaùn 2 khi ñöôøng cong g(x) = 0 Baøi 1: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = sinx treân ñoaïn [0;2p] vaø truïc hoaønh Ta coù :sinx = 0 coù 1 nghieäm x= vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S = = = 4 Baøi 2: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P1): y = x2 –2 x vaø (P2) y= x2 + 1 vaø caùc ñöôøng thaúng x =–1;x=2 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = –1/2 . S = = = = Baøi 3: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y2 = 4 x , vaø ñöôøng thaúng (d): 2x + y – 4 = 0. Ta coù (P): y2 = 4 x x = vaø (d): 2x+y–4 = 0 x= . Phöông trình tung ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø: = Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S= 35 Baøi 4: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bởi ñöôøng (P): y= x2 – 2x vaø truïc Ox Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm laø : . Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: . Baøi 5: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (H): vaø caùc ñöôøng thaúng coù phöông trình x=1, x=2 vaø y=0. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm laø : . Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: = . Baøi 6: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn giöõa ñöôøng cong (C): y= x4 – 4x2+5 vaø ñöôøng thaúng (d): y=5. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm laø : . Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: . Baøi 7: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y = x3 –3 x , vaø y = x . Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm laø : x3 – 3 x = x Û x3 –4x = 0 Û x = 0; x = ±2. . 2/ Daïng toaùn 3: Theå tích cuûa moät vaät theå troøn xoay Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay sinh ra khi hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) coù phöông trình y= f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a, x=b , y= 0 quay moät voøng xung quanh truïc Ox laø: 36 Baøi 1: Tính theå tích khoái caàu sinh ra do quay hình troøn coù taâm O baùn kính R quay quanh truïc Ox taïo ra Ñöôøng troøn taâm O baùn kính R coù phöông trình:x2 + y2 = R2 y2= R2–x2 Theå tích khoái caàu laø : V= = = = (ñvtt) Baøi 2: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : == (ñvtt) Baøi 3: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox: a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = . Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = . Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : . c/ y = ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1. Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : . Ñaët :. . 37 Chuû ñeà VI: SỐ PHỨC Bài toán 1: Tìm số phức, xác định số phức, phần thực, phần ảo, tính môđun, giải phương trình ... Cho hai số phức a+bi và c+di. 1) a+bi = c+di ó a = c; b = d. 2) môđun số phức 3) Số phức liên hiệp z = a+bi là = a - bi. 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) -( c+di) = (a-c)+(b-d)i. 6 ) (a+bi )( c+di) = (ac - bd)+(ad+bc)i 7) w = 8) Căn bậc hai của số phức * Số a> 0 có 2 căn là: . * Số a= 0 có 1 căn là: 0 * Số a< 0 có 2 căn là: . Bài toán 2: Giải phương trình bậc 2. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với D = b2 - 4ac. Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệp kép (nghiệm thực) Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: Nếu D < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức 38 1/ C¸c phÐp to¸n vÒ sè phøc Bài số 1: Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n sau: a. (2 – i) + b. c. d. (2 – 3i)(3 + i) e. g. (1 + i)2012 h. i. k. l. m. Giải a/ (2 – i) + . b. . c. . d. (2 – 3i)(3 + i). e. g.. h. i. . k. . l. . m. Bài số 2: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của các số phức. a. b. (4 – 5i)2 c. (3i + 1)3 d. e. 39 Giải a. . Phần thực là a = 54, phần ảo là b = – 10. Môđun số phức là: b. (4 – 5i)2 . Phần thực là a = – 9, phần ảo là b = – 40. Môđun số phức là: c.(3i+1)3 Phần thực là a = – 26, phần ảo là b = – 18. Môđun số phức là: d. . Phần thực là a = , phần ảo là b = . Môđun số phức là: . e. Phần thực là a = , phần ảo là b = . Môđun số phức là: . Bài số 3: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện: a/ x + 2i = 5 + iy b/ (x+1) + 3(y–1)i = 5 – 6i. a/ x + 2i = 5 + iy . b/ (x+1) + 3(y–1)i = 5 – 6i. Bài số 4: Giải các phương trình sau: a. (4 – 5i)z = 2 + i b. (3 + 4i)z = (1 + 2i)(4 + i) c.3z(2 – i) + 1 = 2iz(1 + i) + 3i 40 Giải a/ . Vậy: b/ . Vậy: . 2/ c¨n bËc hai cña Sè phøc. ph­¬ng tr×nh bËc hai Bài số 4: Giải các phương trình trên tập số phức: a. b. c. d. e. Giải: a/ nên . Phương trình có hai nghiệm : . b/ nên . Phương trình có hai nghiệm : . c. Phương trình: có nên . Phương trình có 2 nghiệm: . Vậy: Phương trình đã cho có 3 nghiệm:. d. Phương trình: có nên . Phương trình có 2 nghiệm: . Vậy: Phương trình đã cho có 3 nghiệm:. e. .Đặt: t = z2 , ta có: Vậy: Phương trình đã cho có 4 nghiệm:. PHẦN HAI: HÌNH HỌC 41 Chủ đề 7: KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY I. LÝ THUYẾT 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: vuông ở A: A B C H M b c a * Định lý Pitago : * * AB. AC = BC. AH * * BC = 2AM * 2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * Định lý hàm số Sin: 3. Các công thức tính diện tích. 3.1/ Công thức tính diện tích tam giác: a.ha với Đặc biệt: *vuông ở A : * đều cạnh a: 3.2/ Diên tích hình thoi : S = x (chéo dài x chéo ngắn) 3.3/ Diên tích hình vuông cạnh a: S = a2 = x (đường chéo)2 3.4/ Diện tích hình thang : S = ( (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 3.5/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 3.6/ Diện tích hình tròn : 4. Các công thức thể tích 4.1/ Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước) 42/ Thể tích khối lập phương : V = a3 (a là cạnh khối lập phương) 4.3/ Thể tích khôi chóp: V = ( B diện tích đáy, h chiều cao) 4.4/ Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao) 4.5/ Diện tích và thể tích khối nón Sxq= với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh V= với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình chóp. 4.6/ Diện tích và thể tích khối trụ Sxq= 2 với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh 42 V= với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ. M a H D C B A 4.7/ Diện tích và thể tích khối cầu với R là bán kính của hình cầu. II. BÀI TẬP 1/ KHỐI CHÓP 1.1/ KHỐI CHÓP TAM GIÁC Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a Đáy là BCD đều cạnh a. Diện tích đáy là: SBCD = . Gọi H trọng tâm của đáy. Tam giác ABH vuông tại H: AH2 = AB2 – BH2. Biết AB = a; BH = BM với BM = . Suy ra: Vậy: VS.AIC = Bài 2: Tính thể tích khối chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 600 M a H C B A S Gọi H trọng tâm của đáy. SH ^ (ABC). Do đó: . Tam giác HAS vuông tại H có: . . Mà AH = AM với AM = . Do:. M a H C B A S Đáy là ABC đều cạnh . Diện tích đáy là: B = . Vậy: V = Bài 3: Tính thể tích khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Đáy là tam giác đều cạnh bằng a nên diện tích là . 43 Gọi H trọng tâm của đáy. SH ^ (ABC). Do đó: . Tam giác HAS vuông tại H có:; . Thể tích khối chóp S.ABC là: V = Bài 4: Tính thể tích khối chóp S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 600 . Đáy là tam giác đều cạnh bằng a nên diện tích là . M a H C B A S Gọi H trọng tâm của đáy, M là trung điểm của BC. Dễ thấy BC ^ (SAM). Do đó: . Tam giác HMS vuông tại H có: ; . Thể tích khối chóp S.ABC là: V = Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b/ Gọi I là trung điểm của BC . S A B I C Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a . a/ Đáy là tam giác đều cạnh bằng a nên diện tích là . SA ^ (ABC) suy ra chiều cao là SA = . Thể tích khối chóp S.ABC là: V = b./ I là trung điểm BC, do tam giác ABC đều nên SI ^ BC (1) Mặt khác, SA ^ (ABC) Þ SA ^ BC (2). Từ (1) và (2) suy ra: BC ^ (SAI), suy ra: (SBC) ^ (SAI). Dễ thấy, thể tích khối chóp SAIC bằng nửa khối chóp S.ABC Vậy: VS.AIC = 44 Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC , AB = a và góc . S A B C Tính thể tích khối chóp S.ABC Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A nên SA = AC = AB = a. Diện tích đáy là B = . Mà SA ^ (ABC) nên chiều cao là SA = a. Thể tích khối chóp là: V = Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại cân tại B; BA = BC = a. Biết SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và góc giữa SC và (SAB) là 300. S A B C Tính thể tích khối chóp S.ABC Diện tích đáy là: B = . Ta có: BA ^ BC, mà SA ^ (ABC) nên SA ^ BC. Suy ra: BC ^ (SAB). Do đó góc SC và (SAB) là gócÞ. Và BC ^ (SAB) Þ BC ^ BS. Tam giác BSC vuông tại B:nên. Tam giác ASB vuông tại A có: . Suy ra: SA = . Thể tích khối chóp là: Bài 8:Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng a Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN S A B C M N O Đáy là tam giác đều cạnh bằng a nên diện tích là . Chiều cao là SO = 1. Thể tích khối chóp S.ABC là: V = . Mà: . Suy ra 45 Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. Hạ SH (ABC) và kẻ HM AB, HNBC, HP AC Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là = = 600 Ta có: Các vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau 7a 6a 5a N M H P C B A 600 S (Vì có chung 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600). Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC * Tính: VS.ABC = Bh = SABC .SH Tính: SABC = . Ta có: p = . Suy ra: SABC = Tính SH: Tam giác SMH vuông tại H, ta có: tan600 = SH = MH. tan600 Mà: SABC = p.r = p.MH MH = = Suy ra: SH = Thể tích là: VS.ABC = . Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. a./ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b./ Tính thể tích của khối chóp S.DBC a) Hạ SH (ABC) H là trọng tâm của ABC đều cạnh a 60 ° E D a H C B A S Gọi E là trung điểm của BC * Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là = = 600 * Tính: * Tính SD: SD = SA – AD * Tính SA: SA = 2AH (vì SAH là nửa tam giác đều) và AH = AE mà AE = vì ABC đều cạnh a. Suy ra: SA = * Tính AD: AD = ( vì ADE là nửa tam giác đều). Suy ra: AD = 46 * Suy ra: SD = . ĐS: b) * Tính VS.ABC = Bh = SABC.SH * Tính: SABC = (vì ABC đều cạnh a) * Tính SH: Trong SAH tại H, ta có: sin600 = SH = SA.sin600 = a. Suy ra: VS.ABC = * Từ . Suy ra: VS.DBC = 1.2/ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC Bài 11: Tính thể tích khối chóp khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Giải: Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Diện tích là: SABCD = a2. a H S D C B A H là giao điểm của 2 đường chéo. AC = BD = Tam giác SAH vuông tại H: SH2 = SA2 – AH2 . Biết SA = a; AH = . Suy ra : . Thể tích khối chóp là : V = . Bài 12:Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SABCD = a2. a H S D C B A H là giao điểm của 2 đường chéo. AC = BD = .Ta có: . Tam giác SAH vuông tại H: . . Suy ra : . Thể tích khối chóp là : V = . 47 Bài 13:Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp. S A B C D H M Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Diện tích là: SABCD = a2. M là trung điểm của BC. Khi đó: H là giao điểm của 2 đường chéo Tam giác HSM vuông tại H: . . Suy ra : . Thể tích khối chóp là : V = . Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB a./ Chứng minh rằng: SH (ABCD) S D a H C A B b./ Tính thể tích khối chóp S.ABCD a) Ta có: mp(SAB) (ABCD); (SAB) (ABCD) = AB; SH (SAB) mà SH là đường cao của SAB đều nên SH AB. Suy ra: SH (ABCD) (đpcm) b) Tính: VS.ABCD = Bh = SABCD.SH Diện tích đáy là: SABCD = a2 . Chiều cao: SH = (vì SAB đều cạnh a) Thể tích khối chóp là: VS.ABCD = Bài 15: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a c/ Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 khối chóp đó. S A B C D O a./ Gọi O là tâm của đáy ABCD. SO ^ (ABCD) nên chiều cao là SO. Trong tam giác vuông OSA: . Đáy là hình vuông cạnh a nên diện tích đáy là: B = a2. Thể tích là: . 48 b./ Khối chóp S.ABC có thể tích bằng nửa thể tích khối chóp S.ABCD. Thể tích khối chóp S.ABD là: . c./ Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp S.ACB và S.ACD. Bài 16: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và góc ở đỉnh là 600. S A B C D H Gọi O là tâm của đáy ABCD. SO ^ (ABCD) nên chiều cao là SH. Tam giác SAB là tam giác đều nên SA = SB = AB = a. Mà AC = BD = Do đó tam giác SAC vuông cân tại S suy ra: SH = . Đáy là hình vuông cạnh a nên diện tích đáy là: B = a2. Thể tích khối chóp S.ABCD là: . Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a biết SA ^ (ABCD) và SC hợp với đáy một góc là 600. Tính thể tích khối chóp. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Diện tích là: SABCD = a2. S B C D A Do: SA ^ (ABCD) . Tam giác ASC vuông tại A: . Mà AC = BD = . . . 2/ KHỐI LĂNG TRỤ - KHỐI HỘP A A’ B C C’ B’ Bài 18 : Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a . a./ Tính thể tích khối lăng trụ theo a . b./ Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C a./ ABC là tam giác đều cạnh a nên diện tích đáy B = . Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên chiều cao lăng trụ là a. Thể tích khối chóp S.ABCD là: . b./ Khối lăng trụ đứng đã cho được chia thành 3 tứ diện bằng nhau. = = Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, 49 AC = a, = 600, đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300. a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ 600 C' B' A' C B A 300 a) * Xác định là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’) DoABC vuông tại A BA AC . Mà: BA AA’ BA ( ACC’A’) Do đó: = = 300 * Tính AC’: Tam giác BAC’ vuông tại A tan300 = AC’ = = AB * Tính AB: Trong ABC tại A, ta có: tan600 = Þ AB = AC. tan600 = a . b) = Bh = .CC’ * Tính: = AB.AC = .a.a = * Tính CC’: Trong ACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = Thể tích khối lăng trụ là: = a3 Bài 20: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ. * Kẻ A’H (ABC) * A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ABC đều cạnh a a 600 N H C' B' A' C B A * Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là = = 600 * Tính: = Bh = .A’H * Tính: = (Vì ABC đều cạnh a) * Tính A’H: Trong AA’H tại H, ta có: tan600 = A’H = AH. tan600 = AN. = a Thể tích khối lăng trụ là: = 3/ KHỐI TRÒN XOAY 3.1. KHỐI NÓN Bài 21: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a./ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b./ Tính thể tích của khối nón 50 3 4 A B O a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15 Tính: AB = 5 (AOB tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24 b) V = = = = 12 2a A B S O Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a./ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b./ Tính thể tích của khối nón a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2 * Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2 b) V = = = Tính: SO = (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a) Bài 23: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. 450 S B A O a./ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b./ Tính thể tích của khối nón a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên = = 450 * Sxq = Rl = .OA.SA = a2 Tính: SA = a; OA = a (Tam giác SOA vuông tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = a2 + a2 = (1 + ) a2 A B O l h A’ B’ b) V = = = 3.2. KHỐI TRỤ Bài 24: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông. a./ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b./ Tính thể tích của khối trụ a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R.2R = 4R2 * OA =R; AA’ = 2R * Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2 b) * V = = = Bài 25: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a./ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b./ Tính thể tích của khối trụ c./ Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên 51 h r l B' A' O' I O B A a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2) b) * V = = = .52.7 = 175(cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm * = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 * Tính: AI = 4(cm) 3.3. KHỐI CẦU Bài 26: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với (ABC), ABC vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a a./ Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D b./ Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu a) * Gọi O là trung điểm của CD. O D C B A DAC vuông tại A OA = OC = OD = CD; DBC vuông tại B OB = CD Do đó: OA = OB = OC = OD = CD. Suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O;) b) Bán kính R== == * S = ; * V = R3 = Bài 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. a./ Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b./ Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu S A B C D O a) Gọi O là tâm của đáy ABCD. SO ^ (ABCD). AC = BD = . Tam giác SAC vuông cân tại S suy ra: . Suy ra: OA = OB = OC = OD = OS Vậy: mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S là mặt cầu tâm O. b) Bán kính là: R = OA = Diện tích mặt cầu là: S = 2a2. Thể tích mặt cầu là: V = . Chủ đề 8: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 52 I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ: đồng phẳng không đồng phẳng 14. M là trung điểm AB : 15. G là trọng tâm tam giác ABC: 16. Véctơ đơn vị: 17. 18. 53 19. 20. 21. 2/ Mặt cầu 2.1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R (1) Phương trình (2) () laø phöông trình maët caàu taâm I(–A ; –B ; –C) vaø 2..2 Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu Cho vaø a : Ax + By + Cz + D = 0 Goïi d = d(I,a) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mpa : d > R : (S) Ç a = f d = R : a tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, a: tieáp dieän) d < R : a caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt 2.3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu (1) vaø (2) + Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t. + Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm II.CÁC DẠNG TOÁN a/ Các dạng toán về toạ độ điểm, véctơ. Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc ª A,B,C laø ba ñænh tam giaùc Û [] ≠ ª SDABC = ª Ñöôøng cao AH = ª Shbh = Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng ABCD laø hbh Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän: 54 ª [].≠ 0 Vtd = ª Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD : ª Theå tích hình hoäp : Dạng 4/ Hình chiếu của một điểm M trên các trục tọa độ và trên các mp tọa độ: Cho điểm M ( x , y , z ). Khi đó: + M1 là hình chiếu của