Phương pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động (Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật)

ác bài toán cụ thể như sau : Bài toán lực di động : Trong số các vấn đề dao động của kết cấu và vật rắn chịu tải trọng di động thì trường hợp đơn giản nhất là ứng suất động học trong dầm gối tựa đơn chịu một lực không đổi di chuyển trên nó với vận tốc không đổi. Bài toán khối lượng di động: Nếu chuyển vị tương đối của vật so với dầm nhỏ có thể bỏ qua thì ta có )]([)( 0 twgmtP  . Khi đó phương trình (1.1.1) là mô hình của bài toán dao động của dầm dưới tác dụng của khối lượng di động. Bài toán vật thể di động: Trong trường hợp tổng quát, hệ phương trình hỗn hợp (1.1.1) bao gồm cả phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng là mô hình của bài toán vật thể di động. Lúc này, kết quả giải hệ phương trình này cho ta đồng thời đáp ứng động lực học của cả dầm và vật. 1.2. Các phƣơng pháp giải bài toán tải trọng di động a) Phương pháp Bubnov-Galerkin Phương pháp Bubnov-Galerkin là một phương pháp gần đúng hữu hiệu để giải phương trình vi phân, tích phân. Vì thế đối với các đối tượng của Động lực học công trình mà phương trình chuyển động của nó có thể thiết lập được ở giải tích thì ta có thể  w0 E, I, , F w(x,t) x x0 c v m v)( 0 tx k 5 sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin để tìm đáp ứng động. Bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di động ngay từ đầu và cho đến nay vẫn đang được nghiên cứu bằng phương pháp chồng mode. b) Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp PTHH ra đời và phát triển đến nay trở thành một phương tiện hiệu quả và thông dụng nhất trong việc nghiên cứu các bài toán kỹ thuật. Các kết quả nhận được trong việc áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán tải trọng di động chủ yếu là tìm giá trị cực đại của đáp ứng (chuyển vị, vận tốc, gia tốc) trong miền thời gian phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng. Mặc dù phương pháp PTHH là công cụ chủ đạo trong nghiên cứu động lực học các kết cấu phức tạp như khung, dàn, v.v Nhưng khi áp dụng cho kết cấu dầm thì phương pháp PTHH cũng chỉ cho phép nghiên cứu đáp ứng của dầm trong miền tần số thấp tương đương với tần số cơ bản như trong phương pháp Bubnov-Galerkin. Ngoài ra, khi áp dụng cho bài toán tải trọng di động phương pháp PTHH có hai nhược điểm: một là phải có thuật toán theo dõi vị trí của tải trọng để tính toán tải trọng nút, tốn thời gian tính toán; hai là phương pháp PTHH chỉ cho ta đáp ứng trong khoảng thời gian mà tải trọng còn ở trên dầm. Trong khi những nghiên cứu lý thuyết cho thấy dầm vẫn tiếp tục dao động và có khi còn rất mạnh ngay cả khi tải trọng đã ra khỏi dầm không còn tác dụng lên dầm nữa. Vì những lý do nêu trên, tác giả luận án đã không lựa chọn phương pháp PTHH cho nghiên cứu của mình về bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di động. c) Phương pháp độ cứng động Thực chất người ta đã quan tâm đến phương pháp độ cứng động từ rất sớm, thậm chí trước cả phương pháp PTHH. Nó có nguồn gốc từ phương pháp độ cứng cổ điển, nhưng do việc tính 6 toán quá phức tạp nên đã bị lãng quên một thời gian. Cuối thế kỷ 20, khi phương pháp PTHH gặp một số trở ngại trong việc mô phỏng các quá trình động lực tần số cao, phương pháp độ cứng động lực được quan tâm và phát triển. Đặc biệt là khi các công cụ tính toán trên máy tính nhất là phương pháp tính toán bằng chữ (symbolic) phát triển rất mạnh. Có một số người cho rằng, phương pháp độ cứng động là sự phát triển tiếp theo của phương pháp PTHH, trong đó các hàm dạng Hermitt (thực chất là lời giải của bài toán tĩnh) đã được thay bằng các hàm dạng mới là lời giải của bài toán động (phụ thuộc tần số). Dù sao thì phương pháp độ cứng động và phương pháp PTHH cũng có sự khác nhau cơ bản sau đây: phương pháp độ cứng động xét các bài toán trong miền tần số, còn phương pháp PTHH xét các bài toán trong miền thời gian. Gần đây, đã xuất bản một số sách chuyên khảo về một phương pháp mới của động lực học, gọi là phương pháp phần tử phổ (spectral element method - SEM). Thực chất, phương pháp phần tử phổ chỉ là phương pháp độ cứng động được kết nối với phép biến đổi Fourie nhanh, nên kết quả nhận được cũng chỉ lời giải trong miền thời gian. 1.3. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi Nội dung cơ bản của bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi là xác định vị trí và độ sâu của các vết nứt bằng cách đo đạc các đặc trưng dao động (có thể là dao động riêng hay dao động cưỡng bức) của dầm. Các phương pháp giải quyết bài toán này có thể được phân loại theo các đặc trưng đo đạc được của dầm như sau: (1) Phương pháp tần số riêng nghĩa là xác định vị trí và độ sâu của vết nứt từ số liệu đo đạc tần số dao động riêng; 7 (2) Phương pháp dạng dao động riêng giải quyết bài toán chẩn đoán vết nứt sử dụng các dạng riêng hoặc độ cong (tỷ lệ với biến dạng) của dạng riêng có thể đo đạc được; (3) Phương pháp hàm đáp ứng tần số dựa trên các số liệu đo đạc hàm đáp ứng phổ đo đạc được trong Thử nghiệm động (Dynamic Testing). (4) Phương pháp miền thời gian dự trên các số liệu đo đạc hàm đấp ứng trong miền thời gian. Trong các phương pháp nêu trên, ngoại trừ phương pháp hàm đáp ứng tần số, đều gặp phải khó khăn là sai số đo đạc ảnh hưởng nhiều đến kết quả chẩn đoán mà cho đến nay vẫn chưa có cách giải quyết triệt để. Tuy nhiên, phương pháp hàm đáp ứng tần số, mặc dù sai số đo đạc ảnh hưởng ít hơn, nhưng do hàm đáp ứng tần số cho đến nay vẫn được xây dựng trên cơ sở phương pháp chồng mode và sự tương tác giữa các mode dao động lại làm cho hàm đáp ứng tần số ít nhạy cảm với hư hỏng. Vì vậy, việc xây dựng hàm đáp ứng tần số mà không cần biết các dạng dao động riêng sẽ là một triển vọng cho việc áp dụng để chẩn đoán vết nứt bừng hàm đáp ứng tần số. 1.4. Xác định phƣơng hƣớng và nội dung nghiên cứu Những phân tích và trình bày nêu trên cho phép ta rút ra một số nhận xét sau đây: Mặc dù bài toán tải trọng di dộng đã được quan tâm nghiên cứu cách đây hàng trăm năm và đã có rất nhiều công trình nghiên cứu cả lý thuyết, thực nghiệm và ứng dụng, nhưng bài toán này đến nay vẫn còn là một vấn đề cấp thiết trong cả nghiên cứu và ứng dụng. Lý do thứ nhất là do sự phát triển không ngừng của các phương tiện giao thông, vận tải, mô hình tải trọng cũng đòi hỏi phải được nghiên cứu phát triển cho phù hợp với thực tế. Hai là các kết cấu chịu tải trọng di động cũng ngày càng phức tạp, đòi 8 hỏi những mô hình kết cấu mới, đặc biệt là các kết cấu có khuyết tật và hư hỏng. Riêng bài toán kết cấu đơn giản với tải trọng phức tạp hay kết cấu phức tạp chịu tải trọng đơn giản cũng là những vấn đề cần phải giải quyết. Cho dù nhiều phương pháp đã được phát triển để nghiên cứu bài toán tải trọng di động, những lời giải chính xác của bài toán ngay cả về phương diện toán học vẫn còn quá ít. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng cách đo đạc đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động đã biết, như đã phân tích ở trên là rất triển vọng. Bởi vì số lượng điểm đo tải trọng lúc này thực chất là đã tăng lên vô cùng (do tải trọng di động liên tục trên dầm). Đặc biệt là nếu có thể đo đạc đáp ứng của dầm bằng một đầu đo di động cùng với tải trọng. Chắc chắn số liệu đo đạc sẽ rất nhiều thông tin về trạng thái kỹ thuật của dầm, ví dụ như các vết nứt. Vì những lý do nêu trên, vấn đề đặt ra trong luận án này là phát triển phương pháp phổ tần số để nghiên cứu dầm đàn hồi có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động. Chƣơng 2. CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN 2.1. Hàm đáp ứng tần số Xét dao động uốn của dầm đàn hồi Euler-Bernoulli mô tả bằng phương trình ),( ),(),(),(),( 22 2 4 5 14 4 txp t txw t txw F tx txw x txw EI                        , trong đó ),( txw là độ võng của dầm tại mặt cắt x và E, I, F, ρ, L là các tham số vật liệu, hình học, 21, là các hệ số cản của dầm. Biến đổi Fourie hai vế phương trình trên ta được ),(),( ),( 4 4 4   xQxW dx xWd  , ;/)( 21 24 EIiF   (2.1.1) 9 ;),(),(; ),( ),(;),(),(         dtetxpxP EI xP xQdtetxwxW titi     )1/()/();1(/1 21212 2 1211   . Trong trường hợp tổng quát hàm ),( xW thoả mãn phương trình (2.1.1) và điều kiện biên được gọi là đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng tổng quát ),( txp . Đáp ứng tần số là một hàm phức, mô tả biên độ dao động cưỡng bức của dầm ứng với tần số  , ),(),(),(  xiIxRxW ww  . Giá trị tuyệt đối hay modun của đáp ứng tần số, ký hiệu là ),(),(),(),( 22  xIxRxWxS www  (2.1.2) chính là biên độ đáp ứng của dầm đàn hồi chịu tải trọng tổng quát ),( txp . Hàm số ),( xSw của hai biến ,x , được gọi là phổ biên độ đáp ứng (Response Spectrum) của dầm tại mặt cắt x xét trong miền tần số. Nếu xét hàm (2.1.2) theo biến x với 0 cố định ta được một đặc trưng gọi là biểu đồ biên độ dao động hay dạng dao động của dầm tại tần số 0 . Nội dung của phương pháp phổ tần số trong bài toán tải trọng di động được trình bày dưới đây là việc xây dựng hàm phổ biên độ đáp ứng của dầm đàn hồi chịu tải trọng di dộng. 2.2. Phƣơng pháp phổ tần số trong bài toán tải trọng di động Xét một dầm Euler-Bernoulli chịu tác dụng của lực bất kỳ P(t) di động với vận tốc hằng số trên dầm. Khi đó v/)/()v()(),( v/ EIevxPdtetxtPxQ xiti        ; (2.2.1) Dễ dàng nhận thấy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1) bằng ),(),(),( 10  xxxW  (2.2.2) 0),(/),( 0 44 0 4   xdxxd   x dssQsxhx 0 1 ),()(),(  ; 32/)sin(sinh)(  xxxh  . 10 Như vậy, ta đã xác định được đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng tập trung di động bất kỳ ở dạng 3,2,1),,()()(),( 121  rxxDLxCLxW  . (2.2.3) với các hàm số )(),( 21 xLxL được xác định từ điều kiên biên cụ thể; hàm số )(1 x có dạng (2.2.3) và các hệ số C, D được tính bằng các công thức )()()()( )(),()(),( )( 2 )( 1 )( 2 )( 1 )( 2 )( 1 )( 2 )( 1 1111 1111     pqqp qppq LLLL LL C    ; )()()()( )(),()(),( )( 2 )( 1 )( 2 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 1111 1111     pqqp pqqp LLLL LL D    . (2.2.4) 2.3. Phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc giải phương trình ,bAx  (2.3.1) (2.3.1) trong đó ma trận A là bất kỳ (có thể không vuông hoặc suy biến) và b là véc tơ chỉ được biết một cách gần đúng so với giá trị chính xác .b Theo phương pháp điều chỉnh Tikhonov, phương trình (2.3.1) được thay bằng phương trình .LxLbAx)LLAA( 0TTTT α (2.3.2) Khi đó nghiệm của phương trình (2.3.1) đã được điều chỉnh bằng .vxv bux xˆ 1 0 1 2 0 k n rk kk r k k T kkk                    (2.3.3) Kết luận chƣơng 2 Trong chương này đã đưa ra khái niệm hàm đáp ứng phổ của dầm chịu tải trọng bất kỳ, là một hàm của hai biến số: tần số ( ) và toạ độ của dầm (x). Sau đó đã trình bày nội dung phương pháp phổ tần số và áp dụng cho trường hợp tải trọng di động với vận tốc không đổi. So sánh đáp ứng thời gian nhận được bằng phương 11 pháp phổ tần số (sau khi biến đổi Fourie ngược) và phương pháp chồng mode cho phép ta khẳng định rằng : nếu xét trong miền thời gian thì phương pháp phổ tần số tương đương với phương pháp chồng mode. Sự khác biết có thể chỉ là ở cấu trúc phổ của hai nghiệm, đặc biệt là ở tần số cao, khi mà phương pháp chồng mode không thể ấp dụng. Ở đây cũng đã trình bày tóm lược cơ sở phương pháp điều chỉnh Tikhonov sẽ áp dụng cho bài toán chẩn đoán vét nứt ở chương 4. Chƣơng 3. ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA DẦM CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA DI ĐỘNG 3.1. Dao động của dầm chịu tải trọng hằng số Để tiện việc tính toán ta đưa vào các biến không thứ nguyên như sau: 1//  vcVv  (tham số vận tốc) và tần số tính toán được chuẩn hóa bằng tần số cơ bản của dầm ]2,0[/ 1   . Trong đó  /1cV là vận tốc tới hạn, 1 là tần số riêng cơ bản, /vv   là tần số lái (driving frequency). Hình 3.1. Phổ biên độ phụ thuộc vào vận tốc tải trọng Hình 3.2. Biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc 12 Hình 3.3. Phổ biên độ dao động tại vận tốc phản cộng hưởng Hình 3.4. Phổ biên độ dao động ( 14.0  ) tại các vận tốc khác nhau Nhận xét: Trong trường hợp tải trọng di động là hằng số, biểu đồ phổ biên độ tần số cho thấy chỉ xuất hiện hai biên độ nổi trội tại tần số bằng 0 và tần số riêng. Điều này chứng tỏ chỉ tồn tại dao động với tần số riêng (gọi tắt là dao động riêng). Tuy nhiên, biên độ dao động riêng chỉ nổi trội khi vận tốc di chuyển của tải trọng lớn hơn 1/3 vận tốc tới hạn. Khi tốc độ di chuyển của tải trọng thấp (nhỏ hơn một phần mười vận tốc tới hạn) thì đáp ứng là chuyển vị tĩnh. Biên độ dao động kéo theo nói chung rất nhỏ, nó chỉ đạt cực đại khi tốc độ tải trọng bằng vận tốc tới hạn. Khi vận tốc di chuyển của tải trọng nhỏ hơn 1/3 vận tốc tới hạn, sự tương tác giữa dao động kéo theo với dao động riêng xảy ra tương đối mạnh làm cho biên độ dao động riêng có thể bị triệt tiêu ở một số giá trị của vận tốc tải trọng. Những vận tốc này được gọi là vận tốc phản cộng hưởng và được xác định bằng một công thức giải tích. Hệ số cản nói chung làm giảm biên độ dao động của đáp ứng, nhưng không ảnh hưởng đến sự tương tác giữa dao động kéo theo và dao động riêng. 13 3.2. Đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng điều hòa di động Khảo sát các đồ thị trên Hình 3.4 ( 14.0  ) cho thấy khi vận tốc di chuyển của lực thấp hơn 0.1vc, thì biên độ dao động cưỡng bức là nổi trội. Tuy nhiên, biên độ dao động này giảm rất nhanh khi vận tốc tăng đến 0.2vc và sau đó thì đỉnh tại tần số tải trọng này hoàn toàn biến mất. Lúc này chỉ còn lại đỉnh của thành phần dao động riêng. Như vậy, có thể khẳng định rằng, thành phần dao động riêng sẽ là chủ đạo khi vận tốc vượt qua 0.2 vận tốc tới hạn. Dao động kéo theo chỉ xuất hiện như những cánh hoa rất nhỏ hai bên đỉnh dao động cưỡng bức và dao động riêng. Sự tắt của dao động riêng được minh chứng bằng hàm phổ biên độ đáp ứng với các vận tốc phản cộng hưởng được trình bày trong Hình 3.5. Như vậy, ứng với mỗi tần số của lực di động ta có thể tìm được các vận tốc phản cộng hưởng tương ứng. Biểu đồ cho phép ta xác định các vận tốc phản cộng hưởng ứng với các tần số tải trọng khác nhau được trình bày trong Hình 3.6. Hình 3.5. Phổ biên độ, 14.0  , tại vận tốc phản cộng hưởng Hình 3.6. Biểu đồ tốc độ phản cộng hưởng và tần số tải trọng 14 Kết luận chƣơng 3 Kết quả phân tích hàm đáp ứng tần số chịu tải trọng di động nêu trên cho phép ta rút ra những kết luận sau đây: Hàm đáp ứng tần số là một đặc trưng quan trọng trong phân tích dao động của dầm chịu tải trọng di động. Nó cho phép ta nghiên cứu bức tranh dao động đầy đủ của đáp ứng bao gồm cả các dao động cưỡng bức (dao động bình ổn) và dao động riêng của dầm chịu tác dụng của lực điều hoà di động; Sử dụng hàm đáp ứng tần số chúng ta có thể nhận biết các dạng dao động theo vận tốc di chuyển của tải trọng như sau: Khi vận tốc di chuyển của tải trọng thấp hơn 1/10 vận tốc tới hạn, thì chỉ tồn tại dao động cưỡng bức (với tần số của tải trọng) bình ổn. Khi tải trọng di chuyển với vận tốc lớn hơn 1/3 vận tốc tới hạn, ta gọi đây là vận tốc cao, lúc này hầu như chỉ tồn tại dao động với tần số riêng (gọi là dao động riêng). Trong trường hợp tải trọng di chuyển với vận tốc trung bình (lớn hơn 1/10 và nhỏ hơn 1/3 vận tốc tới hạn) thì dao động cưỡng bức và dao động riêng tương tác mạnh với nhau và tồn tại những vận tốc làm cho dao động riêng bị triệt tiêu. Các vận tốc này gọi là phản cộng hưởng và trong luận án này đã đưa ra công thức để tính vận tốc phản cộng hưởng; Sự tương tác giữa các tải trọng điều hoà cũng ảnh hưởng đến biên độ dao động cưỡng bức và dao động riêng. Cụ thể là lực hằng số có ảnh hưởng lớn khi vận tốc của tải trọng thấp. Khi vận tốc tải trọng cao, thì ảnh hưởng của tải trọng với tần số gần tần số riêng trở nên nổi trội. Hai tần số đối xứng nhau qua tần số riêng ảnh hưởng như nhau đến biên độ dao động khi vận tốc thấp. Nhưng ở vận tốc cao thì ảnh hưởng của tải trọng với tần số cao hơn sẽ lớn hơn. 15 Chƣơng 4 DAO ĐỘNG CỦA DẦM BỊ NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG 4.1. Dao động riêng của dầm có vết nứt Hình 4.1. Mô hình dầm có nhiều vết nứt. Xét một dầm đàn hồi đồng chất thiết diện không đổi có mô đun đàn hồi E, mật độ khối ρ, chiều dài L, diện tích mặt cắt ngang F và mô men quán tính hình học mặt cắt ngang I, có n vết nứt tại vị trí .,...,1, nje j  Giả thiết, vết nứt ngang và mở hoàn toàn được mô hình bằng lò xo xoắn có độ cứng ),...,1(0 njK j  dưới dạng hàm của độ sâu vết nứt ).,...,1( nja j  (Hình 4.1). Phương trình dao động tự do của dầm ),1,0(,0)()( 4)(  xxxIV  4 2 / EIFL   (4.1.1) điều kiện biên lý tưởng tổng quát là 0)1()1(,0)0()0( )()( )()( 00  qpqp (4.1.2) và điều kiện tương thích tại các vị trí vết nứt ).0()0()0( );0()0();0()0();0()0(        jjjj jjjjjj eee eeeeee  (4.1.3) với jj LKEI 0/ và K0j được xác định trong mục trước. Phương trình tần số   ,0)I)()e,(B)γ(Γdet(),,( 0   Lef (4.1.4) L e1 ej aj a1 x y h b E, , F b h K0j 16  ,,...,)γ(Γ 1 ndiag  ],...,1,),,([),(B nkjeebbe kjjk   . Dạng dao động riêng )(/),,(),,(,),,(),()( 0 1 kjkjk n j kjjkkk Lexexexxx     Ví dụ minh họa: Kết quả tính toán tần số riêng của dầm đa nhịp Bảng 4.1. Kết quả tính toán tần số của dầm liên tục có vết nứt Các phương án vết nứt Tần số 1 Tần số 2 Tần số 3 Tần số 4 Tần số 5 Tần số 6 Không nứt (4.1.61) 3.1416 3.9266 6.2832 7.0686 9.4248 10.2102 TL[36] π 3.9266 2π 7.0685 3π 10.2101 Nhịp 1 Nhịp 2 Nghiệm phương trình (4.1.59) Không nứt 1.2 1.8 3.1056 3.9266 6.2395 7.0686 9.3911 10.2101 0.5 1.2 1.8 3.1056 3.7753 6.2395 7.0190 9.3911 9.7954 0.2 0.8 1.2 1.8 3.1056 3.7878 6.2395 6.6617 9.3911 9.5124 0.2 0.8 1.5 3.1157 3.7878 6.2832 6.6617 9.4270 9.5124 0.2 0.8 Không nứt 3.1416 3.7878 6.2832 6.6617 9.4248 9.5124 4.2. Phƣơng pháp phổ tần số áp dụng cho dầm có vết nứt chịu tải trọng di động Trong mục này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phổ trong phân tích đáp ứng của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động, được mô tả bằng phương trình )]v[)( ),(),(),( 2 2 4 4 txtP t txw F t txw F x txw EI           (4.2.1) Biến đổi Fourier hai vế phương trình (4.2.1), ta được ),(),( ),( 4 4 4   xQx dx xd  ; (4.2.2) Nghiệm tổng quát của phương trình (4.2.2) có dạng   x dssQsxhxx 0 0 ),()(),(),(  , (4.2.3) ]sin)[sinh2/1()( 3 xxxh   ; 0),( ),( 0 4 4 0 4    x dx xd . (4.2.4) Khi đó nghiệm của phương trình (4.2.2) có thể biểu diễn ở dạng 17    n k kk exKxLx 1 00 )(),(),(  (4.2.5)     1 1 0 ])(),([ j k kjkjjj eeSeL  . (4.2.6) Như vậy ta đã tìm được nghiệm khép kín của phương trình (4.2.2) có thể biểu diễn ở dạng ),,,(),(),( 1 0  exxx k n k k   , (4.2.7) ),(),(),(),( 120100  xxLDxLCx  ; nkexKxLDxLCx kkkk ,...,1),(),(),(),( 21   . Trong trường hợp lực tuần hoàn, ta có ti eePtP 0)(  và do đó e xivxi eQeEIPxQ     ˆ,v)/(),( v/ ˆ 0 /ˆ 0 ]v)/ˆ(/[)(),( 44v/ ˆ 0101     xieQxx ; xPxPxPxPx  sin)(cos)(sinh)(cosh)()( 432110  . 4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng di động Để minh hoạ cho lý thuyết nêu trên, chúng ta xét dầm đàn hồi với các tham số: m25 , 225.05.0 mhbF  , 3/7850,200 mkgMPaE   với các kịch bản khác nhau về vết nứt. Ở đây sẽ khảo sát số sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số gây nên bởi các vết nứt đồng thời với tải trọng di động (tốc độ và tần số). Vì đáp ứng tần số là một hàm phức, nên sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số có thể xem xét ở hai khía cạnh: một là sự thay đổi của giá trị tuyệt đối và hai là giá trị tuyệt đối của sự thay đổi, được ký hiệu như sau 0( , ) ( , ) ( , )a cS x x x      , 0( , ) ( , ) ( , )m cS x x x      , Trong đó chỉ số dưới là “c” mô tả hàm đáp ứng tần số của dầm bị nứt và chỉ số “0” là hàm đáp ứng tần số của dầm không bị nứt; ( , )aS x  là sự thay đổi của phổ biên độ của đáp ứng (gọi tắt là sự thay đổi biên độ dao động và ( , )mS x  gọi là sự thay đổi 18 hàm đáp ứng tần số. Tuỳ trường hợp sự thay đổi nào đáng kể hơn sẽ được xem xét chi tiết hơn và ở đây chưa quan tâm đến đặc trưng pha của hàm đáp ứng tần số. Ngoài ra chúng ta vẫn tính toán trên các đại lượng không thứ nguyên ce Vf /v,/,/ 11   , trong đó 1 là tần số riêng cơ bản,  là tần số của tải trọng và 1 /cV L  là vận tốc tới hạn của tải trọng. Việc khảo sát được thực hiện trong miền tần số từ 0 đến 12 , tức ]2,0[),2,0(  ef có tâm là tần số cơ bản. Sự thay đổi được xem xét cả theo biến không gian x dọc theo chiều dài dầm. Hình 4.2. Sự thay đổi biên độ với các vận tốc tải trọng khác nhau Hình 4.3. Sự thay đổi biên độ với các tần số tải trọng khác nhau Hình 4.4. Sự thay đổi biên độ đáp ứng theo tần số tải trọng Hình 4.5. Sự thay đổi hàm đáp ứng tần số theo vị trí vết nứt 19 Hình 4.6. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm và vị trí vết nứt Hình 4.7. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số với các vận tốc tải trọng khác nhau Hình 4.8. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số ứng theo số lượng vết nứt (từ 1 đến 9) Hình 4.9. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm theo số lượng vết nứt (từ 1 đến 9); Trong các Hình 4.2-4.9 trình bày sự thay đổi của phổ biên độ đáp ứng của dầm tương ứng với các giá trị của vận tốc và tần số tải trọng; vị trí và số lượng vết nứt khác nhau. 4.4. Nhận dạng vết nứt trong dầm bằng hàm đáp ứng tần số Trong mục này sẽ xây dựng một thuật toán để nhận dạng vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng di động. Nội dung của phương pháp gồm các bước sau: 20 (1) Giả thiết vết nứt với độ sâu chưa biết xuất hiện tại các vị trí nee ,...,1 , xây dựng một mô hình dầm có các vết nứt đã giả thiết này và thiết lập biểu thức tổng quát của hàm đáp ứng tần số chịu tải trọng di động cho trước; (2) Sử dụng mô hình đã xây dựng ở trên và số liệu đo đạc về hàm đáp ứng tần số xác định độ sâu chưa biết của các vết nứt; (3) Vẽ biểu đồ của độ sâu vết nứt theo các vị trí vết nứt đã giả thiết và trên biểu đồ đó các đỉnh nổi trội sẽ cho ta vị trí và độ sâu vết nứt thực của dầm. Như vậy, vấn đề bây giờ là xác định độ sâu các vết nứt đã giả thiết sử dụng mô hình đã được xây dựng cùng với số liệu đo đạc. Dưới đây trình bày các phương trình cơ bản để tính toán độ sâu vết nứt từ số liệu đo. Thay cho độ sâu vết nứt, ở đây sử dụng đại lượng gọi là độ lớn vết nứt ),...,( 1 nγ đã được đưa vào ở trên khi xây dựng mô hình. Các đại lượng lượng này tỷ lệ với độ sâu vết nứt. Giả sử hàm đáp ứng tần số ),(  x của dầm chịu tải trọng di động )(tP đo được tại các vị trí )ˆ,...,ˆ( 1 mxx , nghĩa là ta có các số liệu mjxf jj ,...,1),,ˆ()(   cùng với hàm theo thời gian )(tP . Sử dụng phương trình (4.2.15) ta có thể nhận được phương trình )()(  bμA  , (4.4.1) trong đó },...,1),()()({)( ];,...,1;,...,1),([)( 0 mjfb nkmj jjj jk     b A (4.4.2) },...,1;,...,1),,,()();,()({ 00 nkmjxx jkjkjj   e . 21 Áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov ta có thể xác định được độ lớn của các vết nứt như trong Hình 4.10-4.12 và Bảng 4.2. Hình 4.10. Kết quả chẩn đoán vết nứt sử dụng đáp ứng tại các tần số 0.9ω1 Hình 4.11. Kết quả chẩn đoán vết nứt khi vận tốc tải trọng bằng 0.5Vc Hình 4.12. Kết quả chẩn đoán vết nứt khi tần số tải trọng bằng tần số riêng 22 Bảng 4.2. Kết quả chẩn đoán độ sâu vết nứt phụ thuộc vào mức nhiễu đo đạc. Kết luận chƣơng 4 Trong chương này tác giả đã trình bày lý thuyết về dao động của dầm có nhiều vết nứt và đề xuất một phương pháp tính tần số riêng của dầm liên tục có nhiều vết nứt. Đã trình bày phương pháp phổ tần số áp dụng cho dầm có nhiều vết nứt và áp dụng để nhận được công thức giải tích cho hàm đáp ứng tần số chính xác của dầm có số lượng vết nứt bất kỳ chịu tải trọng tập trung di động. Tiếp theo, sử dụng biểu thức chính xác của hàm đáp ứng tần số của dầm có nhiều vết nứt, tác giả đã khảo sát ảnh hưởng của các tham số tải trọng như vận tốc, tần số đến hàm đáp ứng tần số của dầm có 5 vết nứt. Sau đó, ảnh hưởng của các tham số vết nứt như vị trí, độ sâu và số Mức nhiễu Độ sâu vết nứt thực Độ sâu vết nứt chẩn đoán được, % (sai số, %) 1st crack 2nd crack 3rd crack 4th crack 5th crack 0% 5% 4.96 (0.80) 4.97 (0.60) 4.99 (0.20) 5.00 (0.00) 4.98 (0