Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực và véc tơ phân cực của các nơtron tán xạ trên bề mặt tinh thể phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần

tán xạ trong trạng thái ứng với momen tổng cộng của nơtron và hạt nhân là 1 2 I + a- là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với momen tổng cộng của nơtron và hạt nhân là 1 2 I - Trong quá trình tán xạ trên hệ hạt nhân, hàm sóng viết lại có dạng như sau: ( ) µ. . i i ik r R ik Rik r n nuc m i n nuc m lm mi er e f e r R y c c c c - = + - åÕ Õ r r uur r uurr rr r uur (2.1.3) Trong đó .nuc m m cÕ là hàm sóng pin của các hạt nhân với giả thiết rằng các hạt nhân không tương tác với nhau. Để tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng công thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo trạng thái spin của chúng. Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng: ( ) µ i i ik r R ik Rik r n i n l i er e f e r R y c c - = + - å r r uur r uurr rr r uur (2.1.4) Trong đó: µf Ja bs= + ur = I pa b s+ ur J p I = ur ur : Véc tơ phân cực của hạt nhân I: spin của hạt nhân Nếu các hạt nhân được phân bố hỗn loạn trên mặt phẳng z = zo thì chúng ta sẽ nhận được biểu thức sau cho sóng kết hợp đi qua mặt phẳng trên: 14 ( ) ( )21 ik r n z ir I p e k p r y a b s c æ ö = + +ç ÷ è ø r rr ur (2.1.5) Trong công trình [16], toán tử: 1 2 p iB dq s h= + ur uur (2.1.6) được gọi là toán tử spin quay xung quang một trục đặc trưng bởi véc tơ đơn vị ph uur một góc dq , 1dq = So sánh (2.1.5) và (2.1.6) ta có thể kết luận: sau khi đi qua mặt phẳng phân cực, spin của nơtron đã quay đi một góc: 4 Re( ) z Ip k pr dq b= (2.1.7) Nếu hàm sóng của các nơtron đi qua m mặt thì góc quay tổng cộng là: 4 Re( )m z Ipm k pr q b= (2.1.8) Hay, khi đi qua một tấm bia có độ dạy L xác định, chúng ta sẽ thu được: khi nơtron đi qua bia phân cực này, spin của nó sẽ quay một góc: 4 Re( ) z IpL k pr q b= Kết quả này có thể nhận được bằng các phương pháp khác 2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng Chọn trục lượng tử song song với véc tơ phân cực của hạt nhân p ur . Nếu nơtron tới mặt phẳng có spin song song với véc tơ p ur ( 1 0n c æ ö = ç ÷ è ø ), thì sóng kết hợp ( )ry + r có dạng: 15 ( ) µ 121 0 ik r z ir f e k p r y - + æ ö æ ö = +ç ÷ ç ÷ è øè ø r rr (2.2.1) Trong đó: µf Ipa b- = - là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của nơtron với spin phản song song với véc tơ phân cực của hạt nhân p Nếu hàm sóng đi qua một lớp vật chất có độ dày xác định thì lặp lại tất cả các lý luận dẫn đến biểu thức của hệ số khúc xạ đối với bia phân cực mà ta đã biết thì chúng ta sẽ nhận được hệ số khúc xạ của các nơtron có spin song song với véc tơ p ur như sau: µ ( )2 2 2 21 1 z z in f Ip k k p r pr a b+ += + = + + (2.2.3) Đối với các nơtron với sự phân cực ngược lại thì: µ ( )2 2 2 21 1 z z in f Ip k k p r pr a b- -= + = + - (2.2.4) Hiệu số µ µ( )22 z n n f f k pr + - + -- = - (2.2.5) được xác định bởi hiệu các biên độ tán xạ của sóng kết hợp tương ứng và khác 0 chỉ trong bia phân cực. Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, nơtron có hai hệ số khúc xạ. Xét trường hợp nơtron có véc tơ phân cực tạo thành một góc tương đối với hướng của véc tơ phân cực hạt nhân. Chọn một hướng của p tạo thành một góc tương đối với trục z. Véc tơ phân cực của hạt nhân bia có phương vuông góc với bề mặt. Hàm sóng cơ sở có dạng: 16 ( ) i k r nr ey c= r rr , 1 2 n c c c æ ö = ç ÷ è ø (2.2.6) Hay: ( ) 1 21 00 1 ik r ik rr c e c ey æ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷ è ø è ø r r r rr Trạng thái spin 1 0 æ ö ç ÷ è ø có liên quan đến chỉ số khúc xạ n+ Trạng thái spin 0 1 æ ö ç ÷ è ø có liên quan đến chỉ số khúc xạ n- Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác định theo biểu thức sau: ( ) ( )( ) 1 1 1 2 1 2 1 0 0 1 z zik r ik n z ik r ik n z c r r c e c e c e c e c r y y y ^ ^ + ^ ^ - + - æ ö æ ö æ öç ÷= = +ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ è ø è øè ø uuruur uur uuruur uur r r r (2.2.7) Véc tơ phân cực của nơtron là: np y s y= ur (2.2.8) có các thành phần là: 1 22Imnyp c c y y * * + -= (2.2.9) 2 2 1 2nzp c cy y+ -= - Giả thiết rằng spin của nơtron có phương vuông góc với véc tơ phân cực của hạt nhân và có phương song song với trục x, ta được 1 2 1 2 c c= = Sử dụng các đẳng thức (2.2.9) ta có: ( ) Im( )cos Re zk n n znx zp k n n z e + -- -+ -= -é ùë û ( ) Im( )sin Re zk n n zny zp k n n z e + -- -+ -= -é ùë û (2.2.10) 17 2 Im( ) 2 Im( )z zk n z k n z nzp e e+ - - -= - Suy ra, véc tơ phân cực của nơtron hợp với véc tơ phân cực của hạt nhân một góc: ( ) µ µ( )2Re Rez z k n n z f f z k pr q + - + -= - = -é ùë û (2.2.11) Biểu thức của (2.2.11) phù hợp với (2.2.10) Trong trường hợp tổng quát, véc tơ phân cực của hạt nhân không xác định. Để mô tả hiệu ứng quay của spin nơtron ta dùng toán tử quay spin đi một góc q nào đó. Sử dụng (2.1.5) ta có: sau khi đi qua m mặt phẳng phân cực, hàm sóng của nơtron là: ( ) ( )21 m ik r n z ir I p e k p r y a b s c æ ö = + +ç ÷ è ø r rr ur (2.2.12) Sau khi nơtron đi qua lớp vật chất có bề dày là z = ma (a là bề dày của một lớp) thì ( )ry r được viết như sau: ( ) $1 zik r ik nz nr e c ey c^ ^= uuruur uurr (2.2.13) $ µ ( )2 21 0 z n f k pr = + (2.2.14) µ ( )0f là biên độ tán xạ đàn hồi trên hạt nhân với một góc bằng 0. So sánh với việc mô tả bằng toán tử quay spin của nơtron đi một góc trong [16]: 2 i n B e q s = ur , ta thấy, trong trường hợp này, toán tử quay spin nơtron được mô tả bởi: 18 ( )2exp Ren p z B i I n z k pr b s æ ö = ç ÷ è ø ur (2.2.15) Ngoài ra, sự quay spin của nơtron trong bia phân cực có thể nhận được bằng cách khác. 2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động Gọi năng lượng của sóng kết hợp là 'khE Năng lượng của sóng tự do trong chân không là tkE Theo định luật bảo toàn năng lượng thì thế năng có dạng: ( ) 2 2 2 ' 2 2(1 ) 0 2 z tk kh kU E E n f m m p r= - = - = - h h (2.3.1) Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, sóng nơtron có khả năng khúc xạ với các mức năng lượng là: ( ) 2 2 2 2 2(1 ) 0 2 zkU n f m m p r± ±= - = - h h (2.3.2) So sánh với (2.2.14) ta viết lại năng lượng dưới dạng toán tử: µ ( ) ( ) 2 22 20U f I p m m p p r a b s= - = - + urh h (2.3.3) Khi nơtron chuyển động trong từ trường, năng lượng tương tác của thành phần spin song song với H uur được tính theo công thức: W Hm+ = - Tương tự với thành phần spin ngược lại ta có năng lượng bằng W Hm- = Hiệu năng lượng là: W -W 2 Hm+ - = - Giới hạn của tần số chuyển động tiến động của nơtron trong từ trường H là: 2 R Hm w = h 19 Hoàn toàn tương tự, trong từ trường tồn tại hiệu số thế -UU+ - , pin của nơtron chuyển động tiến động quanh trục song song với véc tơ phân cực của hạt nhân với tần số: -U 4Re ReU Ip m p r w b+ -= = h h (2.3.4) Trong thời gian t, spin của nơtron quay đi một góc tw¶ = Nếu phần có từ trường có độ dài l, thời gian để nơtron đi qua là: z lt n = Vậy spin của nơtron quay đi một góc: 4 Re z z z l m l Ipl k k w pr w b n ¶ = = = Điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (2.1.9) Trong từ trường thì tương tác giữa spin của nơtron với hạt nhân có từ trường hiệu dụng: 2eff H w m = h Tương tự, nếu như bia phân cực có từ trường phụ thuộc vào thời gian ( )B t và véc tơ phân cực của hạt nhân cũng phụ thuộc vào thời gian P = P(t) thì từ trường hiệu dụng tổng hợp là: ( ) ( ) ( )effG t B t H t= + Trong đó: 22( ) ( )eff IH t p t m p rb m = h Như vậy, năng lượng tương tác spin trong từ trường hiệu dụng là: ( )V ( ) ( )effG B t H tm m= - = - + urur (2.3.5) 20 CHƯƠNG 3 TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ 3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên tinh thể có các hạt nhân phân cực. Chúng ta đi xem xét tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể khi có các hạt nhân phân cực khi có phản xạ và khúc xạ. Giả sử chùm nơtron tiến tới tinh thể có các hạt nhân phân cực, được đặt ở nửa không gian x > 0 và mặt của tinh thể trùng với mặt phẳng y0z. Như chúng ta đã biết, trong tinh thể phân cực tác động lên chùm nơtron có trường tổng cộng: nuc effeffG B H= + ur ur uur ở đó nuc effH uur là giả từ trường hiệu dụng hạt nhân [15] Theo giả thuyết trên thì trong một nửa không gian x > 0, trong tinh thể có các hạt nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất ( )effG x ur dạng: 0; ( )effx effy effz effG G G G xq= = = × ur ur ur ur , ở đó 1, 0 ( ) 0, 0 x x x q ì = í î f p Quá trình tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể có các hạt nhân phân cực được xác định bởi Hamilton [22,25]: H = Ho + Hk + W1 + W2 (3.1.1) ở đó: 2 2 2o H m Ñ = - h 21 Hk: Hamilton của tinh thể - bia tán xạ 1W ( ) ( )effoV x G xms= - urur m : Moment từ của nơtron s ur tương ứng với các thành phần , y,x zs s s là các ma trận Pauli Số hạng thứ 2 của W1 mô tả thế năng tương tác của nơtron với từ trường hiệu dụng ( ) ( )2W l l ll l j A B J J r Rs dé ù= + - - ë ûå ur ur ur ur ur r ur mô tả phần thế nhỏ tương tác của nơtron với hạt nhân. , lr R r ur : Véc tơ vị trí của nơtron, hạt nhân J ur : Toán tử spin hạt nhân Sử dụng phương pháp các sóng méo ta đi tính yếu tố ma trận chuyển ,k kT của quá trính tán xạ trên Theo [3,23]: , , ( ) ( ) 2| W | kk k kT j j - += (3.1.2) Ở đó ,( )kj - và ( )kj + là nghiệm của phương trình schrodinger sau: 2 ( ) ( ) 2 o z eff k k k V x G x E m ms j jé ù- Ñ + - =ê úë û h (3.1.3) Với tiệm cận ở vô cùng trong dạng sóng phân kì và sóng hội tụ Biểu diễn kj trong dạng: 22 |||| ( )ik rk k ae xj j c= r r (3.1.4) 1 2 1 0 0 1a C Cc æ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷ è ø è ø hàm sóng spin riêng của nơtron ||k r và | |r r : các thành phần của véc tơ sóng và véc tơ vị trí của nơtron song song với bề mặt tinh thể. Đặt (3.1.4) vào (3.1.3) ta có phương trình Schrodinger để cho ( )k xj : 2 2( ) (V ) ( ) ( ) 0x k x o eff k mx k G x xj m q j± ± ì üé ùD + - =í ýë ûî þ m h (3.1.5) Ở đó 2 2 0x mE k h khi x < 0 2 2 || 2k k E E m^ = - h là năng lượng chuyển động dọc của nơtron Ký hiệu 02 2 ( )x eff mk E V Gm>± ^= - ±h khi x > 0 Chúng ta sẽ nhận được nghiệm của phương trình (3.1.5) là: , 0 ( ) , 0 ik xx x ik xx ik x o k o e A e x x B e x j >< - >- ± ± ± ± ì + <ï= í ï >î 1 1 22 1 2 0 , 0 0 0 , 0 0 ik x ik xx x x ik x ik xx x ik x c ce A e A e x cc c B e B e x c > >< - - > >- -± ± + - + - ì æ ö æ ö æ ö + + <ï ç ÷ ç ÷ ç ÷ ï è ø è øè ø= í æ ö æ öï + >ç ÷ ç ÷ï è ø è øî (3.1.6) 23 Với |||| ( )ik rk ae xj j c± ±= r r ta có nghiệm của phương trình (3.1.3) trong dạng sau: |||| |||| 1 1 22 1 2 0 , 0 0 0 , 0 0 ik x ik xx x x ik x ik xx x ik xik r a k ik r a c c e e A e A e x cc c e B e B e x c c j c > >< - - > >- -± ± + - ± + - ì é ùæ ö æ ö æ ö + + <ï ê úç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è øè øï ë û= í é ùæ ö æ öï + >ê úç ÷ ç ÷ï è ø è øë ûî r r r r (3.1.7) x x x x k k A k k ± ± ± - = + : Biên độ của sóng phản xạ nơtron 2 x x x k B k k < ± ± = + : Biên độ của sóng khúc xạ nơtron Nhờ các ma trận Pauli s ur chúng ta biểu diễn (3.1.7) dưới dạng: Đặt: 2 1 0 (0,0, ); 0 1 M Il æ ö= = ç ÷ è ø uur 1 1 2 ( ) 2 ik xx xik xe A A el >< - + - é ù= + +ê úë û 2 1 ( ) 2 ik xxA A el >- + - é ù= +ê úë û 2(0,0, )N b= uur 1 1 B 2 ik x ik x x xe B eb > > + - + - é ù = +ê ú ë û 2 1 B 2 ik x ik x x xe B eb > > + - + - é ù = -ê ú ë û 24 Do đó: 1 1 1 22 0 0 ik x ik xx x xik x c c I M e A e A e cc l s > >< - - + - é ùæ ö æ ö æ öé ù+ = + +ê úç ÷ ç ÷ ç ÷ë û è ø è øè øë û uurur 1 1 2 0 0 ik x ik xx xcI N B e B e c b s > >- -± ± + - é ùæ ö æ öé ù+ = +ê úç ÷ ç ÷ë û è ø è øë û uurur Thay vào (3.1.7) ta có: |||| |||| 1 1 , 0 , 0 i k r a k ik r a e I M x e I N x l s c j b s c ± ì é ù+ <ï ë û= í é ù+ >ï ë ûî r r r r uurur uurur (3.1.8) Bây giờ chúng ta đi tính tích phân (3.1.2) ( ) ( )||||' 0 ' '' ' ' ' || 1 1 iQ r a l l l l ak k l T dr e dx I M A B J J r R I Mc l s s d l s c+ * * -¥ ì é ùé ùé ù é ù= + + - - +í ê úë ûë û ë ûë ûî åò ò ur r uuuurur ur ur uur ur r uur uurur ( ) ( )'' ' ' '1 1 0 a l l l l a l dx I N A B J J r R I Nc b s s d b s c +¥ + * * üé ùé ùé ù é ù+ + + - - + ýê ú ë ûë û ë ûë û þ åò uuurur ur uur ur r uur uurur ( ) ( )|||| 0' ' ' ' ' ' ' || 1 1 1 1 1 1 iQ r a l l l l l ldr e dx IA IB J J M A M B J Jc l l l s l s l s s l + * * * * -¥ ì é= + - + + -í ëî ò ò ur r uuuur uuuurur ur uur ur ur ur ur uur ur ( ) ( ) ( )'' ' ' '1 1l l l l l l l aIA M IB J J M M A M M B J J M r Rl s l s s s s s s s d c* * * * ù+ + - + + - -û uuuur uuuuruurur ur uur ur uurur ur uurur ur ur uur ur uurur r uur ( ) ( )' ' ' ' ' ' '1 1 1 1 1 1 1 0 a l l l l l l ldx IA IB J J N A N B J J IA Nc b b b s b s b s s b b s +¥ + * * * * *é+ + - + + - +ëò uuur uuurur uur ur ur ur ur uur ur uurur ( ) ( ) ( ) }'' ' '1 l l l l l l aIB J J N N A N N B J J N r Rb s s s s s s s d c* * * ù+ - + + - -û uuur uuurur uur ur uurur ur uurur ur ur uur ur uurur r uur Với '|| || || ( , )y zQ k k Q Q= - º uruur ur 25 Đặt: ( ) ( )|||| 0 ' ' '' ' ' 1 || 1 1 2 2 ... iQ r l l lT dr e dx r R r Rl d l l d l * * -¥ ì é ù= - + - +í ê úë ûî ò ò ur rur r uur r uur ( ) ( )' '' ' '1 1 2 2 0 ... l ldx r R r Rb d b b d b +¥ * *é ù+ - + -ê úë ûò r uur r uur ( ) ( )|||| 0 ' ' '' ' ' 2 || 1 2 2 1 ... iQ r l l lT dr e dx r R r Rl d l l d l * * -¥ ì é ù= - + - +í ê úë ûî ò ò ur rur r uur r uur ( ) ( )' '' ' '1 2 2 1 0 ... l ldx r R r Rb d b b d b +¥ * * üé ù+ - + - ýê úë ûþ ò r uur r uur Do đó ta có: ¶ ' ' ' k k a ak k T Tc c+= Trong đó: ¶ ( ) ( )' 1 1 2 2k k l l l l l l l z l l lz lzlT AT I BT J J AT B T J J Is s é ù= + - + + - ë ûå ur uur ur uur Vì a a a I c c += å » » » »{ }' '' '( ) ( )k k k ka ak k k ka T T t Sp T T tsc c r + + +=å Để tìm tiết diện hiệu dụng của các nơtron phân cực chúng ta cần tính vết sau: » » ' ' 1 ( ( ) 2 k ko nuc k k Sp I P T T tsr +ì ü+í ý î þ uurur Ở đây chúng ta tính tiết diện hiệu dụng của các nơtron trên tinh thể sắt từ có các hạt nhân phân cực. Nếu tinh thể được từ hóa dọc theo trục z thì các số hạng cho 26 đóng góp vào tiết diện tán xạ không đàn hồi sẽ tỉ lệ với các hàm tương quan spin sau: ( ) ( )' '(0) (0) (0) (0)lx lx l x l xJ J J J- - ( )( )' '(0) (0) (0) (0)ly ly l y l yJ J J J- - (3.1.9) ( )( )' '(0) (0) (0) (0)lx lx l y l yJ J J J- - ( )( )' '(0) (0) (0) (0)ly ly l x l xJ J J J- - Theo [14] để cho mẫu của Heisenberg của tinh thể sắt từ các đóng góp ( )( )' '(0) (0) (0) (0)lx lx l y l yJ J J J- - , ( )( )' '(0) (0) (0) (0)ly ly l x l xJ J J J- - Sẽ biến mất và ( )( )' '(0) (0) (0) (0)ly ly l y l yJ J J J- - = ( )( )' '(0) (0) (0) (0)lx lx l x l xJ J J J- - Sử dụng các biểu thức trên và sau những tính toán phức tạp chúng ta sẽ nhận được biểu thức tiết diện tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể phân cực khi có phản xạ: ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' 2 2 ' 1 2 1( ) 1 2 1 3 5 1 1 2Re( ) (2 ) 2 (0) (0) (t) (t) kk i l l l oz l lE E t l l l l l llk l l lx lxl l l x l x A A T T T T P A A T Td m k dte d dE k B B T T J J J J s p * * * * * +¥ - * * -¥ é ù+ + ê ú= ê úW + - -ê úë û åò hh Tiết diện tán xạ của các nơtron trên mặt tinh thể có các hạt nhân phân cực chứa thông tin quan trọng về các hàm tương quan của các spin của các hạt nhân nằm trên bề mặt tinh thể. 27 Trong trường hơp các hạt nhân không phân cực công thức tính tiết diện tán xạ ở trên sẽ quay về kết quả đã được công bố của các Giáo sư Idiumov và Oderop [19] 3.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có phản xạ toàn phần. Chúng ta đi xem xét cụ thể các kết quả thu được ở mục trước trong điều kiện khi có phản xạ toàn phần của các nơtron trên bề mặt của tinh thể phân cực. Trong trường hợp này khi góc nhỏ hơn góc tới hạn phản xạ toàn phần thì ik n x k xx x xik xe e e b -± ± ± = ® (3.2.1) Ở đó Im 0nb± ±= > - phần ảo của hệ số khúc xạ của nơtron ở góc có phản xạ toàn phần Tương ứng với ( ) 1 2 2 2 x o eff mk E V Gm>± ^ æ ö= - ±ç ÷ è øh 1 22 2 2 2 2 x o eff m mk V Gm<æ ö= - ±ç ÷ è øh h 1 2 2 2 2 2 2 2 22 1 sin ( ) sin ( ) effo x x x m GmV k k x k x m< < < æ ö = - ±ç ÷ è øh h Trong trường hợp có phản xạ toàn phần chúng ta có thể cho b± biểu thức sau đây: 1 2 2 2 2 2 2 2 22 Im 1 sin ( ) sin ( ) effo x x m GmV k x k x m b± < < æ ö = - ±ç ÷ è øh h (3.2.2) 28 Từ (3.2.2) nhận thấy rằng b± phụ thuộc vào giá trị Vo và effGm Theo [15]: 22 (0)oV fm p r» h Ở đó r là mật độ hạt nhân (0)f là biên độ tán xạ về phía trước Chúng ta chọn 9 1 4 22 3 1210 , 3.10 , 10 , (0) 10effk cm G Gauss cm f cmr < - - -= = = = Với các tham số 310toihan radq -£ Như vậy để cho toihanq q< , độ sâu tắt dần của nơtron trong tinh thể là: 6 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 10 22 Im 1 sin ( ) sin ( ) x effo x x l cm k m GmV k x k x b m - + < + < < = = » æ ö - ±ç ÷ è øh h (3.2.3) Như vậy trong trường hợp có phản xạ toàn phần hàm sóng của nơtron đã nhanh chóng tắt dần ở một lớp mỏng của tinh thể. Để cho bức tranh trọn như trên, trong trường hợp có phản xạ toàn phần ta có: ( ) ( ) ( )' '|||| 0 ' '' *' *' 1 || 1 12 2 2 2 x x x xiQ r ik x ik x ik x ik x l lt dr e dx e A A e r R e A A ed < < < <- - + - + - -¥ ì ì é ù é ù= + + - + +í í ë û ë ûîî ò ò ur rur r uur ( ) ( ) ( )' '*' *'1 12 2x xik x ik xlA A e r R A A ed < <- - + - + - ü+ + - + ý þ r uur ( ) ( ) ( )' ' '' *' *' *' 0 1 1 2 2 x x x x ik x ik x ik x ik x ldx B e B e r R B e B ed > > > > + - + - ¥ + - + - é+ + - +êëò r uur 29 ( ) ( ) ( )' ' '*' *' *'1 12 2x x x x ik x ik x ik x ik x lB e B e r R B e B ed > > > > + - + - + - + - üù+ - - - ýúûþ r uur ( )'||||' '' *'|| 0 1 2 x x ik x ik xiQ r ldr e dx B B e e r Rd > > + + ¥ + += -ò ò ur rur r uur ( ) ( ) ( )' '|||| 0 ' '' *' *' 2 || 1 12 2 2 x x xiQ r ik x ik x ik x l lt dr e dx e A A e r R A A ed < < <- - + - + - -¥ ì ì é ù= + + - +í í ë ûîî ò ò ur rur r uur ( ) ( ) ( )' ''*' *'1 1 22 2x x xik x ik x ik xlA A e r R e A A ed < < <- - + - + - üé ù+ + - + + ýë ûþ r uur ( ) ( ) ( )' ' '' *' *' *' 0 1 1 2 2 x x x x ik x ik x ik x ik x ldx B e B e r R B e B ed > > > > + - + - ¥ + - + - é+ + - -êëò r uur ( ) ( ) ( )' ' '*' *' *'1 12 2x x x x ik x ik x ik x ik x lB e B e r R B e B ed > > > > + - + - + - + - üù+ - - + ýúûþ r uur ( )'||||' '' *'|| 0 1 2 x x ik x ik xiQ r ldr e dx B B e e r Rd > > + + ¥ + += -ò ò ur rur r uur Như vậy ta có: ( )'||||' '' *'1 2 || 0 1 2 x x ik x ik xiQ r l l lt t dr e dx B B e e r Rd > > + + ¥ + += = -ò ò ur rur r uur ( )' '||||' '' *'|| 0 1 2 x x ik x ik xiQ r ldr e dx B B e e r R b b d < <¥ + += -ò ò ur rur r uur ( )'||||*'1 2 txl x x k k RiQ RB B e e b b< <- +- + += ur ur Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của tán xạ phi đàn hồi của nơtron có thể biểu diễn dưới dạng: 30 ( )( ) ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' 2 2 ' 1 1( ) 1 1 3 5 1 1 2 2Re( ) (2 ) 2 (0) (0) (t) (t) kk i l l oz l lE E t l l l l ll l l lx lxk l l l x l x A A t t P A A t td m k dte d dE k B B t t J J J J s p * * * * +¥ - * * -¥ é ù+ ê ú= ê úW + - - ë û åò hh Do các hàm số ( ) ' x xk k xe b b < <- + và l||||iQ Re- ur ur nhanh chóng tắt dần khi đi vào tinh thể, chúng ta có thể đưa ra kết luận quan trọng rằng tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có phản xạ toàn phần chứa thông tin quan trọng về các hàm tương quan của các spin của các hạt nhân bề mặt tinh thể. Như vậy việc nghiên cứu tiết diện tán xạ trên cho phép chúng ta nghiên cứu động học của các hạt nhân của bề mặt tinh thể. 31 CHƯƠNG 4 VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ HẠT NHÂN TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN Chúng ta đi tính toán và xem xét véc tơ phân cực của nơtron phân cực trên bề mặt tinh thể có các hạt nhân phân cực khi có phản xạ toàn phần ¶ ¶{ } ¶ ¶{ } ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) kk kk i E E t nuc o k k k k i E E t nuc o k k k k Sp T T t e dt P Sp T T t e dt r r s r r +¥ -+ + -¥ +¥ -+ + -¥ = ò ò h h ur ur (4.1) Trong đó: » ( ) ( )' 1 1 1 1k k l l l l l l l z l l lz lzlT At I Bt J J At Bt J J Is s é ù= + - + + - ë ûå ur uur ur uur Đặt: l l lJ Je = - uur uur uur lz lz lzJ Je = - (4.2) Thay (4.2) vào ta có: » ' 1 1 1 1k k l l l l l l l z l l lzl T At I B t At B t Is e s eé ù= + + +ë ûå urur uur Mặt khác, trong điều kiện phản xạ toàn phần ta có: ( )'||||' '' *'1 2 || 0 1 2 x x ik x ik xiQ r l l lt t dr e dx B B e e r Rd > > + + ¥ + += = -ò ò ur rur r uur 32 ( )'||||*'1 2 txl x x k k RiQ RB B e e b b< <- +- + += ur ur Ta đi xem xét thành phần Px có dạng như sau: ¶ ¶{ } ¶ ¶{ } ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) kk kk i E E t nuc o xk k k k x i E E t nuc o k k k k Sp T T t e dt P Sp T T t e dt r r s r r +¥ -+ + -¥ +¥ -+ + -¥ = ò ò h h Để tính được thành phần Px của các nơtron phân cực chúng ta cần tính các vết sau: ( ) ¶ ¶ ¶ ¶{ }' ' ' '1 1( ) ( )2 2o nuc x o nuc xk k k k k k k ksp I P T T t sp T T ts r s r r s+ + + + ì ü+ =í ý î þ uurur ( ){ ( ) ' 1 1 1 1 1 2 o nuc l l l l l l l z l l lz xll sp I P A t I B t A t B t Is r se s e s* * * * * * * *= + + + +å uurur uruur uur ( )}' ' ' ' ' ' ' ' ' '1 1 1 1zl l l l l l l l l l zAt I B t At B t Ise s e+ + + uruur uur ( ' ' ' ' ' ' 1 11 1 1 2 nuc l l x nuc l l xl l l l lll sp A t I A t A t I B tr s r s se* * * * ì = +í î å uruur ' ' ' ' '1 11 1nuc l l x z nuc l l xl l l l l z A t I A t A t I B tr s s r s e* * * *+ + ' ' ' ' '1 11 1nuc l l l x nuc l l l xl l l l l B t I A t B t I B tr s e s r s e s s e* * * *+ + urur urur uruur ' ' ' ' '1 11 1nuc l l l x z nuc l l l xl l l l l z B t I A t B t I B tr se s s r se s e* * * *+ + urur urur ' ' ' ' '1 11 1nuc l l z x nuc l l z xl l l l l A t I A t A t I B tr s s r s s s e* * * *+ + uruur ' ' ' ' '1 11 1nuc l l z x z nuc l l z xl l l l l z A t I A t A t I B tr s s s r s s e* * * *+ + 33 ' ' ' ' '1 11 1nuc l l lz x nuc l l lz xl l l l l B t I A t B t I B tr e s r e s s e* * * *+ + uruur ' ' ' ' '1 11 1nuc l l lz x z nuc l l lz xl l l l l z B t I A t B t I B tr e s s r e s e* * * *+ + ' ' ' ' '1 11 1nuc o l l x nuc o l l xl l l l l P A t I A t P A t I B tr s s r s s s e* * * *+ + uurur uurur uruur ' ' ' ' '1 11 1nuc o l l x z nuc o l l xl l l l l z P A t I A t P A t I B tr s s s r s s e* * * *+ + uurur uurur ' ' ' ' '1 11 1nuc o l l l x nuc o l l l xl l l l l P B t I A t P B t I B tr s se s r s se s se* * * *+ + uurur urur uurur urur uruur ' ' ' ' '1 11 1nuc o l l l x z nuc o l l l xl l l l l z P B t I A t P B t I B tr s se s s r s se s e* * * *+ + uurur urur uurur urur ' ' ' ' '1 11 1nuc o l l z x nuc o l l z xl l l l l P A t I A t P A t I B tr s s s r s s s se* * * *+ + uurur uurur uruur ' ' ' ' '1 11 1nuc o l l z x z nuc o l l z xl l l l l z P A t I A t P A t I B tr s s s s r s s s e* * * *+ + uurur uurur ' ' ' ' '1 11 1nuc o l l lz x nuc o l l lz xl l l l l P B t I A t P B t I B tr s e s r s e s se* * * *+ + uurur uurur uruur }' ' ' ' '1 11 1nuc o l l lz x z nuc o l l lz xl l l l l zP B t I A t P B t I B tr s e s s r s e s e* * * *+ + uurur uurur Tính từng số hạng trong biểu thức trên + Số hạng thứ nhất: { }' '1 1 1 0 2 nuc l l x l l sp A t I A tr s* * = + Số hạng thứ hai: { } ( ){ }' ' ' ' ' ' ' '1 11 112nuc l l x nuc l l x x y zl l l l l l x l y l zA t I B t sp A t I B tr s se r s s e s e s e* * * *= + + uruur ' ' '1 1l l l l l xA t B t e * *= 34 + Số hạng thứ ba: { } { }' ' ' '1 11 1 1 1 ( ) 0 2 2nuc l l x z nuc l l yl l l l sp A t I A t sp A t IA t ir s s r s* * * *= - = + Số hạng thứ tư: { }' ' '1 1 1 0 2 nuc l l x l l l z sp A t I B tr s e* * = + Số hạng thứ năm: { } ( ){ }' ' ' '1 11 11 12 2nuc l l l x nuc l l x lx y ly z lz xl l l lsp B t I A t sp B t I A tr se s r s e s e s e s * * * *= + + uruur ' '1 1l l lxl lB t A t e * *= + Số hạng thứ sáu: { }' ' '1 112 nuc l l l x l l lsp B t I B tr s e s s e * * urur uruur ( ) ( ){ }' ' ' ' '1 1nuc l l x lx y ly z lz x x y zl l l x l y l zsp B t I B tr s e s e s e s s e